二次根式13
二次根式性质与运算(同步)
一、二次根式的概念及性质a 0a ≥二次根式的基本性质：（1）0a ≥（0a ≥）双重非负性；（2）2(a a =（0a ≥）；（3）2 (0) (0)a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．二、二次根式的乘除运算1a b ab （0a ≥，0b ≥）2aab b=（0a ≥，0b >）三、最简二次根式：1、最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 2、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式，原理是平方差公式22()()a b a b a b +-=-；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．四、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：()a x b x a b x =+．同类二次根式才可加减合并．一、对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：24331x(0)x x >042、1x y +x y +x ≥0，y ≥0）．a b a b 二次根式性质与运算新知学习基础演练【练一练】下列式子中，是二次根式的是（ ）．A ．7B 38C xD ．x【例2】 当x 31x -【例3】 当x 1231x x ++在实数范围内有意义？【练一练】2(6)x --x 有（ ）个 ．A ．0B ．1C ．2D ．无数【练一练】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？【例4】 解答下列题110a b +-=，求20112011a b +的值．【练一练】已知a 、b 522105a a b --=+，求a 、b 的值．【练一练】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2221130x a x x x ⎫⎛-+-- ⎪⎝⎭2(2)a -二、对二次根式性质的考察【例5】 计算（1） 23()4 （2） 2(34) （3）2(5) （4） 23(【练一练】计算（1） 2(2)(0)x x +≥ （2）22()a （3）22(21)a a ++ （4）224129)x x -+【例6】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x -【例7】 先化简再求值：当a=9时，求212a a a -+的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=2(1)(1)1a a a a -=+-=；乙的解答为：原式=2(1)(1)2117a a a a a -=+-=-=．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【练一练】若-3≤x ≤2时，试化简222(3)1025x x x x -+-+．【例8】 93xy x y x ，y 必须满足条件 ．【例9】 如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥ B ． 3x ≥C ．03x ≤≤D ． x 为任意实数【练一练】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．【例10】 把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-B ．11C ．44-D ．44【练一练】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1） ;1aa -（2）⋅---11)1(y y【例11】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．【练一练】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）222233=+ 验证：3322222(22)22(21)22223332121-+-++--333388=+验证：3322233(33)33(31)33338883131-+-+==+-- 同理可得：44441515=+55552424=+…… 通过上述探究你能猜测出： 21aa -=_______（a >0），并验证你的结论．【练一练】880a b =，， 6.4【例12】 已9966x xx x --=--x 为偶数，求2254(1)1x x x x -++-33231()22nn n nmm m m m （m >0，n >0）三、最简二次根式的概念【例13】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2yx - D ．y x 23【练一练】把下列各式化成最简二次根式： （123 （2152（335a b （41123+【例14】 计算：（1182460 （2）2346a ab （314822【例15 23的有理化因式是 ；x y 的有理化因式是 ． 11x x -+- 的有理化因式是 ．【例16】 把下列各式分母有理化：（124a + （22x y+ （321- （435233523-+【练一练】a b+【例17 1ab b【例18】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值．（1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）nn ++11＝______．【练一练】3132x x =-+--_______．【例19】 把32,27,125,445,28,18,12,152有 ；与3的被开方数相同的有 ；5的被开方数相同的有 ．【例20】 若35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =．【例21】 若22323m -21410n m --m 、n 的值．【练一练】若4a b b +3a b +a ，b 的值．【练一练】已知最简根式27b a a b -+与a ，b 的值（ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有二组 D ．多于二组【例22】 化简计算：（1322+ （2）5()()8()a b a b a b +--0a b >>)四、二次根式的加减【例23】 计算：（1）3343 （21275【练一练】485127-＝______．【例24】 计算：（1）1128183224（2112434827【练一练】计算：（1）630.1248 （233118182ab a b ab a b【例25】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？CBA五、二次根式的乘除【例26】 计算：（113221355 （2212121335六、二次根式的混合运算【例27】 计算：（1）2(323) （2）(235)(235) （3）22(235)(235)-- （4）20112012(38)(38)【练一练】（1）(23326)(23326) （2）33(3)a b ab ab ab （0,0a b ≥≥）【例28】 解方程或不等式:（1))6171x x +>- （2222133x+=【练一练】已知1018222=++a aa a ，求a 的值．【例29】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【例30】 化22111(1)n n +++，所得的结果为（ ） A ．1111n n +++ B ． 1111n n -++ C ．1111n n +-+ D ．1111n n --+【例31】 计算：（164332(63)(32)++++ （21014152110141521+--+++（3335335755749474749++++++（43151026332185231--+-+++七、非负数性质的综合应用【例32】 21(4)0x y ++-=，则y x 的值等于 ．【例33】 如果23322y x x =--，则2x y += ．【例34】 当2x 22212x x x -+【练一练】已知0a <22114()4()a a a a-++-的值．【例35】 已知实数x ，y ，z 满足2114412034x y y z z z -++-+=，求2()x z y +⋅的值．【练一练】已知实数a ，b ，c 满足2122102a b b c c c -+-+=，求()a b c +【例36】 21(2011)10x y z +-+-=，则()y xz 的值等于 ．【例37】 已知22230a b a ac c a b c ++-++++-=3abc 的值．【练一练】若224250a b a b +--+=22a b a b+-的值．【例38】 已知正数a ，b ，且满足22111a b b a --=，求证：221a b +=．【题1】 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．A ．23-B ．2)3.0(-C ．2-D ．x【题2】 33x +x 应满足的条件是（ ）． A ． x ＞0B ． x ≤0C ． x ≥－3D ． x ＞－3【题3】 若m m 32-+有意义，则m ＝ ．【题4】 计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323(【题5】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（13＝______；（224______；（3）322＝______；（46y ＝______．【题6】 当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x1的值为1． 【题7】 若b ＜05ab -______． 【题8】 9112,,8,2733是同类二次根式的是 ． 课后作业【题9】 若32x y x y +-64y x y m +++m = ． 【题10】 若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab【题11】 等2224x x x -+- ）A ．2x ≥B ．2x ≥-C ．22x -≤≤D ．2x ≥或2x ≤- 【题12】 若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ． 222.()3(34)21a a b a a b ++=---=B ． 2222222.3(3)(4)32515a a b a b +=+--+---C ． 22222223(3)(4)32515a a b a a b +=-+-+-==D ．22222223(3)(4)32515a a b a b +±+=±-+-=±±【题13】 计算（1） (32)(23) （2） 78(21)(21)（3） 533()32a aab a b b b⋅ （4） 48)832(3xx x x ÷-（5） (1)(1)(1)x x x x x x +++【题14】 若最简二次根式22a b a b a b +++与是同类根式，求2b a -的值【题15】 已知a 2a - ）A ．aB ． a -C ．1-D ．0【题16】 若 ab 0≠，则等式531a ab b b --成立的条件是 ．【题17】 当x 时，2243x x x -+-．【题18】 如果式子1(1)1a a ---根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A 1a - B 1a - C ．1a -- D ．1a --【题19】 如果0a >，0a b<22(4)(1)b a a b ---+【题20】 计算：21(240.52(6)38-【题21】 计算：12(820.25)(15072)83-【题22】11(27(1245)35-【题23】 计算： 127323+【题24】 计122320112012++++【题25】(3248)(1843)【题26】(236)(623)【题27】(4332)(5027)【题28】 （1）(23)()a b b - （2）335137(16)()248a a a a -【题29】(326)(623)【题30】(1)(1)(1)(1)x x x x x x ++++-【题31】 (2[4]a b ab a b +÷．【题32】1(486)274【题33】()()x xy y x y +÷【题3411883221+【题3520511235+【题36 222224242424n n n n n n n n ++-+--+--++-【题37】 已3327183a a a =，求a 的值．。
人教版 八年级数学 二次根式有意义讲义 (含解析)
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：
∴x≥﹣3且x≠0
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．
教学建议：二次根式有意义必须保证开方数x+3为非负数，同时要注意x作为分母不能为0.
已知y= + +4，求 的值．
【答案】3
【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵y= + +4，
∴x=3，y=4，
= +
=1+2
=3．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
解得x≥﹣3且x≠1．
故答案为：x≥﹣3且x≠1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为0.
难度：4适应场景：当堂练习例题来源：宁津县二模年份：2018
【例题4】
若 是整数，求自然数x．
难度：3适应场景：当堂例题例题来源：门头沟区一模年份：2018
【练习2.1】
在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可．
解：A、∵ 是二次根式，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3，故本选项错误；
B、∵ 是二次根式，
第13讲 二次根式的概念与运算
中考培优课程13二次根式的概念与运算模块一二次根式的概念 知识导航二次根式的定义：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 二次根式存在的意义：被开方数大于等于0，即a 存在，则a ≥0 二次根式的三大性质： (1)双重非负性：a ≥0且a ≥0 (2)(a )2＝a (a ≥0)(3)a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ＜0)例11．当x 取何值时，下列式子有意义? (1)3x －1；(2)x 2＋1；(3)1－x 2＋x ；(4)x ＋32－x； 2．化简(1)(－3)2；(2)(2－5)2；(3)(a －3)2． 练习1．下列命题中，正确的是( )A ．若a ＞0，则a 2＝a B ．若a 2＝a ，则a ＞0C ．若a 为任意实数，则a 2＝±a D ．若a 为任意实数，则(a )2＝±a 2．当x 取何值时，下列式子有意义?(1)－x 2；(2)12－x ；(3)x －1＋2－x ；(4)|x |．拓展1．当0＜a ＜1，化简：⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋4＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4．2．当－2≤a ≤12，化简：1－4a ＋4a 2＋a 2＋4a ＋4．模块二二次根式的乘除 知识导航例2计算(1)35×210；(2)32÷118；(3)212×34÷52；(4)45÷315×32223． 练习 计算．(1)212×143÷52；(2)27×50÷6；(3)b 5÷b 20a 2(其中a ＞0)；(4)ab ⋅131a． 例3把下列各式中根号外的因式移入根号内： (1)23；(2)－2114；(3)a －1a． 练习把下列各式中根号外的因式移入根号内： ⑴－32；⑵a－a ＋1a2；⑶(a －1)11－a．模块三最简二次根式 知识导航1、最简二次根式二次根式a (a ≥0)中的a 称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开放数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 2、分母有理化把分母中的根号去掉叫做分母有理化． 例如，12－1＝1×(2＋1)(2－1)(2＋1)＝2＋1(2)2－12＝2＋1，这个过程就是分母有理化．3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式． 同类二次根式可以合并， 例如，a x ＋b x ＝(a ＋b )x ．例41．把下列式子化成最简二次根式①75x 2y 3(其中x ＞0)；②9x 3－18x 2(其中x ＞2) 2．把下列式子分母有理化 ①33＋1；②12－1．③32533253+-yx y xy +--23. 已知最简二次根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，则=a ，=b .练习1. 把下列式子化成最简二次根式.①318a ②323625b x （其中0＞x ）2. 把下列式子分母有理化 ①21 ②1212+-③23341+ ④233232--拓展①a1 ②ba +1 ③ba -1④xx x x ++-+11 ⑤35141563514156+++-+-模块四 二次根式的加减 知识导航一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如，()252322322188=+=+=+在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.例5计算：（1）a a 259+ （2）46932x x +（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+6815.024 （4）7581227148+-+（5）5022145.0821+-- （6）xx x x 1246932-+例6计算：（1）12323242731⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- （2）3511289504921894÷-⨯（3）a a a ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-2233 （4）ab ab ab b a ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-333（00＞，＞b a ）例7计算： （1）()223+ （2）()183421648-⎪⎪⎭⎫⎝⎛- （2）()()22322232--- （4）()()171611321132+-（5）已知32-=x ，求代数式()()3323472++++x x 的值.刻意练习计算： ①2543122+⨯ ②2731612+-③32483316122÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- ④483316122+-⑤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6812124 ⑥27127316122+-⑦求xxx x 22183852÷-的值，其中10=x .⑧已知5=xy ，求yx y x y x +的值.第13讲 二次根式的概念与运算A 基础巩固1. 若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A. 0=mB. 1=mC. 2=mD. 3=m 2. 当0＜a ，0＜b 时，化简b a 2-的值是（ ）A. b aB. b a -C. b a -D. b a -- 3. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. 12+aB.y 1.0 C.42bD. 12+x4. 使式子2x -有意义的x 是 .5. 若y x ，为实数，且211441+-+-=x x y ，则xyy x x y y x +--++22的值为 . 6. 把()aa --111根号外的因式移入根号内，其结果是 . 7. 下面四组二次根式：（1）23x 和x 91；（2）32a 和a 24；（3）x 2和x 2.0；（4）n m n m -+和nm n m +-（0＞＞n m ），其中是同类二次根式的是 .B 综合训练8. 计算： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-81412435.0343 （2）2160200215.1221+-+（3）a a a a 13961643-+ （4）46932xx + （6）()03362262---⨯+π （6）()21631526-⨯- （7）()()131381672-+-- （8）()()2223322332--+（9）3732177---数学故事数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等．2300年前，古希腊数学家欧几里得就己证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2P－1”的形式，这里的指数P也是一个素数．这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等）和无数的业余数学爱好者对它进行究．而17世纪法国数学家、法兰西科学院莫基人马林梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p－1”型的素数称为“梅森素数”.迄今为止，人类仅发现47个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”．梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探素的热点和难点之一．梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
100道二次根式含答案 (2)
100道二次根式题目及答案第一部分：简单题（共50题）1. $\\sqrt{9}$答案：32. $\\sqrt{25}$答案：53. $\\sqrt{81}$答案：94. $\\sqrt{64}$答案：85. $\\sqrt{100}$答案：106. $\\sqrt{121}$答案：11答案：128. $\\sqrt{169}$ 答案：139. $\\sqrt{196}$ 答案：1410. $\\sqrt{225}$ 答案：1511. $\\sqrt{256}$ 答案：1612. $\\sqrt{289}$ 答案：1713. $\\sqrt{324}$ 答案：18答案：1915. $\\sqrt{400}$ 答案：2016. $\\sqrt{441}$ 答案：2117. $\\sqrt{484}$ 答案：2218. $\\sqrt{529}$ 答案：2319. $\\sqrt{576}$ 答案：2420. $\\sqrt{625}$ 答案：25答案：2622. $\\sqrt{729}$ 答案：2723. $\\sqrt{784}$ 答案：2824. $\\sqrt{841}$ 答案：2925. $\\sqrt{900}$ 答案：3026. $\\sqrt{961}$ 答案：3127. $\\sqrt{1024}$ 答案：32答案：3329. $\\sqrt{1156}$ 答案：3430. $\\sqrt{1225}$ 答案：3531. $\\sqrt{1296}$ 答案：3632. $\\sqrt{1369}$ 答案：3733. $\\sqrt{1444}$ 答案：3834. $\\sqrt{1521}$ 答案：39答案：4036. $\\sqrt{1681}$ 答案：4137. $\\sqrt{1764}$ 答案：4238. $\\sqrt{1849}$ 答案：4339. $\\sqrt{1936}$ 答案：4440. $\\sqrt{2025}$ 答案：4541. $\\sqrt{2116}$ 答案：46答案：4743. $\\sqrt{2304}$ 答案：4844. $\\sqrt{2401}$ 答案：4945. $\\sqrt{2500}$ 答案：5046. $\\sqrt{2601}$ 答案：5147. $\\sqrt{2704}$ 答案：5248. $\\sqrt{2809}$ 答案：53答案：5450. $\\sqrt{3025}$答案：55第二部分：中等题（共25题）51. $\\sqrt{10} + \\sqrt{2}$答案：$\\sqrt{10} + \\sqrt{2}$52. $\\sqrt{5} + \\sqrt{20}$答案：$\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}$53. $\\sqrt{15} + \\sqrt{12}$答案：$\\sqrt{15} + \\sqrt{12} = \\sqrt{15} + 2\\sqrt{3}$ 54. $\\sqrt{7} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{7} - \\sqrt{8}$55. $\\sqrt{9} - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{9} - \\sqrt{6} = 3 - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{26} + \\sqrt{14}$57. $\\sqrt{30} - \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{30} - \\sqrt{10}$58. $\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{10} = \\sqrt{50}$59. $\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}$答案：$\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\sqrt{5}$60. $\\sqrt{18} \\cdot \\sqrt{3}$答案：$\\sqrt{18} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\sqrt{6}$61. $\\sqrt{32} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{32} - \\sqrt{8} = 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$ 62. $\\sqrt{24} - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{24} - \\sqrt{6} = 4\\sqrt{6} - \\sqrt{6} = 3\\sqrt{6}$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 2 + 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 = 5 +2\\sqrt{6}$64. $(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2$答案：$(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 = 2 - 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 = 5 - 2\\sqrt{6}$65. $(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})(\\sqrt{2} - \\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$66. $(\\sqrt{5} + \\sqrt{6})(\\sqrt{5} - \\sqrt{6})$答案：$(\\sqrt{5} + \\sqrt{6})(\\sqrt{5} - \\sqrt{6}) = 5 - 6 = -1$67. $3\\sqrt{2}(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})$答案：$3\\sqrt{2}(\\sqrt{2} - \\sqrt{3}) = 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} -3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} = 6 - 3\\sqrt{6}$68. $(\\sqrt{2}\\sqrt{5})(\\sqrt{3}\\sqrt{6})$答案：$(\\sqrt{2}\\sqrt{5})(\\sqrt{3}\\sqrt{6}) = \\sqrt{2\\cdot 5} \\cdot \\sqrt{3\\cdot 6} = \\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{18} = \\sqrt{180}$69. $\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}}$答案：$\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{4} = 2$70. $\\frac{\\sqrt{15}}{\\sqrt{5}}$答案：$\\frac{\\sqrt{15}}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{3}$71. $\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{6}}$答案：$\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{6}} = \\sqrt{3}$72. $\\frac{\\sqrt{50}}{\\sqrt{2}}$答案：$\\frac{\\sqrt{50}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{25} = 5$73. $\\frac{\\sqrt{35}}{\\sqrt{5}}$答案：$\\frac{\\sqrt{35}}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{7}$74. $\\frac{\\sqrt{40}}{\\sqrt{8}}$答案：$\\frac{\\sqrt{40}}{\\sqrt{8}} = \\sqrt{5}$75. $\\frac{\\sqrt{72}}{\\sqrt{18}}$答案：$\\frac{\\sqrt{72}}{\\sqrt{18}} = \\sqrt{4} = 2$第三部分：困难题（共25题）76. $\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} + \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} + \\sqrt{6} = \\sqrt{6} + \\sqrt{6} = 2\\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{11} - \\sqrt{77} = \\sqrt{7\\cdot11} - \\sqrt{77} = \\sqrt{77} - \\sqrt{77} = 0$78. $(\\sqrt{3} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{3} - \\sqrt{5})^2$答案：$(\\sqrt{3} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{3} - \\sqrt{5})^2 =4\\sqrt{3}\\sqrt{5} = 4\\sqrt{15}$79. $(\\sqrt{2} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{2} - \\sqrt{5})^2$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{2} - \\sqrt{5})^2 =4\\sqrt{2}\\sqrt{5} = 4\\sqrt{10}$80. $\\sqrt{2\\sqrt{2}}$答案：$\\sqrt{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{\\sqrt{2^2}\\sqrt{2}} =\\sqrt{\\sqrt{4}\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}\\sqrt{2} = 2$81. $\\sqrt{3\\sqrt{3}}$答案：$\\sqrt{3\\sqrt{3}} = \\sqrt{\\sqrt{3^2}\\sqrt{3}} =\\sqrt{\\sqrt{9}\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\sqrt{3} = 3$82. $\\sqrt{5\\sqrt{5}}$答案：$\\sqrt{5\\sqrt{5}} = \\sqrt{\\sqrt{5^2}\\sqrt{5}} =\\sqrt{\\sqrt{25}\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\sqrt{5} = 5$答案：$(\\sqrt{5} + \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\\sqrt{15} = 8 + 2\\sqrt{15}$84. $(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{6}$答案：$(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{6} = 2 - 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 + 2\\sqrt{6} = 5 + 2\\sqrt{6}$85. $3\\sqrt{2} - \\sqrt{8}$答案：$3\\sqrt{2} - \\sqrt{8} = 3\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = \\sqrt{2}$86. $2\\sqrt{3} + \\sqrt{12}$答案：$2\\sqrt{3} + \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}$87. $\\sqrt{8} + \\sqrt{72}$答案：$\\sqrt{8} + \\sqrt{72} = 2\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}$88. $\\sqrt{5}\\sqrt{10} - \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{5}\\sqrt{10} - \\sqrt{10} = \\sqrt{5\\cdot10} - \\sqrt{10} = \\sqrt{50} - \\sqrt{10} = 5\\sqrt{2} - \\sqrt{10}$89. $\\sqrt{3}\\sqrt{6} + \\sqrt{18}$答案：$\\sqrt{3}\\sqrt{6} + \\sqrt{18} = \\sqrt{3\\cdot6} + \\sqrt{18} =\\sqrt{18} + \\sqrt{18} = 2\\sqrt{18} = 6\\sqrt{2}$90. $\\sqrt{16} - \\sqrt{32}$答案：$\\sqrt{16} - \\sqrt{32} = 4 - 4\\sqrt{2} = 4(1 - \\sqrt{2})$91. $\\sqrt{12} - \\sqrt{20} + \\sqrt{5}$答案：$\\sqrt{12} - \\sqrt{20} + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{5} + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$92. $\\sqrt{7}\\sqrt{35} - \\sqrt{7}$答案：$\\sqrt{7}\\sqrt{35} - \\sqrt{7} = \\sqrt{7\\cdot35} - \\sqrt{7} =\\sqrt{245} - \\sqrt{7}$93. $\\sqrt{50} + \\sqrt{200} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{50} + \\sqrt{200} - \\sqrt{8} = 5 + 10\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 5 + 8\\sqrt{2}$94. $5\\sqrt{2} - 2\\sqrt{18} + \\sqrt{32}$答案：$5\\sqrt{2} - 2\\sqrt{18} + \\sqrt{32} = 5\\sqrt{2} - 2\\cdot3\\sqrt{2} + 4\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}$95. $\\sqrt{72} - \\sqrt{18} + \\sqrt{32} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{72} - \\sqrt{18} + \\sqrt{32} - \\sqrt{8} = 6\\sqrt{2} -3\\sqrt{2} + 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$96. $\\sqrt{3}(\\sqrt{15} - \\sqrt{5})$答案：$\\sqrt{3}(\\sqrt{15} - \\sqrt{5}) = \\sqrt{3}\\sqrt{15} -\\sqrt{3}\\sqrt{5} = \\sqrt{45} - \\sqrt{15} = 3\\sqrt{5} - \\sqrt{15}$97. $\\sqrt{2}(\\sqrt{16} - \\sqrt{8})$答案：$\\sqrt{2}(\\sqrt{16} - \\sqrt{8}) = \\sqrt{2}\\cdot4\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot2\\sqrt{2} = 8 - 4\\sqrt{2} = 4(2 - \\sqrt{2})$98. $\\sqrt{5}(\\sqrt{12} + \\sqrt{3})$答案：$\\sqrt{5}(\\sqrt{12} + \\sqrt{3}) = \\sqrt{5}\\cdot2\\sqrt{3} + \\sqrt{5}\\sqrt{3} = 2\\sqrt{15} + \\sqrt{15} = 3\\sqrt{15}$99. $\\sqrt{7}(\\sqrt{7} + \\sqrt{11})$答案：$\\sqrt{7}(\\sqrt{7} + \\sqrt{11}) = \\sqrt{7}\\cdot\\sqrt{7} + \\sqrt{7}\\sqrt{11} = 7 + \\sqrt{77}$100. $\\sqrt{8}(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})$答案：$\\sqrt{8}(\\sqrt{6} - \\sqrt{2}) = \\sqrt{8}\\cdot2\\sqrt{2} - \\sqrt{8}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$结束语本文共提供了100道二次根式题目及其答案。
13、二次根式的运算
二次根式的运算知识点1、二次根式的乘除法1、乘法法则：两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘作为积的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果ab b a b a =⋅≥≥那么有,0,0反之ab =b a ⋅0,0≥≥b a 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数积的算术平方根注：①这里的b a ,即可以是数，也可以是代数式，但都必须满足0,0≥≥b a ；②二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除作为商的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果b a ba b a =>≥那么有,0,0反之bab a =0,0≥≥b a 即两个非负数（除数不为0）的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
例2、二次根式除法计算知识点2、二次根式的化简1、最简二次根式的条件①根号内不含有开得尽方的因数或因式；②被开方的因数是整数，因式是整式：被开方数不含分母。
例3、最简二次根式的识别2、分母有理化（1）定义：二次根式除法的运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行。
把分母去根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称作这两个代数式互为有理化因式.（3）常见的有理化因式的形式a a 和，b a b a +-和，bn a m b n a m -+和注意：分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。
（4）分母有理化方法1）直接对ba分母有理化：法一：化为ba，然后分母有理化为b ab 法二：根据分式的性质，bab b ab ba==22）利用平方差公式法：()()aa a a+-+=111-11()()ba b a b a ba +-+=-1注：一个二次根式的有理化因式不唯一的，一般情况找最简单的。
二次根式基本运算(根式的乘除)-学生版
二次根式基本运算、分母有理化板块一 二次根式的乘除最简二次根式： 0a≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则=0a≥，0b ≥）二次根式的除法法则=0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、ba 、b 都非负，否则不成立，≠一、最简二次根式【例1】中，最简二次根式有____________________.【例2】 下列根式 ）A ．2个B ．3个C ．4个 D ．5个【例3】下列各式正确的是（）A 10b aB ．1=C =D ．=中考要求例题精讲【例4】 化简下列各式（字母均取正数）：2)x ≥．【巩固】把下列各式化成最简二次根式（1 （2 （3)0x ≥【例5】 若0abc <，且a b c >>【例6】 化简：【例7】)20x y >>【例8】 )0a ≥)00x y ≥，≥【例9】 已知：m n =，求m 的取值范围ab【例10】已a b=，10二、二次根式的乘除分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．【例11】把下列各式分母有理化：2【例12】化=（）A BC D．不同于A C的答案【例13】计【例14】 计【例15【例16】 计)000a b c >>>，，【巩固】计算：232xy【例17】 计算：【例18】【例19】计)00a b>>，等于（）ABCD．【例20】计【例21】已知长方形的面积2S=，相邻两边分别是a b，，且a=，求b。
【例22】若0x≠的最大值.1.下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．．A.1个B.2个C.3个D.4个2.化简：)0y x>>；3.)5a≥4.把下列各式分母有理化：⑴课后作业⑵⑶÷5.6.。
第1部分 第1章 第4节 二次根式
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
二次根式知识点总结及习题带答案
二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式计算题简单
二次根式计算题简单
二次根式计算题是数学中常见的一类题型，下面我将从多个角度给出一些简单的二次根式计算题的解答。
1. 计算√9：
答案是3，因为√9等于正数3。
2. 计算√16：
答案是4，因为√16等于正数4。
3. 计算√25：
答案是5，因为√25等于正数5。
4. 计算√2 + √2：
首先将√2 + √2化简为2√2，所以答案是2√2。
5. 计算√3 × √3：
根据乘法的性质，√3 × √3等于√(3 × 3)，即√9，答
案是3。
6. 计算√5 ÷ √2：
根据除法的性质，√5 ÷ √2等于√(5 ÷ 2)，即√(5/2)。
7. 计算(√7 + √3)²：
首先展开括号得到(√7 + √3)² = (√7 + √3)(√7 +
√3)。
再利用公式(a + b)² = a² + 2ab + b²，得到(√7 +
√3)² = 7 + 2√21 + 3。
所以答案是7 + 2√21 + 3 = 10 + 2√21。
8. 计算√(4 + 9)：
首先计算4 + 9 = 13，然后对13开平方根，得到√13。
以上是一些简单的二次根式计算题的解答，希望能够帮到你。
如果还有其他问题，请随时提问。
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第21章《二次根式》单元测试题姓名：班级：（满分100分）得分：
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（）
A
、B、C、(a≥1) D、
2．二次根式(-3)2的值是（）
（A）-3（B）3或-3 （C）3 （D）9
3．下列各式计算正确的是（）
（A）23+42＝6 5 （B）27÷3＝3 （C）33+32＝3 6 （D）(-5)2＝-5
4）
（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④
5．x）
（A）x＞1 （B）x≥1 （C）x＜0 （D）x≤0
6．计算8－（1－2）的结果是（）
（A）32-1 （B）32＋1（C）2-1 （D）2＋1
7．已知实数a、b）
（A）非负数（B）正数（C）负数（D）以上答案均不对
8．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为（）
（A）（B）19 （C）19 （D）181
9．一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23cm，b＝36cm，那么这个直角三角形的
面积是（）
（A）8 2 （B）7 2 （C）9 2 （D） 2
10．是整数，则正整数n的最小值是（）
（A）3（B）7 （C）21 （D）189
二、填空题（每题4分，共24分）
11．①(23)2＝；②0.52＝ .
12．比较大小：4 3 5 2 ；
13. 图1是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B
→C所走的路程为_____________m．（结果保留根号）
14．若1＜x＜2，则化简= .
15．20
x y
+-=，则_________
x y
-=．
16a，小数部分是b，计算的值为_________。
三、解答题：(46分)
21．化简：（6分）（1）500 （2）n
m2
18
22．计算（20分）
（1）(8＋23)× 6 （2）(80- 40)÷5
（3）（23+6）（23-6）（4）
24．（8分）已知2
x=求代数式246
x x
--的值是多少
26．（12分）阅读并完成下面问题：
①1
2
)1
2
)(
1
2
(
)1
2
(
1
2
1
1
-
=
-
+
-
⨯
=
+
②;2
3
)2
3
)(
2
3
(
2
3
2
3
1
-
=
-
+
-
=
+
③2
5
)2
5
)(
2
5
(
2
5
2
5
1
-
=
-
+
-
=
+
试求：（1）
6
7
1
+
的值；（2）
17
2
3
1
+
的值；（3）
n
n+
+1
1
（n为正整数）的
值。
b O
)
32
3
1
2
5.0
(
)
48
8
1
(-
-
-
-
2012
2013—2011
2012—
2
2)
1(
)2
(x
x-
-
-
图1
181
3x1-
a2
-
a。