分解因式5
分解因式的常见方法及例题
知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.知识点4 分组分解法(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) a m+bm+a n+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2a x-5by+2a y-5bx.知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)一、例题剖析本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)a x-a y=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(a x+by)2+(a y-bx)2；(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).(3)(a x+by)2+(a y-bx)2=a2x2+2a bxy+b2y2+a2y2-2a bxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)=(a2+b2)(x2+y2).(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1=(a2-2a b+b2)-(c2+2c+1)=(a-b)2-(c+1)2=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)]=(a-b+c+1)(a-b-c-1).小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式；(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x 2-4y 2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代入③中得x+2y=5，④∴原方程组化为⎩⎨⎧=-=+②④,12,52y x y x②+④得2x=6，∴x=3.②-④得4y=4，∴y=1.∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,3y x例7 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状.解：∵a2+b2+c2-a b-a c-bc=0，∴2a2+2b2+2c2-2a b-2a c-2bc=0.即(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.由平方的非负性可知，∴a=b=c.∴这个三角形是等边三角形.例8 利用因式分解计算下列各题.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.解：(1)234×265-234×65=234×(265-65)=234×200=46800.(2)992+198+1=992+2×99×1+1=(99+1)2=1002=10000.例9 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .(分析) 完全平方式是形如：a2±2a b+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，∴±kxy=2·3x·6y=36xy.∴k=±36.例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- .(分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即b a b a b a b a ba +-+=+-))((22=a -b(a +b ≠0).解:原式=65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++ (20042003)20042003)(20042003(+-+=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)=(-1)×(2004÷2)=-1002.例11 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( )A.2个B.3个C.4个D.6个(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x 2+(p+q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.(分析)把x 4+x 2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构. 解：令x 4+x 2=m ，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m 2-m-12+10=m 2-m-2=(m-2)(m+1)=(x 4+x 2-2)(x 4+x 2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).二、课堂练习分解因式.(1)(x+y)2-9y2； (2)a2-b2+a+b；(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2； (4)(a b+b)2-(a+1)2；(5)(a2-x2)2-4a x(x-a)2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.（7）已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.（8）已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.三、课后练习1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= .7.利用因式分解计算：2224825210000= .8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 .10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.利用因式分解计算19992+1999-20002.12.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.13.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.14.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.。
因式分解方法
初二数学第三讲 因式分解之十字相乘法知识点归纳 ：1、十字相乘法：1）、使用十字相乘法把二次三项q px x ++2因式分解，如果常数项q 分解成a 、b 两个因数的积，并且a ＋b 等于一次项系数p ，那么二次三项式))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++2）、使用十字相乘法把二次三项式c bx ax ++2分解因式，如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式：))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++借助于画十字交叉线排列如下：赛场回顾例1 分解因式：x 2+5x+6赛前热身（1）x 2-7x+6 （2）x 2-6x+8（3）x 2-5x+6 （4）x 2+7x-8例2 分解因式6x 2-7x+2赛前热身 （1）12x 2-11x-15（2）-6x 2+12-x例3 分解因式 6x 2-7xy+2y 2 赛前热身（1）x 2+144y 2-25xy（2）12x 2-19xy+7y 2例4 x 2 + 2xy-3y 2+3x+y+2赛前热身 分解因式（1）6x 2-5xy-6y 2+2x+23y-20（2）x 2+2xy+y 2+3x+3y+2例5 分解因式X2-6xy+9y2-5xz+15yz+6z2赛前热身（1）2x2-6y2+3z2-xy+7zx+7yz（2）已知a、b、c为三角形的三条边，且a2+4ac+3c2-3ab-7bc+2 b2=0 求证：2b=a+c.例6 分解因式x2+3xy+2y2+2x+4y赛前热身（1）分解因式：x2-y2+5x+3y+4（2）m为什么数量，x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解为两个一次因式的积？挑战决赛分解因式（1）x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q) （2）x2-2xy-8y2-x-14y-6（3）x2-3y2-8z2-2xy+7xz+11yz因式分解（4）（分组分解：添项裂项）知识归纳：分组三步曲：1、将原式的项适当分组；2、对每一组进进处理（“提”或“代”）；3、将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解。
因式分解解答题 (5)
因式分解解答题
1．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x ﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920或201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当x＝31时可以得到密码283238，求m，n的值．
【分析】（1）当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，代入x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）即可；
（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），则有即可求m、n．
【解答】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），
当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，
形成的数字密码可以是211428、212814、142128、142821、282114或281421（任写4个即可）；
（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
因为（x﹣3）（x+1）（x+7）＝x3+5x2﹣17x﹣21，所以，
解得，
故m，n的值分别是56，17．
【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
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因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
5 因式分解技巧与方法 八年级数学
五 添项、拆项法
例6 ：x 3x 4 3 2 x 1 3x 3
3 2
拆项
( x 1) 3( x 1)
3 2
( x 1)(x x 1) 3( x 1)(x 1)
2
( x 1)(x 2 x 1 3x 3)
( x 1)(x 4x 4)
练习：分解因式
(1) x3-8y3 (2) a5-a3b2+a2b3-b5 (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4
四 待定系数法
将要分解的式子变换成方程，想办法找出方程的解。
例5：x2+x-2
变换得方程，x2+x-2=0。该方程有一解为x=1 那么x2+x-2必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2。
练习：分解因式
1) x３-x２+x-1
2) xy＋6－2x－3y
3) 5ax+5bx-3ay-3by 4) x2-7xy-5x+35y 5) 18a2-32b2-18a+24b 6) 3a3b2c－6a2b2c2＋3ab2c3
练习：分解因式 1) a x 6ax 9
2 2
2) a 2 2ab b 2 c 2 3 2 2 3 3) x x y xy y 4) 4a x 4a y b x b y
3 3 2 2 a -b =(a-b)(a +ab+b )
把一个多项式化成几个整式积 的形式，这样的式子变形叫把这 这个多项式因式分解，也叫把这 个多项式分解因式。 例：x2-1=(x+1)(x-1)
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
(完整版)因式分解公式大全
公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q 进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制 0, 18进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数R为外接圆半径 a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各正三角正方形正五边形正六边正n边量形形形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
因式分解的常用方法7种
因式分解的常用方法(7种)把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式) 因式分解X2-1 ---------- * (X+1)(X-1)I y整式乘法一■、提公因式法.：ma+mb+mc = m(a+b+c)如何找公因式？(1)取各项系数的最大公约数；(2)取各项都含有的相同字母；(3)取相同字母的最低次赛.二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)(a+b)(a-b) = a2-b2(2)(a±b)2 = a2±2ab+b2(3)(a+b)(a2-ab+b2) = a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3= a3+b3(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3= a3-b3下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b) 2+2(a+b)c +c 2=[(a+b)+c] 2=(a+b+c) 2 ；(6)a3+b3+c3-3abc=(a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2) + (a2b+b3+bc2-ab2-b2c-abc) + (a2c+b2c+c3-abc-bc2-c2a) = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知a，b, c是A ABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则A ABC的形状是() 人.直角三角形8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca n 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 = 2 ab + 2 bc + 2 can (a一b)2 + (b一c)2 + (c一a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解经典实例及解析50题(打印版)
12.(分解因式)：4小瓶—4十九—炉机+人2九
解：原式=4q2(m 一九)一炉(加一九)
=(4。2 —》2)(加—九)
=(2Q + b)(2α —
一九)
13.(分解因式)：%(% - 2) -(y + l)(y - 1) 解：原式二%2 - 2% - V + 1 二(/ - 2% + 1) -y2 = (% — I)? — y2 =(% — 1 + y)(% - 1 - y)
10.(分解因式)：/ 一 4孙+ 8y + 4y2 一轨 解：原式二(/ - 4%y + 4y2) + (8y - 4%) =(% — 2y7 — 4(% — 2y) =(% - 2y)(% - 2y - 4)
11.(分解因式)：％4 - 2/ + %2 - 36 解：原式=%2(%2 一 2% + 1) - 36 =%2(χ - 1)2 — 36 = [%(% — 1) + 6] [%(% — 1) — 6] =(%2 — % + 6)(%2 _ % _ 6) =(%? — % + 6)(% — 3)(% + 2)
二.答案解析
L（分解因式）：α% — b% + αy — by 解：原式=%（α - b） + y（α - b）
=(α-b)(% + y)
2.(分解因式)：2mα — IOmb + 5献)一九Q 解：原式=2m(α — 5b)—九(G — 5b) =(2租 一 九)(Q _ 5b)
3.(分解因式)：/ — %y + * - yz 解：原式二%(% - y) + z(% - y) 二(% + z)(% — y)
因式分解的9种方式
因式分解的多种方式----知识延伸，向竞胜过度1. 提取公因式：这种方式比较常规、简单，必需掌握。
常常利用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x 解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对咱们后面的学习有帮忙。
2. 公式法常常利用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：利用公式法前，部份题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的大体方式，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方式的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，别离写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，别离写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方式表示下列四种情况：通过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，若是二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，取得a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以够分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方式要多实验，多做，多练。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
因式分解50题
因式分解50题一．解答题（共50小题）1．因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．2．分解分式：m2﹣3m．3．因式分解：2x2﹣4x．4．因式分解：（x﹣1）（x+4）+4．5．分解因式：（1）3m（b﹣c）﹣2n（c﹣b）（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．6．（1）计算：（﹣2x2y3）2•（x﹣1y）3（2）分解因式：（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）7．因式分解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）；（2）8x2﹣2（x﹣y）2．8．因式分解：（2a﹣b）（3a﹣2）+b（2﹣3a）9．因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）10．分解因式：（2m+3n）（2m﹣n）﹣n（2m﹣n）11．已知：x+y＝6，xy＝4，求下列各式的值（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2；（3）x2y+xy2．12．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy13．分解因式：x2﹣9+3x（x﹣3）14．ax2+2a2x+a3．15．因式分解：9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）216．把下列各式因式分解（1）a（x﹣y）+b（x﹣y）（2）（x+1）（x﹣1）﹣317．因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay218．因式分解：4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）19．因式分解：2x3﹣24x2+54x．20．因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．21．将下列各式分解因式（1）x4+x3+x（2）x（x﹣y）+2y（y﹣x）22．分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）23．因式分解：6p（p+q）﹣4q（p+q）．24．因式分解（1）x2﹣9；（2）（x2+4）2﹣16x2．25．分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．26．分解因式：x4﹣（3x﹣2）2．27．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m．28．因式分解：2m（2m﹣3）+6m﹣1．29．因式分解：（1）16x2﹣9y2（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．30．（2x+5）2﹣（2x﹣5）2．31．分解因式：（Ⅰ）4a2﹣b2（Ⅱ）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 32．分解因式：（1）﹣x2﹣4y2+4xy（2）（x﹣1）2+2（x﹣5）33．分解因式：9（x+y）2﹣（x﹣y）2．34．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝．35．因式分解（x2+4y2）2﹣16x2y236．分解因式：m2﹣（2m+3）2．37．因式分解：4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．38．分解因式：（x+2y）2﹣6x（x+2y）+9x2．39．分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．40．（1）2x2+2y2﹣6xy（2）x2﹣y241．把下列多项式因式分解：（1）x2﹣9；（2）4x2﹣3y（4x﹣3y）．42．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）．43．因式分解：25x2﹣9（x﹣2y）244．因式分解：a2+2a（a+1）+（a+1）245．分解因式：（x+2）（x﹣6）+16．46．因式分解：（1）x2﹣6x+9；（2）m2﹣n2+（m﹣n）．47．因式分解：（1）（x+3）2﹣16；（2）x4﹣18x2+81．48．因式分解：9x2﹣6x+1．49．因式分解：（x+y）2﹣4（x+y﹣1）50．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）2因式分解二一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）2x2﹣8．（2）（y+1）（y+2）+．2．因式分解：（1）a3﹣2a2+a；（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．3．因式分解：（1）ax2﹣4a；（2）x（x﹣6）+9．4．因式分解：（1）3a2﹣27；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．5．因式分解（1）x3﹣4x2+4x（2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）6．分解因式：（1）9x2﹣1．（2）4xy2﹣4x2y﹣y3．7．分解因式：（1）4x2﹣12x+9；（2）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）．8．分解因式：（1）3x2﹣27y2；（2）4x2y+y3﹣4xy2．9．把下列各式分解因式：（1）4x2y﹣4xy2+y3；（2）x4﹣1．（1）36﹣25x2；（2）x2y﹣4xy﹣5y．11．因式分解：（1）a2﹣ab；（2）2x2﹣2．12．因式分解：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）（m﹣n）3+4（n﹣m）13．因式分解：（1）﹣2x2+4x﹣2；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）．14．因式分解：（1）4a2﹣9；（2）2x2y﹣8xy+8y．15．因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2；（2）（x+2y）2﹣x2．16．分解因式：（1）4x2﹣36；（2）（x﹣2）2﹣2x+4．17．分解因式：（1）a3b﹣ab3；（2）3a2﹣12a+12．18．分解因式：（1）a2+2a；（2）x2﹣16．19．分解因式：（1）2x2﹣18；（2）a2﹣4ab+4b2﹣9．（1）xy﹣x+y﹣1；（2）a（a﹣2b）+（b﹣1）（b+1）．21．因式分解：x2﹣4xy+4y2﹣1 22．因式分解：2x2﹣4xy+3x﹣6y 23．因式分解：（1）1﹣x2+2xy﹣y2（2）25（x+y）2﹣36（x﹣y）2 24．3ax﹣18by+6bx﹣9ay25．分解因式：x3﹣2x2﹣3x26．因式分解：（1）x2﹣4x﹣12（2）a3﹣4a2+4a27．（1）因式分解：x3﹣4x；（2）x2﹣4x﹣1228．因式分解（1）x2﹣x﹣6；（2）ax2﹣2axy+ay229．分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．30．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）31．因式分解（1）2mx2﹣8my2（2）a2﹣6a﹣2732．因式分解：x2+x﹣233．分解因式：（1）2a2﹣8（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3 34．因式分解：3x2﹣12x+935．3x3﹣24x2+48x．36．（m2﹣2m）2﹣3（m2﹣2m）﹣4．37．因式分解：（1）a4﹣5a2﹣36；（2）x2﹣4x+4﹣4y2 38．因式分解（1）2x2﹣7x+3；（2）6x2﹣7x﹣5（3）5x2+6xy﹣8y239．分解因式：a3+7a2b﹣18ab2．40．分解因式：x+12﹣x2．41．因式分解：x4﹣3x2+1．42．因式分解：2a4﹣20a2+18．43．分解因式：（x+y）2﹣5（x+y）﹣644．因式分解（a）y2﹣3y﹣18（b）（x﹣1）2﹣3x﹣15．45．把下列各式因式分解：（1）x2+3x﹣130；（2）6y2+19y+15；（3）x2﹣9xy﹣36y2；（4）2a2x2﹣abxy﹣3b2y2；（5）10（x+2）2﹣29（x+2）+10；（6）（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．46．（a）因式分解x2+8x+15（b）由此因式分解（a﹣100）2+8（a﹣100）+15．47．因式分解（1）6x2﹣7x+2；（2）x4﹣13x2+36；（3）（x2+7x+6）（x2+5x+6）+x2．48．分解因式：（1）x2+3x+2；（2）x2﹣x﹣20；（3）2x2﹣5x+2；（4）6x2﹣5x+1．49．分解因式：（1）x2+6x+8；（2）8a3﹣b3；（3）x2﹣2x﹣1；（4）4（x﹣y+1）+y（y﹣2x）50．分解因式：（1）x2y2+5xy﹣6；（2）x4+11x2y2﹣12y4；（3）x2+4xy+x+2y+4y2﹣6；（4）（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2；（5）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12；（6）（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1；（7）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）﹣8；（8）（a2﹣2a）2﹣7（a2﹣2a）﹣8．。
因式分解十大忌
因式分解十大忌山东于秀坤学习了因式分解，感觉掌握如何？分解因式时会出现错误吗？为了帮助大家学好因式分解，现就分解因式易出现的一些错误剖析如下.1.忌走回头路例1 分解因式x4-16.错解：x4-16=(x2+4)(x2-4)=x4-16.剖析：分解因式是将和的形式,变成和原来多项式值相等的几个整式的积的形式,即等式的左边是和的形式,右边是整式的积的形式.错解走回头路，把分解后的结果又进行了整式的乘法运算，走了“回头路”.正解：x4-16=(x2+4)(x2-4)= (x2+4) (x+2)(x-2).提示：避免走回头路的关键是理解因式分解的概念.2.忌有而不提例2 分解因式81x2-54x+9.错解：81x2-54x+9=(9x-3)2.剖析：分解因式时,如果有公因式,首先要提取公因式,本题没有提公因式而出现分解不彻底. 正解: 81x2-54x+9=3(3x-1)2.提示：分解因式时，要保证结果中的每个因式都不含有公因式.3.忌提后丢项例3分解因式12x2y-8xy2+4xy.错解：12x2y-8xy2+4xy=4xy(3x-2y).剖析：在提取公因式式,如果一个多项式有n项,则提取公式后,剩下的项数仍为n项.错解在提取公因式后最后一项应剩下1,而不是0.正解:12x2y-8xy2+4xy=4xy(3x-2y+1).提示：原多项式有几项，提出公因式后还是是几项.4.忌提而不尽例4 分解因式:6(x-y)2-12(x-y).错解：6(x-y)2-12(x-y)=3(x-y)(2x-2y-4).剖析：在利用提取公因式分解因式时,要将公因式提尽,即每个多项式都不能再有公因式可提.错解在没有将公因式提尽.正解：6(x-y)2-12(x-y)=6(x-y)(x-y-2)提示：分解因式最后的结果是每个因式中都不能再含有公因式.5.忌提而不合例5 分解因式x(x-y)(x+y)-x(x+y)2.错解：x(x-y)(x+y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)].剖析：在分解因式时,如果能合并同类项的一定要合并同类项.上面的解法没有合并同类项.分解也就不彻底.正解：x(x-y)(x+y)-x(x+y)2=-2xy(x+y).提示：当分解后的结果中含有中括号，则应去掉中括号.6．忌因式非整式例6 分解因式x4-1.错解：x 4-1=x 2(x 2-21x )=x 2(x+x 1)(x-x 1).剖析:错解在没有正确理解因式分解的定义.因式分解是把多项式化为整式的积,而变形中的x 1不是整式,故此变形不叫因式分解.正解: x 4-1=(x 2+1)(x 2-1)(x 2+1)(x+1)(x-1).提示:分解因式其结果一定是整式的积的形式.7.忌顾此失彼例7 分解因式-2a 2+8ab-8b 2.错解:-2a 3+8a 2b-8ab 2=2a(-a 2+4ab-4b 2).剖析:分解因式时,如果第一项出现负号,一般要将负号提出.本题由于没有将负号提出,出现了分解没有到底的错误.正解: -2a 3+8a 2b-8ab 2=-2a(a 2-4ab+4b 2) =-2a(a-2b)2.提示:当多项式第一项是负号时,提取负号,柳暗花明.8.忌变形不等例8分解因式21a 2-ab+21b 2. 错解:21a 2-ab+21b 2=a 2-2ab+b 2=(a-b)2.剖析:因式分解是将多项式和的形式转化为几个整式的积的形式,是一种值不改变的变形.不同于解方程的去分母.错解是思维混乱,将分解因式与解方程的变形混淆.正解: 21a 2-ab+21b 2=21(a 2-2ab+b 2)=21(a-b)2.提示:因式分解不改变原多项式的值,即分解因式是恒等变形.9.忌张冠李戴例9 分解因式9a 2-4b 2.错解: 9a 2-4b 2=(3a-2b)2.剖析:记住平方差公式和完全平方式是利用公式法分解因式的关键.错解在混淆两种公式,出现了张冠李戴现象.正解: 9a 2-4b 2=(3a+2b)(3a-2b).提示:当多项式是两项时,注意思考平方差公式的应用,当是三项时,思考完全平方公式的应用.10. 忌符号出错例10分解因式-x 2y+2xy+3y.错解：-x 2y+2xy+3y=-y(x 2+2x-3)=-y(x-1)(x+3).分析：提取的公因式带负号，括号中各项都要变号.上面错在提取后有一项未变号. 正解：-x 2y+2xy+3y=-y(x 2-2x-3)=-y(x+1)(x-3).提示:符号作用大,变形想着它.。
多项式的因式分解5(十字相乘法)
，
并且绝对值较大的一个与p符号相同源自，使a+b=．
例2、分解因式
① x2y2－2xy－15 ② (a＋b)2－3(a＋b)＋2 ③x3－3x2y＋2xy2 ④ a4－7a2＋6
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3) (4)
m4+4m2－12 x2y2－13xy+36 x2－6xy+8y2 (a+b)2－(a+b)－12
把2x 7 x 6分解因式
2
练习： 分解因式
(1) 3x 11x 10
2
(2) 5x 6 x 8
2
(3) 7x 16 xy 15 y
2
2
二次项
x x
+2 +3 +3x =
)(
常数项
一次项
所以
+2x
x2＋5x＋6= (
)
这种分解因式的方法叫做
“十字相乘法”
十字相乘法的要领是：“头尾 分，交叉乘，凑中间，多试验”. 最后横写因式.
例、把下列各式分解因式： （1）x +3x+2
2 2
（2）x －7x+6
2
2
（3）x －4x－21 （4）x +2x－15 x 解： （1）原式= （x+1）（x+2） x x （2）原式= （x-1）（x-6） x （3）原式= （x+3）（x-7） x x x x
x2+5x+6 x2－7x+12 x2－5x－6 x2+x－12
你能用什 么方法将 这类题目 做得又快 又准确的 呢？
归纳：(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
因式分解
考点、热点回顾因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=- 2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a ac c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解：323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．课后练习1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+- (5) 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 3．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．。
2020年因式分解竞赛题含答案
2020年因式分解竞赛题含答案作者：夏威夷松鼠二、知识点回顾：1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b) (a~b)；(2)a2±2ab+b2= (a + b)2；(3)a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b) (a2+ab+b2)・下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= (a+b+c)"；(6)a J+b3+c3-3abc= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab~bc-ca)；(7)a n-b n= (a~b) (a n_l+a n_2b+a n'3b24-• •+ab n_2+b n_1)其中n 为正整数;(8)a n~b n= (a+b) (a n l-a" 2b+a n 3b2-<**+ab n_2-b n *),其中n 为偶数;(9)a n+b n=(a+b) (a n *-a n 2b+a n 3b2-**—ab" 2+b"'),其中n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.三、专题讲解例1分解因式:(l)-2x5n-l y n+4x3n_,y n+2-2x n_,y nM；(2)x3-8y3-z3~6xyz；解⑴原式二-2x” 1y n(x1n-2x2ny2+y1)=-2x nl y n[ (x2n) 2-2x2ny2+ (y2)2]=-2x n x y n (x2n-y2)2=-2x" !y n (x n-y)2 (x n+y)2.(2)原式二x'+ (-2y)3+ (-z) 3-3x (-2y) (-Z)= (x-2y-z) (x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)・例2分解因式：a；!+b3+c3-3abc・本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)・分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a~b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3= (a+b) 3-3ab (a+b)・这个®式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b)'-3ab (a+b) +c3-3abc=[(a+b)3+c‘] -3ab(a+b+c)=(a+b+c) [ (a+b) 2-c (a+b) +c2]-3ab (a+b+c)=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)・说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b '+c-3abcI=2[(a-b) 2+ (b-c) 2 十(c.a)勺(a十匕+c)=—Ca +b + c) (2a2+2b J +2c^-2ab-2bc-2ca)显然，当a+b+c二0 时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c>0 时，则a'{+b3+c -3abc 20,即『+b'+d3abc,而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令x二$20, y二b、20, z二c'20,则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.※※变式练习1 分解因式：x l5+x14+x13+—+x2+x+l・分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项芒开始，X的次数顺次递减至0,由此想到应用公式来分解.解因为x l6-l=(x~l) (x"+x"+x"+・・・x2+x+l),所以(^-lXx^+K14+£口4-•七]+H +1) x -1十1)0?十1)広2 十1)(% 十% T=(%8 +1)0?吓1)(龙1 十1)(交牛1)说明在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(X-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相及的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：x -9x+8.分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9・原式二x‘- 9xT+9= (x-l)-9x+9= (x~l) (x2+x+l)-9(x~l)= (x-l) (X2+X-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x・原式=x!-x-8x+8= (x-x) + (-8x+8)=x(x+1) (xT)-8(xT)= (x-l) (X2+X-8).解法3将三次项x‘拆成9x-8x3.原式二9x ~8x-9x+8=(9x'-9x) + (-8X3+8)=9x(x+1) (x-l)-8(xT) (x'+x+l)= (x-l) (X2+X-8).解法4添加两项-x2+x2・原式=X3-9X+8=X3-X2+X2-9X+8=x2 (x-l) + (x~8) (x-1)= (x-l) (X2+X-8).说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.※※变式练习1分解因式：(1)X9+X6+X3-3 ；(2)(m -1) (n2-l)+4mn；(3)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+l ・解(1)将一3拆成一ITT・原式=X94-X6+X3-1-1-1二(x"-1) + (x6-l) + (x3-1)= (x3-l) (x6+x3+l) + (x3-l) (x3+l) + (x3-l)= (x-l) (x6+2x3+3)= (x-l) (x2+x+l) (X6+2X3+3)・(2)将4mn 拆成2mn+2mn.原式=(m2-l) (n2-l)+2mn+2mn=m"n2-m J-n2+1 +2mn+2m n=(m J n"+2mn+l)- (m~-2mn+n") = (mn+l)2- (m-n)2= (mn+m-n+l)(mn-m+n+1)・(3)将(x2-l)2拆成2(X2-1)2-(X2-1)2.原式二(x+1) “+2 (x2-l)2-(x2-l)2+ (x-1)4=[(x+1) '+2 (x+1)2 (x-1)2+ (x-1)4]- (x2-l)2=[(x+l)2+(x-l)2]2-(x2-l)2=(2X2+2)2-(X-1)2=(3X2+1)(X2+3).(4)添加两项+ab-ab・原式二a3b-ab3+a2+b2+1 +ab-ab=(a3b~ab5) + (a2-ab) + (ab+b2+l)=ab (a+b) (a~b) +a(a~b) + (ab+b2+l)=a(a~b) [b(a+b)+l] + (ab+b2+1)= [a(a~b)+l] (ab+b2+l)= (a2-ab+l) (b~+ab+l)・说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例 4 分解因式：(x2+x+1) (X2+X+2)-12.分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将孑+x 看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设x2+x=y,则原式二(y+1) (y+2)-12=y2+3y-10= (y-2) (y+5) = (x2+x-2) (x2+x+5)= (x-l) (x+2) (X2+X+5).说明本题也可将x2+x+l看作一个整体，比如今疋+x+l二U, —样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.例5分解因式：(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-90.分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.解原式=(x+l) (x+2) (2x+l) (2x+3)-90二[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+l)]-90=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-90.令y二2x'+5x+2,则原式二y (y+1) -90=y2+y-90二(y+10)(y-9)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)=(2X2+5X+12)(2X+7) (x-1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.※※变式练习1.分解因式：(X2+4X+8)2+3X (X2+4X+8)+2X2・解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2= (y+2x) (y+x)=(X2+6X+8)(X2+5X+8)= (x+2) (x+4) (X2+5X+8)・说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换, 根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.1.双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2X2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列,并把y当作常数，于是上式可变形为2x - (5+7y) x-(22y=35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3) (-lly+1).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式二[x+(2y-3)] [2x+(-lly+1)]二(x+2y-3) (2xTly+l)・上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表不的是下面三个关系式：(x+2y) (2x~lly) =2x2-7xy-22y2；(x-3) (2X+1)=2X2-5X-3；(2y-3) (-lly+1) =-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax'+bxy+cy'+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx・例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2 ；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y'+x_y_2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2・解(1)原式=(x-5y+2) (x+2y-l).原式二(x+y+1) (x-y+4).(3)原式中缺F项，可把这一项的系数看成0来分解.原式=(y+l) (x+y-2)・(4)原式=(2x~3y+z) (3x+y-2z).说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a…x n+a n jx"1+•••+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x), g(x),…等记号表示，如f (x) =X2-3X+2,g (x) =X5+X2+6,…，当X二8时，多项式f(X)的值用f(0)表示.如对上面的多项式f(X)f(l)=l-3X 1+2=0；f (-2)二(-2)2-3 X (-2) +2=12.若f (a) =0,则称0为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f (a) =0成立，则多项式f (x)有一个因式x-a.根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.若既约分数2是整系数多顶式P定理2 fW - ax n十幻汁1十科"2十…十％区十a ao的根，则必有P是皈的约数，q是為的约数.特别地，当a°二1时，整系数多项式f(x)的整数根均为弘的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.例2分解因式：x-4x2+6x-4.分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1, ±2, ±4,只有f(2)=23-4X22+6X2-4=0,即x二2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2・解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2).原式二(x'-2x2) - (2X2-4X) + (2x~4)=X2(X-2)-2X(X-2) +2 (x-2)= (x-2) (x-2x+2).解法2用多项式除法，将原式除以(x-2),x2一2x 2x- 2/ x3-4x2+ 6x-4(I/-2x?+ 6x-2x?+ 4x2x- 42x・4~0所以原式二(x~2) (X2-2X+2)・说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.※※变式练习1.分解因式：9x l-3x3+7x2-3x-2・分析因为9的约数有±1, ±3, ±9； -2的约数有±1, ±2.所以源式的有理根只可能是±1・±2. 士》土卜±春・经栓验.只有£和彳是原式的根.所以原式有因式北+；和_|.又因为:仪+ £)山 ~|)= + l)(3x - 2)=1(9X2-3K-2),所以，原式有因式9X2-3X~2・解9X -3X3+7X2-3X-2=9x'-3x-2x~+9x"-3x-2=x2 (9X3-3X~2)+9X2-3X-2=(9X2-3X~2)(X2+1)= (3x+l) (3x-2) (x2+l)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式1 _2 2 _ 1 _ 2(x+-)(x--)=x -尹§可以化为9X2-3X-2,这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(X),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x) 就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f (x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用.在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.例 3 分解因式：x"+3xy+2y2+4x+5y+3・分析由于(x2+3xy+2y2) = (x+2y) (x+y),若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x + y + n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+ (m+n) x+ (m+2n) y+mn,比较两边对应项的系数，则有m + n = 4,|m + 2a = 5,ran = 3 ・解之得m二3, n=l.所以原式=(x+2y+3) (x+y+1).说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.※※变式练习1.分解因式：x"-2x‘一27x'-44x+7・分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1, ±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以, 在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b) (x'+cx+d)的形式.解设原式=(x2+ax+b) (x'+cx+d)二x'+ (a+c) x3+ (b+d+ac) x~+ (ad+bc) x+bd,所以有a + c =b + d + ac = -27,■ad + be = ~ 44,bd = 7 ・由bd=7,先考虑b二1, d二7有a + c = -2,4 ac = -35,7a + c = -44,fa = -7解之得{c = 5.所以原式=(X2-7X+1)(X2+5X+7)・说明由于因式分解的唯一性，所以对b二-1, d二-7等可以不加以考虑.本题如果b二1, d二7代入方程组后，无法确定a, c的值，就必须将bd二7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.四、巩固练习：1.分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变, 这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u二x+y, v=xy,用换元法分解因式.解原式=[(x+y) 2-xy] -4xy [ (x+y) -2xy].令x+y二u, xy=v,则原式二(u2-v) 2-4V (U2-2V)=U4-6U2V+9V2=(U2-3V)2=(x2+2xy+y2-3xy)2二(xJy+y 于・。
因式分解5次方
因式分解5次方因式分解5次方是指将一个多项式的5次幂（如x^5）分解为乘积的形式，其中每项都是一个1次项或更低阶项。
这种方法可以帮助我们更容易地理解各个项的影响，以便做出正确的决策。
因式分解也可以用来快速计算复杂的函数，节省大量的时间。
因式分解的原理很简单，就是将一个多项式中的每个幂数分解成相应次数的质因子之积。
譬如，将一个3次幂的多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d分解为f(x)=(ax)(x^2+b)(x+c)(1+d)，其中a、b、c和d分别为3次多项式的系数。
5次方的因式分解也是同理，把一个5次幂的多项式f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+g分解为f(x)=(ax)(x^4+b)(x^3+c)(x^2+d)(x+e)(1+g)，其中a、b、c、d、e和g分别为5次多项式的系数。
要想解决5次方的因式分解问题，首先要找出原多项式的系数，即要求出a、b、c、d、e和g的值。
然后根据已知系数和5次方多项式的格式，对原多项式做分解，使它分解为6个质因子之积。
若有一个5次方多项式f(x)=2x^5+3x^4-7x^3+4x^2-8x+11，那么要做因式分解，可以按照以下步骤：1、求出原多项式的系数。
由f(x)=2x^5+3x^4-7x^3+4x^2-8x+11可知，a=2，b=3，c=-7，d=4，e=-8，g=11。
2、根据已知系数和5次方多项式的格式，对原多项式进行分解。
f(x)=(2x)(x^4+3)(x^3-7)(x^2+4)(x-8)(1+11)3、将分解后的结果按乘积形式写出。
f(x)=2x⋅(x^4+3)⋅(x^3-7)⋅(x^2+4)⋅(x-8)⋅(1+11)以上就是5次方因式分解的具体操作过程，该过程也可以用于更高次幂的多项式，包括n次幂的多项式，只需要把系数的个数改为n+1即可。
把5分解的因式分解题
把5分解的因式分解题
摘要：
一、因式分解的概念
二、5的因式分解题目引入
三、5的因式分解的解题过程
1.5的质因数分解
2.提取公因式
3.得出5的因式分解结果
四、总结因式分解的方法和技巧
正文：
因式分解是代数学中的一个重要概念，它指的是将一个多项式表达式分解成若干个不可约多项式的乘积的形式。
因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、分组分解法等。
在解决因式分解问题时，需要灵活运用各种方法，找到合适的切入点。
在数学题目中，我们经常会遇到要求分解5的因式的问题。
这类题目虽然简单，但是有助于我们理解因式分解的基本思想，为以后解决更复杂的因式分解问题打下基础。
现在，我们来详细解答一下如何分解5的因式。
首先，我们需要了解5的质因数分解。
5是一个质数，它的质因数分解结果为5。
接下来，我们可以利用提取公因式的方法进行因式分解。
由于5是一个质数，它本身就是一个不可约多项式，所以5的因式分解结果就是5。
综上所述，5的因式分解结果为5。
在解决因式分解问题时，我们需要先进行质因数分解，然后提取公因式，最后得出因式分解的结果。
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3、将下列各式分解因式。
（#43;n）2-6（m+n）+9
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八年级学案系列——北师版
第二章 分解因式 2010 至 2011 学年第二学期
讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形
式？
由（2）知，公式中的 a、b 可以是单项式，也可以是
4、将下列各式因式分解： （1）3ax2+6axy+3ay2
（2）–x2–4y2+4xy
当
1、判断正误：
堂
检
（1）x2+y2=（x+y）2
测
（2）x2–y2= (x–y)2
（3）x2–2xy–y2= (x–y)2
() () ()
（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2
()
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解
进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？那个公式还可以进行分解 因式？
2、结合预习导学 2，完成下列填空
（1）a2–2ab+b2=
；
（2）a2+2ab+b2=
；
3、乘法公式（a±b）2=
4、形如 a2+2ab+b2 与 a2–2ab+b2 的式子称为完全平方式．
把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫
伸
2
拓
展
总结 1、本节课你有哪些收获？
反思 2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？ 3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方
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因式：
（1）x2–x+ 1 4
（3） 1 m2 3mn 9n2 4
3、把下列各式因式分解：
（2）9a2b2–3ab+1
（4） x6 10x5 25
（1）m2–12mn+36n2
（2）16a4+24a2b2+9b4
（3）–2xy–x2–y2
（4）4–12（x–y）+9（x–y)2
延 已知a 2b 1 , ab 2, 求 a4b2 4a3b3 4a2b4 的值。
学会观察多项式的特点，恰当安排步骤，选用不同方法分解因式。
1、分解因式：7x2-21x+49 2、填空：
（1）（a+b）2= （2）（a–b）2=
学习内容
； ；
补充调整
活动一 阅读课本 57 页例 3 上面部分，并回答问题或填空： (1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式
做
。
活动二
观察 a2–2ab+b2 ；4a2－4ab＋b2；x2+10x+25 ,找出它们的共同特征。然
后讨论：1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？
2、下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a＋4；（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋ 1 b2； 4
（4）a2－ab＋b2； （5）x2－6x－9； （6）a2＋a＋0.25．
八年级学案系列——北师版
第二章 分解因式 2010 至 2011 学年第二学期
红旗镇中学八年级数学教学案
执笔：张文强 审核： 课题
使用人姓名
使用班级
使用时间：2011 年 月 日
2.3．运用公式法（第二课时）
学习 目标 学习 重点 学习 难点 学习 过程 预 习 导 学 学 习 研 讨
（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； 掌握用完全平方公式进行分解因式，掌握多步骤、多方法分解因式的方法。