2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2_3课后习题新人教A版必修4
第二章§2.3.1平面向量基本定理
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第 ．零向量不能作为基底， 二 1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作 章 为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量 为平面向量的一组基底． 平 ．平面内不共线的两个向量可以作为基底， 面 2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一 个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同． 向 个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同． 量 3．证明三点共线，应结合题目条件，把e1与e2看作一组 ．证明三点共线，应结合题目条件， 基底，选择适当的任两点确定向量， 基底，选择适当的任两点确定向量，依据向量共线的条 件判定向量共线，由这两个向量又有公共点， 件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，可证三点 共线． 共线．
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第 二 章 平 面 向 量
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例1 如图所示，已知 ，e ，作向量 ＝e ＋2e ， 如图所示，已知e1 2 作向量a＝ 1 2 b＝e2＋2e1，并作出向量 －b. 并作出向量a－ ＝ 分析】 【分析】 本题主要考察平面向量基本定理的 作图问题． 作图问题．
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第 二 章 平 面 向 量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
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第 二 章 平 面 向 量
情境设疑
为了在直立的墙面上固定一幅画， 为了在直立的墙面上固定一幅画， 有时用一个钉，有时用多个钉， 有时用一个钉，有时用多个钉，你能否用 向量的有关知识来解释其中的道理？ 向量的有关知识来解释其中的道理？
平面向量基本定理及坐标表示讲义
专题3:平面向量基本定理及坐标表示核心知识点1：平面向量基本定理1．平面向量基本定理(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y i ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【知识微点评】点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a ＝(1,2)，A (1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x ，y )在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x ，y )或向量(x ，y )．4．平面向量的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则有下表：核心知识点3：平面向量的垂直与平行1．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2＝x 2y 1时，a ∥b ．【知识微点评】两个向量共线条件的三种表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当b ≠0时，a ＝λb ．这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 两个向量垂直 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0知识微点评】1.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．2．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．3．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示模 |a |2＝x 21＋y 21或|a |＝x 21＋y 21 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(a ，b 为非零向量) 【知识微点评】向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． 必考必会题型1：用基底表示向量【典型例题】在平行四边形ABCD 中，，且，则λ+μ＝ ．【题型强化】1.如图，在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若m ，则实数m 的值为 ．2.如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则．【名师点睛】用基底表示向量的两种基本方法：用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.必考必会题型2：平面向量基本定理在平面几何中的应用【典型例题】如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【题型强化】1.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．（1）试用向量表示；（2）在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M．设，其中λ，μ∈R．当EF与AD重合时，λ＝1，μ，此时5；当EF与BC重合时，λ，μ＝1，此时5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立，请说明理由．2.如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交AB，AC两边于点P，Q，设，请求出x、y的关系式，并记y＝f（x）（1）求函数y＝f（x）的表达式；（2）设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，且S1＝kS2，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）必考必会题型3：平面向量坐标运算【典型例题】已知向量，．那么向量的坐标是．【题型强化】1.已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||||，则点P的坐标为．2.如图所示，在平面直角坐标系中，（2，﹣3），则点D的坐标为．【名师点睛】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.必考必会题型4：向量共线、垂直的坐标表示的应用【典型例题】已知向量（1，3），（2，），若单位向量与2平行，则．【题型强化】1.已知向量（1，3），（﹣2，1），（3，2）．若向量与向量k共线，则实数k＝．2.已知2，2，与的夹角为45°，且λ与垂直，则实数λ＝．【名师点睛】根据向量共线、垂直求参数的值的基本思路：借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助或(其中，)，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.必考必会题型5：向量坐标运算与平面几何的交汇【典型例题】如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．（1）求m的值；（2）求的最小值．【题型强化】1.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，．（1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线．2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，O为△ABC的外心，，求x，y的值．【名师点睛】利用向量解决平面几何问题的基本思路：利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.必考必会题型6：向量坐标运算与三角函数的交汇【典型例题】设向量．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．【题型强化】1.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（cos A，a﹣2b），（2c，1）且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2.已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量（2﹣2sin A，sin A+cos A）与向量（sin A﹣cos A，1+sin A）共线，且角A 为锐角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域． 【名师点睛】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路： 先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算. 【课后巩固】 1．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．-3B ．-2C ．2D ．32．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC 3．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．34．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ） A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 5．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．126．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．07．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________.8．已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 9．已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______. 10．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,2m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 12．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ； （2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C 的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B +的值．。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
第二章 2.3.1 平面向量基本定理
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．2．垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 思考 如何正确理解两向量夹角概念答案 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底． 2．零向量可以作为基向量．( × )提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量． 3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．4．若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √ )题型一 对基底概念的理解例1 设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D ．e 1和e 1＋e 2考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1＋3e 2 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 D解析 选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－12e 2，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合． 题型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解 取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12⎝⎛⎭⎫43a ＋23b ＝23a ＋43b . 反思感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.题型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练3 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 答案 C 解析 如图，作向量AD →＝BC →，则∠BAD 是AB →与BC →的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°.平面向量基本定理的应用典例 如图，点A ，B ，C 是圆O 上三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC →＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝________.答案 23解析 ∵OP →与OC →共线，∴存在实数μ，使OP →＝μOC →＝mμOA →＋2mμOB →.∵AP →＝OP →－OA →，∴AP →＝mμOA →＋2mμOB →－OA →＝(mμ－1)OA →＋2mμOB →＝λAB →＝λ(OB →－OA →)＝－λOA →＋λOB →. ∵OA →与OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧mμ－1＝－λ，2mμ＝λ，解得λ＝23.[素养评析] 1.利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数λ1，λ2的唯一性．2．本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核心素养．1．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的含义与性质 答案 B2.如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. 其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B解析 ②中DA →与BC →共线，④中OD →与OB →共线，①③中两向量不共线，故选B.3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 －15 －12解析 ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.5．在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点， 所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量．②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．一、选择题1．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 2．如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 C3．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角 答案 C4．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)． 所以CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，解得λ＝－13.5．设点D 为△ABC 中边BC 上的中点，O 为AD 上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－16AB →＋12AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－56AB →＋16AC →考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 D解析 依题意，得BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝13×12(AB →＋AC →)－AB →＝－56AB →＋16AC →，故选D. 6．若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( )A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 D解析 ∵P 1P —→＝λPP 2—→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .7．设a ，b 为基底向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．10D ．－10考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a －k b )＋(－2a －b )＋(3a －b )＝2a －(k ＋2)b ，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λAD →，即a －k b ＝λ[2a －(k ＋2)b ]＝2λa －λ(k ＋2)b ，∵a ，b 为基底向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝1，k ＝λ(k ＋2)，解得λ＝12，k ＝2.8．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足O P →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 答案 B解析 ∵O 是△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫－12OC →＋2OC →＝12OC →，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B.9．已知a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－2e 1＋4e 2(e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量)，则c ＝________.(用a ，b 表示) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 2a －2b 解析 设c ＝λa ＋μb ，则－2e 1＋4e 2＝λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1－e 2) ＝(λ＋2μ)e 1＋(λ－μ)e 2， 因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λ＋2μ，4＝λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－2，故c ＝2a －2b .10.如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC ＝5CB ，设MA →＝a ，MB →＝b ，则MC →＝________.(用a ，b 表示)考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 16a ＋56b解析 MC →＝MA →＋AC →＝MA →＋56AB →＝MA →＋56(MB →－MA →)＝16MA →＋56MB →＝16a ＋56b .11．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________． 考点 平面向量基本定理 题点 基底的含义与性质 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.12．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．考点 向量夹角的定义及夹角的范围 题点 求向量的夹角解析 由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |， 所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ， 即向量a 与c 的夹角为90°. 三、解答题13．在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →. 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 方法一 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC AB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD → ＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0， 且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.方法二 如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2， MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →)＝k ＋12e 2. 方法三 如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2， BC →＝e 1＋(k －1)e 2. 由MN →＝12(MB →＋MC →)，得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 14.如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为对称中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值． 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量解 (1)由题意知A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →＝23b .由平行四边形法则知OB →＋OC →＝2OA →，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)EC →∥DC →，又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.15.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数解 如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt △OCD 中，∵|OC →|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2， 故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →， 即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
2.3.2《平面向量的基本定理及坐标表示》
2．3．2《平面向量的基本定理及坐标表示》【学习目标】 了解平面向量的正交分解，会用坐标表示向量，掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示，理解向量共线的坐标表示【重点难点】 平面向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示【学习过程】一．预习导引1、平面向量的正交分解把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
2、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。
对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y 使得____________，这样，平面内的任一向量a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
3、几个特殊向量的坐标表示i = ，j = ，o = 。
4、以原点O 为起点作向量 OA ，设=+ OA xi y j ，则向量 OA ，的坐标_____________，就是___________；反过来，终点A 的坐标___________也就是__________________。
5、两个向量和差的坐标运算 已知：a == 1122(,),(,)x y b x y ，λ为一实数 则a b + =______________________。
a b - =___________ __。
即两个向量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
6、数乘向量和坐标运算λa =____________________________ 即实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。
7、向量AB 的坐标表示 若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理优化练
平面向量基本定理[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2和e 1－e 2解析：∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，故不能作为基底． 其余三组均不共线． 答案：C2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( ) A ．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2不一定存在解析：选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1，e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1，λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确． 答案：C3．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－b C ．b ＋a2D ．b －12a解析：AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选 D.答案：D4．若P 为△OAB 的边AB 上一点，且△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，则有( ) A.OP →＝OA →＋2OB →B.OP →＝2 OA →＋OB →C.OP →＝23OA →＋13OB →D.OP →＝13OA →＋23OB →解析：因为△OAP 的面积与△OAB 的面积之比为1∶3，所以AP →＝13AB →，所以OP →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OP →＝23OA →＋13OB →.答案：C5．已知|OA →|＝2，|OB →|＝3，∠AOB ＝120°，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A.32B. 3C.233D.32解析：如图，过点C 作CM ∥OB ，∥OA ， 则OC →＝OM →＋ON →，设|ON →|＝x ，则|OM →|＝2x ， OC →＝2x ·OA →|OA →|＋x ·OB→|OB →|＝xOA →＋33xOB →，所以m ＝x ，n ＝3x 3，所以m n ＝x3x3＝ 3. 答案：B6．若|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与b 的夹角为________． 解析：如图，OA →＝a ，OB →＝b ，BA →＝a －b ， 因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以OA ＝OB ＝AB ， 所以a 与b 的夹角为∠AOB ＝60°. 答案：60°7.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，得a ＝23(2 AF →－AE →)，b ＝23(2 AE →－AF →)，又因为AC →＝a ＋b ，所以AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：438．如图所示，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝________.解析：AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12×12DB →＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34b.答案：34a ＋34b9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点， 且BM →＝13BC →，→＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝→－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解析：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 组 能力提升]1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ，μ的值分别是( ) A.16，13 B.13，16 C.12，13D.14，16解析：AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)，因为AH ⊥BC ，∠ABC ＝60°， 所以BH ＝1，所以BH ＝13BC ，故AM →＝12AB →＋12BH →＝12AB →＋16BC →＝12AB →＋16(AC →－AB →)＝13AB →＋16AC →， 故λ＝13，μ＝16.答案：B2．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →，所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λB.答案：D3．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°解析：∵|a |＝|b |＝|c |≠0，且a ＋b ＝c ， ∴如图所示就是符合题设条件的向量， 易知OACB 是菱形，△OBC 和△OAC 都是等边三角形． ∴a 与b 的夹角为120°. 答案：B4．已知e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，且AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，如果A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．解析：BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.答案：－85．如图所示，PQ 过△AOB 的重心G ，设OA →＝a ， OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b.求证：1m ＋1n＝3.解析：连接OG 并延长，交AB 于M (图略)， 则M 是AB 的中点，由G 为△OAB 的重心得：OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， QG →＝OG →－OQ →＝13(a ＋b )－n b ，＝13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n b. ∵P ，G ，Q 三点共线， ∴PG →＝λQG →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λb.∵a ，b 不共线，∴由平面向量基本定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝λ3，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－n λ⇒m ＋n ＝3mn ，∴1m ＋1n＝3.6．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及线段AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动， 且OP →＝xOA →＋yOB →. (1)求x 的取值X 围；(2)当x ＝－12时，求y 的取值X 围．解析：(1)因为OP →＝xOA →＋yOB →，以OB 和OA 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP 为此平行四边形的对角线，当OP 长度增大且靠近OM 时，x 趋向负无穷大，所以x 的取值X 围是(－∞，0)．(2)如图所示，当x ＝－12时，在OA 的反向延长线取点C ，使OC ＝12OA ，过C 作CE ∥OB ，分别交OM 和AB 的延长线于点D ，E ，则CD ＝12OB ，CE ＝32OB ，要使P 点落在指定区域内，则P 点应落在DE 上， 当点P 在点D 处时OP →＝－12OA →＋12OB →，当点P 在点E 处时OP →＝－12OA →＋32OB →，所以y 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
a与b 7 __同__向______ a与b 8 __垂__直______，记作 9 _a_⊥__b______
a与b 10 ___反__向_____
‖小试身手‖
3．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案：B 4．在等腰
Rt△ABC
题型二 向量的夹角
【例 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a 的夹角是 β，求 α＋β.
[解] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，
以O→A，O→B为邻边作▱OACB， 则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b， B→C＝O→A＝a.
解：解法一：∵A→B＝e2，DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， ∴B→C＝－A→B－C→D－D→A ＝－A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0，
且N→B＝－12B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B ＝－12A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2. 解法二：同解法一得，D→C＝ke2， B→C＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC， 由M→N＝12(M→B＋M→C)得，M→N＝12(M→A＋A→B＋M→D＋D→C)＝12(A→B ＋D→C)＝k＋2 1e2.
A．a－12b
B．12a－b
C．a＋12b
D．12a＋b
解析：选 D 连接 CD，OD，如图所示．∵ 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，∴ AC＝CD，∠CAD＝∠DAO＝30°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥DO.由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠ DAO，∴CD∥AO，∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴A→D＝A→O ＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.故选 D.
《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
，则称 a 与 b 垂直，
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课堂讲练互动
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
)．
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.
高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .又∵AD =21AB =21a ，AE =21=21b ， ∴=-=21b 21 a =21 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.显然，i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0).图2-3-12设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.设=x i+y j，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图2-3-13如图2-3-13所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA =a ，OB =b ，以a 、b 为邻边作平行四边形，则OC =a +b .作BB ′⊥x 轴，垂足为B ′，AA ′⊥x 轴，垂足为A ′，CD ⊥x 轴，垂足为D ，AC ′⊥CD ，垂足为C ′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A.所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D=x 1+x 2，y C =C ′D+C ′C=y 1+y 2，即=(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知OA =a ，OB =λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A=y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B=λy ， 即OB =(λx ，λy)，即λa =(λx ，λy).同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa =0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.学法一得 当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.典题•热题知识点一 利用图形间的关系求坐标例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解：设=a ，=b ，=c ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，R(x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，|OP |=2，所以a =OP =P P P O '+=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，||=3，所以b ==Q O '+Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 方法归纳 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二 向量的坐标运算例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解： (1)=+t =(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，即t=32-； 若P 在y 轴上，只需1+3t=0，即t=31-； 若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)OA =(1，2)，PB =(3-3t ，3-3t).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三 求向量坐标例3 已知A(0，0)，B(21，31-)，C(21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量的坐标为(21-，31) B.向量的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+的坐标为(0，31) 思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.=(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， CA =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +AB =(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 答案：D例4 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度. 解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).图2-3-17 设OC =OA +OB ，则OC =OA +OB =(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量+的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.知识点四 利用向量坐标解综合题例5 已知a =(6，-4)，b =(0，2)，c =a +λb ，若c 的终点在直线y=21x 上，求实数λ的值. 思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.图2-3-18解：如图2-3-18所示，过A 作平行于y 轴的直线交直线y=21x 于C 点，则可求得C(6，3)，过C 点作直线OA 的平行线，交y 轴于D 点，则四边形AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27||||=OB OD ，即λ=27. 巧解提示:设c =(x ，y)，由题设，可得(x ，y)=(6，-4)+λ(0，2)，即(x ，y)=(6，-4+2λ).∴⎩⎨⎧+-==.24,6λy x∵c 的终点在直线y=21x 上， ∴-4+2λ=21×6.解得λ=27. 例6 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(2)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(3)求使f(c )=(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决. 解：(1)f(a )=(1，2×1-1)=(1，1)；f(b )=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则m a +n b =(m a 1+n b 1，m a 2+n b 2)，∴f(m a +n b )=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1)，mf(a )+nf(b )=m(a 2，2a 2-a 1)+n(b 2，2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(3)设c =(x ，y)，则f(c )=(y ，2y-x)=(p ，q)，∴⎩⎨⎧=-=.2,q x y p y∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q ，p).例7 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，如图2-3-19所示.图2-3-19 求证：EF =21(AB +DC ). 思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 则=(x 2-x 1，y 2-y 1)，=(x 3-x 4，y 3-y 4)， ∴21(AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(2,24141y y x x ++)，F(2,23232y y x x ++)， 则=(22,2241324132y y y y x x x x +-++-+)， ∴EF =21(AB +DC ). 巧解提示:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，图2-3-20 ∴+=+=0. 又=++，=++，两式相加得2=+，即=21(+). 问题•探究材料信息探究材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：图2-3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F 1使耙前进，一个竖直向上的力F 2把耙上提，即力F 可以用两个力F 1和F 2来代替，即力F 被分解成两个力F 1和F 2.问题 能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究问题 试探究用向量求76cos 74cos 72cosπππ++的值的方法. 探究过程:要求76cos 74cos 72cos πππ++可先求cos0+cos 72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π +cos 710π+cos 712π的值，由于0、72π、74π、76π、78π、710π、712π这七个角每相邻两个角都相差72π，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF ，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA 、、BC BC 、CD 、、和FO 的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF 放入直角坐标系中，则图2-3-22=(1，0)，=(cos 72π,sin 72π)，=(cos 74π,sin 74π)，=(cos 76π,sin 76π)，DE =(cos 78π,sin 78π)，EF =(cos 710π,sin 710π)，FO =(cos 712π,sin 712π). 由于++++++=0，则有cos0+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 又cos 78π=cos 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π，cos0=1， 所以有1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0，即cos 72π+cos 74π+cos 76π=21-. 思想方法探究问题 在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P 分有向线段的比为λ，即=λ，O 为平面上一定点，那么会有+λ=0，=λλ++1OB OA .事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=λλ++1OB OA . 如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211λλλλλλ++++=++y y x x y x y x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 探究结论:P 点的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x )，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷. 如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，利用公式就可以直接得到点B 的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有22116210=+⨯+=x ,2113210+⨯+=y ，即P(2,1).又因为P 是线段OB 的中点，所以点B 的坐标(4,2).欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
平面向量的基本定理及坐标表示
∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
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答案：A
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平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
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平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
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[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
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考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二节平面向量的基本定理及坐标表示【最新考纲】 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e1＋λ2e2．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x、y，使ɑ＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝(x，y)．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，ɑ－b＝(x1－x2，y1－y2)，λɑ＝(λx1，λy1)，|ɑ|(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝4．平面向量共线的坐标表示设ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.ɑ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，AB→，AC →可以作为基底．( ) (2)在△ABC 中，设AB →＝ɑ，BC →＝b ，则向量ɑ与b 的夹角为∠ABC.( )(3)若ɑ，b 不共线，且λ1ɑ＋μ1b ＝λ2ɑ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2015·四川卷)设向量ɑ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵ɑ∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.答案：B3．已知平面向量ɑ＝(2，－1)，b＝(1，3)，那么|ɑ＋b|等于() A．5 B.13 C.17 D．13解析：因为ɑ＋b＝(2，－1)＋(1，3)＝(3，2)，所以|ɑ＋b|＝32＋22＝13.答案：B4．已知向量ɑ＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2ɑ－b＝()A．(5，7) B．(5，9)C．(3，7) D．(3，9)解析：2ɑ－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．答案：A5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝(3，2)表示出来的是() A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，ɑ＝(3，2)＝2e1＋e2)．答案：B一个区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝ɑ，点A 的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A 的坐标与ɑ的坐标统一为(x ，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x ，y)，向量ɑ＝OA →＝(x ，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．两点提醒1．若ɑ，b 为非零向量，当ɑ∥b 时，ɑ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．2．若ɑ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则ɑ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.三个结论1．若ɑ与b 不共线，λɑ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．平面向量的基底中一定不含零向量．一、选择题1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A2．已知向量ɑ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足ɑ＋2b ＝kc ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3)解析：∵ɑ＋2b ＝kc ，∴(3，1)＋2(0，－2)＝kc ，则c ＝1k (3，－3)．答案：D3．(2017·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM→＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 的中点，∴AN→＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.答案：A4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量α在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则ɑ在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：∵ɑ在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即ɑ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令ɑ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴ɑ在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 答案：D5．(2017·大连模拟)已知平面向量ɑ＝(1，x)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，y －1，若ɑ与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3解析：因为ɑ与b 共线，所以y －1－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3＝0，则y ＝12x 2－3x ＋1＝12(x －3)2－72，所以当x ＝3时，y min ＝－72.答案：C6．已知ɑ，b 是不共线的向量，AB→＝λɑ＋b ，AC →＝ɑ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，即λɑ＋b ＝t ɑ＋μtb ，又ɑ，b 是不共线的向量，∴⎩⎨⎧λ＝t1＝μt，∴λμ＝1. 答案：D二、填空题7．已知两点A(－1，0)，B(1，3)，向量ɑ＝(2k －1，2)，若AB →∥ɑ，则实数k 的值为________．解析：因为A(－1，0)，B(1，3)，所以AB →＝(2，3)． 又因为AB →∥ɑ，所以2k －12＝23，故k ＝76.答案：768．(2015·江苏卷)已知向量ɑ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m ɑ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m ɑ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n)＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－39．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量ɑ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________．解析：由题意，设e 1＋e 2＝m ɑ＋nb. 因为ɑ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.即e 1＋e 2＝23ɑ－13b.答案：23ɑ－13b三、解答题10．(2016·郑州一中月考)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝ɑ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b. (1)求3ɑ＋b －3c ；(2)求满足ɑ＝mb ＋nc 的实数m 、n 的值；(3)求M ，N 的坐标及向量MN→的坐标． 解：由已知得ɑ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3ɑ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝(5，－5)，∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM→＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M(0，20)．又∵CN→＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2)， ∴MN→＝(9，－18)．。
2.3.2平面向量基本定理及坐标表示
O
x
(2)
O
x
推广: 推广:已知 P1 ( x 1 , y1 ) ，P2 ( x2 , y2 ) ，P是直线 是直线 P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1) 上的一点 且 点的坐标. 求P点的坐标. 点的坐标 P(x,y),则 解:设P(x,y),则 Q = ( x − x1 , y − y1 ) P1 P
例4.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断 已知 ， A、B、C三点之间的位置关系。 三点之间的位置关系。 、 、 三点之间的位置关系
设点P是线段 例1.设点 是线段 1P2上的一点，P1、P2的坐标 设点 是线段P 上的一点， 分别是 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 是线段P 的中点时，求点P的坐标 的坐标； （1）当点 是线段 1P2的中点时，求点 的坐标； ）当点P是线段 是线段P 的一个三等分点时， （2）当点 是线段 1P2的一个三等分点时， ）当点P是线段 求点P的坐标。 求点 的坐标。 的坐标
一般地,向量a=(x 一般地,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0), 如果a∥b,那么 如果a∥b,那么 x1y2-x2y1=0. a∥b, 反过来,如果x1y2-x2y1=0 反过来,如果x 那么a∥b. 那么a∥b.
r r r r 例3.已知 a = (4,2), b = (6, y) ，且 a b ，求y。 已知 。
r r 思考： 思考：已知 a = ( x1, y1 ), b = ( x2 , y2 ) r r r r r 的坐标吗？ 你能得出 a + b , a − b , λ a 的坐标吗？
λ a = (λ x1, λ y1 )
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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
课后篇巩固探究
1.已知=(2,3),则点N位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.不确定
解析因为点M的位置不确定,所以点N的位置也不确定.
答案D
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为()
A.(2,7)
B.(0,-7)
C.(3,-6)
D.(-4,5)
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
∴
∴点B的坐标为(0,-7).
答案B
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()
A.(-2,6)
B.(-4,0)
C.(7,6)
D.(-2,0)
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即
∴
即c=(-2,0).故选D.
答案D
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()
A. B.
C.(3,2)
D.(1,3)
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
答案A
5.导学号68254077已知,且向量=(tan α,1),=(2tan α,-3),则
=()
A.(3,-2)
B.(-3,-2)
C.(1,-4)
D.(-1,4)
解析由,可得2sin α=sin α+cos α,于是tan α=1,
因此=(3tan α,-2)=(3,-2).
答案A
6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=()
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
答案D
7.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“ ,向量a b=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知
m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足
=m+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为()
A.-1
B.-2
C.2
D.
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则=m+n=.又因为点Q在y=f(x)的
图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
答案B
8.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.
解析设C(x,y),则=(x-3,y+5),
3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).
∵=3,∴
解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).
答案(0,1)
9.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=.
解析∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
∴=(2,3),=(-3,3).
∴+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案(-4,9)
10.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=k a+l b,则k,l的值分别为.
解析∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),
∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
即解得k=2,l=3.
答案2,3
11.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量
=.
解析设=(m,n),则=(-n,m),
所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即因此
.
答案
12.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为.
解析设C(x1,y1),
依题意有(x1-2,y1+1)=(x1-1,y1-4),
解得即C(3,-6).
又依题意可得,
设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=(x0-4,y0+3),
解得故点E坐标为.
答案
13.导学号68254078若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.
解析因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),
设a=x(-1,1)+y(1,2),
则有
答案(0,2)
14.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),
即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故=(-2,-4).
15.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),
∵|a|=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos 45°=,且y=2sin 45°=.
又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
∴x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=.
故a==(),b=.
(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B.
∵||=3,∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.
又A(2,0),
∴-(2,0)=,
.
16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=m b+n c,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴
∴
(3)设M(x1,y1),由=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),
∴
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
同理,设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
∴
解得
∴N(9,2).∴=(9,-18).。