2014-2015学年吉林省长春十一中高一(下)期末数学试卷与解析word(文科)
2014-2015学年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷与解析word(文科)
2014-2015学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④3．（5分）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．5．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对6．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ab2＞a B．a＜ab＜ab2C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab27．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为S n（n∈N*）．有下列命题①若S3=S11，则必有S14=0；②若S3=S11，则必有S7是S n中最大的项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9其中正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF．正确的是（）A．（1）和（3）B．（2）和（5）C．（1）和（4）D．（2）和（4）12．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是．14．（5分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．15．（5分）已知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AB=10，点P是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则OC=．16．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，A=120°，b=1，S△ABC=（1）求a、c的大小；（2）求sin（B+）的值．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a，f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}（Ⅰ）求a，t的值；（Ⅱc为何值时，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0的解集为R．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A 1，C1，B，D四点的球的表面积．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．21．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n=+（n≥2）．项和S n满足S n﹣S n﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．2014-2015学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点【解答】解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选：C．2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n，是直线和平面垂直的判定，正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，推出α∥γ，满足直线和平面垂直的判定，正确；③若m∥α，n∥α，则m∥n，两条直线可能相交，也可能异面，不正确．④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β中m与n可能相交或异面．④考虑长方体的顶点，α与β可以相交．不正确．故选：A．3．（5分）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵S 3=9且a1=1，∴S3=3a1+3d=3+3d=9，解得d=2．∴a2=a1+d=3．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．【解答】由，故选：C．5．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选：C．6．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ab2＞a B．a＜ab＜ab2C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab2【解答】解：首先，ab﹣ab2=ab（1﹣b），∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞0，1﹣b＞0，∴ab（1﹣b）＞0，∴ab＞ab2，其次，ab2﹣a=a（b2﹣1），∵﹣1＜b＜0，∴b2＜1，∴b2﹣1＜0，又∵a＜0，∴a（b2﹣1）＞0，∴ab2﹣a＞0，∴ab2＞a，综上两个方面，ab＞ab2，ab2＞a，∴ab＞ab2＞a，故选：A．7．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴，，设面ABC1的法向量为，∵，∴，∴，∵面ABC的法向量，设二面角C1﹣AB﹣C的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴θ=45°，故选：B．10．（5分）等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为S n（n∈N*）．有下列命题①若S3=S11，则必有S14=0；②若S3=S11，则必有S7是S n中最大的项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9其中正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若S3=S11，则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0，即4（a7+a8）=0，即a7+a8=a1+a14=0，则S14==0，故①正确，；②∵S3=S11，∴3×a1+d=11×a1+d，即8a1=﹣52d，则a1=﹣d，则d＜0∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣d+（n﹣1）d=d（n﹣）令a n=d（n﹣）≥0，则n﹣≤0可解得n≤，∴等差数列{a n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，∴使得S n最大的正整数n为7；故②正确，③若S7＞S8，则d＜0，且a8＜0，则必有a9＜0，即S8＞S9成立，故③正确，④若S7＞S8，则d＜0，且a8＜0，即a7+a8+a9=3a8＜0，即S6＞S9成立，故④正确，故选：D．11．（5分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF．正确的是（）A．（1）和（3）B．（2）和（5）C．（1）和（4）D．（2）和（4）【解答】解：（1）∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG．因此正确．（4）由等腰三角形的对称性质可得：SD⊥EF，GD⊥EF，SD∩GD=D，可得EF⊥平面GSD，因此正确．（2）（3）（5）都不正确．故选：C．12．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是18．【解答】解：∵log3m+log3n=4，∴，得mn=34．∵m＞0，n＞0，∴==18，当且仅当m=n=9时取等号．故答案为18．14．（5分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．15．（5分）已知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AB=10，点P是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则OC=5．【解答】解：∵PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，∴O是△ABC的外心∵△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°∴O是AB的中点∴AB=10，∴OC=5故答案为：5．16．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于85．【解答】解：∵a1+b1=5，a1，b1∈N*，∴a1，b1有1和4，2和3，3和2，4和1四种可能，当a 1，b1为1和4的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为2和3的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为4和1的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为3和2的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；故数列{c n}的前10项和等于85，故答案为85．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，A=120°，b=1，S△ABC=（1）求a、c的大小；（2）求sin（B+）的值．===，解得c=4．【解答】解：（1）∵S△ABC∴a2=b2+c2﹣2bccosA=12+42﹣2×1×4×cos120°=21．∴a=．（2）由正弦定理可得：，∴sinB==，∵B为锐角，∴cosB==，∴=+cosBsin==．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a，f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}（Ⅰ）求a，t的值；（Ⅱc为何值时，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0的解集为R．【解答】解（1）∵x2﹣2x+a＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}．∴﹣1+t=2，﹣1×t=a，解得t=3，a=﹣3．（2）由（1）可知：a=﹣3，代入得（c﹣3）x2+2（c﹣3）x﹣1＜0，因为其解集为R，∴，或c=3．解得2＜c≤3．故当2＜c≤3满足条件．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A 1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．【解答】解：（1）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（2）如图，连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB．∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B．∴OA1=D1B．同理OD=OC1=D1B．∴OA1=OD=OC1=OB．∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O．∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24．=4π×（OD1）2=4π×（）2=π×D1B2=24π．∴S球故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∵PA=AD，FP=FD∴AF⊥PD又∵CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC…（6分）（2）连接CF由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC在△ACF中，∴AF与平面PCD所成的角为30°．…..（12分）21．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n=+（n≥2）．项和S n满足S n﹣S n﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？【解答】解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c=c，∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣数列{a n}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．∴首项a1=f（1）=﹣c=∴等比数列{a n}的通项公式为=．∵S n﹣S n==（n≥2）﹣1又b n＞0，＞0，∴=1；∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n∴S n=n2当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1又n=1时也适合上式，∴{b n}的通项公式b n=2n﹣1．（2）==∴==由，得，，故满足的最小正整数为112．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．（2分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．（11分）又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．（12分）在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．（14分）故．（15分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
《解析》吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．163．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣34．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．考点：一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．专题：综合题．分析：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项解答：解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．点评：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．16考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简a1a3a11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a2a8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值．解答：解：a1•a3•a11=a13•q12=（a1q4）3=a53=8，∴a5=2，则a2•a8=a52=4．故选：A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．3．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣3考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解答：解：∵直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，∴m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）=0，解之得m=﹣3或1故选：D点评：本题给出两条直线互相垂直，求实数m的值．着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于基础题．4．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．解答：解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A点评：本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定考点：点与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得x02+y02＞R2，从而圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离d＜R，由此推导出直线x0x+y0y=R2与圆相交．解答：解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．解答：解：∵，，…∴=故选：A．点评：数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，﹣k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为（1，2）即可．解答：解：由可行域可知，直线AC的斜率=，直线BC的斜率=，当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，所以k∈[﹣1，1]，故选B．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于基础题．8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．解答：解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．解答：解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以∠POQ=120°（其中O为原点），如图可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==，所以k=．故选：A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．解答：解：选项A错误，因为x可能为负数；选项B错误，化简可得y=2（+）由基本不等式可得取等号的条件为=即x2=﹣1，显然没有实数满足x2=﹣1；选项C错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2，但由三角函数的值域可知sinx≤1；选项D，由基本不等式可得当e x=2即x=ln2时，y取最小值4．故选：D．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及基本不等式取等号的条件，属基础题．11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．解答：解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选C．点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围．解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b ﹣c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于25．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出三角形面积，即可求解解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC由由题意可得A（﹣2，2），B（3，7），C（3，﹣3）∴BC=10，A到直线BC的距离d=5∴S△ABC==25故答案为：25点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：根据基本不等式的性质进行计算即可．解答：解：∵x+3y﹣2=0，∴x+3y=2，∴z=2x+23y≥2=2=2=4，当且仅当x=3y，即x=1，y=时，“=”成立，故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，应用性质是注意满足条件；一正二定三相等，本题是一道基础题．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是40．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，得到S20=40，或者S20=﹣30，然后利用等比数列的求和公式得到答案．解答：解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130．∵数列{a n}为等比数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20也是等比数列，所以S20=40，或者S20=﹣30，因为S20=S10（1+q10），所以S20=40．故答案为40．点评：本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等比数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列的性质．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣3＜b≤3或．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=9（x≥0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d==3，因为b＜0，可得b=﹣3，满足题意；（2）直线过半圆的下顶点（0，﹣3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，y=x+b过点（0，﹣3），可得b=﹣3，有两个交点，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，∴﹣3＜b＜3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；综上：﹣3＜b≤3或；故答案为：﹣3＜b≤3或；点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a5﹣a2=3d计算可得公差，进而可得结论；（2）通过对数的性质化简可知数列是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论．解答：解：（1）∵a2=9，a5=21，∴a5﹣a2=3d，∴d=4，∴a n=a2+（n﹣2）•d=4n+1；（2）∵a n=4n+1，∴，∴log2==4n，∴数列是以4为首项、4为公差的等差数列，∴．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2．当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75．即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是2015届高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式化为关于x的一元二次不等式，由不等式恒成立列出条件，求出a、b的大小关系．解答：解：不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）可变形为（a﹣b+1）x2+（a﹣b）x+a﹣b＞0，…又不等式对任意的实数x都成立，则，…即，解得a﹣b＞0；所以a＞b．…点评：本题考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．解答：解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；直线与圆．分析：先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论．解答：解：由题意，△AOB∽△BOC，∴=，∴|CO|=4 …∴C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3∴圆M的方程（△ABC的外接圆）为（x﹣1）2+y2=32…设过圆心M的任意一直线为x=my+1，…∴∴（m2+1）y2=9…设直线x=my+1与圆（x﹣1）2+y2=9的两个交点为D（x1，y1），E（x2，y2）则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+4…由（m2+1）y2=9，得代入上式•=﹣9+4=﹣5…当ED为横轴时，D（﹣2，0），E（4，0），=（﹣1，0），=（5，0）∴•=﹣5…点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将点代入y=2x+k可知a n+1=2a n+k，利用b n+1=a n+2﹣a n+1计算即得结论；（2）通过b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n可知a2﹣a1=（k+a1）•20、a3﹣a2=（k+a1）•21、…、a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加整理得b n﹣a n=k，计算即得结论．解答：（1）证明：∵点都在一次函数y=2x+k图象上，∴a n+1=2a n+k，∴b n+1=a n+2﹣a n+1=（2a n+1+k）﹣（2a n+k）=2（a n+1﹣a n）=2b n，∴=2，故{b n}是以b1=a2﹣a1=2a1+k﹣a1=k+a1为首项、2为公比的等比数列；（2）解：∵b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n，∴a2﹣a1=（k+a1）•20，a3﹣a2=（k+a1）•21，…a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加得：a n﹣a1=（k+a1）•=（k+a1）•（2n﹣1﹣1），整理得：a n=（a1+k）•2n﹣1﹣k，∴b n﹣a n=[（a1+k）•2n﹣1]﹣[（a1+k）•2n﹣1﹣k]=k，又S6=T4，即a1+a2+…+a6=b1+b2+b3+b4，∴a5+a6=4k，即，∴，∴，又S5=﹣9，∴，∴k=8．点评：本题考查等比数列的判定以及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
吉林省长春市十一中高一数学下学期期末考试试卷理
长春市十一高中2015-2016学年度高一下学期期末考试数学（理科）试题（本试卷满分120分，答题时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1．直线0133=++y x 的倾斜角是 （ ） A.ο30 B.ο60 C ．ο120 D ．ο1352.下列直线中与直线012=+-y x 平行的是 （ ） A ．012=+-y xB ．0242=+-y xC ．0142=++y xD ．0142=+-y x3.在空间直角坐标系中,以点)9,1,4(A 和)6,1,10(-B 为端点的线段长是 （ ） A.49B.45C.7D.534．若点()a ,1到直线1+=x y 的距离是223，则实数a 为 （ ） A ．－1 B ．5 C ．－1或5 D ．－3或35．已知点()2,3P 与点()4,1Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ）A ．01=+-y xB.0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x6．已知7,,,121x x 成等差数列，8,,,121y y 成等比数列，点),(11y x M ),(22y x N ，则直线MN 的方程是 （ ） Ａ．01=+-y x Ｂ．01=--y x Ｃ．07=--y x Ｄ．07=-+y x 7.经过点)3,3(--M 的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54，则直线 l 的方程为 （ ） A.092=+-y x 或032=++y x B.092=+-y x 或032=++y x C.032=++y x 或092=+-y x D.092=++y x 或032=+-y x 8．对于直线m ，n 和平面α，以下结论正确的是 （ ） A.如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果,α⊂m n 与α相交，那么m 、n 是异面直线C.如果,α⊂m n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ．()386π+ B ．()3926π+ C ．()3826π+D ．()366π+10．如图，边长为2的正方形ABCD 中，BC BF BE 41==，将AED ∆，DCF ∆ 分别沿DF DE ,折起，使C A ,两点重合于/A 点，则三棱锥/A －EFD 的体积为（ ）A.1221B.1217C.621D.61711．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 一天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂数为 （ ） A ． 55986 B ． 46656 C.216 D.36 12．已知0,0a b >>且1a b +=，则2211(1)(1)a b--的最小值是 （ ）Ａ．9 Ｂ．8 Ｃ．7 Ｄ．6第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为)2,3(),0,1(),1,0(C B A ，则第四个顶点D 的坐标为 ．14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-12320y x y x y x ，则y x z 4+=的最大值为_______．FE A B CD/A BE FD15.已知圆0204222=-+-+y x y x 上一点),(b a P ，则22b a +的最小值是_______．16．在直角坐标系中，定义两点),(11y x P ，),(22y x Q 之间的“直角距离”为),(Q P d =21x x -+21y y -，现有下列四个命题：① 已知两点)cos ,(sin ),3,2(22ααQ P ，则),(Q P d 为定值； ②原点O 到直线1+=x y 上任意一点P 的直角距离),(P O d 的最小值为22； ③若PQ 表示Q P ,两点间的距离，那么22≥PQ ),(Q P d ； ④设点),(y x A ，且Z y x ∈,，若点A 在过)7,5(),2,0(Q P 的直线上，且点A 到点P 与 Q 的“直角距离”之和等于10，那么满足条件的点A 只有5个．其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin ,2,2=+==B B b a ． （1）求角A 的大小； （2）求△ABC 的面积．18．（本小题满分10分）如图，已知△ABC 的三顶点)6,1(),1,3(),1,1(C B A --, EF 是△ABC 的中位线，求EF 所在直线的方程．19．（本小题满分10分）已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．20.（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦值．PBECDFA21．附加题（本小题满分10分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对于*N n ∈，都有23333231n n S a a a a =++++Λ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和． (1)求2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；(3)若n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为非零常数）,问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n b b >+1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．长春市十一高中2015-2016学年度高一下学期期末考试数学（理科）试题评分标准（一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．1． C 2. D 3. C4． C 5A 6 B 7. D 8C 9 A 10 B 11 B 12 A 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 14． (2,3) 14． 515. 51030- 16． ① ③ 四、解答题：本大题共5小题，共50分 17． 解;(1)()621sinA sin sin 4,01)4sin(2)4sin(2cos sin πππππ==∴==∴∈=+∴=+=+A B b A a B B B B B B 由题易知又Θ--------------5分 (2)231sin ab 21462)sin(sin +==+=+=C S B A C 在三角形中，--------------------------10分18．解：由已知，直线AB 的斜率 k ＝1311++＝21． 因为EF ∥AB ，所以直线EF 的斜率为21．----------------------5分 因为EF 是△ABC 的中位线,所以E 是CA 的中点．点E 的坐标是(0，25)． 直线EF 的方程是 y －25＝21x ，即x －2y ＋5＝0． --------------10分19解：--------------10分20.解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I ， 所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． --------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ， 则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE △中，sin 30EO AE ==o g 3cos302AO AE ==o g ， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，sin 45SO AO ==o g ，又SE === 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===． --------------------------10分 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎭，，，，，，，， ECPBDFAOSB所以31 (300)122AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎭u u u r u u u r，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rgu u u rg，，mm因此1111303122xx y z⎧=⎪⎨++=⎪，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PA AC A=I，所以BD⊥平面AFC，故BDu u u r为平面AFC的一法向量．又(330)BD=-u u u r，，，所以2315cos5512BDBDBD⨯<>===⨯u u u ru u u r gu u u rg，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为155．----------10分21．------------------------------------- 3分-----------------------6分----------------------10分。
长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期末考试课件.doc
体验探究合作展示长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期末考试语文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，测试时间120分钟。
满分120分，第Ⅰ卷30分，第Ⅱ卷90分。
第Ⅰ卷（选择题30分）一、（16分，每题2分）1.下列加点字注音正确的一项是A.弋．射（yì）吝啬．（sè）渑．池（miǎn）糟粕．（pò）残羹冷炙．（zhì）B.楔．子（xiē）遥岑． (cén) 骸．骨（hài）料峭．(qiào) 重湖叠巘．(yǎn)C.埋．怨 (máī ) 属．文（zhǔ）佯．为（yáng）睨．柱（ní）礼节甚倨．（jù）Ｄ.脑髓．（suǐ）自诩．（yǚ）憔悴（cuì）啮．雪（niè）节旄．尽落（máo）2.下列词语书写没有错别字的一项是A.苌弘化碧天堑潦倒珠玑刎颈之交竟豪奢B.礼尚往来螺髻樯橹烽火舞榭歌台酹江月C.羽扇纶巾孱头惘然避匿相视而嬉和氏璧D.红巾翠柚崔嵬亢旱皓首良辰好景檠弓弩3.下列加点词语活用归类正确的一项是①毕礼而归．之②而相如庭．斥之③羝乳．乃得归④时．天下承平日久⑤宦官惧其毁已，皆共目．之⑥杖．汉节牧羊⑦单于壮．其节⑧宁许以负．秦曲⑨不平心持正，反欲斗．两主⑩大将军邓骘奇．其才，累召不应。
A.①⑧\②④\③⑤⑥\⑦⑨⑩B.①③⑧\②④⑦\⑤⑥\⑨⑩C.①⑧⑨\②④\③⑤⑥\⑦⑩D.①④\②⑧\③⑤⑦\⑥⑨⑩4.下列句式归类正确的一项①蚓无爪牙之利，筋骨之强②王问：“何以知之？”③子卿尚复谁为乎？④送匈奴使留在汉者⑤皆为陛下所成就⑥自书典所记，未之有也⑦秦城恐不可得，徒见欺⑧求人可使报秦者，未得⑨以勇气闻于诸侯⑩后数日驿至，果地震陇西。
A.①④/②③⑥/⑤⑦⑧/⑨/⑩B.①④/②③/⑤⑦/⑥⑧/⑨⑩C.①③/②⑥⑦/④⑤/⑨⑧⑩D.①④⑧/②③⑥/⑤⑦/⑨/⑩5.下列有关文学常识的表述，不正确的一项是A.杂剧一般由四折一楔子构成一本，讲述一个完整的故事。
吉林省长春市十一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学文试题 Word版含解析
长春市十一高中2021-2022学年度高一下学期期末考试数 学（文科）试 题【试卷综评】本试卷留意基础学问、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。
留意基础学问的考查。
留意力量考查，要留意综合性，又兼顾到全面，更留意突出重点．试题削减了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究力量的考查。
第一部分（选择题）一、选择题（此大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．A ．15B ．18C ．19D ．23【学问点】等差数列定义及通项公式.【答案解析】C 解析 ：解：由于公差d=4，首项为3，所以通项41n a n =-，所以519a = 【思路点拨】依据等差数列定义及通项公式求得第5项. 2．已知a <0，－1<b <0，则 ( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a【学问点】不等式的性质.【答案解析】D 解析 ：解：把a=-2,b=12-代入各选项，可判定D 正确.【思路点拨】接受特殊值法确定正确选项.3．在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比q ＝3，则通项公式a n 等于( )A ．3nB ．4nC ．3·4n －1D ．4·3n －1【学问点】等比数列通项公式.【答案解析】D 解析 ：解：由等比数列通项公式11n n a a q -=得143n n a -=⋅【思路点拨】利用等比数列通项公式获得结论.4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )． A ．5B ．13CD【学问点】余弦定理的应用.【答案解析】C 解析 ：解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：c =【思路点拨】利用余弦定理求得结论.5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4B ．8C ．15D ．31【学问点】递推公式的应用.【答案解析】C 解析 ：解：由已知得2342113,2317,27115a a a =⨯+==⨯+==⨯+= 【思路点拨】利用递推公式依次写出数列的项. 6．△ABCABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【学问点】正弦定理的应用，()0,π上余弦函数是减函数.【答案解析】B 解析 ：解：把正弦定理代入已知等式得：cosA=cosB=cosC,由于A 、B 、C ()0,π∈，而且()0,π上余弦函数是减函数，所以A=B=C,所以△ABC 是等边三角形.【思路点拨】利用正弦定理把已知等式化为：cosA=cosB=cosC ，再依据()0,π上角与余弦值一一对应得结论.7．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α， m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【学问点】线面位置关系的合理判定.【答案解析】C 解析 ：解：在①的条件下直线m 、n 的位置关系不能确定.易证②、③正确，所以选C. 【思路点拨】依据线面位置关系判定定理、性质定理推断各命题的真假. 8．过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A. 4x+3y-13=0 B . 4x-3y-19=0 C . 3x-4y-16=0 D. 3x+4y-8=0 【学问点】两条相互垂直的直线的斜率关系，直线方程的点斜式. 【答案解析】A 解析 ：解：由于已知直线的斜率为34，所以所求直线的斜率为43-，再用直线方程的点斜式并化简得所求直线方程为4x+3y-13=0【思路点拨】依据斜率存在的直线相互垂直，则其斜率乘积是-1，以及直线点斜式方程求解. 9．下列说法正确的是( )A.121212,l l k k k k ⋅当直线与的斜率满足=-1时,两直线一定垂直B.直线0Ax By C ++=的斜率为C.过1122(,),(,)x y x y 两点的全部直线的方程D.经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=【学问点】直线的垂直关系与两直线斜率的联系，直线各种方程形式的性质及应用条件.【答案解析】A 解析 ：解：A 明显正确；对于选项B,当B=0时不成立；C:直线的斜率为0或不存在时不成立；D:还有另一条满足条件得直线y=x.所以选A.【思路点拨】依据直线的垂直关系与两直线斜率的联系得A 正确，对于选项B,当B=0时不成立；C:直线的斜率为0或不存在时不成立；D:还有另一条满足条件得直线y=x. 10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋125【学问点】几何体三视图描述的空间图形的特征.【答案解析】B 解析 ：解：由三视图可得三棱锥的底面是两直角边长分别是4、5，后面与底面垂直，后面与底面公共边长5，顶点在底面上摄影把长为5的棱分为2、3两段，而且棱锥高为4，从而求得，该三棱锥的表面积30＋65.【思路点拨】由几何体三视图得该三棱锥的特征：底面是两直角边长分别是4、5，后面与底面垂直，后面与底面公共边长5，顶点在底面上摄影把长为5的棱分为2、3两段，而且棱锥高为4，由此求得三棱锥的表面积.11．设实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值是 ( )A.12B.33C.32D.3【学问点】圆的方程，最值求法.【答案解析】D 解析 ：解：方程(x －2)2＋y 2＝3表示以()2,03yx表示圆上点与原点打算的直线的斜率由图可得其最大值是3. 【思路点拨】画图利用yx的几何意义求解. 12．.若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上全部的点均在其次象限内，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C. (2，＋∞) D ． (1，＋∞) 【学问点】圆的一般方程与标准方程的互化，直线与与圆的位置关系等.【答案解析】C 解析 ：解：曲线C 为圆心(),2a a -，半径2的圆.由于曲线C 上全部的点均在其次象限内，所以20a a -<⎧⎨>⎩得a>0，且圆与x 轴、y 轴相离，所以把y=0或x=0代入圆方程，由判别式小于零得a 范围是(2，＋∞) . 【思路点拨】将已知方程配方得：曲线C 为圆心(),2a a -，半径2的圆，由于曲线C 上全部的点均在其次象限内，所以020a a -<⎧⎨>⎩得a>0，且圆与x 轴、y 轴相离，再由直线与圆的位置关系确定a 范围.其次部分（非选择题）二、填空题 （每题4分，共16分）13．已知过点)4,3(P 做圆1922=+y x 的切线，则过两个切点的直线方程为 【学问点】圆的切线的性质，特殊的直线方程的求法.【答案解析】3x+4y-19=0解析 ：解：以已知圆的圆心()0,0O 及点P(3,4)为直径的圆：()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22340x y x y +--=，与已知圆的交线3x+4y-19=0为所求. 【思路点拨】依据过圆外一点圆的切线的性质，点P 、已知圆的圆心、两切点这四点共圆，把问题转化为求两圆的交线.14．正项等比数列{}n a 其中2510a a ⋅=，则34lg lg _______a a += 【学问点】等比数列的性质，对数运算及性质.【答案解析】1解析 ：解：由于253410a a a a ⋅=⋅=， 所以()3434lg lg lg lg101a a a a +=⋅==【思路点拨】由等比数列的性质得253410a a a a ⋅=⋅=， 所以()3434lg lg lg lg101a a a a +=⋅==.15．点P 为x 轴上的一点，(1,1),(3,4)A B ，则||||PA PB +的最小值是_____ 【学问点】折线段长度最小值的求法.【答案解析】29 ：解：点A(1，1)关于x 轴的对称点()1,1A '-，则||||PA PB +的最小值是线段A B '29【思路点拨】求折线段长度最小值，转化为求直线段的长度.16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________【学问点】组合体中点、线、面的位置关系. 3：解：把此三棱锥补成以P 为顶点的正方体，易证得球心到截面ABC 的距离为正方体的体对角线的16，即球直径2316，所以所求为33.【思路点拨】利用割补法及组合体的特点，查找所求与已知球半径的关系. 三、解答题 （前两个题每题10分，后三个题每题8分，共44分）17．(此题10分) 求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程.【学问点】轨迹方程．【答案解析】x=1或4x-y-2=0．解析 ：解：由题意，所求直线经过点（2，3）和（0，-5）的中点或与点（2，3）和（0，-5）所在直线平行．①经过点（2，3）和（0，-5）的中点（1，-1），直线方程为x=1；②与点（2，3）和（0，-5）所在直线平行，斜率为4，直线方程为y=2=4（x-1），即4x-y-2=0 综上所述直线方程为：x=1或4x-y-2=0．【思路点拨】由题意，所求直线经过点（2，3）和（0，-5）的中点或与点（2，3）和（0，-5）所在直线平行．18．(此题10分) 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求证：直线1111A C BDD B ⊥面；（2）若12AA =，求四棱锥1D ABCD -的体积．【学问点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【答案解析】（1）见解析（2）83解析 ：解：（1）BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1…（2分）∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1又∵BB 1⊂平面BDD 1B 1，B 1D 1⊂平面BDD 1B 1，BB 1∩B 1D 1=B ∴直线A 1C 1⊥面BDD 1B 1；（2）∵AA 1=2，可得正方形ABCD 的边长等于2， ∴正方形ABCD 的面积S=2×2=4∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1为四棱锥D 1-ABCD 的高∴V D 1−AB CD =13×S ABCD ×DD 1=83， 即四棱锥四棱锥D 1-ABCD 的体积为83． 【思路点拨】（1）依据正方体的性质，得到BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，从而BB 1⊥A 1C 1，结合正方形A 1B 1C 1D 1中B 1D 1⊥A 1C 1，利用线面垂直判定定理即可证出直线A 1C 1⊥面BDD 1B 1；（2）由AA 1=2算出正方形ABCD 的面积为4，由DD 1⊥平面ABCD 得到DD 1=2为四棱锥D 1-ABCD 的高，由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥D 1-ABCD 的体积．19.(此题8分) 设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知172,7a S =-=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ． 【学问点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【答案解析】（1）3na n （2）21944nT n n 解析 ：解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则n 1112na n n d ，∵77S ，∴767722d （），解得1d ∴2113na n n ，∴数列{a n }的通项公式为3n a n（2）115121222n S n a n d n n， ∵11 12nn S S n n， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为-2，公差为12，∴2(1)11922244nn n T nn n ． 【思路点拨】（1）由{a n }为等差数列，172,7a S =-=可求得其公差，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知3na n ，于是可求得52n S n n，利用等差数列的定义易证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为-2，公差为12，从而可求其前n 项和n T ． 20. (此题8分) △ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53． (1)求AC 的长； (2)求∠A 的大小．【学问点】正弦定理、余弦定理.【答案解析】（1）=5AC （2）∠A=120° 解析 ：解：（1）由3AB ＝，依据正弦定理得：sin 353=5sin sin sin 53ACAB AB C ACB C AC B （2）由余弦定理得：222925491cos 22352AB AC BC AAB AC，所以∠A=120°． 【思路点拨】（1）由正弦定理，依据正弦值之比得到对应的边之比，把AB 的值代入比例式即可求出AC 的值；（2）利用余弦定理表示出cosA ，把BC ，AB 及求出的AC 的值代入求出cosA 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．21. (此题8分) 已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y=x 上截得弦长为在直线x －3y=0上. 求圆C 的方程. 【学问点】圆的标准方程．【答案解析】（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9解析 ：解：设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ，∵圆心C 在直线x-3y=0上，∴圆心C （3a ，a），又圆与y 轴相切，∴R=3|a|．又圆心C 到直线y-x=0的距离|CD |＝2a ．∵在Rt △CBD 中，R 2−|CD |2＝2，∴9a 2-2a 2=7．a 2=1，a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（-3，-1），故所求圆的方程为（x-3）2+（y-1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9． 【思路点拨】设所求的圆C 与y 轴相切，又与直线交于AB ，由题设知圆心C （3a ，a ），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和色股定理能够求出a 的值，从而得到圆C 的方程． 附加题（共三个小题，共10分，计入总分） 22.已知圆C：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标． 【学问点】直线和圆的方程的应用．33,105解析 ：解：（1）由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知（x+1）2+（y-2）2=2，所以圆心为（-1，2），2221k ，所以，即切线方|12|2a ，所以或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0．（2）由于|PO|2+r 2=|PC|2，所以x 12+y 12+2=（x 1+1）2+（y 1-2）2，即2x 1-4y 1+3=0． 要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO 垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO 的方程为2x+y=0时，|PM|最小， 此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标33,105． 【思路点拨】（1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类争辩，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P 的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．。
长春市高一数学第二学期期末试卷文科含答案
长春市2015年高一数学第二学期期末试卷（文科含答案）长春市2015年高一数学第二学期期末试卷（文科含答案）注意事项：1．本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。
选择题填涂在答题卡上非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、经过点、的直线的斜率等于1，则的值为（）A.1B．4C．1或3D．1或42、已知等差数列中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．643、两个球表面积的比为1:4，则体积的比为（）A.1:2B.1:4C.1:8D.不确定4、若一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5、斜率为，在轴上截距为的直线的一般式方程是（）A．B．C．D．6、如图，一个正方形在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形的面积为（）A.1B.4C.1或4D.不能确定7、若下列不等式正确的是()A．B．C．D．8、已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．49、下列命题正确的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.垂直于同一个平面的两条直线平行C.平行于同一个平面的两条直线平行D.平行于同一条直线的两个平面平行10、已知则的大小关系式（）A．B.C．D．11、周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是()A．25πB．50πC．100πD．200π12、正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影落在底面中心的四棱锥）底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果球的表面积是，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、直线经过坐标原点和点，则它的倾斜角等于_______________；14、2－1与2＋1的等比中项是________；15、不等式的解集是6或,则的解集是______________;16、．三、解答题（共70分，每题的解答要有必要的推理过程，直接写结果不得分）17、（10分）已知直线的方程为，（1）若与平行，且过点（－1，3），求直线的方程；（2）求与坐标轴围成的三角形面积．18、（12分）一个四棱锥的正视图，侧视图(单位：)如图所示，（1）请画出该几何体的俯视图；（2）求该几何体的体积；（3）求该几何体的表面积.19、（12分）如图在正方体中（1）求异面直线所成的角；（2）求直线D1B与底面所成角的正弦值；（3）求二面角大小的正切值.20、（12分）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3m。
[精品]2015-2016年吉林省长春十一中高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(文科)
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2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）直线3x+3y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．135°2．（5分）下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（）A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=03．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是（）A．8 B．2C．6 D．24．（5分）若点（1，a）到直线y=x+1的距离是，则实数a为（）A．﹣1 B．5 C．﹣1或5 D．﹣3或35．（5分）已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=06．（5分）经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=07．（5分）圆C1：x2+y2﹣4x+6y=0与圆C2：x2+y2﹣6x=0的交点为A，B，则AB的垂直平分线的方程为（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=08．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n9．（5分）已知A（﹣1，0），B（5，6），C（3，4），则=（）A．B．C．3 D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂．A．55986 B．46656 C．216 D．3612．（5分）△ABC中，三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知∠B=60°，不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不论m为何值，直线（m﹣1）x﹣y+（2m﹣1）=0恒过定点为．14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．15．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是．16．（5分）方程=lgx实根个数为个．三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．18．（10分）如图，已知ABC的三顶点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），EF是△ABC的中位线，求EF所在直线的方程．19．（10分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．20．（10分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求该几何体的体积．附加题（共1小题，满分0分）21．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）直线3x+3y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．135°【解答】解：直线3x+3y+1=0，即y=﹣x﹣故直线的斜率为：﹣1．设直线的斜率为α，则0°≤α＜180°，且tanα=﹣1，故α=135°，故选：D．2．（5分）下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（）A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=0【解答】解：选项A，1×（﹣1）﹣2×（﹣2）=3≠0，故不与已知直线平行；选项B，方程可化为x﹣2y+1=0，以已知直线重合，故不正确；选项C，1×4﹣2×（﹣2）=8≠0，故不与已知直线平行；选项D，1×（﹣4）﹣2×（﹣2）=0，且1×1﹣1×2≠0，与已知直线平行．故选：D．3．（5分）在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是（）A．8 B．2C．6 D．2【解答】解：在△ABC中，∵已知a=4，b=6，C=120°，则由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=16+36﹣48×（﹣）=76，∴c==2，故选：D．4．（5分）若点（1，a）到直线y=x+1的距离是，则实数a为（）A．﹣1 B．5 C．﹣1或5 D．﹣3或3【解答】解：点（1，a）到直线y=x+1的距离是，∴=，即|a﹣2|=3，解得a=﹣1，或a=5，∴实数a的值为﹣1或5．故选：C．5．（5分）已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0【解答】解：P，Q的中点坐标为（2，3），PQ的斜率为：﹣1，所以直线l的斜率为：1，由点斜式方程可知：y﹣3=x﹣2，直线l的方程为：x﹣y+1=0故选：A．6．（5分）经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=0【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，﹣2），半径r=5．设经过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为：y+3=k（x+3），化为：kx﹣y+3k﹣3=0．圆心到直线l的距离d==，∴+=52，化为：2k2﹣3k﹣2=0，解得k=2或﹣．∴直线l的方程为x+2y+9=0或2x﹣y+3=0．故选：D．7．（5分）圆C1：x2+y2﹣4x+6y=0与圆C2：x2+y2﹣6x=0的交点为A，B，则AB的垂直平分线的方程为（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0【解答】解：整理两圆的方程可得（x﹣2）2+（y+3）2=13，y2+（x﹣3）2=9∴两圆的圆心分别为（2，﹣3），（3，0）由平面几何知识知AB的垂直平分线就是连心线∴连心线的斜率为∴直线方程为y=3（x﹣3），整理得3x﹣y﹣9=0故选：C．8．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解答】解：对于A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错；对于B．如果m⊂α，n与α相交，则m，n是相交或异面直线，故B错；对于C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错．故选：C．9．（5分）已知A（﹣1，0），B（5，6），C（3，4），则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：∵A（﹣1，0），B（5，6），C（3，4），∴|AC|==|CB|==，∴==2故选：D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选：D．11．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂．A．55986 B．46656 C．216 D．36【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以{a n}的通项公式：a n=6•6n﹣1到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6=6•65=66=46656只蜜蜂．故选：B．12．（5分）△ABC中，三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知∠B=60°，不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|2＜x＜4}，∴a=2，c=4；∵△ABC中，B=60°，根据余弦定理得，b2=a2+c2﹣2ac•cos60°=22+42﹣2×2×4×=12，∴b=2；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不论m为何值，直线（m﹣1）x﹣y+（2m﹣1）=0恒过定点为（﹣2，1）．【解答】解：直线（m﹣1）x﹣y+（2m﹣1）=0化为m（x+2）﹣（x+y+1）=0，令，解得．∴不论m为何值，直线（m﹣1）x﹣y+（2m﹣1）=0恒过定点（﹣2，1）．故答案为（﹣2，1）．14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．15．（5分）已知圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是30﹣10．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=25∴圆心坐标为（1，﹣2），半径r=5，∴原点到圆心的距离为，则a2+b2最小值为（5﹣）2=30﹣10．故答案为：30﹣1016．（5分）方程=lgx实根个数为1个．【解答】解：方程=lgx实根个数等价于函数y=与函数y=lgx图象的交点个数，函数y=的图象为圆x2+y2=4的上半圆，在同一个坐标系中作出它们的图象，如图由图象可知，两函数交点的个数为1，故答案为：1三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinB+cosB=sin=，∴sin=1，又B∈（0，π），∴B+=，解得B=．由正弦定理可得：=，解得sinA=，∵a＜b，∴A=．（2）∵sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA=+=．∴S===．△ABC18．（10分）如图，已知ABC的三顶点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），EF是△ABC的中位线，求EF所在直线的方程．【解答】解：由已知，直线AB的斜率k==．因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因为EF是△ABC的中位线，所以E是CA的中点．点E的坐标是（0，）．直线EF的方程是y﹣=x，即x﹣2y+5=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）19．（10分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．20．（10分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC 中， ∵AC=，AB=2，BC=1，∴AC 2+BC 2=AB 2． ∴AC ⊥BC ．又∵AC ⊥FB ，BF ∩CB=B ， ∴AC ⊥平面FBC ．（ II ）解：过D 作DM ⊥AB 于M ，过C 作CN ⊥AB 于N 于是：V=V E ﹣AMD +V EDM ﹣FCN +V F ﹣CNB =2V E ﹣AMD +V EDM ﹣FCN ∵AC=，AB=2BC=2，∴ED=CD=1，DM=，∴∴附加题（共1小题，满分0分）21．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1=b 1=2，b 4=54，a 1+a 2+a 3=b 2+b 3． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）数列{c n }满足c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q 由=54，得，从而q=3 因此（3分）又a 1+a 2+a 3=3a 2=b 2+b 3=6+18=24，∴a 2=8从而d=a 2﹣a 1=6，故a n =a 1+（n ﹣1）•6=6n ﹣4（6分） （2）令（9分）两式相减得=﹣（3n ﹣2）•3n = ∴，又（12分）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
吉林省长春十一中_学年高一数学下学期期中试卷理(含解析)【含答案】
吉林省长春十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．35．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．2006．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．205810．在等比数列{a n }中，若a 1=2，a 2+a 5=0，{a n }的n 项和为S n ，则S 2015+S 2016=（） A ． 4032 B ． 2 C ． ﹣2 D ． ﹣403011．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则+的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 不存在12．已知数列{a n }中，a n ＞0，a 1=1，a n+2=，a 100=a 96，则a 2014+a 3=（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n }中，a 7=m ，a 14=n ，则a 28=．14．已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13+2a 72=5π，则cos （a 5a 9）的值为．15．若函数f （x ）=x+（x ＞2）在x=a 处取最小值，则a=．16．数列{a n }中，a 1=2，a 2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n 是{a n }的前n 项和，则S 242﹣10a 6=．三．解答题：（本大题共5小题，共66分） 17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°． （1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．18．在△ABC 中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）求的值．19．在三角形ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a 、b 、c 且b 2+c 2=bc+a 2（1）求∠A；（2）若，求b 2+c 2的取值范围．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．数列{a n}的前n项和为S n， a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．吉林省长春十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．解答：解：设此数列为{ a n}，则由题意可得 a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选C．点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．解答：解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用|+2|22+4•+42=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于||的方程，求解即可．解答：解：∵|+2|=2，∴|+2|2=12，即2+4•+42=12，∴||2+4||×1×cos60°+4×12=12，化简得||2+2||﹣8=0，解得||=2，故选：C．点评：本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题．5．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．200考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴a7（a1+2a3）+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9===102=100，故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，属于基础题．6．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a1=﹣12，S13=0，利用等差数列的前n项和公式可得，解得a13=12．利用通项公式解得d．进而得到a n，解出a n≤0即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣12，S13=0，∴，解得a13=12．∴12=a13=a1+12d=﹣12+12d，解得d=2．∴a n=﹣12+2（n﹣1）=2n﹣14，令a n=0，解得n=7．∴使得a n＜0的最大正整数n=6．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．7．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平面图形的定义，图形的所有部分都在同一平面内，由此得出正确的结论．解答：解：根据平面图形的定义，知①角，②三角形，③平行四边形，④梯形，都是平面图形；⑤四边形，不一定是平面图形．所以，以上表示平面图形的个数为4．故选：C．点评：本题考查了平面图形的概念与应用问题，是基础题目．8．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把转化为，然后借助于已知得答案．解答：解：等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且=，得=．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，考查数学转化思想方法，是中档题．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．2058考点：数列的求和．专题：计算题．分析：首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据=1+2+23+25+…+29+10进行求和．解答：解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=1×2n﹣1，依题意有：=1+2+23+25+…+29+10=1033，故选A．点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是要求出数列{a n}和{b n}的通项公式，熟练掌握等比数列求和公式．10．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣4030考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得公比q=﹣1，可得S2015=2，S2016=0，相加可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2+a5=0，∴2q（1+q3）=0，解得q=﹣1，∴S2015=2，S2016=0∴S2015+S2016=2故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，利用等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出公比q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，再利用“1”的代换和基本不等式求出式子的最大值．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所以=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）≥=，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力．12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a2014=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a2014+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=3n﹣2m．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答：解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评：本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：∵a1a13+2a72=5π，∴a72+2a72=5π，即3a72=5π，则a72=，则cos（a5a9）=cos（a72）=cos=cos（2π）=cos=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=3．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=909．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3），进而可得结论．解答：解：∵a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，∴a1a2=14，∴a3=4．∴a2a3=28，∴a4=8，a3a4=32，∴a5=2，a4a5=16，∴a6=6，a5a6=12，∴a7=2，a6a7=12，∴a8=2，a7a8=4，∴a9=4，a8a9=8，∴a10=8，…以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3）．∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）=969，∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．故答案为：909．点评：本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．解答：解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．解答：解：（1）在△ABC中，由，得，又由正弦定理：得：．（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．所以，=BC•CA•cos（π﹣C）=即．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，平面向量数量积的计算．考查了学生综合运用所学知识的能力．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值范围．考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的范围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的范围．解答：解：（1）由余弦定理知：cosA==，又A∈（0，π）∴∠A=（2）由正弦定理得：∴b=2sinB，c=2sinC∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）=4﹣2cos2B﹣2cos2（﹣B）=4﹣2cos2B﹣2cos（﹣2B）=4﹣2cos2B﹣2（﹣cos2B﹣sin2B）=4﹣cos2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），又∵0＜∠B＜，∴＜2B﹣＜∴﹣1＜2sin（2B﹣）≤2∴3＜b2+c2≤6．点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．21．数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{c n}的前n项和W n．解答：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（2）c n==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，即（n≥2）．所以数列是首项为的常数列．所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．。
长春市第十一中学2024届数学高一第二学期期末统考试题含解析
长春市第十一中学2024届数学高一第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．2．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A ．322+ B ．32+ C ．222+D ．33．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．7616π+B ．6012π+C ．4416π+D ．4412π+4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }单调递减，则λ的取值范围是 A ．(－∞，2)B ．(－∞，3)C ．(－∞，4)D ．(－∞，5)5．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 26．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．4C ．1或3D ．1或47．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．568．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞9．已知点()()1,0a a >到直线:20+-=l x y 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．2B ．22-C ．21-D ．21+10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()6223++ B ．()6225++C ．10D ．12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
长春市十一高中20142015学年度高一下学期期末化学考试(附答案)
长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期末考试化 学 试 题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分110分，时间90分钟。
可能用到的原子量：H-1 He-4 Li-7 C-12 N-14 O-16 Mg-24 Al-27 P-31 S-32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Fe-56 Cu-64 Zn-65 Br-80 Ag-108 Pb-207第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本题包括20小题，1-10每小题2分，11-20每小题3分，共50分。
每小题只．有．1．个．选项符合题意。
） 1. 判断一个化学反应的自发性常用焓判据和熵判据，则在下列情况下，可以判定反应一定自发进行的是( )A ．ΔH >0，ΔS >0B ．ΔH <0，ΔS>0C ．ΔH >0，ΔS <0D ．ΔH <0，ΔS <02. 下列反应属于吸热反应的是( )A ．酸碱中和反应B ．葡萄糖在人体内氧化分解C ．Ba(OH)2·8H 2O 与NH 4Cl 反应D ．锌粒与稀H 2SO 4反应制取H 2 3. 下列有关工业合成氨的说法不能．．用平衡移动原理解释的是( ) A ．不断补充氮气和氢气 B ．选择20MPa-50MPa 的高压C ．及时液化分离氨气D ．选择500℃左右的高温同时使用铁触媒做催化剂 4．下列说法错误．．的是( ) A ．钢铁发生析氢腐蚀时，负极电极反应是Fe-2e －=Fe 2＋B ．根据盖斯定律，可计算某些难以直接测定的反应焓变C ．增大压强不能降低活化能，但能增加活化分子百分数D ．一定温度下，反应MgCl 2(l)＝Mg(l)＋ Cl 2(g)的△H ＞0 △S ＞0 5．高炉炼铁的主要反应是：Fe 2O 3+3CO2Fe +3CO 2。
下列说法正确的是（ ）A ．CO 2的电子式为B ．Fe 2O 3分别与浓硝酸和稀硝酸反应，二者产物不同C ．在高炉炼铁过程中，若增加炼铁高炉的高度能提高CO 的转化率D ．在高炉炼铁过程中，将铁矿石粉碎后投入高炉可以提高该反应的化学反应速率O CO6．若N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是( )A．在密闭容器中加入1molN2和3molH2充分反应可得到NH3分子数为2N A B．20 g重水（D2O）中含有的电子数为10N AC．粗铜电解精炼时，阳极质量减少6.4 g，则转移电子数一定是0.2N AD．235g核素23592U发生裂变反应：23592U+1n9038Sr+13654U+101n净产生的中子(1n)数为10N A7．元素的原子结构决定其性质和在周期表中的位置。
2014-2015年吉林省长春十一中高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2014-2015学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α2．（4分）空间直角坐标系中，点M（2，5，8）关于xOy平面对称的点N的坐标为（）A．（﹣2，5，8）B．（2，﹣5，8）C．（2，5，﹣8）D．（﹣2，﹣5，8）3．（4分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定4．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．5．（4分）点p（x，y）是直线x+3y﹣2＝0上的动点，则代数式3x+27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值6 6．（4分）球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为（）A．B．32πC．42πD．48π7．（4分）如图是一正方体被过棱的中点M、N，顶点A和N、顶点D、C1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．8．（4分）如果数列{a n}满足a1＝2，a2＝1，且（n≥2），则a100＝（）A．B．C．D．9．（4分）若等比数列的各项均为正数，前n项之和为S，前n项之积为P，前n项倒数之和为M，则（）A．B．C．D．10．（4分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，P A＝a，PB＝b，PC＝c，三角形ABC的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A．B．C．D．11．（4分）正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．12．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过DD1的中点作直线l，使得l与BD1所成角为40°，且与平面A1ACC1所成角为50°，则l的条数为（）A．1B．2C．3D．无数二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，若，则•＝．14．（4分）若x＞0，y＞0，且y＝，则x+y的最小值为．15．（4分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB＝4，则四面体ABCD外接球的表面积为．16．（4分）在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有a n a n+1a n+2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，记{a n}的前n项和为S n，则：（1）a5＝．（2）S2015＝．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．（10分）设a＞0，b＞0，且a+b＝2．（1）求a•b的最大值；（2）求+最小值．18．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．19．（12分）设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD＝2CD＝2，AA1＝2，∠A1AD＝．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．21．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC ＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．四、（附加题，本小题满分0分，该题计入总分）22．已知数列{a n}中，a1＝1，a n•a n+1＝（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（1）设b n＝a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求T2n；（3）不等式64•T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．2014-2015学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：选项A，若m∥n，n⊂α，则m∥α，不正确，也可能m⊂α；选项B，若m∥n，n∥α，则m∥α，不正确，也可能m⊂α；选项C，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，根据线面垂直的性质可知正确；选项D，若m⊥n，n⊥α，则m⊥α，不正确，应该是m∥α或m⊂α；故选：C．2．（4分）空间直角坐标系中，点M（2，5，8）关于xOy平面对称的点N的坐标为（）A．（﹣2，5，8）B．（2，﹣5，8）C．（2，5，﹣8）D．（﹣2，﹣5，8）【考点】JH：空间中的点的坐标．【解答】解：由题意，关于平面xoy对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，从而有点M（2，5，8）关于平面xoy对称的点的坐标为（2，5，﹣8）．故选：C．3．（4分）若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【考点】MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系．【解答】解：＝﹣2+8﹣6＝0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．4．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d＝1，a1＝1由等差数列的通项公式可得，a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n∴＝＝＝1﹣＝故选：A．5．（4分）点p（x，y）是直线x+3y﹣2＝0上的动点，则代数式3x+27y有（）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值6【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由题意可知x+3y＝2∴3x+27y＝＝6当且仅当x＝3y＝1时取等号故代数式3x+27y有最小值为6故选：C．6．（4分）球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝4，则该球的表面积为（）A．B．32πC．42πD．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d＝＝4，它的外接球半径是2外接球的表面积是4π（2）2＝48π故选：D．7．（4分）如图是一正方体被过棱的中点M、N，顶点A和N、顶点D、C1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【解答】解：对于选项A，几何体的主视图的轮廓是一个正方形，故A不正确；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确．对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不正确；对于D，正视图是正方形符合题意，其中的两条实绩符合斜视图的特征，故D不正确．故选：B．8．（4分）如果数列{a n}满足a1＝2，a2＝1，且（n≥2），则a100＝（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵∴∵a1＝2，a2＝1∴，，是等差数列，首项为，公差为∴∴∴故选：D．9．（4分）若等比数列的各项均为正数，前n项之和为S，前n项之积为P，前n项倒数之和为M，则（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：设此等比数列的首项为a1，公比为q若q＝1，则S＝na1，M＝，P＝a1n，所以P2＝a12n，＝a12n所以．若q≠1，则S＝，M＝＝，P＝a1n所以＝[a12q n﹣1]n＝a12n q[n（n﹣1）]P2＝a12n q[n（n﹣1）]所以故选：C．10．（4分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，P A＝a，PB＝b，PC＝c，三角形ABC的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A．B．C．D．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：如图所示，设顶点P到底面的距离是h，则V P﹣ABC＝V C﹣P AB，∴＝，解得h＝．故选：C．11．（4分）正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．【考点】L3：棱锥的结构特征．【解答】解：由条件可知：EF＝HG＝a，EFGH是平行四边形因为正三棱锥V﹣ABC，所以EFGH是矩形而EH，FG，是变量，当V点在ABC平面时，VA＝VB＝VC＝此时EH，FG有最小值，EH＝FG＝VA＝EFGH的面积EF*•EH＝a×＝故选：B．12．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过DD1的中点作直线l，使得l与BD1所成角为40°，且与平面A1ACC1所成角为50°，则l的条数为（）A．1B．2C．3D．无数【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：取DD1的中点P，A1C1的中点为O1，AC的中点为O2，O1O2的中点为O，连结OP和PO2，则OP⊥平面ACC1A1，PO2∥BD1．在平面ACC1A1内，以点O为圆心，半径为画圆，则点P与此圆上的点的连线满足：过DD1的中点P与平面ACC1A1所成的角为50°．所以满足与PO2所成角为40°的直线PQ有且只有2条，故选：B．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，若，则•＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：如图所示，A（1，0），B（0，），C（0，0），∵，∴D．∴＝，＝（0，），∴•＝0+＝．故答案为：．14．（4分）若x＞0，y＞0，且y＝，则x+y的最小值为18．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且y＝＞0，解得x＞2．∴x+y＝＝＝x﹣2++2≥+2＝18，当且仅当x＝6时取等号，此时x+y的最小值为18．故答案为：18．15．（4分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB＝4，则四面体ABCD外接球的表面积为64π．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【解答】解：设△BCD的中心为：G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，R＝＝＝4．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2＝64π．故答案为：64π．16．（4分）在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有a n a n+1a n+2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，记{a n}的前n项和为S n，则：（1）a5＝2．（2）S2015＝4700．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，∴a1•a2•a3＝8，即1×2a3＝8，∴a3＝4．同理可求a4＝1，a5＝2，a6＝4，…∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1+3k+a2+3k+a3+3k＝1+2+4＝7，∵2015＝671×3+2，∴S2015＝671×7+1+2＝4700．故答案分别为：2，4700．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．（10分）设a＞0，b＞0，且a+b＝2．（1）求a•b的最大值；（2）求+最小值．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b＝2．∴，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，等号．所以，ab的最大值为1；（2）＝＝．当且仅当，即时取“＝”，所以，最小值为9．18．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V＝•S矩形•h＝×6×8×4＝64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5．左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4．故几何体的侧面面积为：S＝2×（×8×5+×6×4）＝40+24．19．（12分）设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q，由题意可得0＜q＜1，∵S3＝14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列，∴a1+a2+a3＝14，8a2＝a1+13+a3+9，联立解得a2＝4，代入a1+a2+a3＝14可得+4+4q＝14，解得q＝，或q＝2（舍去），∴a1＝＝8，∴数列{a n}的通项公式为a n＝8×＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n＝a n•（n+2﹣λ）＝（n+2﹣λ）•，∵数列{b n}是单调递减数列，∴b n＞b n+1，即（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ）•，∴（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ），∴λ＜n+1，∵上式对任意正整数n都成立，∴实数λ的取值范围为λ＜220．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD＝2CD＝2，AA1＝2，∠A1AD＝．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD＝，且AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝＝，…（2分）∴+AD2＝AA12，∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD＝D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A1（0，0，），…（6分）设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为＝（x，y，z），∵＝，＝（1，m+1，0），且取z＝1，得＝．…（8分）又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面A1ADD1．不妨设平面A1ADD1的法向量为＝（1，0，0）．…（10分）由题意得＝＝，…（12分）解得m＝1或m＝﹣3（舍去）．∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）21．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC ＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．【考点】L2：棱柱的结构特征．【解答】（1）解：如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．因为AA1⊥A1C，AA1＝A1C，所以∠A1AD＝45°为所求．（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，所以DE＝1，AD＝A1D＝，tan∠A1ED＝＝．故∠A1ED＝60°为所求．（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC＝∠A1ED＝60°所以CH＝BC sin60°＝为所求．解法二：连接A1B．根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C﹣A1AB的高h．由得，即所以为所求．四、（附加题，本小题满分0分，该题计入总分）22．已知数列{a n}中，a1＝1，a n•a n+1＝（n∈N*），记T2n为{a n}的前2n项的和．（1）设b n＝a2n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求T2n；（3）不等式64•T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【解答】（1）证明：∵b n＝a2n，a n•a n+1＝∴＝＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3f所以{b n}是以b1＝为首项，公比为的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4f（2）解：由（1）知，，当n＝2k（k∈N*）时，；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5f当n＝2k﹣1（k∈N*）时，﹣﹣﹣﹣﹣6f即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7f∴T2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）＝+＝3[1﹣]﹣﹣﹣﹣﹣﹣9f（3）解：由（2），64•T2n•a2n≤3（1﹣ka2n）即得64•3[1﹣]•≤3（1﹣k•）﹣﹣﹣﹣﹣﹣10f所以k≤﹣64﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11f因﹣64≥16﹣64＝﹣48（当n＝3时等号成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13f即所求的k的最大值为﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14f。
【推荐下载】2014长春十一中高一数学下学期期末试卷
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形
7.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n
∥α，则m∥n;②若m∥α，n⊥α，则n⊥m;③若
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2014长春十一中高一数学下学期期末试卷
大家把理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的不足，及时
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一、选择题(此大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项
中，
只有一个选项是正确的)
一中高一数学下学期期末试卷，希望大家喜欢。
3
m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是()
A.0 B.1C.2D.3
8.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是( )
A. 4x+3y-13=0 B . 4x-3y-19=0 C . 3x-4y-16=0 D. 3x+4y-8=0
9.下列说法正确的是( )
A.
2
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B.直线的斜率为
C.过两点的所有直线的方程
D.经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()
A.28+65 B.30+65 C.56+125 D.60+125
长春市十一中学数学高一下期末经典练习(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2BCD ．12．(0分)[ID ：12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =+ C ．41n a n =- D ．41n a n =+4．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(0分)[ID ：12687]C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =B ．a b ⊥C ．1a b ⋅=D ．()4C a b +⊥B6．(0分)[ID ：12674]已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π7．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增8．(0分)[ID ：12653]（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．459．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 10．(0分)[ID ：12649]若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-11．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线12．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =60C =13．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ． 14．(0分)[ID ：12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．015．(0分)[ID ：12648]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题16．(0分)[ID ：12820]已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 17．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.18．(0分)[ID ：12804]已知ABC ，135B ∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ⋅=______．19．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________20．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．21．(0分)[ID ：12789]对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422xx g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）22．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.23．(0分)[ID ：12729]若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．24．(0分)[ID ：12767]设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．25．(0分)[ID ：12753]在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12889]已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 27．(0分)[ID ：12875]已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .28．(0分)[ID ：12866]已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ. 29．(0分)[ID ：12837]已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.30．(0分)[ID ：12829]某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A10．D11．B12．D13．C14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数17．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值18．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题19．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属20．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直21．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点22．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题23．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题24．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】25．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.4．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．5．D解析：D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． ()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23Bπ=. ,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x 2sin ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈ ∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2sin 2x 2cos2x 444⎛⎫=-∴=--=- ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.8．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.9．A解析：A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．10．D解析：D【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D. 点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。
吉林省长市第十一高中高一数学下学期期末考试试题 理
长春市十一高中2014-2015学年度高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．若错误!未找到引用源。
是互不相同的直线，错误!未找到引用源。
是平面，则下列命题中正确的是（）A.若错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
B.若错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
C.若错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
D.若错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
2.空间直角坐标系中,点错误!未找到引用源。
关于错误!未找到引用源。
平面对称的点错误!未找到引用源。
的坐标为（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
3.若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定4．已知等差数列错误!未找到引用源。
的前错误!未找到引用源。
项和为错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
则数列错误!未找到引用源。
的前100项和为（）A.错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
5．点错误!未找到引用源。
是直线错误!未找到引用源。
上的动点，则代数式错误!未找到引用源。
有（）A.最小值6 B.最小值8 C.最大值6 D.最大值86．球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（）A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
7.如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的( )满足错误!未找到引用源。
且错误!未找到引用源。
,则数列错误!未找到引用源。
的第100项为（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
9.若等比数列的各项均为正数，前错误!未找到引用源。
吉林省长市十一中高一数学下学期期末考试 理
长春市十一高中2013-2014学年度高一下学期期末考试数 学 试 题（理）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分120分，测试时间120分钟。
第一部分（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或150° 2．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形3．已知0>x 、0>y ，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则()2cdb a +的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 4．设0>a ，0>b ，若3是a 3与b 3的等比中项，则ba 11+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．41 5．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( )A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 6．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则下列四个结论:①三棱锥A-D 1PC 的体积不变;②A 1P ∥平面ACD 1;③DP ⊥BC 1;④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的结论的个数是 ( )A ．个1B ．个2C ．个3D ．个48. 直线01sin cos =++ααy x ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα的倾斜角为（ ） A ．α B ．απ+2C ．απ-D ．απ-29.直线l 过点()3,1P ，且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ）A ．063=-+y xB ．0103=-+y xC ．03=-y xD ．083=+-y x10．方程0322222=++-++a a ay ax y x 表示的图形是半径为r （0>r ）的圆，则该圆 圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．．第三象限D ．第四象限11.侧棱和底面垂直的三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若3,1==BC AC ，ο60=∠ACB ，321=C C ，则球O 的表面积为（ ）A ．38π B ．316π C ．328π D ．364π12．已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都等于a ，若A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的余弦值等于（ ） A ．32 B ．62 C ．37 D ．714第二部分（非选择题）二、填空题（每题4分，共16分）13．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 14.在平面直角坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．15.如图，P 是二面角βα--AB 的棱AB 上一点，分别在α、β上引射线PM 、PN ，截PN PM =，如果∠=BPM ∠BPN ο45=，∠ο60=MPN ，则二面角βα--AB 的大小是___________.16.设三棱锥ABC P -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出下列命题： ①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心； ②若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心； ③若∠ο90=ABC ，H 是AC 的中点，则PC PB PA ==； ④若PC PB PA ==，则则H 是△ABC 的外心. 请把正确命题的序号填在横线上:______________. 三、解答题（本大题共4小题，共44分） 17．(本小题满分10分)已知正常数a 、b 和正变数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．18．(本小题满分10分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ， 底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ； (Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.20．(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (Ⅰ) 求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(Ⅱ) 当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．附加题（10分）（计入总分）：如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成ο60的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ．E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？长春市十一高中2013-2014学年度高一数学下学期期末考试答案 一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分）二、填空题（本题共4个小题。
吉林省长春市十一中2013-2014学年高一下学期期末考试数学理试题 Word版含解析
第一部分（选择题）
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．在△ABC 中，a＝2，b＝ 2，A＝45°，则 B 等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．30°或 150°
【学问点】正 弦 定 理 ;特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ;三 角 形 的 边 角 关 系 .
【答案解析】B 解析 ：解：∵ a＝2，b＝ 2 ，A＝45°，
11.侧棱和底面垂直的三棱柱 ABC A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上，若 AC 1, BC 3 ，
ACB 60 ， C1C 2 3 ，则球 O 的表面积为（ ）
A． 8 3
B． 16 3
【学问点】球 的 体 积 和 表 面 积 ．
C． 28 3
D． 64 3
【答案解析】D 解析 ：解：在 ABC 中 ， AC 1, BC 3 ， ACB 60 ，可 得 BA 7 ，
面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线,所以 BD 与 AC 是异面直线.综上两对角线AC、BD的
关系是垂直但不相交.故选C.
【思路点拨】结合已知条件先利用线面垂直的判定定理得到 BD AC ，然后再利用异面直线的判定定理得 到 BD 与 AC 是异面直线，进而可得结论.
6．已知直线 m、n 与平面 α、β，给出下列三个命题：
ab
当且仅当 b a 即 a＝b＝ 1 时“=”成立，故选 B．
ab
2
【思路点拨】由 题 设 条 件 中 的 等 比 关 系 得 出 a b 1， 代 入 1 1 中 ， 将 其 变 为 2 b a ， 利 用 基
ab
ab
本不等式就可得出其最小值.
5．空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是(
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2014-2015学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α2．（4分）已知向量=（x，1），=（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．﹣3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．4．（4分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a25．（4分）点p（x，y）是直线x+3y﹣2=0上的动点，则代数式3x+27y有（）A．最大值8 B．最小值8 C．最小值6 D．最大值66．（4分）球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（）A．B．32πC．42πD．48π7．（4分）如图是一正方体被过棱的中点M、N，顶点A和N、顶点D、C1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．8．（4分）等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么{a n}的前7项和S7=（）A．22 B．24 C．26 D．289．（4分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．30 B．40 C．24 D．7210．（4分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则=（）A．B．C．2 D．11．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．312．（4分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形ABC 的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若，则•=．14．（4分）已知||=3，||=5，且向量与向量的夹角为，则=．15．（4分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为．16．（4分）在数列{a n}中，已知a1=1，，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．（10分）设a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求a•b的最大值；（2）求+最小值．18．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．19．（12分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=1．{b n}为等比数列，数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13．求（1）数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n+b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．21．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，．（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角；（2）求顶点C到平面A1ABB1的距离．四、（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）22．（10分）设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．2014-2015学年吉林省长春十一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α【解答】解：选项A，若m∥n，n⊂α，则m∥α，不正确，也可能m⊂α；选项B，若m∥n，n∥α，则m∥α，不正确，也可能m⊂α；选项C，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，根据线面垂直的性质可知正确；选项D，若m⊥n，n⊥α，则m⊥α，不正确，应该是m∥α或m⊂α；故选：C．2．（4分）已知向量=（x，1），=（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．﹣【解答】解：∵向量=（x，1），=（3，6），∥，∴存在非零实数μ，使=μ，得，解之得x=故选：A．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．4．（4分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a2【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2．故选：B．5．（4分）点p（x，y）是直线x+3y﹣2=0上的动点，则代数式3x+27y有（）A．最大值8 B．最小值8 C．最小值6 D．最大值6【解答】解：由题意可知x+3y=2∴3x+27y==6当且仅当x=3y=1时取等号故代数式3x+27y有最小值为6故选：C．6．（4分）球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，且AB=AC=AD=4，则该球的表面积为（）A．B．32πC．42πD．48π【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==4，它的外接球半径是2外接球的表面积是4π（2）2=48π故选：D．7．（4分）如图是一正方体被过棱的中点M、N，顶点A和N、顶点D、C1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．【解答】解：对于选项A，几何体的主视图的轮廓是一个正方形，故A不正确；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确．对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不正确；对于D，正视图是正方形符合题意，其中的两条实绩符合斜视图的特征，故D不正确．故选：B．8．（4分）等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么{a n}的前7项和S7=（）A．22 B．24 C．26 D．28【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，∴3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，∴S7===7a4=28故选：D．9．（4分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．30 B．40 C．24 D．72【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，上部为四棱锥的组合体，如图所示；所以，该几何体的体积为V=V四棱锥+V长方体=×3×4×（6﹣2）+3×4×2=40．故选：B．10．（4分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意和等差数列的性质和求和公式可得：======故选：B．11．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选：B．12．（4分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形ABC 的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，设顶点P到底面的距离是h，=V C﹣PAB，则V P﹣ABC∴=，解得h=．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若，则•=．【解答】解：如图所示，A（1，0），B（0，），C（0，0），∵，∴D．∴=，=（0，），∴•=0+=．故答案为：．14．（4分）已知||=3，||=5，且向量与向量的夹角为，则=．【解答】解：由题意可得=cos=3×5×=﹣故答案为：15．（4分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形，若AB=4，则四面体ABCD外接球的表面积为64π．【解答】解：设△BCD的中心为：G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，R===4．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=64π．故答案为：64π．16．（4分）在数列{a n}中，已知a1=1，，记S n为数列{a n}的前n项和，则S 2015=﹣1006．【解答】解：∵a1=1，，∴=﹣，a3=﹣2，a4=1，…，∴a n=a n．+3∴a1+a2+a3=﹣．S2015=671（a1+a2+a3）+a1+a2=﹣×671+=﹣1006．故答案为：﹣1006．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．（10分）设a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求a•b的最大值；（2）求+最小值．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴，当且仅当a=b=1时取“=”，等号．所以，ab的最大值为1；（2）==．当且仅当，即时取“=”，所以，最小值为9．18．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V=•S矩形•h=×6×8×4=64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1==5．左、右侧面的底边上的高为：h2==4．故几何体的侧面面积为：S=2×（×8×5+×6×4）=40+24．19．（12分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=1．{b n}为等比数列，数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13．求（1）数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：①设公差为d，公比为q∵数列{a n+b n}的前三项依次为3，7，13∴又a1=1∴∴a n=2n﹣1，b n=2n②∵a n=2n﹣1，b n=2n∴a n+b n=（2n﹣1）+2n∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）==n2+2n+1﹣220．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥DE；（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．【解答】（1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得，同理，∴AE2+DE2=4=AD2，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．由PA=2，AB=1，BC=2，得，，∴，．∴异面直线PD与AE所成的角的大小为．21．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，．（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角；（2）求顶点C到平面A1ABB1的距离．【解答】解：（1）取AC中点O，连AO，∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，AA1=A1C，∴AO⊥底面ABC，∴∠A1AO是侧棱AA1与底面ABC所成的角，∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AO=45°，∴侧棱AA1与底面ABC所成的角为45°．（2）∵∠ABC=90°，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠ABC=90°，，AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴AB==2，AA1=A1C==，A1O=，∴C（0，2，0），B（0，0，0），A（2，0，0），O（），A1（），=（0，2，0），=（2，0，0），=（），设平面A1ABB1的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，﹣1），∴顶点C到平面A1ABB1的距离：d===．四、（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）22．（10分）设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•（n+2﹣λ），且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q，由题意可得0＜q＜1，∵S3=14，且a1+13，4a2，a3+9成等差数列，∴a1+a2+a3=14，8a2=a1+13+a3+9，联立解得a2=4，代入a1+a2+a3=14可得+4+4q=14，解得q=，或q=2（舍去），∴a1==8，∴数列{a n}的通项公式为a n=8×=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=a n•（n+2﹣λ）=（n+2﹣λ）•，，∵数列{b n}是单调递减数列，∴b n＞b n+1即（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ）•，∴（n+2﹣λ）•＞（n+3﹣λ），∴λ＜n+1，∵上式对任意正整数n都成立，∴实数λ的取值范围为λ＜2赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.ABEOD C2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。