4 插值、拟合与数值微积分建模案例
数学建模数学实验插值及案例
数学建模数学实验插值及案例在科学研究和工程实践中，数学建模扮演着至关重要的角色。
通过建立数学模型，我们可以对现实世界的现象进行模拟和预测。
其中，插值方法是一种重要的数学建模工具，用于估计在给定数据点之间的未知值。
本文将探讨插值方法的基础理论以及一个具体的数学实验案例。
插值方法是一种数学技术，通过在给定的数据点之间估计未知的值。
最常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是最简单的插值方法，它将数据点之间的变化视为线性的，即变化率保持恒定。
多项式插值方法则通过构建一个多项式函数来逼近数据点的变化趋势。
样条插值则通过将数据点连接成平滑的曲线来进行插值。
本案例将利用多项式插值方法对房价进行预测。
我们收集了一组房屋价格数据，包括房屋的面积、房龄、位置等信息。
然后，我们使用多项式插值方法构建一个函数来描述房价与这些因素之间的关系。
通过调整多项式的阶数，我们可以控制模型的复杂性。
我们使用该模型来预测新的房价。
在本案例中，我们使用了200个样本数据进行训练，并使用另外100个数据点进行测试。
我们发现，通过增加多项式的阶数，模型的预测精度可以得到提高。
然而，当阶数增加到一定程度后，模型的性能改善不再明显。
我们还发现模型的预测结果对训练数据的分布非常敏感，对于分布偏离较大的新数据点，预测结果可能会出现较大误差。
通过本次数学实验，我们深入了解了插值方法在数学建模中的应用。
在实际问题中，插值方法可以帮助我们更好地理解数据的变化趋势和预测未知的值。
然而，插值方法也存在一定的局限性，如本实验中模型对训练数据分布的敏感性。
未来工作中，我们可以尝试采用其他更加复杂的模型，如神经网络、支持向量机等来提高预测精度。
我们还应充分考虑数据的分布特性，以提高模型的泛化能力。
插值方法是数学建模中的重要工具之一，它可以让我们更好地理解和预测数据的趋势。
通过本次数学实验，我们深入了解了多项式插值方法的工作原理和实现过程，并成功地将其应用于房价预测问题中。
数值分析计算方法介绍
据此有 Vt1 vt0 S ，两端同除以 V v ，有
S t * 由于 V v
V v S t1 t0 V v V v V v
为人龟追赶问题的精确解，
由此可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均：
其中
v V v
t* (1 )t1 t0
数
值
分
析
——插值、拟合与数值微积分
：
1
• 引例
数值分析(计算方法)简介
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
考虑如下线性方程组
(1)
或者：
Ax b
其中 det(A) 0 , 由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
, a3 0.8610 ，其绝对误差限都是0.005， 例 设近似值 a1 1.38, a2 0.0312 求各个近似值各有几位有效数字？
解
4
3 李庆扬. 数值分析. 清华大学出版社，2001.
4 白峰杉. 数值计算引论. 高等教育出版社, 2004. 5 王能超. 计算方法. 北京: 高等教育出版社, 2005
8
数值分析的基本概念
内容:
• • • • • 算法设计技术 误差 数值计算中需要注意的一些问题 算法的稳定性 病态问题
9
算法设计技术
1 a x1 x0 2 x0
0出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开
1 a xk , k 0,1, 2, 2 xk
校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精 ！ 17
• 算法优化的松弛技术 再考察Zeno算法： 对于给定的预报值 t 0 ，校正值为 t1
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2022年间的性别比。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2022年间的生育率。
（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
比,Karmehu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logitic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。
2.处理2022年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题
（1）以城区取样点位置为节点进行插值，绘制城区的地形图和等高线图；（2）绘制城区的8种重金属浓度的空间分布图。
并指出浓度最高和最低的点所在的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、Shepard插值等。
工具可用Matlab，也可用urfer软件实现。
插值与拟合应用举例
插值与拟合1. 插值与拟合的基本概念插值与插值函数：已知由()g x (可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据(,),0,1,,i i x y i n = ，且n+1个互异插值节点011n n a x x x x b -=<<<<= ，在插值区间内寻找一个相对简单的函数 ()f x ，使其满足下列插值条件：再利用已求得的 ()f x 计算任一非插值节点的近似值，这就是插值。
其中()f x 称为插值函数， ()g x 称为被插函数。
最小二乘拟合： 已知一批离散的数据 (,),0,1,,i i x y i n = ，i x 互不相同，寻求一个拟合函数 ()f x ，使()i f x 与i y 的误差平方和在最小二乘意义下最小。
在最小二乘意义下确定的 ()f x 称为最小二乘拟合函数。
温度问题在12小时内，每隔1小时测量一次温度。
温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。
(单位:℃)（1） 试估计在3.2h ，6.5h ，7.1h ，11.7h 的温度值，并画出其图形。
（2） 每隔1/10h 估计一次温度值，并画出其图形。
请你找出跟上述12个数据拟合的最好的一条曲线,请分别用分段线性插值、三次样条插值方法（至少用两条不同的曲线，并比较它们拟合好坏的程度）hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24];t=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7]) %线性插值 T=interp1(hours,temps,[3.2,6.5,7.1,11.7],'spline') %三次样条插值 计算结果为 t =10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 T =9.6734 30.0427 31.1755 25.3820每隔1/10h 估计一次温度值并画出其图形： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('时间'),ylabel('温度')三次多项式拟合： hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24]; a=polyfit(hours,temps,3) temps1=polyval(a,hours);plot(hours,temps,'ro',hours,temps1,'b.')得到320.00650.32837.1281 4.4343y x x x =--+-，图形如下：四次多项式拟合：得到4320.02730.7158 5.770712.225112.5884y x x x x =-+-+比较拟合的好坏：设ˆi y为拟合函数的值，i y 为测量值，则残差2ˆ()iiie y y=-∑ 。
4 插值、拟合与数值微积分建模案例详解
d t1v kv2 0.75v 0.0255v2
车速 (英里/小时)
10 20
250
30
200
40
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
英 尺 /秒
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
则车”速（英里/小时） 0~10 10~30
50 60 70 80
30~60
t（秒）
2
3
5
刹车时间 （秒） 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6 6.7
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的 数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到 水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民 的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据
分析
日用水量
用水速度
数值微分
思考
每个时刻水塔中水的体积
每个时刻水塔中水的体积？ 居民的用水速的？ 日用水量？
离
动 最大制动力与车质量成正比，
距
常数
离 使汽车作匀减速运动。
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间
d1 t1v
3. 刹车时使用最大制动力F， F d2= m v2/2 F m F作功等于汽车动能的改变;
返回
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 • 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，
景
后面与前车的距离应增一个车身的长度。
4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法
5.1 城市供水量的预测问题
图5-3 三种插值函数曲线
5.1 城市供水量的预测问题
3. 用2000—2006年每年1月份城市的总用水量预测
由表5-2可得到7个 插值节点（x i，y i）， 其中，xi=i，i=1,2,…,7， 其散点图如图5-4所示。 用三次样条插值法求得 的f(8)=4 378.139 0×104 t即为所求的 2007年1月份总用水量 的估计值，表5-3
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.2 用插值法预测2007年1月份城市的总用水量
预测2007年1月份城市的用水量有三种 办法：一是用2006年的日用水量进行预测， 二是用2000—2006年每年1月份的日用水量 进行预测，三是用2000—2006年每年1月份
5.1 城市供水量的预测问题
1. 用2006年的日用水量进行预测
图5-4 2000—2006年每年1月份 城市的总用水量散点图
5.1 城市供水量的预测问题
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.3 用数据拟合方法预测2007年1月份城市的总用水量 1. 用2006年每天的日用水量进行预测
由图5-1可知，这些点并不是简单地成线性或二次关系， 而是具有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。 用 MATLAB工具箱得到的拟合结果见表5-4。
5.2.1 曲线拟合
【实例】 气象部门观测到一天中某些时刻t的温度T变化数据见 表5-6。试描绘出温度变化曲线。
5.2 MATLAB与拟合、插值
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一 种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数 采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线
5.2 MATLAB与拟合、插值
数学建模——拟合与插值
即要求 出二次多项式: f(x)a1x2a2xa3
11
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
[f (xi)yi]2 最小
i1
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
18
25.03.2020
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
25.03.2020
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f(x) 9.81x0 2 8 2.1 02x9 0 3 .0317
16
25.03.2020
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
两个求非线性最小二乘拟合的函数：
lsqcurvefit、lsqnonlin。
相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函 数f(x)，但定义f(x)的方式不同。
计算机应用基础-4-积分方程及应用
a i 1 a i 1 N 2 N 2
为最小。Matlab调用格式如下：
[a, J m ] lsqcurvefi (Fun, a 0 , x, y) t
4.2 拟合函数
其中 Fun为原型函数的Matlab表示，可以使M函数inline( ) 函数；
%计算插值点的函数值 %将插值多项式展开 %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
4.1 插值函数
三 Matlab 自带函数插值 3.1 一维插值
Matlab提供了interp1函数用于一维插值，其调用格式为
yi=interp1(x,Y,xi,method)
对节点（x,Y)进行插值，计算插值点xi的函数值； Method插值算法，默认的为线性插值： nearest:线性最近插值 linear:线性插值（默认） spline:三次样条插值 pchip:分段三次埃尔米特插值 cubic: 双三次插值
a0 为最优化的初值；
x,y 为原始输入和输出数据向量；
a为返回的待定系数向量； Jm为在此待定系数下目标函数的值。
4.2 拟合函数
二 最小二乘多项式拟合
对于离散型函数，若数据点较多，若将每个数据点 都当做插值节点，运算显得非常复杂。在工程试验中， 常测得一组离散数据点（xi,yi), (i=1,2…N),要求 y=(x），这种应变量只有一个自变量的数据拟合方法 称之为直线拟合。(仍然采用最小二乘方法) p=polyfit(x,y,n)
拟合的函数形式可任意, 因此拟合调用需要注明拟合函数, 即需要建立一个Fun的函数，需要初值，而且结果与初值 密切相关。
4.2 拟合函数
【例4-5】已知的数据点来自f(x)=(x2-3x+5)e-5xsinx
插值法与数值微分课件
高斯积分的误差
由于高斯积分是一种近似 计算方法，因此存在误差， 但可以通过选取适当的节 点来减小误差。
数值微分的应用
数值微分在优化问题中的应用
数值微分可以用来求解最优化问题中的目标函数的最小值点，例如牛顿法、梯度下降法等 算法中都使用了数值微分。
数值微分在金融中的应用
数值微分可以用来计算金融衍生品的价格，例如期权、期货等，也可以用来进行风险管理、 资产配置等方面的分析。
样条插值的公式
$f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x x_0)^n$
样条插值的适用范围
适用于数据点变化较大、分布不均匀的情况，且具有更好的局部 拟合性质。
02
数值微分
数值微分的基本概念
数值微分的定义
数值微分是一种近似计算函数导 数的方法，它通过在函数定义域 内选取若干点，利用这些点的函
方向导数的定义 方向导数是函数在某点沿某一方向的变化率。
梯度与方向导数的关系 梯度是方向导数最大值的方向，因此梯度可以用 来判断函数在某点的最优方向。
高斯积分
高斯积分的定义
高斯积分是一种数值积分 方法，它利用高斯函数的 性质来计算函数的积分。
高斯积分的优点
高斯积分可以快速、准确 地计算函数的积分，适用 于解决实际问题中无法得 到解析解的问题。
数值来近似计算函数的导数。
数值微分的优点
数值微分可以快速、准确地计算 函数的导数，适用于解决实际问
题中无法得到解析解的问题。
数值微分的误差
由于数值微分是一种近似计算方 法，因此存在误差，但可以通过
选取适当的节点来减小误差。
插值法实验案例范文
插值法实验案例范文插值法是一种数值分析方法，用于通过已知数据点推测未知数据点的近似值。
该方法通过在已知数据点之间进行插值计算，并利用插值多项式来描述数据点之间的曲线。
插值法在很多领域都有广泛的应用，比如图像处理、信号处理以及科学计算等领域。
下面我将为大家介绍一个插值法的实验案例。
实验目的：通过插值法来估计未知数据点的近似值。
实验材料：1.已知数据点的数据表格2.插值法计算工具实验步骤：1.收集已知数据点的数据表格，并整理该数据表格，找到未知数据点的位置。
2.将数据表格中的已知数据点用插值法进行计算，并将计算结果填入未知数据点的位置。
3.使用插值法计算工具来计算每个未知数据点的近似值。
4.对每个未知数据点进行计算，并记录计算结果。
5.用插值法计算结果与实际值进行比较，评估插值法的准确性。
实验案例：假设我们有一个关于温度变化的数据表格。
已知温度数据点如下：时间（小时）温度（摄氏度）0202254286?8?1030我们需要用插值法来计算问号处的温度值。
首先，我们可以使用拉格朗日插值法来进行计算。
拉格朗日插值法使用一个多项式来逼近所有已知数据点。
具体计算步骤如下：1.将已知数据点用拉格朗日插值多项式表示：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2其中，L(x)为插值多项式，Li(x)为基函数，yi为已知数据点的温度值。
2.计算每个基函数Li(x)：L0(x)=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)L1(x)=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)L2(x)=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)3.将插值多项式带入未知数据点的x值，并解出对应的温度值：L(6)=L0(6)*20+L1(6)*25+L2(6)*28L(8)=L0(8)*20+L1(8)*25+L2(8)*28计算结果如下：L(6)=(6-2)(6-4)/(0-2)(0-4)*20+(6-0)(6-4)/(2-0)(2-4)*25+(6-0)(6-2)/(4-0)(4-2)*28=(3*2)/(-8)*20+(-6*2)/(-4)*25+(6*4)/(8)*28=6/4*20+3*5*25+3*14*28=30+375+1176=1581L(8)=(8-2)(8-4)/(0-2)(0-4)*20+(8-0)(8-4)/(2-0)(2-4)*25+(8-0)(8-2)/(4-0)(4-2)*28=(6*4)/(-8)*20+(8*4)/(-4)*25+(8*6)/(8)*28=12/2*20+8*(-5)*25+8*3*28=120+(-1000)+672=-208通过插值法计算，我们得出未知数据点的温度值为1581摄氏度和-208摄氏度。
插值与数据拟合建模
因此，在时段[t，t+Δt]，从B侧渗透至A侧的该物质的质量为：
于是有：
两边除以Δt，并令Δt→0取极限再稍加整理即得：
（1）
2) 注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，因此
思考
最小二乘拟合函数 f(x，a1， …am)的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f：
2. 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序curvefit,其调用格式为： a=curvefit(‘f’, a0, x, y)
这本四位数学用表给出sin ＝0.576，sin =0.5783。小华认为在sin 到sin 这样小的范围内，正弦可以近似为线性函数，于是很容易地得到Sin =0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774
聪明的小华用的这个办法是一种插值方法——分段线性插值。实际上，插值可以理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。 表中有的，如（sin ，0.5760）(sin ,0.5783)称为节点；要计算的，如sin ，称为插值点，结果（0.5774）即为插值。小华作的线性函数为插值函数，插值函数所表示的直线当然要通过节点。
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1函数拟合,可利用已有程序polyfit,其调用格式为:
a=polyfit(x,y,m)
用MATLAB作最小二乘拟合
注：f为拟合函数y=f(a,x)的函数M—文件，f(a,x)为拟合函数。
python实现数学模型（插值、拟合和微分方程）
python实现数学模型（插值、拟合和微分⽅程）问题1 车辆数量估计题⽬描述交通管理部门为了掌握⼀座桥梁的通⾏情况，在桥梁的⼀端每隔⼀段不等的时间，连续记录1min内通过桥梁的车辆数量，连续观测⼀天24h的通过车辆，车辆数据如下表所⽰。
试建⽴模型分析估计这⼀天中总共有多少车辆通过这座桥梁。
python 实现(关键程序)def get_line(xn, yn):def line(x):index = -1# 找出x所在的区间for i in range(1, len(xn)):if x <= xn[i]:index = i - 1breakelse:i += 1if index == -1:return -100# 插值result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index]))return resultreturn linetime = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25,12, 5, 10, 12, 7, 9, 28,22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]# 分段线性插值函数lin = get_line(time, num)# time_n = np.arange(0, 24, 1/60)time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)num_n = [lin(i) for i in time_n]sum_num = sum(num_n)print("估计⼀天通过的车辆：%d" % sum_num)结果问题2 旧车平均价格题⽬描述某年美国旧车价格的调查资料如下表所⽰，其中 x i x_i xi表⽰轿车的使⽤年数， y i y_i yi表⽰相应的平均价格。
3实验任务-插值和拟合,数值积分
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
3.弹簧在力F的作用下伸长x,一定范围内服从胡克定律：F与x成正比， 即F=kx,现在得到下面一组F,x数据，并在(x,F)坐标下作图，可以看到 当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。试由数据确定k,并给出 不服从胡克定律时的近似公式。
在1点~12点的12小时内，每隔1小时测量一次温度，温度依次是： 5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24. （1）试估计在3.2h,6.5h,7.1h,11.7h时的温度值（线性、三次样条、拉格朗日）； （2）试估计每隔1/10h的温度值，用图形表示。 1.
2.已知某精密仪器的某部件轮廓线的数据如下表所列，求x每改变0.1时的 Y值。 x y
x F
1
2
4
7
9
12
13
15
17
1.5 3.9
6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1
4.用matlab计算
L = 4∫
π /2
0
(a2 sin2 (t) + b2 cos2 (t))1/2dt
注：其中a=7782.5 ,b=7721.5.要求分别用梯形公式，辛普森公式计算
5、以以下积分为例，利用复化梯形法计算pi的值， 将误差控制在1e-5以内
π =∫
1
4 1+ x
2
0
dx
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模型假设
• 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求； • 水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小； • 水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度；
• 水塔的水流量与水泵状态独立； • 水流量曲线是一条连续光滑的曲线； • 表1数据是准确的；
模型建立与求解
表2 水塔中水的体积
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
将模型改记作 t an bn ,
2
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可! 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051 60 2760 160 5525 80 3413 184 6061 用最小二乘法可得
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的 数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到 水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民 的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据
分析
日用水量 用水速度 数值微分
每个时刻水塔中水的体积
思考
每个时刻水塔中水的体积？ 居民的用水速的？ 日用水量？
模 型 d t1v kv2
参数估计 • 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 计算刹车距离、刹车时间
最小二乘法 k=0.0255
（用2、3列数据）
刹车时间计算：
s 0.75v t 0.75 0.5v
其中s为刹车距离
计算结果
车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际(最大)刹车 距离（英尺） 计算刹车距离 （英尺） 刹车时间 （秒）
2 2
t
wk
v
2
2rk n n v
2
思 考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
思 考
模型中有待定参数
r , w, v, k ,
刹车时间 （秒）
10
20 30 40
1.5
2.25 3 3.75
英尺
250 200 150 100 50 0
50
60 70
0 20 40 60 英 尺 /秒 80 100 120
4.5
5.25 6 6.7
80
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 则” 0~10 10~30 车速（英里/小时）
t（秒） 2 3
m kn
wk n (2rk wk )n vt 请解释? w r wk 2rk
2 2
t
2
v
n
2
v
n
模型建立
2. 考察右轮盘面积的
变化，等于录像带厚度 3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有 乘以转过的长度，即
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
14.7 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3 132.0 146.7
---------
42（44） 73.5（78） 116（124） 173（186） 248（268） 343（372） 464（506） ----------------
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30
0
5
10
15
20
25
30
图4 样条插值得到的水流速度曲线
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30
0
5
10
15
20
25
30
结果
运用数值求积公式可得
总用水量 1247.6m
模型稳定性分析 模型检验
3
返回
录像机计数器的用途
插值、拟合与数值微积分 ——建模案例
1、估计水塔的水流量
2、录像机计数器的用途
3、汽车刹车距离
估计水塔的水流量
问 某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间 题 的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其
自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直 径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水， 一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降 至最低水位，约8.2m 时，水泵自动启动加水；当水位升 高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
返回
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 景 与 问 题
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 • 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 样? 并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
r；
w r
t=0 时读数 n=0 .
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
建模目的
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
2 (r wi) vt
i 1
m
30~60 5
60~80 7
思考：
（1）在不同量纲下得到的拟合系数k是否相同。
结论：在英里/秒下得到k=1.0407e-005。 （2）可以将反应时间作为拟合系数，并将计算结 果和经验结果比较。 结论：t1=0.0883,k=0.0322。 作图比较可知，与实测数据拟合效果更好！ 返回
500 450 400 350 300
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头 走到尾，时间用了184分，计数器读数从 0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为
4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考
要求
计数器读数是均匀增长的吗？
不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！ 问题分析 录像机计数器的工作原理
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比
d d1 d 2
d1 t1v
Fm
2
t1为反应时间
3. 刹车时使用最大制动力F， F d2= m v2/2 F作功等于汽车动能的改变;
且F与车的质量m成正比
d 2 kv
2
d t1v kv
左轮盘 右轮盘 主动轮 0000 计数器
录像带
磁头
压轮 录像带运动方向
右轮盘半径增大;
录像带运动
计数器读数增长变慢; 录像带运动速度(线速度)是常数.
右轮转速(角速度)不是常数;
模型假设
• 录像带的运动速度是常数 • 计数器读数
v；
n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； w；
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
V r d
2
（其中d为水塔中水的高度，r为底面半径）
图1 水塔中水体积的散点图
2600 2500
2400
2300
2200
2100
2000
1900
0
5
10
15
20
25
30
图2 水塔中水流速度的散点图
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30
0
5
10
15
20
25Biblioteka 30图3 预测水塔中未知的流速
常识：刹车距离与车速有关
问 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶 题 29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) 分 “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则 析
不同 反
应 距 离
反应时间
司机 状况
制动系统 灵活性
刹 车 距 离
车速
常数
… 制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 动 最大制动力与车质量成正比， 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。
原始数据 反应时间为常数 反应时间为拟合系数
英尺/秒
250 200 150 100 50 0 0 20 40 60 英尺 80 100 120
16.5 44 82.5 131.9 192.4 263.8 346.3 439.7 544.1 659.6
1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6 6.7 7.5 8.2
模型
500 450 400 350 300
d t1v kv 0.75v 0.0255v
2
2
车速 (英里/小时)
a 2.61 10 , b 1.45 10 .
2
6
模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型：
t an bn (a 2.6110 , b 1.4510 )
2
6