2017年春中考数学总复习 第二轮 中考题型专题 方程、不等式与函数的实际应用题试题
全国各地2017年中考数学分类解析专题24_方程、不等式和函数的综合
2017年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2017福建龙岩4分）下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x -④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 【答案】B 。
【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的性质。
【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质作出判断：①∵y=x 的k ＞0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大；②∵y=－2x ＋1的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；③∵1y=x-的k ＜0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大； ④∵2y=3x 的a ＞0，对称轴为x=0，∴当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小。
∴正确的有2个。
故选B 。
2. （2017四川广元3分） 已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1b y x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =- B. 1y x = C. 2y x = D. 2y x=- 【答案】D 。
【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。
【分析】关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=化成一般形式是：2x 2＋（2－2b ）x ＋（b 2－1）=0，∵它有唯一实数解，∴△=（2－2b ）2－8（b 2－1）=－4（b ＋3）（b －1）=0，解得：b=－3或1。
∵反比例函数1b y x+= 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∴1+b＜0。
∴b＜－1。
∴b=－3。
∴反比例函数的解析式是13y x -=，即2y x=-。
故选D 。
3. （2017山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D【答案】C 。
初三二轮复习教案方程、不等式和函数应用题
一、知识点:1.一元一次方程的定义、方程的解；2.一元一次方程的解法；3.一元一次方程的应用。
二、中考知识梳理1.会对方程进行适当的变形解一元一次方程解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一时方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。
2.正确理解方程解的定义，并能应用等式性质巧解考题方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。
3.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用方程ax=b:(1)a≠0时，方程有唯一解x=ba；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。
4.正确列一元一次方程解应用题列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。
三、中考题型例析题型一方程解的应用例1（芜湖）已知方程3x2x-9x+m=0的一个根是1，则m的值是。
分析：根据方程解的定义，把方程的解x=1代入方程成立，然后解决关于m的方程即可，解：把x=1代入原方程，得3×21-9×1+m=0，解得m=6答案：6点评：解题依据是方程解的定义，解题方法是把方程的解代入原方程，转化为关于待定系数的方程。
题型二巧解一元一次方程例2（江苏）解方程：341138 43242x x ⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦分析：此题先用分配律简化方程，再解就容易了。
解：去括号，得1136242 x x--=移项、合并同类项，得-x=614，系数化为1，得x=-61 4点评：解一元一次方程，掌握步骤，注意观察特点，寻找解题技巧，灵活运用分配委或分数基本性质等，使方程简化。
专题2：方程和不等式(组)常见题型和解题方法(终稿)
2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【 】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则 【 】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足 【 】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是 ．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是 ．2． 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【 】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23． 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．4． 设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝ ． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【 】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
初三数学中考复习专题2_方程与不等式知识点总结与练习
方程与不等式一、方程与方程组 二、不等式与不等式组知识构造及容： 1几个概念2一元一次方程〔一〕方程与方程组 3一元二次方程4方程组 5分式方程6应用 1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程：解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一〔未知项系数不能为零〕例题：.解方程：〔1〕 3131=+-x x 〔2〕x x x -=--+22132 解：〔3〕 关于x 的方程mx ＋4＝3x ＋5的解是x ＝1，那么m ＝ ______________． 解：3、一元二次方程：（1） 一般形式：()002≠=++a c bx ax（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式()002≠=++a c bx ax ()042422≥--±-=ac b aac b b x 例题：①、解以下方程：〔1〕x 2－2x ＝0； 〔2〕45－x 2＝0； 〔3〕(1－3x )2＝1； 〔4〕(2x ＋3)2－25＝0．〔5〕〔t －2〕〔t ＋1〕＝0； 〔6〕x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0； 〔8〕3〔x －5〕2＝2〔5－x 〕解：②填空：〔1〕x 2＋6x ＋〔 〕＝〔x ＋ 〕2；〔2〕x 2－8x ＋〔 〕＝〔x － 〕2；〔3〕x 2＋x ＋〔 〕＝〔x ＋ 〕2〔3〕判别式△＝b ²－4ac 的三种情况与根的关系当0>∆时 ，当0=∆时有两个相等的实数根 当0<∆时 没有实数根． 当△≥0例题．①．〔市〕假设关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，那么k满足 〔 〕A .k ＞1B .k ≥1C .k ＝1D .k ＜1②〔市〕关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是〔 〕③．〔富阳市〕方程022=++q px x 有两个不相等的实数根，那么p 、q满足的关系式是〔 〕A 、042>-q pB 、02>-q pC 、042≥-q p D 、02≥-q p〔4〕根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b-，x 1x 2＝ac 例题：方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，那么2111x x + 的值是〔 〕 A 、112B 、211C 、112-D 、211-4、 方程组：−−−−→−−−−→代入消元代入消元加减消元加减消元三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x解 解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解解方程组：⎩⎨⎧x ＋y ＝93〔x ＋y 〕＋2x ＝33解5、分式方程：分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验 （2） 换元法 例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为____________ 065422=++-x x x 根为____________ ②、当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x xx x 时，假设设1+=x x y ，那么原方程可变形为〔 〕A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0 〔3〕、用换元法解方程433322=-+-xx x x 时，设x x y 32-=，那么原方程可化为〔 〕〔1〕分式方程〔行程、工作问题、顺逆流问题〕〔2〕一元二次方程〔增长率、面积问题〕〔3〕方程组实际中的运用例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间一样.水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.〔提示：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度〕解：②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度解③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.〔准确到0.1%〕 解④等式 (2A －7B )x ＋(3A －8B )＝8x ＋10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值解⑤某校初三〔2〕班40名同学为“希望工程〞捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．假设设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组A 、272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B 、2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C 、273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D 、2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩解⑥三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数． 解⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长．解：1几个概念〔二〕不等式与不等式组2不等式3不等式〔组〕1、几个概念：不等式〔组〕、不等式〔组〕的解集、解不等式〔组〕2、不等式：〔1〕怎样列不等式：1．掌握表示不等关系的记号2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．〔1〕和、差、积、商、幂、倍、分等运算．〔2〕“至少〞、“最多〞、“不超过〞、“不少于〞等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②〔2〕8与y的2倍的和是正数；〔3〕x与5的和不小于0；〔5〕x的4倍大于x的3倍与7的差；解：〔2〕不等式的三个根本性质不等式的性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c 推论：如果a＋c＞b，那么a＞b－c．不等式的性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc．不等式的性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc．（3）解不等式的过程，就是要将不等式变形成x＞a或x＜a的形式步骤：〔与解一元一次方程类似〕去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一〔注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变〕 例题：①解不等式31〔1－2x 〕＞2)12(3-x 解：②一本有300页的书，方案10天读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每天至少读多少页？ 解：（4） 在数轴上表示解集：“大右小左〞“〞 （5） 写出以下列图所表示的不等式的解集________________________________________________________3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，穿插中间，分开两边例题：①不等式组⎩⎨⎧-<<,3,2x x ⎩⎨⎧->>,3,2x x ⎩⎨⎧-<>,3,2x x ⎩⎨⎧-><,3,2x x②例题：如果a ＞b ，比较以下各式大小〔1〕3a -___3b -，〔2〕13a +____13b +，〔3〕2a -___2b -〔4〕21a +___21b +，〔5〕1a -+___1b -+③不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128313x x x x 的解集应为〔 〕A 、2-<xB 、722≤<-x C 、12≤<-x D 、2-<x 或x ≥1 解④求不等式组2≤3x －7＜8的整数解．解：课后练习：1、下面方程或不等式的解法对不对？ （1） 由－x ＝5，得x ＝－5；〔 〕（2） 由－x ＞5，得x ＞－5；〔 〕（3） 由2x ＞4，得x ＜－2；〔 〕（4） 由－21≤3，得x ≥－6．〔 〕2、判断以下不等式的变形是否正确：（1） 由a ＜b ，得ac ＜bc ；〔 〕（2） 由x ＞y ，且m ≠0，得－m x ＜m y -；〔 〕 （3） 由x ＞y ，得xz 2 ＞yz 2；〔 〕（4） 由xz 2 ＞yz 2，得x ＞y ；〔 〕3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果缺乏3个，问有几个孩子？有多少只苹果？辅导班方程与不等式资料答案：例题：.解方程：〔1〕解：〔x ＝1〕 〔x ＝1〕〔3〕【05】 解： 〔m ＝4〕 例题：①、解以下方程：解： 〔1〕〔 x 1＝ 0x 2＝ 2 〕 〔2〕 〔x 1＝ 3√5x 2＝ —3√5〕〔3〕〔x 1＝0x 2＝ 2／3〕 〔4〕〔x 1＝ — 4 x 2＝ 1〕〔5〕〔 t 1＝ — 1t 2＝ 2 〕 〔6〕〔x 1＝ — 4＋3√2x 2＝ — 4—3√2〕〔7〕〔x 1＝〔3＋√15〕/2 x 2＝ 〔 3—√15〕/2〕〔8〕〔x 1＝ 5x 2＝ 3/13〕②填空：〔1〕x 2＋6x ＋〔 9 〕＝〔x ＋ 3 〕2；〔2〕x 2－8x ＋〔16〕＝〔x －4 〕2；〔3〕x 2＋x ＋〔9/16 〕＝〔x ＋3/4 〕2例题．①． ( C ) ②B ③．〔A 〕〔4〕根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b -，x 1x 2＝a c例题：〔 A 〕例题：【05】解方程组⎩⎨⎧=-=+.82,7y x y x 解得：x＝y ＝2【05】解方程组 20328x y xy -=⎧⎨+=⎩解得：x ＝2 y ＝1【05】解方程组：11233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得：x ＝3y ＝1/2【05课改】解方程组：128x y x y -=⎧⎨+=⎩解得 ： x ＝3 y ＝2【05】解方程组：⎩⎨⎧x ＋y ＝93〔x ＋y 〕＋2x ＝33解得： x ＝3y ＝6例题：①、解方程：211442-=+-x x 的解为_〔__x ＝_－1__〕__065422=++-x x x 根为___〔x ＝_2〕_ ②、【市海淀区】〔 D 〕〔3〕、〔A 〕例题：①解：设船在静水中速度为x 千米/小时依题意得：80/〔x ＋3〕＝ 60/(x －3) 解得：x ＝21 答：〔略〕②解：设乙车速度为x 千米/小时，那么甲车的速度为〔x ＋10〕千米/小时依题意得：450/〔x ＋10〕＝400/x解得x ＝80 x ＋1＝90 答：〔略〕③解：设原零售价为a 元，每次降价率为x依题意得：a (1－x )²＝a /2 解得：x ≈0.292 答：〔略〕④【05】解：A ＝6/5 B ＝ －4/5⑤解：A⑥解：三个连续奇数依次为x －2、x 、x ＋2依题意得：〔x －2〕² ＋ x ² ＋〔x ＋2〕² ＝371 解得：x ＝±11当x ＝11时，三个数为9、11、13；当x ＝ —11时，三个数为 —13、—11、—9 答〔略〕⑦解：设小正方形的边长为x cm 依题意：〔60－2x 〕〔40－2x 〕＝800 解得x 1＝40 〔不合题意舍去〕x 2＝10 答〔略〕例题：用不等式表示：①a 为非负数，a 为正数，a 不是正数解： a ≥0 a ﹥0 a ≤0② 解：〔1〕2x /3 —5＜1 〔2〕8＋2y ＞0 〔3〕x ＋5≥0〔4〕x /4 ≤2 〔5〕4x ＞3x —7 〔6〕2〔x —8〕/ 3 ≤ 0例题：①解不等式 31〔1－2x 〕＞2)12(3-x 解得：x ＜1/2②解：设每天至少读x 页依题意〔10－5〕x ＋ 100 ≥ 300 解得x ≥40 答〔略〕（6） 写出以下列图所表示的不等式的解集x ≥_－1/2_________________________x ＜0________________________例题：①②例题：如果a ＞b ，比较以下各式大小〔1〕3a -_＞__3b -，〔2〕13a +_＞___13b +，〔3〕2a -_＜__2b - 〔4〕21a +__＞_21b +，〔5〕1a -+_＜__1b -+③【05黄岗】〔C 〕 ④求不等式组2≤3x －7＜8的整数解．解得：3≤x ＜5课后练习：1、下面方程或不等式的解法对不对？（5） 由－x ＝5，得x ＝－5；〔 对 〕（6） 由－x ＞5，得x ＞－5；〔错 〕（7） 由2x ＞4，得x ＜－2；〔 错 〕（8） 由－21x ≤3，得x ≥－6．〔对 〕2、判断以下不等式的变形是否正确：（5） 由a ＜b ，得ac ＜bc ；〔 错 〕（6） 由x ＞y ，且m ≠0，得－m x ＜m y -；〔 错 〕 （7） 由x ＞y ，得xz 2 ＞yz 2；〔 错 〕（8） 由xz 2 ＞yz 2，得x ＞y ；〔对 〕3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果缺乏3个，问有几个孩子？有多少只苹果？解：设有x 个孩，依题意：3x ＋8 － 5〔x －1〕＜3 解得5＜x ≤6.5X ＝6 答〔略〕。
2017届中考数学专题复习第2章方程与不等式第6讲一元二次方程
第6讲 一元二次方程☞【基础知识归纳】☜☞归纳1.一元二次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ()200ax bx c a ++=≠ 其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数.☞归纳2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果0n <，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =2(40)b ac -≥（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.☞归纳3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac -. （1）240b ac -> ⇔ 一元二次方程有两个 不相等 实数根，（2）240b ac -= ⇔ 一元二次方程有 两个 相等的实数根，（3）240b ac -< ⇔ 一元二次方程 没有 实数根.☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一 一元二次方程的有关概念【例1】下列为一元二次方程的是（ ）A.2310x -+= B.0232=-+x x C.02=+-c bx ax D.0222=+y x【答案】A【举一反三】1. 下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）A.2160x -=B.2140x x--= C.2210x x ++=D.2410x +-= 【答案】B2. 方程22(32)(1)0x x x --++=的一般形式是（ ）A.2550x x -+=B.2550x x ++=C.2550x x +-=D.250x +=【答案】A3. (2016河池) 已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1，则m = ．【答案】2☺ 题型二 一元二次方程的解法【例2】(2016淄博) 解方程：2410x x +-=【答案】1222x x =-=-22121414441(1)20222a b c b ac x x x ===--=-⨯⨯-=====-±∴=-+=--解：，，【举一反三】4. (2016新疆) 一元二次方程2650x x --= 配方后可变形为（ ）A. 2(3)14x -=B. 2(3)4x -=C. 2(3)14x += D. 2(3)4x += 【答案】A5. (2015钦州) 用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（ ）A. 2(5)16x +=B. 2(5)1x +=C. 2(10)91x +=D. 2(10)109x +=【答案】A6. (2016沈阳) 一元二次方程2412x x -=的根是（ ）A. 122,6x x ==-B. 122,6x x =-=C. 122,6x x =-=-D. 122,6x x ==【答案】B7. (2016鄂州) 方程230x -=的根是【答案】12x x =8. (2016泰安) 解方程：22239x x -=-（）【答案】12x =3x =9，2222222122(x 6x 9)x 92x 12x 18x 92x x 12x 1890x 12x 270(x 3)(x 9)0x 30x 9=0x =3x =9-+=--+=---++=-+=--=-=-∴解：或，☺ 题型三 一元二次方程根的判别式的应用【例3】(2016兰州) 一元二次方程2210x x ++=的根的情况（ ）A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根【答案】B【例4】(2016营口) 若关于x 的一元二次方程2210kx x +-= 有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1k ≥-B. 1k >-C. 10k k ≥-≠且D. 10k k >-≠且 【答案】C【举一反三】9. (2016舟山) 一元二次方程22310x x -+=根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A10. (2016葫芦岛) 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A. 22610x x -+=B. 2350x x --=C. 20x x +=D.2440x x -+=【答案】D11. (2016南平) 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A. 2230x x --=B. 210x x -+=C. 2210x x ++=D. 21x =【答案】B12. (2016自贡) 已知关于x 的一元二次方程 22(2)0x x m +--= 有实数根， 则m 的取值范围是（ ）A. 1m >B. 1m <C. 1m ≥D. 1m ≤【答案】C☺题型四 用一元二次方程解实际问题【例5】(2016巴中) 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶， 经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．【答案】30%．【解答】设该种药品平均每场降价的百分率是x ，由题意得：2200198?x -=（） 解得：1x =1.7（不合题意舍去），2x =0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．【举一反三】13. (2016内蒙古) 如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m 2，两块绿地之间及周边有宽度 相等的人行通道，则人行通道的宽度为____________m ．【答案】2解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（30﹣3x ）（24﹣2x ）=480，解得x1=20（舍去），x2=2．即：人行通道的宽度是2m ．☞【巩固提升自我】☜1. (2015珠海) 一元二次方程2104x x ++=的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定根的情况【答案】B2. (2015广东) 若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根， 则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ＞D. 2a ＜ 【答案】C【解析】△＝1－4（94a -+）＞0，即1＋4a －9＞0，所以，2a ＞3. (2015佛山) 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2m ， 另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）A. 7mB. 8mC. 9mD. 10m【答案】A设原正方形的边长为xm ，依题意有（x-3）（x-2）=20，解得：x 1 =7，x 2 =-2（不合题意，舍去）4. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程 的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）A. 10B. 14C. 10或14D. 8或10 【答案】B5. (2015广东) 解方程：2320x x -+=解：(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=∴11x =，22x =6. (2015广州) 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.(1) 求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2) 根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 解：设增长率为x ，根据题意2014年为2500（1+x ）万元，2015年为2500（1+x ）2万元．则2500（1+x ）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．7. (2015梅州) 已知关于x 的方程0222=-++a x x .（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．【答案】（1）3<a ；（2）a 的值是1-，该方程的另一根为3-．（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得： ⎩⎨⎧-=∙-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．8. (2016梅州) 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x 、2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x 、2x 满足1212x x x x +=-⋅ ，求k 的值．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴034)1(4)12(22>-=+-+=∆k k k ，解得：43>k ． （2）由根与系数的关系，得)12(21+-=+k x x ，1221+=⋅k x x ．∵2121x x x x ⋅-=+，∴)1()12(2+-=+-k k ，解得：0=k 或2=k ，又∵43>k ，∴2 k ．。
2017年春中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习五方程不等式与函数的实际应用题试题
2017年春中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习五方程不等式与函数的实际应用题试题专题复习(五) 方程、不等式与函数的实际应用题1．(2016·永州)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得400×(1－x%)2＝324，解得x＝10或x＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件．第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，解得m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．2．“全民阅读”深入人心，读好书让人终身受益．为打造书香校园，满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书．经了解，20本文学名著和40本科技阅读共需1 520元，一本文学名著比一本科技阅读多22元(注：所采购的文学名著书价格都一样，所采购的科技阅读书价格都一样)．(1)求每本文学名著和科技阅读各多少元；(2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本，科技阅读和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2 000元，请你为学校求出符合条件的购书方案；(3)请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元？解：(1)设每本文学名著x 元，每本科技阅读y 元．依题意，有⎩⎨⎧20x ＋40y ＝1 520，x ＝y ＋22.解得⎩⎨⎧x ＝40，y ＝18.答：每本文学名著和科技阅读分别是40元，18元．(2)设购买文学名著m 本，则科技阅读(m ＋20)本，依题意，有⎩⎨⎧m ＋m ＋20≥72，40m ＋18（m ＋20）≤2 000.解得26≤m≤28829. 由于m 为正整数，∴m 取值为26，27，28.也就是说这次购买方案有3种，即文学名著26本，科技阅读46本；文学名著27本，科技阅读47本；文学名著28本，科技阅读48本．(3)由(2)知，此次活动购买最多图书为文学名著28本，科技阅读48本．即x ＝75，y 最小值＝18×75＋7 200＝8 550(元)．∴当购买A 种树木75棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元．4．(2016·龙东)甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，两车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系，如图所示：(1)A 、B 两城之间的距离是多少千米？(2)求乙车出发后几小时追上甲车；(3)直接写出甲车出发后多长时间，两车相距20千米．解：(1)由图象知，A 、B 两城之间的距离是300千米．(2)设过(5，0)，(10，300)的直线表达式为y 甲＝k 1t ＋b 1，则⎩⎨⎧5k 1＋b 1＝0，10k 1＋b 1＝300.解得⎩⎨⎧k 1＝60，b 1＝－300.∴y 甲＝60t －300. 设过(6，0)，(9，300)的直线表达式为y 乙＝k 2t ＋b 2，则⎩⎨⎧6k 2＋b 2＝0，9k 2＋b 2＝300.解得⎩⎨⎧k 2＝100，b 2＝－600.∴y 乙＝100t －600. 当y 甲＝y 乙，即60t －300＝100t －600.解得t ＝7.5.∴7.5－6＝1.5.答：乙车出发后1.5小时追上甲车．(3)①当y 甲＝20，即60t －300＝20，解得t ＝513. ∴513－5＝13(小时)； ②当y 甲＝y 乙＋20，即60t －300＝100t －600＋20，解得t ＝7.∴7－5＝2(小时)；③当y 乙＝y 甲＋20，即100t －600＝60t －300＋20，解得t＝8.∴8－5＝3(小时)；④当y 甲＝300－20，即60t －300＝300－20，解得t ＝923.∴923－5＝423(小时)． 答：甲车出发后13小时或2小时或3小时或423后，两车相距20千米．5．(2016·泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9 000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1 600元．(1)求两种球拍每副各多少元；(2)若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设直拍球拍每副x 元，横拍球拍每副y 元，由题意得 ⎩⎨⎧20（x ＋20）＋15（y ＋20）＝9 000，5（x ＋20）＋1 600＝10（y ＋20）.解得⎩⎨⎧x ＝220，y ＝260. 答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元．(2)设购买直拍球拍m 副，则购买横拍球拍(40－m)副，由题意得m ≤3(40－m)．解得m≤30.设买40副球拍所需的费用为w 元，则w ＝(220＋20)m ＋(260＋20)(40－m)＝－40m ＋11 200.∵－40＜0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m ＝30时，w 取最小值，最小值为－40×30＋11 200＝10 000(元)．答：购买直拍球拍30副，购买横拍球拍10副时，费用最少，最少为10 000元．6．(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价 (万元)每件成本(万元)每年其他费用 (万元) 每年最大产 销量(件)甲 6 a 20 200乙20 1040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．解：(1)y1＝(6－a)x－20(0<x≤200)；y2＝(20－10)x－(40＋0.05x2)＝－0.05x2＋10x－40(0<x≤80)．(2)∵3≤a≤5，∴6－a>0.∴y随x的增大而增大．∴当x＝200时，y1的最大值为1 180－200a.y2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460，∵－0.05<0，0<x≤80，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝80时，y2的最大值为440.(3)当1 180－200a>440时，a<3.7；当1 180－200a＝440时，a＝3.7；当1 180－200a<440时，a>3.7；∴当3≤a<3.7时，选择产销甲种产品获得最大年利润；当a＝3.7时，产销甲、乙两种产品获得的最大年利润一样；当3.7<a≤5时，选择产销乙种产品获得最大年利润．7．(2016·临沂)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？解：(1)当0＜x≤1时，y甲＝22x，y乙＝16x＋3；当x＞1时，y甲＝22＋15(x－1)＝15x＋7，y乙＝16x＋3.(2)①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x＋3，解得0＜x＜12；令y甲＝y乙，即22x＝16x＋3，解得x＝12；令y甲＞y乙，即22x＞16x＋3，解得12＜x≤1.②当x＞1时，令y甲＜y乙，即15x＋7＜16x＋3，解得x＞4；令y甲＝y乙，即15x＋7＝16x＋3，解得x＝4；令y甲＞y乙，即15x＋7＞16x＋3，解得1＜x＜4.综上可知：当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4或x＝12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x ＜12或x ＞4时，选甲快递公司省钱．8．(2016·天水)天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系y ＝⎩⎨⎧32x （0＜x≤5），20x ＋60（5＜x≤19）.(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)解：(1)将y ＝260代入y ＝32x ，得260＝32x ，解得x ＝818. 此时，x 值不满足0＜x≤5，故这种情况不存在．∴5＜x≤19时，则有20x ＋60＝260，解得x ＝10.∴李红第10天生产的粽子数量为260只．(2)由图可知p 1＝2(0＜x≤9)．设p 2＝kx ＋b(9＜x≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得⎩⎨⎧9k ＋b ＝2，19k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝0.1，b ＝1.1.∴p 2＝0.1x ＋1.1(9＜x≤19)．当0＜x≤5时，w ＝(4－2)×32x＝64x ，由一次函数的性质，知当x ＝5时，w 最大＝320.当5＜x≤9时，w ＝(4－2)×(20x＋60)＝40x ＋120，由一次函数的性质，知当x ＝9时，w 最大＝480.当9＜x≤19时，w ＝[4－(0.1x ＋1.1)]×(20x＋60)＝－2x 2＋52x ＋174＝－2(x －13)2＋512，由二次函数的性质，知当x ＝13时，w 最大＝512.∴w 与x 之间的函数表达式为： w ＝⎩⎪⎨⎪⎧64x （0＜x≤5），40x ＋120（5＜x≤9），－2x 2＋52x ＋174（9＜x≤19）.由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大利润是512元．9．(2016·黄石)科技馆是少年儿童假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x 表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧ax 2（0≤x≤30），b （x －90）2＋n （30≤x≤90）.10：00之后来的游客较少可忽略不计．(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？解：(1)∵300＝a×302，∴a ＝13.∵n ＝700，b ×(30－90)2＋700＝300， ∴b ＝－19.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2（0≤x≤30），－19（x －90）2＋700（30≤x≤90）.(2)∵－19(x －90)2＋700＝684，解得x ＝78或x ＝102(舍去)．∴684－6244＝15，15＋30＋(90－78)＝57(分钟)．∴馆外游客最多等待57分钟．10．(2016·荆门)A城有某种农机30台，B城有农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W 元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？解：依题意列表如下：表一：运送数量(台)送出地数量接收地C D合计A x30－x30B34－x6＋x40合计34 36 70 表二：运输费用(元/台)送出地费用接收地C DA 2520B 1524(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x) ＝140x＋12 540.∵表一中的数是非负整数，∴自变量x的取值范围是0≤x≤30，且为整数．(2)∵W≥16 460，∴140x＋12 540≥16 460.解得x≥28.∴28≤x≤30.此时整数x＝28，29，30.∴共有3种方案，如下表：方案一方案二方案三C D C D C DA 28 2 291 30 0B 6 34 5 35436(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x) ＝(140－a)x＋12 540.①当0＜a＜140时，140－a＞0，W随x的增大而增大，∴x ＝0时，W最小．此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运0台，从A至D乡运30台，从B至C乡运34台，从B至D乡运6台；②当a＝140时，各种调运费用相同，均是12 540；③当140＜a≤200时，140－a＜0，W随x的增大而减小，∴x＝30时，W最小．此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运30台，从A 至D乡运0台，从B至C乡运4台，从B至D乡运36台．。
2017届云南中考专项(八)方程、不等式、函数的实际应用题
题型专项(八) 方程、不等式、函数的实际应用题本专题主要是对方程(组)应用和利用不等式以及函数进行方案设计的巩固和深化．解决这类题型时，我们需要认真审题，根据实际问题找出题目的已知条件并设出相应的未知数，充分利用“倍数”“是”“比”“多”“少”“共”等关键词找出等量关系，列出方程或函数关系式，利用“不超过”“不低于”“不少于”等关键词找出不等关系，利用函数的性质进行方案决策，把实际问题转化为数学问题进行解答． 类型1 方程的实际应用题1．(2016·云南模拟)昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．解：设乙车速度为x 千米/时，甲车速度为(x ＋20)千米/时．根据题意，得23(x ＋x ＋20)＝128.解得x ＝86. 则x ＋20＝86＋20＝106.答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．2．(2016·自贡)某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同)作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？解：设购买一支钢笔需x 元，一本笔记本需y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝62，5x ＋y ＝90.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝10. 答：购买一支钢笔需16元，一本笔记本需10元． 类型2 函数的实际应用题3．(2015·宁德)宁德一中代表队荣获“中国谜语大会”金奖后，某校也准备举行“谜语”竞赛，规定每位参赛者需完成20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分．(1)设某位参赛者答对x 题，得分为y 分，求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知学校规定竞赛成绩超过90分为一等奖．若小辉参加本次比赛，他想获得一等奖，则他至少要答对多少道题？解：(1)y ＝10x －5(20－x)＝15x －100(0≤x ≤20)．(2)由题意，得15x －100＞90.解得x ＞383.∵x 取最小整数．∴x ＝13. 答：他至少要答对13道题．4．(2016·连云港)环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数解析式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L ？为什么？解：(1)当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b.把A(0，10)、B(3，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，3k ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝10.∴y ＝－2x ＋10. 当x>3时，设y ＝mx，把B(3，4)代入得m 3＝4，∴m ＝12.∴y ＝12x .综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋10（0≤x ≤3），12x （x>3）.(2)能．令y ＝12x＝1，则x ＝12<15.∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内达标．5．(2016·云南模拟)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2 000. 当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12 000.综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2 000（1≤x<50），－120x ＋12 000（50≤x ≤90）.(2)当1≤x ＜50时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2 000＝6 050. 当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小， 当x ＝50时，y 最大＝6 000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6 050元． 类型3 方案设计题6．(2016·昆明模拟)某小区为了绿化环境，计划分两次购进A 、B 两种花草，第一次分别购进A 、B 两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A 、B 两种花草12棵和5棵，共花费265元(两次购进的A 、B 两种花草价格均分别相同)．(1)A 、B 两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A 、B 两种花草共31棵，且B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍，请你设计出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设A 种花草每棵的价格x 元，B 种花草每棵的价格y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝675，12x ＋5y ＝265，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5. 答：A 种花草每棵的价格是20元，B 种花草每棵的价格是5元．(2)设A 种花草的数量为m 棵，则B 种花草的数量为(31－m)棵，购买树苗总费用为W 元， ∵B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍，∴31－m ＜2m.解得m ＞313.∵m 是正整数，∴m 最小值＝11. W ＝20m ＋5(31－m)＝15m ＋155. ∵k ＞0，∴W 随x 的减小而减小．当m ＝11时，W 最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：购进A 、B 两种花草的数量为11棵、20棵，费用最省，最省费用是320元．7．(2015·昆明模拟)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：(1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)根据题意，得90m ＝75m －3.解得m ＝18.经检验，m ＝18是所列方程的解．(2)设购买A 型号的污水处理设备x 台，则购买B 型号的污水处理设备为(10－x)台．依题意可得 18x ＋15(10－x)≤165.解得x ≤5.∵x 为非负整数，∴x 取0，1，2，3，4，5. ∴共有6种购买方案．设某种方案每月能处理的污水量为w 吨，则 w ＝220x ＋180(10－x)＝40x ＋1 800.由一次函数的性质可知，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5，W 最多＝40×5＋1 800＝2 000.即购买A 型号、B 型号的污水处理设备分别为5台、5台时，月处理的污水量最多为2 000吨.1．(2016·大庆)某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，原计划每天能加工多少个零件？解：设原计划每天能加工x 个零件，根据题意，得360x －3601.2x＝10.解得x ＝6. 经检验，x ＝6是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天能加工6个零件．2．某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示：注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个． 解：设本场比赛中该运动员投中2分球x 个，3分球y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10＋2x ＋3y ＝60，x ＋y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝6.答：本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个．3．昆明市某学校为创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书本数相同，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10 000元再购进一批文学书和科普书．问：(1)科普书和文学书的单价各是多少元？(2)若购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？解：(1)设文学书的单价为x 元，则科普书的单价为(x ＋4)元．根据题意，得12 000x ＋4＝8 000x.解得x ＝8. 经检验，x ＝8是所列方程的解． x ＋4＝12.答：科普书和文学书的单价各是12元，8元． (2)(10 000－550×8)÷12＝46623≈466(本)．答：至多还能购进466本科普书． 4．(2016·曲靖模拟)汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1 500万元，到2014年盈利2 160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．(1)求该公司盈利的年增长率；(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？ 解：(1)设该公司每年盈利的年增长率是x.根据题意，得1 500(1＋x)2＝2 160，解得x 1＝0.2，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：每年盈利的年增长率是20%.(2)2 160(1＋0.2)2＝3 110.4(万元)． 答：预计2016年盈利3 110.4万元．5．某农业观光园计划将一块面积为900 m 2的园圃分成A ，B ，C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为x(m 2)．(1)求该园圃栽种的花卉总株数y 关于x 的函数表达式；(2)若三种花卉共栽种6 600株，则A ，B ，C 三个区域的面积分别是多少？ (3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84 000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．解：(1)y ＝3x ＋12x ＋12(900－3x)， 即y ＝－21x ＋10 800.(2)当y ＝6 600时，－21x ＋10 800＝6 600. 解得x ＝200.∴2x ＝400，900－3x ＝300.答：A 区域的面积是200 m 2，B 区域的面积是400 m 2，C 区域的面积是300 m 2. (3)种植面积最大的花卉总价为36 000元．6．(2016·深圳)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；(2)如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．解：(1)设桂味售价为每千克x 元，糯米糍售价为每千克y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝90，x ＋2y ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝20. 答：桂味售价为每千克15元，糯米糍售价为每千克20元．(2)设购买桂味t 千克，总费用为W 元，则购买糯米糍(12－t)千克． ∴12－t ≥2t.∴t ≤4.W ＝15t ＋20(12－t)＝－5t ＋240.∵k ＝－5＜0，∴W 随t 的增大而减小． ∴当t ＝4时，W min ＝220.答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，总费用最少．7．(2016·十堰)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg.且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5 kg ， ∴y 与x 是一次函数关系．∴y 与x 的函数关系式为y ＝100－0.5(x －120)＝－0.5x ＋160. ∵销售单价不低于120元/kg ，且不高于180元/kg ， ∴自变量x 的取值范围为120≤x ≤180.(2)设销售利润为w 元，则w ＝(x －80)(－0.5x ＋160)＝－12x 2＋200x －12 800＝－12(x －200)2＋7 200.∵a ＝－12＜0，∴当x ＜200时，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝180时，销售利润最大，最大利润是w ＝－12(180－200)2＋7 200＝7 000(元)．答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7 000元．。
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专题复习(五)方程、不等式与函数的实际应用题
1．(2016·永州)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x %，依题意得
400×(1－x %)2＝324，
解得x ＝10或x ＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件．第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；
第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．
依题意得：60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210，解得m ≥22.5.
∴m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
2．“全民阅读”深入人心，读好书让人终身受益．为打造书香校园，满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书．经了解，20本文学名著和40本科技阅读共需1520元，一本文学名著比一本科技阅读多22元(注：所采购的文学名著书价格都一样，所采购的科技阅读书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和科技阅读各多少元；
(2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本，科技阅读和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请你为学校求出符合条件的购书方案；
(3)请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元？
解：(1)设每本文学名著x 元，每本科技阅读y 元．依题意，有
520，答：每本文学名著和科技阅读分别是40元，18元．
(2)设购买文学名著m 本，则科技阅读(m＋20)本，依题意，有
000.
解得26≤m≤28829.由于m 为正整数，∴m 取值为26，27，28.
也就是说这次购买方案有3种，即文学名著26本，科技阅读46本；文学名著27本，科技阅读47本；文学名著28本，科技阅读48本．
(3)由(2)知，此次活动购买最多图书为文学名著28本，科技阅读48本．
∴28×40＋48×18＝1984(元)．答：此次活动学校最多需投入资金1984元．
3．(2016·孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B 两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．
(1)求A 种，B 种树木每棵各多少元；
(2)因布局需要，购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
解：(1)设A 种，B 种树木每棵分别为a 元，b 元，则
答：A 种，B 种树木每棵分别为100元，80元．。