电路chapter 4(2)

(c)
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(d)
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例 求ab端的等效电感。
a
L1
b (a)
a
M L2
a
T形等效为
b
a
L ab =
L1-M M
(b)
L2-M
( L1 − M )( L 2 − M ) +M ( L1 − M ) + ( L 2 − M )
三、T形去耦等效电路 当两个耦合电感线圈有一端相连接时： L1-M i1 M i2
等效为
L2-M i1+i2
u1
L1
(a)
L2
u2
u1
i1
M
i2
u2
(b)
di d i1 di d i1 d i 2 + M 2 = ( L1 − M ) 1 + M + dt dt dt dt dt d i2 d i2 d i1 d i1 d i 2 +M = ( L2 − M ) + M u 2 = L2 dt + dt dt dt dt L1+M L2+M i1 M i2 等效为 i1+i2 i2 i1 u1 -M u2 L2 u2 u1 L1 u1 = L1
jωM
1 & & & =0 R2 I 2 − j I 2 +U 2 ω C2
& U S
−j
jωL
1 ω C1
& U 1
1
jωL
& U 2
& I 2
2
耦合电感VAR，得
& = jω L I & & U 1 1 1 − jω M I 2 & = jω L I & & U 2 2 2 − jω M I 1
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Φ11 Φ22 一、耦合电感 耦合电感(互感)是实际互感线圈的理 Φ21 Φ12 想化模型。工作原理是单个电感的延伸。 图中两个靠近的线圈，线圈1 有N1匝，线圈2有N2匝。 当线圈1中通电流 i1时，在自身中 i2(t) 激发磁通Φ11，称自磁通；其中有 i1(t) 一部分也通过N2 Φ21，称为互磁通。 在线圈密绕的情况下，穿过各 自线圈中每匝的磁通相同，故与 两线圈交链的磁链有 N2 Ψ11 =N1 Φ11 =L1 i1 N1 Ψ21 =N2 Φ21 =M21 i1 Ψ11 ，L1称线圈1的自磁链和自感； Ψ21 ， M21称线圈1电流i1对线圈2 的互磁链和互感。 同样，线圈2中通电流i2时，有Ψ22 =N2 Φ22 =L2 i2， Ψ12 =N1 Φ12 =M12 i2
a
i1 u1
i2 u2
c
a L1 b
M L2
c d
b
d
哪些是同名端？
若i1从a端流入， i2从c端流入，磁通相助；故a、c为同名端， 用“●”标出。电路模型如右图。 显然，b、d也是同名端。 a、d为异名端， b、c也是异名端。
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Ψ12 N1 L1 Ψ11 M = = = = = Ψ 21 Ψ 22 N2 M L2
L1 L2
由全耦合得 到！
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（1）变压特性： 如图互感的VAR为
i2 u2
T形等效为
(d)
a
L1
L1+M
b
L2+M -M
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b
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四、互感电路的正弦稳态分析
& = jω L I & & U 1 1 1 ± jω M I 2 & = jω L I & & U 2 2 2 ± jω M I 1
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对于线性电路，可以证明 M12 = M21 =M， 其单位与自感相同，为亨(H)。 工程上，为了描述两线圈的耦合松紧程度，将两线圈互 磁链与自磁链之比的几何均值定义为耦合系数k，即
Ψ11 =N1 Φ11 =L1 i1， Ψ21 =N2 Φ21 =M21 i1 Ψ22 =N2 Φ22 =L2 i2， Ψ12 =N1 Φ12 =M12 i2
判断磁通相消还是相助，除与线圈上电流的方向有关外，还与两线圈的 相对绕向有关。
实际中，耦合线圈密封，且电路图中不便画出。为此，人们 规定一种称为同名端的标志。根据同名端和电流的参考方向 就可判定磁通相助还是相消。
同名端的规定：当电流从两线圈各自的某端子同时流入(或同时流出) 时，若两线圈产生的磁通相助，则称这两个端子是耦合电感的同名端， 并标记号“●”或“*”。
u 2 = L2 d i2 di + ? M 1 dt dt
u1
L1
dt
? - M dt
(2)判断电流是否同时流入 同名端。图(a)是。取“+”。
− u 2 = L2
d i2 dt
d i1 M ? dt
(2) 电流同时流入异名端。故取“-”
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k=
def
Ψ 21 Ψ12 • Ψ11 Ψ 22
将前面的有关式子代入，得：
k=
Φ 21 Φ 12 = • Φ 11 Φ 22
M L1 L2
由于Φ21 ≤ Φ11 , Φ12≤ Φ22 ， 故 0 ≤ k ≤ 1，M2 ≤L1L2 当k = 0时，M = 0，两线圈互不影响，称无耦合； 当k = 1时， M2 = L1L2 ，称为全耦合。
这时，两线圈的总磁链分别为 Ψ1 = Ψ11 - Ψ12 = L1 i1- M i2 Ψ2 = Ψ22 - Ψ21 = L2 i2- M i1
两线圈电压为 d Ψ1 d i1 d i2 u1 (t ) = = L1 −M dt dt dt d Ψ2 d i2 d i1 u 2 (t ) = = L2 −M dt dt dt
a
i1 u1
i2 u2
c
a L1 b
M L2
c d
b
d
哪些是同名端？
若i1从a端流入， i2从c端流入，磁通相消；故a、c为异名端， 而a、d为同名端，用“●”标出。电路模型如右图。 显然，b、c也是同名端。 b、d是异名端。
综上所述，在端口电压、电流均取关联参考方向的前提下，其VAR为：
d i1 d i2 u1 = L1 ±M dt dt d i2 d i1 ±M u 2 = L2 dt dt
i1(t) u1(t)
N1
i2(t
u2(t
N2
上分析表明：耦合电感上的电压等 于自感电压与互感电压的代数和。 在线圈电压、电流参考方向关联的 条件下，自感电压取“+”； 当磁通相助时，互感电压前取“+”； 当磁通相消时，互感电压前取“-”。
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互感VAR的相量形式为
例1 如图电路，已知R1 = R2 = 10Ω，L1 = 50.5μH， L2 = 50μH， M = 0.5μH，C1 = C2 = 50pF，US = 10V， ω= 2×107rad/s，初相 为0，求 I&1和 I&2。 & R1 解 列回路KVL方程得 I R2 1
& +U & −j R1 I 1 1 1 & & =0 I1 − U S ω C1
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二、互感的伏安关系 如图所示两耦合线圈，都通 电流后，其自磁通与互磁通方 向一致，称为磁通相助。 各线圈中的总磁链包含自磁 链和互磁链两部分。在磁通相 助的情况下，两线圈的总磁链 分别为 Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 = L1 i1+ M i2 Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 = L2 i2+ M i1 设两线圈电压、电流参考方 向关联，则根据电磁感应定 律，有 dΨ di
L1 L 2 − M 2 = L1 + L 2 − 2 M
L1
b
M L2
(c)
T形等效为
b
L1+M -M
L2+M
L ab =
( L1 + M )( L 2 + M ) −M ( L1 + M ) + ( L2 + M )
L1 L 2 − M 2 = L1 + L 2 + 2 M
a
i1 u1
M L2
(e)
式中，当两电流同时从同名端 流入时，互感电压项前取“+”； 否则，两电流同时从异名端同 时流入时，互感电压项前取“-”。
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例 写出下列互感的伏安关系：
i1 u1
L1
(a)
M L2
i2 u2
i1 u1
L1
M L2
(b)
1 1
i1(t) u1(t)
N1
i2(t)
u2(t
N2
d i2 = L1 +M u1 (t ) = dt dt dt d Ψ2 di di = L2 2 + M 1 u 2 (t ) = dt dt dt