新高考苏教版数学理大一轮复习训练5.3平面向量的数量积(含答案解析)
高考数学复习、高中数学 平面向量的数量积及其应用附答案解析
课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平 面向量的数量积；2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；3.能 用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角；4.会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件；5.会用向量方法解决简单的平面几 何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
3
12
D.
7
规律方法 1.当向量 a, b 是非坐标形式时，要把 a, b 用已知的不共线向量作为基底来表示且
题中应该需要有基底向量的模与夹角，然后进行运算.
2.数量积的运算 a•b=0 a b 中，是对非零向量而言的，若 a, b 中有零向量，虽然 a•b=0，但不能得到 a b .
角度 2 平面向量的模
（）
（ 3） 两 个 向 量 的 数 量 积 是 一 个 实 数 ， 向 量 的 加 、 减 、 数 乘 运 算 的 运 算 结 果 是 向 量 . （）
（
4）
若
a·
b=a·
c(a 0)，
则
b=c.
（）
教材衍化
2. 设 a，b 是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a//b”的
（）
A. 充分而不必要条件
．
（2）已知 a=（2sin13°，2sin77°），|a﹣b|=1，a 与 a﹣b 的夹角为 ，则 a•b=（ ）
3
A．2
B．3
C．4
D．5
考点 2 平面向量数量积的应用
角度 1 平面向量的垂直
【例 2-1】（1）（2016·山东）已知非零向量 m,n 满足 4 | m | 3 | n | ， cos m, n 1 3
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理解析版
１．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB 就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤１80°θ＝0°或θ＝１80°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b２．平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.３．向量数量积的运算律（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x１x２＋y１y２|≤错误![小题体验]１．已知|a|＝２，|b|＝6，a·b＝—6错误!，则a与b的夹角θ为________．答案：错误!２．已知向量a＝（—１,３），b＝（１，t），若（a—２b）⊥a，则|b|＝________.解析：因为a＝（—１,３），b＝（１，t），所以a—２b＝（—３,３—２t）．因为（a—２b）⊥a，所以（a—２b）·a＝0，即（—１）×（—３）＋３（３—２t）＝0，即t＝２，所以b＝（１,２），所以|b|＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知两个单位向量e１，e２的夹角为错误!，若向量b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，则b１·b＝________.２解析：由b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，得b１·b２＝（e１—２e２）·（３e１＋４e２）＝３e错误!—２e１·e２—8e错误!.因为e１，e２为单位向量，〈e１，e２〉＝错误!，所以b１·b２＝３—２×错误!—8＝—6．答案：—6１．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．２．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．３．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.４．在用|a|＝错误!求向量的模时，一定要把求出的a２再进行开方．[小题纠偏]１．给出下列说法：１向量b在向量a方向上的投影是向量；２若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；３（a·b）c＝a（b·c）；４若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：0２．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝________.解析：因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!＋错误!＝错误!.所以cos∠ABC＝错误!＝错误!，又0°≤∠ABC≤１80°，所以∠ABC＝３0°.答案：３0°３．已知平面向量a与b的夹角为错误!，a＝（１，错误!），|a—２b|＝２错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（１，错误!），所以|a|＝２，又|a—２b|＝２错误!，即|a|２—４a·b＋４|b|２＝１２，故２２—４×２×|b|×cos 错误!＋４|b|２＝１２，化简得|b|２—|b|—２＝0，所以|b|＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．设a＝（１，—２），b＝（—３,４），c＝（３,２），则（a＋２b）·c＝________.解析：因为a＋２b＝（１，—２）＋２（—３,４）＝（—５,6），所以（a＋２b）·c＝（—５,6）·（３,２）＝—３．答案：—３２．（２0１8·南京高三年级学情调研）在△ABC中，AB＝３，AC＝２，∠BAC＝１２0°，错误!＝λ错误!.若错误!·错误!＝—错误!，则实数λ＝________.解析：因为错误!＝错误!—错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋λ（错误!—错误!）＝（１—λ）错误!＋λ错误!，错误!·错误!＝２×３×cos １２0°＝—３．所以错误!·错误!＝（λ—１）错误!２＋λ错误!２＋（１—２λ）错误!·错误!＝１9λ—１２＝—错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!３．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（—２，—6），|b|＝错误!，则a·b＝________.解析：因为a＝（—２，—6），所以|a|＝错误!＝２错误!，又|b|＝错误!，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝２错误!×错误!×错误!＝１0．答案：１0４．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝２，D为BC的中点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝２，AB＝２错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos ４５°＋|错误!|·|错误!|cos ４５°＝２错误!×２×错误!＋２错误!×１×错误!＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A（0,２），B（—２,0），D（—１,0），所以错误!＝（—２,0）—（0,２）＝（—２，—２），错误!＝（—１,0）—（0,２）＝（—１，—２），所以错误!·错误!＝—２×（—１）＋（—２）×（—２）＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的２种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b ＝x１x２＋y１y２错误!错误![锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）平面向量的模；（２）平面向量的夹角；（３）平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模１．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知平面向量a＝（２,１），a·b＝１0，若|a＋b|＝５错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（２,１），所以|a|＝错误!，又|a＋b|＝５错误!，所以a２＋２a·b＋b２＝５0，所以b ２＝２５，所以|b|＝５．答案：５角度二：平面向量的夹角２．（２0１8·太湖高级中学检测）已知|a|＝１，|b|＝错误!，且a⊥（a—b），则向量a与向量b的夹角为________．解析：因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝a２—a·b＝１—错误!cos a，b＝0，所以cos a，b＝错误!，所以a，b＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·启东中学检测）已知平面向量α，β满足|β|＝１，且α与β—α的夹角为１２0°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC中，设错误!＝β，错误!＝α，则错误!＝错误!—错误!＝β—α.因为α与β—α的夹角为１２0°，所以A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则BA＝错误!sin C．又0＜sin C≤１，所以0＜BA≤错误!，故α的模的取值范围是错误!.答案：错误!角度三：平面向量的垂直４．在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!＝（6,１），错误!＝（x，y），错误!＝（—２，—３），且错误!∥错误!.（１）求x与y之间的关系式；（２）若错误!⊥错误!，求四边形ABCD的面积．解：（１）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x＋４，y—２），错误!＝（x，y）．因为错误!∥错误!，所以（x＋４）y—（y—２）x＝0，即x＋２y＝0．（２）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝（x＋6，y＋１），错误!＝错误!＋错误!＝（x—２，y—３）．因为错误!⊥错误!，所以（x＋6）（x—２）＋（y＋１）（y—３）＝0，即x２＋y２＋４x—２y—１５＝0，联立错误!解得错误!或错误!当错误!时，错误!＝（8,0），错误!＝（0，—４），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6；当错误!时，错误!＝（0,４），错误!＝（—8,0），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6．所以四边形ABCD的面积为１6．[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略（１）求两向量的夹角：cos θ＝错误!，要注意θ∈[0，π]．（２）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：１a２＝a·a＝|a|２或|a|＝错误!.２|a±b|＝错误!＝错误!.３若a＝（x，y），则|a|＝错误!.（３）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a—b|＝|a＋b|.[演练冲关]１．（２0１9·海安模拟）已知平面向量a与b的夹角等于错误!，若|a|＝２，|b|＝３，则|２a—３b|＝________.解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 错误!＝３，所以|２a—３b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知向量a，b满足a＝（４，—３），|b|＝１，|a—b|＝错误!，则向量a，b的夹角为________．解析：易知|b|＝１，|a|＝５，对|a—b|＝错误!两边平方，整理得２a·b＝５，即２|a||b|cos θ＝５，解得cos θ＝错误!，则向量a，b的夹角为错误!.答案：错误!３．已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．解析：错误!＝错误!—错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝—λ错误!２＋错误!２＋（λ—１）错误!·错误!＝—9λ＋４＋（λ—１）×３×２×错误!＝0，解得λ＝错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]（２0１8·启东高三期中）已知向量a＝（sin x,２），b＝（cos x，１），函数f（x）＝a·b.（１）若a∥b，求tan错误!的值；（２）求函数y＝f错误!，x∈错误!的最小值和最大值．解：（１）由a∥b，得sin x＝２cos x．所以tan x＝２．所以tan错误!＝错误!＝—３．（２）因为f（x）＝a·b＝sin x·cos x＋２＝错误!sin ２x＋２，所以y＝f错误!＝错误!sin错误!＋２．因为x∈错误!，所以２x—错误!∈错误!，从而—错误!≤sin错误!≤１．于是，当２x—错误!＝—错误!，即x＝0时，函数y＝f错误!有最小值错误!，当２x—错误!＝错误!，即x＝错误!时，函数y＝f错误!有最大值错误!.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路（１）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m＝（错误!cos x，—１），n＝（sin x，cos２x）．（１）当x＝错误!时，求m·n的值；（２）若x∈错误!，且m·n＝错误!—错误!，求cos ２x的值．解：（１）当x＝错误!时，m＝错误!，n＝错误!，所以m·n＝错误!—错误!＝错误!.（２）m·n＝错误!cos x sin x—cos２x＝错误!sin ２x—错误!cos ２x—错误!＝sin错误!—错误!.若m·n＝错误!—错误!，则sin错误!—错误!＝错误!—错误!，即sin错误!＝错误!.因为x∈错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!，所以cos错误!＝错误!，则cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·海门模拟）向量a＝（３,４）在向量b＝（１，—１）方向上的投影为________．解析：∵向量a＝（３,４），b＝（１，—１），∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·江苏百校联盟联考）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a—b）＝8，|a|＝２，则|b|＝________.解析：因为a·（a—b）＝8，所以a·a—a·b＝8，即|a|２—|a||b|cos a，b＝8，所以４＋２|b|×错误!＝8，解得|b|＝４．答案：４３．（２0１8·苏州期末）已知a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，则向量a与b的夹角是________．解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，∴m２＋４＝１6,１＋n２＝４，解得m＝２错误!，n＝错误!.∴a·b＝m＋２n＝４错误!＝４×２×cos θ，∴cos θ＝错误!，则向量a与b的夹角是错误!.答案：错误!４．（２0１8·滨海期末）已知向量a＝（—１,３），b＝（３，t），若a⊥b，则|２a＋b|＝________.解析：∵向量a＝（—１,３），b＝（３，t），a⊥b，∴a·b＝—３＋３t＝0，解得t＝１，∴b＝（３,１），２a＋b＝（１,7），故|２a＋b|＝错误!＝５错误!.答案：５错误!５．（２0１8·淮安高三期中）在平行四边形ABCD中，AB＝２，AD＝１，∠ABC＝60°，则错误!·错误!＝________.解析：由题意得错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＝４＋２×１×cos １２0°＝３．答案：３6．（２0１8·南通一调）已知边长为6的正三角形ABC，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，AD 与BE交于点P，则错误!·错误!的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B（—３,0），C（３,0），D（0,0），A（0，３错误!），E（１, ２错误!），P错误!，所以错误!·错误!＝|错误!|２＝错误!２＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·淮安调研）已知向量a＝（１，x），b＝（—１，x），若２a—b与b垂直，则|a|＝________.解析：由已知得２a—b＝（３，x），而（２a—b）·b＝0⇒—３＋x２＝0⇒x２＝３，所以|a|＝错误!＝错误!＝２．答案：２２．（２0１9·如皋模拟）已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝（３,４），|b|＝１，则|a—２b|＝________.解析：∵a＝（３,４），∴|a|＝错误!＝５，又|b|＝１，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝５×１×错误!＝错误!，∴|a—２b|２＝a２＋４b２—４a·b＝２５＋４—１0＝１9，则|a—２b|＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·苏北四市期末）已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与２a—b夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a２＝b２＝a２＋２a·b＋b２，a·b＝—错误!a２＝—错误!b２，所以a·（２a—b）＝２a２—a·b＝错误!a２，|２a—b|＝错误!＝错误!＝错误!|a|，cos〈a,２a—b〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州中学高三学情调研）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA ＝３，PC＝４，矩形对角线AC＝6，则错误!·错误!＝________.解析：由题意可得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝9＋错误!·（错误!＋错误!）＋0＝9＋错误!·错误!＝9＋３×6×cos（π—∠PAC）＝9—１8×错误!＝9—１8×错误!＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１8·苏锡常镇调研）已知菱形ABCD边长为２，∠B＝错误!，点P满足错误!＝λ错误!，λ∈R，若错误!·错误!＝—３，则λ＝________.解析：法一：由题意可得错误!·错误!＝２×２cos 错误!＝２，错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·[（错误!—错误!）—错误!]＝（错误!＋错误!）·[（λ—１）·错误!—错误!]＝（１—λ）错误!２—错误!·错误!＋（１—λ）错误!·错误!—错误!２＝（１—λ）·４—２＋２（１—λ）—４＝—6λ＝—３，所以λ＝错误!.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（２,0），C（１，错误!），D（—１，错误!）．令P（x,0），由错误!·错误!＝（—３，错误!）·（x—１，—错误!）＝—３x＋３—３＝—３x＝—３得x＝１．因为错误!＝λ错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市调研）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝３，OC＝５．若错误!·错误!＝—7，则错误!·错误!＝________.解析：错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２，同理，错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝—7，所以错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝错误!２—错误!２—7＝9．答案：97．（２0１9·崇川一模）若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝２，|b|＝１，则向量a与b夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝２，|b|＝１，∴|a|２＝|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b，即a·b＝—错误!|b|２＝—错误!×１２＝—错误!，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!，∴向量a与b夹角的余弦值为—错误!.答案：—错误!8．（２0１8·盐城期中）如图，在四边形ABCD中，A＝错误!，AB＝２，AD＝３，分别延长CB，CD至点E，F，使得错误!＝λ错误!，错误!＝λ错误!，其中λ＞0，若错误!·错误!＝１５，则λ的值为________．解析：∵错误!＝错误!—错误!＝λ错误!—λ错误!＝λ错误!＝λ（错误!—错误!），∴错误!·错误!＝λ（错误!—错误!）·错误!＝λ（错误!２—错误!·错误!）＝λ（9—３）＝１５，∴λ＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·通州调研）设两个向量a，b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）若|a|＝２，|b|＝３，a，b的夹角为60°，求使向量k a＋b与a＋k b垂直的实数k的值．解：（１）证明：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（a＋b）＋（２a＋8b）＋３（a—b）＝6（a＋b）＝6错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点A，∴A，B，D三点共线．（２）∵k a＋b与a＋k b垂直，∴（k a＋b）·（a＋k b）＝0，∴k a２＋（k２＋１）|a||b|·cos 60°＋k b２＝0，即３k２＋１３k＋３＝0，解得k＝错误!.１0．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!.（１）若四边形ABCD是矩形，求错误!·错误!的值；（２）若四边形ABCD是平行四边形，且错误!·错误!＝6，求错误!与错误!夹角的余弦值．解：（１）因为四边形ABCD是矩形，所以错误!⊥错误!，即错误!·错误!＝0，又AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9２＝１8．（２）设错误!与错误!的夹角为θ，由（１）得，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9×6×cos θ—错误!×9２＝6，所以cos θ＝错误!.故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）如图，在半径为２的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若错误!·错误!＝２，则错误!·错误!＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（２,0），B（0,２），设P（x，y），由错误!·错误!＝２，可得２x＝２，x＝１，P为A错误!上的一点，所以|错误!|＝２，所以P（１，错误!），错误!＝（１，错误!），又错误!＝（—２,２），所以错误!·错误!＝—２＋２错误!.答案：—２＋２错误!２．（２0１8·南通、扬州、泰州、淮安调研）如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若错误!＝３，错误!＝５，则（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）的值为________．解析：法一：因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝２错误!＋错误!，而错误!—错误!＝错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，所以（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（２错误!＋错误!）·错误!＝２错误!·错误!，又因为Q是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，故２错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝9—２５＝—１6．法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|错误!|＝３，|错误!|＝５，所以|错误!|＝４，cos∠BAC＝错误!，故错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!，从而（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!错误!２＋错误!错误!·错误!—错误!２＝错误!×9＋错误!×３×５×错误!—２５＝—１6．答案：—１6３．（２0１9·姜堰中学调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos （A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，AD⊥BC于D，求错误!·错误!的值．解：（１）由m·n＝错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）·sin B＝错误!，所以cos A＝错误!.因为0＜A＜错误!，所以sin A＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理，得错误!＝错误!，则sin B＝错误!＝错误!＝错误!.因为0＜B＜错误!，所以B＝错误!，所以sin C＝sin（A＋B）＝错误!（sin A＋cos A）＝错误!.又|错误!|＝|错误!|sin C＝５×错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝—错误!２＝—|错误!|２＝—错误!.命题点一平面向量基本定理１．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）在△ABC中，错误!＝a，错误!＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝________.（用a，b表示）解析：由题知错误!＝错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b.答案：错误!a—错误!b２．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（１,２），b＝（２，—２），c＝（１，λ）．若c∥（２a＋b），则λ＝________.解析：由题易得２a＋b＝（４,２），因为c∥（２a＋b），所以４λ＝２，解得λ＝错误!.答案：错误!３．（２0１7·江苏高考）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为１,１，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为４５°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R），则m＋n＝________.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（１，0），由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，设C（x C，y C），B（x B，y B），则x C＝|错误!|cos α＝错误!×错误!＝错误!，y C＝|错误!|sin α＝错误!×错误!＝错误!，即C错误!.又cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，sin（α＋４５°）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，则x B＝|错误!|cos（α＋４５°）＝—错误!，y B＝|错误!|sin（α＋４５°）＝错误!，即B错误!.由错误!＝m错误!＋n错误!，可得错误!解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．答案：３４．（２0１５·江苏高考）已知向量a＝（２,１），b＝（１，—２），若m a＋n b＝（9，—8）（m，n ∈R），则m—n的值为________．解析：因为m a＋n b＝（２m＋n，m—２n）＝（9，—8），所以错误!所以错误!所以m—n＝２—５＝—３．答案：—３命题点二平面向量的数量积１．（２0１6·江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝４，错误!·错误!＝—１，则错误!·错误!的值是________．解析：由题意，得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（—错误!＋错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—|错误!|２＝—１，１错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋３错误!）·（—错误!＋３错误!）＝9错误!２—错误!２＝9|错误!|２—|错误!|２＝４．２由１２得|错误!|２＝错误!，|错误!|２＝错误!.所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋２错误!）·（—错误!＋２错误!）＝４错误!２—错误!２＝４|错误!|２—|错误!|２＝４×错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１４·江苏高考）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝５，错误!＝３错误!，错误!·错误!＝２，则错误!·错误!的值是________．解析：因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝|错误!|２—错误!|错误!|２—错误!错误!·错误!＝２，将AB＝8，AD＝５代入解得错误!·错误!＝２２．答案：２２３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知向量a，b满足|a|＝１，a·b＝—１，则a·（２a—b）＝________.解析：a·（２a—b）＝２a２—a·b＝２|a|２—a·b.∵|a|＝１，a·b＝—１，∴原式＝２×１２＋１＝３．答案：３４．（２0１8·北京高考）设向量a＝（１,0），b＝（—１，m）．若a⊥（m a—b），则m＝________.解析：因为a＝（１,0），b＝（—１，m），所以m a—b＝（m＋１，—m）．由a⊥（m a—b），得a·（m a—b）＝0，即m＋１＝0，所以m＝—１．答案：—１５．（２0１8·天津高考改编）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝１２0°，AB＝AD＝１．若点E为边CD上的动点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝３0°，则D（0,0），A（１,0），B错误!，C（0，错误!）．设E（0，y）（0≤y≤错误!），则错误!＝（—１，y），错误!＝错误!，∴错误!·错误!＝错误!＋y２—错误!y＝错误!２＋错误!，∴当y＝错误!时，错误!·错误!有最小值错误!.答案：错误!6．（２0１7·北京高考）已知点P在圆x２＋y２＝１上，点A的坐标为（—２,0），O为原点，则错误!·错误!的最大值为________．解析：法一：由题意知，错误!＝（２,0），令P（cos α，sin α），则错误!＝（cos α＋２，sin α），错误!·错误!＝（２,0）·（cos α＋２，sin α）＝２cos α＋４≤6，当且仅当cos α＝１，即α＝0，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．法二：由题意知，错误!＝（２,0），令P（x，y），—１≤x≤１，则错误!·错误!＝（２,0）·（x＋２，y）＝２x＋４≤6，当且仅当x＝１，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．答案：67．（２0１6·全国卷Ⅰ）设向量a＝（m,１），b＝（１,２），且|a＋b|２＝|a|２＋|b|２，则m＝________.解析：因为|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b＝|a|２＋|b|２，所以a·b＝0．又a＝（m,１），b＝（１,２），所以m＋２＝0，所以m＝—２．答案：—２8．（２0１7·江苏高考）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），x∈[0，π]．（１）若a∥b，求x的值；（２）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（１）因为a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），a∥b，所以—错误!cos x＝３sin x.则tan x＝—错误!.又x∈[0，π]，所以x＝错误!.（２）f（x）＝a·b＝（cos x，sin x）·（３，—错误!）＝３cos x—错误!sin x＝２错误!cos错误!.因为x∈[0，π]，所以x＋错误!∈错误!，从而—１≤cos错误!≤错误!.于是，当x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f（x）取到最大值３；当x＋错误!＝π，即x＝错误!时，f（x）取到最小值—２错误!.。
平面向量的数量积-2025届数学新高考一轮复习考点专练及答案解析
ＯＡ．ＯＢ＝２５ Ｂ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，
Ｃ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的两侧时，｜ｏｃ－１ＯＡ－ＯＢ的最小值为３
Ｄ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，１０００Ｂ＝７５０Ａ＋７０Ｃ
试卷第４页，共７页
． １９．在ＡＢＣ中，令ＣＢ＝ａ，Ａｃ＝ｂ，若ａ＋ｂ＝ｑ，ａ－２ｂ＝ｅ，ｐｌ＝ｅ４＝１，ｑｅ＝１，
ｃ． ａ－ｂ≤ｌａｌ．ｂ
Ｄ． ｜ｉ－ｂ｜＜問＋ｂ
核心考点２ 向量数量积的计算
角度１ 定义法
７．已知钝角 ＡＢＣ的面积为３，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，则ＡＢ－ＡＣ的值是（ ）
Ａ． －６
Ｂ．－２√７
Ｃ． ２√７或－２√７ Ｄ． －６或６
８．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图１是八卦模型图，其平面图形记为图２中的正八
Ｂ． １
Ｃ． ２
Ｄ．２√２
１５．已知直线ｌ／ｌ？，Ａ是ｌ，ｌ？之间的一定点并且点Ａ到１，ｌ？的距离分别为１，，作 ＡＣ⊥ＡＢ，且使ＡＣ与直线ｌ？交于点Ｃ，
则（ ）
Ａ． △ＡＢＣ面积的最小值为２
Ｂ．点Ｇ到直线ｌ的距离为定值
５３５ Ｃ．当ＧＢ＝Ｇｃ时，△ＧＡＢ的外接圆半径为
【详解】因为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２＝０，可得ａ２＝ｂ２，即｜ａ＝ｂ，
可知（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０等价于ａｌ＝ｂ，
若ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，可得ａ＝ｂ，即（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，可知必要性成立；
若（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，即｜ａ｜＝ｂ，无法得出ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，
例如ａ＝（１．０）．ｂ＝（０．１），满足ｌｄ＝５，但ａ≠ｂ且ａ≠－ｂ，可知充分性不成立：
Ａ．若ａ／／ｂ，则λ＝６
λ＝３ Ｂ．若ａｌｂ，则
第03讲 平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
高考数学一轮复习全套课时作业5-3平面向量的数量积
题组层级快练5.3平面向量的数量积一、单项选择题1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.322．(2021·河北省承德月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，m)，则“m<12”是“〈a，b〉为钝角”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·成都外国语学校高三模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.10 B.11C．23 D.134．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．36．(2016·山东，理)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4 C.94D．－947．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．258．(2021·东北四校模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为() A．30°B．45°C．60°D．90°9．(2021·沧州七校联考)在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，2BE→＝EC→，则AB→·AE→＝()A．3 B.73C.83D．210．(2020·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为π3，若向量p＝a|a|＋b|b|，则|p|＝() A．2＋3 B.2＋3C．3 D.311．(2020·河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于()A．－34B．－89C．－14D．－49二、多项选择题12．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，则()A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则|b－a|＝5C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝313．(2021·成都七中月考)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是()A．a＋b B．a＋12b C．a－b D.233a－33b三、填空题和解答题14．设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．15．(2021·辽宁五校)已知|OA→|＝|OB→|＝1，|AB→|＝3，则|OA→＋2OB→|＝________．16．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．17．(2020·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2AE→＝EB→，BC的中点为F，EF→＝2FG→，则EG→·BD→＝________．18．(2020·山东新高考Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是() A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)5.3平面向量的数量积参考答案1．答案D解析AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.2．答案B解析若〈a ，b 〉为钝角，则有a ·b <0且a 与b 1＋2m<0，≠－2，得m<12且m ≠－2.故“m<12”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．故选B.3．答案A解析由向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b 得a ·b ＝0，解得x ＝2，所以|a ＋b |＝|(3，－1)|＝10.4．答案A解析∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos〈a ，b 〉＝－4.5．答案C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.6．答案B解析由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.7．答案C解析由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5.∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.8．答案C解析∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.9．答案C 10．答案D解析∵|p |2＝1＋1＋2cosπ3＝3，∴|p |＝ 3.11．答案B解析∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝|FO →|2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.故选B.12．答案ABD解析由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2，1)，|b －a |＝|(2，1)－(1，－1)|＝12＋22＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x)，由(a ＋2b )·a ＝5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x ＝3，故D 正确．13．答案CD解析由题意知，两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos60°＋|b |2＝1－2×1×1×12＋1＝1，所以向量a －b 是单位向量．C 正确．同理计算知D 正确；A 、B 不正确．14．答案2π315．答案3解析由|OA →|＝|OB →|＝1可得|AB →|＝错误!＝2－2OA →·OB →)＝3，所以OA →·OB →＝－12，所以|OA →＋2OB →|＝|OA →|2＋4OA →·OB →＋4|OB →|2)＝1－2＋4＝3.16．答案7－142，－解析由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，λ<0，＝λ，＝λt，<0，＝－14，＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．17．答案－14解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵正方形ABCD的边长为1，∴B(1，0)，D(0，1)，设G(a，b)，由EF→＝2FG→，－1，b＝43，＝34，∴∴EG→∵BD→＝(－1，1)，∴EG→·BD→＝－1＋34＝－14.18．答案A解析如图，AB→模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB→方向上投影的数量的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可得AP→·AB→等于AB→的模与AP→在AB→方向上投影的数量的乘积，所以AP→·AB→的取值范围是(－2，6)．故选A.。
高考数学江苏新攻略总复习课标通用练习：第五章第三节 平面向量的数量积及应用举例 含解析
第三节 平面向量的数量积及应用举例课时作业练1.(2017兴化第一中学高三月考)已知向量a=(1,x),向量b=(-2,1),若a⊥b,则实数x= . 答案 22.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|a+b|= . 答案 5解析 由题意可得a-2b=(-3,3-2t),则(a-2b)⊥a ⇔(a-2b)·a=3+3(3-2t)=0,解得t=2,则a+b= (-1,3)+(1,2)=(0,5),故|a+b|=5.3.(2017江苏天一中学高三质量检测)如图,在2×4的方格纸中,若a 和b 是起点和终点均在格点的向量,则向量2a+b 与a-b 的夹角余弦值是 .答案 -√1010解析 以a 的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,则a=(2,-1),b=(3,2),则向量2a+b=(7,0)与a-b=(-1,-3)的夹角余弦值是(2a+b )·(a -b )|2a+b ||a -b |=7√10=7√10=-√1010.4.(2018江苏南京多校高三段考)如图,在△ABC 中,AB=AC=3,cos∠BAC=13,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 .答案 -2解析 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-23×9+13×9+13×3=-2.5.(2018江苏三校高三联考)在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 答案 2解析 以点A 为坐标原点,AD 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则D(2,0),B(0,√3),E(1,√3), 设F(2,y),y∈[0,√3],则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)·(2,y -√3)=√3y-1=1,y=√3,则F (2√3),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)·(2√3)=2. 6.(2018南京高三学情调研)在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-173,则实数λ的值为 . 答案 13解析 由题意可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×(-12)=-3, AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-2λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-3(1-2λ)+4λ-9(1-λ)=19λ-12=-173,解得λ=13.7.(2018扬州高三考前调研)在△ABC 中,AH 是底边BC 上的高,点G 是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 6解析 由AH 是底边BC 上的高,AB=2,AC=4,∠BAH=30°得AH=√3,BH=1,HC=√13,以点H 为坐标原点,BC 、AH 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,点G 是三角形的重心,则A(0,√3),B(-1,0),H(0,0),C(√13,0),G (√13-13,√33),则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√13+1,-√3)·(√13-13,-2√33)=13-13+2=6.8.(2018徐州高三考前模拟检测)如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=4,CD=2,∠BAD=π3,E 为BC 的中点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9,则对角线AC 的长为 .答案 2√3解析 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设AD=m(m>0),则D (m2,√32m),B(4,0),C (m 2+2,√32m),E (m 4+3,√34m),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 4+3,√34m)·(4-m 2,-√32m)=-12m 2-12m+12=9,解得m=2(舍负),则C(3,√3),AC=2√3.9.(2017兴化第一中学高三月考)已知a=(1+cos ωx,1),b=(√3,-sin ωx)(ω>0),函数f(x)=a·b,函数f(x)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的表达式;(2)设θ∈(0,π2),且f (θ2)=√3+65,求cos (θ+π3)的值.解析 (1)f(x)=a·b=√3(1+cos ωx)-sin ωx=√3-2sin (ωx -π3),∵函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π,解得ω=2,∴f(x)=√3-2sin (2x -π3).(2)由f (θ2)=√3+65,得sin (θ-π3)=-35, ∵θ∈(0,π2),∴θ-π3∈(-π3,π6),∴cos (θ-π3)=45, cos (θ+π3)=cos [(θ-π3)+2π3]=cos (θ-π3)cos 2π3-sin (θ-π3)sin 2π3=45×(-12)-(-35)×√32=3√3-410. 10.设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2te 1+7e 2与向量e 1+te 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.解析 ∵e 1·e 2=|e 1||e 2|cos 60°=2×1×12=1, ∴(2te 1+7e 2)·(e 1+te 2)=2t e 12+(2t 2+7)e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t+7.由题意知2t 2+15t+7<0,解得-7<t<-12. 当2te 1+7e 2与e 1+te 2的夹角为π时, 设2te 1+7e 2=λ(e 1+te 2)(λ<0),∴{2t =λ,7=λt ,得2t 2=7,∴t=-√142(正值舍去),λ=-√14, 即当t=-√142时,两向量的夹角为π,故t∈(-7,-√142)∪(-√142,-12).11.(2018江苏淮阴中学高三第一学期阶段检测)△ABC 的面积为S,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若cos A=13,求tan B;(2)若b 2+c 2-a 2=4S,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =125,求a 的值. 解析 (1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴bccos A=2accos B,∴bcos A=2acos B,∴sin Bcos A=2sin Acos B,∴tan B=2tan A. ∵cos A=13,A∈(0,π),∴sin A=2√23,tan A=2√2,∴tan B=2tan A=4√2. (2)∵b 2+c 2-a 2=4S,∴2bccos A=4×12bcsin A,∴tan A=1, ∵A∈(0,π),∴A=π4,由(1)知tan B=2tan A=2,∵B∈(0,π), ∴sin B=2√55,cos B=√55,∴sin C=sin(A+B)=3√1010.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =125,∴bc=12√25,∵bc a2=sinBsinC sin 2A=6√25, ∴a 2=2,∴a=√2(舍负).基础滚动练(滚动循环 夯实基础)1.命题“∃x<0,使得x 2≥0”的否定是 . 答案 ∀x<0,都有x 2<02.设函数f(x)={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g(x)=x 2f(x-1),则函数g(x)的单调减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g(x)={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,函数图象如图所示,其单调减区间是[0,1).3.若sin α=35,α∈(-π2,π2),则cos (α+5π4)= .答案 -√210 解析 因为α∈(-π2,π2),sin α=35,所以cos α=45,所以cos (α+5π4)=-√22(cos α-sin α)=-√210. 4.(2018扬州模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x ∉N},M⊕N=(M -N)∪(N -M).设A={y|y=x 2-3x,x∈R},B={y|y=-2x ,x∈R},则A⊕B= . 答案 {y |y ≥0或y <-94}解析因为A={y|y≥-94},B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A={y|y<-94},A⊕B=(A-B)∪(B-A)={y|y≥0或y<-94}.5.已知a=ln22,b=ln33,c=ln55,则a,b,c从小到大的顺序为.答案c<a<b解析a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0,则a<b,a-c=ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0,则a>c,故c<a<b.6.(2018盐城模拟)函数f(x)=2ln x-x2+4x-5的零点的个数为.答案2解析由2ln x-x2+4x-5=0得2ln x=x2-4x+5,在同一坐标系中作出y=2ln x与y=x2-4x+5的图象,y=x2-4x+5=(x-2)2+1,得其顶点坐标为(2,1),又当x=2时,y=2ln x=2ln 2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数y=2ln x图象的下方,故函数y=2ln x的图象与函数y=x2-4x+5的图象有2个交点,所以函数f(x)=2ln x-x2+4x-5的零点的个数为2.7.(2018徐州模拟)若函数f(x)=13x3-(1+b2)x2+2bx在区间[-3,1]上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为.答案2b-43解析 f '(x)=x2-(2+b)x+2b=(x-2)(x-b),由f(x)在区间[-3,1]上不是单调函数得-3<b<1,则x∈(-∞,b)时, f '(x)>0, f(x)递增,x∈(b,2)时, f '(x)<0, f(x)递减,x∈(2,+∞), f '(x)>0,f(x)递增,则函数f(x)在R上的极小值为f(2)=2b-43.8.(2018江苏南京多校高三段考)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若a⊥b,求sinθ-cosθsinθ+cosθ的值;(2)若|a-b|=2,θ∈(0,π2),求sin (θ+π4)的值.解析 (1)由a⊥b 可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ,所以sinθ-cosθsinθ+cosθ=2cosθ-cosθ2cosθ+cosθ=13. (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1)可得,|a-b|=√(cosθ-2)2+(sinθ+1)2==2, 即1-2cos θ+sin θ=0,①又cos 2θ+sin 2θ=1,且θ∈(0,π2)②,由①②可解得{sinθ=35,cosθ=45,所以sin (θ+π4)=√22(sin θ+cos θ)=√22×(35+45)=7√210.。
2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)
专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积． 二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ． 三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤． 四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算 题型二：平面向量的夹角 题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量 题型五：平面向量的垂直问题 题型六：建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=， 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ， 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为134a b c ===，，， 所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________． 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒， 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-， 即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________． 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-， 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====， 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内， 所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°， 所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果． 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =， 所以()2225x x +=， 解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ， 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==， 故答案为：4． 【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用． 题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______． 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭， 所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=， 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（ ）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】 解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角， 当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==， 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠， 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________． 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（ ）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-， 因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得； 【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==， 又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-， 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（ ）A B C D ．12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（ ） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-， 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=， 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】 求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=， 即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ）AB C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π， 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=， 解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值． 【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】 求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯， 所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=， 扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0， 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭， 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可． 【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=， 故答案为：54． 例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（ ）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=； 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（ ）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==， 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可． 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-， 故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =， 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=， 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-， 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =， 又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-． 故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____． 【答案】12±【解析】 【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（ ） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=， 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量， 所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=， 故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积； 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ， 又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =， 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭， 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=， 故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（ ）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（ ） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确； 故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（ ） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =， 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，， 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（ ）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==， 作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______． 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心， 所以()13=+AO AB AC ， 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△， 即1134522AD ⨯⨯=⨯， 所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =． 方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ， 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ． 方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-， 当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。
高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版
第3讲 平面向量的数量积一、填空题1．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k＝________.解析 ∵a ＋b 与ka －b 垂直，∴(a ＋b )·(ka －b )＝0，化简得(k －1)(a·b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a·b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1. 答案 12．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案 π33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________. 解析 |a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3. 答案34．设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝________.解析 由BE →＝2EC →，得AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，所以AE →＝13AB →＋23AC →.同理AF →＝23AB →＋13AC →，又AB →⊥AC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝29AB →2＋29AC →2＝29×9＋29×36＝10. 答案 105．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为________．解析 将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a ·b ＝0； 将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2.所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b a －b |a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a2＝12.所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°.答案 60°6．已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________．解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝2，得|AB →||AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →＝0知，O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝33.答案337．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，12，MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.答案 －28．已知向量p 的模为2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，且a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．解析 由题意可知较小的对角线为|a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q |＝p ＋3q2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2＝ 8＋122×22＋9＝29. 答案299．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为________．解析 ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.答案 π310．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________.解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223，又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC →＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1.答案 －1 二、解答题11．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)若存在实数k 和t ，满足x ＝(t ＋2)a ＋(t 2－t －5)b ，y ＝－k a ＋4b ，且x ⊥y ，求出k 关于t 的关系式k ＝f (t )；(2)根据(1)的结论，试求出函数k ＝f (t )在t ∈(－2,2)上的最小值． 解 (1)a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，所以x·y ＝－(t ＋2)·k ·a 2＋4(t 2－t －5)·b 2＝0， 故－(t ＋2)·k ·4＋4(t 2－t －5)·1＝0，整理得k ＝f (t )＝t 2－t －5t ＋2(t ≠－2)．(2)k ＝f (t )＝t 2－t －5t ＋2＝t ＋2＋1t ＋2－5，因为t ∈(－2,2)，所以t ＋2>0，则k ＝t ＋2＋1t ＋2－5≥－3， 当且仅当t ＋2＝1，即t ＝－1时取等号，所以k 的最小值为－3. 12. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线． (1)求证：DC ＝2BD ； (2)求AB →·DC →的值．(1)证明 在△ABD 中，由正弦定理得ABsin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD.①在△ACD 中，由正弦定理得 ACsin ∠ADC ＝DCsin ∠CAD .②又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ， 又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ， 由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD .(2)解 因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121.所以AB →·DC →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC → ＝23|AB →||BC →|cos(π－B )＝23×3×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1121＝－223. 13． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 14．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ⊥n ，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的值域． 解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝0，则32sin x 2＋12cos x 2＋12＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2－1＝－12. (2)由题意，得f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.由(2a －c )cos B ＝b cos C ，及正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3，0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2， 12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1. ∴函数f (A )的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
江苏版高考数学一轮复习：专题5.3平面向量的数量积讲解附答案
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】专题5.3 平面向量的数量积【考纲解读】 内 容要 求备注A B C平面向量平面向量的数量积√1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【直击考点】题组一 常识题1．已知在△ABC 中，B 是最大内角，AB →·BC →<0，则△ABC 的形状是____________． 【解析】设AB →与BC →的夹角为θ，则AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos θ<0，得cos θ <0，所以cos B ＝cos(π－θ)>0，所以B 为锐角．又B 是三角形的最大内角，所以△ABC 为锐角三角形．2．在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°，则AB →·AD →＝________．3．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)，则向量b 在向量a 上的投影为______． 【解析】∵向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)， ∴向量b 在向量a 上的投影为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·b |a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－216＋4＝55.4．已知力F 1和F 2的合力为12 N ，F 1为24 N ，力F 2与合力F 的夹角为90°，则力F 1与F 2的夹角的大小为________．【解析】由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F |＝12 N ，|F 1|＝24 N ，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.题组二 常错题5．在△ABC 中，若AC →·AB→|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为________．6．已知 AB →＝(2，－1)，CD →＝(3，3)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 【解析】向量AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×3＋（－1）×332＝22.题组三 常考题7． 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则∠ABC ＝________．【解析】因为cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－32，所以∠ABC ＝150°.8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝7，则|b |＝________． 【解析】由|2a ＋b |＝7，两边同时平方得4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，即|b |2＋2|b |－3＝0，解得|b |＝1或|b |＝－3(舍去)．9． 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，1)，且(a ＋b )·b ＝|a |，则实数x ＝________．【知识清单】考点1 平面向量数量积的运算 一、两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 4．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 五、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22. 4．cos θ＝||||⋅a b a b 112222221212a ab b ++θ为a 与b 的夹角)考点2 向量的夹角与向量的模 1. a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.4.|a ·b |≤|a ||b |.考点3 向量数量积的综合应用 1. a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-且则向量a 在向量b 上的投影等于 . 【答案】4-【解析】∵=|a|||cos<,>a b b a b ⋅⋅⋅，而a 在b 上的投影为-12|a|cos<,>===-43|b|a b a b ⋅⋅. 【1-2】已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD ＝ .【答案】8【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＋AD ＝AC ，∴AD ＝AC －AB ＝(－1，－1)．又BD ＝AD －AB ＝(－3，－5)，∴AD ·BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8．【思想方法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为 . 【答案】 120【解析】由a b a ⊥+)(知，()a b a +⋅=2a ab +⋅=0，所以2a b a ⋅=-=-1，所以cos ,a b =||||a ba b ⋅=12-，所以a 与b 的夹角为 120.【2-2】若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且1a =，1b =，3c =，则a b c ++等于 .【答案】2或5【2-3】△ABC 中,|AB |=5,|AC |=8,AB ·AC =20,则|BC |为 . 【答案】7【解析】由|AB |=5,|AC |=8,AB ·AC =20,1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，又0A π<<， 3A π∴=，由余弦定理得222cos 7BC AB AC AB AC A =+-=【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定. 考点3 向量数量积的综合应用【3-1】已知O 为坐标原点，向量()3sin ,cos OA αα=，()2sin ,5sin 4cos OB ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且OA OB ⊥，则tan α值为 .【答案】43-【3-2】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若AC BC ⋅＝－1，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为 . 【答案】－95【解析】由AC ＝(cos α－3，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－3)，得AC BC ⋅＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，21tan 2sin sin 2ααα++＝2sin 1cos 2sin 2sin cos ααααα++⋅＝12sin cos αα⋅＝－95. 【3-3】已知函数()xxf x e e -=-，实数x ，y 满足22(2)(2)0f x x f y y -+-≥，若点()1,2M ，(),N x y ，则当14x ≤≤时，OM ON ⋅的最大值为 (其中O 为坐标原点)【答案】12【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．【易错试题常警惕】(1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC 中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.。
江苏版高考数学一轮复习：专题5.3平面向量的数量积巩固检测题附答案.doc
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】专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝ 【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点． 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积教案含解析
江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积教案含解析§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b 投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c ； ②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22)概念方法微思考1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ×)(3)(a·b)c＝a(b·c)．( ×)(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ×)(5)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ×)题组二教材改编2．[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案 －6解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2， 则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2) ＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________． 答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的基本运算1．(2018·全国Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝________. 答案 3解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·苏北四市调研)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝________. 答案61解析 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0.由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a . 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.4．(2018·江苏淮安清江中学调研)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，D 为BC边上的点，且AD →·BC →＝0，CE →＝2EB →，则AD →·AE →＝________.答案 1解析 ∵AD →·BC →＝0，∴AD →⊥BC →，且D 为BC 的中点，∠B ＝∠C ＝30°， ∴在Rt△ADB 中可求得AD ＝1，AD →·DE →＝0， ∵AD →·AE →＝AD →·(AD →＋DE →)＝AD →2＋AD →·DE →， ∴AD →·AE →＝1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模与夹角例1(1)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|＝________. 答案 3解析 如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →， 所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →) ＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25|AB →|＝3.(2)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为________． 答案π3解析 由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3， ∴cos α＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(3)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为________． 答案 4解析 因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°， 所以A ，O ，B ，C 四点共圆． 不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ， 所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12. 所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为 2R ＝|AB →|sin∠AOB＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4.命题点2 平面向量的平行与垂直例2在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且AD →∥BC →. (1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题意得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，BC →＝(x ，y )． 因为AD →∥BC →，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)由题意AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1(1)(2018·江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，△BCD 是等边三角形，若AC →·BD →＝1，则AD 的长为________．答案6解析 取BD 的中点H ，连结AH ，CH ，由△BCD 为等边三角形，可得CH ⊥BD ， 由AC →·BD →＝1，可得(AH →＋HC →)·BD →＝AH →·BD →＋HC →·BD →＝A H →·BD →＝12(AD →＋AB →)·(AD →－AB →)＝12(AD →2－AB →2)＝1， 可得AD →2＝AB →2＋2＝4＋2＝6， 所以|AD →|＝ 6.(2)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 设在△ABC 中，a ＝|β|＝1，A ＝60°，|α|＝c ， 由正弦定理得a sin A ＝csin C ， 则a sin C sin A ＝c ，即c ＝2 33sin C . 又0<sin C ≤1，即c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233，则α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.(3)设a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，a ＝(1,2)． ①若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；②若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 ①因为c ∥a ，设c ＝λa ＝(λ，2λ)， 又|c |＝25，所以5λ2＝20，解得λ＝±2， 所以c ＝(2,4)或(－2，－4)． ②因为(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 所以2a 2－a ·b ＋4a ·b －2b 2＝0，解得a ·b ＝－52，即5·52·cos θ＝－52，又0≤θ≤π，所以θ＝π.题型三 平面向量与三角函数例3如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0.解 (1)∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝________.答案 －2解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－(23)22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |＝________. 答案 2 2解析 根据题意，|a －b |＝3＋2＝5， 则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5， 可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2， 可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8， 则||2a －b ＝2 2.3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 的值为________． 答案 －1解析 向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)， 则k a －2b ＝()k －4，k ＋6.若k a －2b 与a 垂直，则k －4＋k ＋6＝0， 解得k ＝－1.4．已知四边形ABCD ，若AC →·BD →＝AB →·CD →＝2，则AD →·BC →的值为________． 答案 0解析 因为AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)＝AB →·CD →＋(AB →＋BC →＋CD →)·BC →＝AB →·CD →＋AD →·BC →， 所以AD →·BC →＝AC →·BD →－AB →·CD →＝0.5．(2018·苏北四市考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP →·OA →＝2，则OP →·AB →的值为________．答案 －2＋2 3解析 方法一 因为OP →·OA →＝|OP →|·|OA →|·cos∠AOP ＝2×2×cos∠AOP ＝2， 所以∠AOP ＝60°，∠BOP ＝30°，所以OP →·AB →＝OP →·(OB →－OA →) ＝OP →·OB →－OA →·OP →＝|OP →|·|OB →|·cos∠BOP －2 ＝2×2×cos30°－2＝－2＋2 3.方法二 以O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y 轴．设∠AOP ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则P (2cos θ，2sin θ)，A (2,0)，B (0,2)， 则OP →·OA →＝(2cos θ，2sin θ)·(2,0) ＝4cos θ＝2，解得cos θ＝12，即θ＝π3，所以P (1，3)，则OP →·AB →＝(1，3)·(－2,2) ＝－2＋2 3.6．(2018·江苏无锡梅村高中月考)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，|a ＋2b |＝5，则向量a ，b 夹角的余弦值为________． 答案516解析 因为平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，|a ＋2b |＝5， 则|a ＋2b |＝a 2＋4b 2＋4a ·b＝22＋4×22＋4×2×2cos〈a ，b 〉＝5， 解得cos 〈a ，b 〉＝516.7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是________． 答案 [－1,3] 解析 如图所示，由题意可得，点M 所在区域的不等式表示为(x －1)2＋(y －1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2)． 可设点M (x ，y )，A (0,0)，B (2,0)．∴MA →·MB →＝(－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝－x (2－x )＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1，由(x －1)2＋y 2∈[0,2]，∴MA →·MB →∈[－1,3]．8.如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．答案 －17解析 如图，建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)． 则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)． ∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17.9．(2018·南京模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________． 答案 13解析 由题意知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →，所以AM →·BC →＝[(1－λ)AB →＋λAC →]·(AC →－AB →)＝(λ－1)·AB →2＋λAC →2＋(1－2λ)AB →·AC →＝9(λ－1)＋4λ＋(1－2λ)×3×2×cos120°＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.10．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1.可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b .CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求PA →·(PB →＋PC →)的最小值． 解 方法一 设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →) ＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0， 故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.方法二 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)， 设P (x ，y )，取BC 的中点D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________． 答案33解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－OC →，∴O 为三角形的重心， ∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13，∵AB →·AC →＝2，∴|AB →||AC →|cos∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB →||AC →|＝4， △ABC 的面积为12|AB →||AC →|sin∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33. 14．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是________．答案63解析 设BC 的中点为D ， 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos120°＝－3，所以bc ＝6， 所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号．15.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，则OA →·OM →的最大值为________．答案 52＋7解析 设∠OBC ＝θ，则B ()2cos θ，0，C ()0，2sin θ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，M ⎝⎛⎭⎪⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，OA →·OM →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos θ－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos θ－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ ＝52＋12cos2θ＋332sin2θ ＝52＋7sin ()2θ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝39. ∴OA →·OM →的最大值为52＋7.16．已知OP →，OQ →是非零不共线的向量，设OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →，定义点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP→＝FQ →·FM →||FQ →，当F 1，F 2∈A 时，若对于任意的m ≥3，当F 1，F 2不在直线PQ 上时，不等式||F 1F 2→≤k ||PQ →恒成立，求实数k 的最小值． 解 由OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →(m ≥3)，可得P ，Q ，M 三点共线且PMQM＝m ，由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM→||FQ →， 可得||FM →cos∠PFM ＝||FM →cos∠QFM ， 即∠PFM ＝∠QFM ，则FM 为∠PFQ 的角平分线， 由角平分线的性质定理可得PF QF ＝PMQM＝m ， 以P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则P ()0，0，Q ()1＋m ，0，F (x ，y )，于是x 2＋y 2()x －1－m 2＋y2＝m ，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 21－m 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12， 故点F (x ，y )是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －1，0为圆心，m m －1为半径的圆．要使得不等式||F 1F 2→||≤k PQ →对m ≥3恒成立，只需2m m－1≤k()m＋1，即k≥2mm2－1＝21m－1m 对m≥3恒成立，∴k≥2×13－13＝34.。
高考数学一轮复习 5.3 平面向量的数量积 理 苏教版
5.3 平面向量的数量积一、填空题1. 已知向量a 和向量b 的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a ·b = . 解析 考查数量积的运算. a ·b =2×33 =3. 答案 32．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 解析 ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]． 答案 [0,1]3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于________．解析 a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22 ＝－6＋cos π3＋2＝－4＋12＝－72.答案 －724．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，a ＝(3，1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 由a ＝(3，1)，得|a |＝2，所以|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝2 3. 答案 2 35．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2×2＝ 2.【点评】 建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.6.已知1e ,2e是夹角为23π的两个单位向量, a =1e -22e ,b =k 1e +2e , 若a ·b =0,则实数k 的值为 .解析 由a ·b =0得（1e -22e ）·（k 1e +2e ）=0. 整理,得 k - 2+（1-2k ）cos 23π=0,解得k=54. 答案547．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析 法一 建系如图所示． 令B (x B,0)，C (x C ，y C )，D (0,1)，所以BC →＝(x C －x B ，y C )，BD →＝(－x B,1)，BC →＝ 3 BD →，所以⎩⎨⎧x C －x B ＝3－x B ，y C ＝3，所以x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3. AC →＝((1－3)x B ，3)，AD →＝(0,1)，则AC →·AD →＝ 3.法二 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝3AD →·BD →， 其中AD →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠ADB ＝|AD →||BD →|·|AD →||BD →|＝AD →2＝1.故 3 AD →·BD →＝ 3. 答案38．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，12，MA →·MB→＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.答案 －29．已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________． 解析 |a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q | ＝2p ＋3q2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2＝8＋122×22＋9 ＝29. 答案2910．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 法一：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y 510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1， y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)． 答案 (－1，－3)11．已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC的面积为________．解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝2，得|AB →||AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →＝0知，O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝33. 答案3312．已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．解析 设AG 交BC 于D ，则由G 是△ABC 的重心，得D 是BC 的中点， 所以AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|2＝19(AB →＋AC →)2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)，又由－2＝AB →·AC → ＝|AB →||AC →|cos 120°，得|AB →||AC →|＝4， 故当|AB →|＝|AC →|＝2时，|AG →|取最小值23.答案 2313．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的________心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0，所以NM →⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 答案 外心 二、解答题14．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2.(1)求a ·b 的值； (2)求|a ＋b |的值． 解析 (1)因为|a －b |＝2，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a ·b ＝4. 所以a ·b ＝12.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6.故|a ＋b |＝ 6.15．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．解析 由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb ·λa ＋b|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0. λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856.若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧kλ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解析 (1)因为b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，所以|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2，故当cos θ＝－1时，向量b ＋c 的长度取最大值2. (2)若α＝π4，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，所以a ·(b ＋c )＝22cos β＋22sin β－22.因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1，平方得cos β sin β＝0， 所以cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线．(1)求证：DC ＝2BD ；(2)求AB →·DC →的值．解析(1)证明 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD .①在△ACD 中，由正弦定理得 ACsin ∠ADC ＝DCsin ∠CAD .②又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ， 又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ，由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD .(2)因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121. 所以AB →·DC →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BC →＝23|AB →||BC →|cos(π－B ) ＝23×3×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1121＝－223. 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重心，且56sin A ·GA →＋40sin B ·GB →＋35sin C ·GC →＝0.(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值．解析 (1)由G 是△ABC 的重心，得GA →＋GB →＋GC →＝0， 所以GC →＝－(GA →＋GB →)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56a ·GA →＋40b ·GB →＋35c ·(－GA →－GB →)＝0. 整理，得(56a －35c )·GA →＋(40b －35c )·GB →＝0.因为GA →，GB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝23π，故得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5， 解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32.。
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：5.3 平面向量的数量积 (含解析)
1．(2019·江西省临川第一中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则m 的值为( )A ．1B ．3C ．1或3D ．4答案 B解析 因为a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，所以a －b ＝(2－m ,2)，因为a ⊥(a －b )，则a ·(a －b )＝2(2－m )＋2＝0，解得m ＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·拉萨模拟)已知向量a ，b 的夹角为π2，且a ＝(2，－1)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 3 B ．3 C.21 D.41答案 C解析 由已知|a |＝22＋(－1)2＝5，a ·b ＝|a ||b |cos π2＝0， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(5)2＋4×22＝21，∴|a ＋2b |＝21.故选C.4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24答案 D解析 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24，故选D. 5．(2019·东莞模拟)已知非零向量m ，n 满足|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，则m ，n 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 ∵|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，∴m ·(2m ＋n )＝2m 2＋m ·n ＝2|m |2＋|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝0，且|m |≠0，|n |≠0，∴2|m |＋|n |cos 〈m ，n 〉＝0，∴cos 〈m ，n 〉＝－2|m ||n |＝－12， 又0≤〈m ，n 〉≤π，∴〈m ，n 〉＝2π3.故选D. 6．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a －b |的最大值为( ) A ．2 B. 5 C ．3 D ．5答案 B解析 由已知可得|a －b |2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a －b |2的最大值为5－0＝5， 故|a －b |的最大值为 5.7．(多选)设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |答案 ABD解析 对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题；对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题．对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0，因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以D 不正确．故选ABD.8．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案 BD解析 由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误； 由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误； 根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的．故选BD.9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝m a ＋(1－m )b ，b ·c ＝0，则m ＝________.答案 4＋2 3解析 b ·c ＝b ·[m a ＋(1－m )b ]＝m a ·b ＋(1－m )b 2＝m |a ||b |cos 30°＋(1－m )|b |2＝32m ＋1－m ＝0， 所以m ＝4＋2 3.10．(2019·镇江模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC上，BE →＝12(BA →＋BD →)，DF →＝13DC →，则BE →·BF →＝________. 答案 223 解析 连接AC ，BD 交于点O ，以O 为原点，以OC →，OD →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，∵菱形边长为2，∠ABC ＝60°，∴A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)，∵BE →＝12(BA →＋BD →)， ∴E 为AD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫－12，32， ∵DF →＝13DC →，∴F ⎝⎛⎭⎫13，233， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，332，BF →＝⎝⎛⎭⎫13，533， ∴BE →·BF →＝－16＋152＝223. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23 B.63 C.23 D.53答案 B解析 设BC 的中点为D ，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， 再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2) ＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63， 当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.14．(多选)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a＞0)，P 为线段AD (含端点)上一个动点，设AP →＝xAD →，PB →·PC →＝y ，对于函数y ＝f (x )，以下四个结论中正确的是( )A ．当a ＝2时，函数的值域为[1,4]B ．∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立C ．∀a ∈(0，＋∞)，函数f (x )的最大值都等于4D ．若f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]答案 BCD解析 如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，∴B (0,0)，A (－2,0)，D (－1，a )，C (0，a )．∵AP →＝xAD →(0≤x ≤1)．∴BP →＝BA →＋AP →＝(－2,0)＋x (1，a )＝(x －2，xa )，PC →＝PB →＋BC →＝－(x －2，xa )＋(0，a )＝(2－x ，a －xa )．∴y ＝f (x )＝PB →·PC →＝(2－x ，－xa )·(2－x ，a －xa )＝(2－x )2－ax (a －xa )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4(0≤x ≤1)．当a ＝2时，y ＝f (x )＝5x 2－8x ＋4＝5⎝⎛⎭⎫x －452＋45， ∵0≤x ≤1，∴当x ＝45时，f (x )取得最小值45； 又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤45，1，因此A 不正确．由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可得∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立，因此B 正确；由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可知对称轴x 0＝4＋a 22(a 2＋1). 当0＜a ≤2时，x 0≥1，∴函数f (x )在[0,1]上单调递减，因此当x ＝0时，函数f (x )取得最大值4.当a ＞2时，0＜x 0＜1，函数f (x )在[0，x 0)上单调递减，在(x 0，1]上单调递增．又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.因此C 正确．f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]，因此D 正确．故选BCD.15．若向量a ，b ，c 满足a ≠b ，c ≠0，且(c －a )·(c －b )＝0，则|a ＋b |＋|a －b ||c |的最小值是( ) A. 3 B ．2 2 C ．2 D.32答案 C解析 设向量a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则由(c －a )·(c －b )＝0得AC →·BC →＝0，即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点M ，半径为12|AB →|， 因此|c |＝|OC →|≤|OM →|＋r ＝12|OA →＋OB →|＋12|AB →| ＝12|OA →＋OB →|＋12|OA →－OB →| ＝12|a ＋b |＋12|a －b |， 从而|a ＋b |＋|a －b ||c |≥2，故选C. 16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值． 解 (1)设D (t ,0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4取得最大值1，即m ·n 取得最小值1－ 2. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
2021年高考数学一轮总复习 5.3 平面向量的数量积题组训练 理 苏教版
2021年高考数学一轮总复习 5.3 平面向量的数量积题组训练 理 苏教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(xx·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝________.解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 42．(xx·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为________．解析 如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 13．(xx·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析 由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 －34．(xx·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为________．解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0.∴2|b |2·cos〈a ，b 〉＋|b |2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.答案2π35．(xx·福建卷改编)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．解析 ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC →⊥BD →，∴S 四边形＝|AC →|·|BD →|2＝5·202＝5.答案 56．(xx·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )|b |2＝t 2＋1－t ＝1－t2.由b ·c ＝0，得1－t2＝0，所以t ＝2.答案 27．(xx·重庆卷)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析 在矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)，因为AB →⊥OA →，所以AB →·OA →＝0，即－3＋k －1＝0，解得k ＝4. 答案 48.(xx·潍坊二模)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.答案132二、解答题9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，故x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)， ∴|a －b |＝－22＋02＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(xx·泰州一模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为cos θ＝a ＋b ·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.所以θ＝π3.答案π32．已知向量p 的模为2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，且a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．解析 由题意可知较小的对角线为|a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q |＝2p ＋3q 2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2＝ 8＋122×22＋9＝29. 答案293．(xx·浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 解析 因为e 1·e 2＝cos π6＝32，所以b 2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋3xy .所以x 2b2＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x2＋3yx，设t ＝y x，则1＋t 2＋3t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322＋14≥14，所以0＜11＋t 2＋3t≤4，即x 2b 2的最大值为4，所以|x ||b |的最大值为2. 答案 2 二、解答题4．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1.∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7. 欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 26942 693E 椾24178 5E72 干39806 9B7E 魾?836681 8F49 轉JP23370 5B4A 孊28282 6E7A 湺36234 8D8A 越p 25433 6359 捙。
推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题53 平面向量的数量积测 含解析
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知2||||==OBOA ，且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+CB OA ，则||OC 的取值范围是 ．【答案】[61,6+1]-2. 【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+=，则||BA BCBC ⋅的值为________【答案】25.13【解析】由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅== 3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .【答案】2- 【解析】2221()()[()]()()3333AD BC AC CD BC AC CB BC AC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-4. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ． 【答案】35.在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE =，3BC BF =，若向量AD 与DC 的夹角为060，则AB EF ⋅的值为 . 【答案】7 【解析】试题分析：EF EA AB BF =++①，EF ED DC CF =++②，由3AD AE =，3BC BF =，有20EA ED +=，20BF CF +=，①×2＋②得23AB DC EF +=，所以220212121()332cos607333333AB EF AB AB DC AB AB DC ⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=6.设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.【答案】)1[-24，7.若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且a ，b 的夹角为3π，则+=a b ． 【答案】7【解析】|cos13π⋅=a b =|a |b | ，2222()21247+=+=+⋅+=++=a b a b a a b b ，所以7+=a b8.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ,若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】由b ·c = 0得22(1)011cos60(1)10 2.ta b t b t t t ⋅+-=⇒⋅⋅⋅+-⋅=⇒= 向量数量积||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅是将两个向量转化为一个实数的过程.9.已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为 ． 【答案】90︒【解析】要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅，而()c a b =-+，因此a c ⋅=()a ab -⋅+=2a ab --⋅，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a ⊥c ，夹角为90︒．10.设点O 是ABC ∆的外心, 17AB =,15AC =,则BC AO ⋅=_____.【答案】32-.【解析】取BC 的中点D ， 则()BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅2222111()()()(1517)32222AC AB AC AB AC AB =-⋅+=-=-=-.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
江苏版高考数学一轮复习：专题5.3平面向量的数量积练习题附答案.doc
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】专题5.3 平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3， －1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________． 【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． 【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。
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5.3 平面向量的数量积一、填空题1. 已知向量a 和向量b 的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a ·b = .解析 考查数量积的运算. a ·b =22=3. 答案 32．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析 ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]． 答案 [0,1]3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于________．解析 a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6＋cos π3＋2＝－4＋12＝－72. 答案 －724．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，a ＝(3，1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 由a ＝(3，1)，得|a |＝2，所以|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝2 3. 答案 2 35．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y ) 则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即 S △ABC ＝12×2×2＝ 2.【点评】 建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.6.已知1e ,2e 是夹角为23π的两个单位向量, a =1e -22e ,b =k 1e +2e , 若a ·b =0,则实数k 的值为 .解析 由a ·b =0得（1e -22e ）·（k 1e +2e ）=0. 整理,得 k - 2+（1-2k ）cos 23π=0,解得k=54. 答案547．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析 法一 建系如图所示． 令B (x B,0)，C (x C ，y C )，D (0,1)， 所以BC →＝(x C －x B ，y C )，BD →＝(－x B,1)，BC →＝ 3 BD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x C －x B ＝3－x B，y C ＝3，所以x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC →＝((1－3)x B ，3)，AD →＝(0,1)，则AC →·AD →＝ 3.法二 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝3AD →·BD →， 其中AD →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠ADB ＝|AD →||BD →|·|AD →||BD →|＝AD →2＝1.故 3 AD →·BD →＝ 3.答案38．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，12，MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.答案 －29．已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，a ＝3p ＋2q ，b＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________． 解析 |a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q | ＝p ＋3q2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2 ＝8＋122×22＋9 ＝29. 答案2910．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 法一：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．答案 (－1，－3)11．已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________．解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝2，得|AB →||AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →＝0知，O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝33. 答案3312．已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC→＝－2，则|AG →|的最小值是________．解析 设AG 交BC 于D ，则由G 是△ABC 的重心，得D 是BC 的中点， 所以AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|2＝19(AB →＋AC →)2 ＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)，又由－2＝AB →·AC → ＝|AB →||AC →|cos 120°，得|AB →||AC →|＝4，故当|AB →|＝|AC →|＝2时，|AG →|取最小值23.答案2313．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的________心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0，所以NM →⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 答案 外心 二、解答题14．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2. (1)求a ·b 的值； (2)求|a ＋b |的值． 解析 (1)因为|a －b |＝2，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a ·b ＝4. 所以a ·b ＝12.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6.故|a ＋b |＝ 6.15．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围． 解析 由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb λa ＋b|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0. λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0， ∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0， ∴－11－856<λ<－11＋856.若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧k λ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解析 (1)因为b ＋c ＝(cos β－1，sin β)， 所以|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2 β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2，故当cos θ＝－1时，向量b ＋c 的长度取最大值2. (2)若α＝π4，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，所以a ·(b ＋c )＝22cos β＋22sin β－22. 因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1，平方得cos β sin β＝0， 所以cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线．(1)求证：DC ＝2BD ；(2)求AB →·DC →的值．解析(1)证明 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD .①在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC＝DC sin ∠CAD. ②又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ， 又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ， 由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD . (2)因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121. 所以AB →·DC →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC → ＝23|AB →||BC →|cos(π－B ) ＝23×3×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1121＝－223. 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重心，且56sin A ·GA →＋40sin B ·GB →＋35sin C ·GC →＝0.(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值．解析 (1)由G 是△ABC 的重心，得GA →＋GB →＋GC →＝0，所以GC →＝－(GA →＋GB →)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56a ·GA →＋40b ·GB →＋35c ·(－GA →－GB →)＝0.整理，得(56a －35c )·GA →＋(40b －35c )·GB →＝0.因为GA →，GB →不共线，所以⎩⎨⎧56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝23π，故得A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5， 解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32.。