沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第2章 不等式 2.6 分式不等式的解法
高一数学上册(不等式的基本性质)练习 沪教版 试题
上海理工大学附属中学高一数学上册《不等式的基本性质》练习 沪教版2.1不等式的性质1.掌握比较法的基本原理：0,0,0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2.掌握不等式基本性质。
会利用基本原理推导其性质。
3.思想方法的重点是掌握比较法、推出法。
介绍基本原理：不等式性质：性质1.（传递性） 如果,a b b c >>，那么a c >性质2. （可加性）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（可乘性）如果,0a b c >>，那么ac bc > 如果,0a b c ><，那么ac bc <推论1.如果,a b c d >>，那么a c b d +>+推论2.如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >推论3.如果0a b >>，那么*()n n a b n N >∈推论4. 如果0a b >>*(,1)n N n >∈>（引导学生利用比较法基本原理证明，也可以使用上述性质证明）例1.（1）若610,320x y <≤≤<，则x y +的范围是_________________，x y -的范围是________；（2）已知0,0a b c d >>>>，求证：22a cbc >；（3）已知0,0a b d c >>>>，求证：2222a b c d>例2．下列命题中，,,,a b c d 均为实数，则真命题的个数是__________________（1）b d bc ad a c<⇒<；（2）0a b a b <<⇒>；（3）22(1)(1)a b a c b c >⇒+>+ 例3.已知,a b 都是实数，比较“225a b +”与“224ab a a --”的大小。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.3 基本不等式教案
基本不等式2a bab 上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．．基本不等式的变形公式： 2ab22(,)2a b a bR ； 2(,)bab a bR ；2()(,)2a baba bR 。
．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若0(i=1,2,…,n), 则1212nn na a a a a n(n>1,n例题序列题目涉及核心知识点设计意图1 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知0,0a b>>，求证：2a bab，你能解释2a bab+≤（,a b R+∈）的几何意义吗？师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师为什么？生因为不等式中的a、b∈R.师很好，我们来看一下代替后的结果.板书：abba≥+2即2baab+≤(a＞0,b＞0).本题涉及的内容及水平为：2.4.1B本题涉及的数学核心能力：数学表达能力师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解） 师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab ba ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）2 ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，A C=a,B C=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结A D、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生可证△A CD ∽△B CD,所以可得abCD=.生由射影定理也可得abCD=.师这两位同学回答得都很好，那ab与2ba+分别又有什么几何意义呢？生ab表示半弦长，2ba+表示半径长.师半径和半弦又有什么关系呢？生由半径大于半弦可得abba≥+2.师这位同学回答得是否很严密？本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0,b ＞0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式. （此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.[来源:]3问题1.已知x 、y 都是正数，求证： (1)2≥+yxx y ； 本题涉及的内容及水平为：13.1.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明.师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x 、y都是正数，∴0＞yx，0＞x y .∴22=•≥+xyy x x y y x ，即2≥+x y y x .师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？ （引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质. 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到. （在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视） 师 在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证. (此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+. （此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2.不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成. ［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.[来源学科网]分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. ∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞0. ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab c, 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.4［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x . （老师先分析，再让学生完成）师 本题结论中，注意y x ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故本题涉及的内容及水平为：2.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求） 师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程) 生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）,∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx . ∴ax －ay ＋by －bx ＞0. ∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0. ∴（a －b ）（x －y ）＞0, 即a －b 与x －y 同号. ∴yx ba b a y x ----与均为正数. ∴22=--•--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当yx b a b a y x --=--时取“＝”). ∴2≥--+--yx ba b a y x . 师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤. 师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.2x (x>45x 的最大值且5x+7y=20 ,(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求11x y的最小值.【解】答案：（1）y 的最小值为6（x=2）．（２）y 的最大值为２(x=1)．（３）xy 的最大值为720(x=2,y=710)． （4）11x y的最小值为223+ (221,12-=-=y x )． 32.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力 4 ：本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力。
沪教版高一上数学第二章 不等式单元测试卷一和参考答案
高一（上）数学 第二章 不等式 单元测试卷一一、填空题：(共十小题,每题4分,共40分)1. 当a 的取值范围是 时，关于x 的方程023)32(2=+--+a x a a 的解是正数。
2. “d b c a +<+”是“b a <且d c <”的 条件。
3. 不等式434-+>-+x x x 的解集是 。
4. 不等式xx 34≤的解集是 。
5. 若x ∈N ，则不等式98|132|>-x 的解集是 。
6. 若不等式0642>+-ax ax 的解集是R ，则a 的取值范围是 。
7. 若3<x ，则331+-+x x 的最大值是 。
8. 若实数a ，b 满足122=+b a ，则ab 的取值范围是 。
9. 若0>x ，0>y ，且191=+yx ，则y x +的最小值是 。
10. 通过观察不等式3644<=+，41299<=+，5201616<=+，……，可以归纳出一个不等式结论 。
二、选择题：（共四小题，每题4分，共16分）11. 若a 、b 是满足0<ab 的实数，那么下列结论中成立的是 （ ）A. ||||||b a b a -<-B. ||||||b a b a +<-C. ||||b a b a ->+D. ||||b a b a -<+12. 已知0<<-a b ，则下列不等式中：①b a 11>；②22b a >③ba 11-<④||||b a >。
恒成立的个数是 （ ）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个13. 甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度是a ，另一半时间的速度为b ；乙车用A. 甲车先到达B 地B. 乙车先到达B 地C. 甲、乙两车同时到达B 地D. 无法判断14. 关于x 的不等式a x x <-++|3||2|无实数解，则 （ ）A. 5>aB. 5≤aC. 5<aD. 5≥a三、解答题：（共6小题，第15、16题6分，第17、18、19、20题每题8分，共44分）15. 已知a 、b 、c ∈R +，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++17. 已知集合A=｛x|023122>++-x x x ,x ∈R ｝,B={ x|x 2+ax+b ≤0,x ∈R ｝B=｛x|x+2>0｝求实数a,b 的取值范围。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.2 一元二次不等式解法(3)教案
一元二次不等式解法（3）教学设计说明（一）教学内容分析：一元二次不等式的解法既是二次函数的下位概念，也是同位概念一元二次方程的延续。
它的求解过程中要贯穿与二次函数图像、一元两次方程之间的内在联系，即利用对应的函数图像帮助确定一元二次不等式的解集，并由对应方程的根，确定解集区间的端点，使“数”与“形”有机结合。
本节课是一元二次不等式解法的第三节课，即一元二次不等式的应用，其中一方面是结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R 的情况进行了规律性的总结；另一方面更重要的是会用一元二次不等式解决实际问题，学会确定量与量之间的关系，并能用“符号语言”和“图形语言”将实际问题抽象成数学问题，对后继的函数建模起到铺垫作用。
（二）教学目标：1. 知识与技能： 掌握一元二次不等式在0∆>，0∆=，0∆<情况下的解法，能够利用一元二次不等式解决实际问题。
2. 过程与方法：体会一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的内在联系，从中领悟“数形结合”，“化归”等数学思想方法，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解决的全过程，使学生从中感受到用不等式模型解决实际问题的必要性和趣味性。
3. 情感、态度、价值观：通过对一元二次不等式解法的总结培养学生的归纳总结能力；在实际问题的应用中，培养学生的理解问题，分析问题，探究问题, 解决问题的能力,提升学生的思维品质；在师生对话中培养学生的数学表达能力，同时通过题目情景的创设激发学生学习数学的兴趣。
（三）教学重难点：1. 重点：能把简单的实际问题抽象成数学问题，并建立一元二次不等式的模型求解。
2. 难点：能把简单的实际问题抽象成一元二次不等式的模型。
（四）学情分析上课的对象是七宝中学高一的学生，是市重点学校，学生的数学基础较好。
（五）课堂教学设计的依据：依据教学内容，教学的重难点及学情，本堂课的流程为：先结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R的情况进行了规律性总结，然后重点解决实际问题。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章基本不等式教案
基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。
三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。
设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。
2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.1 不等式的基本性质教案
2.2不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a<b的充分必要条件是a-b<0。
引出等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b⇒ac=bc；a=b，c=d⇒a+c=b+d。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论：结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。
结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
结论3 如果a>b，那么ac>bc。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a>b，b>c，那么a>c。
性质2 如果a>b，那么a+c>b+c。
性质3 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。
性质4 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质 课件
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
(选用)例3. 利用不等式的性质证明：
如果 a b 0 ，那么 0 1 1 ab
证: a b 0 1 0 a 1 b 1 0
ab
ab ab
1 1 0 0 1 1 证毕
ba
ab
思考 还有没有其他的证法？
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
证: ac bc (a b)c a bab0
当 c 0时，由于正数与正数的乘积为正数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
当 c 0时，由于正数与负数的乘积为负数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
该性质叫做不等式的乘法性质。
例1.利用性质1和性质2证明：
(1)如果 a b c ，那么a c b (2)如果 a b, c d ，那么a c b d 证: (1) a b c a b (b) c (b)
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？ 证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b 由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第2章 不等式 本章复习题(wd无答案)
沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第2章不等式本章复习题一、填空题(★★) 1. 不等式的解集为 ________ .(★★) 2. 设，则的最小值是________.(★) 3. 若，用不等号连接________ ．(★★) 4. 不等式的解集是________．(★★) 5. 给出下列三个不等式：① ；② ；③ .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个真命题.(★★★) 6. 若，不等式的解集为，则实数的取值范围是______.(★★) 7. 与同时成立的充要条件是________．(★★) 8. 不等式组无解，则实数 a的取值范围是________．(★★) 9. 在下式等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，使得这两个自然数的和最小．(★★) 10. 在 R上定义运算，若关于 x的不等式的解集是集合的子集，则实数 a的取值范围是________．二、双空题(★★) 11. 若不等式的解集为，则________．________．(★) 12. 设，则的最大值为 ________ ，相应的 x为 ________ ．三、单选题(★★)13. “ ”是“ 或”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 14. 如果，下列不等式成立的是（）A．B．C．D．(★) 15. 不等式的解集为（）A．或B．C．D．(★★★) 16. 若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A．B．C．D．四、解答题(★★) 17. 解不等式：．(★★★) 18. 已知集合，集合，满足，，求 a， b的值．(★★) 19. 若关于 x的不等式的解集为，解关于 x的不等式．(★★) 20. 设函数 f（ x）＝ ax+2，不等式| f（ x）|＜6的解集为（﹣1，2），试求不等式1的解集．(★★★) 21. 已知的解集为，求不等式的解集．(★★★) 22. 记不等式的解集为 A，关于 x的不等式的解集为 B．（1）求 A；（2）若，求实数 a的取值范围．(★★) 23. 已知 a，，求证：，并指出等号成立的条件．(★★★) 24. 已知实数，，，，，均不等于0，设命题关于 x的不等式与的解集相同；命题．请判定命题 P和 Q之间存在怎样的条件关系．(★★★) 25. （1）已知是正常数，，用作差比较法求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值的的值.。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质 课件 _3优秀课件PPT
2.1.1 不等式的基本性质
一、实数的大小与不等式的基础
AB
ab
x
数轴上的任意两点中，右边的点对应的数比较大.
对于任意两个实数 a,b
a b; a b; a b 三种关系有且仅有一个成立.
这样的大小关系又可以描述为：
a b ab0 a b ab0 ab ab0
二、不等式的性质 I
a cb (2) a b a c b c
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？ 证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b 由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
因此假设不成立，即原不等式成立. 证毕
(选用)例3. 利用不等式的性质证明：
如果 a b 0 ，那么 0 1 1 ab
证: a b 0 1 0 a 1 b 1 0
ab
ab ab
1 1 0 0 1 1 证毕
ba
ab
思考 还有没有其他的证法？
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
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(选用)例3. 利用不等式的性质证明：
如果 a b 0 ，那么 0 1 1 ab
证: a b 0 1 0 a 1 b 1 0
ab
ab ab
1 1 0 0 1 1 证毕
ba
ab
思考 还有没有其他的证法？
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
证: ac bc (a b)c a bab0
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
沪教版高一第一学期数学《分式不等式》专题汇编
分式不等式（教师版）1．不等式02692>+-x x 的解集是 . 【难度】★ 【答案】R2．关于x 的不等式()008222><--a a ax x 的解集为()21,x x ，且1512=-x x ，则=a .【难度】★★【答案】253．不等式02>++c bx ax 的解集为{}32>-<x x x 或，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是 . 【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x 【解析】当0>∆时，不等式02>++c bx ax 的解集用对应的方程02=++c bx ax 的两个根来表示，因此可以借助韦达定理来处理不等式系数问题.分式不等式热身练习4．若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【难度】★★【答案】6-≤a 或2≥a5．已知关于x 的不等式0<++++cx b x a x k 的解集为()()3,21,2Y --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为 . 【难度】★★★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3121,1Y 【解析】由0111<++++cx bx ax kx 得0111<++++xc x b x a k ，依题意得112-<<-x 或312<<x ，所以211-<<-x 或2131<<x .分式不等式的定义：分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。
只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分知识概要式不等式。
即：型如()()0f x g x >或()()0f x g x <（其中()f x 、()g x 为整式且()0g x ≠）的不等式称为分式不等式。
一、分式方程与分式不等式分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。
第2章 等式与不等式 学习导引与学法指导 高一上学期数学沪教版必修第一册
【必修一】第2章等式与不等式章节第2章等式与不等式（4+5+3+2=14）2.1 等式与不等式的性质2.1.1 等式的性质与方程的解集2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系2.1.3 不等式的性质2.2 不等式的求解2.2. 1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解2.2. 2 一元二次不等式的求解2.2. 3 分式不等式的求解2.2. 4 含绝对值不等式的求解2.3 基本不等式及其应用2.3. 1 平均值不等式及其应用2.3. 2 三角不等式数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具；等式与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的应用；我们将通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式．在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件；1、等式的定义用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式； 2、等式的性质用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式；（1）传递性 设a 、b 、c 均为实数，如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；、 （2）加法性质 设a 、b 、c 均为实数，如果a ＝b ，那么a +c ＝b +c ； （3）乘法性质 设a 、b 、c 均为实数，如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果a ＝b ，那么b ＝a ； （5）如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； （6）如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c；【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“不为零”； 3、恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立， 则称其为恒等式，也称等式两边恒等；【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 4、方程的解集（1）含有未知数的等式称为：方程；（2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集；【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集； 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值； 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。
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沪教版(上海) 高一第一学期新高考辅导与训练第2章不等式
2.6 分式不等式的解法
一、解答题
(★★★) 1. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
(★★★) 2. 解下列不等式：
（1）；
（2）．
(★★) 3. 当 a为何实数时，关于 x的方程的解为正数？负数？在区间内？(★★) 4. 已知关于的不等式的解集为，求的值．
(★★) 5. 求不等式的解集．
(★★★) 6. 求当 k为何值时，关于 x的方程的解分别为：（1）正数；（2）负数．(★★★) 7. 解关于 x的不等式：．
(★★) 8. 若不等式对一切实数 x均成立，求实数 a的范围．
二、填空题
(★) 9. 不等式的解集是________．
(★) 10. 不等的解集是________．
(★★) 11. 不等式的解集是________．
(★★★) 12. 不等式的解集是________．
(★★) 13. 已知关于的不等式的解集是，则_____.
三、双空题
(★) 14. 已知关于 x的不等式的解集为，则________，________．
四、单选题
(★★) 15. 不等式的解集是（）
A．B．C．D．
(★★) 16. 满足的 x的范围是（）
A．B．C．D．或(★★) 17. 下列不等式中，不同解的是（）
① 和；② 和；
③ 和；④ 和．
A．①②B．①③C．②④D．②③④。