2019-2020人教A版高中数学选修1-2课件同步：2-1-1《合情推理》优质课件
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.1 合情推理
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理合情推理→从具体问题出发――――――――――――经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比C [结合类比推理可知S 扇＝lr2.]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________，a n ＝________(n >1，n ∈N *)．15 3n －3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)．]数、式中的归纳推理【例1】 (1)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2 (2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x[(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x.又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x 1－x 1－x 1－x＝x1－2x ， f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.](3)解：①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34， 又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．进行数、式中的归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和公式.①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.1．(1)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． (2)已知下列各式： 1＞12， 1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， …，请你归纳出一般性结论：________.(1)65 (2)1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2 [(1)因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1，且终止项为2n －1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2.]几何图形中的归纳推理【例2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．(1)5n＋1(2)509[(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．163n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]类比推理及其应用三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13. 【例3】 (1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A -BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ，∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 1．(变条件1·cos α＋类比推理的一般步骤1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．判断正误(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B [第一个三角形数是1＋2＝3， 第二个三角形数是1＋2＋3＝6， 第三个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n 个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2(个)．由此可以得出第六个三角形点数是28.] 3．等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) [类比等差数列，可以类比出结论b 2n ＝b n －1b n＋1(n ≥2，且n ∈N *)]4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。
人教A版数学选修1-2全册课件第二章 2.1.1 合情推理精选ppt课件
问题 1：试计算 a1，a2，a3，a4 的值． 提示：由图知：a1＝OA1＝1， a2＝OA2＝ OA12＋A1A22＝ 12＋12＝ 2， a3＝OA3＝ OA22＋A2A23＝ 22＋12＝ 3， a4＝OA4＝ OA32＋A3A24＝ 32＋12＝ 4＝2.
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
提示：能猜想出 an＝ n(n∈N*)．
问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想 出什么结论？
提示：所有三角形的内角和都是180°. 问题4：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：都是由个别事实推出一般结论．
[导入新知]
1．归纳推理的定义
由某类事物的
具有某些特征，推出该类事物的
同理 y2＝ba22x2－b2.∴y2－n2＝ba22(x2－m2)． 则 kPM·kPN＝xy－－mn ·xy＋＋mn ＝xy22－－mn22 ＝ab22·xx22－－mm22＝ba22(定值)． ∴kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值．
1.从平面到空间的类比
[典例] 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形 围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所 围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连 线所围成的图形．
[类题通法] 归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结 论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
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解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
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歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：2.1.1合情推理 Word版含解析
2．1.1合情推理填一填1.归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3．合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．(2)推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想判一判1.解析：符合归纳推理的特征，故正确．2．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)解析：类比得到的结论不一定是正确的，故错误．3．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．(√) 解析：符合由特殊到一般的特征，故正确．4．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)解析：平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故错误．5.23<2＋13＋1，23<2＋23＋2，23<2＋33＋3，…由此猜想：23<2＋m3＋m(m为正实数)．上述推理是归纳推理．(√)解析：符合归纳推理的由特殊到一般的特征，故正确．6．由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是类比推理．(√)解析：符合由特殊到特殊的特征，故正确．想一想1.提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理的作用提示：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．思考感悟：练一练1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －1D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：9×0＋1＝1＝10－9,9×1＋2＝11＝10×2－9,9×2＋3＝21＝10×3－9,9×3＋4＝31＝10×4－9，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9，故选B. 答案：B2．三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故选C.答案：C3．观察下列各式：m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，则m 11＋n 11＝________.解析：由m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，可以发现从第3个等式开始，等式右边的数字等于前两个等式的右边的数字之和，依次计算可得m 11＋n 11＝199.答案：1994．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N *)构造的新数列{b n }也是等差数列．类比上述性质可得，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则由d n ＝________(n ∈N *)构造的新数列{d n }也是等比数列．解析：由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N *)．答案：nc 1c 2c 3…c n知识点一归纳推理1.数列A ．28B ．32C ．33D ．27解析：由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B 项． 答案：B2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 项正确．答案：A3．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝________解析：S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55. 答案：(1)10 (2)554．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为1n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).5.①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B. 答案：B6．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．答案：C7．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C.5217D ．3 5解析：类比点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.答案：B8．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解析：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.基础达标一、选择题1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比 答案：C2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明 答案：C3．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.故选B.答案：B4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.答案：D5．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36解析：方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.答案：B6．n个连续自然数按规律排列(如图所示)．根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.故选A.答案：A7．设n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱的对角面的个数f (n ＋1)等于( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2解析：对于n 棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n －3)个对角面，所以过n 条侧棱可确定n (n －3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n 条侧棱共可确定n (n －3)2个对角面，所以可得f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(n ＋1－3)2－n (n －3)2＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.故选C.答案：C 二、填空题8．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12AB →＋AC →，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A -BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG →＝13()AB →＋AC →＋AD →9．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面． 答案：过原点的平面10．观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n 个图形是由n 个正方形组成．通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．解析：第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n 个图形有(3n ＋1)根火柴棒．答案：13 3n ＋111．蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第1个图有1个蜂巢，第2个图有7个蜂巢，第3个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则f (n )＝________.解析：由题可得，f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…，因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案：3n 2－3n ＋112．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )， 试计算f (1)，f (2)，f (3)的值，并推测出f (n )的表达式．解析：因为a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116，所以f (1)＝1－a 1＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝34×89＝23， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝34×89×1516＝58，推测f (n )＝n ＋22(n ＋1)(n ∈N *)．14．在Rt △ABC 中，若C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，求其外接球的半径R .解析：通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22. 证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.能力提升15.图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1)＋…＋1f (n )－1的值．解析：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒ f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. 16．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解析：命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题． 证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ， 连接AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EM ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .。
2019-2020年数学人教A版选修1-2优化课件：第二章 2.1 2.1.1 合情推理
探究二 几何图形中的归纳推理 [例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 C．32
B．31 D．36
[解析] 解法一：有菱形纹的正六边形个数如表： 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等 差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6＋5×(6－1)＝31. 解法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 个有纹正六边形围绕(图 案 1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无 纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)， 故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31. [答案] B
[随堂训练]
1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”
开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是
齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程
根据给出的数与式如何归纳一般性结论(步骤) (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．
1．(1)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32；sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝32，通过 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________＝32(*).并给出(*)式的证明． (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an2an(n∈N*) ①求 a2，a3，a4；②归纳猜想{an}的通项公式．
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.2 演绎推理课件PPT
B [对于 A，小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论 形式；对于 B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于 C，大小前提 颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不符 合演绎推理三段论形式．]
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用三段论证明几何问题 【例 2】 如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出 “三段论”形式的演绎推理．
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[解] (1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平 行四边形，
结论：菱形的对角线互相平分． (2)大前提：等腰三角形的两底角相等， 小前提：∠A，∠B 是等腰三角形的底角， 结论：∠A＝∠B.
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(3)大前提：数列{an}中，如果当 n≥2 时，an－an－1 为常数，则{an}为 等差数列，
“①小宏在 2018 年的高考中考入了重点本科院 中，②是大前提，③
校；②小宏在 2018 年的高考中只要正常发挥就能考 是小前提，①是结论．] 入重点本科院校；③小宏在 2018 年的高考中正常发
挥”中，“小前提”是________(填序号)．
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3．下列几种推理过程是演绎推理的是________． ① [①是演绎推 ①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相 理；②是归纳推理； 等，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内错角，则∠A ③④是类比推理．] ＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以 一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
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1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无理数；结论： π 是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π 是无限不循环小 数；结论：π 是无理数 C．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理 数；结论：π 是无理数 D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论：无 限不循环小数是无理数
人教A版高中数学选修1-2课件2.1.1合情推理
KETANGHEZUOTANSUO
解析:由已知交点依次写为(1,12),(2,22),(3,32),…, ∴命题 n 中交点为(n,n2),直线中系数依次为 1,2,3,…,∴命题 n 中直线的 系数为 n.
双曲线中系数依次为 13,23,33,…,∴命题 n 中双曲线的系数为 n3, ∴命题 n 为:点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y=������������3的一个交点.
.
思路分析:解答本题的关键是确定好类比对象.平面中圆类比空间
中球,平面中长度类比空间中面积,平面中面积类比空间中体积.
答案:13R(S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD)
2.1.1 合情推理
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
.
答案:夹在两平行平面之间的平行线段相等
2.1.1 合情推理
目标导航 预习引导
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探索
KETANGHEZUOTANSUO
2.合情推理及其推理过程 (1)合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,它们统称为合情推理. (2)合情推理的思维过程 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想
2.1.1 合情推理
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
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一、归纳推理及其应用
活动与探究
归纳推理有什么特点? 答:(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超 出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而是偶 然的.所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的; (3)在进行归纳推理的时候,总是搜集一定的事实材料,有了个别性 的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在 观察和实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是作出科学发现的重要 手段.
2019-2020人教A版数学选修1-2 第2章 2.1 2.1.1 合情推理课件PPT
15 3n－3 [依据图形 特点，可知第 5 个图形中三 角形各边上各有 6 个点，因 此 a6＝3×6－3＝15.
由 n＝2,3,4,5,6 的图形
特点归纳得 an＝3n－3(n>1，
n∈N*)．]
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数、式中的归纳推理 【例 1】 (1)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此规律，第 n 个等式可为________．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理
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学习目标
核心素养
1.了解合情推理的含义．(易混点) 1.通过学习归纳推理和类比推理，培
2．理解归纳推理和类比推理的含义，养数学逻辑推理的素养．
并能利用归纳和类比推理进行简单 2．借助合情推理，培养抽象概括的
的推理．(重点、难点)
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(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋2 1 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x [(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …
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12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n) ＝(－1)n＋1nn＋ 2 1. (2)∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
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(2)已知：f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且 n∈N*)， 则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
人教A版高中数学选修1-2课件：2.1.1合情推理 (共43张PPT)
1 1 1 (2)由a1＝S1＝2 a1＋a ，得a1＝a . 1 1 又a1＞0，所以a1＝1. 1 1 1 1 当n≥2时，将Sn＝2 an＋a ，Sn－1＝2an－1＋ 的左右两边 a n n－1 分别相减，得 1 1 1 1 an＝2an＋a －2an－1＋a . － n n 1
2an 1．(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，n∈N*，猜想 2＋an 这个数列的通项公式． 1 1 (2)已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝ 2 an＋a (n∈ n N*)，求出a1，a2{an}中，a1＝1，a2＝ ＝ ， 2＋a1 3 2a2 1 2a3 2 a3＝ ＝2，a4＝ ＝5，„， 2＋a2 2＋a3 2 所以猜想{an}的通项公式an＝ (n∈N*)． n＋1
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
梅青中学
高二备课组
1．归纳推理 (1)定义：由某类事物的__________ 部分对象 具有某些特征，推出该 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 ________ 类事物的 _________ 个别事实
概括出__________ 一般结论 的推理．
归纳推理在几何中的应用 【例 2】 在平面内观察，凸四边形有 2 条对角线，凸五边 形有5条对角线，凸六边形有9 条对角线……由此猜想凸n 边形
(n∈N*且n≥4)有几条对角线，并给出证明．
【解题探究】通过观察，发现规律，并给出相应的证明．
【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4 条„„ 于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2) 1 条，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)＝ 2 n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
人教A版高中数学选修1-2课件2.1《合情推理与演绎证明》2(新选修1—2).pptx
例6 证明函数 fx x2 2x 在 ,1上是增
函数.
分析 证明本例所依据的大前 提是增函数的定
义,即函数 y fx满足 : 在给定区间内任取自变 量的两个值x1, x2,若x1 x2,则有fx1 fx2 .
小前提是fx x2 2x,x ,1满足增函数
的定义,这是证明本例的关键.
证明 任取x1, x2 ,1,且x1 x2,
fx1 fx2
x12 2x1
x
2 2
2x2
x2 x1x2 x1 2.
因为x1 x2,所以x2 x1 0; 因为x1, x2 1, x1 x2,所以x2 x1 2 0.
就数学而言,演绎推理是证明数学结 论、建立数 学体系的重要思维过程 , 但数学结论、证明思路 等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.
参见《数学2》第二章的阅读与思考栏 目"欧几里得
的《原本》与公理化方法".
像这种尽可能少地选取 原始概念和一组不加证 明
的原始命名( 公理、公设 ),以此为出发点, 应用演绎 推理,推出尽可能多的结论的 方法,称为公理化方 法.公理化方法的精髓是 : 利用尽可能少的前提,推 出尽可能多的结论.
继《 原本》之后,公理化方法广泛应用于 自然科学、 社会科学领域.例如,牛顿在他的巨著《自然哲学的 数学原理 》中,以牛顿三定理为公理,运用演绎推理 推出关于天 体 空间的一系列科学理论 ,建立了牛 顿力学的一整套完整的 理论体系. 至此,我们学习了两种推理方 式 合情推理与演绎 推理. 思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么? 归纳和类比是常用的合 情推理.从推理形式上看, 归纳是部分到整体、个 别到一般的推理,类比是 由特殊到特殊的推理 ;演绎推理是是由一般到 特 殊的推理.从推理所得结论来看, 合情推理的结论
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-2课件：2.1.1 合情推理
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【做一做2】 已知在数列{an}中,a1=3,an-an·an+1=1(n∈N*),An表示数
列{an}的前n项之积,则A2 018=
.
2
2
解析:由 a1=3,a1-a1a2=1,得 a2= ; 由a2= , 2 − 2 3 = 1,
3
3
1
1
得a3=− ; 由a3=− , 3 − 3 4 = 1, 得a4=3,所以 a1=a4=3,因此可
答案:B
第五页，编辑于星期日：点 十五分。
-5-
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2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、
含
比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它
义
们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理
过
程
第六页，编辑于星期日：点 十五分。
归
纳 推 理
由某类事物的部分对象具有某些
特征,推出该类事物的全部对象
定
都具有这些特征的推理,或者由
义
个别事实概括出一般结论的推
理,称为归纳推理(简称归纳)
特 归纳推理是由部分到整体、
征 由个别到一般的推理
类
比 推 理
由两类对象具有某些类似
特征和其中一类对象的
某些已知特征,推出另一类
对象也具有这些特征的推
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第十七页，编辑于星期日：点 十五分。
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题型一
题型二
题型三
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典例透析
题型四
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修1-2突破课件：2.1.1 合情推理
过程
从具体问 观察、分析、 归纳、 题出发 → 比较、联想 → 类比 → 提出猜想
第五页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论， 该结论超越了前提所包含的范围．如著名的哥德巴赫猜想、费 马猜想等． (2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结 论假”的情况是有可能发生的，需要经过逻辑证明和实践检 验．因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
第一页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
第二页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
第二章 推理与证明
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单 的推理． 2.了解合情推理在数学发现中的作用．
第三页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
第十二页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
探究点 1 数与式的推理 (1)给出下面的等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， …
第十三页，编辑于星期六：二十三点 四十九分。
猜测 123 456×9＋7 等于( )
可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限
的转化过程．比如在表达式 1＋1＋11＋1…中“…”即代表无限
次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 1＋1x＝x 求得 x
＝ 52＋1.类比上述过程，则 3＋2 3＋2 …＝(
)
A．3
B．
13＋1 2
C．6
D．2 2
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方法二：(1)求 f(n)同方法一， ∵g(2)－g(1)＝2，g(3)－g(2)＝3，g(4)－g(3)＝4， ∴g(5)－g(4)＝5，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)由(1)归纳猜测 g(n)－g(n－1)＝n， ∴累加得 g(n)－g(1)＝2＋3＋4＋…＋n. ∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1 ＝n(n＋2 1)＋1＝n2＋2n.＋2
(5)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证 法的思考过程、特点．
2．情感目标 (1)结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，让学 生体会数学与其他学科以及实际生活的联系． (2)通过合理推理与演绎推理的学习，让学生了解数学 不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要 内容，从而形成对数学较为完整的认识，学习合情推理有 助于培养学生进行归纳时的严谨作风，从而形成实事求是、 力戒浮夸的思维习惯．
(3)通过本章的学习，有助于发展学生的数学思维能力， 提高学生的数学素养．
(4)通过本章的学习，有助于发展学生的创新意识和创新 能力．
●重点难点 本章重点是合情推理、演绎推理以及证明方法——直接证 明和间接证明．合情推理是数学发现的分析过程中常用到的 思维方法，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用， 有助于学生理解力的提高．演绎推理是证明数学结论，构建 数学体系的重要形式、培养和提高学生的演绎推理或逻辑推 理是高中数学的重要目标，数学结论的重要性必须通过逻辑 证明来保证．证明包括直接证明和间接证明．
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区 域数之间有什么关系？
[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数
边数
区域数
(a)
3
3
2
(b)
8
12
6
(c)
6
9
5
(d)
10
15
7
(2)观察： 3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2 通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之 间的关系为V＋F－E＝2.
(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角 度，把各数改写为
23，1，32，94，287 可以发现： 1÷23＝32，32÷1＝32， 94÷32＝32.287÷94＝32. 后一个数是前一个数的32倍，按照这个规律，括号中的 数应是287×32＝8116＝5116
(3)为探究规律，作适当变形： 34，58，174，292，3112. 这样一来，分子是首项为 3，公差为 2 的等差数列， 故括号内的数的分子为 13.再看分母部分：4,8,14,22,32. 相邻两数之差得 4,6,8,10.可见括号内的数的分母应为 32 ＋12＝44. 故括号中应填入1434.
VV－BCD ＝VVVV－－BBCCDD＝1.
[点评] 在类比推理中，找出两类事物之间的相似性 或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和 平面的根本区别．
找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列 性质类比四面体的有关性质：
(1)三角形任意两边之和大于第三边； (2)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三 角形内切圆的圆心； (3)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三 边．
2．1 合情推理与演绎推理
1．知识与技能 了解合情推理的含义． 2．过程与方法 能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理． 体会并认识合情推理在教学发现中的作用．
本节重点：合情推理的定义及归纳推理和类比推理的 定义．
本节难点：归纳和类比推理的基本方法．
1．对归纳推理的理解 归纳推理是从个别事实中概括出一般结论的一种推理 模式．归纳推理的前提是特殊的情况，立足于观察、试验 或经验的基础上，归纳推理的结论具有猜测的性质． 2．归纳推理的一般步骤 (1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质． (2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一 个明确表述的一般性命题． (3)猜测一般性结论：在一般情况下，如果归纳的个别 情况越多，越具有代表性，那么猜测出的一般性结论也就 越可靠．
概括个出别事的实推理，称为归一纳般推结理论(简称)．简言之，归纳推理
是由、归由纳的推理．
部分到整体
个2别．到类一比般推理
由两类对象具有和其中一类对象的，推出另一类对象
也具有的推理称为类比推某理些(类简似称特)．征简言之，类比推理是
某些已知特征
由
这些特征
的推理．
类比
特殊到特殊
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据，经已过有，的再事进实行，然后 提出的推观察理、．分我析们、把比它较们、称联为想合情推理．通归俗纳地、说类，比合情 推理是指“猜”想的推理．
高中数学课件
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●课程目标 1．双基目标 (1)了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理 等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发展中的 作用． (2)掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并 能运用它们进行一些简单的推理． (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． (4)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 了解分析法和综合法的思考过程与特点．
[解析] 设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割 成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
方法一：(1)f(1)＝1＝12， g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32
g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42， g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16. (2)根据题意猜测： 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 f(n) ＝n2 条线段，将圆最多分割为 g(n)＝n2＋2n＋2部分．
[例2] 如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分； 画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4 部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分 割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆 最多分割成11部分．
那么： (1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？ (2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分 割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①在圆内画线段； ②所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的 个数．解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出 的数值特点进行归纳猜想．
1 (2)516
13 (3)44
(4)8
21
[解析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断 出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣 摩．
(1)考察相邻两数的差： 5－1＝4,9－5＝4， 13－9＝4,17－13＝4 可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减 去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.
合情理
[例1] 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填 上适当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )；
(2)23，1,112，214，338，( )； (3)34，58，12，292，3112，( )； (4)32,31,16,26，( )，( ),4,16,2,11.
[答案]
(1)21
●学法探究 学习本章时要注意基本数学思想，如归纳、类比、演 绎推理以及综合法、分析法、反证法的思想的理解和应 用． 学习过程中应结合实例，运用合情推理去探索、猜测 一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或 者用反例推翻错误的猜想．学习重点在于理解与掌握研究 问题的思维方式，感悟到猜测一个问题有时比证明一个问 题更重要，以逐步形成科学的探索精神，而不要刻意去追 求对概念的抽象表述．
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存 在什么类似的结论？并用体积法证明．
[解析] 考虑到用“面积法”证明结论时，把O点与三 角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面 积相等来证明相应结论．在证明四面体中类似结论时，可 考虑利用体积的方法相应结论．
[结论] 在四面体 V－BCD 中，任取一点 O，连结 VO、 DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点， 则
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相 似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论 就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一 种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．
1．归纳推理
由某类事物的具部有分某对些象特征，推出该类事物的都具有
这 全些部对特象 征 的 推 理 ， 或 者 由
若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1 (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an. [解析] (1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得 a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1， a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1. (2)归纳猜想，得an＝2n－1(n∈N*).
[点评] 虽然由类比所得到的结论未必是正确的，但 它所具有的由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律 和事实却是十分有用的．
三角形 三角形任意两边之和大于 第三边 三角形的三条内角平分线 交于一点，且这个点是三 角形内切圆的圆心
三角形的中位线等于第三 边的一半，且平行于第三 边
四面体
四面体任意三个面的面积 之和大于第四个面的面积
四面体的六个二面角的平 分面交于一点，且这个点 是四面体内切球的球心
四面体的中截面(以任意三 条棱的中点为顶点的三角 形)的面积等于第四个面的 面积的，且平行于第四个 面
[例 3] 已知 O 是△ABC 内任意一点，连结 AO、BO、 CO 并延长交对边于 A′，B′，C′，则OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′ ＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.OAAA′′ ＋OBBB′′＋OCCC′′＝SS△△OABBCC＋SS△△OABCCA＋SS△△OABACB＝SS△ △AABBCC＝1，