【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题(2)文

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题（2）文一、选择题 1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R解析：∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：C2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图像关于y 轴对称，为偶函数．答案：D3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析：由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f (x )的对称轴为2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴．答案：C 4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.答案：A5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案：C6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C ．2D ．3 解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.答案：B7．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像可看作是由函数f (x )＝sin x 的图像先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.答案：A8．已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3 解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，则2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3恒成立，展开得sin 3x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0恒成立．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0恒成立，只有选项D 符合．答案：D 9．函数y ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x sin x (0＜x ＜π)的图像大致是( )A BC D解析：y ＝sin x |cos xsin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0＜x ＜π2，0，x ＝π2，－cos x ，π2＜x ＜π.答案：B10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，∴y ＝2cos2x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，对称轴为2x ＝k π，即x ＝k π2(k ∈Z )．答案：D 二、填空题11．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为__________．解析：由题意知，2×4π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π－13π6，k ∈Z .当k ＝2时，|φ|min＝π6. 答案：π612．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是__________．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．答案：213．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋7π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π12＝π得函数f (x )的周期为π，则ω＝2.答案：214．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2)的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为__________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图像及性质可知②④正确． 答案：②④ 三、解答题15．[2013·北京]已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解析：(1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)∵f (α)＝22，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.∴4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.答案：(1)最小正周期为π2，最大值为22；(2)α＝9π16.16．[2013·山东]设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解析：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.∵图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，∴2π2ω＝4×π4.∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－1≤f (x )≤32. ∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 答案：(1)1；(2)最大值32，最小值－1. 创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：|MN |＝|sin a －cos a |＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4|，∴|MN |max ＝ 2. 答案：B2．[2014·大同月考]函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 为奇函数，T ＝2π2＝π. 答案：A3．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝__________.解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )， 又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.答案：π44．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称图形．则φ＝__________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数， ∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .答案：k π＋π2，k ∈Z5．设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )，求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解析：f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝12cos2x －12sin2x ＋12(1－cos2x )＝12－12sin2x . (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－12sin2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，g (x )＝g (x ＋π)＝12sin2(x ＋π)＝12sin2x ， 综上所述：函数g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0.12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x ＜－π2.6．(2014·西南大学附中月考)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝ (sin x,2cos x )，函数f (x )＝a·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解析：f (x )＝a·b ＋|b |2＝53cos x ·sin x ＋cos x ·2cos x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin2x ＋1－cos2x 2＋3(1＋cos2x )＝532sin2x ＋52cos2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.∴1≤f (x )≤172，即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.。