朝阳高三第二次统一练习数学文试题及答案
北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合练习(二模)数学(文)试题Word版
3. 已知 a log 3 e ， b ln3 ， c log3 2 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
（ A） c a b （ C） a b c
（B） c b a （D） b a c
4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率
进行了
估算 . 根据德国数学家莱布尼茨在 1674 年给出的求 的方法绘
制
的程序框图 如图所示 . 执行该程序框图，输出 s 的值为
（ A） 4
（ B） 8 3
（ C） 52 15
（ D） 304 105
开始
k 0, s 0 s s ( 1)k 4
2k 1
k k1 否
k ≥3 是
输出 s 结束
5. 已知平面向量 a, b 的夹角为 2π，且 a 1, b 2 ，则 a b 3
16. （本小题满分 13 分）
如图，在四边形 ABCD 中， A 60 ， ABC 90 ．已知 AD 3 ， BD 6 ．
（Ⅰ）求 sin ABD 的值；
（Ⅱ）若 CD 2 ，且 CD BC ，求 BC 的长．
D
C
A
B
17. （本小题满分 13 分）
某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播
A. 有最小值 3
B.
2
C. 为定值 3
D.
有最大值 5 2
为定值 2
A1
F B1
D1 C1
A B
D E
C
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9. 函数 f ( x) 2sin x cosx cos2 x 的最小正周期为 .
2023年北京朝阳区高三二模数学试卷【含答案】
2023年北京朝阳区高三二模数学试卷一、单选题1、已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2、若复数为纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.3、已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.34、已知数列的前n项和是，则（）A.9B.16C.31D.335、已知，，，则（）A. B. C. D.6、已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、在中，，分别是，的中点，若（，），则（）．A. B. C. D.8、设函数，若对任意的恒成立，则（）A.B.C.D.9、如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点，使得与所成的角为10、已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题11、函数的定义域为.12、已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则，展开式中的系数为.13、将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.14、已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则.15、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：①存在，使得成等差数列；②存在，使得成等比数列；③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16、在中，，，.(1)求的面积；(2)求c及的值.17、果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵面成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量实验过程中部分发酵液因被污染面废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下：假设用频率估计概率(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率；(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）18、如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，E是PC的中点，平面与线段交于点.(1)证明：为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：三角形的面积为；条件②：三棱锥的体积为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19、已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.(1)求E的方程；(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.20、已知函数.(1)当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）证明：；(2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围.21、已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.(1)当，时，写出的所有可能值；(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.1、【答案】B;【解析】由题设，或，所以.因此正确答案为：B2、【答案】C;【解析】∵为纯虚数，∴，∴．因此正确答案为：C．3、【答案】C;【解析】【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.【详解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；因为渐近线方程为，所以.故选：C.4、【答案】B;【解析】设数列的前n项和为，则，则.因此正确答案为:B.5、【答案】D;【解析】因为，，，所以.因此正确答案为：D.6、【答案】A;【解析】【分析】讨论、对应在上的单调性，结合充分必要性的定义可得答案.【详解】当时，，显然在上单调递增，充分性成立；而在区间上单调递增，此时，必要性不成立；所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分而不必要条件.故选：A7、【答案】A;【解析】，，故，故，解得．所以．故选：．8、【答案】D;【解析】【分析】先用辅助角公式化简的解析式，利用已知条件求出辅助角，再利用诱导公式，奇偶性，判断选项的正误.【详解】由得;所以，其中，，因为，所以，所以，即，，化简得，因为，，所以，且，所以既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项A，B都不正确；对于C，D，,;因为，所以，而不能恒成立；所以选项C不正确，选项D正确.故选：D9、【答案】B;【解析】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.因此正确答案为：B10、【答案】C;【解析】由题设，若，则，所以，值域为R，函数图象如下：当时，只有一个与之对应；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有三个对应自变量且；当时，有两个对应自变量，记为，则；当时，有一个与之对应；令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，若有三个解，则，此时有5个解，不满足；若有两个解且，此时和各有一个解，结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；若有一个解，则有两个解，此时，所以对应的，综上所述.因此正确答案为：C.11、【答案】;【解析】【分析】解不等式即可得函数的定义域.【详解】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.12、【答案】;;【解析】【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.【详解】由题意，则，故原二项式为，所以其展开式通项为，当，则，故所求系数为.故答案为：，13、【答案】（答案不唯一）;【解析】由题设，在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.因此正确答案为：（合理即可）14、【答案】;;【解析】【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求.【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为，又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点，则其到A的距离，所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧，由易知：为中点，若直线为，联立抛物线得，所以，则，，而，即，经检验，此时，故，所以.故答案为：4，15、【答案】①③④;【解析】由题设，，显然成等差数列，①无误；由题设知：在上，依次为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}或{偶数,奇数,奇数}，所以不可能有，故不存在使成等比数列，②有误；由，，，所以，故，则成等差数列，故存在使得对任意，都有成等差数列，③无误；由，，，…，，，所以，则，由题设，数列前16项分别为，其中，所以存在正整数，且，使得，④无误.因此正确答案为：①③④16、【答案】(1)(2)，;【解析】（1）由且，则，所以.（2）由，则，而，则.17、【答案】(1)(2)(3);【解析】【分析】（1）先求未废弃的发酵液总数，再求品质高的瓶数，结合古典概率求解可得答案；（2）设出事件，利用对立事件求解概率可得答案；（3）先求事件E的概率，比较大小可得答案.【详解】（1）设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶，所以.（2）事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，由题意得;.（3）由题意，所以.18、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】（1）由底面是矩形，则，而面，面，所以面，又是的中点，面与线段交于点，即面面，而面，则，故，△中为中位线，故为的中点；（2）由底面，面，则，又，由，面，则面，由面，故，即△为直角三角形，且；由面，则面面，同理有面面；又面，故，又，所以两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，选①，则，故，而，选②，由，而，所以；此时，，，则，又是面的一个法向量，若直线与平面所成角为，所以.19、【答案】(1)；(2).;【解析】（1）通过题意得解得所以椭圆E的方程为.（2）因为点是E上的任意一点，所以.①当时，点或.当点时，直线PF与直线相交于点，此时.当点时，直线PF与直线相交于点，此时.②当时，直线的方程为，由，可得，所以.所以，所以.综上所述，.20、【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析；(2).;【解析】【分析】(1)（i）求导，根据点斜式直线方程求解；（ii）构造函数，求的最大值即可；(2)函数，求出的最大值，并对最大值做讨论即可.【详解】（1），，，（i）在处的切线方向为；（ii）令，则，当时单调递减，当时单调递增，在处取得最大值，；（2）由题可知，则，，，令，当时是减函数，当时是增函数，处取得极大值，也是最大值，，令，显然是增函数，欲使得，，即，解得，所以a 的取值范围是.21、【答案】(1)(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析;【解析】（1）由，，若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即；若，则，即，此时，当，则，即；当，则，即（舍）；综上所述的所有可能值为.（2）由（1）知：，则，数列中的项存在最大值，故存在使，，由，所以，故存在使，所以0为数列中的项；（3）不存在，理由如下：由，则，设，若，则，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；若，则为有限集，设，，对任意，取（表示不超过的最大整数），当时，；综上所述不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.。
2019年5月北京市朝阳区2019届高三第二次综合练习(二模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前北京市朝阳区2019届高三年级下学期第二次综合练习(二模)数学(文)试题(解析版)2019年5月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>,{|(2)0}B x x x =-<,则AB =( ) A. {|0}x x >B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|0x x >且1}x ≠【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2},然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【详解】根据不等式的解法,易得B={x|0＜x ＜2},又有A={x|x ＞1},则A ∪B={x|x ＞0}．故选：A ． 【点睛】本题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题．2.复数(1)i i +的虚部为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】将复数化简成a+bi 的形式,从而可得到复数的虚部.【详解】i(1+i)=i 11+i －＝－, 所以复数的虚部为1,故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算,考查复数的有关概念,属于简单题.3.已知3log a e =,ln3b =,3log 2c =,则a ,b ,c 的大小关系是（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. b a c >> 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】32.7182o 8l g e x y ⋯＝，＝是增函数,所以33log e >log 2,即a c ＞, 33log e <log 31a ==,ln 3log 3log 1e e b e ==>=,所以b a c ＞＞,故选：D【点睛】解决大小关系问题,一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答.4.在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图,输出s 的值为（ ）。
2019北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学(文)
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分 13 分）
在等差数列 { an} 中，已知 a1 a3 12, a2 a4 18 , n N . （I ）求数列 { an} 的通项公式； （II ）求 a3 a6 a9 ... a3 n .
（D） 7
6. 已知等差数列 { an} 首项为 a1 ，公差 d 0 . 则“ a1, a3, a9 成等比数列” 是“ a1 d ”的
（ A ）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（ C）充要条件
7. 已知函数 f ( x)
（ D）既不充分也不必要条件
2x, x a, 若函数 f (x) 存在零点，则实数 a 的取值范围是
请说明理由 .
D
D
E
C
E
C
GALeabharlann BAB图1
图2
19. （本小题满分 14 分）
A. 有最小值 2
C. 为定值 3
5 B.有最大值
2 D. 为定值 2
A1
F B1
D1 C1
A B
D E C
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上 ．
9. 函数 f (x) 2sin xcos x cos2 x 的最小正周期为
1. 已知集合 A { x | x 1} ， B { x | x(x 2) 0} ，则 A B
（ A ） { x | x 0}
（ B） { x |1 x 2}
（ C） { x |1 x 2}
2. 复数 i(1+i) 的虚部为
朝阳区高考二模数学文试题目及答案
（II）由题意可设直线l方程为y=k(x-3),
由 得（1+2k2）x2－12k2x+18k2－6=0.……………………………7分
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,
所以△＝144k4－4（1+2k2）（18k2－6）＝24（1－k2）＞0.解得-1＜k＜1.………8分
则g（x）在x＝1处取得最小值，g（1）＝e.则a≤e.
综上所述，x∈[0,+∞）时,f(x)≥0成立的a的范围是（-∞，e].……………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（I）由题意得 ………………………………………………………2分
解得a＝ ，b＝ .……………………………………………………………4分
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U=R，集合A={x︱2x＞1},B={x︱ >0},则A∩(CUB)=
因为C1D 平面A1C1B1，所以BB1⊥C1D.……………………………………………………6分
又A1C1＝C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.………………………………………7分
因为A1B1∩BB1＝B1，所以C1D⊥平面AA1B1B.………………………………………………8分
由（I）知EF∥C1D.
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，f(x)的单调减区间是（-∞，㏑a），f(x)的单调增区间是（㏑a，+∞）.……………………………6分
北京市朝阳区2022届高三二模数学答案
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二数学 参考答案 2022.5一、选择题：（本题满分40分）二、填空题：（本题满分25分）三、解答题：（本题满分85分） （16）（本小题13分）解：由题可知，2()cos cos ωωω=+f x x x x m112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②： （Ⅰ）因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-． 所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z 时，()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-． ..................................................................... 9分 （Ⅱ）令πsin(2)06x +=，则π2π6x k +=，k ∈Z ， 所以ππ212k x =-，k ∈Z ．当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212， 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以5π11π1212t <≤． 所以t 的取值范围是5π11π[,)1212． ................................................................... 13分 选择①③： （Ⅰ）因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为函数()f x 的最大值为3322m +=， 所以0m =．所以π1()sin(2)62=++f x x ．当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z 时， πsin(2)16x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122-+=-． ..................................................... 9分 （Ⅱ）令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，k ∈Z ，或π1122π+π66+=x k ，k ∈Z ， 所以ππ+2=x k ，k ∈Z ，或5π+π6=x k ，k ∈Z ． 当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以π5π26t <≤． 所以t 的取值范围是π5π[,)26． ....................................................................... 13分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）连接1A D ，设11A DAD O =，连接OE ,EF ,1B C ．在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A B CD ∥，且11A B CD =，所以四边形11A B CD 是平行四边形． 所以11A D B C ∥,且11A D B C =． 因为E ，F 分别是1CC ,11B C 的中点， 所以1FE B C ∥,且112FE B C =． 在矩形11A ADD 中,O 是1A D 的中点， 所以1AO FE ∥,且1AO FE =． 所以四边形1AOEF 是平行四边形． 所以1A F OE ∥．因为1A F ⊄平面1AED ,OE ⊂平面1AED ,所以1A F ∥平面1AED ． .................................................................................. 5分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(0,0,4)D ， (0,2,2)E ，(2,2,1)H ,(0,1,0)N .所以1(2,0,4)AD =-，1(0,2,2)D E =-． 设平面1AED 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则110,0,AD D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即240,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，则2x =，1y =． 所以(2,1,1)=m ． 因为(2,1,1)NH =， 所以=m NH .所以NH ⊥平面1AED .因为(2,1,1)=m ，(2,1,0)NA =-． 设AN 与平面1AED 所成角为θ，则|||410|30sin |cos ,|10||||41411NA NA NA θ⋅-+=<>===⋅+⋅++m m m ．即AN 与平面1AED 所成角的正弦值为3010． ............................................. 14分 （18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件A ：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入．所以()0.750.60.45P A =⨯=． ......................................................................... 3分（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为3000，5000，7500．(3000)0.250.40.1P X ==⨯=，(5000)0.750.40.250.60.45P X ==⨯+⨯=， (7500)0.750.60.45P X ==⨯=．所以X 的分布列为所以X0.455925=．............................................................................................................................. 10分 （Ⅲ）选择种植此品种中药材.理由如下：以第（Ⅱ）问的期望作为决策依据，则种植10亩中药材年纯收入为5925105925045000⨯=>，所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材． ..................... 13分 参考1：选择种植此品种中药材.理由如下：由（Ⅱ）知种植中药材纯收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，比纯收入低于45000元的概率要大，所以该农民下一年可以选择在这块土地种植此品种中药材．参考2：不选择种植此品种中药材.理由如下：由（Ⅱ）知种植中药材收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，纯收入低于45000元的概率虽只有0.1，但概率小的事件也可能发生，所以该农民下一年可以不选择在这块土地种植此品种中药材． （其他解答酌情给分）（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意知 2221,,b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得a =1b =． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=． ............................................................... 4分（Ⅱ）设1122,),()(,y B x A x y ，10x ≠，20x ≠，则1111y k x -=，2221y k x =-，若12x x =，则12y y =或12y y =-．当12x x =，12y y =时，12k k =，不合题意， 当12x x =，12y y =-时，12112k k ≠=，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+． 由22,220y kx m x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∆=-+-=-+>．则122412km x x k+=-+，21222212m x x k -=+，且21m ≠． 因为121k k =， 所以2121111y y x x --⋅=，即1212(1)(1)1kx m kx m x x +-+-=， 所以221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m -+-++-=， 所以22222224(1)(1)()(1)01212m km k k m m k k--+--+-=++， 所以(1)(3)0m m ---=， 所以3m =-或1m =（舍）．所以直线AB 经过定点(0,3)-．..................................................................... 15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为()sin cos f x x x x =+，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=．当x (0,∈π)时，()f x '与()f x 的变化情况如表所示：所以当x (0,∈π)时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，函数()f x 的单调递减区间为()2π,π． ............................................................. 6分（Ⅱ）当[,]x ∈-ππ时，()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数．所以当[,]x ∈-ππ时，函数()f x 的单调递增区间为()2π-π,-，(0,)2π，函数()f x 的单调递减区间为(,0)2π-，()2π,π,所以函数()f x 的最大值为()()222f f πππ-==．设1()()2h x f x =π，则当[,]x ∈-ππ时，max 11()224h x π=⋅=π． 对任意1[,]x ∈-ππ，存在2[0,1]x ∈，使得12()()h x g x ≤成立， 等价于max max ()()h x g x ≤．（1） 当0a ≤时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(0)0g =，不合题意． （2） 当01a <<时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为2()g a a =，则214a ≥，解得12a ≥或12a ≤-，所以112a <≤．（3） 当1a ≥时，函数()g x 在区间[0,1]上的最大值为(1)21g a =-，则1214a -≥，解得58a ≥，所以1a ≥.综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞． ............................................................ 15分（21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）当(2,0,2,1)α=时，()(2,2,1,1)T α=，2()(0,1,0,1)T α=，3()(1,1,1,1)T α=，4()(0,0,0,0)T α=；当(2,0,2,2)β=时，()(2,2,0,0)T β=，2()(0,2,0,2)T β=，3()(2,2,2,2)T β=，4()(0,0,0,0)T β=． ........................................................ 4分（Ⅱ）因为1234)(,,,x x x x α=，所以12233441()(||,||,||,||)T x x x x x x x x α=----，又因为2()(1,1,1,1)T α=，所以 1223233434414112||||1,||||1,||||1,|||| 1.x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩ 因为{0,1}(1,2,3,4)i x i ∈=，当10x =时，412421||||||1x x x x x x ---=-=，当11x =时，44112422|||||(1(1|||1))x x x x x x x x ---=---=-=． 同理，当20x =或1时，都有122313||||||1x x x x x x ---=-=； 当30x =或1时，都有234243||||||1x x x x x x ---=-=； 当40x =或1时，都有341314||||||1x x x x x x ---=-=． 所以1223233434414112||||1,||||1,||||1,||||1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧---=⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩等价于1324||1,|| 1.x x x x -=⎧⎨-=⎩所以13x x ≠，24x x ≠．当120,0x x ==时，经检验(0,0,1,1)α=符合题意， 当120,1x x ==时，经检验(0,1,1,0)α=符合题意， 当121,0x x ==时，经检验(1,0,0,1)α=符合题意， 当121,1x x ==时，经检验(1,1,0,0)α=符合题意．所以α的所有可能结果为(0,0,1,1)，(0,1,1,0)，(1,0,0,1)，(1,1,0,0)． ...... 10分 （Ⅲ）存在正整数n 使得()(0,0,0,0)n T α=，且n 的所有取值为{}6n n *∈N ≥.理由如下： 若1234(,,,)x x x x A α=∈满足1243x x x x ， 则12234314()(,,,)T x x x x x x x x α=----，21324424213()(|2,,|2||,)T x x x x x x x x x x α=---++-．设132||2a x x x +=-，341||2b x x x +=-，则324242424||()(|,|,|,|||)T x b x x a a x x x b x x α--=------． 设4422||||||c x a x x x b -=----，则4()(,,,)00c c T α=，5()(,,,)c c T c c α=，6)0()(,,,000T α=．所以，对满足1243x x x x 的任意1234(,,,)x x x x A α=∈，都有6)0()(,,,000T α=． 当正整数7n 时，)0()(,,000,n T α=. 当(6,3,1,2)α=时，()(3,2,1,4)T α=，()2(1,1,3,1)T α=， ()3(0,2,2,0)T α=，()4(2,0,2,0)Tα=，()5(2,2,2,2)T α=，()6(0,0,0,0)T α=.所以n 的所有取值为{|6}n n *∈N ． ............................................................. 15分。
北京市朝阳区高三数学第二次高考模拟考试(文) 新人教版
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（文史类） 第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1, 2, 3, 4, 5, 6U =，集合{}2, 3A =，集合{}3, 5B =，则()UA B ðI 等于（A ）{}2 （B ）{}2,3,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}5 （2）设i 为虚数单位，则复数2i1iz =-所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）过点(4,4)引圆22(1)(3)4x y -+-=的切线，则切线长是（A ） 2 （B（C ）（D ）（4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是4π3，则正方体的表面积是 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3（5）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）16 （D ）12 （6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是 xyO xyO yy（7）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（8）如图所示，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①对于[, ]c c -内的任意实数, m n （m n <），()()0gn gm n m->-恒成立；②若0b =，则函数()g x 是奇函数；③若1a ≥，0b <，则方程()0g x =必有3个实数根；④若0a >，则()g x 与()f x 有相同的单调性.其中正确的是（）（A ）②③ （B ）①④ （C ）①③ （D ）②④第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）函数22cos y x =的值域是 .（10）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与b 垂直，那么实数k 的值为 .（11）设变量x ，y 满足0,10,3260,y x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ；z x y =+的最大值为 .（12）若某程序框图如右图所示， 该程序运行后，输出的31x =， 则a 等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若1a a =，n a b =（2n ≥，n *ÎN ），则11n nb aa n +-=-. 类比等差数列的上述结论，对等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ），若1b c =，n b d = （3n ≥，n *ÎN ），则可以得到1n b += .CB世博轴·A 中国馆120º三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.(16) （本题满分13分）某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：（Ⅰ）求此运动员射击的环数的平均数；（Ⅱ）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m 次、n 次，每个基本事件为（m ，n ）. 求“10m n ≥+”的概率.(17) （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O . （Ⅰ）求证：SO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）已知E 为侧棱SC 上一个动点. 试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面SAC(18) （本题满分14分）已知函数2()ln (1)2ax f x x a x =+-+， a ∈R ，且0a ≥． （Ⅰ）若(2)1f '=，求a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）求函数()f x 的单调递增区间．(19) （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为1(2, 0)F -，2(2, 0)F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C的坐标，AB所在直线的斜率为3． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．20．（本题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式 12111(1)(1)(1)n b b b +++m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（文史类） 2010.5一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=-+1sin 222x x = sin(2)3x π=-，所以()sin(2)3f x x π=-.函数()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为2[0,]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分16. 解：（Ⅰ）此运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为277889310172⨯+⨯+⨯+⨯=（环）.所以此运动员射击的平均环数为1728.620=（环）. …………………………………6分（Ⅱ）依题意，用(, )m n 的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3）（7，3）所以基本事件总数为12.设满足条件“10m n ≥+”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为（2，8），（7，8）， （3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3）总数为8，所以82().123P A == 答：满足条件“10m n ≥+”的概率为2.3………………………………………13分17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，ACBD O =，所以O 是AC ，BD 中点. 由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥, 又ACBD O =，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分 （Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC . 证明如下：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面， 而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分 18.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x'=+-+. 由(2)1f '=，解得32a =． ……………………………………………………3分 （Ⅱ）由()ln f x x x =-，得11()1xf x x x-'=-=．由1()0x f x x -'=>，解得01x <<；由1()0xf x x-'=<，解得1x >． 所以函数()f x 在区间(0, 1)递增，(1,)+∞递减. 因为1x =是()f x 在(0, )+?上唯一一个极值点，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为(1)1f =-．…………………7分（Ⅲ）因为21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+==（1）当0a =时，1()x f x x -'=.令1()0xf x x-'=>解得01x << （2）0a >时，令(1)(1)0ax x x--=，解得1x a =或1x =.（ⅰ）当11a>即01a <<时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>， 解得01x <<，或1x a>； （ⅱ）当11a=即1a =时， 因为0x >，2221(1)()0x x x f x x x-+-'==≥恒成立. （ⅲ）当11a <即1a >时，由2(1)10a x a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>，解得10x a<<，或1x >； 综上所述，当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)；当01a <<时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)，1(, )a+∞； 当1a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当1a >时，函数()f x 的递增区间是1(0, )a，(1, )+∞.……………………14分19.解：（Ⅰ）由椭圆的定义知2a =解得 26a =，所以2222b a c =-=.所以椭圆M 的方程为22162x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意设直线AB 的方程为y x m =+，由221,62,3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222360x m ++-=． 因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上，所以221224(2)0,1.m m m ⎧∆=-->⎪⎨≠⎪⎩解得22m -<<，且0m ≠． 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则12x x +=，212362m x x -=，113y x m =+，223y x m =+．所以||AB ===点1)C到直线y x m =+的距离d =. 于是ABC ∆的面积221(4)|||22m m S AB d m +-=⋅==当且仅当||m =m =时=“”成立.所以m =时ABC ∆的面积最大，此时直线AB的方程为y x =即为0x =．……………………………………………………………13分 20.解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=．则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+，12111(1)(1)(1)n b b b +++≤ 3121231111n n b b b bb b b b ++++⋅⋅⋅ 4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+ 设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+， 则 (1)21()35721f n n f n n ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅+2423n n +==+ 24124n n +=>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．要使不等式12111(1)(1)(1)n b b b +++≤*n ∈N 恒成立，只需min ()31m f n ≤即可．因为min 4()(1)315f n f ===. 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分。
北京市朝阳区高三二模数学文科含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2013.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则MN =A.{}0B.{}0,3C.{}1,3,9D.{}0,1,3,9 （2）已知p ：(1)(2)0x x --≤，q ：2log (1)1x +≥，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 （3）函数()sin()4f x x π=-（x ∈R ）的图象的一条对称轴方程是A ．0x = B.π4x =- C.π4x =D ．π2x =（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是A.6n >?B.7n ≥?C. 8n >?D.9n >？（第4题图）（5）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3CD ．9（6）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 A ．12πB ．6πC ．112π-D ．16π- （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13 C ．12D ．1（第7题图）（８）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 A ．②B ．①③C ．②③D ．①②正视图侧视图俯视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+． （10）已知向量(2,1),(3,)x ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则x 的值为.（11）已知等差数列{}n a 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项=1a _,前n 项和=n S __.（12）若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为.（13）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨． （14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S =；试写出n S =．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A+-. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的工程测试.成绩低于6M 为不合格，成绩在6至8M （含6M 不含8M ）的为及格，成绩在8M 至12M （含8M 和12M ，假定该市初二学生掷实心球均不超过12M ）为优秀．把获得的所有数据，分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10M 到12M 之间．（Ⅰ）求实数a 的值及参加“掷实心球”工程测试的人数； （Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它工程的测试，求所抽 取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面A B C D ，PD EA ，22AD PD EA ===，F ,G ,H 分别为BP ,BE ,PC 的中点.（Ⅰ）求证：FG平面PDE ；（Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面AEB ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使PB ⊥平面EFM ？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.BD CFGHEP频率分布直方图（18） （本小题满分13分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a >时，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.（19） （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x轴相交于点D .试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （n *∈N 且2n ≥）满足||1i x ≤()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.5二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）22()2cos sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-. 因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<.则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A .……7分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3B π=.由sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π．……………………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得0.05a =. （Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的工程测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．……………………7分（Ⅲ）设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组． 由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[)4,6有6人，记为,,,,,A B C D E F ． 从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF ，,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 共28种情况．事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况．所以123()287P A ==． 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为37．……………………………13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点， 所以FGPE .又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， 所以FG平面PED . ……………4分（Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥.又因为CB AB ⊥，AB AE A =，所以CB ⊥平面ABE .由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点， 所以FH BC .则FH ⊥平面ABE . 而FH⊂平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面ABE . …………………………………………………9分 （Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM .证明如下： 在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,所以BE =在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,所以PE =所以PE BE =.又因为F 为PB 的中点，所以EF PB ⊥. 要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD ⊥，PD CD D =,所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB PC ⊥. 若PB FM ⊥，则PFM ∆∽PCB ∆,可得PM PFPB PC=.由已知可求得PB =，PF =PC =2PM =.……14分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，AEBD CPFGHM()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111.当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当a <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当a >0时，()f x 的单调递增区间为(,)-11，单调递减区间为(,)-∞-1，(,)+∞1； 当a <0时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间为(,)-11. ……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a >时，()f x 在(,)01上单调递增，()(0)f x f >；()f x 在(,e]1上单调递减，且2e(e )e 1a f a a =+>+. 所以(0,e]x ∈时，()f x >a . 因为()ln g x a x x =-，所以()1ag x x'=-， 令()0g x '=，得x a =.①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >， 所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减.所以max ()()ln g x g a a a a ==-.因为(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>， 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. ②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-. 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <.…………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221ky k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y ………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ………………………3分（Ⅱ）3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-． 因为123||1x x x ++≥， 所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-，时1S =-， 因此min 1S =-． ……………………………………………7分11 / 11 （Ⅲ）121(,,,)n i j i j n S S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++. 固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k n S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,,k n =）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++ 2121()22n n x x x =+++-． 当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥， 所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n x x x -====，1112221n n n x x x --++====-，那么1(1)2S n =--，因此min 1(1)2S n =--． …………………………………………………………13分。
2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷+答案解析
2024年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()A. B. C. D.3.设等差数列的前n项和为，若，，则()A.60B.80C.90D.1004.已知抛物线C：的焦点为F，点P为C上一点.若，则点P的横坐标为()A.5B.6C.7D.85.已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.6.已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系xOy中，锐角以O为顶点，Ox为始边.将的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则()A. B. C. D.8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式，其中是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数其大小取决于多种其他因素，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率当，S不变，v比原来提高时，下列说法正确的是()A.若C不变，则P比原来提高不超过B.若C不变，则P比原来提高超过C.为使P不变，则C比原来降低不超过D.为使P不变，则C比原来降低超过9.已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点若，，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有个小球，第三层有个小球⋯⋯依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区高三二模数学(文)试卷 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2017.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知i 为虚数单位，则复数z =(1i)i +对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）已知x y >，则下列不等式一定成立的是 （A ）11x y< （B ）2log ()0x y -> （C ）33x y <（D ） 11()()22x y<（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是（A ）15 （B ）29 （C ） 31 （D ） 63（4）“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）将函数()cos 2f x x =图象上所有点向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则实数a 的最大值为 （A ）π8 （B ）π4 （C ）π2 （D ）3π4（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（A（B） （C ）3 （D）（7）已知过定点(20)P ，的直线l与曲线y =相交于Α，Β两点，Ο为坐标原点，当ΑΟΒ∆的面积最大时，直线l 的倾斜角为（A ）150 （B ）135 （C ）120 （D ）30（8）“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c （a b c >>且,,a b c *∈N ），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是(A)甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙都有可能第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合{}121x A x -=>错误！未找到引用源。
北京市朝阳区2019届高三第二次(5月)综合数学文试题含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（文史类） 2019.5一、选择题：（满分40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B A A C二、填空题：（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14答案 10 72- 12,210x y --=2x =-,5 (,2][0,1)-∞- 21960n n -+-,5 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为21cos 212sin 3A A =-=-， 所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a c A C=，解得32a =． …………………6分(Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=.解得5b =或3b =-（舍）.152sin 22ABC S bc A ∆==. …………………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x 甲，78+83+84+86+95+96==876x 乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个.则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p ==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=.将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩ 所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩ 因此156d a d -<<-.又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =，当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =,易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE 平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分（Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形，所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点，所以//OF BD ，所以CE OF ⊥．由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ．因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥.因为AO OF O =，所以CE ⊥平面AOF ．又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ．因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ．由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ，所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ．因为BM PM M =，所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . F OB C D A EPMN可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a >，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a （，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x-'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，； 令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a ，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥. 令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增. 由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减. 所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a<<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a 上单调递增,在1(,1)a 上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题2a λ=，222c λλλ=-=，所以椭圆C 离心率为222e λλ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x .令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y . 则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=. 所以2002001222x y x y =+≥，即0022x y ≤，则0012x y ≥. 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥. 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为2． ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）由220022102y x λλ=->，解得022x λλ-<<. ①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-.因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线.当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1F Q 的中点为M ，则(,)22m n M λ-,代入直线l 的方程，得： 2000240x m y n x λλ+--=.设直线1F Q 的斜率为k ，则002y n k m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，222y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-. 由022x λλ-≤≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-.因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。
2019 朝阳二模文(官方版)
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2019.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|12}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D）3. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）c a b >> （B ） c b a >> （C ）a b c >> （D ） b a c >> 4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 （A ）4（B ）83（C ）5215 （D ）3041055. 已知平面向量,a b 的夹角为2π3，且1,2==a b ，则+=a b （A ）3 （B（C ）7 （D6. 已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（A ）(),0-∞ （B ）()0,+∞ （C ）(),1-∞ （D ）()1,+∞8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 函数()2sin cos cos 2f x x x x =+的最小正周期为 .10. 已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是 .11. 圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是 .B12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 . 14. 设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①AB U =，A B =∅；② 若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉.当7A ∈时，1______B （填∈或∈/），此时B 中元素个数为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n *∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求3693...n a a a a ++++.侧视图正视图俯视图如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．17. （本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分； 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分.请直接写出x 与122x x +的大小关系.专家 ABCDE评分 10 10 8.8 8.9 9.70.5a 0.2789 10 评分O频率 组距 A DCB如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将△ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）. G 为AE 中点.（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.20. （本小题满分14分）已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R .（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值 范围.图1 图2GEDCA EDCBA北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）答案2019.5一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15． （本小题满分13分）解：（I ）因为{}n a 是等差数列，132412,18a a a a +=+=,所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,3d a ==.则3(1)33n a n n =+-⨯=,n *∈N . ………….7分（II）3693,,,...,na a a a 构成首项为3=9a ,公差为9的等差数列.则36931 (9)1)92n a a a a n n n +++++-⨯29=()2n n +. ………….13分16． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠． 因为60A ∠=︒，AD =BD =所以sin sin sin 604AD ABD A BD ∠=⨯∠=︒=．………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以cos cos(90)sin 4CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2CD =，BD =所以2462BC BC =+- 232=0BC BC -+， 解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． ………….13分17． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12． ………….3分 （Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q ．因为基本事件有AB ，AC ,AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE共10种，事件Q 的对立事件只有CD 1种， 所以19()11010P Q =-=. ………….9分 （Ⅲ）122x x x +<． ………….13分18． （本小题满分13分） 解： （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ． ………….4分 （Ⅱ）在直角三角形ADE中，易求AE =则AD DEDG AE⋅==． 所以四棱锥D ABCE -的体积的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯． …………8分（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．GEDC过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为//CF AE ， AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE , 所以//CF 平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CFPF F =，所以平面//CFP 平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以CP //平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =． ………….13分19． （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0)N .证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A，(1,B，D . 此时，直线BD的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+，所以1()2f x x'=+，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --=．………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 1(1)1()1m x f x m x x++'=++=， （1） 当10≥m +即1≥m -时，因为(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞．（2） 当10m +<，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+． 当101x m <<-+时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+． 综上，当1≥m -时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞；当1m <-时，()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+．………….9分（Ⅲ）因为2+11()(1)ln 2g x x m x x x=-+-， 所以322211(1)1()(1)=x m x x g x x m x x x-+--'=--+-. 令32()(1)1h x x m x x =-+--，2()32(1)1h x x m x '=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在()0,+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0;h x '<()0,x x ∈+∞时，()0,h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数.11 又因为(0)10,h =-<且()h x 在()1,2内存在零点,所以(1)0,(2)0.h h <⎧⎨>⎩ 解得124m -<<. 显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()0h x <，()1,2x x ∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20,h m =--≥又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点. 当14m ≥时，(2)0,(0)0,h h ≤<易得()1,2x ∈时,()0,h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点. …….14分。
北京市朝阳区高三数学第二次综合练习试题 文 (朝阳二模)新人教A版
数学试卷（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{0,1234,5}{12}U A ==，，，，，，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则()UA B =A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{124}，，D ．{0,4,5}2. 在复平面内，复数i2iz =-对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则A ．命题“⌝p 或q ”是假命题B ．命题“p 或q ”是假命题C ．命题“⌝p 且q ”是真命题D ．命题“p 且q ⌝”是真命题4. 已知△ABC 中，2AB =， 3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠= A ．150 B ．120 C ．60或120 D ．30或1505. 已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6 B．2 C ．32 D ． 346. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 A ．61B ．23C．32+ D．32+7. 给出下列命题：正视图 俯视图侧视图:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q R x ∃∈，使得2log (1)0x +<； :r 已知向量(1)λ，a，2(1),λb ，(11)-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-.其中所有真命题是A ．qB ．pC ．,p rD ．,p q 8. 已知函数22, ,()42, x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象与直线y x =恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．[1,2]-D ． [2,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9. 函数2cos y x =，[0,2]x ∈π的单调递增区间是 .10. 运行如图所示的程序框图，输出的结果是 .11. 直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，若AB =则实数k 的值是 . 12. 若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x ()x *∈N 件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；（第10题图）当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）14. 在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，⋅⋅⋅为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上.15. (本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x m =-+()m R ∈的图象过点(,0)12M π.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos cos 2cos c B b C a B +=，求()f A 的取值范围．16.（本小题满分13分）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生.已知该班希望生有2名.（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；（Ⅱ）当a =11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；（Ⅲ）从分数在(70,90)的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率.17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）求证：⊥BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … …（Ⅲ）试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.18.（本小题满分14分）设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．19.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ,N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围.20.（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a ，满足01==n a a ，且当n k ≤≤2（k ∈*N ）时，1)(21=--k k a a .令12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能取值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学试卷答案（文史类） 2012.5一、选择题：二、填空题：三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1()2(cos 21)22f x x x m =-++1sin(2)62x m π=--+． ……3分 由已知点(,0)12M π在函数()f x 的图象上，所以1sin(2)01262m ππ⋅--+=， 12m =. ………5分 (Ⅱ) 因为cos cos 2cos c B b C a B +=，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin()2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =. ………7分 因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =， ………8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ………10分 所以2π03A <<，π26A -∈7(,)66ππ-， ………11分 所以()f A =sin(2)6A π-∈1(,1]2-. ………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A ，则4057()408P A -==. 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78. ………3分 （Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B ，则当11a 时，成绩优秀的学生人数为40511159---=，所以9()40P B =.答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940. ………7分（Ⅲ）设“从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C .记这5名学生分别为a ,b ,c ,d ,e ，其中希望生为a ,b .从中任选2名，所有可能的情况为：ab , ac , ad , ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种. ………9分 其中恰有1名希望生的情况有ac , ad , ae ，bc ，bd ，be ，共6种. ………11分 所以63()105P C ==. 答：从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35. ………13分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . ………2分 由已知得⊥AB BC 且=EA AB A ， 所以⊥BC 平面EABF . ………3分 又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作MN BC ⊥,垂足为N ，连结FN ,则MN //AB . .………5分又14CM AC =,所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =,所以EF //MN ..………6分且EF MN =,所以四边形EFNM 为平行四边形.………7分 所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ,EM ⊄平面FBC ,所以//EM 平面FBC . ………9分 （Ⅲ）直线AF 垂直于平面EBC . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1AB AE EF ，90BAE AEF ∠=∠=， 所以1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠. 设AFBE P =,因为90PAE PAB ∠+∠=,故90PBA PAB ∠+∠=则90APB ∠=,即⊥EB AF . ………12分又因为=EBBC B ，所以⊥AF 平面EBC . ………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, . ………1分222()a a f x x x'=-. ………2分根据题意，(1)23f a '=-，所以2223a a a -=-，即2210a a -+=，解得1a =. .………4分（Ⅱ）2222(2)()a a a x a f x x x x -'=-=.（1）当0a <时，因为0x >，所以20x a ->，(2)0a x a -<，所以()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ………6分 （2）当0a >时，若02x a <<，则(2)0a x a -<，()0f x '<，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减； 若2x a >，则(2)0a x a ->，()0f x '>，函数()f x 在(2,)a +∞上单调递增. …8分 综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增. ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()ln f x x x=+. 设()()(3)g x f x x =--，即2()ln 3g x x x x=++-. 2222122(1)(2)()1(0)x x x x g x x x x x x +--+'=-+==>. ………10分当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：1x =是()g x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()g x 的最小值点.可见()(1)0g x g ==最小值， .………13分 所以()0g x ≥，即()(3)0f x x --≥，所以对于定义域内的每一个x ，都有()3f x x ≥-. ………14分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设知1212||||||EF EF F F +=>,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为1F ，2F，长轴长为设其方程为222210x y (a b )a b+=>>则1c =，a =1b =，所以C 的方程为2212x y +=. ………5分 （II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-= . 2880k ∆=+>. ………6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+ ..………7分 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Qky k x k =-=-+，即2222(,)2121k kQ k k -++. ………8分 因为0k ≠，所以直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， ……9分 令0x =解得，211212P k y k k k==++， .………10分当0k >时，因为12k k+≥0P y <≤； .………12分当0k <时，因为12k k+≤-0P y ≤<. .………13分综上得点P 纵坐标的取值范围是2[,0)(0,]44-. .………14分 （20）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ； （2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ； （4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ； （6）01010,,,,.--此时5()=2S A -.所以，)(5A S 的所有可能取值为：4-，2-，0，2，4． .………5分（Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），211a a c -=， 322a a c -=， …11n n n a a c ---=， 所以1121n n a a c c c -=++++． ………7分因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大，此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．.……10分 证明如下： 假设121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤，112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =． 所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221122(1)(1)2[()()()]44t t n n n m n m n m --=--+-+⋅⋅⋅+-<．所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． .………13分。
北京市朝阳区高三数学第二次(5月)综合练习试题文
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学试卷（文史类） 2016.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}0,1,2A =，{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ． {}0,1D ．{}12. 复数1+iiz =（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设x ∈R ,且0x ≠,“1()12x>” 是“11x<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若m ⊥l ，n ⊥l ， 则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5. 同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是A BC. 2D.7.设函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则实数a 的取值范围是A ．[11)2, B ．0,1（） C ．10]2(, D ．1,（）+∞8.在边长为1的正方形ABCD 中，已知M 为线段AD 的中点，P 为线段AD 上的一点，若线段=+BP CD PD ，则A ．34MBA PBC ∠=∠ B ．23MBA PBC ∠=∠ C. 12MBA PBC ∠=∠ D ．13MBA PBC ∠=∠第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图，输出的S = .正视图侧视图俯视图10. 已知向量(1,2)=a ，向量(2,)m =b ，若+a b 与a 垂直，则实数m 的值为 ．11.已知过点(1,1)M 的直线l 与圆22(1)(2)5x y ++-=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a = ；直线l 的方程为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线l 的方程是 ；若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线l 交于,M N 两点，且MON ∆的面积为8，则此双曲线的离心率为 .13. 已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形，则实数k 的取值范围是 ．14. 为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额），则()f n = （用n 表示）；从第 年开始盈利.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．16. （本小题满分13分）某城市要建宜居的新城，准备引进优秀企业进行城市建设. 这个城市的甲区、乙区分别 对6个企业进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值；（Ⅱ）规定85分以上（含85分）为优秀企业.若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.17. （本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的首项1a 和公差d (0)d ≠均为整数，其前n 项和为n S ． (Ⅰ)若11=a ，且2a ，4a ，9a 成等比数列，求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)若对任意n *∈N ，且6n ≠时，都有6n S S <，求1a 的最小值．18. （本小题满分14分）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，,O F 分别为,BE DE 的中点．（Ⅰ）求证：AO CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得//BP 平面AOF ?若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围.FOB CDAE20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，000(,)(0)P x y y ≠是椭圆:C 222212x y λλ+=(0)λ>上的点，过点P 的直线l 的方程为002212x x y yλλ+=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当1λ=时，设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点 2,,Q P F 三点共线.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学答案（文史类） 2016.5一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）[0,1)（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 在ABC∆中，因为sin sina cA C=，解得a=…………………6分cos A=.由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，得22150b b--=.解得5b=或3b=-（舍）.…………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）79+84+88+89+93+95==886x甲，78+83+84+86+95+96==876x乙. …………………4分（Ⅱ）甲区优秀企业得分为88,89,93,95共4个，乙区优秀企业得分为86,95,96共3个.从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件为（88,86），（88,95），（88,96），（89，86），（89,95），（89,96），（93,86），（93,95），（93,96）（95,86）（95,95）（95,96）共12个.其中得分的绝对值的差不超过5分有（88,86），（89，86），（93,95），（93,96），（95,95），（95,96）共6个.则这两个企业得分差的绝对值不超过5分的概率61122p==.………13分17. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)因为2a ，4a ，9a 成等比数列，所以9224a a a ⋅=. 将11=a 代入得 )81()1()31(2d d d +⋅+=+, 解得0=d 或 3=d .因为数列}{n a 为公差不为零的等差数列，所以3=d .数列}{n a 的通项公式1(1)332n a n n =+-⋅=-.……………………………6分（Ⅱ）因为对任意n *∈N ，6n ≠时，都有6n S S <，所以6S 最大，则0<d ，6765,.S S S S >⎧⎨>⎩所以760,0.a a <⎧⎨>⎩则1160,50.a d a d +<⎧⎨+>⎩因此156d a d -<<-. 又1a ，d ∈Z ，0<d ，故当1-=d 时， 156a <<， 此时1a 不满足题意.当2-=d 时，11012a <<， 则111a =， 当3-=d 时， 11518a <<,116,17a =, 易知3-≤d 时,116a ≥，则1a 的最小值为11. ………………………………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABE ∆为等边三角形，O 为BE 的中点，所以AO BE ⊥．又因为平面ABE ⊥平面BCDE ， 平面ABE平面BCDE BE =，AO ⊂平面ABE ，所以AO ⊥平面BCDE ． 又因为CD ⊂平面BCDE ，所以AO CD ⊥．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）连结BD ，因为四边形BCDE 为菱形， 所以CE BD ⊥．因为,O F 分别为,BE DE 的中点， 所以//OF BD ，所以CE OF ⊥． 由（Ⅰ）可知，AO ⊥平面BCDE ． 因为CE ⊂平面BCDE ，所以AO CE ⊥. 因为AOOF O =，所以CE ⊥平面AOF ．又因为CE ⊂平面ACE ，所以平面AOF ⊥平面ACE ．…………………………………………………9分 （Ⅲ）当点P 为AC 上的三等分点（靠近A 点）时，//BP 平面AOF ．证明如下：设CE 与,BD OF 的交点分别为,M N ，连结AN ,PM ． 因为四边形BCDE 为菱形，,O F 分别为,BE DE 的中点，所以12NM MC =． 设P 为AC 上靠近A 点的三等分点， 则12AP NM PC MC ==，所以//PM AN ． 因为AN ⊂平面AOF ，PM ⊄平面AOF ，所以//PM 平面AOF ． 由于//BD OF ，OF ⊂平面AOF ，BD ⊄平面AOF ， 所以//BD 平面AOF ，即//BM 平面AOF ． 因为BMPM M =，所以平面//BMP 平面AOF ．因为BP ⊂平面BMP ，所以//BP 平面AOF . 可见侧棱AC 上存在点P ，使得//BP 平面AOF ，且12AP PC =． …………………………………………………………………………14分19. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=. （1） 当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，FOBC DAE P MN令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. （2） 当01a <<时，11a>, 令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为 (01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，1+)a ∞（，，单调递减区间为11)a（，. （3） 当1a =时，22(1)()=0x f x x -'≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为0+)∞（，. （4） 当1a >时，101a<<, 令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，则函数()f x 的单调递增区间为 10)a（，，1+)∞（，；令()0f x '<，解得11x a <<，则函数()f x 的单调递减区间为1(1)a，. 所以函数()f x 的单调递增区间为10)a （，，1+)∞（，，单调递减区间为1(1)a，. …………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >.222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，1a ≥.令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤，函数()f x 在(1,e )上单调递增.由()0f x '<得，11e x ≤<,函数()f x 在(1,1e)上单调递减.所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件； 若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a<<或1e x <<； 由()0f x '<得，11x a <<. 函数()f x 在(1,e ),11(,)e a上单调递增,在1(,1)a上单调递减. min 1()min{(),(1)}ef x f f =，依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >. ……………………………………………13分20. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)依题a =，c λ=，所以椭圆C离心率为2e ==.……………………………………………3分 （Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由0012x x y y +=，得02x x =，则02(,0)A x . 令0x =，由0012x x y y +=，得01y y =，则01(0,)B y . 则OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=.所以220012x y =+≥，即00x y ≤，则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥当且仅当22002x y =，即001,2x y =±=±时，O A B ∆面积的最小值为 ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由2222102y x λλ=->，解得0x <<. ①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线. 当(0,)P λ-时，也满足.②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1FQ 的中点为M ，则(,)22m nM λ-,代入直线l 的方程，得：2000240x m y n x λλ+--=.设直线1FQ 的斜率为k ，则002y nk m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.由2000000240220x m y n x y m x n y λλλ⎧+--=⎨-+=⎩，解得22002200244x x m y x λλλ+=-+，20002200484x y y n y x λλ+=+. 所以22200000222200002448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++. 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，222y λ=代入22002200244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线.当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为200F P y k x λ=-.由0x ≤，02x λ≠-.所以直线2F Q 的斜率为220002220000022222200000022004844824248224F Qx y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλλ+++==++---+ 20000000022222000000482(2)4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ+++===--+- 000000(2)()(2)y x y x x x λλλλ+==-+-. 因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分。
北京市朝阳区高三数学第二次(5月)综合练习试题 文
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学试卷（文史类） 2016.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ． 错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
2. 复数1+iiz =错误!未找到引用源。
（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设x ∈R ,且0x ≠,“1()12x>” 是“11x<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若m ⊥l ，n ⊥l ， 则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5. 同时具有性质:“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是 A ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26y x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭开始2,1k S ==6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是A ．6B ．5 C. 2 D.27.设函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则实数a 的取值范围是A ．[11)2, B ．0,1（） C ．10]2(, D ．1,（）+∞8.在边长为1的正方形ABCD 中，已知M 为线段AD 的中点，P 为线段AD 上的一点，若线段=+BP CD PD ，则A ．34MBA PBC ∠=∠ B ．23MBA PBC ∠=∠ C. 12MBA PBC ∠=∠ D ．13MBA PBC ∠=∠第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.执行如图所示的程序框图，输出的S = .正视图侧视图俯视图 111 110. 已知向量(1,2)=a 错误!未找到引用源。
北京朝阳区高三年级第二次综合练习
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）2019.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|12}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D）3. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）c a b >> （B ） c b a >> （C ）a b c >> （D ） b a c >> 4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 （A ）4（B ）83（C ）5215 （D ）3041055. 已知平面向量,a b 的夹角为2π3，且1,2==a b ，则+=a b （A ）3 （B（C ）7 （D6. 已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（A ）(),0-∞ （B ）()0,+∞ （C ）(),1-∞ （D ）()1,+∞8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 函数()2sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期为 .10. 已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p = ；点M 到抛物线C 的焦点的距离是 .11. 圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是 .B12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 . 14. 设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①AB U =，A B =∅；② 若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉.当7A ∈时，1______B （填∈或∈/），此时B 中元素个数为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，已知132412,18a a a a +=+=,n *∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求3693...n a a a a ++++.侧视图正视图俯视图如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．17. （本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下图.（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （Ⅱ）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x 作为该选手的最终得分； 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分.请直接写出x 与122x x +的大小关系.0.5a 0.2789 10 评分O频率 组距 A DCB如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将△A D E 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）. G 为AE 中点.（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.20. （本小题满分14分）已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R .（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值 范围.图1 图2GEDCA EDCBA北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文）答案2019.5一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15． （本小题满分13分）解：（I ）因为{}n a 是等差数列，132412,18a a a a +=+=,所以112212,2418.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,3d a ==.则3(1)33n a n n =+-⨯=,n *∈N . ………….7分（II）3693,,,...,n aa a a 构成首项为3=9a ,公差为9的等差数列.则36931 (9)1)92n a a a a n n n +++++-⨯29=()2n n +. (13)分 16． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠． 因为60A ∠=︒，AD =BD =所以sin sin sin 604AD ABD A BD ∠=⨯∠=︒=．………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin 4ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以cos cos(90)sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2CD =，BD =所以2462BC BC =+-，即 232=0BC BC -+， 解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =． ………….13分17． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12． ………….3分 （Ⅱ）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q ．因为基本事件有AB ，AC ,AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE共10种，事件Q 的对立事件只有CD 1种， 所以19()11010P Q =-=. ………….9分 （Ⅲ）122x x x +<． ………….13分18． （本小题满分13分） 解： （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ． ………….4分 （Ⅱ）在直角三角形ADE中，易求AE =则AD DEDG AE⋅== 所以四棱锥D ABCE -的体积的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯． …………8分（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．GEDC过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为//CF AE ， AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE , 所以//CF 平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CFPF F =，所以平面//CFP 平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以CP //平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =． ………….13分19． （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0)N .证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A，(1,B，D . 此时，直线BD的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+， 所以1()2f x x'=+，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --=．………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 1(1)1()1m x f x m x x++'=++=， （1） 当10≥m +即1≥m -时，因为(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞．（2） 当10m +<，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+． 当101x m <<-+时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+． 综上，当1≥m -时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞；当1m <-时，()f x 的单调增区间为1(0,)1m -+，减区间为1(,)1m -+∞+．………….9分（Ⅲ）因为2+11()(1)ln 2g x x m x x x=-+-， 所以322211(1)1()(1)=x m x x g x x m x x x-+--'=--+-. 令32()(1)1h x x m x x =-+--，2()32(1)1h x x m x '=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在()0,+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0;h x '<()0,x x ∈+∞时，()0,h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数.又因为(0)10,h =-<且()h x 在()1,2内存在零点,所以(1)0,(2)0.h h <⎧⎨>⎩ 解得124m -<<. 显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()0h x <，()1,2x x ∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20,h m =--≥又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点. 当14m ≥时，(2)0,(0)0,h h ≤<易得()1,2x ∈时,()0,h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点. …….14分。