2011高考查漏补缺数学必练题_坐标系与参数方程

合集下载

坐标系与参数方程知识点总结及练习题-高考数学(全面)

坐标系与参数方程知识点总结及练习题1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mθθ，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mθθ+ AP =，())()1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.1．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ρsin θ＝b .2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于r ：ρ＝2r sin θ.3．常见曲线的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2＝r cos θ，＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0).1．曲线C 的方程为22 341x y +=，曲线C 经过伸缩变换3{4x xy y='='得到新曲线的方程为（）A ．2227641xy +=B ．2264271xy +=C ．22134x y +=D ．221916x y +=2．直线l 的方程为10x y +-=，则极坐标为32,4π⎛⎫⎪⎝⎭的点A 到直线l 的距离为A 2B ．22C ．222-D ．222+3．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值是A ．3B ．22C ．23D ．44．椭圆的参数方程为53x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A ．()4,0±B ．()0,4±C ．()5,0±D ．()0,3±5．已知抛物线2:2C y x =，过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，若2211||||MA MB +常数，则常数a 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（）A ．1cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．cos 2ρθ=D ．1sin 2ρθ=7．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条线段D ．一条射线8．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（）A．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b9．已知实数满足，则的最小值是（）A ．55-B ．C ．D ．10．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的方程为2y x =．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(1,2)P -，则PA PB +=（）AB ．10CD ．211．当t R ∈时，参数方程2228444t x t t y t -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）表示的图形是（）A ．双曲线的一部分B ．椭圆（去掉一个点）C ．抛物线的一部分D ．圆（去掉一个点）12．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为（）A．2-B．C．D．2+13．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（）A．2B．2CD．214．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（）A ．6B ．5C ．8D ．715．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.16．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.17．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．19．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.20．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.1．C 【分析】先将34x x y y ''=⎧⎨=⎩反解为34x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，再代入22 341x y +=，最后得到新曲线的方程即可.【详解】解：因为伸缩变换34x x y y ''=⎧⎨=⎩，所以34x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入22 341x y +=，所以得到的新曲线的方程为：22134x y +=，故选：C 【点睛】本题考查函数的伸缩变换，是基础题.2．B 【分析】将点432,A π⎛⎫⎪⎝⎭的极坐标化为直角坐标(2,2-，再利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】点432,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(2,2，则由点到直线的距离公式得222212211d -+-==+.故选：B.【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标、点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力.3．A 【分析】以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为2cos 12θ+，2sin 1)2θ+，根据AP AB AD λμ=+ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值【详解】如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则()0,0A ，()1,0B ，()0,1D ，()1,1C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，1BC =，1CD =，22BD r ∴===，∴圆的方程为()()221112x y -+-=，设点P 的坐标为2cos 12θ+，2sin 1)2θ+，AP AB AD λμ=+，即2cos 12θ+2sin 1)2θ+=(1λ，0)(0μ+，1)(λ=，)μ，2cos 12θλ∴+=2sin 12θμ+=，22cos 11sin 21sin 12244ππλμθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，故选：A.【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．4．A 【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为(40)±，，故填(±4,0).5．A 【分析】设直线AB 的标准参数方程cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程应用韦达定理，利用12,MA t MB t ==计算可求解．【详解】设直线AB 的方程为cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程得22sin 2cos 20t t a αα--=，224cos 8sin 0a αα∆=+>，1222cos sin t t αα+=，1222sin a t t α=-，2221212122222222121212()21111()t t t t t t t t t t t t MA MB++-+=+==242244cos 4sin sin 4sin aa αααα+=222cos sin a a αα+=221(1)sin a aα+-=，此值与α的取值无关，则10a -=，即1a =．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交问题的定值问题．解题关键是利用直线的参数方程，利用参数的几何意义求解．即设直线AB 的方程为cos sin x a t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α是直线的倾斜角），代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,t t t t +，而12,MA t MB t ==，由此易计算2211||||MA MB +．6．C 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切．【详解】由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为2r =，A 中直线方程是12x =，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是12y =，只有直线2x =与圆相切．故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．7．D 【分析】参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，1,1x y ≤≥，故表示的曲线是射线.【详解】将参数方程2211x t y t⎧=-⎨=+⎩，消去参数t ，由于20t ≥，得到方程20x y +-=，其中1,1x y ≤≥，又点(1,1)在直线上，故表示的曲线是以(1,1)为起点的一条射线故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，但互化时一定要注意消去参数，得到的普通方程中x,y 的范围，本题中20t ≥，所以消去参数得到的方程为一条射线，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．A 【分析】用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值.【详解】记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，222()4sin 2sin 44(sin )444b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值244b +；若144bb >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b .故选：A 【点睛】本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.9．A 【分析】先由2246120x y x y +-++=化为圆的参数方程2{3x cos y sin αα+-＝＝，将()22255x y cos sin αααθ--=-+=++()5555αθ⎡++∈-+⎣，求解．【详解】∵实数x ，y 满足2246120x y x y +-++=,∴2{3x cos y sin αα+-＝＝，所以()22255x y cos sin αααθ--=-+=++，()55αθ⎡++∈⎣，min22[5225x y x y∴--∈-+∴--=-，故选A.10．A【分析】将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到关于t的二次方程，根据直线参数方程中t的几何意义可知，12PA PB t t+=+，然后利用韦达定理代值求解.【详解】设在直线l的参数方程中，点A和点B所对应的参数分别为1t和2t，将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：2222122t t⎛⎫+=--⎪⎪⎝⎭，整理得：220t-=，则12t t+=，122t t⋅=-，故1212PA PB t t t t+=+=-==故选：A.【点睛】本题考查直线参数方程中t的几何意义，考查弦长问题的求解，难度一般.11．B【分析】由t R∈，令2tan,(,)22tππαα=∈-结合三角恒等变换即有sin22cos2xyαα⎧-=⎪⎨⎪=⎩即知2214x y+=，不过点(0,1)-，可确定选项；【详解】t R∈时，可令2tan,()22tππαα=∈-，即有：2224tan1tan1tan1tanxyαααα-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即sin22cos2xyαα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，∴2214x y +=，不过点(0,1)-，故选：B 【点睛】本题考查了根据参数方程确定曲线，利用等价换元，并结合三角恒等变换将参数方程转化为普通方程，注意取值范围；12．A 【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C 为(1,1)，半径2r =.已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l的距离为d r ==>，故直线l 与圆C相离，所以C 上各点到l的距离的最小值为2d r -=-.故选：A.【点睛】本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.13．C 【分析】设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin )Q θθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==.故选：C.【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.14．A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线2413x ty t=-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=，可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为4d ==，由圆的弦长公式可得，弦长6L ===.故选：A.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.16．（1）（2）2.【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．17．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===；即3M π，所以tan 3OM k π==，因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为3(4)3y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.18．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；（2【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.19．（1）[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数；（2）3(,22【分析】（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程；（2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()1+cos ,sin αα，且[]0,απ∈，半圆C 的圆心是()1,0C因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.【详解】（1）由ρ2cosθ=，得[]2220,01x y x y +-=∈，，所以C 的参数方程为[]1,0,.x cos y sin ααπα=+⎧∈⎨=⎩为参数（2）[]sin 0πtan 0,,,1+cos 12332D αααπαα⎛⎫-=⇒=∈∴= ⎪-⎝⎭【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.20．（1）cos {2sin x t y t＝＝（t 为参数）；（2）34sin 2cos ρθθ=-.【详解】试题分析：（1）设11(,)x y 为圆上的点，在曲线C 上任意取一点（x ，y ），再根据11{2x x y y ==，由于点11(,)x y 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得12P P 、的坐标，可得线段12PP 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x cos y sin ρθρθ==、可得所求的直线的极坐标方程．（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得11{2x x y y ==由22111x y +=得22)12(y x =+，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为cos {2sin x t y t ＝＝（t 为参数）.（2）由221{4220y x x y +=+-=解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩.不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．。

高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)

《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理． 1．极坐标与直角坐标的互化．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：（1）x y cos sin， 2 x2 y2（2） tany x2．参数方程x y f g(t) (t)(t为参数)化为普通方程的常用方法．（1）代入法/加减法消参．（2）借助三角恒等式 sin2θ＋cos2θ＝1（θ 为参数）消参．3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系．y Mρ θy O x Ax极坐标方程 (ρ，θ)⇔直角坐标方程(普通方程) (x，y)⇔参数方程 (t 为参数)二、练习专项．【题型 1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程．②参数方程 ⇔ 直角坐标方程．1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 3 cosy sin（α 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝2 2 ．4（Ⅰ）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由x y 3 cos sin消去参数α得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 3 cos y sin x2两边平方，得 3 cos2 ①y2 sin2 ②①＋②，得 x2 ＋y2＝13C1 的普通方程为 x2 ＋y2＝1……………………2 分3∵ρsin(θ＋ )＝2 24∴ρ(sinθcos ＋cosθsin )＝2 2 ……………………3 分44ρ( 2 sinθ＋ 2 cosθ)＝2 2222 ρsinθ＋ 2 ρcosθ＝2 222ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4 分∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y1 / 13∴x＋y＝4……………………5 分（Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos,sin ) ……………………6 分∵C2 是直线 ∴ | PQ | 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d ( ) 的最小值d ( ) | 3 cos sin 4 | 2 | sin( ) 2 | ………………8 分23当且仅当 2k (k Z ) 时， d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ………………9 分6此时 P 的直角坐标为 ( 3 , 1) ………………10 分 222．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：x y 4 3scos intt（t为参数），C2： x y 8cos 3sin（θ为参数）．（Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1 上的点P对应的参数为t＝ 2，Q为C2 上的动点，求PQ中点M到直线C3：x y 3 2t 2 t（t 为参数）距离的最小值．解：（Ⅰ）由C1：x y 4 3scost int消去参数t得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得x y 4 3 cost sint两边平方，得( (x y 4) 3) cos2 t 2 sin2 t① ②①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1∴C1 的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2 分 ∴C1 为圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆由C2：x y 8cos 3sin消去参数θ得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 8 y 3 co s sin两边平方，得 x2 64 y2 9 cos2 sin2 ① ②　①＋②，得 x2 ＋ y2 ＝1 64 9∴C2 的普通方程为 x2 ＋ y2 ＝1……………………2 分64 9∴C2 为焦点在 x 轴上的椭圆（Ⅱ）当 t 时， P(4, 4) ， Q(8cos,3sin )2故 M (2 4 cos , 2 3 sin ) 2C3 为直线 x 2y 7 02 / 13M 到 C3 的距离 d 5 | 4cos 3sin 13 | 5从而当 cos 4 ,sin 3 时， d 取得最小值 8 5555【题型 2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程． ②直角坐标方程 ⇔ 参数方程．3．（2016 全国Ⅱ卷，文科 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是x y t tcos sin(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10 ．求 l 的斜率．解：（Ⅰ）由圆 C 的方程 x 62 y2 25可得……………………1 分x2＋12x＋36＋y2＝25 x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2 分把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得……………………3 分 ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4 分 ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5 分（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R) 由 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2……………………8 分将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7 分于是 1 2 12cos, 12 11,| AB || 1 2 | (1 2 )2 412 144 cos2 44, ……………………8 分由|AB|＝ 10 得cos2 3 , tan 15 ……………………9 分83∴l 的斜率为 15 或 15 ……………………10 分334．（2015 全国Ⅰ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2 ＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．解：（Ⅰ）把 x＝ρcosθ 代入 C1：x＝－2 得 ρcosθ＝－2……………………1 分 ∴C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2………………2 分由 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1 得 (x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1 x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1 x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3 分把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入上式得………………4 分 C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5 分（Ⅱ）将 θ＝代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得3 / 13ρ2－3 ρ＋4＝0………………6 分解得 ρ1＝2 ，ρ2＝ ………………7 分故 ρ1－ρ2＝，即|MN|＝ ………………8 分由于 C2 的半径为 1∴△C2MN 的面积为 ………………10 分5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：x2 4y2 9 1，直线l：x y 2 2 t 2t(t为参数)．（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵曲线 C：＝1∴ ( x)2 ( y)2 1 23又∵sin2θ＋cos2θ＝1∴ x ＝cosθ， y ＝sinθ23∴x＝2cosθ，y＝3sinθ曲线C的参数方程为x y 2 cos 3sin(θ为参数)．由直线 l：消去参数 t 得（此处为消参的计算过程，可省略）把③代入②，得y＝2－2(x－2)由①得 t＝x－2 ③整理得 2x＋y－6＝0直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0．（Ⅱ）曲线 C 上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到 l 的距离为d＝ |4cosθ＋3sinθ－6|则|PA|＝|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tanα＝当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为6．（2014 全国Ⅱ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 （Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3 x＋2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ4 / 13∴ρ2＝2ρcosθ 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得5 / 13x2＋y2＝2x ∴C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1) ∴半圆 C 的圆心为(1，0)，半径为 1可得 C 的参数方程为(t 为参数，0≤t≤π)（Ⅱ）设 D(1＋cost，sint)由(Ⅰ)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆∵C 在点 D 处的切线与 l 垂直∴直线 GD 与 l 的斜率相同．tant＝，t＝故 D 的直角坐标为，即【题型 3】极坐标方程 ⇔ 参数方程．7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x y a 1cos t asint（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tanα0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a．解：（Ⅰ）解法一：C1 是圆的方程…………1 分由x y a 1cos t asint消去参数t得…………2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得x y a cost 1 a sint即x 2 ( y a2 1) 2cos2 a2t sin2t① ②①＋②，得两边平方，得x 2 ( y (a 1) 2cost)2 (a sint)2x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2t x2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t) x2＋(y－1)2＝a2x2 y 12 a2 ①整理得 x2 y2 2y 1 a2 0 …………3 分∴把 x2 y2 2 ，y sin 代入上式得…………4 分2 2 sin 1 a2 0∴ C1 的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 …………5 分（Ⅱ）由 C2：ρ＝4cosθ 得两边同乘 ρ 得 ρ2＝4ρcosθ ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝xx2 y2 4x …………6 分即 x 22 y2 4 ②…………7 分C3：化为普通方程为 y 2x …………8 分由题意： C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①－②得： 4x 2y 1 a2 0 ，即为 C3 …………9 分5 / 13∴1 a2 0 6 / 13∴ a 1 …………10 分8．（2013全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为x y 4 5 5 cos t 5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：（Ⅰ）将x y 4 5 5 cos t 5sint消去参数t得C1 的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将x y cos sin代入上式得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0 （Ⅱ）∵C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ∴C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0由x x2 2 y2 y28x 10y 16 0 2y 0① ②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(x－1)＝0②－①，得 8x＋8y－16＝0∴x＝0 或 x－1＝0整理，得 y＝2－x③解得 x＝0 或 x＝1把③代入②，得把 x＝0 代入③，得 y＝2x2＋(2－x)2－2(2－x)＝0把 x＝1 代入③，得 y＝1整理，得 x2－x＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的)解得x y 0 2或x y 1 1C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 02 22 ＝2，θ＝ 2对于点(1，1)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 12 12 ＝ 2 ，tanθ＝ y ＝1，θ＝ x4∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(2， )，( 2 ， )24【题型 4】其它题型：．求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等．9．（2015全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1： x y t tcos sin(t为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π．在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 3 cosθ．（Ⅰ）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（Ⅱ）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值．解：（Ⅰ）∵C2：ρ＝2sinθ6 / 13∴ρ2＝2ρsinθ 把 ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ 代入上式得曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0 ①………………1 分∵C3：ρ＝2 cosθ∴ρ2＝2 ρcosθ 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ 代入上式得曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3 x＝0 ②………………2 分联立①②得x 2x 2 y2 y22y 0 2 3x 0① ………………3 分②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(2x－ 3 )＝0①－②，得－2y＋2 3 x＝0∴x＝0 或 2x－ 3 ＝0整理，得 y＝ 3 x③ 把③代入①，得 x2＋3x2－2 整理，得 2x2－ 3 x＝03 x＝0解得 x＝0 或 x＝ 32把 x＝0 代入③，得 y＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的) 把 x＝ 3 代入③，得 y＝ 322解得x y 0或 0x y 3 2 3 2………………4分∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和………………5 分（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α<π因此 A 的极坐标为(2sinα，α)，B 的极坐标为(2 cosα，α)∴|AB|＝|2sinα－2 cosα|＝4 当 α＝时，|AB|取得最大值，最大值为 410．（2013全国Ⅱ卷，文/理23，10分）已知动点P，Q都在曲线C：x y 2 cos t 2sint(t为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．（Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．解：（Ⅰ）∵动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上∴P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)∵M 为 PQ 的中点∴xM＝ 2cos 2cos2 ＝cosα＋cos2α 2yM＝ 2sin 2sin2 ＝sinα＋sin2α 2∴M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．∴M 的轨迹的参数方程为(α 为参数，0<α<2π)． 7 / 13（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离 d＝(0<α<2π)．8 / 13当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点11．（2012全国卷，文/理23，10分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，3π)．（Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：（Ⅰ）∵点A 的极坐标为 ∴点B 的极坐标为点C 的极坐标为点D 的极坐标为∴x A ＝＝1，y A ＝＝ x B ＝2cos ＝－，y B ＝2sin＝1 x C ＝2cos ＋π＝－1，y C ＝2sin ＋π＝－x D ＝2cos ＝，y D ＝2sin ＝－1即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)（Ⅱ）设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ∵0≤sin 2φ≤1∴S 的取值范围是[32，52]12．（2011全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x (α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2．（Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．解：（Ⅰ）设P (x ，y )，则由条件知M (2x ，2y )．由于M 点在C 1上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π ∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2313．（2010全国卷，文/理23，10分）已知直线C 1：⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），圆C 2：⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)．（Ⅰ）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当α＝3π时 C 1的普通方程为1)y x -C 2的普通方程为221x y += 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y 解得C 1与C 2的交点为（1，0），1(,2 （Ⅱ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)

1、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ()θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ()θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为()1，π2即为所求．2、已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ()θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ()θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ()θ＋π4＝22.3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为()2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·||sin ()α－π3＝2||sin ()2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.6．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ()θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎨⎧ρ＝4sin θ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ()θ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝ρ2－ρ1＝3.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ()θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ()θ－π3＝1得ρ()12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ()233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为()0，233. 所以P 点的直角坐标为()1，33，则P 点的极坐标为()233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． 8．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π6(ρ>0)，A (2,0)．(1)把C 1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积．解：(1)因为C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为()ρ1，π6，()ρ2，π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝23－1.依题意，点A (2,0)到曲线θ＝π6(ρ>0)的距离d ＝|OA |sin π6＝1，所以S △APQ ＝12|PQ |·d ＝12×(23－1)×1＝3－12.9．(2018·贵州适应性考试)在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α()π6＜α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6＜α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α， ∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α.∵π6＜α≤π4， ∴|OA |·|OB |的取值范围是(]433，4.(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)．10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，()－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.2．结论要记根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.11．(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ (θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为()92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝||8cos 2α－sin 2α＝||8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.12．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos ()θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ()2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝||－6＋2cos ()t ＋π42.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△PAB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.13、在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为()23，π6，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)．(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得点P 的直角坐标为(3，3)，由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α，得x 2＋(y ＋3)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)直线l 的普通方程为x ＋2y ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)，设Q (2cos α，－3＋2sin α)，则M ()32＋cos α，sin α，故点M 到直线l 的距离d ＝||32＋cos α＋2sin α＋112＋22＝||5sin (α＋φ)＋525≥－5＋525＝52－1()tan φ＝12， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为52－1.14、．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)，消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.15．(2018·武昌调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解：(1)由ρcos ()θ＋π4＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P (2cos t,2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝||22cos ()t ＋π4＋42＝22＋2cos ()t ＋π4.当cos ()t ＋π4＝－1时，dmin ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4>0恒成立，即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4()其中tan φ＝2a 恒成立， ∴a 2＋4<4，又a >0，∴0<a <2 3. 故a 的取值范围为(0,23)．16．已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为()π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为()π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋()π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，化简得2t 2－22t ＋1－4a ＝0. ∴Δ＝(－22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0， t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2.根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|，又|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a2，解得a ＝136，符合题意．当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94，符合题意．综上，实数a ＝136或a ＝94.318．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9，由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式，得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，则kC 1C 2＝5－14－0＝1， ∴直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0， ∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22，又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝(4－0)2＋(5－1)2－4 ＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.19．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ()θ－π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)消去t 得x ＋y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ()θ－π4＝22()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)法一：设曲线C 上的点P (1＋2cos α，1＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2(sin α＋cos α)－2|2＝||2sin ()α＋π4－22.当sin ()α＋π4＝－1时，d max ＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2. 法二：设与直线l 平行的直线l ′：x ＋y ＋b ＝0，当直线l ′与圆C 相切时，|1＋1＋b |2＝2，解得b ＝0或b ＝－4(舍去)，所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0. 因为直线l 与直线l ′的距离d ＝|0＋4|2＝2 2. 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和()32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4||sin ()α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 21．已知直线L 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2 θ.(1)求直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|PA |的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，得L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线L 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)由(1)，知直线L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，则点P 到直线L 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5. 由题意得|PA |＝d sin π3＝415||2sin ()α＋π4－315，所以当sin ()α＋π4＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 22．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.故由题意可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1. 所以曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45sin(θ＋φ)，()其中sin φ＝25，cos φ＝15 所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，l 取得最大值，最大值为45，此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z)，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ()45，15. 所以直线l 1的普通方程为x －4y ＝0.23．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈()π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈()π2，π，∴θ＝2π3. (2)易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)，联立⎩⎨⎧ θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为()43，2π3，∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.。

(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案

x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =，： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。

坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)教程文件

4 因为 p 2— 2 2 p os( 9— 4) 2,n ncos 0cos4 +sin O sin^)所以圆O 2的直角坐标方程为x 2 + y 2— 2x — 2y —2= 0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，所以p 2— 2 2 p2,化为极坐标方程为pcos 9+p sin 9= 1, 即 p in( 9+扌)=二3、(2017全国卷H )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C ’的极坐标方程为p os 0= 4.(1)M 为曲线G 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM| |OP|= 16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; ⑵设点A 的极坐标为(2, 3) 解：(1)设P 的极坐标为(p, 9)(p>0), M 的极坐标为(p, 0( p>0). ，点B 在曲线C 2上，求△ OAB 面积的最大值.由题设知 |OP|= p, |OM|= pi —eg 9由 |OM| |OP|= 16, 得 C 2 的极坐标方程 p= 4cos 0p>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x — 2)2+ y 2= 4(X M 0). ⑵设点B 的极坐标为(PB , a ( PB >0),由题设知|OA|= 2, pB = 4cos a 于是△ OAB 的面积将(0,1)转化为极坐标为(1, ^) 即为所求.(1) 把圆O i 和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由 p= 2 知 p= 4,所以圆O ’的直角坐标方程为x 2 + y 2= 4. 1、在极坐标系下，已知圆 O : p= cos 9+ sin 9和直线I : psin ( 0— 4)= ¥( P‘ 0,0 三 9 2n)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;psi n(2)当9€ (0 , n 时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. 解：(1)圆 O ： p= cos 9+ sin 9,即 p 2= pcos 9+ psin 9,故圆O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 — x — y = 0,直线 l ： psin( 9-n )则直线l 的直角坐标方程为x — y +1= 0. ，即 psin 0— pcos 0= 1,⑵由⑴知圆O 与直线I 的直角坐标方程,x 2+y 2 — x — y =0,将两方程联立得解得 x — y + 1 = 0,x = 0,y = 1,即圆O 与直线I 在直角坐标系下的公共点为(0,1),2、已知圆O i 和圆。

坐标系与参数方程考前冲刺专题练习(一)含答案人教版高中数学高考真题汇编

当，即时，z=x+2y取得最大值是 .………………………10分
8．证明：以F为极点，极轴与x轴正向重合建立极坐标系．
设抛物线方程，A（ρ1，θ），B（ρ2，θ＋π），
则AB＝ρ1＋ρ2＝ = 4p，sin2θ= ，θ=
9．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系.将曲线与曲线分别化为直角坐标方程，得直线方程，圆方程．……6分
高中数学专题复习
《坐标系与参数方程》单元过关检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（）
A．0B．1C． D．2（汇编全国理，6）
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．直线（为参数，为常数）恒过定点▲．
3．已知曲线（为参数）与轴，轴交于、两点，点在曲线上移动，面积的最大值为14.
评卷人
得分
三、解答题
4．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线的参数方程为（为参数），曲线在点处的切线为 .以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.
5．已知在极坐标系下，圆C：p= 2cos（）与直线l： sin（）= ，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．
6．已知曲线，直线．
⑴将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解.doc

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线宀化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾，所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪（0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切，・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（）y?2?3t?A．C．2332B．? D．?2332x?sin2?(?为参数)上的点是（） 2．下列在曲线?y?cos??sin??A．(, B．(?2131,) C． D． 422x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（） 2y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 4．化极坐标方程?2cos0为直角坐标方程为（）A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1 5．点M的直角坐标是(?，则点M的极坐标为（）A．(2,3) B．(2,?3) C．(2,2?3) D．(2,2k??3),(k?Z)6．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆二、填空题 1．直线?x?3?4t?y?4?5t(t为参数)的斜率为______________________。

t?t??x?e?e2．参数方程?(t为参数)的普通方程为__________________。

t?ty?2(e?e)3．已知直线l1:?x?1?3t?y?2?4t(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB?_______________。

1?x?2?t??2224．直线?(t为参数)被圆x?y?4截得的弦长为______________。

y??1?1t??25．直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________。

三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，（1）求2x?y的取值范围；（2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。

2011-2020年高考数学真题分专题训练：极坐标系与参数方程(教师版含解析)

专题34极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。

高三参数方程练习题

高三参数方程练习题参数方程是描述几何图形的一种数学表示方法，可以用来表达平面曲线、空间曲线等多种几何情况。

在高三数学学习中，参数方程也是一个重要的知识点。

本文将为大家提供一些高三参数方程练习题，帮助大家加深对参数方程的理解和运用。

1. 练习题一：求参数方程已知直线L1与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B(0,4)。

直线L2过点A，与直线L1垂直，求直线L1与直线L2的交点坐标。

解析：设直线L2为参数方程x=3+3t，y=-4t。

将直线L2的x、y坐标带入直线L1的方程，得到交点的坐标。

直线L1的参数方程可表示为：x = aty = bt + c将点A(3,0)带入得到3 = 3a，解得a=1。

将点B(0,4)带入得到4 = c，解得c=4。

因此，直线L1的参数方程为：x = ty = t + 4将直线L2的参数方程代入直线L1的参数方程，得到：t = 3 + 3tt = -1/2带入直线L1的参数方程，得到交点坐标为：x = -1/2y = 7/22. 练习题二：求参数方程已知抛物线y^2 = 8x的焦点为F，顶点为V，直线L过点F(2,0)与抛物线交于两点A、B。

求直线L的参数方程。

解析：首先，求出焦点坐标。

由抛物线的顶点坐标可知，V(0,0)。

将焦点距离顶点的距离设为p，焦点坐标为F(p,0)。

将焦点坐标带入抛物线方程，得到：p^2 = 8 * 2p = 4因此，焦点坐标为F(4,0)。

接下来，求出直线L的方程。

由题目可知直线L过点F(2,0)与抛物线交于两点A、B。

设直线L的参数方程为x=at，y=bt+c。

将直线L的参数方程带入抛物线方程，得到：(at)^2 = 8 * a * t + 8 * 2 (1)将点F(2,0)带入直线L的参数方程，得到：2a = 2 (2)因此，a=1。

将a=1代入方程(1)中，得到：t^2 = 8t + 16t^2 - 8t - 16 = 0求解此二次方程，得到t ≈ 9.857，t ≈ -1.857。

【备战】高考数学历届真题专题19 坐标系与参数方程理

历届真题专题【2011年高考试题】一、选择题:1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）（二、填空题:1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =_____【解析】由题意知抛物线的方程为28y x =,因为相切,所以容易得出结果.2. (2011年高考江西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+,以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为4. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 .【解析】)552,1(⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x （0≤ )π<消去参数后的普通方程为)10,55(1522≤≤≤<-=+y x y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245消去参数后的普通方程为x y 542= 联立两个曲线的普通方程得,1(5=-=x x 舍）或 552=y 所以,所以它们的交点坐标为).552,1( 5. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系x Oy 所在的平面为α，直角坐标系''x oy Oy (其中'y 轴与y 轴重合)所在平面为β，'45xox ∠=.(Ⅰ)已知平面内有一点2)P ，则点'P 在平面α内的射影P 的坐标为；(Ⅱ)已知平面β内的曲线'C的方程是22('2'20x y +-=，则曲线'C 在平面α内的射影C 的方程是 .答案：（2，2） 22(1)1x y -+=解析：设P 为（a, b ）,因为y 轴与y ＇轴重合，故P ＇到y轴距离为x 轴距离为2，又因为∠A B 、为12C C 连线与两圆的交点时AB 的最小值，则AB 的最小值为12||2C C -=2-523=-=.7．(2011年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为。

坐标系与参数方程典型例题（含高考题----答案详细）

坐标系与参数⽅程典型例题（含⾼考题----答案详细）选修4-4《坐标系与参数⽅程》复习讲义⼀、选考内容《坐标系与参数⽅程》⾼考考试⼤纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作⽤.②了解在平⾯直⾓坐标系伸缩变换作⽤下平⾯图形的变化情况.③能在极坐标系中⽤极坐标表⽰点的位置，理解在极坐标系和平⾯直⾓坐标系中表⽰点的位置的区别，能进⾏极坐标和直⾓坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆⼼在极点的圆）的⽅程.通过⽐较这些图形在极坐标系和平⾯直⾓坐标系中的⽅程，理解⽤⽅程表⽰平⾯图形时选择适当坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表⽰空间中点的位置的⽅法，并与空间直⾓坐标系中表⽰点的位置的⽅法相⽐较，了解它们的区别.2．参数⽅程：①了解参数⽅程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数⽅程.③了解平摆线、渐开线的⽣成过程，并能推导出它们的参数⽅程.④了解其他摆线的⽣成过程，了解摆线在实际中的应⽤，了解摆线在表⽰⾏星运动轨道中的作⽤.⼆、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换?>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?的作⽤下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称?为平⾯直⾓坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平⾯内取⼀个定点Ｏ，叫做极点；⾃极点Ｏ引⼀条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定⼀个长度单位、⼀个⾓度单位(通常取弧度)及其正⽅向(通常取逆时针⽅向)，这样就建⽴了⼀个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平⾯内⼀点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极⾓，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表⽰同⼀个点。

历年高三数学高考考点之〈坐标系与参数方程〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈坐标系与参数方程〉必会题型及答案体验高考1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.高考必会题型题型一极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.例1 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长. 解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6.又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ. ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝18－22＋[12－－4]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.题型二参数方程与普通方程的互化1.直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).2.圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π). 3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(2)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).例2在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.解 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－－2＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x 、y 有范围限制，要标出x 、y 的取值范围. 变式训练2 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.解由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.题型三极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等. 例3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.点评 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.变式训练3 (2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0).高考题型精练1.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为(4，π3)，求CP 的长.解由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为(4，π3)可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝2－22＋23－02＝2 3.2.在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值.解圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x ，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为432＋－12＝2，又圆的半径r ＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.3.在极坐标系中，已知三点M (2，－π3)、N (2，0)、P (23，π6).(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上.解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2，0)； P 的直角坐标为(3，3).(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上.4.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.解直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π).5.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长.解直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837.故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.7.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.8.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，求实数a 的值. 解 (1)由ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ＝4cos θ－4sin θ.即ρ2＝4ρcos θ－4ρsin θ.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝8. 所以圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝8.(2)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a 可化为y ＝2x ＋a ，则由圆的半径为22知，圆心(2，－2)到直线y ＝2x ＋a 的距离恰好为 2. 所以|6＋a |5＝2，解得a ＝－6±10.。

高考数学解答题专项训练—坐标系与参数方程

高考数学解答题专项训练——坐标系与参数方程学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________1、极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2]ρ=θθ∈π.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）在曲线C 上求一点D，使它到直线32x t y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩为参数）的距离最短，写出D 点的直角坐标.2、已知圆cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩222(θ为参数),直线x t l y t⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩42535(t 为参数)1.求圆 C 的普通方程,若以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出圆 C 的极坐标方程.2.判断直线l 与圆 C 的位置关系,并说明理由;若相交,请求出弦长3、在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为3cos sin (x y ααα==⎧⎨⎩为参数),在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求 C 的普通方程和l 的倾斜角;(2)设点()0,2,P l 和 C 交于,A B 两点,求PA PB +4.已知某圆的极坐标方程是,求:1.圆的普通方程和参数方程;2.圆上所有点中,的最大值和最小值.5、已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+=+⎧⎨⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(1).把1C 的参数方程化为极坐标方程;(2).求1C 与2C 交点的极坐标(0,02πρθ≥≤<).6、在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)(1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率7、在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l的参数方程为22242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M N 、两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若,,PM MN PN 成等比数列,求a 的值.8、以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M 的直角坐标为()1,0,若直线l的极坐标方程为cos 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,曲线c 的参数方程是24{4x t y t ==(t 为参数).1.求直线l 和曲线c 的普通方程2.设直线l 和曲线c 交于, A B 两点,求11MA MB+9、在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2,2sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为sin 03m ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围.10、在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）.（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标.11、在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为(2,1)C ，半径为1.（1）写出圆C 的一个参数方程.（2）过点(4,1)F 作圆C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.12、已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）.（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.13、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于A ，B 两点.(1)求||AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.14、在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P.(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.参考答案1、答案：由2sin ρ=θ可得22sin ρρ=θ，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）消去t 得l的普通方程为5y =+，由（1）得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l21=>，所以曲线C 与l 相离.设00(,)D x y ，且点D到直线:5l y =+的距离最短，则曲线C 在点D处的切线与直线:5l y =+平行，001(1y x -∴⋅=-，又2200(1)1x y +-=，0x ∴=舍去)或0032x y =∴=，∴点D的直角坐标为32.解析：2、答案：1.22(2)4x y -+=4cos ρθ=2.:l x y --=3460圆心到直线的距离d r ==<0,所以直线与圆相交,由于直线l 过圆心()2,0,所以弦长为4解析：3、答案：(1)由3cos sin x y αα==⎧⎨⎩消去参数α,得2219x y +=即 C 的普通方程为2219x y +=由πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos 2ρθρθ-=①将cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入①得2y x =+所以直线l 的斜率角为π4(2)由(1)知,点()0,2P 在直线l 上,可设直线l 的参数方程为cos 42s π(πin4x t t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩为参数)即222(t x y ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩为参数),代入2219x y +=并化简得25270t ++=,(245271080∆=-⨯⨯=>设,A B 两点对应的参数分别为12,t t .则12122705t t t t +==,所以120,0t t <<所以12PA PB t t +=+=解析：4答案： 1.原方程可化为,即.因为,,,代入上式,得,即,即为所求圆的普通方程.令,,所以该圆的参数方程为(为参数).2.由第一问知.令,则,,所以.当时,有最小值;当时,有最大值.5、答案：(1).将45cos ,55sin x t y t =+=+⎧⎨⎩消去参数t ,化学普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即221:810160C x y x y +--+=.将cos ,{sin x y ρθρθ==代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.所以1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.(2).2C 的普通方程为2220x y y +-=.联立1C ,2C 的方程2222810160,{20,x y x y x y y +--+=+-=解得1,1x y ==⎧⎨⎩或0,2.x y ==⎧⎨⎩所以1C 与2C 交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.解析：6、答案:(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-,当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为12,t t ,则120t t +=.又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-解析:7、答案：(1)曲线C 的普通方程为2:2C y ax =，直线l 的普通方程为20x y --=(2)将直线的参数表达式代入抛物线得21)16402t t a -+++=，1212,328t t t t a∴+=+=+因为1212,,PM t PN t MN t t ===-由题意知，2212121212()5t t t t t t t t -=⇒+=代入得1a =.解析：8、答案：1.10x y --=和24y x =2.1cos 104πθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,所以cos sin 10p p θθ--=由cos ,sin x p y θθ==,得10x y --=,因为24{4x t y t==消去t 得24y x-所以直线l 和曲线c 的普通方程分别为10x y --=和24y x=2.点M 的执教坐标为(1,0),点M 在直线l 上,设直线l的参数方程12{22x t y =+=, A B对应的参数为212,,80t t t --=,12128t t t t +==-121212||1132321||||||8t t MA MB t t -+==9、答案：（120y m ++=（2）195122m -≤≤解析：（1）直线l 的极坐标方程为sin 03m ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即sin cos 20m ρθθ+=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得l 20y m ++=（2）曲线C 的参数方程为2sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），将sin 2yt =代入)2212sin x t t =-，得曲线C 的普通方程为2232(22)3y x y =-+-≤≤.联立直线l 与曲线C的方程，得220(22)2y m y y x ++=-≤≤⎨=+⎪⎩，消去x 并整理得232640(22)y y m y ---=-≤≤.解法一：若直线l 与曲线C 有公共点，则2(2)43(64)0m ∆=--⨯⨯--≥，且23(2)2(2)640m ⨯--⨯---≥，所以195122m -≤≤.解法二：所以24326(22)m y y y =---≤≤，因为2222119326363333y y y y y ⎛⎫⎛⎫--=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当22y -≤≤时，219326103y y -≤--≤，即194103m -≤≤，则195122m -≤≤.10、答案：（1）262(0)y x y =-≥；（2）3C 与1C 交点为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,2)：3C 与2C 交点为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭和 (1,2)--.解析：（1）根据1C 的参数方程，消去参数t 可得22262(0)6y x y x y +=⇒=-≥，所以曲线1C 的普通方程为262(0)y x y =-≥.（2）曲线3C 的极坐标方程可化为2cos sin 0ρθρθ-=，所以普通方程为2y x =.根据2C 的参数方程，消去参数s 可得22262(0)6y x y x y +=-⇒=--≤.根据262(0)2y x y y x ⎧=--≤⎨=⎩，得121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3C 与2C 交点的直角坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,2)--.根据262(0)2y x y y x ⎧=-≥⎨=⎩，得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，所以3C 与1C 交点的直角坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，(1,2).11、答案：（1）C 的圆心为(2,1)C ，半径为1，则C 的标准方程为22(2)(1)1x y -+-=，C 的一个参数方程为2cos ,1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.（2）由题意可知两条切线方程斜率存在.设切线方程为1(4)y k x -=-，即410kx y k --+=.圆心(2,1)C到切线的距离1d ==，解得k =所以切线方程为34)13y x =±-+.因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以这两条切线的极坐标方程为3sin (cos 4)13ρθρθ=±-+.解析：12、答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=.解析：（1）1C 的普通方程为()404x y x +=.由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t=+-，所以224x y -=.故2C 的普通方程为224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.设所求圆的圆心的直角坐标为()0,0x ，由题意得22005924x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得01710x =.因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=13、答案：解：（1）因为1t ≠，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为(0,12)；由2230t t -+=得2t =，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-.故||AB =.（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=.解析：14、答案：(1)因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===；即)3M π，所以tan 3OM k π==，因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l的直角坐标方程为(4)3y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；(2)设(,)P x y ，则OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,24x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos (42ππρθθ=≤≤.解析：。

2011年高考试题分类新编数学(理科)之专题-坐标系与参数方程

2011年高考试题数学(shùxué)（理科）选修系列：坐标系与参数方程一、选择题:1. (2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（A）2 (B) (C) （D)【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化，属于容易题.【答案】D【解析】极坐标系中的点（2，）化为直角坐标系中的点为（1，3）；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为（1,0），∴所求两点间距离为=3，故选D.2. (2011年高考安徽卷理科3)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A. B. C. D.【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题.【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。

二、填空题:1．(2011年高考天津卷理科11)已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率坐标方程为答案(d á àn)：。

解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。

根据已知=所以解析式为：02422=--+y x y x3. (2011年高考湖南卷理科9)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与2C 的交点个数为。

答案：2 解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故1C 与2C 的交点个数为2.4. (2011年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .【解析(jiě xī)】（0≤θ消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为联立两个曲线的普通方程得,所以它们的交点坐标为5. (2011年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系Oy所在的平面为，直角坐标系Oy (其中轴与y轴重合)所在平面为，(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面α内的射影P的坐标为；(Ⅱ)已知平面β内的曲线的方程是，则曲线'C在平面α内的射影C的方程是 .答案：（2，2）解析：设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到y轴距离为，到x轴距离为2，又因为∠xox＇=45°，则b=2，a=故P（2，2）.设面β内任意一点P（x,y）其在内射影为，由平面图形可知，，，即，，故方程为即.6.(2011年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线为参数）和曲线上，则的最小值为【答案】3C，由得圆心为【解析(jiě xī)】：由得圆心为1C，由平几知识知当为连线与两圆的交点时AB的最小值，则2AB的最小值为.7．(2011年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为。

2011年高考数学复习选考4-4坐标系与参数方程

选考4-4坐标系与参数方程知识体系最新考纲1. 坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2. 参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.基础热身1. 参数方程与普通方程的区别与联系在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x和y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x和y间接地联系起来，此时可得到方程组()()x f ty tϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，即点P的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x,y ）都在曲线C 上；反之对于曲线C 上的每一个点（x,y ），x,y 都是t 的函数，则把方程组()()x f t y t ϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩叫做曲线C的参数方程，其中的t 称为参数.2. 化参数方程为普通方程的基本思路是，常用的消参方法有、、 .3. 化普通方程为参数方程的基本思路是，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x=f(t)（或y=φ(t)），再代入普通方程F （x ，y ）＝0，求得另一关系y=φ(t)（或x=f(t)）.一般地，常选择的参数有 .4. 常见曲线的参数方程的一般形式（1）经过点P0（x0,y0），倾斜角为α的直线的参数方程为；（2）圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程；；； .5. 极坐标系与点的极坐标极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O 与极轴Ox 组成.对于平面内任一点P ，若设|OP|=ρ（ρ≥0），以Ox 为始边，OP 为终边的角为θ，则点P 可用有序数对（ρ，θ）表示（由于角θ表示方法的多样性，故（ρ，θ）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式）.对于极点O ，其极坐标为，θ为任意值，但一般取θ=0，即极点的极坐标为 .6. 极坐标与直角坐标的互化互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为（x ，y ），它的极坐标为（ρ，θ），则若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题. 7. 特殊位置的直线与圆的极坐标方程（1）直线：；（2）圆： . 8. 圆锥曲线的统一极坐标方程： ,其中表示抛物线时,p 为22px y=中的p;表示椭圆和双曲线时,2p ab=.利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题.基础达标1. 化极坐标方程2pcos θ-ρ=0为直角坐标方程为 .2. 直线xcos α+ysin α=0的极坐标方程为 .3. 圆心为C 3,6π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为3的圆的极坐标方程为 . 4.直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩(t 是参数)的倾斜角的大小是 .5. 直线314x aty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)过定点 .互动学案典例分析【例1】判断点15,23π⎛⎫-⎪⎝⎭是否在曲线ρ=cos 2θ上? 分析在极坐标系内,判断点是否在曲线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入曲线方程,当点的坐标代入不能满足方程时,我们还要找这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解 ∵点15,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点12,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一点,而213cos cos 232ππ==, ∴点12,23π⎛⎫⎪⎝⎭在曲线ρ=cos 2θ上,即点15,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭也在曲线ρ=cos 2θ上. 【例2】极坐标方程4p ·2sin2θ=5表示的曲线是 .分析先利用二倍角公式降幂，然后利用互化公式转化，还需掌握圆锥曲线的性质及表达式. 解 4ρ·2sin 2θ=4ρ·1cos 2θ-=2ρ-2ρcos θ=5，化为直角坐标方程为，化简得22554x y=+．显然该方程表示的是抛物线．举一反三1. 极坐标方程为ρ-cos θθ=0表示的圆的半径为 .【例3】与普通方程2x +y-1=0等价的参数方程为（t 为参数）( ) A. 2sin cos x t y t =⎧⎨=⎩ B. 2tan 1tan x ty t=⎧⎨=-⎩C. x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩2cos sin x t y t =⎧⎨=⎩ 分析化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法.解 A 项化为普通方程为2x +y-1=0,x ∈[-1,1],y ∈[0,1]， B 项化为普通方程为2x +y-1=0,x ∈R,y ∈(-∞,1]， C 项化为普通方程为2x +y-1=0,x ∈[0,+∞),y ∈(-∞,1]， D 项化为普通方程为2x +y-1=0,x ∈[-1,1],y ∈[0,1]，而已知方程2x +y-1=0，x ∈R ，y ∈(-∞,1],显然与之等价的方程是B 项.【例4】直线2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线22x y -=1截得的弦长为 .分析可以先把直线方程化成标准形式参数方程，运用参数的几何意义求之.另外可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立、消元、利用弦长公式得弦长.解())11222'222'x t t y t ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩(t ′=2t 为参数)，代入22x y-=1,得:2212''2t -⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，整理得：2't -4t ′-6=0，设其二根为1't ,2't，则1't +2't =4,1't ·2't =-6，从而弦长为|AB|=|1't -2't==举一反三2. 方程2222ttt t x y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数)表示的曲线是 .【例5】求椭圆2294yx +=1上一点P 与定点（1，0）之间距离的最小值．分析先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系，然后利用函数的最值求法进行求解.解设 P(3cos θ,2sin θ),则P 到定点（1，0）的距离为d(θ当cos θ=35时，d(θ)5【例6】已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭2则极点到该直线的距离是 . 分析对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标系内的问题化为直角坐标系问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程. 解 ∵极点的直角坐标为O （0，0），sin 4πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭=ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭∴ρsin θ+ρcos θ=1，化为直线坐标方程为x+y-1=0，∴点O （0,0）到直线x+y-1=0的距离为，即极点到直线sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为2．举一反三3. （2010·广州模拟）已知θ为参数，则点(3，2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩的距离的最小值是 .易错警示【例】直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数）被圆22x y+=9截得的弦长为 .错解把直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩代入22x y+=9得()()22122t t+++=9,即52t+8t-4=0，则12125t t-,即为所求弦长125.错解分析没有理解t的几何意义，导致误认为12t t-就是弦长.正解由11222xx ty ty⎧⎧=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪⎩⎩，把直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩代入22x y+=9得()()22122t t+++=9,即52t+8t-4=0,12125t t-，则弦长为12t-=考点演练1. 极坐标方程ρcos2θ=0表示的曲线为 .2. 若A3,3π⎛⎫⎪⎝⎭，B3,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则|AB|= ，AOBs∆= （其中O是极点）.3. 极点到直线ρ(cosθ+sinθ的距离是 .4. 极坐标方程ρ2sinθ-2·cosθ=0表示的曲线是 .5. 若圆C的方程是ρ=2asinθ，则它关于极轴对称的圆的方程为，它关于直线θ=34π对称的圆的方程为 .6. 曲线的极坐标方程为ρ=tanθ·1cosθ，则曲线的直角坐标方程为 . 7. 直线3445x ty t=+⎧⎨=-⎩(t为参数)的斜率为 .8. （2010·惠州模拟）直线12xy⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t为参数)上到点A（1，2）的距离为的坐标为．9. （2007·广东）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R),圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数θ∈[0,2π)),则圆C 的圆心坐标为 ,圆心到直线l 的距离为 .10. 设y=tx(t 为参数），则圆22x y +-4y=0的参数方程为 .11. 已知直线l ：21x ty t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C ：()()2231x y +-+=25,求直线l 被圆C所截得的弦长.12. （2010·广东联考）已知点P(x,y)为椭圆224y x b+=1(b>4)上的点，求2x +2y 的最大值.参考答案选考4-4基础梳理2. 消去参数代入消去法加减消去法恒等式（三角的或代数的）消去法3. 引入参数角有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（或纵坐标）4. （1）00cos sin x t y t x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数) （2）圆222x y R+=的参数方程为cos sin x R y R θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)椭圆2222x y a b+=1的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）双曲线2222x y a b-=1的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 抛物线2y=2px 的参数方程为222x p y ptt ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 5. （0，θ）（0，0）6. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,或222tan y xy x θρ⎧=+⎪⎨⎪=⎩.7. （1）ρcos θ=a ，ρcos θ=-a,ρsin θ=a,ρsin θ=-a(a>0)（2）ρ=2acos θ,ρ=-2acosθ,ρ=2asin θ,ρ=-2asin θ(a>0) 8. ρ=1cos pe θ-基础达标 1. 22yx +=0或x=1 解析：∵ρ(ρcos θ-1)=0,∴ρ=0或ρcos θ=1，∴22y x +=0或x=1.2. θ=k π+2π+α(k ∈Z) 解析：∵ρcos θcos α+ρsin θsin α=0,∴ρcos(θ-α)=0, ∴θ-α=2π+k π(k ∈Z). 3. ρ=6cos 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭解析：如下图，设圆上任一点为P （ρ,θ），则 |OP|=ρ,∠POA=6πθ-，|OA|=2×3=6.在Rt △OAP 中，|OP|=|OA|·cos ∠POA ，∴ρ=6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.4.34π 解析：将直线l 化为普通方程为y=-x+1，所以直线l 的倾斜角为34π. 5. (3,-1) 解析：由314x ay -=+,得-(y+1)a+4x-12=0对于任何a 都成立，则x=3,且y=-1. 举一反三1. 1 解析：方法一：方程变形为ρ=cos θ3θ=2cos 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，该方程表示的圆的半径与圆ρ=2cos θ的半径相等，故所求的圆的半径r=1．方法二：把方程化为2ρ-ρcos θ3ρsin θ=0，化为直角坐标方程为22y x +3，∴221322x y +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1,故所求的圆的半径r=1．2. 焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支解析：注意到2t 与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()22222222tttty x---=--+=-4,即有22y x -=4，又注意到2t >0,22t t -+≥222tt-⋅，即y ≥2，可见与以上参数方程等价的普通方程为22y x -=4(y ≥2).显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支. 13 1 解析：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩化为普通方程为22y x +=1，所以点(3，2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩131．考点演练1. 两条相交直线解析：∵ρcos2θ=0, ∴ρ=0或cos2θ=0,∴θ=k π±4π, 又∵极点O 在θ=k π±4π上，∴其表示的曲线为两条相交直线. 6294解析：在极坐标系中画出点A 、B ，易得∠AOB=150°.在△AOB 中，由余弦定理得222ABOAOB=+-2|OA|·|OB|cos ∠AOB ，∴==32; S △OAB=12|OA|·|OB|sin ∠AOB=12×3×3×sin 150°=94.3.2解析：极点坐标为（0，0），直线的直角坐标方程为=0，故极点到直线的距离4. 抛物线解析：方程两边同乘以ρ，则()2sin ρθ-2ρcos θ=0，即2y =2x ，它表示的曲线是抛物线.5. ρ=-2asin θρ=-2acos θ 解析：圆C 关于极轴对称的圆的方程为ρ=-2asin θ，关于直线θ=34π对称的圆的方程为ρ=-2acos θ. 6. 2x =y 解析：∵ρ=21sin tan cos cos θθθθ⋅=，∴ρ2cos θ=sin θ,∴22cos θρ=ρsin θ，即2x =y ．7. -54 解析：k=455344y t x t --==--． 8. （-3，6）或（5，-2）解析：设点P(x,y)为直线上所要求的点，t=t=-，故P （-3，6）或（5，-2）．9. (0，2) 解析：直线l 化为普通方程为x+y-6=0，圆化为普通方程为()222x y +-=4,所以圆C 的圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离10. 2224141t x y t tt ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解析：()22tx x +-4tx=0，当x=0时，y=0；当x ≠0时，241tx t=+；而y=tx ，即2241y t t =+，所以2224141t x y t t t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.11. ()()2211x x t y t y ⎧⎧⎛=-+⨯⎪⎪ =-+⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨=-⎪⎪=+⎪⎪⎩⎩,把直线2'1'x t y ⎧⎛=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩代入()()2231x y +-+=25,得2''t ++4=0,∴12''t t +=12''t t =4, ∴|1't -2't即直线l 被圆C12. 设x=2cos θ，y=bsin θ， 2x +2y=42cos θ+2bsin θ =-42sin θ+2bsin θ+4 =22444sin 4b b θ-++⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∵-1≤sin θ≤1，4b >1，∴当sin θ=1时，()max 22y x +=2b.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

坐标系与参数方程
一、选择题
1.
在极坐标中，由三条曲线0,,cos sin 13π
θθρθθ===围成的图形的面积是
A
B
C
D
2. 设),(y x P 是曲线C ：θθθ(sin cos 2⎩⎨⎧=+-=y x 为参数，πθ20<≤）上任意一点，则x y
的取值范围是（）
A .]3,3[-
B .),3[]3,(+∞--∞
C .]33,33[-
D .),33[]33,(+∞--∞ 3. 直线0323=-+y x 与圆
θθs i n 23c o s
21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交但不过圆心
D ．相交且过圆心 4. 在极坐标系中与圆4sin ρ
θ=相切的一条直线的方程为（） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+
D ．4sin()3πρθ=- 5. 极坐标方程cos 20ρθ
=表示的曲线为（） A ．极点 B ．极轴 C ．一条直线 D ．两条相交直线
6. 直线12()2x t t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（） A ．
125 B C D 7. 曲线25()12x t t y t
=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）
A ．21(0,
)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 8. 把方程1xy
=化为以t 参数的参数方程是（） A ．12
12x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩ B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 9. 极坐标方程cos 2sin 2ρθ
θ=表示的曲线为（） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆
10. 化极坐标方程2cos 0ρ
θρ-=为直角坐标方程为（） A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =
二、填空题
11. 若直线sin()4πρθ+=31x ky +=垂直，则常数k = ．
12. 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ
为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是；
13. 已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :x y C θθ
=+=+，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______． 14. 极坐标方程分别为cos ρ
θ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

三、解答题 15. 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2t
π=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。

16. 过点(
2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ⋅的值及相应的α的值。

17. 已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6π
α=，（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点
P 到,A B 两点的距离之积。

18. 在椭圆22
11612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

答案
一、选择题
1. A
2. C
3. C
4. A 解析：4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切
5. D 解析：cos 20,cos 20,4k πρθθθπ===±
，为两条相交直线
6. B 解析：
11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
12125
t t -===
12t -=7. B 解析：当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5
；当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2
8. D 解析：1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制
9. C 解析：2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即则,2k πθπ=+
或224x y y +=
10. C
解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-====或
二、填空题
11. 解析
：sin()4πρθ+=
sin cos cos sin 44ππρθρθ+= 1x y +=，与直线31x ky +=垂直， 30,3k k +==-
12. 解析：问题等价于圆1x =22(-1)+(y+2)与直线340x y m ++=无公共点，则圆心(1,2)-到直线340
x y m ++=
的距离1,d r =>=解得010m m <>或
13. 2
14.
解析：圆心分别为1(,0)2和1(0,)2 三、解答题
15. 解析：（Ⅰ）22
22
12:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆。

2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（Ⅱ）当2t π=时，(4,4).(8cos ,3sin )P Q θθ-，故3(24cos ,2sin )2M θθ-++ 3C 为直线270x y --=，
M 到3C
的距离|4cos 3sin 13|d θθ=-- 从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d
16. 解析：
设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得
223(1sin ))02
t t αα+++= 则1223
21sin PM PN t t α
⋅==+ 所以当2sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2
πα=。

17. 解析：（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（2
）把直线1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x
得2221(1)(1)4,1)202
t t t +++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
18. 解析：
设椭圆的参数方程为4cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，d =
3)33θθθθ=-=+- 当cos()13π
θ+=
时，min d =，此时所求点为(2,3)-。