2019-2020学年高中数学最新学案 第1章 第2课时 正弦定理(2)(教师版) 新人教A版必修5.doc
高中数学正弦定理新版教案
高中数学正弦定理新版教案课题：正弦定理教学目标：1. 了解和掌握正弦定理的概念和计算方法；2. 能够运用正弦定理解决相关实际问题；3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
教学重点：1. 正弦定理的概念和计算方法；2. 正弦定理在解决问题中的应用。
教学难点：1. 掌握正弦定理的推导过程；2. 能够灵活运用正弦定理解决不定三角形问题。
教学准备：1. 教师准备课件和相关练习题；2. 学生准备相关工具和纸笔。
教学过程：一、导入（5分钟）通过展示一个三角形和相应的角度和边长，引导学生思考如何计算未知边长的问题，引出正弦定理的概念。
二、讲解正弦定理（10分钟）1. 讲解正弦定理的概念和公式表达；2. 演示如何利用正弦定理计算未知边长；3. 带领学生一起推导正弦定理的公式。
三、练习与思考（15分钟）1. 提供几个相关的练习题让学生独立解决；2. 引导学生思考如何灵活运用正弦定理解决不定三角形问题；3. 帮助学生解决遇到的问题和困惑。
四、拓展与应用（10分钟）1. 给学生提供一些实际问题，让他们运用正弦定理解决；2. 引导学生思考正弦定理在实际生活中的应用。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课的重点和难点；2. 让学生反思本节课的学习收获和不足之处。
六、作业布置（5分钟）布置相关练习题作业，巩固学生对正弦定理的理解和应用。
教学反思：本节课教师通过导入引出问题，然后讲解正弦定理，引导学生独立解决问题并进行拓展应用，最后总结和布置作业。
通过这样的教学流程，可以提高学生的学习兴趣和能力，让他们更好地掌握和运用正弦定理。
高中数学《正弦定理》学案2 新人教A版必修5
随堂手记✂ 错题备忘录： 本节课重、难点及做错题目备忘：§1.1.1正弦定理✂ 学习目标1、 理解并掌握利用正弦定理解三角形的两种题型2、掌握利用正弦定理完成边角互化。
✂ 新课预习：思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角。
观察课件，由此猜想任意三角形当中，边与角的数量关系， 你能证明你的猜想吗？ ★ 试一试：1、ABC ∆中45,30,10A C c ===，求,B a 及b 的值。
变式练习：ABC ∆中75,45,32A B c ===.2、ABC ∆中45b c B ===，解三角形.练习：ABC ∆中45b c B ===，解三角形✂ 新课导学：★ 探究--------正弦定理★ 对定理的理解： （1）（2）✂ 总结提升★ 利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？例3、ABC ∆中，cos cos a bA B=，则ABC ∆的形状为（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形 变式练习：ABC ∆中，cos cos a A b B =， 则ABC ∆的形状为______★ 小 结✂ 目标检测1、ABC ∆中，8,60,75,______a B C b ====2、ABC ∆中，2,45,_____a b B c ====3、ABC ∆中，22tan tan Ba Ab =，则ABC ∆的形状为_____4、ABC ∆中，lg lg lgsin a c B -==-B 为锐角， 试判断此三角形的形状。
则BC边的长为。
高二数学必修5第1章第 2课时学案
高二数学必修5第1章第 2课时学案
1.1正弦定理（二）
［学习目标］
初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
［自学质疑］范围：课本P 9～11。
1．什么是正弦定理？它可以解决什么类型的斜三角形？
2．练习：（1）在ΔABC 中，已知A=300，b=26,a=x,若三角形有两解，求x 的范围．
（2）在ΔABC 中，已知,45,30,26600==+=+B A b a 求S c ,．
3．什么叫仰角？什么叫俯角？尝试解决例3并思考此种类型的测量问题如何解决？
4．尝试解决例4并思考正弦定理在判断三角形形状中的作用，解决下列问题： 在ΔABC 中，C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2
222=+，试判断ΔABC 形状．
的外角平分线交BC的延长线于D，此等式是5．尝试解决例5并思考:在ΔABC中，A
否成立？如成立，请你给出证明．
P练习题吗？动动手有问题与同学或老师交流．
6.你能解决教材
10
[矫正反馈]
P3,4,5,6,7.
1．教材习题
11
2．同步导学第2课时．。
2019-2020学年高中数学 正弦定理教案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学 正弦定理教案 新人教A 版必修5●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程Ⅰ.课题导入: 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢?早在1671年,两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为385,400km .他们是怎样测出两者之间距离的呢? Ⅱ.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin b B c =，又s i n 1cC c==, A则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边BC 上的高是AD ，根据任意角三角函数的定义，有AD=csinB=bsinC,则sin sin cb=， A同理可得，sin sin abAB =c b 从而sin sin abAB=sin cC=B D a C(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学正弦定理教案
高中数学正弦定理教案正弦定理是解决三角形中任意一边与角度的关系的重要定理之一。
通过学习正弦定理，学生可以更深入地理解三角形的性质，提高数学运用能力。
本教案将结合详细的教学步骤和示例，帮助学生掌握正弦定理的应用。
一、教学目标：1. 了解正弦定理的概念和基本公式。
2. 能够灵活运用正弦定理解决相关问题。
3. 提高分析和推理能力，培养数学思维。
二、教学重点：1. 正弦定理的公式和推导过程。
2. 在三角形中应用正弦定理解决实际问题。
三、教学步骤：1. 引入新知识（10分钟）教师引导学生回顾三角函数的基本概念，引出正弦函数，并提出正弦定理的概念。
通过引入一个实际案例，向学生展示正弦定理的应用场景，激发学生学习的兴趣。
2. 讲解正弦定理（20分钟）教师详细讲解正弦定理的定义和公式，并通过几何图形向学生展示正弦定理的推导过程。
重点讲解正弦定理在不同情况下的应用方法，帮助学生理解定理的具体用途。
3. 练习与巩固（30分钟）学生通过课堂练习巩固所学内容，包括计算三角形内角和、边长的关系等类型的题目。
通过组织学生进行讨论和答疑，加深学生对正弦定理的理解和掌握。
4. 拓展应用（20分钟）教师给学生提供一些拓展应用题目，要求学生将正弦定理与其他数学知识结合起来，解决更复杂的问题。
通过拓展应用，激发学生的思维能力，培养他们独立解决问题的能力。
5. 课堂总结（10分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，强调正弦定理在解决实际问题中的重要性。
鼓励学生勤加练习，加深对正弦定理的理解，做到知识灵活运用。
四、教学案例：已知三角形ABC，AB=5cm，AC=7cm，角A=60°，求BC的长度。
解：根据正弦定理，有sinA/BC=sinB/AC代入已知数据，得 sin60°/BC=sinB/7sin60°=√3/2，再根据三角函数正值在0-90°范围内的性质，得sinB=sin120°=√3/2代入上式，可得√3/2/BC=√3/2/7解得BC=5cm五、教学反思：通过本节课的教学，发现学生在初次接触正弦定理时，很容易混淆各个角度和边长之间的关系，需要通过大量练习加以巩固。
高中数学正弦定理教案
高中数学正弦定理教案高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与中学学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系。
在此之前，同学已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中很多测量问题的工具。
因此娴熟掌控正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中敏捷变通。
二、教学目标依据上述教材内容分析，考虑到同学已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌控正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
技能目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌控多种证明方法。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。
三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
四、教法分析依据本节课内容的特点，同学的认识规律，本节知识遵循以老师为主导，以同学为主体的指导思想，采纳与同学共同探究的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发同学学习数学的新奇心和求知欲，让同学的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌控，突破重难点。
即指导同学掌控“观测——猜想——证明——应用”这一思维方法。
同学采纳自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使同学积极参加数学学习活动，培育同学的合作意识和探究精神。
五、教学过程本节知识教学采纳发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。
2019-2020学年高中数学 1.1正弦定理(2)导学案苏教版必修5.doc
2019-2020学年高中数学 1.1正弦定理（2）导学案苏教版必修5【学习目标】1、会利用正弦定理证明简单三角形问题；2、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；3、会利用正弦定理判断三角形解的个数。
【学习重点】正弦定理应用【预习内容】a sin A ＝b sin B ＝csin C 已知两角一边或已知两边和其中一边的对角求解三角形中其它的量.【新知学习】1、在Rt △ABC 中，斜边c 等于Rt △ABC 外接圆的直径，故有a sin A ＝b sin B ＝c sin C=2R ，这一关系对于任意三角形也能成立吗？【新知深化】1、a sin A ＝b sin B ＝csin C=2R 2、如何利用正弦定理解决两边及邻角问题.评述：(1)要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述问题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.【新知应用】例1、在△ABC 中，已知a ＝28，b ＝20，A ＝120°，求sin B 和c例2、根据下列条件解三角形：（1）已知60,1b B c =︒=；（2）已知45,2c A a ==︒=例3. 已知135cos ,53sin ==B A ，求C cos ；【新知回顾】 通过本节学习，我们一起研究了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.【教学反思】第2课时：正弦定理(2)课后作业1. （1）△ABC 中,2,4a b A π==，求B ，c ；（2）△ABC 中，6,6a b A π===，求B ，c ；2.根据下列条件解三角形：（1）b ＝13，a ＝26，B ＝30°；（2）014,60a b B ===3. 在△ABC 中，已知060,B =且2b =，则此三角形的外接圆半径为 。
1_1正弦定理(2学案)
1.1正弦定理（2）编写： 行政审查：【教学目标】正弦定理及其变式的结构特征和作用，能使用正弦定理解决实际问题．【教学重点】解决一些与测量和几何计算相关的实际问题．【教学难点】正弦定理的简单应用．【教学过程】一、引入：1．正弦定理： ____________________===________．2．正弦定理的几个变形：（1）=a ，=b ，=c ．（2）=A sin ，=B sin ，=C sin ．（3）=c b a ::___________________，=C B A sin :sin :sin ．3．在解三角形时，常用的结论：（1）在ABC ∆中，A >B ⇔_________⇔_____________； （2）C B A sin )sin(=+．4．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝4，∠B ＝60°．问题1：△ABC 的高线AD 为多少？ 问题2：△ABC 的面积为多少？二、新授内容：1、三角形面积公式：（1）S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)． （2）S ＝12ab sin C ＝ ＝ . 例1．在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝2，AC ＝2，求△ABC 的面积．【变式拓展】在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．生命因进取而辉煌，青春因高考而壮美！第 2 页 共 4 页 例2．在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断三角形ABC ∆的形状．【变式拓展】在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，试判断△ABC 的形状．例3．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC=．例4．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度（精确到1m ）．三、课堂反馈：1．在ABC ∆中，已知2cossin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc 的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）．4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC +=∆，求C B A ，，．6．根据以下条件，判断ABC ∆的形状：（1）22tan tan a B b A =； （2）B b A a cos cos =．四、课后作业：1．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ ． 2．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝ ．3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ ． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝ ．5．在ABC ∆中，已知2cossin sin 2A C B =，则ABC ∆的形状是 ．6．在ABC ∆中，已知4=a ，5=b ，ABC ∆的面积为35，则=C ．7．在ABC ∆中，已知sin cos cos A B C a b c==，试判断三角形ABC ∆的形状8．为了测量校园里旗杆CD 的高度，学生们在,A B 两处测得C 点的仰角分别为︒30和︒45，测得AB 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？生命因进取而辉煌，青春因高考而壮美！第 4 页 共 4 页9．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？10．为了在一条河流上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A 、B ，要测算出A 、B 两点间的距 离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得45BC m =，75B ∠=，45C ∠=，试计算AB 的长．。
教案高中数学正弦定理
教案高中数学正弦定理
一、教学目标
1. 理解正弦定理的概念，能够准确地表述正弦定理；
2. 能够应用正弦定理解决实际问题；
3. 培养学生的数学分析和解决问题的能力。
二、教学重点
1. 掌握正弦定理的表述和使用方法；
2. 能够应用正弦定理解决实际问题。
三、教学内容
1. 正弦定理的概念及表述；
2. 正弦定理的应用。
四、教学过程
1. 引入：引导学生回顾三角函数的概念，了解正弦函数的定义和性质；
2. 讲解：介绍正弦定理的概念和表述，引导学生通过几何图形理解正弦定理；
3. 演示：通过一个具体的例子，演示如何应用正弦定理解决三角形的边长或角度问题；
4. 练习：让学生自主练习，巩固正弦定理的应用；
5. 拓展：提供一些拓展题，引导学生更深入地理解和应用正弦定理；
6. 总结：总结正弦定理的基本概念和应用方法，强化学生的理解和记忆。
五、课堂小结
本节课主要介绍了正弦定理的概念和应用方法，通过学习正弦定理可以帮助学生更好地理解三角形的性质和关系，提高解决三角形相关问题的能力。
六、布置作业
1. 完成课堂练习；
2. 自主选择一些相关的题目进行练习，加深对正弦定理的理解和掌握。
七、教学反思
本节课通过引导学生理解正弦函数的性质和正弦定理的应用，使学生更清晰地认识到三角形的结构和性质，培养了解决问题的能力。
在教学过程中，需要适当调整教学方法，让学生更好地掌握知识点。
高中数学最新学案 第1章 第2课时 正弦定理(2)(教师版) 新人教A版必修5
听课随笔 第2课时 正弦定理（2）【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标； 2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22（3）Rabc s 4= 【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ．【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ； （2）求三角形的高。
2019-2020学年新人教A版必修一 正弦、余弦函数的性质(二) 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 正弦、余弦函数的性质（二） 教案教学目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质．2、过程与能力目标通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。
教学过程：一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
2.单调性从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z练习1。
2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1.1正弦定理(第2课时)正弦定理(2)学案新人教A版必修5
第2课时 正弦定理(2)1．正弦定理及其变形 (1)定理内容：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为外接圆半径)． (2)正弦定理的常见变形：①sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； ②asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； ③a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； ④sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R．思考：在△ABC 中，已知a cos B ＝b cos A ．你能把其中的边a ，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.2．对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b 和A 解三角形为例说明[提示] sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解． 3．三角形的面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12acsin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长．(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长．1．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形B [由正弦定理可得sin A ＝sinC ⇒a 2R ＝c2R，即a ＝c ，所以△ABC 为等腰三角形．] 2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( )A ．b cB ．sin B sin AC ．sin CcD ．csin CC [由正弦定理可得sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，故选C.]3．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解D ．无法确定A [由b <a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．] 4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为________．45° [根据正弦定理知sin A a ＝sin B b，结合已知条件可得sin B ＝cos B ，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.]出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.[解] (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°， 讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， ∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ， ∴三角形有两解． 由正弦定理得 sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B 1＝60°，B 2＝120°. 当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．1．满足B ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，则k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12C ．k ≥12D ．0＜k ≤12或k ＝8 3D [已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC ＜BC sin B ，即12＜k sin 60°，即k ＞83时，三角形无解；当AC ＝BC sin B ，即12＝k sin 60°，即k ＝83时，三角形有一解；当BC sin B ＜AC ＜BC ，即32k ＜12＜k ，即12＜k ＜83时，三角形有两解；当0＜BC ≤AC ，即0＜k ≤12时，三角形有一解．综上，0＜k ≤12或k ＝83时，三角形有一解．]思路探究：根据C ＝π4及cos B 2＝255.利用sin A ＝sin(B ＋C )求出sin A 的值．然后利用正弦定理a sin A ＝c sin C 求出c 值．利用S ＝12ac sin B 求解．[解] ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35. ∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin B ＝45. ∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝csin C，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S ＝12ab ·sin C ＝12ac ·sin B ＝12bc ·sin A .2．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________．(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．(1)23 (2)32或34 [(1)∵cos C ＝13，∴C ∈(0°，90°)，∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝3×121＝32，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.]1．你能用坐标法证明S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 吗？[提示] (以已知a ，b ，C 为例)以△ABC 的顶点C 为原点，射线CB 的方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )．过点A 作BC 边上的高AE ，则根据三角函数的定义可得AE ＝b sin C ，所以△ABC 的面积S ＝12·BC ·AE ＝12·a ·b sin C ＝12ab sin C . 同理可得S ＝12bc sin A ，S ＝12ac sin B .故S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示] (1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π⇒sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；A ＋B2＝π2－C 2⇒sin A ＋B 2＝cos C2. (2)若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，A ＋C >π2，B ＋C >π2；A ＋B >π2⇔A >π2－B ⇔sin A >cosB ，cos A <sin B .【例3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝－sin 2C .(1)求C 的大小；(2)若c ＝23，A ＝π6，求△ABC 的面积．思路探究：(1)由m ·n ＝－sin 2C ，利用三角恒等变换求出C 的大小； (2)由正弦定理可得b 的大小，利用三角形的面积公式求解． [解] (1)由题意，m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝－sin 2C ， 即sin(A ＋B )＝－sin 2C ，sin C ＝－2sin C cos C . 由0<C <π，得sin C >0. 所以cos C ＝－12.C ＝2π3.(2)由C ＝2π3，A ＝π6，得B ＝π－A －C ＝π6.由正弦定理，b sin B ＝c sin C ，即b sin π6＝23sin2π3，解得b ＝2.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×23×sin π6＝ 3.(变条件，结论)将例题中的条件“m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝－sin 2C ”换为“若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0”求角B 的大小并判断△ABC 的形状．[解] ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0， ∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0. ∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0. 解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b . 由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3.化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．1．会用正弦定理的四个变形(1)(角化边)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(2)(边化角)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (3)(边角互换)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)(比例的性质)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C.2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件(1)在△ABC 中，a ＋b ＞c ，|a －b |＜c ；A ＞B ⇔sin A ＞sin B ，A ＞B ⇔cos A ＜cos B ；a ＞b ⇔A ＞B ；sin A ＋sin B ＞sin C .(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π⇒sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；A ＋B 2＝π2－C2⇒sinA ＋B2＝cos C2. (3)若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B ＞π2，A ＋C ＞π2，B ＋C ＞π2；A ＋B ＞π2⇔A ＞π2－B ⇔sin A ＞cos B ，cos A ＜sin B .1．判断正误(1)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立． ( )(2)在△ABC 中，若∠A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (2)由正弦定理可知asin A ＝b sin B ，即2sin 30°＝23sin B ，所以sin B ＝32，则B ＝60°或120°，又因为b >a ，所以B >A ，故B ＝60°或120°.(3)当b sin A <a <b 时，△ABC 有两解．2．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数多B [因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为1.]3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．3 3C ．6D ．6 3B [由S ＝12ab sinC ＝12×4×3×32得S ＝33，故选B .]4．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________，a ＝________．255210 [由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.] 5．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．[解] 由条件得a c ＝sin A sin C ＝15，∴sin A ＝15sin C .同理可得sin B ＝35sin C .∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C ＝－15.。
2019-2020年高一数学正弦定理、余弦定理教案第一课时 人教版
2019-2020年高一数学正弦定理、余弦定理教案第一课时人教版一、教学目标1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、教学重点正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用；教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定．三、教学准备直尺、投影仪．四、教学过程1．设置情境师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系：生：Rt 中有师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？生：在直角三角形ABC中，。
师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）．2．探索研究（1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子．生：如图，在锐角中，过A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为与的夹角为。
由向量的加法可得对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得∴师：当为钝角三角形时，设，如图，过点A作与垂直的向量j，则j与的夹角为，j与的夹角为，同样可证得师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题？生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
（2）例题分析例1 在中，已知，求b（保留两个有效数字）解：∵且∴例2 在中，已知，求。
解：由得∵中∴A为锐角∴例3 在中，，求的面积S。
解：首先可证明：。
这组结论可作公式使用。
其次求b边∴由正弦定理，∴3．演练反馈（1）在中，一定成立的等式是（）A．B．C．D．（2）在中，若，则是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形（3）在任一中，求证参考答案：（1）C；（2）D；（3）证：由于正弦定理：令代入左边得：左边＝＝右边4．总结提炼（1）三角形常用公式：；；正弦定理以及下节将要学习的余弦定理。
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听课随笔 2019-2020学年高中数学最新学案 第1章 第2课时 正弦定理（2）
（教师版） 新人教A 版必修5
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正弦定理→测量问题中的应用
学习要求
1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC 中，===C
c B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=
（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，R
c C 2sin = 2．三角形的面积公式：
（1）C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 2
1 （2）s=C B A R sin sin sin 22
（3）R
abc s 4= 【精典范例】
【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
解△ＡＢＤ．
【解】
过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．
在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．
在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．
答 山的高度约为８１１ｍ．
【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？
（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）
分析：本题可以转
化成：（1）解三角形，确定顶点C ； （2）求三角形的
高。
【解】
（1）先分别沿A 、
B 延长断边，确定交点
C ，∠C=1800-∠A-∠B ，AC 或BC ；sin sin AB AC B C
=⋅ 用正弦定理算出00120sin 55101.8sin 75
=⋅≈ （2）设高为h ，则
7850sin 8.101sin 0≈⋅=⋅=A AC h
【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（请用计算器解答，精确到1.0）
【解】
连接BD ，设∠BDC=α，则由正弦定理知
DBC
DC BDC BC ∠=∠sin sin ，即 )
60sin(50sin 700αα-= 05.3517
37tan ≈⇒=⇒αα，从而有 0005.695.35105=-=∠BDA ，
4.104
5.35sin 120sin 0
0≈⇒=BD BC BD ，由 于BAD
BD BDA AB ∠=∠sin sin ，即 2.10175
sin 4.1045.69sin 00≈⇒=AB AB ， 而梯形的高
33560sin 70sin 0==∠=ABC BC h 所以有1()2
ABCD S CD AB h =+
听课随笔
1(50101.2)4583.02
=+⋅ 注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。
【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、
∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。
【解】 由三角形的面积公式得：11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅
sin C ==
1cos 2
C c ⇒=±⇒
= 6121或=c 追踪训练一 1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是
( D A.103海里 B.3
610海里 C. 52海里 D.56海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A )
A. 1公里
B. sin10°公里
C. cos10°公里
D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度
【解】在△ABC 中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515
= 30 由正弦定理：
15sin 30sin 100BC = ∴BC
= 200sin15 在△DBC 中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90
+ 由正弦定理：)90sin(15sin 20045sin 50θ+= c os =13-, ∴ = 42
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【选修延伸】
【例5】在湖
面上高h 处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高.
听课随笔 【解】C 、C ’关于点B 对称，设云高C E = x ，
则CD = x h ，C ’D = x + h ，
在R t △ACD 中，α
-=α=tan tan h x CD AD 在R t △AC ’D 中，β
+=β=tan tan 'h x D C AD , ∴β
+=α-tan tan h x h x 解得 )sin()sin(tan tan tan tan α-βα+β⋅=α-βα+β⋅
=h h x . 追踪训练二
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( C )
A.5海里
B.53
海里
C.10海里
D.103海里
2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ( C )
A. 21d d >
B. 21d d =
C. 21d d <
D. 不能确定大小。