两点之间的距离公式及中点坐标公式
两点之间的距离公式及中点坐标公式
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
两点之间的距离公式及中点坐标公式
两点之间的距离公式及中点坐标公式在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B之间的距离d为：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式：
在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B的中点坐标为：
中点的x坐标(x)为：x=(x1+x2)/2
中点的y坐标(y)为：y=(y1+y2)/2
两点之间的距离，可以看作是两点所在直线的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边平方和的平方根。
因此，可以利用勾股定理来求两点之间的距离。
假设直角边分别为(x2-x1)和(y2-y1)，则根据勾股定理有：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式解析：
中点是指连接线段的两个端点的中心点。
假设需要求解的两点的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2、则中点的横坐标为两点横坐标之和的一半，即(x1+x2)/2；中点的纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即(y1+y2)/2、因此，中点的坐标为(x,y)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
总结：
两点之间的距离公式是通过勾股定理来计算两个点之间的直线距离，利用两点的横纵坐标的差值进行计算。
中点坐标公式是通过将两个点的横纵坐标相加后除以2来求两点连线的中点坐标。
这两个公式在几何学和计算机图形学中非常常用，可以用来计算任意两点之间的距离和得到两点连线的中点坐标。
两点间的距离公式和中点公式
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标． 解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
设点d的坐标为xy则??????????????122022125322yx?????40yx解得已知平行四边形abcd的三个顶点a00b24c62求顶点d的坐标
圆
直线 圆
直线
8.1.2平面直数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
C B1
（3）|BC| 等于多少？
x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？
（5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题； 选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
A2
C B1 x
AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；
两点间距离公式和线段的中点坐标公式
２.已知△ABC的三个顶点坐标A（－3，1），B（0，－2），C（5，3），求
△ABC三边的长，并判断△ABC是否是直角三角形.
解：｜AB｜＝ (0 + 3)2 +(−2 − 1)2 ＝ 18＝3 2
(5 + 3)2 +(3 − 1)2 ＝ 68
｜BC｜＝ (5 − 0)2 +(3 + 2)2 ＝ 50＝5 2
（1，2）
（1，－2）
三、解答题
1.点A（2，3），B（3，m）之间的距离为 26，求m值.
解：由题意得 (3 − 2)2 +( − 3)2 ＝ 26，解得m＝8或m＝－2
2.若点A（1，－2）与点B关于点P（2，－3）对称，求点B的坐标.
1+
−2+
解：设点B（x，y），则 ＝2，
＝－3，解得x＝3，
B.（4，－2）
C.（－7，1）
D.（1，2）
二、填空题
根据条件将表中数据填充完整.
题号
点A的坐标
点B的坐标
（1）
（0，0）
（2，4）
（2）
（4，－3）
（3）
（－2，2）
（2，0）
（0，1）
（4）
（3，－4）
（3，4）
（3，0）
（5）
（1，－1）
（－3，－5）
（－1，－3）
（－2，－1）
线段AB的中点坐标
∵ ｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2
∴△ABC是直角三角形
｜AC｜＝
亲爱的同学们，下节课见！
,
2
2
.
一、选择题
1.已知O（0，0），A（3，4），则O、A两点间的距离｜OA｜＝（
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公式点公式是指在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求解两点之间的距离。
点公式的推导基于勾股定理。
假设平面直角坐标系中有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们要求解两点之间的距离。
首先，我们可以通过斜边的坐标差值计算两条直角边的长度。
设直角边AC的长度为d₁，直角边BC的长度为d₂。
则有以下推导：d₁=，x₂-x₁d₂=，y₂-y₁接下来，我们可以运用勾股定理计算斜边的长度。
根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
d=√(d₁²+d₂²)因此，两点之间的距离d等于直角边的长度的平方和的平方根。
综上所述，两点间距离的点公式可以表示为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别是两点的坐标，d表示两点之间的距离。
下面我们来举一个具体例子来演示点公式的应用。
例题：已知点A(3,4)和点B(7,8)，求解两点之间的距离。
解：根据点公式，我们可以直接套入坐标值进行计算。
d=√((7-3)²+(8-4)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32=4√2因此，点A和点B之间的距离为4√2在实际应用中，点公式常被用于计算两点之间的距离。
例如在平面几何中，我们可以利用点公式计算线段的长度。
在地理学中，点公式可以用于测量地球上任意两点的距离。
此外，点公式还可以应用于图像处理、机器学习等领域。
总结起来，点公式是一种简便而常用的计算两点之间距离的方法。
通过套入已知点的坐标，我们可以精确地求解出两点之间的距离。
这使得点公式具有广泛的应用价值。
两点之间的距离公式及中点坐标公式-两点和终点坐标公式。
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
2 2
y (bD (b-a, c) C (b, c) x
2 2
d(A,C)= d(C,B)=
(5 -1) + (0 − 2) = 2 2 (5 − 3) + (0 − 4) =
2 2
20
20
即|AC|=|BC|且三点不共线 |AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。 所以，三角形ABC为等腰三角形。 ABC为等腰三角形
【例3】已知 ABCD ,求证 已知 2 2 2 2 AC + BD = 2 AB + AD .
o
x A 1
x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？ 也成立吗？
y
A
o
A
x
A
显然， 显然，当A点在坐标轴上时 点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。 这一公式也成立。
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )
一般地，已知平面上两点A(x 一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 利用上述方法求点A B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
O, A 两点之间的距离通常用 d(O, A)
表示。 表示。
当A点不在坐标轴上时： 点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， 在平面直角坐标系中，已知点A(x， A(x 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？ d(O,A)是多少呢 y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
两点间距离公式及中点坐标公式
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立
两点间的距离和中点坐标公式
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试求出各分点的坐标．
图8－2
首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标．
解 设线段ST的中点Q的坐标为
则由S（0，2）、T（−6，−1）得
巩固知识 典型例题
例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离． 由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为 平面内两点间距离公式
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= d(A,C)= d(C,B)=
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ,求证
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 ，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
所以
所以
5.1两点间的距离和 线段中点的坐标
BRAND PLANING
【学习目标】 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 【重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【难点】 两点间的距离公式的理解
目录
品牌介绍
01
产品展示
02
复习
数轴上两点的距离
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
中点公式
6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式
和 线 段 的 中 点 坐 标 公 式
新授
一般地，设点A的坐标为（ , ）点B的坐标为（ , ），
则|AB|= ( − ) +( − )
想一想
两点间距离公式写成|AB|= ( − ) +( − ) 正确吗？
课后小结
1.两点间距离公式
2.线段的中点坐标公式
且线段AB的中点为M( , ),则有 =
+
，
+
+
即线段AB的中点坐标为（
，
）
=
+
典型例题
例2：已知点A(2,3)和B(8,-3),求线段AB的中点坐标.
解：∵
+
+ （ − ）
= ，
=
∴ 线段的中点坐标为（, ）
例1：计算P1(2,-5)与P2(5,-1)两点间的距离.
典型例题
解：由两点间的距离公式得：
|12| =
=
( − ) +[(− − （ − )]
+
=
=
练习：已知点A（-2,2）B(2,-1) C(-1,-3)，求|AB|,|BC|,|AC|．
新授
一般地，设点A的坐标为（ , ）点B的坐标为（ , ），
（）(, ), (, −)
（）(, ), (, −)
2.已知∆的三个顶点分别是A(2,2)、B(2,0)、C（0,2）
(1）求BC边上的中点D的坐标.
(2）计算BC边上的中线AD的长度.
3.已知点(, )、(, )求AB两点间的距离和线段AB的中点坐标.
典型例题
例3：已知∆的三个顶点分别是A(2,4)、B(-1,1)、C（5,3）
中点坐标公式求距离
中点坐标公式求距离在数学中，中点坐标公式被广泛应用于计算平面上两个点之间的距离。
这个公式是通过利用给定点的坐标值，特别是横坐标和纵坐标的中点来得到两点之间的距离。
中点坐标公式提供了一种简便的方法来计算平面上的距离，同时也有助于理解坐标系中的几何概念。
中点坐标公式中点坐标公式用于计算平面上两个点的中点坐标。
给定平面上两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则中点的坐标可以通过下面的公式来计算：中点的横坐标 = (x1 + x2) / 2中点的纵坐标 = (y1 + y2) / 2这两个公式可以很容易地从两点坐标的定义中推导出来。
当我们计算中点的坐标时，我们只需要将每个坐标的值相加，然后除以2，得到的结果就是中点的横坐标和纵坐标。
求两点之间的距离有了两点的中点坐标，我们可以使用标准的距离公式来计算两点之间的距离。
这个公式被称为欧几里德距离公式，它用于计算平面上两点之间的直线距离。
给定两个点A和B，其中A的坐标为 (x1, y1)，B的坐标为 (x2, y2)，则两点之间的距离d可以通过以下公式计算：距离d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个公式是根据勾股定理推导出来的。
它首先计算两个坐标轴上的差值的平方，然后将它们相加。
最后，对和进行平方根运算，得到最终的距离。
一个例子让我们来看一个实际的例子来演示中点坐标公式和距离公式的应用。
假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)。
首先，我们可以使用中点坐标公式来计算中点的坐标：中点的横坐标 = (1 + 4) / 2 = 2.5中点的纵坐标 = (2 + 6) / 2 = 4所以，中点的坐标为 (2.5, 4)。
接下来，我们可以使用距离公式来计算点A和点B之间的距离：距离d = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
初中两点间距离公式
初中两点间距离公式
两点间距离公式
两点间距离公式常用作求两点间距离和函数图中点坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点之间的距离公式描述了点与点之间的关系以及点与点之间的距离。
两点的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，则两点之间的距离公式为
d=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
注意特例：
当x1=x2时，两点间距离为|y1-y2|；当y1=y2时，两点间距离为|x1-x2|。
当然,不管特例,全部照代公式,结果都是对的,但没有必要时,不要增加自己的运算量。
数学中常见的距离
1、欧氏距离（Euclidean distance），也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
2、曼哈顿距离，出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。
3、在数学中，切比雪夫距离（Chebyshev distance）或是
L∞度量，是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义
是其各坐标数值差绝对值的最大值。
以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（uniform norm）（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种。
这是数学中的一些距离公式。
希望他们能帮到你。
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B(x2，y2)
c
o
B1
x
2 2
d ( A, B) | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
(0，y1)
A2
M
M1
(X,0)
B1
(X2,0)
x
即：
x1 x 2 x 2
y1 y 2 y 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称 ——
中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
y
p(x，y)
y
x
o
x
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已知
两点的坐标，怎样来计算这两点
之间的距离呢？
我们先寻求原点
O0,0 与任意一
点 A x, y 之间距离的计算方法
O, A 两点之间的距离通常用 d O, A
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
y
D (x,y)
M
C(5,2)
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
解得
x=0
∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2) 2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。 3、已知 : ABCD 的三个顶点坐标分 别是A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求: 第D点的坐标。
65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。 证明：因为 d(A,B)= 3 1 4 2 8
2 2
d(A,C)=
d(C,B)=
5 - 1 0 2 2 2 5 3 0 4
2 2
20
20
复习
数轴上两点的距离
A B
A
o x1
x2
x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为: d(A,B)= X 2 – X 1
9.1平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c ,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
BD b 2a c
2 2
2
AC BD 4a 2b 2c 4ab,
2 2 2 2 2
y
A (x，y) y
o
x A 1
x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
o
A
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1 , y1 , Bx2 , y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
y
B2 A(x1，y1) A1 A2
x x2 x1
2
y y2 y1
计算
d x y
2
给出两点的距离
d
题型分类举例与练习 【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d （ A ， B ）
解：
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4) 7
2 2
x1 2, x2 2, y1 4, y2 3 x x2 x1 2 2 4,
1.两点间的距离公式；
d ( A, B)ຫໍສະໝຸດ | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
2.中点坐标公式
x1 x 2 x 2
y1 y 2 y 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
：1－4. P250：1－2.
P249
2(2a b c 2ab), 2 2 2 2 2 AB AD 2a b c 2ab, 所以 AC 2 BD 2 2AB 2 AD 2 .
2 2 2
y D (b-a, c) C (b, c) x
O
A(0,0)
B(a,0)
该题用的方法----坐标法。可以将几何
问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式 已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y
A1M 1 M 1 B1
A2 M 2 M 2 B2
(0,y)
B2
M2
(0，y2)
B
x x1 x2 x y y1 y2 y
A
A1
(X1,0) O
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A0,0, Ba,0, C b, c , Db a, c .