§11-1简谐振动
11.1 简谐运动
11.1 简谐运动
复习回顾一： 1。胡克定律：F=kx 2。牛顿第二定律：F=ma
3。位移的定义： 起点指向终点的有向线段 3。位移—时间（x-t)图像
甲
x
丙 乙
K=v
o
t
复习回顾二：
我们以前学过哪些运动形式？
1.加速度大小方向都不变的匀变速直线运动。 （自由落体运动）
x
t
三、弹簧振子的位移—时间图象
用位移传感器测量振子的位移时间图象。
横坐标：振动时间t 纵坐标：振子相对于平衡位置的位移
图象有什么特征？
4、一个周期性的重复称为一次全振动。
四、描述简谐运动特征的物理量
物理量 定义
单 位
m s
意义
振动质点离开平衡位 1、振幅A 置的最大距离
指完成一次全振动所 2、周期T 用的时间 3、频率f
方法二 拟合法:
在图中，测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，把测 量值输入计算机中作出这条曲线，然后按照计算机提示用一 个周期性函数拟合这条曲线，看一看弹簧振子的位移——时 间的关系可以用什么函数表示。
四、简谐运动及其图象
1、定义：如果质点的位移与时间的关系 遵从正弦函数的规律，即它的振动图象 （x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振 动叫做简谐运动。
演示：气垫弹簧振子的振动
三、弹簧振子的位移—时间图象
(1)、描点作图法
第一个1/2周期：
时间t(s) 位移x(m) 时间t(s) 0 -20.0 6t0 t0 -17.8 7t0 2t0 -10.1 8t0 3t0 0.1 9t0 4t0 10.3 10t0 5t0 17.7 11t0 6t0 20.0 12t0
第十一章第一节简谐运动
课标定位
学习目标：1.知道什么是弹簧振子以及弹簧振子 是理想化模型． 2．知道什么样的振动是简谐运动，了解简谐运 动的若干实例． 3．知道振动图象的物理意义，知道简谐运动的 图象是一条正弦或余弦曲线． 重点难点：1.掌握简谐运动的含义以及简谐运动 的图象． 2．根据简谐运动的图象弄清各时刻质点的位移、 路程及运动方向． 易错问题：质点的位移与某段时间内的位移分辨 不清．
【答案】
AD
【规律总结】
简谐运动的图象反映了质点在不
同时刻的位移情况，另外根据图象的形式还可以 推断下一时刻的运动趋势，因此解此类问题应先 寻找再过1 s的振动图象，只要将振动图象随时间 延伸即可，而图象形状不变，然后再根据图象寻 找规律．
变式训练
1．一质点做简谐运动的图象如图11－1－7所示， 则该质点( )
图11－1－1
(2)与一段时间内位移的区别 一段时间内的位移是指从初位置指向末位置的有 向线段．如图11－1－1，从t1时刻到t2时刻的位移 为x2－x1，从t1时刻到t3时刻的位移为x3－x1.
2．简谐运动的速度
跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴上， 速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方 向相同或相反．
变式训练
2．(2010年吉林模拟)劲度系数为20 N/cm的弹簧 振子，它的振动图象如图11－1－9所示，在图中 A点对应的时刻( )
图11－1－9
A．振子所受的弹力大小为0.5 N，方向指向x轴的
负方向
B．振子的速度方向指向x轴的正方向 C．在0～4 s内振子作了1.75 次全振动 D．在0～4 s内振子通过的路程为0.35 cm，位移 为0 答案：B
图11－1－4
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情 况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是 远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则速 度越来越小，加速度、位移越来越大．若靠近平
11-1 平面简谐波的波函数
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
11.1《简谐运动》教案
简谐运动一、教学目的1、知识与能力：（1）认识弹簧振子（2）通过观察和分析，理解简谐运动的位移——时间图像是一条正弦曲线，培养分析和概括能力；2、过程与方法：经历对简谐运动运动学特征的探究过程，加深领悟用图像描绘运动的方法；3、情感、态度、价值观：培养学习物理的兴趣，陶冶热爱生活的情操。
二、教学重点：简谐运动位移——时间图像的建立及图像的物理含义三、教学难点：简谐运动位移——时间图像的建立四、教具：水平弹簧振子、竖直弹簧振子、单摆、振铃、托盘天平、物体平衡仪、音叉、乒乓球等。
五、教学过程[引入]今天我们开始学习第十一章机械振动，第一节简谐运动（板书）。
首先请大家欣赏一段古筝演奏。
问题1：古筝为什么能够发出声音？（琴弦的振动）问题2：还有哪些乐器是靠琴弦的振动发出声音的？（小提琴、大提琴、吉他、二胡、琵琶等）振动在我们生活中十分常见问题3：能不能再举例一些生活中类似这样的振动？（说话时声带振动等；剧烈而令人恐惧的振动——地震）我们实验室也普遍存在这样的振动，请大家仔细观察，演示如：天平指针的振动、音叉的振动、单摆的振动、水平弹簧振子、竖直弹簧振子。
在我们演示的振动中有水平方向的振动也有竖直方向的振动。
问题4：它们具有共同的特征是什么？（在某一中心位置来回运动，强化“往复”和“周期性”）我们把这个中心位置叫做平衡位置（原来静止的位置，标出竖直弹簧振子的平衡位置，把振动的物体叫做振子）一、机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动。
简称为振动特点：往复性、周期性简图示意：实际的振动是非常复杂的，大家已经观察到刚刚的振动在阻力的作用下，有些很快就停下来，有些振动的幅度正在减弱。
为了研究的方便，我们突出主要矛盾、忽略次要因素，不计一切阻力，简化为理想模型。
我们把像这样由弹簧和振子构成的振动系统称为弹簧振子。
弹簧振子将保持这个幅度永远运动下去。
二、弹簧振子：是理想模型1、条件：振子看做质点；轻质弹簧；不计一切阻力本章从最简单的开始研究，学习怎样描述振动，振动有什么性质。
简谐振动的微分方程
dt m 2E
dx 1 kx2
2E
2E dt m
令： x 2E cos
k
则：dx 2E sin d
k
∴
dx
2E sin d
k
2E d
1 kx2
1 cos2
k
2E
∴
∴ 即 其中：
2E d
2E dt
k
m
d
k dt
m
d
k m
dt
k m
t
0
x
2E cos( k
k m
t
0
)
把 代入 x
l
kl
m
y
2mg
mg2l ky0l 0
y0 k
轻杆偏离 时，系统的转动方程为：
m(2l)2 mg 2l cos k( y0 y)l cos
当 角很小时，cos≈1 ，因此
4ml 2 mg 2l k( y0 y)l kyl kl l kl 2
∴ k 0 ∴该系统的运动是简谐运动。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念简谐振动是物理学中一个非常重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用，例如机械振动、电路振动、天体运动等。
通过对简谐振动的概念进行深入分析，我们可以更好地理解物体的振动规律，进而应用于实际问题的解决。
本文将从几个方面对简谐振动的概念进行分析，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的物理现象。
简谐振动是指在没有外力作用的情况下，物体沿着某一方向作直线运动的振动。
这种振动的特点是运动轨迹呈正弦曲线，运动速度和加速度的大小与位置呈正弦关系。
简谐振动的运动方程一般表示为x=Acos(ωt+φ)，其中x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
简谐振动的周期T和频率f分别与角频率ω的关系为T=2π/ω，f=1/T=ω/2π。
通过运动方程和周期频率的关系，我们可以更好地理解物体的振动规律。
简谐振动的能量是一个重要的概念。
在简谐振动过程中，物体的动能和势能随着时间的变化而变化，它们之间存在着一种平衡关系，即动能和势能的和保持不变。
在简谐振动的周期内，动能和势能的变化呈现出周期性，它们之间存在一种周期性的转换关系。
在简谐振动的周期内，物体的总能量保持不变，但动能和势能的大小会发生周期性的变化。
简谐振动的阻尼是影响振动特性的一个重要因素。
在实际情况下，简谐振动往往受到阻尼的影响，使得振动过程不再是周期性的。
阻尼可以分为强阻尼、临界阻尼和弱阻尼三种情况，分别对应着振动的过阻尼、临界振动和欠阻尼。
在强阻尼情况下，振动会迅速衰减并停止，临界振动则是指振动过程收敛到一个恒定的振幅，欠阻尼则是指振动会有衰减但不会停止。
阻尼对简谐振动的影响是很复杂的，在实际问题中需要具体分析具体情况。
简谐振动的受迫振动是简谐振动的一个重要扩展。
在受迫振动中，外力的作用使物体不再按照自由振动的规律运动，而呈现出一种受迫振动的特征。
在受迫振动中，外力的频率与物体的固有频率相同或接近，会出现共振现象。
共振是一种非常重要的现象，在一些特定条件下会导致系统发生剧烈的振动，甚至引发破坏性的后果。
111--简谐振动与弹簧劲度系数实验
简谐振动与弹簧劲度系数实验一.实验目的1.用伸长法测量弹簧劲度系数，验证胡克定律。
2.测量弹簧作简谐振动的周期，求得弹簧的劲度系数。
3.研究弹簧振子作谐振动时周期与振子的质量、弹簧劲度系数的关系。
4.了解并掌握集成霍尔开关传感器在测量周期或转速中的应用，掌握其使用方法。
5.测定液体表面张力系数（选做，需额外配置部分仪器）。
6.测定本地区的重力加速度（选做）。
二.实验原理1．弹簧在外力作用下会产生形变。
由胡克定律可知：在弹性变形范围内内，外力F 和弹簧的形变量成正比，即y ∆ （1）y K F ∆=式中，为弹簧的劲度系数，它与弹簧的形状、材料有关。
通过测量和相应的K F ，就可推算出弹簧的劲度系数。
y ∆K 2．将弹簧的一端固定在支架上，把质量为的物体垂直悬挂于弹簧的自由端，构成一M 个弹簧振子。
若物体在外力作用下离开平衡位置少许，然后释放，则物体就在平衡点附近做简谐振动，其周期为：（2）K pM M T 02+=π式中是待定系数，它的值近似为1/3；是弹簧自身的质量，称为弹簧的有p 0M 0pM 效质量。
通过测量弹簧振子的振动周期，就可由（2）式计算出弹簧的劲度系数。
T K 3. 霍尔开关（磁敏开关）图1 霍尔开关脚位分布图 图2 AH20参考应用电路集成开关型霍耳传感器简称霍耳开关，是一种高灵敏度磁敏开关。
其脚位分布如图1所示，实际应用参考电路如图2所示。
在图2所示的电路中，当垂直于该传感器的磁感应强度大于某值时，该传感器处于“导通”状态，这时在OUT脚和GND脚之间输出电压极小，近似为零；当磁感强度小于某值时，输出电压等于VCC到GND之间所加的电源电压。
利用集成霍耳开关这个特性，可以将传感器输出信号接入周期测定仪，测量物体转动的周期或物体移动所需时间。
三．实验仪器1、如图3所示，实验仪器包括新型焦利秤、多功能计时器、弹簧、霍尔开关传感器、磁钢、砝码和砝码盘等。
图3 简谐振动与弹簧劲度系数实验仪1、底座2、水平调节螺钉3、立柱4、霍尔开关组件（上端面为霍尔开关，下端面为接口）5、砝码（简谐振动实验用，开展实验时，在砝码的底面放置直径为12mm的小磁钢）6、弹簧7、挂钩8、横梁9、反射镜10、游标尺11、配重砝码组件12、指针13、砝码盘14、传感器接口（霍尔开关）15、计时器16、砝码17、霍尔开关组件与计时器专用连接线2、DHTC-3B多功能计时器详见《DHTC-3B多功能计时器》使用说明书。
1-简谐振动定义及特征量
f - k x m a (1)
m x0 = 0
2
f k x 2 k a m m m
d x 2 x a 2 dt
2
O xX
d x 2 x 0 —弹簧振子的振动方程 2 dt
4
当 5 rad , sin .
(轻绳, m ,小球线度<<绳长 l .) 2. 单摆 选⊙为正, 单摆受合外力矩: M f t l mg sin l l
M mgl , 又M J g lmg d 2 2 2 ml dt l
g 2 令 l
d 2 0 2 ——单摆振动方程 dt
2
5
3. 简谐振动的特征
①动力学特征（定义1）：
f kx
6
3. 简谐振动的特征
② 动力学方程（定义2）：
2
d x 2x 0 2 dt 3. 运动方程： x A cos( t )
14
例1：一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一 质量为m的盘子。现有一质量为M的物体从 离盘h高度处自由下落到盘子中并和盘子粘 在一起，于是盘子开始振动，证明物体和盘 子一起做简谐振动。 mg 证明： k1 1 (m M ) g k2 2 O y k( y 2 ) (m M ) g (m M ) y ky (m M ) y k 即：y y0 证毕 (m M )
4. 谐振动物体的速度和加速度 位移： x A cos( t )
2
2 x a d 2 2 A cos( t ) 加速度：
dt
速度： v A cos( t )
am A
2
2 A cos( t ) 2 x
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是一种重要的物理现象，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。
本文将详细介绍简谐振动的规律和特点，并从多个角度进行描述。
一、简谐振动的规律和特点1. 定义：简谐振动是指物体在一个平衡位置附近做往复振动的运动。
它的运动方式具有周期性和对称性，是一种非常规律的振动。
2. 弹簧振子的例子：弹簧振子是最常见的简谐振动的例子之一。
当弹簧振子受到外力拉伸或压缩后，当外力移除时，它会以平衡位置为中心作往复振动。
3. 动力学规律：简谐振动的运动规律可以由胡克定律和牛顿第二定律得出。
根据胡克定律，当弹性体受力时，其恢复力与位移成正比。
牛顿第二定律则表明物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
结合这两个定律，可以推导出简谐振动的运动方程。
4. 运动方程：简谐振动的运动方程可以表示为x = A * sin(ωt + φ)，其中x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
这个运动方程描述了物体在平衡位置两侧往复振动的过程。
5. 特点一：周期性。
简谐振动的最基本特点是其运动是周期性的，即物体在一个周期内重复完成相同的运动。
周期T是指物体完成一个完整振动所需的时间，与角频率ω的倒数成正比。
6. 特点二：振幅和频率。
简谐振动的振幅A表示物体在振动过程中最大的位移，频率f表示单位时间内完成的振动次数。
振幅和频率都是简谐振动的重要参数，它们与物体的质量、劲度系数、外力等因素有关。
7. 特点三：相位差和初相位。
相位差是指两个简谐振动之间的时间差，初相位是指物体在某一时刻的位移相对于平衡位置的位置。
相位差和初相位对于描述简谐振动的运动状态和相互作用非常重要。
8. 特点四：能量转化。
简谐振动是一种能量在不同形式之间转化的过程。
在振动过程中，物体的动能和势能会不断相互转化，当物体通过平衡位置时，动能最大，而位移最大时，势能最大。
9. 特点五：应用广泛。
简谐振动的规律和特点在物理学、工程学、生物学等领域都有广泛的应用。
第11章_1简谐运动的特点__振动图象
多普勒效应：观察者与波源存在相对运动 时发生的现象，即观察者感觉到的频率与 波源的频率出现差别
第十一章
机械振动 机械波 光
1 简谐运动的特点 振动图象
1.简谐运动的周期性和对称性 两块质量分别为m1、m2的木块，被一根 劲度系数为k的轻弹簧连在一起，并在m1 板上加压力F，如图11-1-2所示，撤去F后， m1板将做简谐运动.为了使得撤去F后， m1跳起时恰好能带起m2板，则所加压力F 的最小值是( ) A.m1g B.2m1g C.(m1+m2)g D.2(m1+m2)g 图11-1-2
点评：判断一物体是否做简谐运动，要从分 析物体的受力着手，首先应找出使物体回到平衡 位置的回复力，再分析回复力的大小是否和振动 位移成正比，方向是否是指向平衡位置，即是否 满足F=-kx.而不能只分析是否具有往复性和对称 性．
单摆做简谐运动的（固有）周 T 期公式： 2π l / g 简谐运动位移公式： 机械振动 x=Asin(ωt+φ0),与振动图象联系 更好理解 受迫振动、共振、振动能量 机械波的形成：先振动的质点带 动后振动的质点（受迫振动） 机械波传播的是：波源的振动形 式、能量、信息 机械波的种类：横波与纵波 简谐横波的图象为正弦图象，注 意与简谐运动图象的区别
撤去F后，m1板将做简谐运动，其平衡位 置是不加压力F时m1板的静止位置设为a，如下 图所示，则此位置离弹簧上端自然长度为 x0=m1g/k
m1板做简谐运动的振幅等于施加压力后弹簧增加 的压缩量，即A=x1=F/k 此时m1板的位置设为b，如上图所示. 撤去F后，m1板跳起，设弹簧比原长伸长x2时刚好 能提起m2板(处于c位置)，如上图所示，则由： kx2=m2g，可得：x2=m2g/k 根据m1做简谐运动时的对称性，位置b、c必在平 衡位置a的对称两侧，故有：x1=x0+x2，即：
§11-1简谐振动概述
A/2
0.26m / s
太原理工大学物理系
(3)如果物体在x = 0.05m处时速度不等于零, 而是 具有向右的初速度v0= 0.30m/s, 求其运动方程.
解：设 x = A cos( 6 t + 0)
2 因x0=0.05m , v0=0.3m/s A x0 2 v0 2
2.运动学方程 解微分方程可得
x A cos(t 0 )
简谐振动运动学方程
太原理工大学物理系
简谐振动的三个特征量：振幅、频率、相位
振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A， 由初始条件决定.
圆频率
频率 周期
k m
系统的周期性
固有的性质 称固有频率
2π
T 1
相位
由旋转矢量图知0=0 o
A x
2 v0 2
所以运动方程为： x 0.05 cos(6t )
太原理工大学物理系
(SI)
(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率;
解：x=A/2时，速度方向为x轴负方向 由旋转矢量图知 相位
t
3
3
o
t时刻
A
/3
A t=0时刻
v A sin t 6.0 0.05 sin
由图看出：速度超前位移
A
A
2
A
加速度超前速度
π 2
太原理工大学物理系
(3) 计算时间简便：用熟悉的圆周运动代替三角 函数的运算。
例1 质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成 的弹簧谐振子，t = 0时，质点过平衡位置且向正 方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用 的最短时间。
简谐振动特征方程
简谐振动特征方程简谐振动是物理学中一个重要的概念，它描述了许多自然界中的现象，例如弹簧振子、摆钟等等。
简谐振动的特征方程是用来描述振动系统的运动规律的，下面我们来详细介绍一下。
简谐振动是指一个物体在一个平衡位置附近做往复运动的现象。
这个物体可以是一个质点、一个弹簧振子、一个摆钟等等。
这些物体在平衡位置附近的运动可以用一个数学模型来描述，即简谐振动的特征方程。
简谐振动的特征方程可以写成如下的形式：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是振动系统的劲度系数，x是物体的位移。
这个方程描述了物体在振动过程中的运动规律。
我们可以从这个方程中得到一些重要的结论。
首先，当物体的位移为0时，即物体处于平衡位置时，方程变为0 = 0，这意味着物体处于静止状态。
其次，当物体受到外力作用时，例如一个弹簧的拉力或一个摆钟的重力，方程变为m * a + k * x = F，其中F是外力。
这意味着物体在外力作用下会发生加速度，从而产生振动。
根据简谐振动的特征方程，我们可以推导出振动系统的运动方程。
假设物体在t时刻的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，则有以下关系：x(t) = A * cos(ωt + φ)v(t) = -A * ω * sin(ωt + φ)a(t) = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体的最大位移；ω是角频率，表示物体在单位时间内完成的振动周期数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
从上面的方程可以看出，简谐振动的运动是周期性的，物体在单位时间内完成的振动周期数是固定的。
振幅决定了物体振动的幅度大小，角频率决定了物体振动的快慢，初相位决定了物体振动的起始位置。
简谐振动的特征方程不仅仅在物理学中有重要的应用，还在其他领域中有广泛的应用。
例如在工程学中，简谐振动的特征方程可以用来描述机械振动系统的运动规律，从而帮助工程师设计和优化振动系统。
振动 大学物理习题答案
，x
A12
A22
cos( t
tan 1
A1 ) A2
11-10 质量为 0.4kg 的质点同时参与相互垂直的两个谐振动：
x1
0.08 cos( 3
t
) 6
，
x2
0.06 cos( 3
t
) 3
求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点在任一位置所受的力。
解：（1）设 x A1 cos( t 1 ) ， y A2 cos( t 2 ) ，消去 t 得
0.05sin 3
4 3
0.05 cos
0.06sin 4
0.06 cos
11.00 ， 84.8 1.48rad
4
4
（2）
3
1
2k
，3
2k
3 4
，k
0,1,2；
3
2
(2k
1)
，3
2k
5 4
，k
解：（1）由旋转矢量法知 ， 2 2 ， x 0.12 cos( t )
3
T2
3
（2） v d x 0.12 sin( t ) ， a d v 0.12 2 cos( t )
dt
3
dt
3
t 0.5s ， x 0.1039 m ， v 0.1885 m/s ， a 1.03m/s 2
dt2 m J / R2
（2）
k
，T 2 2 m J / R2
1简谐振动
*问题讨论
（1） 在地面上拍皮球, 球的运动是否简谐振动？
（2） 竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？
*简谐振动定义
1.质点所受的外力与对平衡位置的位移成正 比且反向，或质点的势能与位移（角位移） 的平方成正比的运动，就是简谐振动。这 种振动系统称为谐振子。 2.以时间的正弦或余弦函数表示的运动可以 认为是简谐振动。 3.满足动力学方程 简谐振动
2
2
2 2 2 1 = 2 mAω sin (ω t + j )
1 =2
k A cos ( ω t + j )
2 2
E = E k +E p =
1 2
kA
2
E
Ek
Ep
E=
1 2
kA
2
o
x
t
o
t x = A cosω t
谐振子的动能、势能及总能量
Ek =
1 2
mv = E p =
2
1 2
kx 2
x＝？
振动和波
振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化
一切物理量，包括非机械量的温度、电量、场强等量 在一定值附近反复变化的过程均是振动。如：机械振动 （图）、电磁振动、分子振动、原子振动……。 波动:是振动在空间的传播，声波（图） 、水波 、地震 波、电磁波（图）和光波都是波，波的传播伴随有状态 和能量的传递。不同的振动形式在空间的传播具有共同 的特征，如具有干涉、衍射等波动特有的性质。 振动和波动是自然界及人类生产实践中经常 发生的一种普遍运动形式，其基本规律是光学、电 学、声学、机械、造船、建筑、地震、无线电等工 程技术中的重要基础知识。
1 1 1 2 Ek E p KA Kx 2 2 2 2
第十一章机械振动.doc
第十一章 机械振动11-1 一质量为m 的质点在力F = -π2x 的作用下沿x 轴运动．求其运动的周期．（答案：m 2）11-2 质量为2 kg 的质点，按方程)]6/(5sin[2.0π-=t x (SI)沿着x 轴振动．求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小；(2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置．（答案：5 N ；10 N ，±0.2 m （振幅端点））11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．（答案：2.72s ；±10.8cm ）11-4 一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？（答案：小物体不会离开；g A >2ω，在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离）11-5 在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试证：(1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期 gR T /2π=11-6 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ．（答案：x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)； x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)）11-7 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．（答案：x = 0.1 cos(7.07t ) (SI)；29.2 N ；0.074 s ）11-8 一物体放在水平木板上，这木板以ν = 2 Hz 的频率沿水平直线作简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数μs = 0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅A max ．（答案：0.031 m ）11-9 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？（答案：0.0653）11-10 一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．（答案：)434cos(10252π-π⨯=-t x (SI)；3.93⨯10－2m/s ）11-11 在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．（答案：)64.07cos(05.0+=t x (SI)）11-12 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动：)328cos(1.0π+π=t x (SI)． 求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值．（答案：0.25s ，0.1 m ，2π/3，0.8π m/s ，6.4π2 m/s 2）11-13 一质量为0.20 kg 的质点作简谐振动，其振动方程为 )215cos(6.0π-=t x (SI)．求：(1) 质点的初速度；(2) 质点在正向最大位移一半处所受的力．（答案：3.0 m/s ；-1.5 N ）11-14 有一单摆，摆长为l = 100 cm ，开始观察时( t = 0 )，摆球正好过 x 0 = -6 cm 处，并以v 0 = 20 cm/s 的速度沿x 轴正向运动，若单摆运动近似看成简谐振动．试求(1) 振动频率； (2) 振幅和初相．（答案：0.5Hz ；8.8 cm ，226.8°或－133.2°）11-15 一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ； (2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．（答案：4.19 s ；4.5×10-2m/s 2；x = 0.02)215.1cos(π+t (SI)）11-16 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．（答案：0.667s ）11-17 一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动的周期T 和角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动的数值表达式．（答案：0.63s ，10 s －1；－1.3m/s ，π/3；)3110cos(10152π+⨯=-t x (SI)）11-18 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．（答案：π21）11-19 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．（答案：)3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI)）11-20 一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．（答案：22mRJ kR +=ω）11-21 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位-移处开始计时，写出此振动的数值表达式．（答案：)1.9cos(1022t x π⨯=-）11-22 一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t = 0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．（答案：0.16J ；)312cos(4.0π+π=t x ）11-23 质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能． （答案：ω = 8π s -1，T = 2π/ω = (1/4) s ，A = 0.5 cm ，φ = π/3；)318sin(104v 2πππ+⨯-=-t ，)318cos(103222π+π⨯π-=-t a ；3.95×10-5 J ，3.95×10-5 J ）11-24 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求 (1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．（答案：0.08 m ；±0.0566m ；±0.8m/s ）11-25 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？（答案：0.444N ；1.07×10-2 J ，4.44×10-4 J ）11-26 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m = 5 g 的小球，弹簧伸长∆l = 1 cm 而平衡．经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 4 cm 的振动，求(1) 小球的振动周期； (2) 振动能量．（答案：0.201 s ；3.92×10-3 J ）11-27 一物体质量m = 2 kg ，受到的作用力为F = -8x (SI)．若该物体偏离坐标原点O 的最大位移为A = 0.10 m ，则物体动能的最大值为多少？（答案：0.04 J ）O A11-28 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．（答案：)2cos(204.0π+=t x (SI)）11-29 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 )4310cos(10521π+⨯=-t x (SI), )4110cos(10622π+⨯=-t x (SI)求合振动方程．（答案：)48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI)）11-30 一物体同时参与两个同方向的简谐振动： )212c o s (04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI)求此物体的振动方程．（答案：)22.22cos(05.0+π=t x (SI)）。
11简谐运动
第1节简谐运动知识点一机械振动与简谐振动1.机械振动(1)机械振动:物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动,简称振动。
(2)平衡位置:物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置)。
2.简谐运动(1)回复力:①概念:当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。
②效果:总就是要把振动物体拉回至平衡位置。
(2)简谐运动:①定义:如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总就是指向平衡位置,则物体所做的运动叫做简谐运动。
②公式描述:F＝－kx(其中F表示回复力,x表示相对平衡位置的位移,k为比例系数,“－”号表示F与x方向相反)。
[总结拓展]1.弹簧振子应满足的条件(1)质量:弹簧质量比小球质量小得多,可以认为质量只集中于振子(小球)上。
(2)体积:弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小,可以认为小球就是一个质点。
(3)阻力:在振子振动过程中,忽略弹簧与小球受到的各种阻力。
(4)弹性限度:振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。
2.简谐运动的位移(1)定义:振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示,方向为从平衡位置指向振子所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离。
(2)位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
3.简谐运动的回复力(1)由F＝－kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总就是指向平衡位置。
(2)公式F＝－kx中的k指的就是回复力与位移的比例系数,而不一定就是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
4.简谐运动的速度(1)物理含义:速度就是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。
在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上,速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
(2)特点:如图1－1－1所示为一简谐运动的模型,振子在O 点速度最大,在A 、B 两点速度为零。
11-1简谐振动旋转矢量表示法
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第十一章 振 动
3
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章 振 动
10
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
简谐运动， （1）对同一简谐运动，相位差可以给出 ） 同一简谐运动 两运动状态间变化所需的时间． 两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章 振 动
x = 0.104m v = −0.188m / s 2 a = −1.03m / s
A
− 0.12 −0.06
t 时刻
x/m
0.12
起始时刻
15
o
π − 3
0.06
A
第十一章 振 动
ω
大学物 理学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学时：56学时
教学内容：
振动和波动篇：机械振动，机械波 光学篇：几何光学(自学)，波动光学
近代物理基础篇：狭义相对论基础，从经典
物理到量子物理，量子力学基础
太原理工大学物理系
第11章 机械振动
振动与波动是与人类生活和科学技术密切 相关的一种基本运动形式。 振动形式是多种多样的，如: 机械振动: 位移 x随时间t的往复变化。 电磁振动: 电场、磁场等电磁量随t的往复变化。 微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。
A x0
2
v0
2 2
0.1 2m
x 0.1 2 cos( 2.0t
4
)m
x0 0.1 2 cos 0 A 2 0.1 2
0
4
sin 0 v0 ( A) 0
太原理工大学物理系
0
4
三.简谐振动的矢量图示法（旋转矢量法）
匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为 简谐振动，采用几何的方法描述简谐振动。
太原理工大学物理系
例5 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将 物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。 解： 求平衡位置
kx0 mg
mg x0 k
以平衡位置O为原点
弹簧原长
l0
挂m后伸长
k
受弹力
F mg k ( x 0 x ) mg kx0 kx kx
广义地说,一物理量在某一定值附近周期性变 化的现象称振动。
太原理工大学物理系
本章主要内容：简谐振动及其合成
简谐振动: 最简单、最基本的振动.
x
o
t
合成 分解
简谐运动
复杂振动
太原理工大学物理系
§11-1 简谐振动
一、简谐振动的特征
太原理工大学物理系
1. 平衡位置
O点
2. 线性回复力 弹性力
3. 动力学方程
A x0
2
v0
2 2
x0 0.10m
太原理工大学物理系
x0 0.10 cos 0 1 A 0.10
得
0 0
x 0.10 cos 2t m
（2）将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后， 并给物体以向左的速度0.20m·-1。 s
解：初始条件: t 0时，x0 0.10m, v0 0.20m s 1
例1：一弹簧振子放置在光滑水平面上。已知弹簧 的倔强系数k=1.60N· -1，物体的质量 m=0.40kg。 m 试就下面两种情况分别求出简谐振动方程。 m k （1）将物体从平衡位置向 右移到x=0.10m处后释放。 解:（1）弹簧振子的角频率为
O
x
k 1.60 2 m 0.40 根据初始条件， 0时，x0 0.10m，v0 0 t
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A.
2.周期和频率
周期 频率
1T 2π
T 2
系统的周期性
固有的性质 称固有频率
k 圆频率 2 m
太原理工大学物理系
3. 相位和初相 相位
t 0
初相位
0
(1) 确定物体的运动状态：
x
A cos
T
1 2 1 2 1 2 E Ek E p mv kx kA (m 2 k ) 2 2 2
太原理工大学物理系
讨论:特点 1) 动能势能随时间周期性变化，但总能量不变。
E
1 E kA2 2 Ep Ek
o x o
t
x A cos t
t
2) 动能势能变化频率是谐振动频率的两倍。
（2） 比较相位方便
x A cos t 0 π v A cos t 0 2 2 a A cos t 0 π
由图看出：速度超前位移
A
A
2
A
加速度超前速度
π 2
太原理工大学物理系
(3) 计算时间简便：用熟悉的圆周运动代替三角函数 的运算。
加速度
dv a A 2 cos t 0 dt am cos t 0 2 x
运动学特征
太原理工大学物理系
小结
三个判据
首先确定平衡位置
1)动力学特征
F kx
2）运动学特征 3) 运动学方程
a x
2
x Acos t 0
t=0时刻
曲线法：x——t 曲线
时刻 旋转矢量法： t t
t 0 A
0
o
x
x Acos( t 0 )
太原理工大学物理系
旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系
太原理工大学物理系
例4
某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。 x(cm)
O -1 -2
解： 设振动方程为
a
b
T T
c
T
O
t
太原理工大学物理系
（2）比较两个简谐振动的步调：
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
相位差 (t 20 ) (t 10 ) 20 10
2 2k 同相 0， ， ， x
例3 质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹 簧谐振子，t = 0时，质点过平衡位置且向正方向运动。 求:物体运动到负二分之一振幅处所用的最短时间。
解：由图可知：
7 t 6
7π k 6 m
t时刻
x
7π t 6
o
t0
太原理工大学物理系
三种表示方法
解析法： x
A cos(t 0)
a am cos(t 0 ) am cos(t 0 )
结论：v比x超前/2; a比v超前/2或a比v落后3/2; x比a超前(或落后)。 太原理工大学物理系
用振动曲线描述简谐振动 x A -A ωA -ωA ω2A -ω2A o v
o
T/2 T
t
t
a o 太原理工大学物理系 t
以上三条中任一条成立即可判定为简谐振动。 太原理工大学物理系
二、简谐振动的物理量
描述质点运动的物理量：x、v、a
x A cos(t 0 )
v A sin t 0
a A 2cos t 0
简谐振动的三个特征量：振幅、频率、相位
太原理工大学物理系
太原理工大学物理系
旋转矢量法表示的优点：
（1）相位显示直观
t t 时刻
A t 0
0
t=0时刻
o
x
x Acos( t 0 )
太原理工大学物理系
例2 确定质点在不同运动状态时的相位。 （1）质点在正最大位移处 （2）质点经二分之一振幅处向负方向运动 （3）当质点过平衡位置向负方向运动 （4）质点经负二分之一振幅处向 负方向运动 （5）质点在负最大位移处 （6）质点经负二分之一振幅处向 正方向运动 （7） 当质点过平衡位置向正方向运动 （8）质点经二分之一振幅处向负方向运动 太原理工大学物理系
t(s) 1
则由振动曲线： A=2 cm
A x 2 t=0时刻 v0 0
太原理工大学物理系
A x 的旋转矢量图： 2
又 v0<0，故
-A/2
t=0
2
3
t=1s
x
t=1s时
xA
v =0
1 0 2
于是 太原理工大学物理系
四. 几种常见的简谐振动
单摆 准简谐振动
平衡位置 伸 长 某时刻m位置
x0
o x
f
m
x
简谐振动
太原理工大学物理系
五 简谐振动的能量 考虑一水平弹簧振子
k
m
x
0
以平衡位置为势能零点
x
1 1 2 Ek m 2 A2 sin 2 ( t 0 ) Ek mv 2 2 1 2 1 2 2 E p kA cos ( t 0 ) E p kx 2 2
4.振幅A和初相0的确定 已知: t = 0 时, x=x0 v=v0
x0 A cos 0
v0 A sin 0
初相0的确定:
由cos0=x0 /A确定0:
当v0=- A sin0 >0时， sin0 <0, 当v0=- A sin0 <0时， sin0 >0, 太原理工大学物理系
复摆
太原理工大学物理系
1 单摆 牛顿第二定律
Ft mat
d 2 mg sin m l 2 dt
d 2 g 0 ( 2 dt l
d 2 2 0 dt 2
g / l)
0 cos ( t 0 )
l T 2 g
2
与水平弹簧振子运动方程及其解形式相同
太原理工大学物理系
2 复摆
转动定律
M J
d 2 dt 2
mgl ) J
m g l I
d 2 m g l 0 ( 2 dt J
T
2
2
J mgl
d 2 2 0 0 cos ( t 0 ) dt 2
方程及其解与单摆形式相同
f kx
2
动力学特征
牛顿第二定律
令
2
d x f ma m 2 dt
k 2 整理得 m
简谐振动动力学方程
d x 2 x 0 2 dt