锐角三角函数3
锐角三角函数(3)(人教新课标九年级下) 2(1)
AB 6, BC 3 ，求∠A的度数．
解： （1）在Rt△ABC中
6
A
3
C
BC 3 2 sin A AB 2 6
A 45
解题思路：围绕∠A所在的直角三角形，并求出∠A的一个三角函数值, 据角与锐角三角函数值的一一对应关系即可以求出∠A.
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 3 倍，求 α ．
cos 45 t an 45 （2） sin 45
cos 45 t an 45 （ 2） sin 45
＝0
3 1 2 2
2
2
2 2 1 2 2
＝1
友情提示:
sin260°表示(sin60°)2,即(sin60°)·(sin60°), 其余类推.
练一练
1. 求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
cos60 1 （3） 1 sin 60 tan30
解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 1 2 2 2 3 1 2
学以致用
为了测量旗杆的高度，准备了如下测量工具： 操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， ①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺 .请 小明站在离旗杆底部 10米远处，目测旗杆的顶部，视 你设计一个测量方案，能测出旗杆的高度 ? 米．你 线与水平线的夹角为 30 ° ，并已知目高为1.65 能帮他算出旗杆的高度吗？(精确到0.1米)
3 3 3 1 2 3 2
3 1 3
锐角三角函数关系公式
锐角三角函数关系公式
锐角三角函数关系公式是指正弦、余弦、正切等三角函数在锐角
三角形中的关系式。
其中最为著名的公式是“正弦定理”和“余弦定理”。
正弦定理指的是，在任意锐角三角形ABC中，有a/sin A=b/sin
B=c/sin C，其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表
示三角形的三个内角。
余弦定理则是指，在任意锐角三角形ABC中，有a²=b²+c²-2bc
cos A，b²=a²+c²-2ac cos B，c²=a²+b²-2ab cos C，其中a、b、c分
别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角，cos A、cos B、cos C分别表示对应的余弦值。
锐角三角函数关系公式在数学和物理等领域均有广泛应用，能够
帮助人们计算三角函数值，解决各种相关问题。
沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件
B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论： 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳
锐角三角函数(3)
B
C
B
?
60°
10
A
如图：在离铁塔水平距离80米的D处，用测 角仪测得塔尖的仰角（∠ADE)为60°.已知 测角仪的高CD=2米，求铁塔的高AB. A
解：在RtADE中 AE DE tan60 80 3 80 3 米
AB AE EB AE CE (80 3 2)米
达险坦 到勇的 光 于大在 成功就是99%辉 的汗水， 攀道科 的 登，学 加上1%的灵感。 顶 的只上 点 人有从 马 没 ， 不 -----爱迪生 克 才畏有 思 能艰平
A
O
水平线
C
B
在视线与水平线所 成的角中，视线在 水平线上方的叫做 仰角，在水平线下 方的叫做俯角。
D
1.如图，沿着倾斜角为30 °的山坡 植树，要求相邻两棵树间的水平距 ? 离AC为2米，那么相邻两棵树的坡 30 ° 面距离AB为 4 3 米。 A 2米 3 2、小亮要测量河两岸A,B间的距离。 先从A出发，沿与AB成90 °角方向， 向前走了10米到C处，在C处测得 ∠ACB= 60 °，那么A,B间的距离为 米。10 3 C
60 °
x D
45 °
45°
30°
A
B
拓展提高
如图:测量人员在山脚A处观测山顶B仰角是45 ° 。 他们沿着倾斜角为30 °的斜坡前进1000米到达D处， 再看山顶，仰角为60 ° 。求山高BC. (注：点A,B,C,D在同一平面内） B AE+EC=CF+FB
1000
D E
60°
x
F
A
30° XC
CD>10海里时，没危险 CD≤10海里时，有危险
60 ° 30° A
人教版九年级下册数学锐角三角函数课件 (3)
3.如图
B
1
3 则 sinA=___2___ .
A 30°
C
7
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值． 3
A
5
C
求sinA就是要确∠A 的对边与斜边的比；
求sinB就是要确定∠B 的对边与斜边的比
练习 B 根据下图，求sinA和sinB的值． 5
求sinA就是要确定∠A A 1
sinα 1 2 3
22
2
cosα 3 2 1
22
2
1 tanα 3 3
3
三、研读课文
特 殊 角
知 识 点
的一
三
角
函
数
值
1、在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA= 2，则cosB的
2
值是( D )
A．1 ； B． 3 ； C．1；
D． 2
2
2
2
2、在Rt△ABC中, 2sin(α+20°)= 3，则锐角α的
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出B什C么结论？
AB
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小 如何，这个角的对边与斜边的比都等于
∠A=_4_5__0 _，设AB=K，则AC=__22_K__，BC=__22_K__，
2
2
sinB= sin45°=__2__， cosB =cos45°=_2___，
1 tanB= tan45°=____.
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的锐角三角函数值
∴ 2 sin2α + cos2α － 3tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ 3tan60°
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3.
2
课堂测试
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－3 )2 ＝
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
第3课时
特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
复习引入
sin A =
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
AC . AB
∠B A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三
角函数值吗？
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45° 60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
例1 求下列各式的值：
锐角三角函数公式大全
锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。
锐角三角函数培优讲义33113
讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
锐角三角函数(3)
tanA=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a
b
B
锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的 余 切，记作 cotA,即
斜边c
cotA=
∠A的邻边
∠A的对边
=
b
A
∠A的邻边b
∠A的对边a
C
正切函数的取值范围
余切函数的取值范围
tanA＞0
cotA＞0
例1.请计算30º、45º、60º的正切和余切值分别是多少？ 特殊角的正切、余切函数值 tan30º = cot30º =
3 3
tan45º =1
tan60º = cot60º =
3
3 3
3
cot45º =1
例2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 (1)tanA,cotA (2)tanA· cotA;(3)tanA· tanB
你有什 么发现？
例3.在Rt△ABC中，∠C=90º ,a=5,b=12,求tanB和cotB.
例7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º ,AC=6，D是 AC上一点，tan∠DBA= 1 ,求AD的长。 A 5
DCE来自，求B例8.已知直线y=3x-6与x轴所成的角为 四个三角函数值。
的
2 2 例9.等腰梯形的腰长为6cm,底角的余弦值为 3
，上
底长为
2
，求梯形的面积。
达标演练
课堂小结
7.同一锐角的正余切之积有什么关系？
问题导入
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？为 B 什么？ 其邻边与对边的比值呢？
A
斜边c
∠A的对边a
∠A的邻边b
C
探究新知
28.1锐角三角函数(3)特殊角三角函数值学案
28．1锐角三角函数（3）特殊角三角函数值学案一．知识回顾。
（每个题目5分，合计45分） 1、两块三角尺中有几个不同的锐角？ ；是多少度？ 。
2、归纳结果3、sin α，cos α，tan α定义(如图) sin α＝____， cos α＝_______， tan α＝______ 。
4、Rt △ABC 中，∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则当a=5、c=13 时，有SinA= ，CosA= 。
5、把一个Rt △ABC 中的各边同时扩大2倍，则它的锐角A 的正弦和余弦值（ ）A ，都扩大两倍B ，都缩小一半C ，都不变D ，正弦扩大2倍，余弦缩小一半6、已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．12 7、计算：（1）sin60°+cos60°=_______； （2）sin 45sin 60_________,cos 45cos 60︒︒=︒︒=_______．8、计算：cos 245°+tan60°·cos30°等于（ ）30° 45° 60° siaA cosA tanAα a bcA ．1B ．2C ．2D ．3 9、计算2sin 45°的结果等于（ ）A ．2B ．1C ．22 D ．21二． 运用提高。
（每个题目10分，合计100分） 1、求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．2、下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3、计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．14、已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ）A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52，则cosA=________．6、cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．7、锐角三角函数值的变化规律：（1）锐角的正弦值或正切值随角度的增大而 （或减小而 ） （2）锐角的余弦值 随角度的增大而 （或减小而 ） 8、如图1－1－6，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值．9、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝ （ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．4510、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24米，则旗杆AB 的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）三．能力培养。
28.1 锐角三角函数(3)
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小 有关，而与直角三角形的边长无关。
两块三角尺中有几个不同 的锐角？分别求出这几个 锐角的正弦值、余弦值和 正切值．
60° 30° 45° 45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 2a 2 a2 3a
28.1 锐角三角函数 （3）
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定 义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三 角形)。
1 3 1 2 2 2 3 1 2
cos 60 (3) （2）3tan30°－tan45°+2sin60° 1 sin 60 3 3 1 3 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 2 3 1
1 tan 30
1 3 3
2 3 3
2
BC 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 7 , AC 21
B
求∠A、∠B的度数． 解： 由勾股定理
AB AC BC
2 2
7
A C
21 7
2
21
2
28 2 7
BC 7 1 sin A AB 2 7 2
∴ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
2 2
a 2 sin 45 2 2a
a 2 cos 45 2 2a
锐角三角函数锐角三角函数
03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。
第七章 锐角三角函数的简单应用(3)
苏科版九年级上 盐中网校第9课时 锐角三角函数的简单应用（3）班级 学号 姓名[学习目标]1、能把实际问题转化为数学（三角函数）问题，从而用三角函数的知识解决问题．2、坡度＝斜坡的水平距离斜坡的垂直高度，一般地，我们将坡度i 写成1:m 的形式．坡度i 与坡角α之间的关系为：i ＝tan α． [学习过程]问题1、 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6m ，测得斜坡的倾斜角是30°，求斜坡上相邻两树的坡面距离．问题2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．问题3、某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=600，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A 不动， 坡顶B 沿BC 削进到F 点处，问BF 至少是多少米？问题4、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .⑴ 求整修后背水坡面的面积；⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元， 那么种植花草至少需要多少元？问题5、 如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
锐角的三角函数( 三)
一、复习、提问1、特殊角的三角函数值。
2、互余两锐角的三角函数间的关系是什么？3、三角函数的增减情况是怎样的？4、锐角三角函数值的范围是怎样的（0<ɑ<90°sin ɑ随ɑ增大而增大，cos ɑ随ɑ增大而减小，tan ɑ随ɑ增大而增大）二、新课讲解，介绍知识1、操作问题1：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是一个任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？（如求sin36°的值）操作：（1）、步骤1、如图用刻度尺和量角器作出Rt △ABC,使∠C=90°∠A=36°（2）、步骤2、用刻度尺量得∠A 的对边BC 的长，斜边AB 的长；（3）、步骤3、算出比的值即为sin36°的值。
得约等于0.5878.BC AB问题2、同学们想一想用计算器得到的数是准确的吗？（思考、讨论）可根据以前使用时的值进行类比，得出用计算器来求锐角三角函数值时，计算器显示的是三角函数值的近似值，不同的计算器给出的近似值的有效数字也不同，有10个、有8个。
我们一般取四个有效数字。
问题3、如何使用计算器呢？（不同的计算器有不同的按键方法。
）先按ON键开启计算器，再按DEG/RAD键（或MODE键）使计算器处于角度运算状态（一般计算器上有一个DRE键，按动它时，计算器显示屏上出现“DEG”、“RAD”、“GRAD”,它们分别表示“角度”、“弧度”、“梯度”。
而我们初中数学计算三角函数值时用的角度单位是“度、分、秒”，因而我们在使用时要将计算器设置在“DEG”状态。
有的计算器上有一个MODE键，同时配有说明，如MODE；1DEG2RAD、3GRAD）按MODE、1键计算器的状态就处在“DEG”即角度计算状态。
三、例题演练、巩固知识例1：求sin40°的值（精确到0.0001）解：（三角函数值有的是有理数、有的是无理数，计算器上显示都是八位有效数字的数，因而求出的值大都近似值。
教学课件_锐角三角函数(第3课时)_2
2
210
22
巩固练习
1.sin45°的值是（ D ）
A. 1
B.1
C. 3
D. 2
2.已知2 α为等腰直角三角形的一2 个锐角，则2 cos α
等于（ B ）
A.
1 2
B. 2
2
C. 3
2
D. 3
3
3.计算：2sin60°+tan45°= 3+1 ．
4.Rt△ABC中，∠C=90°，cos A= 3 ，则∠A=_3_0 °. 2
cos A
b c
2 2 、tanA
3
a b
2 4
根据得出的 公式，你还有其
他解法吗？
归 纳：
（1）当A、B均为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB,
cosA≠cosB,tanA≠tanB.
（2）sin2α+cos2α=1，tanα=
sin α . cos α
拓展提高
解法二：∵sin A＝ 1 ，sin2 A＋cos2 A＝1，
3
2 ,
AB 6 2
A 45.
(2)在图(2)中, tan α AO 3OB 3, OB OB
α 60.
巩固练习
3
1 . 已 知 α 为 锐 角 ， 且 t a n （ 9 0 ° - α ） 3=
，则α等于B （
A 30° B 60 ° C 45° D 75°
）。
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝ 1 ，
5)
，那么
A. 9 25
B. 4 5
3
C.
5
4.直角三角形的斜边和一条直角边的 比为25∶24，则其中最小的角的正切值为
7.6666锐角三角函数简单的应用(3)
D.80cos 20m
2、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, 斜坡AB=10m,大坝高为8m, (1)则斜坡AB的坡度
iAB ____ .
(2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
A BE
D C
例1：
（2）完成这一工程需要多少土方？
FA D
E
B
C
练习
如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1: 3
AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点
与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．
试求旗杆BC的高度．
B
C
D
A
例2：安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图 如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交 与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO 与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为 40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面 AB的坡度和支架BF的长.
D
如图,AB是一斜坡,
B
我们把斜坡与水平面的 夹角称为坡角 .
A
C
斜坡的垂直高度BC与斜坡 的水平距离AC的比称为坡度(坡比） i .
i tan BC
AC
1、小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是( C ).
A. 80 m cos 20
B. 80 m sin 20
C.80sin 20m
复习
仰角、俯角问题中的基本图形
C
A
B
D C
A
DB
如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有 暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行, 行至A点处测得P在它的北偏东60度的 方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得 灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险?
锐角三角函数3
如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点，且AE:EB=4:1，EF⊥AC与F，连结FB.
求BC的长. 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13,
A点在直角坐标系中如图所示,
5
变二：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠， sinB= 3 如图，在△ABC中，AB=15，AC=13,
B D
A
C
在本节课中,我们……
∠α的正弦 学习了一个重要概念：锐 Nhomakorabea三角函数 ∠α的余弦
∠α的正切 经历了一个探究过程：特殊到一般
体现了一种数学思想：数形结合
体验到一种学习方法：猜想 证明 归纳 应用
锐角三角函数(1)
Ａ 30°
M Ｂ
BC = 1 AB 2
CN
是一个确定的值.
当∠A=45 °呢？ 当∠A=70 °呢？
直角三角形中对边与斜边的比值，是锐角的函数
∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine). 记做sinA
如图，在Rt∆ABC中，∠C=90度，当锐角A确定， ∠A的邻对边与斜邻边是否也是一个固定值呢？为什么？ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine)
记做cosA ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent)
记做tanA
锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为 ∠A的三角函数.
注意
1.sinA,cosA,tanA是一个比值，没有单位.
2它的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的大小无关.
3.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号，单独的 sin没有意义，不能看成sin·A,cos ·A,tan ·A， 其中表示∠A的前面的 “∠”一般省略不写；
锐角三角函数关系
锐角三角函数关系在三角函数中，锐角是指小于90度的角。
锐角三角函数关系是指在锐角三角形中，三角函数之间的关系。
首先，我们需要了解一些基本定义和概念。
在锐角三角形ABC中，角A、角B、角C分别对应边a、边b、边c，其中边c为斜边，边a和边b为其他两条边。
常用的锐角三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
正弦函数（sin）定义为三角形中，斜边与角度的比值，即sin(A) =a/c，sin(B) = b/c。
余弦函数（cos）定义为三角形中，邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c，cos(B) = a/c。
正切函数（tan）定义为三角形中，对边与邻边的比值，即tan(A) =a/b，tan(B) = b/a。
这些函数的值可以通过查表或计算器获得。
根据这些基本定义，我们可以推导出一些重要的锐角三角函数关系。
1. 互余关系在锐角三角形中，边a与边b的互余关系为sin(A) = cos(B)，cos(A) = sin(B)。
2. 倒数关系在锐角三角形中，边a与边b的倒数关系为sin(A) = 1/csc(A)，cos(A) = 1/sec(A)，tan(A) = 1/cot(A)。
3. 平方和关系在锐角三角形中，正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1，即sin^2(A) + cos^2(A) = 1。
4. 三角函数积商关系在锐角三角形中，正切函数等于正弦函数与余弦函数的商，即tan(A) = sin(A)/cos(A)，tan(B) = sin(B)/cos(B)。
这些关系可以帮助我们在解决三角函数相关问题时，根据已知条件推导出未知量的值。
除了上述的关系，还存在诸如三角函数的和差化简公式、倍角公式、半角公式等等，这些公式可以通过不断的推导和应用，进一步扩展和深化我们对锐角三角函数的认识。
总结一下，锐角三角函数关系在数学中起到了至关重要的作用，它们是研究三角形及其应用的基础。
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∠A的对边
sinA 斜边
斜边 ∠A的对边
cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
特殊角三角函数值
仔细观察,说说你发现 这张表有哪些规律? 特殊角三角函数值
锐角α 三角 函数
30°
1 2
3 2
45°
2 2cosα tanα
1 2
3 3
1
3
例1、求下列各式的值. (1) cos260°+sin260°
cos45 (2) -tan45 sin45
应用生活
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然 后他很快就算出旗杆的高度了。
2、已知：α为锐角，且满
足 3tan 数。 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
2
-4tan + 3 =0 ，求α的度
1-2sinAcosA
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁 在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷 第444章 验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就 是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒 の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验， 也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候 居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回 到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就 是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来 都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公 退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧 福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越 清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明 白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人 梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为 王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷 第445章 报喜望着面色依然冷冷の 年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规 矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。 不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是 刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、 心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如 指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守 己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事 实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需 要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧， 今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错 愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表
； / 语文补习
你想知道小明怎样 算出的吗？
?
30°
1.65米
10米
练习：P83-练习
例3、(1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6 ,BC= 3 。求∠A的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 径OB的 倍,求α. 3 A
B
6 3
(2)
O
A
C
B
(1)
sin 230 + tan 245 + sin 260 1? 2 cos 45 + tan30 cos30