432定积分的简单应用体积
3.4 定积分的应用(体积、侧面积及一些物理量)
4
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元
′ 2 ( x )dx ， 是 dL = 1 + f
则 dA = 2πf ( x )dL ，
y
y = f (x )
o
a
x x + dx b
故 A = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx .
a
b
x
[ 圆台的侧面积 π × 母线长 × (上底半径 + 下底半径 ) 。在极限 圆台的侧面积=
A = 2π ∫
a
−a
′ y1 1 + y1 dx + 2π ∫
2
a
0
a
−a
′ y2 1 + y2 2 dx
x = 8abπ arcsin a
= 4abπ 2 .
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
三、 一些物理量的计算
1、质量
轴上的质杆。 例 1.有一放置在 x 轴上的质杆。若其上每一点的密度等于
P = pA = γ h ⋅ A ;
若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等 若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等, 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 元法化成定积分计算 化成定积分计算。 元法化成定积分计算。
北师大版数学高二课件 4.3.2 简单几何体的体积
梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝
bπ[
a
f(x)]
2dx
.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 简单旋转几何体的体积
例1 求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.
解
Vx＝2πy2dx＝2πx6dx＝
0
0
πx72
7
0
＝1278π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的 体积. 解 x1＝ y，x2＝y2,0≤y≤1，
解析答案
课堂小结 1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、 下限，要理解其中蕴含的定积分思想.
返回
本课结束
的几何体.如图所示：
因此 V＝a A(x)dx
－a
＝πab22a (a2－x2)dx＝43πab2. －a
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个 直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个 圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为 y＝hrx. 所以所求圆锥体的体积为
第四章 §3 定积分的简单应用
4.3.2 简单几何体的体积
学习 目标
1.通过实例，进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
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知识梳理
自主学习
知识点 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边
定积分的简单应用——求体积
4、2定积分的简单应用(二)复习:（1） 求曲边梯形面积的方法就是什么？（2） 定积分的几何意义就是什么？（3） 微积分基本定理就是什么？引入:我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。
求体积问题也就是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算问题:设由连续曲线()y f x =与直线x a =,x b =及x 轴围成的平面图形(如图甲)绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ,如何求V ？分析:在区间[,]a b 内插入1n -个分点,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,把曲线()y f x =(a x b ≤≤)分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”,如图甲所示。
设第i 个“小长条”的宽就是1i i i x x x -∆=-,1,2,,i n =L 。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度就是i x ∆的小圆片,如图乙所示。
当i x ∆很小时,第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。
因此,第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积与:2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就就是积分问题,则有:22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰ 归纳:设旋转体就是由连续曲线()y f x =与直线x a =,x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一:求简单几何体的体积例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积思路:由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。
定积分的应用--简单几何体的体积
结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V
1
0
x2dx
3
x3
1 0
3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积
定积分的应用体积
定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。
其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。
通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。
2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。
如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。
具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。
通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。
3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。
具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。
定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积 课件
五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为：
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕 其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲 线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是 下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将 其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， (4,4) B
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14） 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
Ｃ’ Ａ’ Ａ
Ｃ
1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’ 2013-4-2
Ｂ
S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定 积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体 体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx a ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题 4-3中6、7
(完整版)定积分的简单应用——求体积
4.2定积分的简单应用(二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。
设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =L 。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。
当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。
因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰ 2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
定积分的简单应用——求体积
4、2定积分得简单应用（二）复习：（1）求曲边梯形面积得方法就是什么?（2）定积分得几何意义就是什么？（3）微积分基本定理就是什么？引入:我们前面学习了定积分得简单应用——求面积。
求体积问题也就是定积分得一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积得求法。
1.简单几何体得体积计算问题:设由连续曲线与直线，及轴围成得平面图形（如图甲)绕轴旋转一周所得旋转体得体积为,如何求?分析:在区间内插入个分点，使,把曲线(）分割成个垂直于轴得“小长条”,如图甲所示。
设第个“小长条”得宽就是,。
这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度就是得小圆片，如图乙所示。
当很小时,第个小圆片近似于底面半径为得小圆柱。
因此，第个小圆台得体积近似为该几何体得体积等于所有小圆柱得体积与:这个问题就就是积分问题,则有：归纳：设旋转体就是由连续曲线与直线,及轴围成得曲边梯形绕轴旋转而成,则所得到得几何体得体积为2.利用定积分求旋转体得体积（1）找准被旋转得平面图形,它得边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体得构造（4）利用定积分进行体积计算3.一个以轴为中心轴得旋转体得体积若求绕轴旋转得到得旋转体得体积,则积分变量变为，其公式为类型一:求简单几何体得体积例1:给定一个边长为得正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体，求它得体积思路:由旋转体体积得求法知，先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边得方程，确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。
解:以正方形得一个顶点为原点,两边所在得直线为轴建立如图所示得平面直角坐标系,如图.则该旋转体即为圆柱得体积为:规律方法:求旋转体得体积,应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。
确定积分上、下限,则体积 练习1：如图所示,给定直角边为得等腰直角三角形，绕轴旋转一周,求形成得几何体得体积。
解:形成得几何体得体积为一圆柱得体积减去一圆锥得体积。
类型二:求组合型几何体得体积例2:如图,求由抛物线与直线及所围成得图形绕轴旋转一周所得几何体得体积。
定积分的应用--简单几何体的体积
11
结论 2
旋转体由曲线x=(y), ya, yb
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b((y))2dy bx2dy
a
a
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12
探究3 设两抛物线yx22x,yx2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V？
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13
2. 5
2
y x2
1. 5
1
0. 5
fx = -x2+2x
a
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6
旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a＜b)．
a
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7
结论 1
由y f (x)，xa,xb和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则
V=
b
2
(f (x)) dx
b y2dx
a
a
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8
练习： 一个半径为 1 的球可看作由曲线y 1x2
与 x 轴所围成的区域（半圆）绕 x 轴旋转一周得到 的，求球的体积。
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
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16
gx = x2
-2
-1
1
2
3
4
-0. 5
yx2 2x
-1
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14
-1. 5
结论 3
探由y f (x)2和y g(x)2所
围成的图形为M，将M绕
x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体
的 体 积 V
b
[
f
(
x)2
g
(x)2
]d x
高中数学定积分43定积分的简单应用432简单几何体的体积北师大版
体的体积公式是 V=π [()]2d( < ).
【做一做 1】 将由直线 y=x,x=1,x=2 以及 x 轴围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为(
)
4π
A.π
B. 3
5π
7π
C. 3
D. 3
解析:由题意知 V=π
2
1
2
x
1 32
dx=3πx |1
7π
= 3.
答案:D
dx= |2
=
2π
.
3
.
1
2
4 求由曲线 y=ex,y= 和直线 = 1, =
2 围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.
解:由题意知 V=
=π×
e2 2
|
2 1
2
1
πe2d −
−π×
2 2
|
2 1
=
2
1
πd
e4 -e2 -3
π.
2
3
4
成是由直线 y=x,x=2 以及 x 轴所围成的平面图形.
则所求旋转体的体积为 V=π
答案:D
2
0
2d =
2
π
3
3
0
|
=
8π
.
3
1
2
2
3
4
3.将由双曲线 y=,直线 x=2,x=3 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋
转一周所得的旋转体的体积是
解析:V=
答案:
2π
3
3
2
2
π·
2
-4π 3
π·2 (a2 -x2 )dx=
2
定积分简单应用——求体积
4.2定积分的简单应用(二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。
设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。
当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。
因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆ 这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰ 归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
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活页规范训练
[规范解答] 曲线 y＝12x2 与 y＝
2x所围成的平面图形如图所示，
设所求旋转体的体积为 V，根据
图像可以看出 V 等于曲线 y＝
2x，直线 x＝2 与 x 轴围成的平 面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V1)减去曲
线 y＝12x2，直线 x＝2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一
a
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 求简单几何体的体积
【例1】 给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周， 得到一个几何体，求它的体积． [思路探索] 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐 标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下 限，确定被积函数即可求出体积．
课前探究学习
3．2 简单几何体的体积
【课标要求】
1．体会利用定积分求体积的思想方法． 2．会利用定积分求简单几何体的体积． 3．体会极限思想的应用． 【核心扫描】 1．利用定积分求简单几何体的体积．(重点) 2．常与旋转体的概念等综合考查．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．简单几何体的体积 设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和直 线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所围成的 曲边梯形绕 x 轴旋转而成，设在区 间[a，b]上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
y＝x2，
[错解] 由y＝1x
知交点坐标为(1,1)，由示意图可知，
V＝aπ(x2)2dx＝aπx4dx＝
0
0
π5x5a0＝π5a5.
掌握对定积分的几何意义，不要忽视了变量a的讨论．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
y＝x2，
[正解] (1)由y＝1x
知交点坐标为(1,1)．由示意图可知，
要对 a 与 1 的关系进行讨论．
活页规范训练
题型二 求组合型几何体的体积
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组 合体分开来求体积．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 解方程yx2＋＝y8－x6y＝>00，， 得yx＝＝42.， 所以 y2＝8x 与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
a
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【训练1】 如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕 y轴旋转一周，求形成的几何体的体积． 解 形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的 体积． ∴V＝πa2·a－aπy2dy
0
＝ πa3－π3y3a0＝πa3－3πa3＝23πa3.
课前探究学习
课堂讲练互动
周所得旋转体的体积(设为 V2)．
(2 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
V1＝2π( 2x)2dx 0
＝2π
02xdx＝2π·12x2
20＝4π，
V2＝02π12x22dx ＝π4 02x4dx＝π4×15x502＝85π， 所以 V＝V1－V2＝4π－85π＝125π.
(4 分) (6 分) (8 分) (10 分) (12 分)
a
＜b)．
课前探究学习Байду номын сангаас
课堂讲练互动
活页规范训练
：如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？
提示 本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似 求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况 下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有 两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、 球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用 定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为 求定积分问题是解决此类问题的一般方法．
课前探究学习
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活页规范训练
【训练 3】 求由 y＝ x＋1，y＝29x2 以及 y 轴围成的图形 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
解
y＝ x＋1， 由y＝29x2，
【例 3】 (12 分)求由曲线 y＝12x2 与 y＝ 2x所围成的平面图 形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 审题指导 解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体 体积之差．
【解题流程】 画出草图 → 确定被积函数的边界 → 确定积分上、下限 → 用定积分表示体积 → 求定积分
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0＜a≤1， a＞1.
利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：
(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线
直接决定了被积函数．
(2)分清端点．
(3)确定几何体的构造．
(4)利用定积分进行体积表示．
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得 xy＝ ＝32， .
V＝03π·(x＋1)dx－03π·841x4dx
＝ πx22＋x30－π·4045x530＝5110π.
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误区警示 忽视了对变量的讨论而致错
【示例】 已知曲线 y＝x2，y＝1x和直线 y＝0，x＝a(a＞0)．试 用 a 表示该四条曲线围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形 成的几何体的何积．
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【训练2】 求由曲线y＝2x，直线x＝1与x轴围成的平面图 形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
解
旋转体的体积 V＝1π(2x)2dx＝4π 0
01x2dx＝4π×13x3
01＝
43π×(13－03)＝43π.
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题型三 有关体积的综合问题
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名师点睛
1．简单几何体的体积计算 设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形 (如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.
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在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜x n ＝ 1 ， 把 曲 线 y ＝ f(x) ， a≤x≤b 分 割 成 n 个 垂 直 于 x 轴 的 “ 小 长 条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i ＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是
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解 以正方形的一个顶点为原点，两边 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系，如图 BC：y＝a.则该 旋转体即 圆柱的 体积为 ： aπ×a2dx＝
0
πa2xa0＝πa3.
求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系， 设旋转曲线函数为 f(x)．确定积分上、下限 a，b，则其体 积 V＝bπf2(x)dx.
所求几何体的体积 V＝2π( 8x)2dx＋6π(6－x)2dx
0
2
＝8π2xdx＋π6(x－6)2dx
0
2
＝8π·12x2
20＋π·13x－6362＝16π＋643π＝1132π. 解决组合体的体积问题，关键是对其构造进
行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分
别利用定积分求其体积．
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a
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2．简单旋转体体积求法
(1)简单旋转体体积的求解步骤 ①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形； ②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下 限； ③确定被积函数； ④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)； ⑤求出定积分，即旋转体的体积． (2)旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a
Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底 面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为V i＝πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
V＝bπf2(x)dx＝πbf2(x)dx.
a
a
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2．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于
(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直 接决定了被积函数． (2)分清端点． (3)确定几何体的构造． (4)利用定积分进行体积表示．
3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为 y， 其公式为 V＝bπg2(y)dy.
①当 0＜a≤1 时，
V＝aπ(x2)2dx＝aπx4dx＝
0
0
π5x5a0＝π5a5.
②当 a＞1 时，
V＝01π(x2)2dx＋a1π1x2dx＝π01x4dx＋πa1x12dx
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＝ π5x510＋π －1x1a＝π5＋π1－1a＝65π－πa.
π5a5 ∴所得旋转体的体积为 V＝65－1aπ