九年级下第三次月考数学试卷含答案解析

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广东省广州市越秀区第二中学2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案解析)

广东省广州市越秀区第二中学2021-2022学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．2．在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（）A ．甲的成绩比乙的成绩稳定B ．乙的成绩比甲的成绩稳定C ．甲、乙两人的成绩一样稳定D ．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 3．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A ．14B ．12 C ．34 D ．14．下列计算正确的是（）A ．448x x x +=B ．236x x x =C ．()3263x y x y =D ．22x x -=- 5．已知点M (126m +，)在第四象限，则m 的取值范围是（）A ．1mB ．31m -<<C ．3m >-D ．3m <-6．代数式2231x x x --+的值等于0，则x =（） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．-1或3 7．在函数224y x x a =-++（a 为常数）的图象上有三点(-3，1y )，(-1，2y ），(2，3y )，则函数值1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．312y y y <<B ．123y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y << 8．一元二次方程2410ax x +-=有两个实根，则a 的取值范围是（）A ．4a >-B ．4a ≥-C ．4a >-且0a ≠D ．4a ≥-且0a ≠ 9．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若⊙C ＝59°，则⊙P 的度数为（）A ．59°B ．62°C ．118°D ．124°10．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -<<，212x <<，下列结论：⊙0abc >，⊙420a b c ++<，⊙20a b -<，⊙284b a ac +>，⊙1a <-，其中结论正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11x 的取值范围是 __．12．反比例函数k y x=经过点(2，-2)，则k =_______． 13．已知⊙A 是锐角，且1﹣2sin A ＝0，则⊙A ＝______．14．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为____________________________ ． 15．一个圆锥的主视图是腰长为4cm 的等腰直角三角形，这个圆锥的侧面积等于_____2cm ．16．如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．三、解答题17．解方程：33222x x x-+=--． 18．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为(3，-1)，(2，1)．(1)以O 点为位似中心在y 轴的左侧将⊙OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的⊙O B C ''；(2)直接写出变化后⊙O B C ''的面积______．19．先化简：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，然后从1，0，3-中选择一个你认为合适的x 的值带入求值．20．如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒，再从C 点出发沿斜坡走D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E C H ，，在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．22．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2m y x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)在y 轴上存在一点P ，使ABP CEO S S =，请求出P 的坐标．23．设关于x 的方程x 2−5x −m 2+1=0的两个实数根分别为α、β．(1)证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m 的取值范围．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线248y x ax a =-+的顶点为P ，且不论a 为何值，图象都经过定点Q ．(1)请直接写出定点Q 的坐标；(2)若tan 3OQP ∠=，求点P 的坐标；(3)若当x a ≥时，抛物线的图象与坐标轴有两个不同的交点，求a 的取值范围． 25．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边上的中线，以CD 为弦画圆，与边AC 交于点C 、E ，与边BC 交于点C 、F ，与边AB 交于点D 、G ．(1)若BF=BG，求B的大小；(2)连接EF，试猜想线段BF、EF、AE的长度满足用等号连接的数量关系，并说明理由；(3)连接CG，若CG恰好是⊙ABC的平分线，求BFAE的值．参考答案：1．A【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，其左视图为：．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．2．B【解析】【分析】根据方差的意义求解可得．【详解】⊙乙的成绩方差＜甲成绩的方差，⊙乙的成绩比甲的成绩稳定，故选B.【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．3．B【解析】【分析】分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆，再根据概率公式求解即可．【详解】解：分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；∴现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为2142=，故选：B ．【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：首先判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形，然后利用概率公式求解．4．C【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方以及负整数指数幂进行判断即可.【详解】解：A. 4442x x x +=，故该选项计算错误，不符合题意；B. 235x x x =，故该选项计算错误，不符合题意；C. ()3263x y x y =，故该选项计算正确，符合题意； D. 221x x -=，故该选项计算错误，不符合题意故选：C.【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方以及负整数指数幂的运算，熟练地掌握这些知识是解题的关键.5．D【解析】【分析】根据点M 在第四象限列出关于m 的不等式，求解即可；【详解】解：⊙M (1,2m +6)在第四象限，⊙2m +6<0，解得：m <-3，【点睛】本题考查各象限内点的坐标特征，解一元一次不等式，熟练掌握第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负是解题的关键．6．C【解析】【分析】分式的值为0，则分子为0，分母不为0，套用求解即可.【详解】解：⊙代数式2231x x x --+的值等于0 ⊙x 2-2x -3=0且x +1=0⊙x =-1或3且x ≠-1⊙x =3故选：C.【点睛】本题考查了分式值为0的条件及解一元二次方程，分式值为0的条件为：分子为0，分母不为0，熟练掌握分式为0的条件，正确求出一元二次方程的解是解题关键． 7．B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】解：⊙()2224212y x x a x a =-++=--++⊙二次函数的对称轴为直线1x =；图象开口向下；当1x <时，y 随着x 的增大而增大 ⊙()32,y 关于对称轴的对称点的坐标为()30,y⊙3101-<-<<⊙123y y y <<故选B ．本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 8．D【解析】【分析】根据一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）根的判别式24b ac ∆=-的意义，由题意得Δ＞0，可得关于a 的不等式32+4a ＞0，且二次项系数不能为0，解不等式可得答案【详解】解：⊙一元二次方程2410ax x +-=有两个实根，⊙()2244411640b ac a a ∆=-=-⨯-=+≥，且0a ≠，解得4a ≥-且0a ≠．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆＜，方程没有实数根．9．B【解析】【分析】连接OA 、OB ，先证明⊙P=180°-⊙AOB ，根据圆周角定理得出⊙AOB=2⊙ACB ，求出⊙AOB 的度数，即可得出结果．【详解】连接OA 、OB ，如图所示：⊙PA 、PB 是⊙O 切线，⊙PA⊙OA ，PB⊙OB ，⊙⊙PAO=⊙PBO=90°，⊙⊙P+⊙PAO+⊙AOB+⊙PBO=360°，⊙⊙P=180°-⊙AOB ，⊙⊙ACB=59°，⊙⊙AOB=2⊙ACB=118°，⊙⊙P=180°-118°=62°，故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键．10．D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴的位置，判断b 的符号，即可判断⊙；根据x=2所对应的函数值，即可判断⊙；根据2b a-＜1，b ＞0，即可判断⊙；根据顶点的纵坐标＞2，即可判断⊙；根据抛物线过点(1，2)，x=1，x=2所对应的函数值＜0，即可判断⊙．【详解】由抛物线的开口向下知：a<0，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得：c>0， ⊙对称轴为：直线x=2b a-＞0， ⊙b ＞0，⊙0abc <，故⊙错误；⊙当x=2时，y=4a+2b+c<0，⊙⊙正确； ⊙2b a -＜1，a<0， ⊙2a+b<0，⊙b ＞0，⊙-2b ＜0，⊙2a-b=2a+b+(-2b)＜0，⊙⊙正确； ⊙244ac b a ->2，⊙4ac−b 2<8a ，⊙b 2+8a>4ac ，⊙⊙正确；⊙二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)，⊙a+b+c=2，则2a+2b+2c=4（i ），⊙当x=2时，y=4a+2b+c<0（ii ），当x=1时，y=a−b+c<0，则2a−2b+2c<0（iii ），由（i ）（iii ）得：2a+2c<2，由（i ）（ii ）得：2a−c<−4，即：4a−2c<−8，上面两个不等式相加得到：6a<−6，⊙a<−1，故⊙正确；⊙⊙⊙⊙⊙正确．故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数解析式的系数的关系，通过二次函数图象等到关于a ，b ，c 的不等式或方程，进行适当的变形和加减消去b ，c 是解题的关键．11．x ≥12【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件可得2x -1≥0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2x -1≥0，解得：x ≥12，故答案为：x ≥12．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．-4【解析】【分析】将点坐标直接代入求解即可．【详解】解：⊙反比例函数k y x =经过点()2,2- ⊙22k =- 解得4k =-故答案为：-4．【点睛】本题考查了反比例函数解析式．解题的关键在于将点代入求解．13．30°##30度【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【详解】解：⊙1﹣2sin A ＝0，⊙sin A ＝12， ⊙⊙A ＝30°．故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000.【解析】【分析】根据平均每月增长率为x ，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共1000万元，可建立方程．【详解】由题意，二月的营业额为200（1+x ），三月的营业额为200（1+x ）2，⊙一月、二月、三月的营业额共1000万元⊙200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1000即200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000故答案为200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000.【点睛】1本题重点考查等比数列模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15．【解析】【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4cm ，底面圆的直径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4cm ，根据等腰直角三角形的腰长相等，顶角为90°，可得：底面圆的直径为，⊙底面圆的周长=πd =cm ，⊙这个圆锥的侧面积=214cm 2⨯⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查了三视图和圆锥的侧面积计算，解题的关键是根据题意得出母线和底面圆的半径，并熟记圆锥侧面积的计算公式．16．【解析】【分析】取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，首先利用四点共圆证明2OP =，再利用相似三角形的性质证明12PT PC =，推出14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，根据+PD PT DT ≥，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ，即可求出DT 的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，⊙A （2，0），B （0，2），C （4，0），⊙OA =OB =2，OC =4，以O 为圆心，OA 为半径作O ，在优弧AB 上取一点Q ，连接QB ，QA ， ⊙1452Q AOB ∠=∠=︒，135APB ∠=︒， ⊙45135180Q APB ∠+∠=︒+︒=︒，⊙A ，P ，B ，Q 四点共圆，⊙2OP OA ==，⊙2OP =，1OT =，4OC =，⊙2OP OC OT =， ⊙OP OT OC OP=， ⊙POT POC ∠=∠，⊙POT COP △∽△， ⊙12PT OP PC OC ==， ⊙12PT PC =， ⊙14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ，⊙D 的坐标为（5，3），⊙点E 的坐标为（5，0），TE =4，⊙DT⊙+PD PT DT ≥，⊙4+2PD PC ≥⊙4+2PD PC 的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．17．x ＝43【解析】【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：33222x x x-+=-- 去分母得：()3223x x -+-=-，去括号得：3243x x -+-=-移项合并得：3x ＝4，解得：x ＝43，经检验x ＝43是分式方程的解；故x ＝43是原方程的根．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．(1)见详解(2)10【解析】【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B ′、C '的坐标，然后描点即可；（2）先计算OBC 的面积，然后利用相似的性质把OBC 的面积乘4得到OB C ''△的面积．(1)解：如图，OB C ''△为所作．(2)解：根据题意得OB C ''△的面积=1114423212131)10222OCB S =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（．故答案为：10．【点睛】本题考查了作图-位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．19．x +1，﹣2【解析】【分析】先算括号里的分式加减，再算括号外的除法化简分式，再选择分式有意义的x 值代入化简式子中求解即可．【详解】解：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ =(1)(1)1x x x x x=1x +，⊙x ≠1，x ≠0，x ≠﹣1， ⊙将x =﹣3代入，原式=﹣3+1=﹣2．【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及分式的加减、分式的除法、平方差公式、分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解答的关键．20．（1）结果见解析；（2）13．【解析】【详解】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）⊙两个数字的积为奇数的4种情况，⊙两个数字的积为奇数的概率为：41 123=．试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．21．（1）2米；（2）(6+米【解析】【分析】（1）作DH⊙CE于H，解Rt⊙CDH，即可求出DH；（2）延长AD交CE于点G，解Rt⊙GDH、Rt⊙CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在⊙ABG中，利用正切的定义求出AB即可．【详解】解：（1）过D作DH⊙CE于H，如图所示：在Rt⊙CDH中，13 DHCH=，⊙CH=3DH，⊙CH2+DH2=CD2，⊙（3DH）2+DH2=（2，解得：DH =2或-2（舍），⊙王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度为2米；（2）延长AD 交CE 于点G ，设AB =x 米，由题意得，⊙AGC =30°，⊙GH =tan DH AGC ∠⊙CH =3DH =6，⊙GC =GH +CH =，在Rt ⊙BAC 中，⊙ACB =45°，⊙AB =BC ，⊙tan⊙AGB =AB AB BG BC CG ==+解得：AB =6+即大树AB 的高度为6+【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．22．(1)26y x= (2)P 点的坐标为(0，12)或(0，72) 【解析】【分析】（1）根据题意可知A (-4，0)，B (0，2)，E (2，0)．即可利用待定系数法求出直线1y 的表达式为1122y x =+．由CE x ⊥，可知2C E x x ==．根据点C 在直线1y 的图象上，即可求出C 点坐标，再次利用待定系数法即可求出反比例函数2y 的表达式；（2）根据题意可求出3CE =，从而可求出132ABP CEO S S CE OE ==⋅=．设P (0，a )，则2P A BP x x a =-=-，即得出1124322BP OA a ⋅=⨯-⨯=，解出a 即得出答案． (1)由题意可知A (-4，0)，B (0，2)，E (2，0)．将A (-4，0)，B (0，2)代入1y kx b =+，得042k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊙1122y x =+． ⊙CE x ⊥，⊙2C E x x ==，代入1122y x =+，得：12232C y =⨯+=， ⊙C (2，3)． ⊙点C 在2m y x=的图象上， ⊙32m =，解得：6m =，⊙反比例函数2y 的表达式为26y x =； (2)根据题意可求3CE =，⊙1132322CEO SCE OE =⋅=⨯⨯=， ⊙3ABPS =．设P (0，a )，则2P A BP x x a =-=-，⊙11242222ABP S BP OA a a =⋅=⨯-⨯=-，⊙223a-=，解得：72a=或12a=．⊙P点的坐标为(0，12)或(0，72)．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．在解（2）时根据所设P点坐标，利用绝对值表示出BP的长度是关键．23．(1)见解析m【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=（-5）2-4(−m2+1)＞0，进而即可证出：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围．(1)证明：⊙Δ=（-5）2-4(−m2+1)=4m2+21＞0，⊙无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)解：关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β，⊙α+β=5，αβ=1-m2，⊙|α|+|β|≤6，⊙α2+β2+2|αβ|≤36，即（α+β）2-2αβ+2|αβ|≤36．⊙25-2（1-m2）+2|1-m2|≤36，当1-m2≥0时，25≤36成立，⊙-1≤m≤1．⊙当1-m2＜0时，得25-4（1-m2）≤36，m⊙由⊙、⊙得m 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，难度较大，关键是正确灵活运用根与系数的关系列出不等式．24．(1)（2，4）；(2)()2,4或()3,3或15195,749⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)1【解析】【分析】（1）根据()224842y x ax a x a x =-+=--，可得当x =2时，y =4，即可求解；（2）先求出点()22,48P a a a -+，过点Q 作AQ ⊙OA 于点A ，过点Q 作BQ ⊙OB 于点B ，使tan 3OQA ∠=，tan 3OQB ∠=，根据点Q （2，4），可求出点A （3，3），点321,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由tan 3OQP ∠=，可得点P 位于直线AQ 或直线BQ 上，然后求出直线AQ 、BQ 的解析式，再把()22,48P a a a -+代入，即可求解；（3）分三种情况讨论：当a ＝0时，当a ＞0时，当a ＜0时，即可求解．(1)解：⊙()224842y x ax a x a x =-+=--，⊙当x =2时，y =4，⊙不论a 为何值，图象都经过定点（2，4），即点Q （2，4）；(2)解：⊙()22248248y x ax a x a a a =-+=--+，⊙点()22,48P a a a -+，如图，过点Q 作AQ ⊙OA 于点A ，过点Q 作BQ ⊙OB 于点B ，使tan 3OQA ∠=，tan 3OQB ∠=，⊙点Q （2，4），⊙OQ =⊙tan 3OQA ∠=，设AQ =x ，则OA =3x ，⊙OQ =，=x⊙AQ OA ==设点A （xA ，yA ），⊙(22=，解得：35215A A x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或33A A x y =⎧⎨=⎩， ⊙点A （3，3），同理点321,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊙tan 3OQP ∠=，⊙点P 位于直线AQ 或直线BQ 上，当点P 位于直线AQ 上时，设直线AQ 的解析式为y =kx +b （k ≠0），⊙3324k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩， ⊙直线AQ 的解析式为y =-x +6，把点()22,48P a a a -+代入得：22648a a a -+=-+，解得：1a =或32， ⊙点P 的坐标为()2,4或()3,3；同理当点P 位于直线BQ 上时，1a =或1514， ⊙点P 的坐标为()2,4或15195,749⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，点P 的坐标为()2,4或()3,3或15195,749⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)解：当a ＝0时，2y x ，此时抛物线的图象与坐标轴有一个不同的交点，不符合题意；当a ＞0时，抛物线的对称轴直线4221a x a -=-=⨯＞a ＞0， ⊙当x =0时，y =8a ＞0，且x a ≥，⊙抛物线与y 轴没有交点，⊙抛物线与坐标轴有2个交点，⊙抛物线与x 轴有2个交点，且当x =a 时，y ≥0， ⊙222Δ(4)480480a a a a a ⎧=--⨯>⎨-+≥⎩， ⊙823a <≤；当a ＜0时，抛物线的对称轴直线4221a x a -=-=⨯＜a ＜0， ⊙x a ≥， ⊙抛物线与x 轴有一个交点，与y 轴有一个交点，符合题意，综上所述，a 的取值范围为823a <≤或a ＜0．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．25．(1)60°(2)222EF BF AE =+，理由见解析(3)1【解析】【分析】（1）如图1，连接FG ，由圆内接四边形的性质可知BGF BCD ∠=∠，BFG BDC ∠=∠，由直角三角形斜边中线的性质可知CD BD =，由BF BG =可得BFG BGF ∠=∠，进而可得BDC BCD ∠=∠，有BC CD BD ==，则BCD △是等边三角形，进而可求B 的度数；（2）如图2，连接EF ，EG ，由题意知，根据圆内接四边形的性质可知BGF BCD ∠=∠，BFG BDC ∠=∠，由直角三角形斜边中线的性质可得CD BD AD ==， B BCD ∠=∠，可证DCA DAC ∠=∠，BF FG =，由90ACB ∠=︒，可得90EGF ∠=︒，由同弧所对的圆周角相等可得EGA DAC ∠=∠，AE GE =，在Rt EFG 中，由勾股定理得222EF FG GE =+，进而可得EF ，BF ，AE 的数量关系；（3）如图3，连接CG ，由（2）可知tan BF FG GEF AE GE==∠，由题意知GEF GCF ∠=∠，1452GCF ACB ∠=∠=︒，有45GEF ∠=︒，进而可得tan 451BF AE =︒=． (1)解：如图1，连接FG ，由题意知，BGF BCD ∠=∠，BFG BDC ∠=∠，CD BD =⊙BF BG =⊙BFG BGF ∠=∠⊙BDC BCD ∠=∠⊙BC BD =⊙BC CD BD ==⊙BCD △是等边三角形⊙60B ∠=︒．(2)解：222EF BF AE =+理由如下：如图2，连接EF ，EG由题意知，BGF BCD ∠=∠，BFG BDC ∠=∠，CD BD AD ==，⊙B BCD ∠=∠，DCA DAC ∠=∠⊙B BGF ∠=∠⊙BF FG =⊙90ACB ∠=︒⊙90EGF ∠=︒⊙DE DE =⊙EGA DCA ∠=∠⊙EGA DAC ∠=∠⊙AE GE =在Rt EFG 中，由勾股定理得222EF FG GE =+⊙BF FG =，AE GE =⊙222EF BF AE =+．(3)解：如图3，连接CG ，由（2）可知tan BF FG GEF AE GE==∠⊙FG FG =⊙GEF GCF ∠=∠⊙CG 是ABC 的平分线 ⊙1452GCF ACB ∠=∠=︒ ⊙45GEF ∠=︒ ⊙tan 451BF AE =︒= ⊙BF AE的值为1．【点睛】本题考查了圆内接四边形，等边三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．。

浙江省宁波市第七中学2023-2024学年九年级下学期第三次月考数学试题(含答案)

宁波七中教育集团 2023 学年第二学期初三数学第三次月考试题
（2024.3）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2024 的倒数是（）
1
A．
2014
B． 1 2024
C．2024
D． 2024
2．下面的计算正确的是（）
A． 5a2 4a2 1
（3）如图 2，连接 DP 交 AB 于点 G，过 G 作 GP CD 于点 P，若 BT 6 2 ， DT 6 ．求 DG 的 BC
值．
图1
图2
备用
宁波七中教育集团 2023 学年第二学期初三数学第三次月考答案
（2024.3）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1
2
3
4
5
6
7
A
D
C
第 8 题图
9．反比例函数
y1
m x
x
0
的图象与一次函数
y2
x
b
的图象交于 A、B 两点，其中
A 1, 2
，当
y1
y2
时，x 的取值范围是（）
A． x 1
B．1 x 2
C． x 2
D． x 1或 x 2
10．如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直角三角形 △ AFG 和
图1
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料
素材二
分别制作长方形 DEFG 与等腰三角形 ABC（两
种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为 85 元/
平方米，乙材料的单价为 100 元/平方米．
图2
问题解决

北京市首都师范大学附属中学2022下学期九年级下学期3月月考数学试题(含答案与解析)

【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a,b的位置，可得，又，可得a,b同号，同为正或者同为负.
【详解】本题考查不等式的性质．借助于数轴可知，因此不能判断，，，故A，B，C错误；而由得，由于，故，因此D正确，故选D．
【点睛】本题主要考查借助数轴判断式子是否成立，通过解答本题渗透数形结合的数学思想.
45.5
（1）根据以上信息，可以求出： ______， ______， ______， ______；
（2）请根据数据分析，你认为哪个班的学生数学学科能力整体水平较好，请说明理由；
（3）若规定得分在80分以上为合格，请估计参加数学学科能力测试的学生中合格的学生公共有多少人．
28.小亮在学习中遇到这样一个问题：
【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆形，
故该几何体是一个圆柱，
故选A．
【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日在北京开幕．此次冬奥会的单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米．将1712000用科学记数法表示应为（）
（3）已知，，若线段上存在线段的“小角点”，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1.如图是某几何体的视图，该几何体是（）
A.圆柱B.球C.三棱柱D.长方体
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．

四川省成都市树德实验中学九年级(下)月考数学试卷(3月份)

四川省成都市树德实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2012的绝对值是（） A ．﹣2012 B ．2012C ．﹣12012 D ．12012 2．（3分）下列说法错误的是（） A ．√16的平方根是±2 B ．√2是无理数C ．√−273是有理数 D ．√22是分数 3．（3分）以方程组{y =−x +2y =x −1的解为坐标，点（x ，y ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（3分）如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（）A ．4B ．6C ．7D ．85．（3分）下列分解因式正确的是（） A ．a 2+4a +4=（a +4）2B ．2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ）C ．a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2D ．a 2﹣4=（a ﹣2）26．（3分）某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲=610千克，x 乙=608千克，亩产量的方差分别是S 2甲=29.6，S 2乙=2.7．则关于两种小麦推广种植的合理决策是（） A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲B ．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C ．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲D ．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙 7．（3分）下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）函数y=kx+b（k≠0）与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，下列结论：①∠ABP=∠AOP；②BĈ=DF̂；③PC•PD=PE•PO．其中正确结论的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个10．（3分）如图所示，函数y1=|x|和y2=13x+43的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜﹣1或x＞2二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为．12．（4分）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b=√a+b a−b，如3※2=√3+23−2=√5．那么8※12= ．13．（4分）如图，SO ，SA 分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm ，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．14．（4分）若抛物线y=（a +1）x 2﹣（a +1）x +1与x 轴有且仅有一个公共点，则a 的值为．三、解答题：15．（12分）（1）计算：2|12﹣cos30°|﹣（﹣2012）0+4÷（﹣12）﹣2﹣√643；（2）解不等式组：{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)，并在数轴上画出不等式的解集． 16．（6分）已知：2x 2+6x ﹣4=0，求代数式3−x2x 2−4x÷(5x−2−x −2)的值．17．（8分）如图某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）18．（8分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B （6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；（2）若将等腰梯形ABCD向上平移，使平移后的点B落在双曲线上，则应将梯形向上平移几个单位长度？（3）画出反比例函数在第三象限的草图，若直线AD交双曲线于E，F两点，请求出△EOF的面积．19．（10分）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．20．（10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．21．（4分）已知实数a，b满足√a2−5a+1+b2+2b+1=0，则a2+1a﹣|b|=．22．（4分）关于x的分式方程mx−2+32−x=1的解为正数，则m的取值范围是．23．（4分）把一副三角板如下图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数；（2）求线段AD1的长．24．（4分）如图，矩形ABCD 的一边CD 在x 轴上，顶点A ，B 分别落在双曲线y=1x 、y=3x 上，边BC 交y=1x于点E ，且BE=2CE ，连接AE ，则△ABE 的面积为．25．（4分）如图（1），点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时，y=25t 2；③直线NH 的解析式为y=﹣52t +27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒．其中正确的结论为．26．（10分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y=110x 2+5x +90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=﹣120x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=﹣x10+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是(−b2a，4ac−b24a)．27．（10分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=14，求BN的长．28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C 三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）2013-2014学年四川省成都市树德实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）﹣2012的绝对值是（） A ．﹣2012 B ．2012C ．﹣12012 D ．12012【解答】解：﹣2012的绝对值是2012．故选：B ．2．（3分）下列说法错误的是（） A ．√16的平方根是±2 B ．√2是无理数C ．√−273是有理数 D ．√22是分数【解答】解：A 、√16的平方根是±2，故A 选项正确；B 、√2是无理数，故B 选项正确；C 、√−273=﹣3是有理数，故C 选项正确；D 、√22不是分数，它是无理数，故D 选项错误．故选：D ．3．（3分）以方程组{y =−x +2y =x −1的解为坐标，点（x ，y ）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：{y =−x +2①y =x −1②，①+②得，2y=1，解得，y=12．把y=12代入①得，12=﹣x +2，解得x=32．∵32＞0，12＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，点（x ，y ）在平面直角坐标系中的第一象限．故选：A ．4．（3分）如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（）A ．4B ．6C ．7D ．8【解答】解：易得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的2个面，所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6．故选：B ．5．（3分）下列分解因式正确的是（） A ．a 2+4a +4=（a +4）2B ．2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ）C ．a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2D ．a 2﹣4=（a ﹣2）2【解答】解：A 、a 2+4a +4=（a +2）2，故此选项错误； B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b +1），故此选项错误； C 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2，故此选项正确； D 、a 2﹣4=（a ﹣2）（a +2），故此选项错误．故选：C ．6．（3分）某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x 甲=610千克，x 乙=608千克，亩产量的方差分别是S 2甲=29.6，S 2乙=2.7．则关于两种小麦推广种植的合理决策是（） A ．甲的平均亩产量较高，应推广甲B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙【解答】解：∵x甲=610千克，x乙=608千克，∴甲、乙的平均亩产量相差不多∵亩产量的方差分别是S2甲=29.6，S2乙=2.7．∴乙的亩产量比较稳定．故选：D．7．（3分）下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，它的主视图与俯视图不同；圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图式圆，它的主视图与俯视图不同；球体的三视图均为圆，故它的主视图和俯视图相同；正方体的三视图均为正方形，故它的主视图和俯视图也相同；所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥，故选B．8．（3分）函数y=kx+b（k≠0）与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：在函数y=kx+b（k≠0）与y=kx（k≠0）中，当k＞0时，图象都应过一、三象限；当k＜0时，图象都应过二、四象限．故选：A．9．（3分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，下列结论：①∠ABP=∠AOP；②BĈ=DF̂；③PC•PD=PE•PO．其中正确结论的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠APE=∠BPE，∠PAO=90°，∴AE⊥AB，∠PAB=∠PBA，∴∠EAO+∠AOP=90°，而∠PAE+∠EAO=90°，∴∠PAB=∠AOP，∴∠ABP=∠AOP，所以①正确；∵OC⊥AB，∴弧AC=弧BC，∵∠AOC=∠DOF，∴弧AC=弧DF，∴弧BC=弧DF，所以②正确；∵∠APE=∠OPA ， ∴Rt △PAE ∽Rt △POA ，∴PA ：PO=PE ：AP ，即PA 2=PE•PO ， ∵PA 2=PC•PD ，∴PC•PD=PE•PO ，所以③正确．故选：A ．10．（3分）如图所示，函数y 1=|x |和y 2=13x +43的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＜﹣1B ．﹣1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜﹣1或x ＞2【解答】解：当x ≥0时，y 1=x ，又y 2=13x +43，∵两直线的交点为（2，2），∴当x ＜0时，y 1=﹣x ，又y 2=13x +43，∵两直线的交点为（﹣1，1），由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜﹣1或x ＞2．故选：D ．二、填空题（每小题4分，共16分）11．（4分）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 ．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．12．（4分）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b=√a+b a−b，如3※2=√3+23−2=√5．那么8※12= ﹣√52 ．【解答】解：∵a ※b=√a+ba−b ，∴8※12=√8+128−12=2√5−4=﹣√52．故答案为：﹣√52．13．（4分）如图，SO ，SA 分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm ，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 72π cm 2．【解答】解：∵SA=12cm ，∠ASO=30°，∴AO=12SA=6cm∴圆锥的底面周长=2πr=2×6π=12π，∴侧面面积=12×12π×12=72πcm 2．故答案为72π．14．（4分）若抛物线y=（a +1）x 2﹣（a +1）x +1与x 轴有且仅有一个公共点，则a 的值为 3 ．【解答】解：∵y=（a +1）x 2﹣（a +1）x +1与x 轴有且仅有一个公共点， ∴b 2﹣4ac=（a +1）2﹣4（a +1）=a 2﹣2a ﹣3=0，解得：a 1=3，a 2=﹣1，当a=﹣1，则a +1=0，故舍去．故答案为：3．三、解答题：15．（12分）（1）计算：2|12﹣cos30°|﹣（﹣2012）0+4÷（﹣12）﹣2﹣√643；（2）解不等式组：{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)，并在数轴上画出不等式的解集．【解答】解：（1）原式=2×（√32﹣12）﹣1+1﹣4=√3﹣5；（2）不等式{2x−13−5x+12≤1①5x −1＜3(x +1)②，由①得：x ≥﹣1；由②得：x ＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，16．（6分）已知：2x 2+6x ﹣4=0，求代数式3−x 2x 2−4x ÷(5x−2−x −2)的值．【解答】解：原式=−x−32x 2−4x ÷(5x−2−x+21)（1分）=−x−32x 2−4x ÷(−x 2+9x−2)（2分）=12x 2+6x（3分）当2x 2+6x ﹣4=0时，2x 2+6x=4（4分）原式=14（5分）．17．（8分）如图某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）【解答】解：根据题意得：PC ⊥AB ，设PC=x 海里．在Rt △APC 中，∵tan ∠A=PC AC，∴AC=PC tan67.5°=5x 12．…（3分）在Rt △PCB 中，∵tan ∠B=PC BC，∴BC=x tan36.9°=4x 3．…（5分）∵AC +BC=AB=21×5，∴5x 12+4x3=21×5，解得x=60．∵sin ∠B=PCPB ， ∴PB=PCsin∠B =60sin36.9°=60×53=100（海里）．∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里．…（9分）18．（8分）如图，等腰梯形ABCD 放置在平面坐标系中，已知A （﹣2，0）、B （6，0）、D （0，3），反比例函数的图象经过点C ．（1）求点C 的坐标和反比例函数的解析式；（2）若将等腰梯形ABCD 向上平移，使平移后的点B 落在双曲线上，则应将梯形向上平移几个单位长度？（3）画出反比例函数在第三象限的草图，若直线AD 交双曲线于E ，F 两点，请求出△EOF 的面积．【解答】解：（1）过C 作CM ⊥x 轴，交x 轴于点M ，可得∠AOD=∠BMC=90°， ∵等腰梯形ABCD ， ∴AD=BC ，OD=CM ，在Rt △AOD 和Rt △BMC 中，{AD =BC OD =CM，∴Rt △AOD ≌Rt △BMC （HL ）， ∴BM=OA=2，CM=OD=3， ∴OM=OB ﹣BM=6﹣2=4， ∴C （4，3），设反比例解析式为y=kx（k ≠0），将C 坐标代入得：k=12，则反比例解析式为y=12x ；（2）过B 作BN ⊥x 轴，与反比例图象交于N 点，将x=6代入y=12x得：y=2，则将等腰梯形ABCD 向上平移，使平移后的点B 落在双曲线上，则应将梯形向上平移2个单位长度；（3）如图所示，连接OE ，OF ，设直线AD 解析式为y=ax +b ，将A （﹣2，0），D （0，3）代入得：{−2a +b =0b =3，解得：{a =32b =3，∴直线AD 解析式为y=32x +3，联立得：{y =32x +3y =12x ，消去y 得：32x +3=12x，整理得：x 2+2x ﹣8=0，即（x ﹣2）（x +4）=0，解得：x=2或x=﹣4，将x=2代入得：y=6；将x=﹣4代入得：y=﹣3， ∴E （2，6），F （﹣4，﹣3），则S △EOF =S △AOE +S △AOF =12×2×6+12×2×3=6+3=9．19．（10分）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A 、B 、C 、D 四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是30张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．【解答】解：（1）根据题意得：总的车票数是：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100，则去C地的车票数量是100﹣70=30；故答案为：30．（2）余老师抽到去B地的概率是40100=25；（3）根据题意列表如下：因为两个数字之和是偶数时的概率是612=12，所以票给李老师的概率是1 2，所以这个规定对双方公平．20．（10分）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1， ∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°，∴∠CC 1A 1=∠CC 1B +∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1， ∴BA BC =BA 1BC 1，∠ABC +∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴S △ABA 1S △CBC 1=(AB BC )2=(45)2=1625， ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254；（3）①如图1，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD=BC ×sin45°=52√2，当P 在AC 上运动，BP 与AC 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1﹣BE=BD ﹣BE=52√2﹣2；②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC +BE=2+5=7．21．（4分）已知实数a ，b 满足√a 2−5a +1+b 2+2b +1=0，则a 2+1a ﹣|b |= 22 ．【解答】解：∵√a 2−5a +1+b 2+2b +1=√a 2−5a +1+（b +1）2=0，∴a2﹣5a+1=0，b+1=0，即a+1a=5，b=﹣1，∴a2+1a2=（a+1a）2﹣2=25﹣2=23，则a2+1a2﹣|b|=23﹣1=22．故答案为：2222．（4分）关于x的分式方程mx−2+32−x=1的解为正数，则m的取值范围是m＞1且m≠3．【解答】解：去分母得m﹣3=x﹣2，解得x=m﹣1，∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即m﹣1＞0且m﹣1≠2，∴m的取值范围为m＞1且m≠3．故答案为m＞1且m≠3．23．（4分）把一副三角板如下图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数；（2）求线段AD1的长．【解答】解：（1）如图所示，∵∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；（2）∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°，∵∠C D1E1=30°，∴∠4=90°，又∵AC=BC，AB=6cm，∴OA=OB=3cm，∵∠ACB=90°，∴CO=12AB=12×6=3cm，又∵CD1=7cm，∴OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm，∴在Rt△AD1O中，AD1=√OA2+OD12=√32+42=5cm．24．（4分）如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线y=1x、y=3x上，边BC交y=1x于点E，且BE=2CE，连接AE，则△ABE的面积为23．【解答】解：∵点B 在y=3x 上，∴设点B 的坐标为（a ，3a ），∴点A 的纵坐标为3a ，点E 的横坐标为a ，∵点A 在y=1x上，∴点A 的横坐标为a3，∵A ，B 分别落在双曲线y=1x 、y=3x上，∴矩形AFOD 的面积为1，矩形BFDC 的面积为3， ∴矩形BADC 的面积为2，∴S △ABE =S 矩形BADC ﹣S 梯形AECD =2﹣12（a ﹣a 3）×（3a +1a ）=23故答案为：2325．（4分）如图（1），点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时，y=25t 2；③直线NH 的解析式为y=﹣52t +27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒．其中正确的结论为 ①②④ ．【解答】解：①根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ， ∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/s ， ∴BC=BE=5cm ，∴AD=BE=5（故①正确）；②如图1，过点P 作PF ⊥BC 于点F ，根据面积不变时△BPQ 的面积为10，可得AB=4， ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB=∠PBF ，∴sin ∠PBF=sin ∠AEB=AB BE =45，∴PF=PBsin ∠PBF=45t ，∴当0＜t ≤5时，y=12BQ•PF=12t•45t=25t 2（故②正确）；③根据5﹣7秒面积不变，可得ED=2，当点P 运动到点C 时，面积变为0，此时点P 走过的路程为BE +ED +DC=11，故点H 的坐标为（11，0），设直线NH 的解析式为y=kx +b ，将点H （11，0），点N （7，10）代入可得：{11k +b =07k +b =10，解得：{k =−52b =552．故直线NH 的解析式为：y=﹣52t +552，（故③错误）；④当△ABE 与△QBP 相似时，点P 在DC 上，如图2所示：∵tan ∠PBQ=tan ∠ABE=34，∴PQ BQ =34，即11−t 5=34，解得：t=294．（故④正确）；综上可得①②④正确．故答案为：①②④．26．（10分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y=110x 2+5x +90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，P 甲=﹣120x +14，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W 甲（万元）与x 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，P 乙=﹣x 10+n （n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是(−b 2a ，4ac−b24a)．【解答】解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣120x +14）•x=（﹣120x 2+14x ）万元； w 甲=（﹣120x 2+14x ）﹣（110x 2+5x +90）=﹣320x 2+9x ﹣90．（2）在乙地区生产并销售时，年利润： w 乙=﹣110x 2+nx ﹣（110x 2+5x +90） =﹣15x 2+（n ﹣5）x ﹣90．由4ac−b 24a =4×(−15)×(−90)−(n−5)24×(−15)=35，解得n=15或﹣5．经检验，n=﹣5不合题意，舍去， ∴n=15．（3）在乙地区生产并销售时，年利润w 乙=﹣15x 2+10x ﹣90，将x=18代入上式，得w 乙=25.2（万元）；将x=18代入w 甲=﹣320x 2+9x ﹣90，得w 甲=23.4（万元）． ∵W 乙＞W 甲， ∴应选乙地．27．（10分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=14，求BN 的长．【解答】（1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO，在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°，∴CF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在Rt△COE中，cos∠BOC=1 4，∴OE=CO•cos∠BOC=4×14=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=√CO2−EO2=√42−12=√15，AC=√CE2+AE2=√(√15)2+52=2√10，BC=√CE 2+BE 2=√(√15)2+32=2√6， ∵AB 是⊙O 直径，AB ⊥CD ， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2√15， ∵△ACM ∽△DCN ，∴CM CN =AC CD， ∵点M 是CO 的中点，CM=12AO=12×4=2，∴CN=CM⋅CD AC =√152√10=√6， ∴BN=BC ﹣CN=2√6﹣√6=√6．28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （﹣3，0），B （0，3），C （1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；②连接PA ，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），∴{9a−3b+c=0 c=3a+b+c=0，解得{a=−1 b=−2 c=3，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立{y=x+my=−x2−2x+3，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=﹣32，y=﹣32+214=154，∴点P （﹣32，154）时，△PDE 的周长最大；②抛物线y=﹣x 2﹣2x +3的对称轴为直线x=﹣−22×(−1)=﹣1，（i ）如图1，点M 在对称轴上时，过点P 作PQ ⊥对称轴于Q ，在正方形APMN 中，AP=PM ，∠APM=90°，∴∠APF +∠FPM=90°，∠QPM +∠FPM=90°，∴∠APF=∠QPM ，∵在△APF 和△MPQ 中，{∠APF =∠QPM∠AFP =∠MQP =90°AP =PM，∴△APF ≌△MPQ （AAS ），∴PF=PQ ，设点P 的横坐标为n （n ＜0），则PQ=﹣1﹣n ，即PF=﹣1﹣n ，∴点P 的坐标为（n ，﹣1﹣n ），∵点P 在抛物线y=﹣x 2﹣2x +3上，∴﹣n 2﹣2n +3=﹣1﹣n ，整理得，n 2+n ﹣4=0，解得n 1=−1+√172（舍去），n 2=−1−√172， ﹣1﹣n=﹣1﹣−1−√172=−1+√172，所以，点P 的坐标为（−1−√172，−1+√172）；（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN，又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ，∴PF=AQ，设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，解得x=√2﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣√2﹣1，此时点P坐标为（﹣√2﹣1，2）．综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（−1−√172，−1+√172），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣√2﹣1，2）．。

北京市丰台区第十二中学2019-2020学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案及解析)

北京十二中2019～2020学年第二学期月考试题初三数学说明：本试卷共4页，共2道大题，25道小题，满分100分，考试时间为40分钟一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，每题4分，共52分）1.北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。

其中数据1400000用科学记数法应表示为（）A. 8⨯ D. 514101.410⨯⨯ B. 7⨯ C. 60.14101.410【答案】C【解析】【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可【详解】科学记数法表示：1400 000=1.4×106故选：C．【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a ＜10，n 为正整数．）2.若a为非零实数，则下列各式的运算结果一定比a大的是（）a+ B. 2a C. a D. 2aA. 1【答案】A【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可.【详解】A．a+1＞a，选项正确；B．当a＜0时2a＜a，选项错误；C．当a＞0时|a|=a，选项错误；D．当a＜0时2a＜a，选项错误；故选：A．【点睛】此题考查实数的大小比较，解题关键在于掌握一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．3.下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可得．【详解】A 、是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，故不符合题意；C 、是轴对称图形，故不符合题意；D 、不是轴对称图形，故符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．4.在数轴上，点A 、B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ．若CO BO =，则a 的值为（）A. 3-B. 2-C. 1-D. 1【答案】C【解析】【分析】根据CO=BO 可得点C 表示的数为-2，据此可得a 的值．【详解】解：∵点A 、B 在原点O两侧，分别表示数a ，2， ∴点A 在原点的左侧，∵将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ，∴点C 在原点的左侧，∵CO=BO ， ∴点C 表示的数为-2，∴a=-2+1=-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是数轴，相反数的几何意义，熟知相反数的几何意义是解答此题的关键．在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且到原点的距离相等．5.已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【详解】解：∵正多边形的一个内角是144°，∴该正多边形的一个外角为180°-144°=36°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数=360=10 36，∴这个正多边形的边数是10，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．6.判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A. ﹣2B. ﹣12C. 0D.12【答案】A【解析】【分析】反例中的n满足n＜1，使n2-1≥0，从而对各选项进行判断．【详解】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7.箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（）A. 12B. 13C. 253D. 255【答案】D【解析】【分析】红球的个数除以球的总数即为所求的概率．【详解】解：∵一个盒子内装有大小、形状相同的53255+=个球，其中红球2个，白球53个， ∴小芬抽到红球的概率是：2253255=+．故选D ．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．8.某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变【答案】B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41， ∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.【点睛】本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.9.当5b c +=时,关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解.【详解】由已知，得()224312b c b c =-⨯⨯-=+△∵5b c +=∴5b c =-∴()()()222243125121240b c b c c c c =-⨯⨯-=+=-+=++△＞ ∴方程有两个不相等的实数根故答案为A .【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题.10.如图的ABC ∆中，AB AC BC >>，且D 为BC 上一点．今打算在AB 上找一点P ，在AC 上找一点Q ，使得APQ ∆与PDQ ∆全等，以下是甲、乙两人的作法：（甲）连接AD ，作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求（乙）过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求对于甲、乙两人作法，下列判断何者正确？（）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A【解析】【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA PD =，QA QD =，则根据“SSS ”可判断APQ DPQ ∆∆≌，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA DQ =，PD AQ =，则根据“SSS ”可判断APQ DQP ∆∆≌，则可对乙进行判断．【详解】解：如图1，PQ ∵垂直平分AD ，PA PD ∴=，QA QD =，而PQ PQ =，()APQ DPQ SSS ∴∆∆≌，所以甲正确；如图2，//PD AQ ，//DQ AP ，∴四边形APDQ 为平行四边形，PA DQ ∴=，PD AQ =，而PQ QP =，()APQ DQP SSS ∴∆∆≌，所以乙正确．故选A ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．11.某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（）A. aB. bC. cD. d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此抛物线与方程式2y ＝的图形交于B 、C 两点，ABC ∆为正三角形．若A 点坐标为()3,0-，则此抛物线与Y 轴的交点坐标为何？（）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B【解析】【分析】设()3,2B m --，()3,2C m -+，()0m >，可知2BC m =，再由等边三角形的性质可知233,23C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设抛物线解析式()23y a x =+，将点C 代入解析式即可求a ，进而求解.【详解】解：设()3,2B m --，()3,2C m -+，()0m > A 点坐标为()3,0-，2BC m ∴=，ABC ∆为正三角形，2AC m ∴=，C 60AO ∠=︒ ，233m ∴= 233,23C ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭设抛物线解析式()23y a x =+， 2233323a ⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭， 32a ∴=， ()2332y x ∴=+，当0x =时，272y =；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．13.随着时代的进步，人们对 2.5PM （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中2.5PM 的值1y （3/ug m ）随时间t （h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的极差（即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据极差的定义，分别从0t =、010t <≤、1020t <≤及2024t <≤时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案．【详解】当0t =时，极差285850y =-=，当010t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43；当1020t <≤时，极差2y 随t 的增大保持43不变；当2024t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98；故选B ．【点睛】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（每题4分，共48分）14.若分式1x x -的值为0，则x 的值为__________．【答案】0【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】∵分式1x x -的值为0， ∴x=0，x-1≠0，故答案为：0．【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．15.在平面直角坐标系中，点()4,2P 到x 轴的距离是__________．【答案】2【解析】【分析】根据点的坐标的意义求解．【详解】点P （4，2）到x 轴的距离为2．故答案为2．【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握把有顺序的两个数a 和b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）．建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．16.不等式组x 12x 74⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是_____．【答案】2x -≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式12x ≤-，得：2x -≤，解不等式+7>4x -，得：x<3，则不等式组的解集为2x -≤，故答案为2x -≤．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17.(2013tan 602π-⎛⎫--︒+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5【解析】【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可.【详解】原式=33+4-33+1⨯=5，故答案为：5.【点睛】此题考查二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.18.某超市销售A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．这四种矿泉水某天的销售量如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是__________元．【答案】2.25【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【详解】这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25（元），故答案为：2.25．【点睛】此题考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．19.当99x =时，代数式2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭的值为__________．【答案】1100【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简原式，再把x=99，代入即可解答. 【详解】2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()()()21-11111x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭=()()()211-1111x x x x x x x +-⎛⎫- ⎪--⎝⎭+ =1-11+1x x x - =1+1x 把99x =代入可得：11=99+1100，故答案为：1100. 【点睛】此题考查分式化简求值，解题关键在于掌握运算法则.20.如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为2y ax bx =+，小强骑自行车从拱梁一端O 匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶到10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需__________秒．【答案】36【解析】【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A ，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC 之间的时间．【详解】如图所示：设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称．则从A 到B 需要16秒，则从A 到D 需要8秒．∴从O 到D 需要10+8=18秒．∴从O 到C 需要2×18=36秒．故答案为：36．【点睛】此题考查二次函数的应用，注意到A 、B 关于对称轴对称是解题的关键．21.如图，直线()0y kx b k =+＜经过点()3,1A ，当13kx b x +<时，x 的取值范围为__________．【答案】3x >【解析】【分析】根据题意结合图象首先可得13y x =的图象过点A ，因此便可得13kx b x +<的解集. 【详解】解：∵正比例函数13y x =也经过点A ， ∴13kx b x +<的解集为3x >，故答案为3x >．【点睛】本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.22.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【解析】【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1，故答案为π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 23.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD x ∥轴，反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象经过矩形对角线的交点E ，若点20A （，），04D （，），则k 的值为__________．【答案】20【解析】【分析】根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B （x ，4）．利用矩形的性质得出E 为BD 中点，∠DAB=90°．根据线段中点坐标公式得出E （12x ，4）．由勾股定理得出AD 2+AB 2=BD 2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x 2，求出x ，得到E 点坐标，代入y=k x ，利用待定系数法求出k ．【详解】∵BD ∥x 轴，D （0，4）， ∴B 、D 两点纵坐标相同，都为4，∴可设B （x ，4）．∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，∴E 为BD 中点，∠DAB=90°．∴E （12x ，4）． ∵∠DAB=90°，∴AD 2+AB 2=BD 2，∵A （2，0），D （0，4），B （x ，4），∴22+42+（x-2）2+42=x 2，解得x=10，∴E （5，4）．∵反比例函数y=k x（k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ， ∴k=5×4=20．故答案为20．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键．24.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用，已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车，若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有__________人．【答案】16【解析】【分析】设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．【详解】设此旅行团有x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人，根据题意得， 2003004100(15)(10)x y y y x +⎧⎨-+-⎩＝＝，解得79x y ⎧⎨⎩＝＝，则总人数为7+9=16（人）故答案为16．【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组． 25.如图，正方形ABCD 和Rt AEF ，10AB =，8AE AF ==，连接BF ，DE ．若AEF 绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S =__________．【答案】24【解析】【分析】作DH ⊥AE 于H ，如图，由于AF=8，则△AEF 绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，8为半径的圆上，当BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即BF ⊥AF ，利用勾股定理计算出BF=6，接着证明△ADH ≌△ABF 得到DH=BF=6，然后根据三角形面积公式求解．【详解】作DH ⊥AE 于H ，如图，∵AF=8，当△AEF 绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，8为半径的圆上，∴当BF 为此圆的切线时，∠ABF 最大，即BF ⊥AF ，在Rt △ABF 中，22108-=6，∵∠EAF=90°，∴∠BAF+∠BAH=90°，∵∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠BAF ，在△ADH 和△ABF 中AHD AFB DAH BAF AD AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADH ≌△ABF （AAS ），∴DH=BF=6，∴S △ADE =12AE•DH=12×6×8=24．故答案为24．【点睛】此题考查旋转的性质，正方形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．。

2023年北京市顺义区仁和中学九年级下学期3月月考数学试卷(解析版)

2022-2023学年第二学期初三数学测试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（）A.64510´ B.74.510´ C.84.510´ D.80.4510´【答案】B 【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．【详解】将数据45000000用科学记数法可表示为：74.510´．故选B ．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：()11100£´<n a a ，是解题的关键．2. 如图是某个几个几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 长方体D. 正三棱柱【答案】B 【解析】【分析】由主视图和俯视图确定是柱体，由左视图确定具体形状.【详解】解：从主视图和俯视图可以确定是柱体，然后由左视图可以确定此物体为一个横放着的圆柱.故答案为：B.【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．3. 正六边形的每个内角度数为（）A. 60° B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B【解析】【分析】利用多边形的内角和为（n ﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．【详解】解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形，解决本题的关键是利用多边形的内角和公式即可解决问题．4. 如图，点A 是数轴上一点，点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数可能是（）A. 0B. 1C. 1.5D. 2.5【答案】C 【解析】【分析】点A 所表示的数在-2和-1之间，根据相反数的意义，可求出点B 所表示的数在1和2之间，据此即可判断．【详解】解：∵点A 所表示的数在-2和-1之间，∴点B 所表示的数在1和2之间，0、1、1.5、2.5四个数中，只有1.5符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了互为相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，在数轴上在原点的两侧，到原点距离相等的两个数互为相反数．5. 如图，直线//AB CD ，AB 平分EAD Ð，1100Ð=°，则2Ð的度数是（）A. 60°B.50°C. 40°D. 30°【答案】C 【解析】【分析】根据邻补角求出=80EAD Ð°，由AB 平分EAD Ð可知=40EAB Ð°，根据//AB CD 得到2=40EAB Ð=Ð°．【详解】解：∵1180EAD Ð+Ð=°，1100Ð=°，∴=80EAD Ð°，∵AB 平分EAD Ð，∴1=402EAB EAD ÐÐ=°，∵//AB CD ，∴2=40EAB Ð=Ð°，故选：C ．【点睛】此题考查了邻补角和平行线的性质、角平分线的定义．解题关键是掌握相关定义和性质．6. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形．【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合．选项A 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项B 图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意；选项C 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项D 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t （分钟），如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（）A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟B. 此时段平均等位时间小于20分钟C. 此时段等位时间的中位数可能是27D. 此时段有6桌顾客可享受优惠【答案】D 【解析】【分析】根据直方图，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，选项错误，不符合题意；B 、平均等位时间为：1101515202025253030353540261295124.235222222++++++æö´+´+´+´+´+´»ç÷èø（分钟），大于20分钟，选项错误，不符合题意；C 、因为样本容量是35，中位数落在2025t £<之间，选项错误，不符合题意；D 、30分钟以上的桌数为516+=，选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查频数分布直方图，求平均数，中位数．解题的关键是从统计图中有效的获取信息．8. 如图，一架梯子AB 靠墙而立，梯子顶端B 到地面的距离BC 为2m ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B 竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y 与顶端下滑的距离x 满足的函数关系是（）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C . 二次函数关系 D. 反比例函数关系【答案】B 【解析】【分析】过梯子中点O 作OD ^地面于点D ．由题意易证A OD A B C ¢¢¢V :V ，即得出A O OD AB BC ¢=¢¢¢．由O 为中点，2B C x ¢-，OD y =，即可推出122y x=-，即112y x =-+．即可选择．【详解】如图，过梯子中点O 作OD ^地面于点D ．∴90ODA B CA ¢¢¢Ð=Ð=°，又∵OA D B A C ¢¢¢Ð=Ð，∴A OD A B C ¢¢¢V :V ，∴A O OD A B B C¢=¢¢¢，根据题意O 为中点，2B C x ¢=-，OD y =．∴122y x =-，整理得：112y x =-+．故y 与x 的函数关系为一次函数关系．故选B ．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 _____．【答案】12x ³【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．实数范围内有意义，∴210x -³，解得12x ³，故答案为12x ³．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．10. 分解因式：2288x x ++=___________．【答案】22()2x +【解析】【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：2288x x ++=2（x 2+4x+4）=22()2x +．故答案为：22()2x +．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11. 方程1﹣12x +＝0的解为 _____．【答案】=1x -【解析】【分析】先把分式方程化为整检验即可得到答案．【详解】解：1102x -=+去分母得210x +-=，解得=1x -，经检验=1x -是原方程的解，∴原方程的解为=1x -．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．12. 已知点A (1，2)，B 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，若OA=OB ，则点B 的坐标为_________．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据点A ，B 关于y =x （y -x =0）的对称，求解即可【详解】解：∵点A (1，2)，B 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，OA=OB ，∴点A ，B 关于直线y =x （y -x =0）的对称，设点（1，2）关于直线y =x （y -x =0）的对称点设为（a ，b ）由两点中点在直线y =x 上及过两点的直线垂直直线y =x （斜率之积为-1）可以得到：1222(2)(1)1a bb a ++ì=ïíï--=-î，解得：a =2，b =1，∴点B 的坐标为（2,1）故答案为：（2，1）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A ，B 关于直线y =x （y -x =0）的对称是解题的关键．13. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．【答案】19【解析】【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.【详解】解：列表如下：故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）=19，故答案为：19【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，Q 拱桥半径OC 为5cm ，5OA \=cm ，8CD =Q m ，853OD \=-=cm ，224AD OA OD \=-==m2248AB AD \==´=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15. 若关于x的方程22x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】1m <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到2240m D =->，然后解关于m的不等式即可．【详解】根据题意得2240m D =->，解得1m <．故答案为1m <．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与24b acD =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当0D =时，方程有两个相等的实数根；当D<0时，方程无实数根．16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，理形成统计表如表：经整②180【答案】①. 160.【解析】【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．【详解】解：(1)由统计表可知:如该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1×145=145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2 × 80= 160 (元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8①当x=1时，则y=7∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；②当x=2时，则y=6∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③当x=3时，则y=5∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；④当x=4时，则y=4∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；⑤当x=5时，则y=3∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；⑥当x=6时，则y=2∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；⑦当x=7时，则y=1∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填： 160；180.【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x +y ＝8，x ，y 均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()113π2cos602-æö---+°+ç÷èø．2+【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及非零数的零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简即可得到答案．【详解】解：()113π2cos602-æö--+°+ç÷èø11222-+´+112++2+．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答此题的关键．18. 解不等式组3(2)22254x x x x -<-ìïí+<ïî．【答案】52＜x ＜4【解析】【分析】先分别求出各不等式的解析，然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：3(2)22254x x x x -<-ìïí+<ïî①②由①得x ＜4由②得x ＞52所以不等式组的解集为：52＜x ＜4【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键．19. 已知210x x +-=，求代数式()()212x x x +--的值【答案】9【解析】【分析】根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；【详解】解：2(31)(2)x x x +--，229612x x x x =++-+，2881x x =++，210x x +-=Q ，21x x \+=，\原式()2818119x x =++=´+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合完全平方公式化简是解题的关键．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：如图，点D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点．求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =．证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．【答案】见解析【解析】【分析】证明AED CEF V V ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC 为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点，∴,AD BD AE EC ==，又AED CEF Ð=Ð，∴()SAS AEDCEF △≌△，∴,CF AD BD EFC ADE ==Ð=Ð，∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形，∴,DF BC DF BC =∥，∵12EF DE DF ==，∴DE BC ∥ 且 12DE BC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，且AO ＝BO ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）∠ADB 的角平分线DE 交AB 于点E ，当AD ＝3，tan ∠CAB ＝34时，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）32.【解析】【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC ＝BD ，即可得出结论；(2)过点E 作EG ⊥BD 于点G ，由角平分线的性质得出EG ＝EA ．由三角函数定义得出AB ＝4，sin ∠CAB ＝sin ∠ABD ＝35ADBD=，设AE ＝EG ＝x ，则BE ＝4﹣x ，在Rt △BEG 中，由三角函数定义得出345x x =-，即可得出答案．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝2AO ，BD ＝2BO ．∵AO ＝BO ，∴AC ＝BD ．∴平行四边形ABCD 为矩形．(2)过点E 作EG ⊥BD 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴EA ⊥AD ，∵DE 为∠ADB 的角平分线，∴EG ＝EA ．∵AO ＝BO ，∴∠CAB ＝∠ABD ．∵AD ＝3，tan ∠CAB ＝34，∴tan ∠CAB ＝tan ∠ABD ＝34＝AD AB．∴AB ＝4．∴BD 5=，sin ∠CAB ＝sin ∠ABD ＝35AD BD =．设AE ＝EG ＝x ，则BE ＝4﹣x ，在△BEG 中，∠BGE ＝90°，∴sin ∠ABD ＝345x x =-．解得：x ＝32，∴AE ＝32．故答案为：32.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．22. 平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx =-的图象经过点(2,3)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x a =+的值都大于一次函数1y kx =-的值，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）21y x =-；（2）1a ³【解析】【分析】（1）直接利用待定系（2）对于21y x =-，当2x =时，求出其y 的值，再由此坐标可求出a 的值．画出函数图象即可求出a 的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数1y kx =-的图象过点(23)，，∴321k =-，解得：2k =．∴这个一次函数的解析式是21y x =-．（2）当2x =时，代入21y x =-，得：3y =，∴当函数y x a =+经过点（2，3）时，1a =．画出两个函数图象如图：由图象可知，当1a ³，在2x <时，函数y x a =+的图象都在一次函数21y x =-的图象上方，即此时y x a =+的值都大于21y x =-的值，故a 的取值范围为1a ³．【点睛】本题考查求一次函数解析式和一次函数与不等式的关系，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用数形结合思想确定a 的取值范围．23. 某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．收集数据七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数据格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：请根据所给信息，解答下列问题：（1）=a ，m = ，n = ；（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是；（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为．【答案】（1）80，0.45,80 （2）79.5 （3）210【解析】【分析】（1）利用平均数即可求出a ；找出成绩在8089x ££之间的频数即可求出m ，利用中位数即可求出n ；（2）利用中位数的意义列不等式求解即可；（3）求出抽取的20名七年级学生成绩中的优秀率，再乘以200；求出20名八年级学生成绩中的优秀率，再乘以200；最后两者相加即可解答．【小问1详解】解：∵七年级成绩的平均数为6671868087=77.520+++++L ，∴80a =；∵七年级同学成绩在8089x ££之间的频数为9，∴9=0.4520m =；将八年级同学成绩从小到大排序，处在中间的两个数都是80，∴80n =．故答案为：80，0.45,80．【小问2详解】解：∵七年级成绩的中位数是79，八年级成绩的中位数是80，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，∴小冬成绩在79和80之间∴小冬的成绩可能是79.5．故答案为79.5．【小问3详解】解：∵七年级的成绩为优秀的人数为0.5200=100´人，八年级的成绩为优秀的人数为0.55200=110´人，∴七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为210人．【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、频数分布表等知识点，理解中位数、众数、平均数的意义以及频数，频率和总数之间的关系是解题的关键．24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF=4，2sin3D=，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，需要连接OB，通过角的等量代换，求证90CBD OBC°Ð+Ð=，即可．（2）连接CF交OB于点G，由直径所对的角为直角及平行线的判定及性质得出ACF DÐ=Ð，再根据等角的正弦值相等及勾股定理即可求出CF=，易证四边形BEFG是矩形，最后根据矩形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OB，∵AC是直径，∴ABC°90Ð=，90ABO OBC°\Ð+Ð=，Q，OA OB=\Ð=Ð，CAB ABO90CAB OBC°\Ð+Ð=，Q，CBD CABÐ=ÐCBD OBC°90\Ð+Ð=，\^，OB BD∴BD是☉O的切线．（2）解：如图，连接CF交OB于点G，∵AC 是直径，90AFC °\Ð=，AE BD ^Q ，90AED °\Ð=，AFC AED \Ð=Ð．//FC ED \，ACF D \Ð=Ð，2sin 3D Ð=Q ，2in sin 3s ACF D \Ð=Ð=，在Rt ACF D 中，sin AF ACF ACÐ=，23AF AC \=，4AF =Q ，6AC \=．根据勾股定理，得CF =．//,CF BD OB BD ^Q ，OB CF \^，12FG CF \==，90EFG FEB EBG °Ð=Ð=Ð=Q ，∴四边形BEFG 是矩形，∴BE FG ==．【点睛】本题考查圆的切线证明，三角形的勾股定理应用，锐角三角函数的计算以及矩形的性质等相关知识点，能根据题意进行准确的条件分析是解题关键．25. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米，请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析（2）5（3）()()2135085h d d =--+££ （4）72米【解析】【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；（2）观察图象即可；（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；（4）在求得的解析式中令h =0，则可求得d 的值，即可确定所需护栏的长度．【小问1详解】坐标系及图象如图所示．【小问2详解】由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米．【小问3详解】∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），∴抛物线的对称轴为3d =．∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）．设抛物线的函数表达式为()235h a d =-+．把（1.0，4.2）代入，解得15a =-．∴所画图象对应的函数表达式为()()2135085h d d =--+££．【小问4详解】令0h =，解得12d =-（舍），28d =．∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米．∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，∴正方形护栏的边长至少为18米．则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏．【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．26. 已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a-，可求解；（2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1，故答案为：1；（2）当a ＞0时，∵对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，∴3a ﹣（﹣a ）＝4．∴a ＝1，∴二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，∴﹣a ﹣3a ＝4，∴a ＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）∵a ＜0，对称轴为x ＝1，∴x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，∵t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，∴t ≥﹣1，t +1≤3，∴﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．27. 已知等边ABC V ，D 为边BC 中点，M 为边AC 上一点（不与A ，C 重合），连接DM ．（1）如图1，点E 是边AC 的中点，当M 在线段AE 上（不与A ，E 重合）时，将DM 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DF ，连接BF ．①依题意补全图1；②此时EM 与BF 的数量关系为：DBF Ð= °．（2）如图2，若2DM MC =，在边AB 上有一点N ，使得120NDM Ð=°．直接用等式表示线段BN ，ND ，CD 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②EM BF =，120；（2）12CD BN ND =+，证明见解析【解析】【分析】（1）①根据提示画出图形即可；②连接DE ，证明△DME ≌△DFB 即可得到结论；（3）取线段AC 中点E ，连接ED ．由三角形中位线定理得12DE BA =，12CE CA =，12BD CD BC ==．根据ABC V 是等边三角形可证明DE BD CD CE ===，60CED EDC B Ð=Ð=Ð=°，再证明EDM BDN @△△得BN EM =，2ND MD MC ==，进一步可得结论．【详解】解：（1）①补全图形如图1．②线段EM 与BF 的数量关系为EM BF =；120DBF Ð=°．连接DE ，∵D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中䏠线，∴DE =12AB ，DE //AB∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60Ð=Ð=Ð=°A B C ．∵D 为BC 的中点，∴12BD BC DE ==∵//DE AB∴60CDE ABC Ð=Ð=°，60CED A Ð=Ð=°∴120BDE BDM EDM Ð=°=Ð+Ð∵120BDM BDF Ð+Ð=° ，,DM DF =\ BDF EDM Ð=Ð∴△DME ≌△DFB∴EM BF =；DBF DEM Ð=Ð．∵60CED Ð=°∴120DEM Ð=°∴120DBF Ð=°．故答案为：EM BF =；120DBF Ð=°．（2）证明：取线段AC 中点E ，连接ED ．如图2 ．∵点D 是边BC 的中点，点E 是边AC 的中点，∴12DE BA =，12CE CA =，12BD CD BC ==．∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60B C Ð=Ð=°．∴DE BD CD CE ===，60CED EDC B Ð=Ð=Ð=°．∴120Ð=°BDE ，∵120NDM Ð=°，∴EDM BDN Ð=Ð．∴EDM BDN @△△．∴BN EM =，2ND MD MC ==，∵EC EM MC =+，∴12CD BN ND =+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ），特殊地，当图形M 与图形N 有公共点时，规定d （M ，N ）＝0已知点()(2,00)2(30)0()2A B C D m -,，,,,,．（1）①求d （点O ，线段AB ）；②若d （线段CD ，直线AB ）＝1，直接写出m 的值；（2）⊙O 的半径为r ，若d （⊙O ，线段AB ）≤1，直接写出r 的取值范围；（3）若直线y b =+上存在点E ，使d （E ，ABC V ）＝1，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）①②2m =-；（2）11r -££；（3）22b --££【解析】【分析】（1）①根据题意作图，由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解；②根据题意作图，根据含30°的直角三角形的性质即可求出D 点坐标，故可求解；（2）根据题意作图，由d （⊙O ，线段AB ）≤1，分情况讨论即可求解；（3）根据题意作图，找到d （⊙O ，线段AB ）=1的点，再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b 的值，故可求解．【详解】（1）①如图，作OH ⊥AB ，∵()020(A B -，,，∴AO =2，BO =，AB 4=根据三角形的面积公式可得1122AO BO AB OH ×=×∴OH=∴d （点O ，线段AB ）②∵AO=2，BO=23，AB4=∴AB=2AO，∴∠ABO=30°如图，作HD⊥AB，∵d（线段CD，直线AB）＝1，∴DH=1∴BD=2HD=2∴DO=BO-BD=-2∴D（-，0）2∴m=-；2（2）如图，OH⊥AB，交⊙O于M点，BI=1当d（⊙O，线段AB）≤1当HM≤1时，由（1）可得OH=3∴r³-当BI≤1时，此时IO=BI+OB=∴1故若d（⊙O，线段AB）≤1时， r的取值范围r11（3）∵ d （E ，ABC V ）＝1，如图，作CM ⊥直线3y x b =+于M 点，此时CM =1设直线y b =+与x 轴交于K 点，则∠CKM =60°∴CK =CM ÷cos60°=3∴K （2+3，0），代入y b =+得20b æ=+ççèø解得b =2-如图，作BG ⊥直线y b =+于G 点，此时BG =1设直线y b =+与y 轴交于N 点，则∠GNB =90°-60°=30°∴BN =2BG =2∴N （0，2+），代入y b =+得20b +=+解得b =2∵存在点E，使d（E，ABCV）＝1，∴b的取值范围是--££+．b2322【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作图，由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解．。

甘肃省酒泉市肃州区酒泉市第二中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案解析)

甘肃省酒泉市肃州区酒泉市第二中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．据报道，2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天和核心舱在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，用科学记数法表示我国空间站运行的轨道高度393000米为（）A ．439.310⨯B ．53.9310⨯C ．3.93100000⨯D ．60.39310⨯3．下面四组线段中，四条线段不．成比例的是（）A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝1，bc，d C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝2，b c d ＝4．下列二次根式是最简二次根式的是（）AB C D 5．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)7．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k <-B ．1k >C ．1k <且0k ≠D ．1k >-且0k ≠8．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，70B ∠=︒，则D ∠的度数是()A ．110°B ．90°C ．70°D ．50°9．不等式组10521x x ->⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2013年四川广安3分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x =1．下列结论：①abc ＞0，②2a +b =0，③b 2﹣4ac ＜0，④4a +2b +c ＞0其中正确的是（）A ．①③B ．只有②C ．②④D ．③④二、填空题11．若23a b =，则a bb -=_____．12．一元二次方程21202x x -=的根是________13．因式分解2a b b -的正确结果是________14．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为_____．15．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．16．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是_______17．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为______________m ．18．如图，双曲线m y x =与ny x=在第一象限内的图象依次是m 和,n 设点P 在图象m 上，PC 垂直于x 轴于点C ，交图象n 于点A ，PD 垂直于y 轴于D 点，交图象n 于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______三、解答题19．计算：2|+（﹣1）﹣120．解方程：()()221221x x +=+21．先化简，再求值22(1)b aa b a b÷---，其中2a =，1b =-22．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．(1)用尺规作图作AB 边上的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)连接BD ，求证：DE ＝CD ．23．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A ，B ，C ，D ，E ，F ）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．24．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有名．25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，函数()4y=x 0x>的图象与一次函数y=kx －k 的图象的交点为A （m ，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出点P 的坐标．26．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A 、B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量，如图，测得45DAC ∠=︒，60DBC ∠=︒，若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果可带根号）27．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴交于点M ．（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合．因此，A 、不是轴对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选A ．考点：轴对称图形．2．B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于393000有6位，所以可以确定615n =-=．【详解】解：5393000 3.9310=⨯．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．3．C【分析】若a ，b ，c ，d 成比例，即有::a b c d =．只要代入验证即可．【详解】A.3:62:4=，则::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；B.=::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；C.四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，符合题意；2=::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序．4．C【详解】试题解析：A B ；D 因此这三个选项都不是最简二次根式，故选C ．点睛：根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．C【详解】试题分析：过点D 作DE ∥a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a ∥b ，∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．考点：1矩形；2平行线的性质.6．C【分析】先利用反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，求出k 的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】解：∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．7．D【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到∆>0，即4+4k>0，且0k ≠，计算可得答案．【详解】解：∵一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，∴∆>0，即4+4k >0，且0k ≠，解得1k >-且0k ≠，故选：D ．【点睛】此题考查了已知一元二次方程根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．8．A【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出180D B ∠+∠=︒，即可解答．【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒，18070110D ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．9．C【分析】根据解不等式组的方法，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上的表示方法，可得答案．【详解】解：10521x x ->⎧⎨-≥⎩①②，解①得，1x >，解②得，2x ≤，∴不等式组的解集为12x <≤，把解集表示在数轴上，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式的解集，是基础知识比较简单．10．C【详解】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0．∵b2a-＞0，∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0．∴abc ＜0，①错误．∵对称轴为直线x =1，∴b2a-=1，即2a +b =0，②正确．∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，③错误．；∵对称轴为直线x =1，∴x =2与x =0时的函数值相等，而x =0时对应的函数值为正数．∴4a +2b +c ＞0，④正确．综上所述，其中正确的有②④．故选C ．11．13-【分析】根据23a b =，得到23a b =，代入式子计算即可．【详解】∵23a b =，∴23a b =，∴2133b ba b b b --==-，故答案为：13-．【点睛】此题考查代数式的求值，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键．12．10x =，24x =【分析】利用因式分解法求解．【详解】解：21202x x -=，∴()1402x x -=，∴0x =或40x -=，解得：10x =，24x =．故答案为：10x =，24x =．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．13．()()11b a a +-【分析】先提公因式b ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2a b b -()21b a =-()()11b a a =+-故答案为；()()11b a a +-．【点睛】此题主要考查了分解因式，关键是掌握提公因式法和公式法的运用．14．13【分析】如图，作AD BC ⊥，垂足为D ，由图可知tan ADACB CD∠=，计算求解即可．【详解】解：如图，作AD BC ⊥，垂足为D由图可知21tan 63AD ACB CD ∠===故答案为：13．【点睛】本题考查了正切．解题的关键在构造直角三角形求正切值．15．12【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．故答案是：12．【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．16．12##0.5【分析】由从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；∴能构成三角形的概率是：2142=．故答案为：12．【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．15【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．设旗杆高度为x 米，由题意得，1.8325x=，解得x=15．故答案为15．18．m n -##n m-+【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到PCOD m S =矩形，12AOC BOD S n S ==△△，然后利用四边形PAOB 的面积AOC BOD PCOD S S S =--△△矩形进行计算．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD y ⊥轴，PCOD S m ∴=矩形，12AOC BOD S n S ==△△，∴四边形PAOB 的面积1122AOC BOD PCOD n S S S m n n m =--=--=-△△矩形．故答案为：m n -．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k ．19．3.【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】2|+（﹣1）﹣1＝221﹣（﹣2）=21＝3.【点睛】本题考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．x 1=-12,x 2=12.【分析】利用因式分解方法解此方程，具体先移项，再提组间公因式，转化成两个一元一次方程即可解答.【详解】解：()()221221x x +=+()()22121-2=0x x ++,()2122)=0-1x x ++（,2x+1=0或2x-1=0,解得：x 1=-12,x 2=12【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，题目比较好，难度适中．21．1a b+，1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 、b 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()baa b a b a b a b a b -⎛⎫=÷-+---⎝⎭()()ba b a b a b b-=⨯+-1a b=+当2a =，1b =-时，原式1121==-【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（1）作图见解析；（2）证明见解析.【详解】【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC 于点D ，AB 于点E ，直线DE 就是所要作的AB 边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD ，再根据等边对等角的性质求出∠DBA=∠A=30°，然后求出∠DBC=30°，从而得到BD 平分∠ABC ，再根据角平分线的性质即可得．【详解】（1）如图，DE 为所作；（2）如图，∵DE 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴∠DBA=∠A=30°，∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴∠CBD=30°，即BD 平分∠ABC ，而DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、角平分线的性质，熟练掌握作图方法以及相关性质是解题的关键.23．（1）13（2）13【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解:（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，∴米粒落在阴影部分的概率是31. 93=（2）列表如下：A B C D E FA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）（F，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）（F，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）（F，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）（F，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）（F，E）F（A，F）（B，F）（C，F）（D，F）（E，F）由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种，故新图案是轴对称图形的概率为101. 303=【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）120，30%；（2）作图见解析；（3）450．【分析】(1)用安全意识分“一般”的人数除以安全意识分“一般”的人数所占的百分比即可得这次调查一共抽取的学生人数；用安全意识分“很强”的人数除以这次调查一共抽取的学生人数即可得安全意识“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）用这次调查一共抽取的学生人数乘以安全意识分“较强”的人数所占的百分比即可得安全意识分“较强”的人数，在条形统计图上画出即可；（3）用总人数乘以安全意识为“淡薄”、“一般”的学生一共所占的百分比即可得全校需要强化安全教育的学生的人数.【详解】解：(1)18÷15%=120人；36÷120=30%；(2)120×45%=54人，补全统计图如下：(3)1800×1218120+=450人.考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体.25．（1）y=2x －2；（2）（3，0），（－1，0）．【分析】（1）将A 点坐标代入()4y=x 0x>求出m 的值为2，再将（2，2）代入y=kx －k ，求出k 的值，即可得到一次函数的解析式：（2）将三角形以x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【详解】解：（1）将A （m ，2）代入()4y=x 0x>得，m=2，则A 点坐标为A （2，2）．将A （2，2）代入y=kx －k 得，2k －k=2，解得k=2．∴一次函数解析式为y=2x －2；（2）∵一次函数y=2x －2与x 轴的交点为C （1，0），与y 轴的交点为B （0，－2），∴112CP 2CP 422⋅⋅+⋅⋅=，解得CP=2．∴P 点坐标为（3，0），（－1，0）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．26．()198+米【分析】过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，设BE x =，根据AE DE =，列出方程即可解决问题．【详解】解：过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，设BE x =，在Rt DEB △中，tan DEDBE BE∠=，60DBC ∠=︒ ，tan 60DE x ∴=︒=．又45DAC ∠=︒ ，AE DE ∴=．132x ∴+=，∴解得66x =+，198DE ∴==（米）．∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为()198米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．27．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133，∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴3，∴EF=2EO=3．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键28．（1）y=()2416355x --，抛物线的对称轴是x=3；（2）存在；P 点坐标为（3，85）．（3）在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．N （52，-3）【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －5)．把点A (0，4)代入上式，解得a ＝45．∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165．∴抛物线的对称轴是直线x ＝3．(2)存在，P 点的坐标是(3，85)．如图1，连接AC 交对称轴于点P ，连接BP ，AB ．∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB ＝PC ．∴AB ＋AP ＋PB ＝AB ＋AP ＋PC ＝AB ＋AC ．∴此时△PAB 的周长最小．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ．把A (0，4)，C (5，0)代入y ＝kx ＋b ，得4,{50.b k b =+=解得4,{54.k b =-=∴y ＝－45x ＋4．∵点P 的横坐标为3，∴y ＝－45×3＋4＝85．∴P (3，85)．(3)在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 的面积最大．如图2，设N 点的横坐标为tt ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(0＜t ＜5)．过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴，AC 于点F ，G ，过点A 作AD ⊥NG ，垂足为D ．由(2)可知直线AC的解析式为y＝－45x＋4．把x＝t代入y＝－45x＋4，得y＝－45t＋4．∴G(t，－45t＋4)．∴NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t．∵AD＋CF＝OC＝5，∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝12NG·AD＋12NG·CF＝12NG·OC＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252．∵当t＝52时，△NAC面积的最大值为252．由t＝52，得y＝45×(52)2－245×52＋4＝－3．∴N(52，－3)．。

名校调研2022-2023学年度第三次月考数学试卷

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云南省昭通市昭阳区2024届九年级下学期4月月考数学试卷(含答案)

数学试题卷（三）（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）注意事项：1. 本卷为试题卷。

考生必须在答题卡上解题作答。

答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。

2. 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1. -5的相反数是A. -15B. 15C. -5D. 52. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第2课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课，某平台进行全程直播. 某一时刻观看人数达到3900000人. 用科学记数法表示3900000，正确的是A. 0.39×107B. 3.9×106C. 3.9×105D. 39×1053. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是主视图左视图俯视图A B C D数学模拟试题卷（三）·第1页（共8页）数学模拟试题卷（三）·第2页（共8页）4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5. 下列运算正确的是A.（4xy ）2=16x 2y 2B. （y 3）2=y 5 C. x 2⋅x 2=2x 2 D. x 9÷x 3=x 36. 如图，已知a ∥b ，点A 在直线a 上，点B ，C 在直线b 上，∠BAC =90°，∠1=35°，则∠2的度数是AabC B12A. 35°B. 45°C. 55°D. 75°7. 函数y则自变量x 的取值范围是 A. x ≥ -1B. x ≠ 3C. x ≥ 1且x = 3D. x ≥ -1且x ≠ 38. 如图，直线y =ax +b （a ≠0）过点A （0，2），B （3，0），则不等式ax + b > 0的解集是A. x > 3B. x < 3C. x > 2D. x < 29. 某公司7名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，35，45，50，60，60，70. 若捐款最少的员工又多捐了25元，则分析这7名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是 A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差数学模拟试题卷（三）·第3页（共8页）10. 如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10cm. 他准备了一支长为15cm 的蜡烛，想要得到高度为5cm 的像，蜡烛应放在距离直筒 cm 远的地方.A. 10B. 15C. 20D. 3011. 在△ABC 中，∠ABC =90°，若AC =10，sin A =45，则AB 的长是 A. 4 B. 6C. 8D. 1012. 按一定规律排列的单项式：a 3，4a 4，9a 5，16a 6，25a 7，……，第n 个单项式是 A. n 2a n +2 B. n 2a n −2 C. （n +1）2a n +2D. （n +1）2a n 13. 某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感. 设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程A. x +（1 + x ） = 121 B. 2（1 + x ） = 121C. 1 + x + x 2 = 121D. 1 + x + x （1 + x ） = 12114. 在同一直角坐标系中，函数y =kx +k 与y =kx（k ≠0）的图象大致为xA B C D 15. 如图，在⊙O 中，若∠CDB = 60°，⊙O 的直径AB 等于2，则BC 的长为A. 3B. 2C. 23D. 43二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16. 分解因式：3b3−6b2+3b= .17. 10名射击运动员第一轮比赛的成绩如下表所示：环数人数102938471则他们本轮比赛的平均成绩是环.18. 用一个圆心角为90°，半径为4cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm.19. 如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=1. 若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 .三、解答题（本大题共8小题，共62分）20.（本题满分7分）计算：()1 2-2+2sin45°−(2−1)0−273+||||-2.数学模拟试题卷（三）·第4页（共8页）数学模拟试题卷（三）·第5页（共8页）21.（本题满分6分）如图，已知AB =DE ，∠A =∠D ，∠1=∠2. 求证：CE =CB .22.（本题满分7分）随着科技的飞速发展，人工智能（AI ）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，AI 正在改变着我们的生活方式和工作模式. 某科技公司生产了A ，B 两种型号的搬运机器人，A 型机器人比B 型机器人每天多搬运20吨货物，A 型机器人搬运500吨所用天数与B 型机器人搬运400吨所用天数相等，求两种机器人每天搬运的货物量.E BC DA12数学模拟试题卷（三）·第6页（共8页）23.（本题满分6分）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录. 小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A ：惊蛰” “B ：春分”“C ：清明”“D ：谷雨”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗.（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“D ：谷雨”的概率是 .（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到“A ：惊蛰”“B ：春分”的概率.本题满分8分）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，DE = 12AC .）求证：四边形OCED 是菱形.）若∠AOD = 120°，DE = 4，求矩形ABCD 的面积.BC ADOE数学模拟试题卷（三）·第7页（共8页）25.（本题满分8分）直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果. 已知该芒果的成本为4元/kg ，销售价格不高于14元/kg ，且每售卖1kg 需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y （kg ）与销售价格x （元/kg ）之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y 与x 的函数解析式.（2）当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？26.（本题满分8分）如图，抛物线y = -x 2 + bx + c 经过点()1，173，与y 轴交于点B （0，5一动点.（1）求抛物线的解析式.（2）直线y =kx −4与x 轴交于点A （6，0），与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF ⊥x 轴，交AD 于点F ，连接BE . 当BE =DF 时，求点E 的横坐标.（元/kg ）27.（本题满分12分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC·PC=BC2；（3）已知BC2=3FP·DC，求AF AB的值.A数学模拟试题卷（三）·第8页（共8页）数学（三）参考答案及评分标准（满分100分）一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分。

九年级数学下学期第三次月考试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题

某某市巫溪中学2016届九年级数学下学期第三次月考试题一.选择题（每题4分，共40分，每小题恰有一项是符合题目要求的）1．方程x2=1的解是（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1 x2=0D．x1=﹣1 x2=12．下列运算正确的是（）A．B．（π﹣3.14）0=1C．（）﹣1=﹣2D．3．下列图形中不是轴对称图形但是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．矩形C．菱形D．平行四边形4．方程2x2+3x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个实数根D．沒有实数根5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）6．半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d，若3＜d≤13，则这两个圆的位置关系一定是（）A．相交B．相切C．内切或相交D．外切或相交7．如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=（）A．150°B．135°C．115°D．120°8．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600B．2500（1+x）2=3600C．2500（1+x%）2=3600D．2500（1+x）+2500（1+x）2=36009．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3nB．3n（n+1）C．6nD．6n（n+1）10．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．1B．12C．13D．25二.填空题（每题4分，共40分，请把答案直接填写在横线上）11．化简的结果是．12．函数中，自变量x的取值X围是．13．若|a﹣2|++（c﹣4）2=0，则a﹣b+c=．14．若实数a满足a2﹣2a=3，则3a2﹣6a﹣8的值为．15．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为度．16．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B=26°，则∠OCA=度．17．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是．18．目前甲型H1N1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为．19．把一个半径为8cm的圆形纸片，剪去一个圆心角为90°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为cm．20．如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD 是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为．三.解答题（共80分）21．计算：+．22．先化简，再求值：，其中．23．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为；（2）请猜想：关于x的方程x+=的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．25．如图AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，，求⊙O的半径．26．如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=10cm．点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点O在△ABC的左侧，OC=5cm．以点O为圆心、cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．27．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△C EF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．2015-2016学年某某市巫溪中学九年级（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题4分，共40分，每小题恰有一项是符合题目要求的）1．方程x2=1的解是（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1 x2=0D．x1=﹣1 x2=1【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=1，x1=﹣1，x2=1．故选D．2．下列运算正确的是（）A．B．（π﹣3.14）0=1C．（）﹣1=﹣2D．【考点】负整数指数幂；算术平方根；立方根；零指数幂．【分析】根据数的开方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算．【解答】解：A、，故A错误；B、（π﹣3.14）0=1，故B正确；C、（）﹣1=2，故C错误；D、，故D错误．故选：B．3．下列图形中不是轴对称图形但是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．矩形C．菱形D．平行四边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称及中心对称的概念，结合选项进行判断．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；故选D．4．方程2x2+3x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个实数根D．沒有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=2，b=3，c=2代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=2，b=3，c=2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×2×2=﹣7＜0，∴方程没有实数根．故选D．5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）．月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状、大小及相对位置．【解答】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（﹣2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B．6．半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d，若3＜d≤13，则这两个圆的位置关系一定是（）A．相交B．相切C．内切或相交D．外切或相交【考点】圆与圆的位置关系．【分析】设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．【解答】解：当8﹣5＜d＜8+5时，可知⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；当d=8+5=13时，可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．故选D．7．如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB=（）A．150°B．135°C．115°D．120°【考点】正多边形和圆；圆周角定理．【分析】利用同圆中相等的弧所对的圆周角相等可知．【解答】解：△ABC是正三角形，∴∠ACB=60°，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°．故选D．8．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600B．2500（1+x）2=3600C．2500（1+x%）2=3600D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，然后用x表示2008年的投入，再根据“2008年投入3600万元”可得出方程．【解答】解：依题意得2008年的投入为2500（1+x）2，∴2500（1+x）2=3600．故选：B．9．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3nB．3n（n+1）C．6nD．6n（n+1）【考点】平行四边形的性质．【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选B．10．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．1B．12C．13D．25【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=﹣，x1x2=，根据x12+x22=7，将（x1+x2）2﹣2x1x2=7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2求出即可．【解答】解：∵x12+x22=7，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=7，∴m2﹣2（2m﹣1）=7，∴整理得：m2﹣4m﹣5=0，解得：m=﹣1或m=5，∵△=m2﹣4（2m﹣1）≥0，当m=﹣1时，△=1﹣4×（﹣3）=13＞0，当m=5时，△=25﹣4×9=﹣11＜0，∴m=﹣1，∴一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0为：x2+x﹣3=0，∴（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=7﹣2×（﹣3）=13．故选C．二.填空题（每题4分，共40分，请把答案直接填写在横线上）11．化简的结果是2\sqrt{2} ．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：==．12．函数中，自变量x的取值X围是x≥3．【考点】函数自变量的取值X围．【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．13．若|a﹣2|++（c﹣4）2=0，则a﹣b+c= 3 ．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|++（c﹣4）2=0，∴a﹣2=0，b﹣3=0，c﹣4=0，∴a=2，b=3，c=4．∴a﹣b+c=2﹣3+4=3．故答案为：314．若实数a满足a2﹣2a=3，则3a2﹣6a﹣8的值为 1 ．【考点】代数式求值．【分析】先对已知进行变形，所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法即可求解．【解答】解：∵a2﹣2a=3，∴3a2﹣6a﹣8=3（a2﹣2a）﹣8=3×3﹣8=1，∴3a2﹣6a﹣8的值为1．15．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为15 度．【考点】圆周角定理．【分析】根据量角器的读数，可求得圆心角∠AOB的度数，然后利用圆周角与圆心角的关系可求出∠1的度数．【解答】解：∵∠AOB=70°﹣40°=30°；∴∠1=∠AOB=15°（圆周角定理）．故答案为：15°．16．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B=26°，则∠OCA=58 度．【考点】切线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】连接OA；根据切线的性质和三角形内角和定理求解．【解答】解：连接OA．∵⊙O与AB相切于点A，∴∠OAB=90°．∵∠B=26°，∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠B=180°﹣90°﹣26°=64°．∵OA=OC，∴∠1=∠2===58°．故∠2=58°，即∠OCA=58°．17．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是 2 ．【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；正方形的判定与性质；切线长定理．【分析】根据勾股定理求出AB，根据圆O是直角三角形ABC的内切圆，推出OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，证四边形ODCE是正方形，推出CE=CD=r，根据切线长定理得到AC﹣r+BC﹣r=AB，代入求出即可．【解答】解：根据勾股定理得：AB==10，设三角形ABC的内切圆O的半径是r，∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四边形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE=r，∴AC﹣r+BC﹣r=AB，8﹣r+6﹣r=10，∴r=2，故答案为：2．18．目前甲型H1N1流感病毒在全球已有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为（1+x）2=81 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可先列出一轮传染的人数，再根据一轮传染的人数写出二轮传染的人数的方程，令其等于81即可．【解答】解：设一轮过后传染的人数为1+x，则二轮传染的人数为：（1+x）（1+x）=（1+x）2=81．故答案为：（1+x）2=81．19．把一个半径为8cm的圆形纸片，剪去一个圆心角为90°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为2\sqrt{7} cm．【考点】弧长的计算；勾股定理．【分析】根据题目叙述的作法得到：扇形的弧长，即圆锥的母线长是：8cm，弧长即圆锥底面周长是：=12π，则底面半径是6，圆锥的高线，底面半径，锥高正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则=2πr，解得r=6，根据勾股定理得到：锥高==2cm．故答案为：2．20．如图1是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图2所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图1中的圆与扇环的面积比为4：9 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】要求图1中的圆与扇环的面积比，就要先根据面积公式先计算出面积．再计算比．【解答】解：设正方形的边长为2，则圆的面积为π，扇环的面积为（4π﹣π）=π，所以图1中的圆与扇环的面积比为4：9．三.解答题（共80分）21．计算：+．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】把第一项的分子分母同时乘以分母的有理化因式+1，分母利用平方差公式化简后，与分子约分得到结果，第二项根据底数不为0，利用零指数的公式化简，第三项利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简，第四项利用负指数的公式化简，最后一项不变，把其中的二次根式化为最简后，利用加法的运算律把同类二次根式结合，整数与整数结合，合并后即可求出值．【解答】解：+=﹣1﹣++=﹣1﹣++=+1﹣1﹣2++=（﹣2+）+（1﹣1）+=．22．先化简，再求值：，其中．【考点】二次根式的化简求值．【分析】先化简再合并同类项，最后代入数据计算即可．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，∵，∴原式=6（﹣）﹣3=6﹣6．23．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=；（3）x+=的解为x1=3，x2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为x1=5，{x_2}=\frac{1}{5} ；（2）请猜想：关于x的方程x+= \frac{{{a^2}+1}}{a}（或a+\frac{1}{a}）的解为x1=a，x2=（a≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．【解答】解：（1）x1=5，；（2）（或）；（3）方程二次项系数化为1，得．配方得，，即，开方得，，解得x1=5，．经检验，x1=5，都是原方程的解．24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．【考点】弧长的计算；作图-旋转变换．【分析】本题的关键是正确读取点的坐标、会根据要求画出旋转后的图形并会根据旋转的性质正确计算，第（3）小问要注意点A的旋转轨迹是一段圆弧．【解答】解：（1）A（0，4）、C（3，1）；（2）如图；（3）=．25．如图AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C=30°，，求⊙O的半径．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接OD，AD只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．（2）连接AD，从而得到∠ADB=90°，根据已知条件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，则△OAD 为等边三角形，利用勾股定理即可求得AD的长，从而得出OA．【解答】（1）证明：连接OD．因为D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∴∠CED=∠ODE．∵DE⊥AC，∴∠CED=∠ODE=90°．∴OD⊥DE，OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）证明：连接AD，∵OD∥AC，∴∠C=∠ODB=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，∵，∴∠ADO=60°，AD=1，∴AD=OD=OA=1．26．如图，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=10cm．点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点O在△ABC的左侧，OC=5cm．以点O为圆心、cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S△POB+S 扇形DOP．【解答】解：（1）①如图1，当点E与点C重合时，∵AC⊥DE，OC=OE=cm，∴AC与半圆O所在的圆相切，∵原来OC=5，∴点O运动了（5﹣）cm，∵点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动，∴运动时间为：t=，t=2（秒），∴当t=2时，△ABC的边AC所在直线与半圆O所在的圆相切，②如图2，经过t秒后，动圆圆心移动的为2t，而原来OB=OC+BC=15，此时动圆圆心到B的距离为（15﹣2t），此时动圆圆心到AB的距离为（30度角所对的直角边等于斜边的一半），而此时圆的半径是t，则可得：=t，解得：t=5．③如图3，当圆与AC相切时，2t﹣5=t，解得：t=秒；④如图4，当点O运动到B点的右侧，OB=2t﹣5﹣BC=2t﹣15，∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，∴OQ=OB=（2t﹣15）=t﹣，圆O的半径是t，则t﹣=，解得：t=15．总之，当t为2s，10s，s，15s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切．（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．①如图②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为5cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×52=π（cm2）②图③，当圆O与AC相切时，半径长是×=，则半圆O在△ABC的内部，因而重合部分就是半圆O，则面积是：π（）2=．27．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】旋转的性质；直角三角形全等的判定．【分析】先作出恰当的辅助线，再利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，则S△DEF+S△CEF=S△ABC；（2）图2成立；图3不成立．图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，又∵∠C=90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，∵AC=BC，∴MD=ND，∵∠EDF=90°，∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，∴∠MDE=∠NDF，在△DME与△DNF中，∵，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME=S△DNF，∴S四边形DM=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，由以上可知S四边形DM=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．图3不成立，连接DC，证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+，∴S△DEF﹣S△CFE=．故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF=S△ABC．。

北京市清华大学附属中学2022-2023学年九年级下学期3月考数学试题(含答案解析)

北京市清华大学附属中学2022-2023学年九年级下学期3月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．被誉为“中田天眼”的FAST 望远镜首次发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为（）A ．25.1910-⨯B ．35.1910-⨯C ．551910-⨯D ．451910-⨯3．不．一定相等的一组是（）A ．a b +与b a +B ．3a 与a a a ++C ．3a 与a a a⋅⋅D ．()3a b +与3a b+4．一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形5．若将铅笔，直尺和圆规在桌面上随机排成一行，则圆规在中间的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=图象经过点()1,P m ，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则点P 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．一件工作，已知每人每天完成的工作量相同，一个人完成需24天，若m 个人共同完成需n 天，选取6组数对(,)m n ，在坐标系中进行描点，则正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围___．10．分解因式：2242a a ++=_________．11．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，3OA =，30B ∠=︒，则扇形AOC （阴影部分）的面积为___．12．用一个a 的值说明命题“若0a >，则1a a>”是假命题，则这个值可以是=a ___．13．将抛物线2y x =向下平移b 0b >（）个单位长度后，所得新抛物线经过点12-（，），则b 的值为___．14．如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4BC =，则cos C 的值为___．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,3)，点P 为直线y x =上一动点，则线段AP 的最小值为___．16．某工厂生产I 号、II 号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A 款，B 款，C 款，且三款包装的重量及所含I 号、II 号产品的重量如下表：包装款式包装的重量（吨）含I 号新产品的重量（吨）含II 号产品的重量（吨）A 款633B 款532C 款523现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B 款、C 款的个数依次为______；（2）若装运的I 号产品不超过13吨．同时装运的II 号产品最多，则装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次为___．（写出一种即可）三、解答题17．计算：()034sin451π-+︒+18．解不等式组：247412x xxx ->+⎧⎪⎨--<⎪⎩19．已知2340x x +-=．求代数式()()()21211x x x +---的值．20．如图在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，E 为AC 中点，过点A 作AF BC ∥．交DE 的延长线于F ．连接CF ．(1)求证：四边形ADCF 为矩形；(2)若tan 2ACF ∠=，AD =DF 的长．21．已知关于x 的一元二次方程22320x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m 是负数，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y kx b =+（0k ≠）的图象过点(2,3)-，(4,0)-．(1)求该函数的解析式；(2)当2x >-，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值都小于函数(0)y kx b k =+≠的值，请直接写出实数m 的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点()1,B b ．(1)求点A 的坐标和该反比例函数的表达式；(2)点M 在这个反比例函数图象上，过M 作平行于x 轴的直线，交y 轴于点C ．交直线2y x =+于点D ．连接OM ，OB ，OD ．若34OBD OCM S S = ，请直接写出点M 的坐标．24．如图，BA 是O 的直径，C 是O 上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．(1)求证：BE 与O 相切；(2)延长EC 交BA 的延长线于点F ．若2AF ＝，1tan 2ABC ∠=，求O 的半径长．25．已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O ，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在第一次跳跃时，空中飞行的高度y （米）与水平距离x （米）具有二次函数关系，记点A 为该二次函数图像与x 轴的交点，点B 为该运动员的落地点，BC x ⊥轴于点C ．相关数据如下：20OA =米，30OC =米，59tan BAC ∠=．(1)直接写出第一次跳跃的落地点B 的坐标：___；(2)请求出第一次跳跃的高度y （米）与水平距离x （米）的二次函数解析式___；(3)若该运动员第二次跳跃时高度y （米）与水平距离x （米）满足20.05 1.1y x x =-+．记他第二次跳跃时起跳点与落地点的水平距高为d 米，则d30（填“<”、“>”或“=”）．26．已知抛物()262(0)y ax a x a =+->，点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 在该抛物线上．(1)若m n =，0t >，求0x 的取值范围；(2)若存在001x ≤≤．使得n t m <<，求a 的取值范围．27．如图，点D 为等边ABC 外一点，且点A ，D 位于直线BC 的两侧，60BDC ∠= ，过点A 作AE CD ⊥于E ，记CAE α∠=(1)求CBD ∠（用含α的式子表示）(2)证明：32AE =；(3)直接写出CE ，BD 与AE 的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形W 和点P ，若图形W 上存在点Q ，使得1P Q ''≤，其中点P '为点P 关于直线y x m =+的对称点，点Q '为点Q 关于y 轴的对称点，则称点P 为图形W 的“m -近对点”．已知点(2,1)A -，(1,2)B -．(1)当1m =时，①在点1(1,3)P -，2()1,1-P ，3(0,2)P 中，是点A 的“1-近对点”的是___；②若(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，求t 的取值范围；(2)若线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，直接写出m 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义逐个判断，从而得出选项．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；故答案是：C ．【点睛】本题考查轴对称图形的判定和中心对称图形的判定，掌握图形对称的基本概念，是求解的关键．2．B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：30.00519 5.1910-=⨯，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．D【分析】分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．【详解】解：A .a b +=b a +，故选项A 不符合题意；B .=3a a a a ++，故选项B 不符合题意；C .3=a a a a ⋅⋅，故选项C 不符合题意；D .()3333a b a b a b +=+≠+，故选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．4．B【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n−2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．5．B【分析】根据题意，使用列举法，可得随机排成一行，有6种情况，而圆规在中间的有2种，根据概率公式可得答案．【详解】解：如果把铅笔（Q），直尺（Z）和圆规（Y），随机排成一行，有Q、Z、Y；Y、Z、Q；Q、Y、Z；Z、Y、Q；Z、Q、Y；Y、Q、Z；共6种情况；其中有2种Y在中间，故圆规在中间的概率是21 63=，故选：B．【点睛】本题考查概率的求法与运用，注意使用列举法解题时，按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．A【分析】根据反比例函数的增减性可得0k>，从而可得反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点P的横坐标大于0即可得出答案．【详解】解：反比例函数kyx=图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，k∴>，∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限，又反比例函数kyx=图象经过点()1,P m，且10>，∴点P在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．7．A【分析】连接112212,,,,OP PP OP PP PP ，根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．【详解】解：如图，连接112212,,,,OP PP OP PP PP ，∵P 1是P 关于直线l 的对称点，∴直线l 是PP 1的垂直平分线，∴1= 2.8OP OP =，∵P 2是P 关于直线m 的对称点，∴直线m 是PP 2的垂直平分线，∴2= 2.8OP OP =，当P 1，O ，P 2不在同一条直线上时，121212OP OP PP OP OP <<-+即120 5.6PP <<，当P 1，O ，P 2在同一条直线上时，1212 5.6PP OP OP =+=，∴1P ，2P 之间的距离可能是5，故选：A ．【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．8．C【分析】根据题意建立函数模型可得24mn =，即24n m=，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．【详解】解：依题意可得：1124m n ⋅=，即：24mn =，∴24n m=，m ，0n >且为整数．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．9．3x ≠【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由题意得：30x -≠，解得3x ≠，故答案为：3x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．10．2（a+1）2【详解】2242a a ++=2（a+1）2.故答案为2（a+1）2考点：因式分解11．32π【分析】直接由圆周角定理得出AOC ∠的度数，再利用扇形面积求法得出答案．【详解】∵30B ∠=︒，∴60AOC ∠=︒，∴扇形AOC （阴影部分）的面积为：260333602ππ⨯=，故答案为：32π．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，扇形面积求法，正确记忆扇形面积公式是解题关键．12．12（答案不唯一）【分析】根据a 与1a是倒数的关系，判断即可．【详解】解：当12a =时，则12a=，而122<，∴命题“若0a >，则1a a>”是假命题，故答案为：12（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13．3【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点()12-，代入即可求得．【详解】解：将抛物线2y x =向下平移b ()0b >个单位长度后，所得新抛物线为2y x b =-，∵新抛物线经过点()12-，，∴21b -=-,∴3b =．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的平移知识内容等，解题的关键是得出平移后的表达式．14【分析】利用基本作图得到AG 平分BAC ∠，作GH AC ⊥，利用角平分线的性质得1HG BG ==，然后根据勾股定理求得CH 即可求得cos C 的值．【详解】解：由作法可知，AG 平分BAC ∠，作GH AC ⊥，∵90B Ð=°，GH AC ⊥，AG 平分BAC ∠，∴1HG BG ==，∵4BC =，则413CG BC BG =-=-=，∴CH =∴cos CH C CG =故答案为：3．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，勾股定理及求一个角的余弦值，掌握尺规作图作角平分线的方法是解决问题的关键．15【分析】可先设P 点坐标为(,)a a ，再根据两点间距离公式可求得答案．【详解】解：∵点P 为直线y x =上一动点，则设P 点坐标为(,)a a ，∴AP ===∵()220a -≥，∴当2a =时，AP ，．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，先设P 点坐标为(,)a a 是解题的关键，注意两点间距离公式的应用．16．3，1，11，1，3【分析】（1）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，根据题意可得方程组565528x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求解即可；（2）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++≤⎩，解得3x ≤，然后由装运的I 号产品不超过13吨，同时装运的II 号产品最多，可得不等式组3321332313x y z x y z ++≤⎧⎨++≥⎩，进一步分析即得结果．【详解】解：（1）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得32x y z =⎧⎨+=⎩，由于x 、y 、z 为整数，且每种款式至少有1个，所以1,1y z ==，故答案为：3，1，1；（2）设装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次x 、y 、z ，则565528x y z x y z ++=⎧⎨++≤⎩，解得3x ≤，∵装运的I 号产品不超过13吨，同时装运的II 号产品最多，∴3321332313x y z x y z ++≤⎧⎨++≥⎩，当1,1,3===x y z 时，3321213,3231413,13142728x y z x y z ++=<++=>+=<，符合题目要求；故答案为：1，1，3．【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．17【分析】首先根据零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值，进行运算，再进行实数的混合运算，即可求得结果．【详解】解：()034sin451π-+︒141=+⨯【点睛】本题考查了零指数幂运算、特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简、化简绝对值、实数的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18．1x <-【分析】首先解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．【详解】解：247412x x x x ->+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②由①解得：1x <-，由②解得：2x <所以，原不等式组的解集为1x <-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是掌握不等式的解法，注意求解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．2【分析】首先由2340x x +-=移项，得到234x x +=，再根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，再把234x x +=代入化简结果计算即可．【详解】解：2340x x +-= ，234x x ∴+=，()()()21211x x x ∴+---2222121x x x x x =-+--+-232x x =+-42=-2=【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是关键．20．(1)见解析；(2)DF =．【分析】（1）利用AAS 证明AEF CED △≌△，可得AF DC =，易证四边形ADCF 是平行四边形，由AD BC ⊥进而可证得四边形ADCF 为矩形；（2）由矩形性质可知，AD CF ==DF AC =，90AFC ∠=︒，由tan 2ACF ∠=，可得2AF CF ==AC ，即可求得结果．【详解】（1）证明： AF BC ∥，AFE CDE ∴∠=∠，点E 为AC 的中点，∴AE EC =，又AEF CED ∠=∠，()AAS AEF CED ∴△≌△，AF DC ∴=，又AF BC ∥，AF DC ∴∥，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，∴四边形ADCF 是矩形．（2）解：∵四边形ADCF 是矩形，∴AD CF ==DF AC =，90AFC ∠=︒，∵tan 2ACF ∠=，即：tan 2AF ACF CF∠==，∴2AF CF ==由勾股定理可得：AC =∴DF AC ==【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．21．(1)见解析(2)2m =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）先求出一元二次方程的两个根为12,2x m x m ==，再由m 是负数，且该方程的两个实数根的差为2，即可求解．【详解】（1）证明：∵21,3,2a b m c m ==-=，∴()2222434120b ac m m m ∆=-=--⨯⨯=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：22320x mx m -+=∴()()20x m x m --=，解得：12,2x m x m ==，∵m 是负数，即：0m <∴2m m >，∵该方程的两个实数根的差为2，∴22m m -=，解得：2m =-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．22．(1)1y x 42=-(2)7m ≤-【分析】（1）通过待定系数法将点(2,3)-，(4,0)-代入解析式求出k b ，的值，进而可得函数的解析式；（2）根据题意得出142x m x -+<-，求出x 得取值范围，结合2x >-即可得出m 的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点(2,3)-，(4,0)-，∴234k b b +=-⎧⎨=-⎩，解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为：1y x 42=-；（2）根据题意，由（1）可得：142x m x -+<-，解得：()243x m >+，∵当2x >-，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值都小于函数1y x 42=-的值，∴()2423m +≤-，解得：7m ≤-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．23．(1)()0,2A ，3y x=(2)()3,1M 【分析】（1）求出当函数2y x =+的自变量0x =时，y 的值即可得点A 的坐标，再根据直线的解析式求出点B 的坐标，然后利用待定系数法即可得反比例函数的解析式；（2）先利用反比例函数的性质求出32OCM S = ，再分两种情况：①点M 在第一象限，②点M 在第三象限，求出3OBD S m =- ，根据34OBD OCM S S = 建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：对于函数2y x =+，当0x =时，2y =，()0,2A ∴，将点()1,B b 代入函数2y x =+得：123=+=b ，()1,3B ∴，将点()1,3B 代入k y x=得：133k =⨯=，则该反比例函数的表达式为3y x =．（2）解：设直线2y x =+与x 轴的交点为点N ，点M 的坐标为3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()0,,2,C m D m m -，3,OC m CM m ∴==，1322OCM OC CM S ∴=⋅= ，对于函数2y x =+，当0y =时，20x +=，解得2x =-，()2,0,2N ON ∴-=，①如图，当点M 在第一象限时，则0m >，11232322OBD OBN ODN S S m S m ∴=-=⨯⨯-⨯=- ，34OBD OCM S S = ，()34332m =∴-⨯，解得1m =，符合题意，则3331m ==，则此时点M 的坐标为()3,1；②如图，当点M 在第三象限时，则0m <，()11232322OBD OBN ODN S S S m m ∴=+=⨯⨯+⨯⋅-=- ，34OBD OCM S S = ，()34332m =∴-⨯，解得1m =，不符合题意，舍去，综上，点M 的坐标为()3,1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键．24．(1)见详解(2)3【分析】（1）OD BC ⊥，垂径定理得COE BOE ∠=∠，得到COE BOE △≌△，OCE OBE ∠=∠，EC 为O 的切线，即BE 与O 相切；（2）由（1）得90OBE ∠=︒，EC 为O 的切线，即得FOC FEB ∽，因为1tan 2ABC ∠=，所以12OD BD =，12OB BE =，然后列出等式即可．【详解】（1）证明：∵EC 为O 的切线，∴90OCE ∠=︒，∵OD BC ⊥，∴COE BOE ∠=∠，在COE 和BOE △中∵CO OB COE BOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴COE BOE △≌△，∴90OBE OCE ∠=∠=︒，BE 与O 相切；（2）解：由（1）得90OBE ∠=︒，90OBD EBD ∠+∠=︒，∵OD BC ⊥，∴90OEB EBD ∠+∠=︒，OBD OEB ∠=∠，∵1tan 2ABC ∠=，∴在BOD ，设OD x =，则2BD x =，OB =，2AB =，∵1tan 2ABC ∠=，OB =，2AF ＝，∴在OBE △，2BE =22FB =+∵EC 为O 的切线，∴90FCO ∠=︒，由（1）得90OBE ∠=︒，∵F F ∠=∠，∴FOC FEB ∽，∵FO CO FE BE =，2FE +=∴42FE =+∵在EBF △中，222EF FB EB =+，∴5x =，∵OB =，∴3OB =．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理和相似三角形性质等内容．25．(1)()30,18-(2)()20.06 1.20y x x x =-+≥(3)>【分析】（1）根据正切的定义求出BC 的长，由此即可得；（2）设该二次函数的解析式为()20y ax bx a =+≠，根据点,A B 的坐标，利用待定系数法求解即可得；（3）求出当函数20.05 1.1y x x =-+的函数值为18y =-时，x 的值，由此即可得．【详解】（1）解：20OA = 米，30OC =米，10AC OC OA ∴=-=米，BC x ⊥Q 轴，59tan BAC ∠=，95BC AC ∴=，即9105BC =，解得18BC =（米），由图像可知，点B 位于第四象限，()30,18B ∴-，故答案为：()30,18-．（2）解：由题意，设该二次函数的解析式为()20y ax bx a =+≠，20OA = 米，()20,0A ∴，将点()()20,0,30,18A B -代入2y ax bx =+得：4002009003018a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得0.061.2a b =-⎧⎨=⎩，则该二次函数的解析式为()20.06 1.20y x x x =-+≥，故答案为：()20.06 1.20y x x x =-+≥．（3）解：对于二次函数20.05 1.1y x x =-+，当18y =-时，20.05 1.118x x -+=-，解得11x =或110x =<（不符合题意，舍去），则11d =1130190+== ，1130∴+，即30d >，故答案为：>．【点睛】本题考查了正切、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．(1)00x >或04x <-(2)1233a <<【分析】（1）将点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 代入抛物线解析式，再根据m n =得出1a =，20040t x x =+>，求解不等式即可；（2）根据m n >可得01a <<，进而求得11a >，由直线对称轴为13x a =-+，展开讨论，①当113a<<时，即113a <<，此时，对称轴1230x a -<=-+<，当001x ≤≤时，y 随x 增大而增大，若要存在n t m <<，则需要690a ->，②当13a ≥时，即：13a ≤，此时，对称轴130x a=-+>，且250n a =->，比较函数72a -与n 的大小，发现不存在t n >，进而可得a 的取值范围．【详解】（1）解：∵当0x =时，0y =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,0)，∵点(3,)m -，(1,)n -，0(,)x t 在该抛物线()262(0)y ax a x a =+->上，m n =，∴()()936262a a a a --=--，()20062t ax a x =+-，∴1a =，∵0t >，()20062t ax a x =+-，∴20040t x x =+>，即：()0040x x +>，∴00040x x >⎧⎨+>⎩或00040x x <⎧⎨+<⎩，∴0x 的取值范围为：00x >或04x <-；（2）∵点(3,)m -，(1,)n -在该抛物线()262(0)y ax a x a =+->上，∴69m a =-，25n a =-，∵n t m <<，∴2569a a -<-，可得，01a <<，∵抛物线的对称轴为直线62132a x a a -=-=-+，∵01a <<，∴11a>，①当113a <<时，即113a <<，此时，对称轴1230x a -<=-+<，则当001x ≤≤时，y 随x 增大而增大，当00x =时，0y =，当01x =时，72y a =-，则072t a ≤≤-∴720a -≥，即27a ≥，若要存在n t m <<，则需要690a ->，即23<a ，亦即：1233a <<；②当13a ≥时，即：13a ≤，此时，对称轴130x a=-+>，且250n a =->，()72251240a a a ---=-≤，即2572a a -≥-即当001x ≤≤时，不存在t n >，综上，1233a <<．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数的性质是解决问题的关键．27．(1)90CBD α∠=︒+(2)见解析(3))AE BD CE =+【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得60ACB ∠=︒，根据直角三角形的性质可得90ACD α∠=︒-，可得30BCD α∠=︒-，再根据三角形内角和定理，即可求解；（2）延长DC 到点F ，使=CF BD ，首先根据等边三角形的性质，可证得AC CB =，根据90ACD α∠=︒-，可证得ACF CBD ∠=∠，即可证得()SAS ACF CBD △≌△，再根据全等三角形的性质及解直角三角形，即可证得结论；（3）根据解直角三角形即可求解．【详解】（1）解：ABC 是等边三角形，60ACB ∠=︒∴，AE CD ⊥Q ，90AEC ∴∠=︒CAE α∠= ，9090ACD CAE α∴∠=︒-∠=︒-，906030BCD ACD ACB αα∴∠=∠-∠=︒--︒=︒-，()180180306090CBD BCD BDC αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=︒+；（2）证明：如图：延长DC 到点F ，使=CF BD ，ABC 是等边三角形，AC CB ∴=，90ACD α∠=︒- ，()1801809090ACF ACD αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，ACF CBD ∴∠=∠，在ACF △与CBD △中，AC CB ACF CBD CF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACF CBD ∴△≌△，AF CD ∴=，60F BDC ∠=∠=︒，∴在Rt AEF △中，sin AE AF F =⋅∠=，AE ∴=；（3）解：如上图：在Rt AEF △中，60F ∠=︒，)tan AE EF F CF CE ∴=⋅∠==+，CF BD =，)AE BD CE ∴=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．28．(1)①1P ，3P；②34t ≤≤；(2)2m ≤≤．【分析】（1）①根据对称作图，找到对应点，结合定义判断即可；②利用对称作图，表示出T '与线段A B ''上的点之间的距离，根据定义求解即可；（2）作线段OA 与O A '''关于直线y x m =+的对称，求出O '，A ''的坐标，作线段OA 与线段OA '关于y 轴对称，找到满足1P Q ''≤的点P '的区域，在结合O '，A ''的坐标，分类进行找临界点，求出临界值即可（具体分析见解析）．【详解】（1）解：当1m =时，在坐标系中画出直线1y x =+，作出线段AB 关于y 轴对称的线段A B ''，则(2,1)A '，(1,2)B '，点Q '在线段A B ''上，①在坐标系中描出点1(1,3)P -，2()1,1-P ，3(0,2)P ，并作出它们关于直线1y x =+对称的点，则1(2,0)P '，2(2,2)P -'，3(1,1)P '，根据坐标可得，11A P ''=，21A P ''=，31A P ''=，∴点1P ，3P 是点A 的“1-近对点”，故答案为：1P ，3P ；②设直线1y x =+与y 轴交于M ，当0x =时，1y =，即：()0,1M ，又∵(2,1)A '，(1,2)B '，∴MB A B '''==2MA '=，故MA B ''△为等腰直角三角形，∴45B A M B MA ''''∠=∠=︒，MB A B '''⊥，则45B MT '∠=︒则T '为点T 关于直线1y x =+的对称点应在直线A M '上，当T 在M 下方时，T '在y 轴左侧，此时在线段A B ''显然不存在点Q '能使1T Q ''≤；当T 在M 上方时，∵(0,)T t ，则1MT t =-，则1MT t '=-，若T '在A '左侧，则()213T A t t ''=--=-，由于MB A B '''⊥，则T '与线段A B ''上的点最短的长度为T '与线段A B ''的垂线段的长度：)sin 4532T A t ''⋅︒=-，当)312t -≤，存在Q '能使1T Q ''≤；此时(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，即：3t ≥若T '在A '右侧，则()123T A t t ''=--=-，此时135B A T ''∠=︒为钝角，则T '到线段A B ''最短的长度为3T A t ''=-，当31t -≤，存在Q '（即点A '）能使1T Q ''≤；此时(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”，即：4t ≤，综上：当(0,)T t 是线段AB 的“1-近对点”时，t 的取值范围为34t ≤≤；（2）作线段OA 与线段OA '关于y 轴对称，可知()2,1A '，将线段OA '绕点O 逆时针旋转90︒得OC ，则()1,2C -，则直线OC 解析式为2y x =-，且与OA '垂直，作线段OA 与O A '''关于直线y x m =+的对称，作AD x ∥轴，交y x m =+于点D ，连接DA ''，结合（1）可知，AD 与y x m =+的夹角为45︒，则DA ''与y x m =+的夹角为45︒，故DA DA ''⊥，且DA DA ''=，当1y =时，1x m =+，得1x m =-，即：()1,1D m -，∴点A ''的纵坐标为：()1122m m ----=-⎡⎤⎣⎦，即：()1,2A m m ''--，同理可得：(),O m m '-，设O A '''的解析式为y kx b =+，代入O '，A ''可得：()12m k b m mk b m ⎧-+=-⎨-+=⎩，解得：2k b m =-⎧⎨=-⎩，即线段O A '''是直线2y x m =--上的一部分，∴O A OC '''∥，则O A OA ''''⊥，点Q '在线段OA '上，则1P Q ''≤，当存在P '在以O 和A '为圆心，半径为1的圆，和距离直线OA '距离为1的直线之间时，（即如下图，点P '在矩形MNRS 和以O 和A '为圆心的两个半圆围成的封闭区域内，且2MN SR ==）∴MN OA '⊥，且MN 与2y x =-重合，则线段O A MN '''∥，若要使得线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，则只需要满足线段O A '''有点在封闭区域内即可，找到临界点即可，当0m >时，此时O A '''在MN 的左侧，∴当A ''在半圆上时为临界点，即：()()22121m m -+-=，解得：1m =或2m =，结合图形，当1m =时，A ''不为临界位置，故舍去；当0m <时，此时O A '''在MN 的右侧，∴当O '在线段NR 上为临界点，由()2,1A '，可知OA '与x 轴夹角α的余弦值为cos5α==，正弦值为sin 5α==，由互余可知，ON 与y 轴的夹角也为α，故()sin ,cos N ON ON αα⋅-⋅，即：N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得NR 的解析式为：122y x =-，∵(),O m m '-在NR 上，∴12m m =-，解得：m =综上，线段OA 上存在线段OA 的“m -近对点”，则m 的取值范围2m ≤≤．【点睛】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，锐角三角函数，图形W 的“m -近对点”，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

四川省绵阳市江油市八校联考2023届九年级下学期3月月考数学试卷(含答案)

四川省绵阳市江油市2023年春3月月考（8校联考）九年级数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求1．若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤52．如图是由5个高度相等大小相同的圆柱搭成的几何体，从左边看是（）A．B．C．D．3．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（）A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×10114．关于等边三角形，下列说法不正确的是（）A．等边三角形是轴对称图形B．所有的等边三角形都相似C．等边三角形是正多边形D．等边三角形是中心对称图形5．对某村一到六年级适龄儿童人数进行了统计，得到每个年级的儿童人数分别10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15B．众数是10C．中位数是17D．方差是6．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A（0，a）、B （﹣3，2）、C（c，m）、D（d，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）7．估算的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（）A．三人获胜的概率相同B．小明获胜的概率大C．小颖获胜的概率大D．小凡获胜的概率大9．等底、等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是6分米，圆柱的高是（）A．2分米B．3分米C．6分米D．18分米10．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB 的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．B．2C．3D．411．若抛物线y＝x2+x+m﹣1（m是常数）经过第一、二、三象限，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜C．1＜m＜D．1≤m＜12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．20二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．13．分解因式a3﹣81a的结果是．14．若代数式的值是，则x＝．15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数为．16．如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝14m，则桥长AB＝ m（结果精确到1m）．17．不等式组的解集是．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为．三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（16分）（1）计算：（﹣2）0 +-．（2）请你先化简( - )，再从0，﹣2，2，1中选择一个合适的数代入，求出这个代数式的值．20．（12分）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分．某高校组织课外小组在郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图．已知A，B两组户数频数分布直方图的高度比为1：5．月信息消费额分组统计表组别消费额（元）A10≤x＜100B100≤x＜200C200≤x＜300D300≤x＜400E x≥400请结合图表中相关数据解答下列问题：（1）这次接受调查的有户；（2）在扇形统计图中，“E”所对应的圆心角的度数是；（3）请你补全频数分布直方图；（4）若该社区有2000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？21．（12分）为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元．（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．黄老伯决定在将成本控制在不超过30000元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于18000元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株？22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝相交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，直线与x轴、y轴交于C，D两点，且tan∠AOC＝1．（1）求k，a，b的值；（2）求△AOB的面积．23．（12分）如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，点P是BC边上的动点，PD ⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F．（1）求证：∠EFP＝∠EPB．（2）若AB＝20，sin B＝．①当∠APB＝4∠APD，求PC的长．②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长．（3）若sin B＝，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）与一次函数y＝﹣x+b（b为常数）交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．（1）求B点坐标；（2）点P为直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，当S△PAB＝时，求点P的坐标；（3）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）沿射线AB平移5 个单位，平移后的抛物线y1与原抛物线y＝﹣x2﹣2x+c相交于点E，点F为抛物线y1的顶点，点M为y轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．参考答案123456789101112B DCD C D B D A B D B13.答案a（a+9）（a﹣9）．14. 答案415. 答案80°16. 答案2417. 答案﹣3≤x＜118. 答案419. 解：（1）原式＝1+3﹣＝4﹣＝4﹣2；（2）原式＝=当x＝2时，原式＝﹣；当x＝﹣2时，原式＝﹣．20. 解：（1）A组的频数是：10×＝2；∴这次接受调查的有（2+10）÷（1﹣8%﹣28%﹣40%）＝50（户），故答案为：50；（2）“E”所对应的圆心角的度数是360°×8%＝28.8°，故答案为：28.8°；（3）C组的频数是：50×40%＝20，如图，（4）2000×（28%+8%+40%）＝1520（户），答：估计月信息消费额不少于200元的约有1520户．21. 解：（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，依题意得：解得：答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元．（2）设黄老伯应该培育甲种花木m株，则应该培育乙种花木（3m﹣10）株，依题意得：解得：≤m≤30，由∵m为整数，∴m＝29或30，∴3m﹣10＝77或80．答：黄老伯应该培育甲种花木29株、乙种花木77株或甲种花木30株、乙种花木80株．22. 解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图∵tan∠AOC＝1，A（1，m），B（n，﹣2）∴m＝1∴1＝∴k＝2∴﹣2＝∴n＝﹣∴A（1，1），B（﹣，﹣2）把A（1，1），B（﹣，﹣2）分别代入y＝ax+b得：解得∴y＝2x﹣1∴k，a，b的值分别为2，2，﹣1．（2）∵y＝2x﹣1∴当x＝0时，y＝﹣1，即D（0，﹣1）∴S△AOB＝OD×x A+OD×（﹣x B）＝OD×（x A﹣x B）＝×1×（1+）＝∴△AOB的面积为．23. （1）证明：∵PD为⊙O的直径，PD⊥BC，∴BC为⊙O的切线，∴∠EFP＝∠EPB；（2）解：①∵∠APB＝4∠APD，∠APB＝90°+∠APD，∴4∠APD＝90°+∠APD，∴∠APD＝30°．∴∠APC＝90°﹣∠APD＝60°．∵AB＝20，sin B＝，∴AC＝AB•sin B＝20×＝12．∵tan∠APC＝＝，∴PC＝＝4；②当EF＝EP时，∵EF＝EP，∴∠EPF＝∠EFP，∵∠EFP＝∠EPB，∴∠EPF＝∠EPB．∵PD为⊙O的直径，∴∠BEP＝∠AEP＝90°，在△BEP和△AEP中，∴△BEP≌△AEP（ASA），∴BE＝AE＝10．∵sin B＝，∴tan B＝＝，∴PE＝；当EP＝FP时，∵EP＝FP，∴，∵PD为⊙O的直径，∴PD⊥EF，∵PD⊥BC，∴EF∥BC．∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠DPF，∴∠B＝∠DPF．∵PD⊥EF，AC⊥BC，∴DP∥AC，∴∠DPF＝∠PAC，∴∠PAC＝∠B．∴tan∠PAC＝tan B＝＝．∴PB＝BC﹣PC＝7．∵sin B＝＝∴PE＝；当FE＝PF时，∵FE＝PF，∴∠FEP＝∠FPE．∵FEP+∠AEF＝90°，∠FPE+∠FAE＝90°，∴∠AEF＝∠FAE，∴EF＝AF．∴AF＝FP＝EF．∵∠DPA＝∠AEF，∴∠DPA＝∠DAP，∴PD＝AD．设PD＝AD＝3x，∵sin B＝＝，∴BD＝5x．∴AB＝BD+AD＝8x＝20，∴X=．∴BD＝5x＝．∵cos B＝，∴BP＝10．∴PC＝BC﹣BP＝6．∴AP＝＝6．∴PF＝AP＝3．综上，当△PEF为等腰三角形时，满足条件的△PEF的腰长为3或或．（3）解：当D，F，C在一条直线上时，∵PD为⊙O的直径，∴PF⊥CD，∴∠FAC+∠FCA＝90°，∵∠FCP+∠FCA＝90°，∴∠FAC＝∠FCP．∵∠ACP＝∠DPC＝90°，∴△ACP∽△CPD．∴∴PC2＝AC•PD．∵sin B＝，∴∠B＝45°．∴BC＝AC，PD＝PB．∴PC＝BC﹣BP＝AC﹣PD．∴（AC﹣PD）2＝AC•PD，∴DP2﹣3DP•AC+AC2＝0．解得：DP＝AC或DP＝AC（不合题意，舍去）．∴= ，故答案为：．24. 解：（1）把A（﹣3，0）代入，得﹣9+6+c＝0，∴c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3．把A（﹣3，0）代入一次函数，得3+b＝0，∴b＝﹣3．∴y＝﹣x+3．联立方程：解得：∴B（2，﹣5）．（2）割补法表示三角形面积：铅垂高×水平宽，过P作PH∥y轴，交AB于点H．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则H（t，﹣t﹣3），S△PAB＝（y P﹣y H）×（x B﹣x A）＝（﹣t2﹣2t+3+t+3）×（2+3）＝，即4t2+4t+1＝0，∴t＝﹣，∴P（﹣，）．（3）存在．由（1）直线AB：y＝﹣x﹣3．∴∠BAO＝45°，∵沿AB平移5个单位，∴y＝﹣x2﹣2x+5向右平移5个，向下平移5个单位，∴平移后表达式为：y1＝﹣（x﹣5）2﹣2（x﹣5）+3﹣5＝﹣x2+8x﹣17．联立：，∴，∴E（2，﹣5）．∵F为y1顶点，则F（4，﹣1），设M（0，m），N（x，y），分类讨论：①当EF为菱形对角线时，，，，∴N（6，﹣6﹣m）∴EM2＝（0﹣2）2+（m+5）2＝m2+10m+29，∴FM2＝（0﹣4）2+（m+1）2＝m2+2m+17，∴EM2＝FM2，即m2+10m+29＝m2+2m+17，∴m＝﹣，∴N1（6，﹣）②当EM为菱形对角线时，，，∴，∴N（﹣2，m﹣4），∴EN2＝（﹣2﹣2）2+（m﹣4+5）2＝m2+2m+17，∴EF2＝（4﹣2）2+（﹣1+5）2＝20，∴m2+2m+17＝20，∴m1＝﹣3，m2＝1，∴N2（﹣2，﹣7），N3（﹣2，﹣3），③当EN为菱形对角线时，，∴，∴，∴N（2，m+4），∴EM2＝（0﹣2）2+（m+5）2＝m2+10m+29，∴EF2＝（4﹣2）2+（﹣1+5）2＝20，∴m2+10m+29＝20，∴m3＝﹣1，m4＝﹣9，∴N4（2，3），N5（2，﹣5）（与点B重合，舍去），综上可得，N的坐标为：N1（6，﹣），N2（﹣2，﹣7），N3（﹣2，﹣3），N4（2，3）．25. 【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．。

2023年湖北省荆门市沙洋县国道片区九年级下学期3月月考数学试题-

2023年湖北省荆门市沙洋县国道片区九年级下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A ．()222141a a -=-B ．63233a a a ¸=C ．()4246ab a b -=-D ．()2211a a -+-=-2．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．3．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m ，用科学记数法表示这个数是（）A ．79.410-´mB ．79.410´mC ．89.410-´mD ．89.410´m 4．如图，直线12l l ∥，140Ð=°，275Ð=°，则3Ð=（）A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°5．已知实数,x y 满足方程组3212x y x y -=ìí+=î，则222x y -的值为（）10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．因式分解：269-+=_____．a b ab b12．在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：则这10个小组植树株数的方差是__________．(1)求证：B ACB Ð=Ð；(2)若5AB =，4=AD ，求ABE V 的周长和面积．20．某校为了了解学生对世博礼仪的知晓程度，从全校1200名学生中随机抽取了50名学生进行测试．根据测试成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成频数分布直方图（如图，其中部分数据缺失）．又知90分以上（含90分）的人数比6070:分（含60分，不含70分）的人数的2倍还多3人．请你根据上述信息，解答下列问题：(1)该统计分析的样本是（）A ．1200名学生；B ．被抽取的50名学生；C ．被抽取的50名学生的问卷成绩；D ．50．(2)测试成绩的中位数所在的范围是___________．(3)如果把测试成绩不低于80分记为优良，试估计该校有___________名学生对世博礼仪的知晓程度达到优良；(4)学校准备从测试成绩不低于90分的学生中随机选3人义务宣传世博礼仪，若小杰的得分是93分，那么小杰被选上的概率是多少？21．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m 2﹣＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值．22．如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD ，以AB 为直径的⊙O 经过点C ，连接AC ，OD 交于点E ．（1）证明：OD BC ∥；（2）若tan ABC=2∠，证明：DA 与⊙O 相切；（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F ，连接EF ，若BC=1，求EF 的长．23．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．24．如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,，()10B ,，交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x ^轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【分析】利用多项式乘多项式法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则、合并同类项逐项计算即可得出正确答案．【详解】解：A. ()2221441a a a -=-+，故该选项错误；B. 6363333a a a a -¸==，故该选项错误；C. 24442448()(1)ab a b a b ´-=-××=，故该选项错误；D. 2(21)2211a a a a -+-=-+-=-，故该选项正确；故答案为：D【点睛】本题考查多项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项等基本运算，熟练掌握运算法则并正确计算是解题关键．2．C【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．A【详解】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定0.000 000 94=9.4×10-7．故选A ．4．B【分析】先由平行线性质得出4Ð的度数，318014Ð=°-Ð-Ð即可．【详解】解：因为直线12l l ∥，所以4275Ð=Ð=°，所以318014Ð=°-Ð-Ð1804075=°--°65=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质是解题的关键．5．A【分析】首先解方程组，求出,x y 的值，然后代入所求代数式即可．【详解】3212x y x y -=ìí+=î①②，2´①+②，得55x =，解得1x =，把1x =代入②得，12y +=，解得y=1，。

江苏省连云港市新海初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案解析)

江苏省连云港市新海初级中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．3的平方根是（）A ．9BC ．D ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．“世界金融风暴”影响着我国的经济，为预防经济进一步下滑，中国政府出台了多项政策，其中有一项是4万亿元经济刺激方案．将4万亿元用科学记数法可表示为（）A ．8410⨯元B ．10410⨯元C ．12410⨯元D ．14410⨯元4．下列计算正确的是（）A ．2242x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．()2224x x -=D ．32x x x -=5．在2009年的三八妇女节，第一学习小组为了解本地区大约有多少中学生知道自己母亲的生日，随机调查了100个中学生，结果其中只有30个学生知道自己母亲的生日，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A ．调查的方式是普查B ．本地区约有30%的中学生知道自己母亲的生日C ．样本是30个中学生D ．本地区约有70个中学生不知道自己母亲的生日6．如图，∠AOB =90°，∠B =30°，△A ′O B ′可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A ′在AB 上，则旋转角α的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧»BD，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧 BO 、»OD，则图中阴影部分的面积为（）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π8．如图，ABC 中，35A ∠=︒，50B ∠=︒，G 是ABC 的重心，AB 的中点为D ，以G 为圆心，GD 长为半径画⊙G ，过C 点作⊙G 的两切线段CE CF 、，其中E 、F 为切点，则BCE ∠与ACF ∠的度数和为（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒二、填空题9．化简(2-的结果是______．10．函数yx 的取值范围是_____．11．分解因式：22a a +=_____．12．如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若40C ∠=︒，则B ∠的度数为____．13．已知1x ，2x 是一元二次方程2620x x -+=的两根，则12x x +=_______．14．如图．在每个小正方形的边长均为1的方格图中．点A ，C ，M ，N 均在格点（网格线的交点）上，AN 与CM 相交于点P ，则tan CPN ∠的值为______．15．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为________．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，B 的半径为2，P 为B 上的动点，PD -的最大值是______．三、解答题17．计算(0213cos 60--++︒．18．解不等式组：121322x x x ->⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②19．化简2111x x x x⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭．20．某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A 、B 、C 、D 四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：各类学生成绩人数比例统计表等第人数类别ABC D农村20024080县镇290132130城市24013248（注：等第A 、B 、C 、D 分别代表优秀、良好、合格、不合格）(1)请将上面表格中缺少的三个数据补充完完整；(2)若该市九年级共有60000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上（含合格）的人数．21．小莉的爸爸有一张电影票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用树状图或列表的方法求小莉去看电影的概率；(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．22．郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师有1000元，他计划为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？23．如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点C ，B ，与反比例函数m y x =交于点A ，D ，过D 作DE x ⊥轴于E ，连接OA 、OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S =△△．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点C 的坐标；(3)直接写出关于x 不等式：3mkx x>+的解集为______．24．一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin 360.59︒≈，cos 360.81︒≈，tan 360.73︒≈，sin 720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan 72 3.08︒≈）25．如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD CF ，，且DCF CAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若直径310,cos 5AD B ==，求FD 的长．26．如图，抛物线2y x bx c =++经过()3,0A ，()2,5D -两点，与x 轴另一交点为B ，点H 是线段AB 上一动点，过点H 的直线PQ x ⊥轴，分别交直线AD 、抛物线于点Q ，P ．(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P ，使90APB ∠=︒，若存在，求出点P 的横坐标，若不存在，说明理由；(3)连接BQ ，一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到Q ，再沿线段QD 个单位的速度运动到D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时t 最少？27．已知：如图，在Rt ABC △中，906cm 8cm ACB AC BC ∠=︒==，，．点D 是BC 中点，点P 从点C 出发，沿CA 向点A 匀速运动，速度为2cm/s ；同时点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为3cm/s ；连接PD QD PQ ，，，将PQD △绕点D 旋转180︒得RTD △．设运动时间为t （s ）()03t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，RT BC ∥？(2)当t 为何值时，四边形PQRT 是菱形？(3)设四边形PQRT 的面积为y ()2cm，求y 与t 的函数关系式；(4)是否存在某一时刻t ，使得点T 在ABC 的外接圆上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【分析】直接根据平方根的概念即可求解．【详解】∵(23=∴3的平方根是故选：D ．【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义．2．D【分析】根据轴对称与中心对称的定义分别判断即可，轴对称图形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是：图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．【详解】解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点主要是区分轴对称图形与中心对称图形，熟记轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键．3．C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，按要求表示即可．【详解】解： 4万亿元4000000000000=元，根据科学记数法要求4000000000000的4后面有12个0，从而用科学记数法表示为12410⨯，故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定a 与n 的值是解决问题的关键．4．C【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、合并同类项对各项依次判断即可．【详解】解：A ．2222x x x +=，故选项错误，不符合题意；B ．235x x x ×=，故选项错误，不符合题意；C ．()2224x x -=，故选项正确，符合题意；D ．3x 与x 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．B【分析】根据题意，由调查方式、样本估计总体、样本定义，结合四个选项逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、根据题中描述，调查方式是抽样调查，该说法错误，不符合题意；B 、由样本估计整体，随机调查了100个中学生，结果其中只有30个学生知道自己母亲的生日，得到样本中约30%的中学生知道自己母亲的生日，从而可以估算出本地区约有30%的中学生知道自己母亲的生日，该说法正确，符合题意；C 、根据题中描述，样本是100个中学生，该说法错误，不符合题意；D 、由样本估计整体，随机调查了100个中学生，结果其中只有30个学生知道自己母亲的生日，得到样本中约70的中学生知道自己母亲的生日，不是本地区情况，该说法错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查统计综合，涉及调查方式、样本估计总体、样本等知识，熟练掌握统计概念是解决问题的关键．6．C【分析】根据旋转的性质得出AO =A ′O ，得出等边三角形AOA ′，根据等边三角形的性质推出即可．【详解】解：∵∠AOB =90°，∠B =30°，∴∠A =60°，∵△A ′OB ′可以看作是△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，点A ′在AB 上，∴AO =A ′O ，∴△AOA ′是等边三角形，∴∠AOA ′=60°，即旋转角α的度数是60°，故选：C【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA ′是等边三角形，题目比较典型，难度不大．7．B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22﹣2112π⋅⨯﹣2（1×1﹣14•π×12）＝π﹣2，故选：B ．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．8．B【分析】连接CD ，GE ，GF ，根据重心的性质得出12DG CG =，进而得出30FCG ∠=︒，根据切线长定理得出60ECF ∠=︒，根据三角形内角定理即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，GE ，GF ，∵G 是ABC 的重心，AB 的中点为D ，∴G 在CD 上，∴12DG CG =，∵CE 、CF 是G 的切线，∴90CFG CEG ∠=∠=︒，GE GF GD ==，FCG ECG ∠=∠∴1sin 2FG DG FCG CG CG ∠===，∴30FCG ∠=︒，∴60ECF ∠=︒，∴BCE ∠+ACF ∠18018035506035A B ECF =︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形重心的性质是解题的关键．9．12【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．【详解】解：(()22224312-=-⨯=⨯=，故答案为：12【点睛】此题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．10．x≥2．【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x ﹣4≥0，可求x 的范围．【详解】解：2x ﹣4≥0解得x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件.11．22(2)a a a a +=+【分析】直接提公因式法：观察原式22a a +，找到公因式a ，提出即可得出答案．【详解】22(2)a a a a +=+，故答案为：a （a +2）．【点睛】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．12．25︒##25度【分析】首先连接OA ，然后根据切线的性质和三角形的外角性质得出答案．【详解】解：连接OA ，∵AC 为切线，∴90OAC ∠=︒，∵40C ∠=︒，∴50AOC ∠=︒，∵OA OB =，∴50225B ∠=︒÷=︒．故答案为：25︒【点睛】本题主要考查圆的切线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．解答问题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．13．6【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2620x x -+=的两根，∴12661x x -+=-=．故答案为：6．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12c x x a =．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．14．1【分析】利用等角转化得到45CPN BAN ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：如图，平移MC 至AB ，则CPN BAN ∠=∠，连接BN ，∵90BD NC AD BC ADB BCN ==∠=∠=︒，，，∴()ABD BNC SAS ≌，∴DAB CBN ∠=∠，AB BN =，∴90DBA CBN DBA DAB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90ABN ∠=︒，∴45BAN BNA ∠=∠=︒，∴45CPN BAN ∠=∠=︒，∴tan 1CPN ∠=，故答案为：1．【点睛】本题考查了锐角三角函数的求值问题，涉及到了平移、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是利用平移进行等角转化，得到等腰直角三角形，求出角．15．0＜a ＜6【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【详解】试题解析：设未来30天每天获得的利润为y ，y =（110－40－t ）（20+4t ）－（20+4t ）a 化简，得y =－4t 2+（260－4a ）t +1400－20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，∴−()260429.524a -⨯-解得，a ＜6，又∵a ＞0，即a 的取值范围是：0＜a ＜6．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意t 为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．16．2【分析】如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使4BM BP =，连接MP ，证明BMP BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △ BPC △，接着推导出2=22PC PD MN -，最后证明BMN BCD △，即可求解．【详解】如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B 的半径为2∴=2BP ，2222==44=42BD BC CD ++ 2442BP BD 在BD 上做点M ，使24BM BP =，则2=2BM ，连接MP 在BMP 与BPD △中=MBP PBD ∠∠，=BP BM BD BP∴BMP BPD△∴2=4PM PD ，则2PD PM 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ∠∠，=BN BP BP PC∴BNP △ BPC△∴1=2PN PC ，则=2PC PN ∴如图所示连接NM ，延长NM 与B 的交点P '∴P '2PC PD -最大值是P 点的位置)22222=22=22PD PN PM PN PM MN---在BMN 与BCD △中=NBM DBC ∠∠，2=48BM BC，8BN BD ∴=BM BN BC BD∴BMN BCD△∴=8MN CD =4CD∴=2MN∴故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉该知识点运用是解题关键．17．52【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值进行运算即可．【详解】解：(0213cos 60--++︒12132=-+⨯52=【点睛】此题考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．18．310x <≤【分析】求出每个不等式的解集，写出不等式解集的公共部分即可．【详解】解：121322x x x ->⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②解不等式①得，3x >，解不等式②得，10x ≤，∴不等式组的解集是310x <≤．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的确定方法是解题的关键．19．x-【分析】先计算括号内的减法运算，再计算分式的除法运算，即可得到答案．【详解】解：2111x x x x⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()11111x x x x x x -⎛⎫=-÷ ---⎝⎭()1111x x x =-÷--()111x x x =-⨯--x=-【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．20．(1)280，48，180．(2)估计该市成绩合格以上的人数约为54720人．【分析】（1）根据扇形图可分别求出农村人口、县镇人口、城市人口，进而求出缺少的数据即可；（2）利用样本来估计总体即可．【详解】（1）解：∵农村人口为200040%800⨯=，∴农村A 等第的人数为80020024080280---=；∵县镇人口为200030%600⨯=，∴县镇D 等第的人数为60029013213048---=；∵城市人口为200030%600⨯=，∴城市B 等第的人数60024013248180---=，故答案为：280，48，180．（2）抽取的学生中，成绩不合格的人数共有804848176++=（人），所以成绩合格以上的人数为20001761824-=（人），估计该市成绩合格以上的人数为182460000547202000⨯=（人）．答：估计该市成绩合格以上的人数约为54720人．【点睛】本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题．主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确.21．(1)38(2)不公平，游戏见详解．【分析】（1）利用树状图法列举出所有情况，即可得到答案；（2）根据（1）中概率比较即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，根据上图可得，总共有：5、7、8、9、6、8、9、10、7、9、10、11、9、11、12、13，共有16种情况，其中偶数有6种，奇数10种，∴()63=168P =小莉，∴小莉去看电影的概率为38；（2）解：由（1）可得，∴()53=1088P =>哥哥，∴该游戏规则不公平，游戏设置：拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去；根据上图可得，总共有：6、7、8、9、7、8、9、10、8、9、10、11、9、10、11、12，共有16种情况，其中偶数有8种，奇数8种，()12P P ==哥哥（小莉）．【点睛】本已考查用树状图法求解概率及用概率判断游戏是否公平，解题的关键是正确列举出所有情况．22．（1）每个书包和每本词典的价格分别是28元和20元；（2）共有以下三种购买书包和词典的方案，分别是购买书包10个，词典30本，购买书包11个，词典29本，购买书包12个，词典28本．【详解】（1）设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为（x －8）元．根据题意，得3x ＋2（x －8）＝124．解得x ＝28．∴x －8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）设购买书包y 个，则购买词典（40－y ）本．根据题意，得1000[2820(40)]100,{1000[2820(40)]120,y y y y -+-≥-+-≤解得10≤y≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．23．(1)12y x=-(2)()2,0C(3)20x -<<或>4x 【分析】（1）由题意，得到3OB =，再由()2,A n -，:1:2OAB ODE S S =△△得到13212122B OAB ODE OB x S S m OE DE ⋅⨯===-⋅△△，解得12=-m 即可得到答案；（2）根据题意，先求出()2,6A -，利用待定系数法确定直线关系式，再由直线332y x =-+与x 轴交于点C ，代值求解即可得到()2,0C ；（3）解不等式12332x x ->-+，用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的x 的取值范围，数形结合即可得到答案．【详解】（1）解：直线3y kx =+与y 轴交于点B ，∴当0x =时，3y =，即()0,3B ，3OB ∴=，直线3y kx =+与反比例函数m y x=交于点A ，D ，过D 作DE x ⊥轴于E ，连接OA 、OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S =△△，∴13212122B OAB ODE OB x S S m OE DE ⋅⨯===-⋅△△，解得12=-m ，∴反比例函数的表达式为12y x=-；（2）解：直线3y kx =+与反比例函数12y x =-交于点()2,A n -，∴1262n =-=-，即()2,6A -，623k ∴=-+，解得32k =-，∴直线的表达式为332y x =-+，直线332y x =-+与x 轴交于点C ，∴当0y =时，3032x =-+，解得2x =，即()2,0C ；（3）解：求关于x 不等式3m kx x >+的解集，由（1）（2）可知反比例函数的表达式为12y x=-，直线的表达式为332y x =-+，∴解不等式12332x x ->-+用函数图像表示就是反比例函数图像在直线上方部分对应的x 的取值范围，∴联立12332y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得43x y =⎧⎨=-⎩或26x y =-⎧⎨=⎩，即()2,6A -、()4,3D -，∴数形结合，得到12332x x ->-+的解集为20x -<<或>4x ，故答案为：20x -<<或>4x ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数图像与性质、反比例函数图像与性质是解决问题的关键．24．（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==．（2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DGDBD BD'∠=∴sin 36 3.54DG BD =⋅︒≈．在Rt BHE V 中，sin EHEBH BE∠=∴sin 72 3.80EH BE =⋅︒≈．∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．25．(1)详见解析(2)907【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知FCD FAC ∽，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段FD 的长度．【详解】（1）证明：连接OC ，∵AD 是O 的直径，∴90ACD ∠=︒，∴90ADC CAD ∠+∠=︒，又∵OC OD =，∴ADC OCD ∠=∠，又∵DCF CAD ∠=∠，∴90DCF OCD ∠+∠=︒，即OC FC ⊥，∴FC 是O 的切线；（2）解：∵3,cos 5B ADC B ∠=∠=，∴3cos 5ADC ∠=，∵在Rt ACD 中，3cos ,10,5CD ADC AD AD ∠===∴3cos 106,5CD AD ADC =⋅∠=⨯=∴8AC ==，∴34CD AC =，∵FCD FAC F F ∠=∠∠=∠，，∴FCD FAC ∽，∴34CD FC FD AC FA FC ===，设3FD x =，则4310FC x AF x ==+，，又∵2FC FD FA =⋅，即2(4)3(310)x x x =+，解得307x =（取正值），∴9037FD x ==，【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．26．(1)2=23y x x --；(2)点P 的横坐标为：11(3)()1,4Q -【分析】（1）把()3,0A ，()2,5D -代入2y x bx c =++，得出关于b 、c 的二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线解析式求出OA ，设2(,23)P m m m --，则13m -≤≤，2(23)PH m m =---，1BH m =+，3AH m =-，证明AHP PHB ∽，得出2·PH BH AH =，由此得出方程22[(23)](1)(3)m m m m ---=+-，解方程即可；（3）由题意，动点M 运动的路径为折线BQ QD +，运动时间：t BQ =，如备用图，作辅助线，将BQ 转化为BQ QG +；再由垂线段最短，得到垂线段BE 与直线AD 的交点即为所求的Q 点．【详解】（1）把()3,0A ，()2,5D -代入2y x bx c =++，得930425b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：2=23y x x --；（2）存在点P ，使90APB ∠=︒．当0y =时，即2230x x --=，解得：11x =-，23x =，1OB =∴，3OA =．设2(,23)P m m m --，则13m -≤≤，2(23)PH m m =---，1BH m =+，3AH m =-， PH AB ⊥，90PAH BPH APH ∴∠=∠=︒-∠，AHP PHB ∠=∠，ΔΔAHP PHB ∴∽，∴PH AH BH PH=，2·PH BH AH ∴=，22[(23)](1)(3)m m m m ∴---=+-，解得11m =21m =，∴点P 的横坐标为：11（3）如图，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，则5DN =，2ON =，325AN =+=，5tan 15DN DAB AN ∴∠===，45DAB ∴∠=︒．过点D 作//DK x 轴，交PQ 于点G ，则45KDQ DAB ∠=∠=︒，DQ =．2QG ∴=，由题意，动点M 运动的路径为折线BQ QD +，运动时间2t BQ BQ DQ =+=+，t BQ QG ∴=+，即运动的时间值等于折线BQ QG +的长度值．由垂线段最短可知，折线BQ QG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点B 作BE DK ⊥于点E ，则t BE =最小，BE 与直线AD 的交点，即为所求之Q 点．(3,0)A ，(2,5)D -，∴直线AD 的解析式为：3y x =-+，B 点横坐标为1-，134y ∴=+=，(1,4)Q ∴-．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，相似三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，函数图象上点的坐标特征等知识．利用数形结合与方程思想是解题的关键．27．(1)3019t =；(2)13t +=；(3)()248152480355t t t y -+<<=；(4)存在，125t =【分析】（1）首先根据勾股定理得到AB 的长，根据旋转性质和平行四边形判定，可以证出四边形PQRT 为平行四边形，利用//RT BC 得线段成比例，从而得解；（2）过Q 作QN BC ⊥于N ，用含t 的代数式表示出CP AP AQ QB 、、、的长，由（1）已经证明四边形PQRT 为平行四边形，它的对角线互相垂直时为萎形，再证明PCD DNQ ∽ ，BNQ BCA △△∽，再根据相似三角形对应边的比相等即可得解；（3）过P 作PM AQ ⊥于M ，过点Q 作QN BD ⊥于N ，根据24PQRT PQR PDQ S S S == ，PDQ ABC PCD APQ BDQ S S S S S =--- 即可得解；（4）过C 作CH AB ⊥于H ，所以2ABC CH AB AC BC S ⨯=⨯= ，再证明(SAS)CDT BDQ ≌ ，对应角相等，即为内错角相等，所以CT BA ∥，从而证出当Q 在AB 上运动时，T 也在过C 点与AB 平行的直线上运动，取AB 中点O 连OC 作OM CT ⊥于M ，则四边形OHCM 为矩形，OM CH =，若T 在ABC 的外接圆上，则15cm 2OT OC AB ===，即可得解．【详解】（1）解：连接PQ QR PT 、、，由旋转知：DP DR =，DQ DT =，∴四边形PQRT 为平行四边形，当TR BC ∥时，则PQ BC ∥，∴AP AQ AC AB =，∵90ACB ∠=︒，6AC cm =，8cm BC =，∴10cm AB ==，依题意得：3cm AQ t =，2cm CP t =，∴()62cm AP t =-，()103cm BQ t =-，∴623610t t -=，∴602018t t -=，∴3860t =，∴3019t =，当3019t =时，RT BC ∥；（2）解：由（1）知，四边形PQRT 为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为萎形知，当DP DQ ⊥，即90PDQ ∠=︒时，平行四边形PQRT 为菱形，过Q 作QN BC ⊥于N ，∴90QND ∠=︒，∴90QDN DQN ∠+∠=︒，∵90PDQ ∠=︒，∴90PDC QDN ∠+∠=︒，∴PDC DQN ∠=∠，∵90PCD DNQ ∠=∠=︒，∴PCD DNQ ∽，∴PC DN CD QN=①，∵90BNQ C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BNQ BCA ∽，∴BN NQ BQ BC AC AB ==，即1038610BN NQ t -==，∴()3103cm 5QN t =-，()4103cm 5QN t =-，∴()1288cm 5CN BC BN t =-=-+，∴()124cm 5DN CN CD t =-=-，由①等式知：124259465t t t -=-，∴29246855t t t -=-，∴23092440t t t -=-，∴296400t t --=，∴61183t ±±==，舍去负根，∴13t +=，检验13t +=是原方程的根，∴13t +=；（3）解：∵四边形PQRT 为平行四边形，∴24PQRT PQR PDQ S S S == ，过P 作PM AQ ⊥于M ，过点Q 作QN BD ⊥于N ，由（2）知96cm 5QN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在Rt APM △中，()62cm AP t =-，∴()4248•62cm 555PM AP sinA t t ⎛⎫==-⨯=- ⎪⎝⎭，∴PDQ ABC PCD APQ BDQS S S S S =---1112481968243462225525t t t t ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236121824412555t t t t =--+-+212381255t t =-+，∴()2484152480355PDQ t y S t t -+=<=< ；（4）解：过C 作CH AB ⊥于H ，∴2ABC CH AB AC BC S ⨯=⨯= ，∴6824cm 105CH ⨯==，连接CT ，∵QD DT =，CD DB =，CDT BDQ ∠=∠，∴(SAS)CDT BDQ ≌ ，∴B DCT ∠∠＝，∴CT BA ∥，∴当Q 在AB 上运动时，T 也在过C 点与AB 平行的直线上运动，取AB 中点O 连OC 作OM CT ⊥于M ，则四边形OHCM 为矩形，OM CH =，若T 在ABC 的外接圆上，则15cm 2OT OC AB ===，∵OM CT ⊥，∴CM MT =，又∵75CM ===，∴1425CT MC ==，∵BQD CTD ≌，∴14cm5CT BQ==，即14 1035t-=，∴125t=，即当125t=时，T在ABC的外接圆上．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆的性质，解题关键是恰当作出辅助线，熟练掌握以上性质和判定．。

武汉市黄陂区九年级下月考数学试卷(3月)含答案解析

2022-2023湖北省武汉市黄陂区三里桥中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一．选择题（共10小题）1．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣12．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 3．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）4．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．7 B．6 C．5 D．45．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）A．6 B．5 C．9 D．6．以▱ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连接EF、GH、IJ、KL．若▱ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（）A．5 B．10 C．15 D．207．下列运算正确的是（）A．5m+2m=7m2B．﹣2m2m3=2m5C．（﹣a2b）3=﹣a6b3D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a28．为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论不正确的是（）A．由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有90人B．若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人C．这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为72°9．已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．无法确定10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（）A．2 B．3.5 C．D．4二．填空题（共6小题）11．计算：|﹣2|+2=．12．一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为．13．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．14．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是天．15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB 于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=．16．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是．三．解答题（共8小题）17．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．18．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．19．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．21．如图，已知△PDC是⊙O的内接三角形，CP=CD，若将△PCD绕点P顺时针旋转，当点C刚落在⊙O上的A处时，停止旋转，此时点D落在点B处．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）当PD=2，∠DPC=30°时，求⊙O的半径长．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．23．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）…25 60 75 90…所付的金额（元）…125 300…（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．2022-2023湖北省武汉市黄陂区三里桥中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【考点】数轴．【分析】根据正负数的运算方法，用3减去﹣2，求出在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离为多少即可．【解答】解：3﹣（﹣2）=2+3=5．所以在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离为5．故选A【点评】此题主要考查了正负数的运算方法，关键是根据在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离列出式子．2．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵代数式+有意义，∴，解得x≥0且x≠1．故选D．【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．3．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．4．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】中位数；算术平均数．【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【解答】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3，∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，∴这组数据的中位数是：5．故选C．【点评】本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）A．6 B．5 C．9 D．【考点】位似变换．【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等．【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4∴DE=6故选A．【点评】本题就是考查位似的定义，是相似的性质的一个简单应用．6．以▱ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连接EF、GH、IJ、KL．若▱ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】平行四边形的性质．【分析】过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，求出∠EAM=∠BAD，根据锐角三角形函数定义求出EM=DN，求出△AEF和△ABD面积相等，同理求出S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，代入S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK得出S=2S，代入求出即可．平行四边形ABCD【解答】解：过D作DN⊥AB于N，过E作EM⊥FA交FA延长线于M，连接AC，BD，∵四边形ABGF和四边形ADLE是正方形，∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°，∴∠EAF+∠BAD=360°﹣90°﹣90°=180°，∵∠EAF+∠EAM=180°，∴∠EAM=∠DAN，∴sin∠EAM=，sin∠DAN=，∵AE=AD，∴EM=DN，∵S△AEF=AF×EM，S△ADB=AB×DN，∴S△AEF=S△ABD，同理S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，∴阴影部分的面积S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=2S=2×5=10．平行四边形ABCD故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．7．下列运算正确的是（）A．5m+2m=7m2B．﹣2m2m3=2m5C．（﹣a2b）3=﹣a6b3D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式．【分析】A、依据合并同类项法则计算即可；B、依据单项式乘单项式法则计算即可；C、依据积的乘方法则计算即可；D、依据平方差公式计算即可．【解答】解：A、5m+2m=（5+2）m=7m，故A错误；B、﹣2m2m3=﹣2m5，故B错误；C、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故C正确；D、（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是整式的计算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则以及平方差公式是解题的关键．8．为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论不正确的是（）A．由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有90人B．若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人C．这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为72°【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】首先根据“其它”类所占比例以及人数，进而求出总人数，即可得出喜好“科普常识”的学生人数，再利用样本估计总体得出该年级喜爱“科普常识”的学生总数，进而得出喜好“小说”的人数，以及“漫画”所在扇形的圆心角．【解答】解：A、∵喜欢“其它”类的人数为：30人，扇形图中所占比例为：10%，∴样本总数为：30÷10%=300（人），∴喜好“科普常识”的学生有：300×30%=90（人），故此选项不符合题意；B、若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有：×90=360（人），故此选项不符合题意；C、喜好“小说”的人数为：300﹣90﹣60﹣30=120（人），故此选项错误符合题意；D、“漫画”所在扇形的圆心角为：×360°=72°，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．9．已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．无法确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】对y=﹣，由x1＜0＜x2＜x3知，A点位于第二象限，y1最大，第四象限，y随x 增大而增大，y2＜y3，故y2＜y3＜y1．【解答】解：∵y=﹣中k=﹣3＜0，∴此函数的图象在二、四象限，∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y=﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，∴A点位于第二象限，y1＞0，B、C两点位于第四象限，∵0＜x2＜x3，∴y2＜y3，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．10．如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（）A．2 B．3.5 C．D．4【考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，求出OA=4﹣3k，OB=，求出△AOB的面积是OBOA=12﹣=12﹣（9k+），根据﹣9k﹣≥2=24和当且仅当﹣9k=﹣时，取等号求出k=﹣，求出OA=4﹣3k=8，OB==6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入得：4=3k+b，b=4﹣3k，即直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，当x=0时，y=4﹣3k，当y=0时，x=，即A（0，4﹣3k），B（，0），△AOB的面积是OBOA=（4﹣3k）=12﹣=12﹣（9k+），∵要使△AOB的面积最小，∴必须最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵﹣9k﹣≥2=2×12=24，当且仅当﹣9k=﹣时，取等号，解得：k=±，∵k＜0，∴k=﹣，即OA=4﹣3k=8，OB==6，根据勾股定理得：AB=10，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，R=2，故选A．【点评】本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．二．填空题（共6小题）11．计算：|﹣2|+2=4．【考点】有理数的加法；绝对值．【分析】先计算|﹣2|，再加上2即可．【解答】解：原式=2+2=4．故答案为4．【点评】本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．12．一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为6.5×10﹣6．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．【解答】解：0.0000065=6.5×10﹣6．故答案为：6.5×10﹣6．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，关键是用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．13．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，故答案为60．【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．14．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是4天．【考点】函数的图象．【分析】根据题意和分析图象可知，甲乙合作的播种速度是150亩/天，所以600÷150=4天，由此即可求出答案．【解答】解：由图形可得：甲播种速度200÷2=100亩/天，乙播种速度为（350﹣300）÷1=50亩/天，∴甲乙合作的播种速度为150亩/天，则乙播种参与的天数是600÷150=4天．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB 于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．【解答】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，∴k=3；故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．16．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是14．【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．【专题】压轴题；探究型．【分析】先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．【解答】解：∵MN=20，∴⊙O的半径=10，连接OA、OB，在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，∴OD===8；同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，∴OC===6，∴CD=8+6=14，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中，∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，∴AB′===14．故答案为：14．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．三．解答题（共8小题）17．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）利用待定系数法解答解析式即可；（2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入，可得：，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x+3，把P（﹣2，a）代入y=﹣2x+3中，得：a=7；（2）由（1）得点P的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD的面积=．【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．18．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．19．父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大？请说明理由．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大．【解答】解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况，∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为： =；（2）会增大，理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况，∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为： =＞；∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．21．如图，已知△PDC是⊙O的内接三角形，CP=CD，若将△PCD绕点P顺时针旋转，当点C刚落在⊙O上的A处时，停止旋转，此时点D落在点B处．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）当PD=2，∠DPC=30°时，求⊙O的半径长．【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【专题】探究型．【分析】（1）连接OA、OP，由旋转可得：△PAB≌△PCD，再由全等三角形的性质可知AP=PC=DC，再根据∠BPA=∠DPC=∠D可得出∠BPO=90°，进而可知PB与⊙O相切；（2）过点A作AE⊥PB，垂足为E，根据∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形，可得出BE=EP=，PA=2，PB与⊙O相切于点P可知∠APO=60°，故可知PA=2．【解答】（1）证明：连接OA、OP，OC，由旋转可得：△PAB≌△PCD，∴PA=PC=DC，∴AP=PC=DC，∠AOP=∠POC=2∠D，∠APO=∠OAP=，又∵∠BPA=∠DPC=∠D，∴∠BPO=∠BPA+=90°∴PB与⊙O相切；（2）解：过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵∠BPA=30°，PB=2，△PAB是等腰三角形；∴BE=EP=，（6分）PA===2又∵PB与⊙O相切于点P，∴∠APO=60°，∴OP=PA=2．【点评】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及图形旋转的性质，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB 相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后=S△ABD﹣S△MND求解．由S四边形ABNM【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．四边形ABNM【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发量（千克）…25 60 75 90…所付的金额（元）…125 300300 360…（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×0.8=360元；（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．【解答】解：（1）由题意知：当蔬菜批发量为60千克时：60×5=300（元），当蔬菜批发量为90千克时：90×5×0.8=360（元）．故答案为：300，360；（2）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得，解得．故该一次函数解析式为：y=﹣30x+240；（3）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，w=（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）=﹣30（x﹣6）2+120，﹣30x+240≥75，即x≤5.5，当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A （，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C （，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．31 / 31。

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九年级（下）第三次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜42．式子有意义，x的取值范围（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．全体实数3．下面运算正确的是（）A．=﹣B．（2a）2=2a2C．x2+x2=x4D．|a|=|﹣a|4．下列词语所描述的事件是随机事件的是（）A．守株待兔B．拔苗助长C．刻舟求剑D．竹篮打水5．如果等式x3•x m=x6成立，那么m=（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）7．下列几何体中，俯视图相同的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④8．希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（）A．被调查的学生有200人B．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°9．已知直线l：y=x，过A（0，1）作y轴的垂线交l于B，过B作l的垂线交y轴于A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y 轴于点A2…；按此作法继续下去，则点A2016的纵坐标为（）A．42016B．42015C．42014 D．4201310．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．计算：2﹣2×（﹣3）=．12．2015年武汉市机动车的保有量达到229万辆，用科学记数法表示：．13．如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张汉字“自”的概率是．14．含30°的直角三角形板如图放置，直线l1∥l2，若∠1=55°，则∠2=．15．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．16．如图，⊙O的半径为5，P为⊙O上一点，P（4，3），PC、PD为⊙O的弦，分别交y轴正半轴于E、F，且PE=PF，连CD，设直线CD为y=kx+b，则k=．三、解答题（共8题，共72分）17．（x+1）﹣2（x﹣1）=1﹣3x．18．如图，AB=BC，BD=EC，AB⊥BC，EC⊥BC，求证：AD⊥BE．19．某校对600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了如图尚未完成的表格和频数分布直方图（注：无50.5以下成绩）（1）频数分布表中，A=，B=，C=．（2）补全频数分布直方图．（3）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人？20．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（6，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，若函数y=3x与y=的图象的另一支交于丁点M，求三角形OMB 与四边形OCDB的面积的比．21．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=，求DE的长．22．如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式．（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AD交AB于E，垂足为D，过B作BF⊥AB交AD的延长线于F，垂足为B，连EF交BD于M．（1）求证：AE=2BD；（2）求证：MF2=DM•BF；=．（3）若CD=，则S△BEF24．如图，抛物线y=ax2﹣3ax﹣2与x轴交于A、B，与y轴交于C，连AC、BC，∠ABC=∠ACO．（1）求抛物线的解析式．（2）设P为线段OB上一点，过P作PN∥BC交OC于N，设线PN为y=kx+m，将△PON沿PN折叠，得△PNM，点M恰好落在第四象限的抛物线上，求m的值．（3）CE平分∠ACB交抛物线的对称轴于E，连AE，在抛物线上是否存在点P，使∠APC＞∠AEC，若存在，求出点P的横坐标x p的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖北省广雅中学九年级（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．【解答】解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选B．2．式子有意义，x的取值范围（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．全体实数【考点】分式有意义的条件．【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，依此即可求解．【解答】解：∵式子有意义，∴1﹣x≠0，即x≠1．故选：C．3．下面运算正确的是（）A．=﹣B．（2a）2=2a2C．x2+x2=x4D．|a|=|﹣a|【考点】幂的乘方与积的乘方；绝对值；合并同类项；负整数指数幂．【分析】分别利用负整数指数幂的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、（）﹣1=2，故此选项错误；B、（2a）2=4a2，故此选项错误；C、x2+x2=2x2，故此选项错误；D、|a|=|﹣a|，正确．故选：D．4．下列词语所描述的事件是随机事件的是（）A．守株待兔B．拔苗助长C．刻舟求剑D．竹篮打水【考点】随机事件．【分析】随机事件是可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：B，C，D都是不可能事件．所以是随机事件的是守株待兔．故选A．5．如果等式x3•x m=x6成立，那么m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】同底数幂的乘法．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则得出m的值即可．【解答】解：∵等式x3•x m=x6成立，∴3+m=6，解得：m=3．故选：B．6．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4）、B（2，0），将△OAB以O为中心缩小一半，则A对应的点的坐标（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△OAB以O为中心缩小一半，A（2，4），则顶点A的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2），故选：C．7．下列几何体中，俯视图相同的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、圆柱与圆锥组合体、圆台的俯视图，得出满足题意的几何体即可．【解答】解：①的三视图中俯视图是圆，但无圆心；②的俯视图是圆，有圆心；③的俯视图也都是圆，有圆心；④的俯视图都是圆环．故②③的俯视图是相同的；故选：C．8．希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（）A．被调查的学生有200人B．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数即可求解；各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，乘以360度即可得到“公务员”所在扇形的圆心角的度数，结合扇形图与条形图得出即可．【解答】解：A．被调查的学生数为=200（人），故此选项正确，不符合题意；B．根据扇形图可知喜欢医生职业的人数为：200×15%=30（人），则被调查的学生中喜欢教师职业的有：200﹣30﹣40﹣20﹣70=40（人），故此选项正确，不符合题意；C．被调查的学生中喜欢其他职业的占：×100%=35%，故此选项错误，符合题意．D．“公务员”所在扇形的圆心角的度数为：（1﹣15%﹣20%﹣10%﹣×100%）×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；故选：C．9．已知直线l：y=x，过A（0，1）作y轴的垂线交l于B，过B作l的垂线交y轴于A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y 轴于点A2…；按此作法继续下去，则点A2016的纵坐标为（）A．42016B．42015C．42014 D．42013【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标．【分析】由A点坐标可求得B点坐标，从而可求得AB长，在Rt△ABA1中，可求得记分1，可求得A1的坐标，同理可求得A2的坐标，可找到规律，则可得出答案．【解答】解：∵A（0，1），AB⊥y轴，∴B点纵坐标为1，又B在直线l上，代入可得1=x，解得x=∴B点坐标为（，1），∴AB=，∵OA=1，∴∠AOB=60°，∵A1B⊥l，∴∠A1BO=90°，∴∠记分1B=30°，∴记分1===3，∴OA1=4，则可求得B1坐标为（4，4），∴A1B1=4，同理A1A2==12，∴OA2=16=42，∴OA2016=42016，∴A2016的纵坐标为42016，故选A．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小．【解答】解：连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．在△ADK与△ABE中，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，BM=2，∴MG=2，∠G=90°∴BM≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2故选：A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．计算：2﹣2×（﹣3）=8．【考点】有理数的乘法；有理数的减法．【分析】先算乘法，再算加法即可，【解答】解：2﹣2×（﹣3）=2+6=8，故答案为：8．12．2015年武汉市机动车的保有量达到229万辆，用科学记数法表示： 2.29×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将229万用科学记数法表示为：2.29×106．故答案为：2.29×106．13．如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张汉字“自”的概率是．【考点】概率公式．【分析】让“自”的个数除以字的总个数即可．【解答】解：由于所有机会均等的结果为6种，而出现“自”的机会有3种，所以出现“自”的概率为=．故答案为．14．含30°的直角三角形板如图放置，直线l1∥l2，若∠1=55°，则∠2=115°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由三角形外角的性质求出∠4的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1=55°，∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=55°．∵∠A=60°，∴∠4=∠3+∠A=55°+60°=115°．∵直线l1∥l2，∴∠2=∠4=115°．故答案为：115°．15．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．16．如图，⊙O的半径为5，P为⊙O上一点，P（4，3），PC、PD为⊙O的弦，分别交y轴正半轴于E、F，且PE=PF，连CD，设直线CD为y=kx+b，则k=．【考点】一次函数综合题．【分析】取点P关于y轴的对称点Q，由条件可证得Q为的中点，连接OQ，则可知OQ⊥CD，可求得直线OQ的解析式，由互相垂直的两条直线的关系可求得CD的解析式的k．【解答】解：如图，取点P关于y轴的对称点Q，∵P（4，3），∴Q（﹣4，3），连接PQ，∴PQ⊥y轴，∵PE=PF，∴∠CPE=∠DPE，∴点Q为的中点，连接OQ，则OQ⊥DC，设直线OQ解析式为y=mx，把Q点坐标代入可得3=﹣4m，解得m=﹣，∴直线OQ解析式为y=﹣x，∴直线CD解析式为y=x+b，∴k=，故答案为：．三、解答题（共8题，共72分）17．（x+1）﹣2（x﹣1）=1﹣3x．【考点】解一元一次方程．【分析】方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去括号得：x+1﹣2x+2=1﹣3x，移项合并得：2x=﹣2，解得：x=﹣1．18．如图，AB=BC，BD=EC，AB⊥BC，EC⊥BC，求证：AD⊥BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD=∠BCE=90°，根据全等三角形的性质得到∠A=∠CBE，根据余角的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠ABD=∠BCE=90°，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE+∠ABE=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∴AD⊥BE．19．某校对600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了如图尚未完成的表格和频数分布直方图（注：无50.5以下成绩）（1）频数分布表中，A=80.5，B=16，C=0.2．（2）补全频数分布直方图．（3）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）利用组距为10cm可得到A的值，用第1组的频数除以它的频率得到样本容量，再用第4组的频率乘以样本容量可得B的值，然后用第3组的频数除以样本容量可得C的值；（2）频数分布表得到第2组的频数为8，第5组的频数为14，则可补全频数分布直方图；（3）用600乘以第5组的频率可估计该校成绩优秀人数．【解答】解：（1）A=80.5，2÷0.04=50，B=50×0.32=16，C=10÷50=0.2；故答案为80.5，16，0.2；（2）如图，（3）600×0.28=168，所以估计该校成绩优秀的有168人．20．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（6，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=，反比例函数y=的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，若函数y=3x与y=的图象的另一支交于丁点M，求三角形OMB 与四边形OCDB的面积的比．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）在RT△AOB中，根据sin∠OAB=求出OA，再求出点C坐标即可解决问题．（2）利用方程组求出点M坐标，分别求出三角形OMB与四边形OCDB的面积即可解决问题．【解答】解：（1）在RT△AOB中，∵0B=6，∠AB0=90°，∴sin∠OAB==，∴OA=10，AB==8，∴点A再把（6，8），∵点C是OA中点，∴点C坐标（3，4），∵反比例函数y=的图象的一支经过点C，∴k=12，∴反比例函数解析式为y=．（2）由解得或，∵点M在第三象限，∴点M坐标（﹣2，﹣6），∵点D坐标（6，2），=×6×6=18，S四边形OBDC=S△AOB﹣S△ACD=×6×8﹣×6×3=15，∴S△OBM∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比=18：15=6：5．21．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=，求DE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DF，而DF⊥BC，根据平行线的判定得到OD∥BC，然后利用平行线的性质和等量代换可得∠OAD=∠C，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，由平行线的性质得cos∠DOG=cosB=，则在Rt△ODG中利用余弦可计算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=，则AH=，利用勾股定理可计算出AD，然后证明DE=AD即可．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠C，∴BA=BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B=∠DOG，∴cos∠DOG=cosB=，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=，即=，∴r=3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH==，∴OH=，∴AH=3﹣=，在Rt△ADH中，AD==，∵∠DEC=∠C，∴DE=DC，而OA=OB，OD∥BC，∴AD=CD，∴DE=AD=．22．如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式．（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；（2）令x=10，求出y与6作比较；（3）求出y=8.5时x的值即可得．【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：y=a（x﹣6）2+10，将点B（0，4）代入，得：36a+10=4，解得：a=﹣，故该抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+10；（2）根据题意，当x=6+4=10时，y=﹣×16+10=＞6，∴这辆货车能安全通过．（3）当y=8.5时，有：﹣（x﹣6）2+10=8.5，解得：x1=3，x2=9，∴x2﹣x1=6，答：两排灯的水平距离最小是6米．23．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE⊥AD交AB于E，垂足为D，过B作BF⊥AB交AD的延长线于F，垂足为B，连EF交BD于M．（1）求证：AE=2BD；（2）求证：MF2=DM•BF；=2﹣2．（3）若CD=，则S△BEF【考点】相似三角形的判定与性质；四点共圆；等腰直角三角形．【分析】（1）如图1中，取AE的中点F，连接DF，只要证明DF=DB，AE=2DF 即可．（2）先证明B、E、D、F四点共圆，再证明FD=FM，BD=BF，利用△DFM∽△DBF 即可解决问题．（3）如图2中，作DG∥AB交AC于G，先求出AG、GD、BD、BF，利用△ACD ∽△FBE求出EB即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，取AE的中点F，连接DF，∵∠C=90°，CA=CB，∴∠CAB=∠B=45°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB=∠CAB=22.5°，∵DE⊥AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA=22.5°，∴∠DFB=45°=∠B，∴BD=DF=AE，∴AE=2BD；（2）证明：如图2中，∵BF⊥AB，AD⊥DE，∴∠EBF=∠EDF=90°，∴∠EBF+∠EDF=180°，∴B、E、D、F四点共圆，∴∠AFE=∠DBE=45°，∵∠BDF=∠ADC=67.5°，∴∠DMF=180°﹣∠BDF﹣∠DFM=67.5°，∴∠FDM=∠FMD，∴FD=FM，∵∠DFM=∠FBD=45°，∠FDM=∠BDF ，∴△DFM ∽△DBF ，∴，∠DMF=∠BFD=67.5°，∴DF 2=DB•DM ，∠BDF=∠BFD ，∴BD=BF ，∴FM 2=DM•BF ．（3）解：如图2中，作DG ∥AB 交AC 于G ．∵∠CGD=∠A=∠CDG=∠CBA=45°，CD=，∴DG=CD=2，记分C=BC=2+，BD=BF=2，∵∠FEB=∠BDF=∠ADC ，∠C=∠EBF=90°，∴△ACD ∽△FBE ，∴=，∴EB=2﹣2，∴S △EBF =•BE•BF=（2﹣2）•2=2﹣2，故答案为2﹣2．24．如图，抛物线y=ax 2﹣3ax ﹣2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，连AC 、BC ，∠ABC=∠ACO ．（1）求抛物线的解析式．（2）设P 为线段OB 上一点，过P 作PN ∥BC 交OC 于N ，设线PN 为y=kx +m ，将△PON 沿PN 折叠，得△PNM ，点M 恰好落在第四象限的抛物线上，求m 的值．（3）CE平分∠ACB交抛物线的对称轴于E，连AE，在抛物线上是否存在点P，使∠APC＞∠AEC，若存在，求出点P的横坐标x p的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）如图1中，由△AOC∽△COB，得=，得OA•OB=OC2=4，结合根与系数关系即可解决问题．（2）如图2中，首先证明OM⊥BC，求出直线OM的解析式，利用方程组求出点M坐标，再求出PN的解析式即可解决问题．（3）如图3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，连接EB．对称轴与x轴交于点K．首先证明E、A、C、B四点共圆，圆心为K，⊙K与抛物线在第四象限的交点为F．观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），∵∠ACO=∠CBO，∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴=，∴OA•OB=OC2=4，∴=﹣4，∴a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2．（2）如图2中，PN与OM交于点G，由题意OM⊥PN，∵PN∥BC，∴OM⊥BC，∵直线BC的解析式为y=x﹣2，∴直线OM的解析式为y=﹣2x，由解得，或，∴点M坐标（，1﹣），∵OG=GM，∴点G坐标（，），∴直线PN的解析式为y=x+，∴m=．（3）如图3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，连接EB．对称轴与x轴交于点K．∵CE平分∠ACB，∴MG=MH，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）∴AC=，BC=2，AB=5，∴====∴AM=，OM=，∴直线CE解析式为y=3x﹣2，∴点E坐标（，），∴EK=AK=KB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EBA=∠ACE=45°，∴E、A、C、B四点共圆，圆心为K，⊙K与抛物线在第四象限的交点为F．根据对称性，点F坐标（3，﹣2），由图象可知，当点P在抛物线A→C段或B→F段时，∠APC＞∠AEC，此时点P的横坐标x p的取值范围﹣1＜x P＜0或3＜x P＜4．2017年2月23日。