红利1-5 极限运算法则
高等数学课件--D1_5极限运算法则
高等数学课件
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 2 x a x b
3 2
再利用后一极限式 , 得
3 lim f ( x) x
x 0
lim ( a ) x 0 x
b
可见 故
2012-10-12 高等数学课件
2 2
因此
这说明当
2012-10-12
时,
为无穷小量 .
高等数学课件
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
1 1 1 lim n 1 2 2 2 n n π n 2π n nπ
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x),
则 A B . ( P46 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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内容小结
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
0
( 要求分母不为 0 )
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
G1_5极限的运算法则--趋势的叠加法则
xx0
xx0
xx0
(3) lim
f (x)
lim
x x0
f (x)
A (B 0).
xx0 g(x) lim g(x) B
x x0
退出
高等数学（上）
1.5.1 极限的四则运算法则
出版社 理工分社
证明 (1)因为 lim f (x) A, lim g(x) B 0,
lim f [(x)] lim f (u) A.
xx0
ua
退出
高等数学（上）
1.5.2 复合函数的极限法则
出版社 理工分社
说明 (1)定理2适用的条件是当x x0时,(x) a.否则定理 不一定成立.例如,
y=f
(u)
u2
,
u
2,u
(x)=2,则
0,u 2
退出
3
.
解
用x3同除分子及分母
lim
2
1 x
3 x3
, 分母极限为零.求原来函数
x
1 x
1 x3
的倒数的极限,得
lim
x
x2 2x3
1 x2
3
lim
x
2
1 x
1 x
1
x3
3 x3
0,
lim
x
2x3 x2
x2 1
3
.
退出
高等数学（上）
1.5.1 极限的四则运算法则
lim
x
(
8 x (1
2 x2
极限的运算法则及计算方法
（2）lim(7sin x 4cos x)； x0
（4）lim(1 x3
x 3
)3；
(5) lim(1 x
)2 10
x
解: lim( x2 2x 3) lim x2 lim 2x lim 3
x3
x3
x3
x3
(lim x)2 2lim x lim 3 32 2 3 3 18
2
例7: 求下列极限
(1) lim( x sin x) ; (2) lim(e x 1)cos 1 ;
x0
x0
x
(3) lim ln x sin 1 ; (4) lim 1 sin x
x 1
x 1
x x
解: (1) Q x 0时，sin x 0为无穷小量 lim( x sin x) 0 x0
2x3 1 5x 4
(2)
lim ( x 1)4 (1 2x)5 x (1 3 x)3 (1 2 x)6
lim
x
(2)5 x9 L (3)3 (2)6 x9
L
1 (2)5 (3)3 (2)6
1
1
(3)3 (2) 54
(3)
lim
例 6： 求下列极限
(1) 解: (1)
lim 1 ; (2) lim 4
x0 sin x
x cos x
2
Q x 0时，sin x 0为无穷小量
1 lim x0 sin x
(2) Q x 时，cos x 0为无穷小量 lim 4
2
x cos x
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
1-5极限运算法则
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = ∵ B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 ∵ β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小 然后再求极限. 子,分母 以分出无穷小 然后再求极限 分母 以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限. 先变形再求极限
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 ∵ lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
x → x0 u →u 0
ο
则当0 <| x − x0 |< δ时, | g ( x) − u0 |< η及 | g ( x) − u0 |≠ 0同时成立.
例8
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
极限运算法则两个重要极限 PPT
那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
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定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
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定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
1-5极限的运算法则
2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )
高等数学1-5极限运算法则(包含几种技巧)
M
从而，当 x x0 时, f ( x ) 为无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
1 1 2 例如，当 x 0 时，x sin x , x arctan x 都是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无限个无穷小的乘积？
f (u) A f [ ( x )] A 成立. lim f [ ( x )] A
x x0
例9.
x3 . 求 lim 2 x3 x 9
x3 解: 令 u ( x ) 2 x 9 1 1 lim ( x ) lim x3 x 3 x3 6
无穷小
(2)
f ( x )· ( x ) ( A )·B ) g ( ( AB) ( B A ) 无穷小
(3)
f ( x) A A A g( x) B B B
g( x ) 的保号性
局部有界性， 无穷小
B A B A B( B ) Bg ( x )
无穷小因子分出法 ( 适用于 型 )
分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求 极限。
例8
2x3 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 2x3 3x2 5 求 lim x 4x2 1
2 . 7
0.
例8*
例8**
.
一般有如下结果：
lim
x
a0 x m n
a0 , b0
( a0 b0 0, m , n 为非负常数 )
1-5极限的运算法则
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
1-05极限运算法则
设 f (x) A A A 1
(BA)
g(x) B
B B
B(B ) 有界
无穷小
因此 为无穷小, f ( x) A
g(x) 1 B 由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( x
f ( x) g) ( x)
又 limf(u)A, 则有 limf[g(x)]limf(u)A ①
uu0
xx0
uu0
证: limf(u)A uu0
0, 0, 当 0uu0 时, 有 f(u)A
xl im x0g(x)u0
对上述 0 , 1 0, 当
0xx0 1 时, 有 g(x)u0
取 m in0,1, 则当 0 xx0 时
(a0b00,m ,n为非负常数
)
a0 , b0
0 ,
,
当nm ( 如P47 例5 ) 当nm ( 如P47 例6 ) 当nm ( 如P47 例7 )
例8. 求 lim sin x .
x x
解: Q sinx 1
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
sin x lim 0 .
x x
y
y sin x x
lim 1 x3 x 3
1 6
x = 3 时分母为 0 !
2x3
例4
.
求
lxi m1x2
. 5x4
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x4 12 514 0
x1 2x3
213
lx i1mx22x5x34
例5 .
求
4x2 3x9 lxi m 5x2 2x1 .
1.5极限运算法则
第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．在下面的讨论中，记号“lim ”表示定理对0x x →及x →∞都是成立的． 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小．定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小．定理3 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ±存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±． （1－５）证 因lim (),lim ()f x A g x B ==，由1.4定理1 有(),()f x A g x B αβ=+=+，其中,αβ为无穷小．于是()()()()()()f x g x A B A B αβαβ±=+±+=±+±由定理1知αβ±为无穷小，再由定理３知lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ±=±=±定理７可推广到有限个函数的情形．例如，如果lim (),lim (),lim ()f x g x h x 都存在，则有lim[()()()]lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x +-=+-．如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ⋅存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅．（1－6）推论1 如果lim ()f x 存在，C 为常数，则lim ()lim ()Cf x C f x =． 推论2 如果lim ()f x 存在，n 为正整数，则lim[()][lim ()]n n f x f x =． 定理4 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，且0B ≠，则()lim()f xg x 存在，且 ()lim ()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==．（1－7） 以上定理和推论对于数列也是成立的．定理5 如果()()x x ϕφ≥，而lim (),lim ()x x ϕφ都存在，那么lim ()lim ()x x ϕφ≥． 例1 求1lim(21)x x →-．解 1111lim(21)lim2lim12lim 12111x x x x x x x →→→→-=-=-=⨯-=．事实上，设多项式101()n n n P x a x a x a -=+++ ，则110100100lim ()lim[]()n n n n n n x x x x P x a x a x a a x a x a P x --→→=+++=+++=例2 求3221lim 53x x x x →--+．解 因222lim(53)210330x x x →-+=-+=-≠所以 33322222lim(1)1217lim 3353lim(53)x x x x x x x x x →→→---===---+-+． 如果()()()P x F x Q x =，其中(),()P x Q x 都是多项式，如果0()0Q x ≠，则 000000lim ()()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x P x P x P x F x Q x Q x Q x →→→→===． 但必须注意，如果0()0Q x =，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑．例3 求2416lim 4x x x →--．解 当4x →时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则．但4x →时，4,40x x ≠-≠，所以24416lim lim(4)84x x x x x →→-=+=-．例4 求2121lim 21x x x x →+-+．解 因为21lim(21)0x x x →-+=，不能商的运算法则．但2121lim021x x x x →-+=+， 故由定理4得2121lim 21x x x x →+=∞-+．例5 求3232342lim 753x x x x x →∞+++-．解 32324233423lim lim5377537x x x x x x x x x x→∞→∞++++==+-+-． 例6 求23321lim 252x x x x x →∞+--+．解 223323321321lim lim 02522x x x x x xx x x x x→∞→∞+-+-==-++-． 例7 求32252lim 321x x x x x →∞-++-．解 因为23321lim 0252x x x x x →∞+-=-+，所以32252lim 321x x x x x →∞-+=∞+-． 更一般地，当000,0a b ≠≠，m 和n 为非负整数时，有101101,,lim 0,,,n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当当 例8 求sin limx xx→∞．解 当x →∞时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但sin 1sin x x x x =⋅，而1x 是x →∞时的无穷小，sin x 是有界函数，所以根据定理6，有sin lim0x xx →∞=．前面已经看到，对于有理函数()f x （有理整函数或有理分式函数），只要()f x 在点0x 处有定义，那么0x x →时()f x 的极限必定存在且等于()f x 在点0x 的函数值．一般地，如果函数具有上述性质，即00lim ()()x x f x f x →=，就称函数()f x 在点0x 连续．因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的．我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的．因此，如果()f x 为基本初等函数，其定义域为D ，而0x D ∈，则有0lim ()()x x f x f x →=．例如，()f x 是基本初等函数，它在点3x =处有定义，所以x →=．下面介绍一个半球复合函数求极限的定理．定理6 设函数()u g x =当0x x →时的极限存在且等于0u ，即00l i m ()x x gx u →=，而函数()y f u =在点0u u =连续，那么复合函数[()]y f g x =当0x x →时的极限存在．且lim [()]()x x f g x f u A →==．（1－8）证明从略．因为0lim ()x x x a ϕ→=，所以公式（1－8）又可写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→=例9 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．例10求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===． 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3 小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．1. 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．2.求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===。
1-5极限运算法则07903
由定理1可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
5
推论:若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
4
二、 极限的四则运算法则
定理 3.若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证:因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) (A ) (B )
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
19
另例（1） lim x
x x x
lim 6
x
(
x
2
3
x
3
)
(
x
4
2
1)
蚌埠学院 高等数学
2
定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。
设g(x)在某定义域内有界， lim f ( x)存在，
则lim f ( x)g( x) 0.
证明：g(x)有界，故存在M >０，使 f ( x) M
当
0, lim x x0
0 x x0
f ( x) 0 对于
1_5极限运算法则——时老师
定理6. 设函数 y f [g(x)] 是由函数 y f (u) 与函数
u g(x) 复合而成, f [g(x)] 在点 x0 的某去心邻域内有
定义
且存在0 0,
有 g(x) u0, 则
此法则相当于求 极限的换元法
说明: 若定理中 lim g(x) , 则类似可得
x x0
lim f [g(x)] lim f (u) A
定理3_1. 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
第一章
注意（1）f 与g一个收敛, 一个发散, 则 f g 必发散；
（2）f 与g都发散, 则 f g 不一定发散；
例如 当x 0时 f ( x) 1 ，g( x) 1 ;
x
x
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
Pn (x)
试证
即多项式求极限用“代入法”
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
定理3_3. 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则第有一章
条件是否可去？
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
x x0
u
推广:
(A>0),
则
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
例7. 求
第一章
解:
令
u
x3 x2 9
x3 ( x 3)( x 3)
lim u lim 1 1
x3 x3 x 3 6
∴ 原式 =
1 6
( 见P34 例5 )
6 6
山东农业大学高等数学A1
华里士公式的极限
华里士公式的极限华里士公式，这可是在数学领域里相当重要的一个家伙！咱们今天就来好好聊聊它在极限问题中的奇妙表现。
我还记得有一次给学生们讲这个华里士公式的时候，那场景可有意思了。
当时是一个闷热的下午，教室里的风扇呼呼地转着，可大家还是有点昏昏欲睡。
我就想着，得把这枯燥的公式讲得生动有趣些，不然这帮小家伙的心思可不知道飞到哪儿去了。
我在黑板上写下了华里士公式：当 n 为正奇数时，∫(0 - π/2) sinⁿx dx = (n - 1)!! / n!! ；当 n 为正偶数时，∫(0 - π/2) cosⁿx dx = (n - 1)!! / n!! 。
看着这一串符号，学生们的眼神里充满了迷茫。
我清了清嗓子说：“同学们，咱们来想象一下啊，这华里士公式就像是一个神奇的魔法咒语。
比如说，我们要计算一个很复杂的积分，就像是要解开一个缠得紧紧的线团。
这时候，华里士公式就像一把神奇的剪刀，咔嚓一下，就能把这个线团给剪开，让问题变得简单明了。
”我看到有几个学生微微点了点头，似乎有点感觉了。
于是我趁热打铁，给他们出了一道例题：求∫(0 - π/2) sin³x dx 。
我一步一步地引导他们，先判断 n 是奇数，然后按照公式，n = 3 ，所以 (3 - 1)!! / 3!! ，也就是 2!! / 3!! ，算出来就是 2 / 3 。
这时候，有个平时很调皮的学生突然说：“老师，这也没那么难嘛！”我笑着说：“对呀，只要掌握了方法，再难的问题也能迎刃而解。
”咱们再深入点说，华里士公式在求极限的时候，那作用可大了去了。
比如说，当我们遇到一些涉及三角函数的极限问题，像是lim(x→0) (1- cos x) / x²，如果直接去算，可能会有点头疼。
但如果我们巧妙地运用华里士公式，把 1 - cos x 转化成 sin²(x / 2) ，然后再进行积分和求极限，就会变得轻松许多。
还有啊，在处理一些多重积分的问题时，华里士公式也能帮上大忙。
1-5极限运算法则
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
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分式，分母极限为0
解
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1) (消去零因子)
x1 1 . lim x 1 x 3 2
方法1.若求多项式或分母极限不为零的有理分式 函数极限时，用直接代值法求极限; 若分式的分母极限为零，则改用消零因子法
体会
1.极限的四则运算法则 （注意条件）及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.分出无穷小因子法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
方法2 . 无穷比无穷型 分式
a0 b 0 m m 1 a 0 x a1 x ... a m lim = 0 n n 1 x b x b x ... bn 0 1
分子分母同除以 其中的最高次幂
当n=m 当n>m 当n<m
1 x, x 0 例6 设 f ( x ) , 求 lim f ( x ). 2 x 0 x 1, x 0
例7. 求
不存在比无穷型 分式
无穷小与有界量之积
例8
解
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim 2 n n n n n n
1 . 2
1 1 lim (1 ) n 2 n
解
x3 1 lim 2 x2 x 3 x 5
3 2 1 x2 x2 2 lim( x 3 x 5) 3
分式函数，分母的 极限不为零
lim x 3 lim1
7 . 3
多项式(有理整函数)
例2 lim 3 x 2 x-1
2 x 3
x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
1-5 极限运算法则
极限的四则运算法则 & 复合函数极限运算法则
定理 1 . 有限个无穷小的和仍是无穷小. 定理 2 . 有界函数与无穷小乘积是无穷小. 推论1 . 常数与无穷小乘积是无穷小. 推论2 . 有限个无穷小乘积是无穷小.
定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n ( n 为正整数 )
定理5 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则
A B .
二、求极限方法举例
x3 1 . 例1 求 lim 2 x2 x 3 x 5
例4 . 求
解:
x 2 5 x 4 12 5 1 4 0 lim 2 1 3 x1 2 x 3
例5 . 求 解:
无穷比无穷型 分式 分子分母同除以 其中的最高次幂
原式 lim
1 1 41 3 9 x x2 x3x来自5 2 x12 x13
2. 3. 若 B≠0 , 则 注意 • 定理中的lim要一致，即表示同一极限过程，
可以是数列的极限，也可以是函数的极限。 • 结论可推广到有限个极限相加减乘除的情形
定理3 . 若 lim
f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) ( C 为常数 )