数学三十六计续集16：勾股弦
勾股定理 2
勾股定理
勾股定理定义及公式
• 勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数 学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也 是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股 定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之 一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程a² + b²= c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直 角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c² 。
面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。 • （5）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平
方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
青朱出入图
• 青朱出入图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定 理的几何证明法，其法富有东方智慧，特色鲜明、通俗易懂。
• 刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类， 因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任 意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。 将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内
星火教育：勾股定理公式及习题分析
星火教育：勾股定理公式及习题分析从初中二年级开始，数学将会分为代数和几何，代数就是我们之前所学的数学，以计算和应用推理为主；而几何则会通过图形的尺寸、计算来考察，体现的是数学的一种实物上的应用。
说到几何，最为经典的当然就是勾股定理了，老祖宗就曾总结出“勾三股四弦五”的经典，但是并没有进行进一步的推广让之成为颠扑不破的数学定理，下面星火教育就来具体介绍一下勾股定理。
勾股定理的基本定义在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△ABC中，∠C=90°，则a²+b²=c²。
勾股定理的伟大之处勾股定理极为经典，可以说是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
举例解析正方形ABCD中，E为AB边重点，F是AD上一点，且AF=四分之一AD。
证明三角形FEC是直角三角形。
证明：设正方形ABCD的边长为4.则有：AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3在直角三角形AEF中，EF＝√（AE²＋AF²）＝√（2²＋1²）＝√5在直角三角形BCE中CE＝√（BE²＋BC²）＝√（2²＋4²）＝√20在直角三角形CDF中CF＝√（DF²＋CD²）＝√（3²＋4²）＝√25∵（√5）²＋（√20）²＝（√25）²即：EF²＋CE²＝CF²所以，三角形CEF是直角三角形。
说明一下：这道题虽然不难，但是却说明了勾股定理的逆定理，如果三角形的A边的平方加上B边的平方等于C边的平方，则说明此三角形是直角三角形。
勾股定理看起来并不难，但是以勾股定理为核心，相关的题目却是不胜枚举，因为勾股定理实在是太重要了，是数学几何中最为经典的定理，希望同学们可以多多练习，总结一些经典的题目，勾股定理也是历年中考的重点内容，希望大家好好理解，努力学习。
勾股定理 修订版
把这四个直角三角形 拼成如图所示形状
.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠3= ∠2. （全等三角形对应角相等） ∵ ∠3 + ∠1 = 90°， ∴ ∠2 + ∠1 = 90°， （等角的余角相等） ∴ ABCD是一个边长为c的正 方形，它的面积等于c².
当然，勾股定理的做法远远不止 这一种。在这里介绍的仅仅也只 是具有代表性的赵爽证法。 其余未知的证法还是等着同学们 去探索了。
勾股定理
赵爽证法
中国史上最先完成勾股定理证明的数学家——赵 爽 • 赵爽，东汉末至三国时代的吴国人。曾经研究过 张衡的天文数学著作《灵宪》和刘洪的《乾象 历》，也提到过“算术”，他对数学有深刻的理 解。 • 三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作 出了详细注释, 记录于《九章算术》中“勾股各 自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅 “勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了 勾股定理的详细证明。
刚刚呈现的就是数学家赵爽所 发现的“勾股圆方图” 下面我们来学习一下他的具体 做法：
勾股定理
• 勾股定理是一个基本的初 等几何定理，直角三角形 两直角边的平方和等于斜 边的平方。 • 如果直角三角形两直角边 为a和b，斜边为c，那么 a²+b²=c²，(a,b,c)叫做勾股 数组。
2016/6/12
a
b
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ∠HEF = 180°- ∠ AEB=90°
∴EFGH是一个边长为 （b-a）的正方形
∴S □ ABCD=4· ½ ab+(b-a) ² =c ² ∴a ²+b ² =c ²
所以， 我们就得出了勾股定理：
勾股定理发展史
勾股定理发展史勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一。
勾股定理为初等几何学中的一个基本定理，我国古称直角边为“勾”与“股”，斜边为“弦”或“径”，因而将这条定理称为“勾股定理'。
勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理是余弦定理的一个特例，约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。
1 发展简史勾股定理是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现，在中国古代数学、天文历法和工程运用极其广泛，影响深远。
因此，中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明。
三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，因中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因而更普遍地则称为勾股定理。
《周髀算经》中记录商高（约公元前1120年）同周公的一段对话。
书上记载：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有（通“又”）五，是谓积矩。
所以又被称为商高定理。
关于勾股定理运用记载，最早见于大禹治水：“陆行乘车，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。
左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。
”其中的规和矩就是运用勾股定理的实用工具之一。
此外，《周髀》上还说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也”。
意思是大禹除了把勾股定理应用于治水工程中，还把其中的原理延伸至国家建章立制的政治高度。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理'。
(完整版)勾股定理故事
勾股定理故事商高是公元前十一世纪的中国人。
当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。
在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。
”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。
”即我们常说的勾三股四弦五。
什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。
商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。
”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人。
希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。
尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚。
我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！。
(word完整版)勾三股四弦五-勾股定理介绍
(word完整版)勾三股四弦五-勾股定理介绍
勾三股四弦五——《勾股定理》
在中国古代,大约是公元前十一世纪战国时期,西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边)时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理，也称为“商高定理”。
数学家刘徽（公元263年)作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。
刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类,因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”上述内容直白表达就是，青朱两个正方形经过分割、拼合成以弦长为边长的新正方形,重点在于新形成的正方形是在原来两个正方形基础上拼合而成，这就完全适合直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。
用勾（a)和股（b)相乘（a×b）等于两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即为四块红色三角形的面积，以勾(a）股（b）的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形,所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦(c）为边长的正方形的面积。
数学表达式为：c2=（a-b）2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2。
与勾股定理有关的历史故事
与勾股定理有关的历史故事
“勾股定理”是中国古代数学中最重要的定理之一，也是世界数学史上的重要成就。
传说这个定理的发现和一段历史故事有关。
据说在中国战国时期，有两位数学家，分别叫做赵冬阳和商高。
他们在求解直角三角形的问题上遇到了困难，于是商高请教赵冬阳。
赵冬阳听了商高的问题后，画出了一个边长分别为3、4、5的直角三角形，并告诉商高：“我们可以把这个直角三角形的每条边都乘以一个整数，仍然得到直角三角形。
我们称这些直角三角形为勾股数。
”
赵冬阳的解法启发了商高，于是他开始研究如何找到其他的勾股数。
商高最终发现了勾股定理，即：直角三角形的斜边平方等于直角边平方的和。
这个定理被记录在商高所著《周髀算经》中，成为了中国古代数学中最重要的一个结论。
虽然这个故事的真实性无从考证，但它反映出中国古代数学发展的一种特点，即从实际问题中总结出一般规律，创造出新的数学理论。
同时，勾股定理的发现也表明了古代中国数学家在几何学方面的高超技艺和深厚的数学素养。
勾股定理
生活应用
• 挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最 佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位 的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不 是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第 一位。一般来说在选购时可参照三点：
• 第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的 1/6;
• 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 • 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多
国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了 一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
勾股定理
•勾股定理是一个基本的几何定理，直角三 角形两直角边（即“勾”，“股”）边长
平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说，设直角三角形两直角边为a和b， 斜边为c，那么a²+b²=c² 。勾股定理现发现 约有400种证明方法，是数学定理中证明
方法最多的定理之一。勾股数组成 a²+b²=c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾 股数。
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形 为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成玹方。依其面积关系有a^+b^=c^.由 于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。
以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只 要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个 以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2
• 第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;
勾股弦定律计算方法
勾股弦定律计算方法
计算步骤如下：
1.确定已知条件。
在计算前，需要明确已知的条件，在三角形ABC中，假设要计算的边为边c，已知的两条边为边a和边b，已知的对应夹角为A。
2. 利用勾股弦定律进行计算。
根据勾股弦定律，将已知的条件代入
公式：c² = a² + b² - 2ab*cosA。
3.进行运算得到结果。
按照已知条件进行运算，得到c的平方。
在得
到c的平方后，可以进行开根号运算，得到c的值。
4.特殊情况的考虑。
在进行计算时，需要注意特殊情况，例如：夹角
A为90度，此时根据勾股定理，三角形ABC为直角三角形，可以直接利
用勾股定理计算；夹角A超过180度，此时根据勾股定理无法计算。
5. 检验计算结果。
在得到计算结果后，可以通过检验计算结果的方
法进行验证。
首先，将得到的结果代入勾股弦定理公式，计算出左边的数值；然后，分别计算出右边的三个数值之和（a²、b²和2ab*cosA）；最后，将左右两边的数值进行比较，如果相等，则计算结果正确。
勾股定理的
勾股定理的
1发展历程
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦
定理。
在公元前多年，据记载，商高（约公元前年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股
修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓
积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之
得斜至日。
2主要意义
1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
2、勾股定理引致不容通约量的辨认出，从而深刻阐明了数与量的区别，即为所谓
“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式就是第一个不定方程，也就是最早得出结论完备答疑的不定方程，它一方面鼓励至各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序践行了一个
范式。
勾股定理
4. 三角形的三边长为 则这个三角形是( 则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 D. 锐角三角形 C. 直角三角形 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则 第三边长是（ ） A．5 B．25 C． 7 D．5或 7 =90° =14cm， 6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm， 已知Rt△ Rt 中 c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ =10cm， Rt△ 的面积是（ ） B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 A. 24cm2 7．直角三角形中一直角边的长为 ，另两边为连续 ．直角三角形中一直角边的长为9， 自然数，则直角三角形的周长为（ 自然数，则直角三角形的周长为（ ） A．121 B．120 C．90 D．不能确 定
A
毕达哥拉斯证法: 毕达哥拉斯证法:
a a c b
1 Ｓ大正方形=4× ab+a2+b2 × 2
=2ab+a2+b2
1 Ｓ大正方形=4× ab+c2 × 2
b
=2ab+c2 ∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形 Ｓ ∴2ab+a2+b2=2ab+c2 ∴a2+b2=c2
一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分） 相信你一定能选对！（每小题 分 ！（每小题 分 1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高 为( ) A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 2 2 2 2 2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③ m + n , m − n , 2 a , a 2 +1 , a 2 + 2 . 2mn（m，n均为正整数,m＞n）④ 其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 三角形的三边为a、 、 ， 3. 三角形的三边为 、b、c，由下列条件不能判断 它是直角三角形的是（ 它是直角三角形的是（ ） A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 ． : : ∶ ∶ ． C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c ． ． : : =13∶5∶12 ∶ ∶
勾股定理
勾股定理勾股定理:在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定勾股定理古埃及人利用打结作R T三角形理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Py thagoras Theorem）。
定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2; ；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是4，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）来源：毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。
勾股定理的小故事
关于勾股定理的小故事
在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。
”天的高度和地面的一些测
量的数字是怎么样得到的呢？
商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。
”
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。
商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。
勾股弦数
勾股弦数李明亮（河北省平乡县大刘庄学校，河北邢台054500）摘要：勾股弦数是指这样的三个正整数（分别称为勾数、股数、弦数）：勾数与股数的平方和等于弦数的平方。
每一组勾股弦数都和3、4、5这三个数有关；任意给定一个不小于3的勾数或股数，都可以求出一组勾股弦数；但是，只有4k+1形的质数和它们的倍数才可以做弦数。
关键词：勾股弦数；通项公式；质数；平方勾股弦数是指这样的三个正整数：两个较小数的平方和等于第三个数的平方。
也就是说，如果三条线段的长度正好分别等于这三个数，则用这三条线段可以围成直角三角形。
3、4、5是最简单的一组勾股弦数。
在一组勾股弦数中，从小到大依次称为勾数、股数、弦数。
勾股弦数的通项公式如下：a=k(m2－n2)，b=2kmn，c=k(m2+n2)（k、m、n均为正整数，且m＞n）例如，k=1，m=3，n=1时，可得到一组勾股弦数6、8、10；k=2，m=2，n=1时，也可得到6、8、10；k=1，m=3，n=2时，可得勾股弦数5、12、13；k=1，m=4，n=1时，可得勾股弦数8、15、17……下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。
一、在一组勾股弦数中，当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶；当弦数是偶数时，勾数和股数一定都是偶数。
因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶。
但是，当弦数是偶数时，勾数和股数为什么一定是两个偶数，而不能是两个奇数呢？这是因为，奇数的平方的末两位数只能是01、21、41、61、81、09、29、49、69、89或25这十一个数，而偶数的平方的末两位数只能是04、24、44、64、84、16、36、56、76、96或00这十一个数。
这十一个奇数中的任何两个相加，其结果的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。
也就是说，两个奇数的平方和不可能是完全平方数。
如果在一组勾股弦数中，勾数和股数都是偶数，那么，把这组勾股弦数都除以2或者连续除以2，最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。
勾股定理的发现和发展史
勾股定理的发现和发展史中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。
稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾^2+股^2=弦^2 亦即：a^2+b^2=c^2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。
其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。
所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。
”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：c=（a2+b2）(1/2) 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
勾股定理的应用“勾股”唱戏思想“助威”
“勾股”唱戏 思想“助威”数学思想方法是对数学知识内容的一种本质认识，要知道数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在。
下面就举例说明在这些数学思想方法指导下，如何运用勾股定理解决问题的。
一、方程思想勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过立方程求解。
例1、（2022哈尔滨市）如图1，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）．（A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm分析：线段CN 是Rt △CEN 的一条直角边，设CN=x ㎝，则EN=DN=（8-x ）㎝，又CE=4㎝，利用勾股定理列出方程即可求出CN 。
解：设CN=x ㎝，则EN=DN=（8-x ）㎝，又CE=4㎝，则Rt △CEN 中，CE 2+CN 2=EN 2，则42+ x 2=（8-x ）2，解之，得x=3。
所以选A 。
说明：纸片的折叠是一项探究与娱乐兼备的活动，备受命题者的青睐。
解决问题时要从折叠前后图形的关系中寻找角与边的关系。
二、转化思想勾股定理就是通过图形的割、补、拼等方法构造一些特殊的图形来验证的，当有些问题的图形中没有直角三角形的情况下，这时就可以根据条件通过作辅助线构造直角三角形，然后再利用勾股定理来解决问题。
例2、（2022年青岛）如图2是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为8cm ．母线()OE OF 长为8cm ．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．分析：一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点有无数条爬行的路线，看上去都是曲线，这时可以将圆锥展开为一个扇形（如图3），F 是弧的中点，OF ⊥OE ，实际上蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点的最短距离就是EA 的长度。
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作者：马到成功老师
勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理 是余弦定理的一个特例。勾股定理约有 400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多 的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程 a² + b² = c² 的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那 a²+b²=c² 。 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了。下面我便向大家介绍 几种十分著名的证明方法。 【证法 1】赵爽“勾股圆方图”
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Hale Waihona Puke 【精典名题 4】如图 3-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上 去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图 中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木 板的长度吗？
【思路点拨】如下图，可设ＢＣ段高度为Ｘ，则直角三角形ＡＢＣ 与ＤＢＥ中围绕木板长度，根据勾股定理可列式，
AC 2 = DE 2
= x 2 + (130 + 70) 2 = 70 2 + (90 + x) 2 x 2 + 40000 = 4900 + 8100 +180 x + x 2 可解得ｘ
第一种方法：边长为 c 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 a、b，斜边为 c 的直 角三角形围在外面形成的。 因为边长为的正方形面积加上 4 个直角三角形的面积等于 外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。 第二种方法：边长为 c 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 a、b，斜边为 c 的 角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞” 。 因为边长为的正方形面积等于 4 个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所 以可以列出等式，化简得。 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和 对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。 【证法 2】课本的证明
勾股定理各种有意思的证明，展现了数学之美，吸引一代又一 代数学天才对数学学科产生浓厚的兴趣，并为之而努力作出巨大贡 献。能经常在小学竞赛题中发现巧妙使用勾股定理解决的图形题， 我找些例子给大家试试。
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【精典名题 1】 如上右图 ADEF 为正方形， ABC 为等腰直角三角形，D 在 BC 边上，三 角形 ABC 的面积等于 98，BD：DC＝2：5。 求正方形 ADEF 的面积。 【思路点拨】为了给等腰直角三 角形与正方形之间建立重要联 系，可连接 A 与 BC 中点 G，如下 图：可知 AG 是等腰直角三角形 BC 边上的高，直角三角形 ADG 正 好给正方形 ADEF 与等腰直角三 角形 ABC 建立联系， 用勾股定理： AD2 = DG 2 + AG2 ， 可设 BD=2a，DC＝5a,则 BG=AG=（2a＋5a）÷２＝3.5a， DG=5a-3.5a=1.5a。 AD2 = (1.5a) 2 + (3.5a) 2 = 14.5a 2 ， 三角形 ABC 的面积： AG2 = (3.5a) 2 = 12.25a 2 = 98
如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 AC²=AD·AB. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB， 从而有 BC²=DB·AB ∴ AC²+BC²=(AD+DB)·AB=AB²，即 a²+b²=c²
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【证法 3】1876 年美国总统 Garfield 证明
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于 2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 1/2c². 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 1/2(a+b)². ∴ 1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c². ∴ a²+b²=c². 【趣闻】：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散 步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着， 突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小 孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于 是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直 角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是 5 呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜 边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加 上 7 的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语 塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小 男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出 了简洁的证明方法。1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他 对勾股定理的这一证法。1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪 念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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【证法 4】欧几里得证明
做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在 一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB 的面积等于 1/2a²，ΔGAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形 ADLM 的面积 =a².同理可证，矩形 MLEB 的面积 =b². ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ∴ c²=a²+b² ，即 a²+b²=c². 【证法 5】利用相似三角形性质证明
a2 = 8 AD2 = 14.5a 2 = 14.5 ×8 = 116
轻松可得正方形的面积是１１６。
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【精典名题 2】如图所示，直线上并排放置着两 个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘 米。阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分。如 果要在阴影部分内放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于 __________平方厘米。 【思路点拨】如下图，在阴影部分放入一个尽可能大的圆，半径用 ｒ表示，大圆的半径用Ｒ表示，连接两圆圆心与大圆交点可形成一 个直角三角形ＡＢＣ，边长如图所示，可用勾股定理获得：
＝150
AC 2 = 200 2 +150 2 = 62500 = 250 2
所以木板长度 250cm。
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【精典名题 5】在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD，AB=６，ＣＤ＝ 14，角 AEC 是直角，CE= CB，则 AE 等于多少?
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【思路点拨】
连接ＡＣ，作等腰梯形的高 AF,BG，AF＝ BG。则： GC=(14-6)÷2=4。 下面运用勾股定理列式推算：
（R + r ) 2 = R 2 + （R－r ) 2
展开整理可得：
R 2 + 2 Rr + r 2 = R 2 + R 2－2 Rr + r 2 4 Rr = R 2 R = 4r
大圆半径是小圆半径的４倍，面积就是１６倍。 小圆面积＝1680÷16=105
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【精典名题 3】In the diagram ,the four edges of a quadrangle have length 1, 5,5,and 7,and the two edges with length 5 are perpendicular .Four squares are built from the four edges .Then adjacent vertices of these squares are connected so that a big polygon is formed .Find the area of this big polygon . 如图，四个边长分别为 1，5，5，7 的正方形组成一个四边形， 在这个四边形中两条长度为 5 的边相互垂直，求整个图形的面积。 【思路点拨】两条长度为 5 的边相互 垂直，则在直角三角形 ABC 中根据勾 股定理可得： AC 2 = 52 + 52 = 50 ，在三角 形 ADC 中，由于： 7 2 +12 = 50 = AC 2 ，可 推知三角形 ADC 是直角三角形，则面 积可得： 7 ×1÷ 2 = 3.5 ，直角三角形 ABC 的面积易知： 5× 5÷ 2 = 12.5 。 三角形 IBJ 绕 B 点顺时针旋转 90 度与三角形 ABC 等底等高， 三角形 EDF 绕 D 点顺时针旋转 90 度与三角形 ADC 等底等高， 三角形 GAH 绕 A 点顺时针旋转 90 度与三角形 ABD 等底等高， 三角形 DCB 绕 C 点顺时针旋转 90 度与三角形 KLC 等底等高， 以上四对三角形面积都两两相等，由于中间四边形 ABCD 计算两 次：图形总面积为：(3.5+12.5)×（4-1)+50+50=148。