新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学案新人教B版必

新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学案新人教B版必修第一册(教师独具内容)课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明．教学难点：函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？提示：从图像上可以看出0～4时气温下降，4～14时气温逐渐上升，14～24时气温又逐渐下降．学习了本节内容——函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作．【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□01f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上□02单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□03f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上□04单调递减)．知识点二函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是□01增函数或是□02减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I 为区间时，称I为函数的□03单调区间，也可分别称为□04单调递增区间或□05单调递减区间)．知识点三函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有□01f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而□02x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有□03f (x )≥f (x 0)，则称f (x )的最小值为f (x 0)，而□04x 0称为f (x )的最小值点．最大值和最小值统称为□05最值，最大值点和最小值点统称为□06最值点． 【新知拓展】1．当函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数时，不能说f (x )在A ∪B 上是增(减)函数，如f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f (x )＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1<1＝x 2，有f (－1)＝－1<1＝f (1)，不符合减函数的定义．2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (1)这个区间可以是整个定义域．例如，y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数．(2)这个区间也可以是定义域的真子集．例如，y ＝x 2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(3)有的函数不具有单调性．例如，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性；y ＝x ＋1，x ∈Z ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性．3．区间端点的写法对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．例如，y ＝x 2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y ＝1x在[0，＋∞)上为减函数．4．对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x 0，使f (x 0)等于最值，如f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0.(2)对于定义域内的任意元素x ，都有f (x )≤f (x 0)(或f (x )≥f (x 0))，“任意”两字不可省．(3)使函数f (x )取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个．(4)函数f (x )在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．( )(3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．( )(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．( )(5)任何函数都有最大值或最小值．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)＝x的图像如图1所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图像如图2所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)函数y＝－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．(4)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．答案(1)①上升的②(－∞，＋∞)增大增函数(2)①下降的②(－∞，＋∞)减小减函数(3)(－∞，0] [0，＋∞)(4)1题型一函数单调性的判断与证明例1 用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数；(2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [证明] (1)设x 1，x 2是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34，则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数．(2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－3，＋∞)，得x 1>－3，x 2>－3， 即x 1＋3>0，x 2＋3>0，所以f (x 2)<f (x 1)， 所以f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [条件探究] 若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f (x )的单调性．解 设x 1，x 2是(－∞，－3)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－∞，－3)，得x 1<－3，x 2<－3， 即x 1＋3<0，x 2＋3<0，所以f (x 2)<f (x 1)， 所以函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－3)上是减函数． 金版点睛函数单调性的判断判断函数f (x )的单调性通常有定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1<x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[跟踪训练1] 利用定义判断函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上的单调性．解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2＋2－x 1x 1＋2＝x 2x 1＋2－x 1x 2＋2x 2＋2x 1＋2＝2x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵x 1<x 2且x 1，x 2∈(0，＋∞)，∴x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上是增函数.题型二 求函数的单调区间例2 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图像，并指出函数的单调区间． [解] 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4，x ≥0，－x ＋12＋4，x <0，作出函数的图像如下图所示：所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数， 在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数． 金版点睛求函数的单调区间(1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)利用其单调性来判断；②图像法；③定义法．(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[跟踪训练2] 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间．解 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像如图所示．由图像可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).题型三 利用函数的单调性比较大小例3 已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．[解] ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)． 金版点睛利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．[跟踪训练3] 若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析 当a <0时，a >2a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a )<f (2a )，故A 不正确．当0<a <1时，a 2<a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2)>f (a )，故B 不正确．当a ＝0时，a 2＋a ＝a ＝0，所以f (a 2＋a )＝f (a )，故C 不正确．因为a 2＋1>a 2，函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2＋1)<f (a 2)，故D 正确.题型四 利用函数的单调性解不等式例4 已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．[解] ∵函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，① 又∵f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，即x <32.②由①②可得1≤x <32，即自变量x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32. 金版点睛利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f (x 1)<f (x 2)，若f (x )在(a ，b )上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b ；若f (x )在(a ，b )上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b .必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论．[跟踪训练4] 已知函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求t 的取值范围． 解 ∵函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t .∴t >13，即t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围例5 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是递减的，求实数a 的取值范围．[解] f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数图像的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 金版点睛利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[跟踪训练5] 若函数f (x )＝4x 2＋mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [16，＋∞)解析 由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x ＝－m8，若函数f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－m8≤－2，即m ≥16.题型六 利用函数的单调性求最大(小)值 例6 求函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上的最大值和最小值． [解] 任取x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1－1－2－x 2－1＝2[－x 2＋1＋x 1＋1]x 2＋1x 1＋1＝2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1，因为2≤x 1<x 2≤6，所以x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0.于是2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上是递增的， 所以函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值和最大值， 即f (x )max ＝f (6)＝－27，f (x )min ＝f (2)＝－23.金版点睛利用函数的单调性求最值(1)利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数的图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练6] 求函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 任取x 1，x 2，使1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22x 1－3x 2－3＝x 2－x 1[3x 1＋x 2－x 1x 2]x 1－3x 2－3，因为1≤x 1＜x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上为减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－12，f (x )min ＝f (2)＝－4.1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，则函数f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数答案 B解析 ∵(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－fx 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－fx 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明函数f (x )在(a ，b )上为减函数．2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．f (x )在区间[－5，－3]上单调递增B ．f (x )在区间[1,4]上单调递增C ．f (x )在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．f (x )在区间[－5,5]上没有单调性 答案 C解析 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C. 3．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12答案 B解析 因为函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，所以函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为y min ＝13－1＝12.故选B. 4．若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 题中二次函数图像的对称轴为x ＝a ，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a ]上单调递减，∴a ≥2.5．用单调性的定义证明：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数． 证明 设x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以，函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．。