5.1.1 数的概念的拓展 课件(北师大版选修2-2)

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5.1.1数的概念的扩展 课件(北师大版选修2-2)

5.1.1数的概念的扩展 课件(北师大版选修2-2)

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源


BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
●重点难点 重点:复数的概念,复数的代数形式. 难点:实数系扩充到复数系的过程,及虚数单位同实数 的运算. 教学时从学生熟悉的一元二次方程切入,研究一元二次 方程有实根无实根的根源,从而抓住数系扩充的关键,即 “创造一个数,使其平方等于- 1”,并进一步研究,推广 从而化解难点. 引导学生思考复数的构成及数系的分类,并通过例题与 练习让学生在应用复数的概念解决问题的过程中更深入地 理解复数,以强化重点.
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BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
§ 1
数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●三维目标 1.知识与技能 (1)引导学生发现数系扩充的必要性及数系的扩充过程; (2)能在数系的扩充过程中理解复数的概念及复数的分 类.
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BS·数学 选修2-2
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最新高中数学北师大版选修2-2第5章《数的概念的扩展》ppt课件

最新高中数学北师大版选修2-2第5章《数的概念的扩展》ppt课件

• 【【正错解】因】∵x 是没纯有虚数仔,细∴审设 题x=,bi(b而∈是R 且直b接≠0将),x,
t都则作(b为i)2+实(t数2-来t+2用tbi了)i=.0,其实t是实数,x为纯虚
数 数的,即(虚故-b部t22--.2ttb+)+2(tt2-x不t)i=是0,实数,也就不能作为复
∴t-2-b2ห้องสมุดไป่ตู้-=20t,b=0,
① ②
课堂讲练7C互中动小学课件
由②得t=0或t=1. 当t=0时,由①得b=0,与b≠0矛盾,故舍去. 当t=1时,由①得b=-2或b=0(舍去). 综上可知,实数t的值为1.
课堂讲练7C互中动小学课件
a>c
课堂讲练7C互中动小学课件
【错解】 根据复数相等的充要条件得xt22-=t0+,2tx=0,
• 解◎得 已t=知0 或xt2=+1.(t2-t+2tx)i=0,x为纯虚数, 求实数t的值.
课堂讲练7C互中动小学课件
• 数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数 范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角 度看,像x2=-1这个方程在实数范围内就无解, 为了解决这个问题,需要把数的范围作进一步 的扩充,为此,人们引入一个新数i,叫虚数单 位,且规定(1)i2=-1;(2)i可与实数进行四则运 算;且原有的加、乘运算律仍成立,这样就产 生了形如:z=a+bi(a,b∈R)的数,叫做复数, 其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部, 显然i是-1的一个平方根,即i是方程x2=-1的
• [特别提醒] 形如bi的数不一定是纯虚数, 只有b∈R且b≠0时才是纯虚数.
课堂讲练7C互中动小学课件
1.两个虚数不能比较大小. 2.若两个复数能比较大小,则这两个复数一定全是实 数,

5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)

5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)

一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量 OZ = (a,b) 是一一对应的.

2.复数的模 设复数 z=a+bi(a, b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a, b),点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值, 记
a2+b2 . 作|z|,显然,|z|=
1.注意复数的代数形式z=a+bi中a,b∈R这一条
答案:0或2
1 9.求复数 z1=6+8i 及 z2=- - 2i 的模,并比较它们的 2 模的大小.
1 解:∵z1=6+8i,z2=- - 2i, 2 ∴|z1|= 62+82=10, |z2|=
1 - 2+- 2
3 2 = . 2
2
3 ∵10> , 2 ∴|z1|>|z2|.
1.区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明 确:实数也是复数,要把复数与实数加以区别.对于纯虚 数bi(b≠0,b∈R)不要只记形式,要注意b≠0. 2.复数与复平面内的点一一对应,复数与向量一一对
应,可知复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示.
解析: 复数 z1, 2 对应的点分别为 Z1(1, 3), 2(1, 3), z Z - 关于 x 轴对称. 答案:A
6.已知平面直角坐标系中O是原点,向量 OA ,OB 对应 的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量 BA 的坐标是
( A.(-5,5) C.(5,5) B.(5,-5) D.(-5,-5) )
OB 对应的复数分别记作z1=2-3i,z2 解析:向量 OA ,
=-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向
量 OA =(2,-3), OB =(-3,2).

高中数学:5.1.1 数的概念的扩展(一) 教案 (北师大选修2-2)

高中数学:5.1.1  数的概念的扩展(一) 教案 (北师大选修2-2)

5.1.1 数的概念的扩展教学过程:通过回顾,学生能够对数的发展过程和其必然性有一个初步认识,但对扩展的新数集具有的一些性质和特点是如何构造和发现的,常常缺少应有的思考,探索和创新。

当然这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关,而这一点,恰恰是现代社会对人的基本要求,也是目前提倡素质教育的核心。

所以本节课力图从发展的角度,由实数集具有的一些性质和特点出发,借助于类比的思想对复数集的性质和特点做一些理性的探究和研究。

同时在学习应用过程中,对转化思想和方程思想进行理性认识。

1、 创设情景【问题1】:在我们学习的解一元二次方程0c bx ax 2=++中,如果判别式0ac 4b 2<-=∆,我们就说方程无解。

你能解释原因吗?思考:联系从自然数系到实数系的扩充过程,你能设想一个方法,使这种形式的方程有解吗?创设问题情境的意图就是使学生明确这里要解决什么问题,联系旧知识,了解解决问题的大致方向。

把问题解决作为教学源动力,本节课通过类比的方法,提出了一些学生能够进行思考但常常不够清晰的问题,使学生的注意,记忆,思维凝聚在一起,达到学习活动的高潮。

师生共同回顾实数系的扩充过程。

2、探究新知【问题2】:请类比引进2,就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题,怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题?意图通过类比,使学生了解扩充数系要从引入新数开始。

【问题3】:如何合理地对实数系进行扩充?类比无理数的引入,希望引入的新数要满足原来数系中的加、乘运算律。

3、构建概念【问题4】: 引入的新数i 是个什么数呢?它有什么特征?引入虚数单位的概念及性质 i 2 =-1 ,强调i 不同于任何实数,它是一种新的数。

此时学生解决了方程无解问题,达到了第一个兴奋点。

【问题5】:现在我们引入了虚数单位i ,那么当i 与实数进行了加乘运算后,得到了什么样的数? 合理引入复数的代数形式。

引入复数集{}R b ,a bi a C ∈+=。

5.1.1 数的概念的扩展(精品公开课课件)

5.1.1 数的概念的扩展(精品公开课课件)
是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m 1 0,即 m 1 时,复数z 是实数.
(2)当 m 1 0,即 m 1时,复数z 是虚数.
(3)当 m 1 0 m 1 0
即m 1时,复数z 是
纯虚数.
即时练习1:
当m为何实数时,复数:
正数与负数, 有理数与无理数, 都是具有“实际意义的量”, 称之为“实数”,构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
自然数 用图形表示数集包含关系:


整数

N

步一步扩充的?
数的概念产生于生产实践,并 随着生产和科学技术的发展而 逐步扩展。
随着新的数的概念的建立,数
4,2-3i,0,6i, - 1 + 4 i, 5 + 2i
23
(3-2i)i
练习:写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些 是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
1 - 2i, 2 + 3, 1 i, - 5 + 2i, 2
isinπ, i2 , 7 + ( 5 - 2i)i
例2 . 实数m取什么值时,复数 z m 1 (m 1)i
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少?
1

1
无理数
无理数是“推”出来的 .公元前六世纪,古希 腊毕达哥拉斯学派利用 毕达哥拉斯定理,发现 了“无理数”. “无理 数”的承认(公元前4 世纪)是数学发展史上
的一个里程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年)
数集扩充到实数集
第五章 数系的扩充与复数的引入
§5.1 数系的扩充与复数的引入

北师大版高中数学选修1-2 数的概念的扩展 课件(32张)

北师大版高中数学选修1-2 数的概念的扩展 课件(32张)
1.1 数的概念的扩展
1.通过实例,了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部矛
盾(数的运算法则、方程理论)在数系扩充过程中的作用.
2.理解复数的基本概念.
3.掌握复数的代数表示法.
1.本课重点是数系的扩充及复数的基本概念.
2.本课难点是复数的概念以及代数表示法.
1.复数的定义与表示方法 (1)定义 -1 ,其中i叫作_________ 虚数单位 ; ①规定i2= ___ a+bi 的数叫作复数. ②若a∈R,b∈R,则形如_____ (2)表示方法 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中复数z的实部是 a ,用Re z表示,虚部是__ b ,用Im z表示. __
【解析】1.由于①②③中都没有强调a∈R,x,y∈R,所以①②③ 不正确,只有④是正确的. 答案:④ 2.解方程k2-3k-4=0得k=-1或k=4. 解k2-5k-6=0,得k=-1或k=6. (1)当k2-5k-6=0即k=-1或k=6时,z是实数.
(2)当k2-5k-6≠0即k≠-1且k≠6时,z是虚数. k 2 3k 4 0, (3)当 2 即k=4时,z是纯虚数. k 5k 6 0 , 2 k 3k 4 0, 即k=-1时,z=0. (4)当 2 k 5k 6 0,
(2)当b=0时,z=a+bi(a∈R,b∈R)是实数.
【典例训练】
1.以4i- 3 的虚部为实部,以
_____.
7i 2i 2 的实部为虚部的复数为
2.指出下列复数哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数:
(1)-1;(2)0;(3)-3i;(4)2+3i2;(5)7-8i.
【解析】1.由于 4i 3 的虚部为4, 7i 2i 2 的实部为-2i2=2,

数学北师大版高中选修1-24.1.1《数的概念的扩展》课件(北师大版选修2-2)

数学北师大版高中选修1-24.1.1《数的概念的扩展》课件(北师大版选修2-2)
3 2
二、填空题(每题5分,共10分) 4.(2010·盐城高二检测)若(x+2 010)+(x-2 010)i是实数, 则实数x=_____. 【解析】(x+2 010)+(x-2 010)i是实数,需满足x-2 010=0, 所以x=2 010. 答案:2 010
5.若复数z=(m2-1)+ m-2 i 为纯虚数,则实数m的值为_____.
3
)
(C)- 2
3
(D)2
【解析】选D.复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知 2=-(-b),∴b=2.
3.设复数z= 1-3i2 =a+bi,(a,b∈R),那么点P(a,b)在(
(1-i)
)
(A)第一象限
(C)第三象限
(B)第二象限
(D)第四象限
【解析】选A.
故P( 2 ,1 )在第一象限.
M)=U=C;对于⑥:实数集的补集为虚数集,而U∩M代表
的是纯虚数集,所以不相等. 答案:③⑤
4.(15分)已知非纯虚数z=x-1+(x2-1)i(x∈R)的实部、虚 部的积为f(x),求f(x)的极值. 【解析】由已知得实部为x-1(x≠1),虚部为x2-1. ∴f(x)=(x-1)(x2-1) =x3-x2-x+1(x≠1) ∴由f′(x)=3x2-2x-1 =(3x+1)(x-1)
知能巩固提高
一、选择题(每题5分,共15分) 1.下列说法错误的是( )
(A)实数集是复数集的一个真子集
(B)虚数集是复数集的一个真子集 (C)a+bi一定是虚数
(D)一个复数的实部与虚部都是实数
【解析】选C.当a∈R,且b=0时,a+bi不是虚数.

北师大版高中数学选修1-2:数的概念的扩展_课件2

北师大版高中数学选修1-2:数的概念的扩展_课件2
规定: (2) 实数可以与 i 进行四则运算,进行
四则运算时,原有的加、乘运算律仍成立。
x= 2i ,x=- 2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x = - 1 + 2i , x = -1 - 2i
与虚数单位i有关的“新数”的产生
1,iR------即虚数单位i不是实数;
2,i与实数b可以进行通常的乘法运算, 即bi(特别地,0i=0R;b0时,bi R)
N
因为
Z
3÷7 Z
同学思考:此时怎么办?
数集(整数集)第二次扩展
根据数集扩展的原则,引入新数“分数”及
表示新数的符号:如 1 , 3 , 0.724 25
有理数Q={0, 1, 2, 1 , 3 , 0.724 ,
25
-------}
引入新概念:分数 数集Z又扩展了!
N Z
二、实数集的进一步扩展
探究:实数集如何进一步扩展呢?
问题1: 解方程 x²+ 1= 0
R中的负数无法进行开方运算! 解决办法:引入 虚数单位i
规定:(1) i 的平方等于-1,即i ²= -1
所以方程 x²=-1 的解为x=i 或x=-i
探究:实数集如何进一步扩展呢?
问题2 : 解方程 x²=- 2
纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a‡0)
C
N Z
Q R
五、回顾与小结
正整数
整数 零
有理数
负整数
实数
分数
复数z=a+bi
C (a、bR)
b=0 无理数
纯虚数 (a=0) 虚数 非纯虚数(a0)
b0
数,是数学中的基本概念,也是人类文 明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充 都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对 于数的认识与应用,以及数集理论的完善程 度,反映了当时数学发展的水平。

(教师用书)高中数学 5.1.1 第1课时 数的概念的扩展同步课件 北师大版选修2-2

(教师用书)高中数学 5.1.1 第1课时 数的概念的扩展同步课件 北师大版选修2-2

●教学建议 回顾从自然数逐步扩充到实数系的过程,不仅为实数系 的扩充提供了类比对象,而且也为怎样扩充实数指引了方 向.从希望方程 x2=-1 有解开始,设想引入一个数,使其 为方程 x2=-1 的根,并进一步研究该数能像实数系那样进 行加法、乘法的运算,且原有的运算律仍然成立.因此,本 节课宜采用探究式课堂教学模式,即在问题的指引下,通过 类比→分析→探究→创造→完善,将数系进行扩充.
【思路探究】 利用所学概念,对以上四个命题一一辨 析.
【自主解答】 对于①由复数的代数形式知虚部为-2, 故①错误;对于②,a=-1 时,(a+1)i=0 是实数,故②不 正确;对于③中,实数也是复数,源自③也不正确;对于④, 正确,故选 B.
【答案】 B
1.复数的有关概念,都是围绕着实部、虚部定义的, 因此要能熟练、准确地判断实部、虚部.另外,虚部同实部 一样为实数. 2.两个复数不全是实数时,不能比较大小.
●重点难点 重点:复数的概念,复数的代数形式. 难点:实数系扩充到复数系的过程,及虚数单位同实数 的运算. 教学时从学生熟悉的一元二次方程切入,研究一元二次 方程有实根无实根的根源,从而抓住数系扩充的关键,即 “创造一个数,使其平方等于- 1”,并进一步研究,推广 从而化解难点. 引导学生思考复数的构成及数系的分类,并通过例题与 练习让学生在应用复数的概念解决问题的过程中更深入地 理解复数,以强化重点.
复数集 复数的全体组成的集合叫作 ___________ ,记作 C,显
然有:N____Z_____Q_______R_______C.
复数的概念
下列命题中: ①5-2i 的实部为 5,虚部为 2; ②若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ③3 不是复数; ④两个虚数不能比较大小. 其中,真命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

高二数学北师大版选修2-2 5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(26张)

高二数学北师大版选修2-2 5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(26张)

-13-
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:根据复数的有关概念判断命题的真假. ①当 a∈R,且 b=0 时,a+bi 是实数. ②当两个复数都是实数时,两个复数可以比较大小,两个复数至少有一 个是虚数时,两个复数不能比较大小. ③当 x=-2 时,对应的复数为实数, ������ 2 -4 = 0, 由纯虚数的条件得 2 解得 x=2. ������ + 3������ + 2 ≠ 0, ④没有强调 a,b∈R 这一非常重要的条件. ⑤a=0 时,ai=0 是实数,即 0 对应的不是纯虚数. ⑥没有强调 a,b,c,d∈R 这一非常重要的条件. 故题中 6 个命题都是假命题.故选 A. 答案:A
-11-
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
关于复数分类问题
【例 1】 若 log2(m2-3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数,求实数 m 的值. 分析:利用复数的分类解题. 解:根据纯虚数的定义, log 2 (������2 -3������-3) = 0, 得 log 2 (������ + 2) ≠ 0, ������2 -3������-3 = 1, 即 解得 m=4. ������ + 2 ≠ 1,且������ + 2 > 0, 反思牢记复数的分类是解决此类含参数问题的关键.
-9-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
2
【做一做 2-2】 复数 z=3-4i 在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对 应的复数为( ) A.z'=3+4i B.z'=-3+4i C.z'=-3-4i D.z'=3-4i 答案:C

2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1.2复数的有关概念 课件(21张)

2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1.2复数的有关概念 课件(21张)
计数的需要
引入负整数
解方程x+3=1
引入分数
解方程3 x=5
引入无理数
解方程x2=2
自然数(正整数与零)
R
整数
Q
有理数 Z
实数
N
可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不能 实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。
问 题1:
一元二次方程 x2 1 0 ,有没有实数根?
解:根据复数相等的定义,得方程组
2x 1 y 1 (3 y)

x 5,y 4 2
01:42
练一练
当m为何实数时,复数
是 (1)实数 (2)虚数
m 1或m 1 m 1且m 1
(3)纯虚数
m 2
01:42
虚数的引入
复数 z = a + bi (a,b∈R)
虚 数 集 复数集C 纯 虚 数 集 实数集R
01:42
问 题 5:
若复数a + bi = c + di(a, b,c,d R) a,b,c,d应满足什么条件呢?
01:42
问题解决:
知新
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
思考 (a,b, c, d R)
i 与实数b 相乘得bi ,规定0乘以i 等于0 bi 与实数a相加得a+bi
01:42
自主学习
• 复数:形如____a_+_b_i(_a_,b__∈_R__)的__数____叫做 复数,常用字母___z _表示,全体复数构成 的集合叫做__复__数_集__,常用字母_C_表示.

高中数学:5.1.1 数的概念的扩展(二) 教案 (北师大选修2-2)

高中数学:5.1.1  数的概念的扩展(二) 教案 (北师大选修2-2)

5.1.1 数的概念的扩展教学过程:情境设置从社会实践来看,为了满足生活和生产实践的需要,数的概念在不断的发展着.为了计数的需要产生了自然数,为了测量等需要产生了分数,为了诉刻画相反意义的量产生了负数,为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数,等等.让学生回忆数系表⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理数分数负整数零正整数整数有理数实数 ●实数集应怎样扩充?学生活动●回忆如何求解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)?第一步:计算Δ=b 2-4ac第二步:当Δ<0时,方程没有实数根;当Δ=0时,方程有相等的实数根2ab x -=; 当Δ>0时,方程有两个不等的实数根2a4ac b b x 2--±=. ●一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)当Δ<0时有没有根呢?特殊化●求方程x 2+1=0的解?为了使方程x 2+1=0有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从引入平方等于“-1”的新数开始.为此,我们引入一个新数i ,i 叫做虚数单位.建构数学复数的概念i 叫做虚数单位,并规定:⑴i 2=-1;⑵实数可以与i 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立. 说明:“加法、乘法运算律”是指加法的交换律、结合律,乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.复数的代数形式形如a +bi(a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数组成的集合叫做复数集,记作C. 说明⑴复数通常用z 表示,即z =a +bi(a,b ∈R),其中a,b 分别叫做复数z 的实部与虚部; ⑵当且仅当b =0时,z 是实数a ;当b ≠0时,z 叫做虚数,特别地,当a =0,b ≠0时,z =bi 叫做纯虚数.复数的分类⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≠≠=≠=∈0)b 0,(a 0)b 0,(a 0)(b 0)(b R)b bi(a,a z 非纯虚数纯虚数虚数实数+=复数 ●思考:a =0是复数z =a +bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件吗?复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.⎩⎨⎧⇔∈d b c a R)d c,b,di(a,c bi a ==+=+ 数学运用例1 说出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?4,2-3i ,0,6i.i 25i 3421,+,+- 例2 实数m 取什么值时,复数z =m(m -1)+(m -1)i 是⑴实数?⑵虚数?⑶纯虚数?例3 已知(x +y)+(x -2y)i =(2x -5)+(3x +y)i,求实数x,y 的值.学而时习之P 105练习例4 在有理数集、实数集、复数集中分解因式x 4-4.分析:有理数集x 4-4=(x 2-2)(x 2+2)实数集x 4-4=(x 2-2)(x 2+2)2))(x 2)(x 2(x 2++-= 复数集x 4-4=(x 2-2)(x 2+2)2))(x 2)(x 2(x 2++-= i)2i)(x 2)(x 2)(x 2(x +-+-=学而时习之P 105习题3.1回顾反思1.知识梳理2.规律总结⑴用分类讨论的思想准确理解复数的分类;⑵复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法,桥梁是复数相等的充要条件。

2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1数系的扩充与复数的引入 课件(31张)

2021年优课系列高中数学北师大版选修2-2 5.1数系的扩充与复数的引入 课件(31张)

复数的代数运算
[典例] (1)i 为虚数单位,则11-+ii2 018=
A.-i
B.-1
C.i
D.1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)31++ii=
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i
(3)(2017·全国卷Ⅱ)(1+i)(2+i)=
A.1-i
B.1+3i
C.3+i
D.3+3i
() () ()
[解析] (1)∵11- +ii=1+1i-1i-2 i=1-22i-1=-i, ∴11- +ii2 018=(-i)2 018 =(-i)2 016·(-i)2=-1. (2)13++ii=31+ +ii11- -ii=4-2 2i=2-i. (3)(1+i)(2+i)=2+i2+3i=1+3i. [答案] (1)B (2)D (3)B
02 题型二 复数的代数运算
03 题型三 复数的几何意义
04 课堂真题集中演练


05 高考达标检测
复数的有关概念
[典例] (1)设 i 是虚数单位.若复数 a-31-0 i(a∈R)是纯
虚数,则 a 的值为
()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
(2)已知复数 z 满足1+z i=|2-i|,则 z 的共轭复数对应的
高考研究课(二) 数系的扩充与复数的 引入的命题3角度 ——概念、运算、意义
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
复数的有关
虚部、模等有关概念与运算
概念
5年4考 结合考查
复数的几何
意义
5年2考 与运算结合考查几何意义
复数的运算 5年6考 考查乘法、除法、幂的运算

高中数学 北师大选修2-2 5.1数系的扩充和复数的概念

高中数学 北师大选修2-2  5.1数系的扩充和复数的概念
NZ QRC
2、复数的代数形式 通常用字母 z 表示,即
z a bi
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位.
3、复数的分类及其关系
复数
a bi
(a,bR)
实数(b 0) 纯虚数 (a 0,b 0)
虚数(b 0)
非纯虚数 (a 0,b 0)
虚 数 集复数集C
纯虚数集
实数集R
例 1:完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或纯虚数)
z=a+bi
y
Z(a,b)
O
x
|z|=r=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
3.复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)和向量oz
是一个三角对应关系,即
复数z=a+bi
点 Z(a , b)
向量 oz
|z|=r=|OZ| a2 b2
例. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复 平面内所对应的点位于第二象限,求实 数m允许的取值范围.
问 题 2:
把实数和新引进的数i 像实数那样进行运 算,你得到什么样的数?
i 与实数b 相乘得bi ,规定0乘以i 等于0 bi 与实数a相加得a+bi
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C {a bi | a,b R}
系统地使用了i这个符号,于是使之通行于世 。
i 的引入:
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根.
x2 1
引入一个新数:
满足
虚数单位 i
引入一个新数 i, 叫i 做虚数单位,并规定:
(1)它的平方等于 -1,即 i 2 1.
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小结:
* 虚数单位 ( 1)
2
i:
;
i 1
(2)实数与它进行四则运算时,原有加、乘运算
律仍然成立。
(3)周期性:
i
4n
1, i
4n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i (n N )
结束
i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i (n N )
分析: 根据复数的概念,复数 a + bi 中,
b=0时叫实数;
b≠0时叫虚数;
a=0且b≠0时叫纯虚数。
i 1 ,虚数单位的平方是实数!! 注意:
2
例2
分析: 因为 m ∈R,所以 m+1,m-1都是实数,由复 数 z= a + bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值。
解:
z= m+1+(m-1) i 是:
(1) 实数? (2) 虚数? (3) 纯虚数? 分析
例3 计算、化简:
(1)
( 3)
i i
2
(2)
(4)
i3 i
2i 7i 2 i 3 i 4
i
5
分析
动手做一做
1.计算: (1) (5 i ) (3 i ) 5i
(2) i 2i 2 3i 3 50i 50
i 1
2
i 虚数单位
我们把引入的这个数 ( 1)

i
叫做虚数单位,并且规定:
i 1
2

(2)实数可以与
i 进行四则运算,在进行四则运
算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合 律和分配律)仍然成立。
复数的定义: 我们把形如 a + bi (a , b ∈ R,i 是虚数单位) 的数叫做复数。全体复数所形成的集合叫做复数 集,一般用字母 C 表示。 复数的代数形式:
小结:
* 复数定义: 形如 a bi (a, b R)的数叫复数,a 叫复数的实部 Re z, b 叫复数的虚部 I m z。全体复数所成的集合叫 做复数集,用字母 C 表示。 * 复数 a bi 与实数、虚数、纯虚数及0的关系 : b= 0 时是实数; b≠ 0 时是虚数;
a=0,b≠ 0 时,是纯虚数。
2. 指出下列复数中的实部和虚部,并观察是否有
纯虚数。
(1) 2 3i
是:
(2) 4i
(3) 5 3
3. 实数m 取何值时,复数 (m 2
5m 6) (m 3m)i
2
7 ( 4) 3
(1)实数
(2)虚数

(3)纯虚数 (4)零
i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i (n N )
(1) 当 m-1= 0,即 m=1时,复数 z 是实数;
(2) 当 m-1≠0,即 m≠1时,复数 z 是虚数; (3) 当m+1= 0,且 m-1≠0时,即 m=-1时,
复数 z 是纯虚数。
例3
分析: 紧扣虚数单位的概念: 2 仍然满足四则运算。
解: (1)
i 1,复数的计算
( 2)
( 4)
复数集与其它集合的关系: R N Z Q
C
图形表示:
C
R
Q
Z
N
例题分析 例1 说出下列三个复数的实部、虚部,并且
指出它们是实数还是虚数,如果是虚数还应指出是 否为纯虚数:
(1) 3 4i
( 2)
3 i 2
( 3)
7
( 4)
i2
分析
例2 实数 m 取什么数值时,复数
复习回顾
用图形表示为:
数 系 的 扩 充
自然数 整数 有理数 R 实数 Q
Z
N
新课引入
我们知道: 对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根。
2
2
即:在实数范围内,x
1
实数范围内不能解决这个问题,那么我们能 否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问 题能得到圆满解决呢?
引入新数:
i
满足
1 i
i
0
2i 7 i 1 8 3i
(3)
通过计算发现,虚数单位的乘方具有周期性:
i 1, i
4n
4n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
(n N )
练习
z a bi
实部:Re z
我们通常用字母 z 表示复数,即
(a R, b R)
其中 虚部: Im z
i 称为虚数单位。
复数的分类:
对于复数,当且仅当 b=0时,复数 a+bi 是实数 a; 当b≠0时,复数 z= a+bi叫做虚数;当a= 0且b≠ 0时, z=bi叫做纯虚数;当且仅当 a=b= 0时,z 就是实数 0。
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