2015-2016高中数学必修2期中考试题

2015-2016高中数学必修2期中考试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）
A.3
B.-2
C. 2
D. 不存在 2．右面三视图所表示的几何体是( )．
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．五棱锥
D ．六棱锥
3．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2
B ．
2
1
C ．－2
D ．－
2
1 4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ）
A ．2
3
-
B ．32-
C ．3
2 D ．2
5．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )．
A ．(－2，4)
B ．(2，－4)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
7. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( )
（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④
8. 圆2
2
(1)1x y -+=与直线3
3
y x =
的位置关系是（ ） A ．相交 B . 相切 C .相离 D .直线过圆心
9. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为（ ）
正视图
侧视图
俯视图
A ．－1
B ．2
C ．3
D ．0
10、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积是 （ ）
A 25π；
B 、50π；
C 、125π；
D 、都不对。

11．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与DB 所成 的角可以表示为( )．
A ．∠D'D
B B ．∠AD' C'
C ．∠ADB
D ．∠DBC'
12． 圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝2被x 轴截得的弦长等于( )．
A ． 1
B ．
2
3
C. 2 D ． 3
二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ．
14．已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且AP=2,则PC ＝ 15．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．
16．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 三、解答题（共6道题，共70分）
17．（本题10分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；
现有制作这种纸篓的塑料制品50m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？
C B
A
D A '
B '
C '
D ' (第11题)
A
B
C D
D 1
C 1
B 1
A 1
(第15题)
18．（本题10分）已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．
(1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．
19（本题12分）光线自点()2,3M 射到点()1,0N 后被x 轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程。

（请用直线的一般方程表示解题结果）
20.（本题12分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截得 弦长为72的圆的方程．
21．（本题12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．
(1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；
(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．
22.（本题14分）已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数， 且与直线4x ＋3y －29＝0相切．
(1)求圆C 的方程；
(2)设直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； (3) 在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦 AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
A
C
P
B
D
E
(第20题)
17．解：)('2'rl l r r S ++=π-----------1分
=)5020501515(2⨯+⨯+π =0.1975)(2m π----------3分
≈=
S
n 50
80（个）-------5分 答：（略）--------6分
18．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点 (0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0．
(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是
3
2，－2，所以直线l 与两坐标轴围成
三角形的面积S ＝21
·3
2·2＝332．
19、解：如图，设入射光线与反射光线分别为1l 与2l ， 11,M l N l ∈∈ 由直线的两点式方程可知：1030:
121
y l x --=--——3分 化简得：1:330l x y --= ——————4分 其中13k =， 由光的反射原理可知：12∠=∠ 213k k ∴=-=-，又2N l ∈ —————8分 由直线的点斜式方程可知：
()
2:031l y x -=--
—————————————————————————10分
化简得：2:330l x y +-= ——————————————————————12分 20．解：由已知设圆心为（a a 3,）--------1分
与x 轴相切则a r 3=---------2分
圆心到直线的距离2
2a d =
----------3分
y
x
()1,0N
()2,3M
1l
2l
1∠ 2∠
弦长为72得：22
92
47a a =+-------4分 解得1±=a ---------5分
圆心为（1，3）或（-1，-3），3=r -----------6分 圆的方程为9)3()1(22=-+-y x ---------7分 或9)3()1(22=+++y x ----------8分
21．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥P A ．
因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．
(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ． 所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，
所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，
所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，
所以二面角P —AB —C 的大小为45°． 22．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．
由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5
294-m ＝5，
即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．
故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．
(2)直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．
由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0，
A
C
P
B
D
E
(第20题)
即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞
12
5． 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(
12
5
，＋∞)． (3)设符合条件的实数a 存在，由(2)得a ≠0，则直线l 的斜率为－a
1
，l 的方程为y ＝－
a
1
(x ＋2)＋4， 即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝
43．由于43∈(125，＋∞)，故存在实数a ＝4
3
，使得过点 P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ．。