江苏省南京市高中数学 平面解析几何初步复习小结 苏教版必修2

高一下期末复习系列（四） 必修二 平面解析几何初步一、填空题1、(2020·南通质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．2、(2020·烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.3、(2020·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．4、(2020·扬州检测)已知直线l 过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．5、(2020·苏州质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是________．6、(2020·东营模拟)点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．7、(2020·南京调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为______．8、(2020·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为________．9、(2020·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(3,0)在圆C ：x2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．10、（2020江苏百校联考一）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 ．11、(2020·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连接BC ，则三棱锥C －ABD 的体积为________．12、(2020·南通、扬州、泰州、宿迁调研)设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一个)．13、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1(请填上你认为正确的一个条件)．二、解答题1、已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．3、（扬州市2020届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M :22860x y x +-+=，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为N 。

(1)求k 的取值范围； (2)若//ON MP ，求k 的值。

4、已知平面直角坐标系xOy 中O 是坐标原点，A(6,23)，B(8,0)，圆C 是△OAB 的外接圆，过点(2,6)的直线l 被圆C 所截得的弦长为4 3. (1)求圆C 的方程及直线l 的方程；(2)设圆N 的方程为(x －4－7cos θ)2＋(y －7sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆N 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点为E ，F ，求CE →·CF →的最大值．5、(2020·常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F－ABC的体积．6、(2020·南京、盐城一模)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.7、如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．(1)求证：FG∥平面PDE；(2)求证：平面FGH⊥平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．答案一、填空题1、解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 －132、解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案 －243、解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案 二4、解析 设所求直线方程为y －4＝k(x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝05、解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a)2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即0＋a 2＋0＋12>2a ，所以原点在圆外． 答案 在圆外6、解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 的中点为M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 7、解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.答案 2 8、解析 设圆M 的半径为r ，则由圆的几何性质可得PM ＝2r.又r 是定值，所以PM 是定值．又点P 在圆C 上，只有到圆心C 的距离是定值，所以点M 与C 重合，即PM ＝PC ＝2，所以r ＝1，故圆M 的方程是(x －1)2＋y 2＝1.答案 (x －1)2＋y 2＝19、解析 因为点P(3,0)在圆C ：(x －m)2＋(y －2)2＝32内，所以(3－m)2＋(0－2)2＜32，解得3－27＜m ＜3＋27 ①.设圆心C 到直线AB 的距离为d ，则d ∈[0，PC]，△ABC 的面积为12AB·d＝12×2r 2－d 2·d＝32－d 2d 2≤32－d 2＋d 22＝16，当且仅当d ＝4时取等号，所以4≤PC＝m －32＋4，解得m≥3＋23或m≤3－23，与①取交集可得实数m 的取值范围是[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]． 答案 [3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23] 10、解析 法一：数形结合法：设 ，由题意可得，即 ，解之得．法二：设点，，则由条件得A 点坐标为 ， ，从而，整理得 ， 化归为 ，从而，于是由 得 。

答案 [-1,2]11、解析 由题意可得∠CDB ＝60°，DC ＝DB ，所以△DCB 是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB ，所以三棱锥C －ABD 的体积为13S △BCD ·AD＝13×12×2×2sin 60°×2＝233.答案23312、解析 因为m 是平面α内的任意一条直线，若l ⊥m ，则l ⊥α，所以充分性成立；反过来，若l ⊥α，则l ⊥m ，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件． 答案 充要13、解析 如图，连接FH ，HN ，FN ， 由题意知HN ∥面B 1BDD 1， FH ∥面B 1BDD 1. 且HN∩FH＝H ，∴面NHF ∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时， 有MN ∥面B 1BDD 1. 答案 M ∈线段HF 二、解答题1、解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 2、解 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.3、解：（1）方法一：圆的方程可化为22(4)10x y -+=，直线可设为2+=kx y ， 即20kx y -+=，圆心M 到直线的距离为21d k =+，依题意d <22(42)10(1)k k +<+，解之得：133k -<<； 方法二：由⎧⎨⎩228602x y x y kx +-+==+可得：22(1)4(2)100k x k x ++-+=，依题意22[4(2)]40(1)0k k ∆=--+>，解之得：133k -<<． （2）方法一：因为//ON MP ，且MP 斜率为12-，故直线ON ：12y x =-， 由⎧⎨⎩122y x y kx =-=+可得42(,)2121N k k -++， 又N 是AB 中点，所以MN AB ⊥，即21214421k k k +=---+， 解之得：43k =-．方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212(,)22x x y y N ++由⎧⎨⎩228602x y x y kx +-+==+可得：22(1)4(2)100k x k x ++-+=， 所以1224(2)1k x x k -+=-+，又//ON MP ，且MP 斜率为12-， 所以12121222y y x x +=-+，即121212y y x x +=-+，也就是1212()412k x x x x ++=-+， 所以224(2)()4114(2)21k k k k k --++=---+，解之得：43k =-．方法三：点N 的坐标同时满足⎧⎪⎨⎪⎩21214y kx y x y x k=+=-=--，解此方程组，消去,x y 可得43k =-．4、解：(1)因为A(6,23)，B(8,0)，所以△OAB 为以OB 为斜边的直角三角形，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，被圆C 截得的弦长为43，所以l ：x ＝2符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l ：y －6＝k(x －2)，即kx －y ＋6－2k ＝0. 因为被圆C 截得弦长为43，所以圆心C 到直线的距离为2.所以|4k ＋6－2k|1＋k2＝2，解得k ＝－43，所以l ：y －6＝－43(x －2)，即4x ＋3y －26＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝2或4x ＋3y －26＝0.(2)因为圆心N(4＋7cos θ，7sin θ)，若设N(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋7cos θ，y ＝7sin θ所以(x －4)2＋y 2＝49.即圆心N 在以(4,0)为圆心，7为半径的圆周上运动．如图，设∠ECF ＝2α，则CE →·CF →＝|CE →|·|CF →|·cos 2α＝16cos 2α＝32cos 2α－16.在Rt △PCF 中，cos α＝CF PC ＝4PC .由圆的几何性质得NC ＋1≥PC≥NC－1＝7－1＝6，所以12≤cos α≤23.由此可得CE →·CF →≤－169，则CE →·CF →的最大值为－169.5、(1)证明 连接A 1C.∵直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AA 1C 1C 是矩形， ∴点F 在A 1C 上，且为A 1C 的中点．在△A 1BC 中，∵E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，∴EF ∥BC. 又∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC. (2)证明 ∵直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，B 1B ⊥平面ABC ， ∴B 1B ⊥BC.∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，B 1B ⊥EF. ∵B 1B∩AB＝B ，∴EF ⊥平面ABB 1A 1.∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面ABB 1A 1.(3)解 V F －ABC ＝12VA 1－ABC ＝12×13×S △ABC ×AA 1＝12×13×12a 2×2a＝a36.6、证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE.又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC. (2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC.又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥BF. 由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.7、(1)证明 因为F ，G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG ∥PE ，又FG ⊄平面PDE ，PE ⊂平面PDE ，所以FG ∥平面PDE. (2)证明 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥CB. 又CB ⊥AB ，AB∩AE＝A ，所以CB ⊥平面ABE. 由已知F ，H 分别为线段PB ，PC 的中点， 所以FH ∥BC.则FH ⊥平面ABE.而FH ⊂平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面ABE.(3)解 在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM. 证明如下：如图，在PC 上取一点M ，连接EF ，EM ，FM.在直角三角形AEB 中，因为AE ＝1，AB ＝2，所以BE ＝ 5. 在直角梯形EADP 中，因为AE ＝1，AD ＝PD ＝2，所以PE ＝5， 所以PE ＝BE.又F 为PB 的中点，所以EF ⊥PB. 要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB ⊥FM. 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥CB ， 又CB ⊥CD ，PD∩CD＝D ，所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB ⊥PC.若PB ⊥FM ，则△PFM ∽△PCB ，可得PM PB ＝PFPC .由已知可求得PB ＝23，PF ＝3，PC ＝22，所以PM ＝322.。