(附加20套期末模拟试卷)北京市2020届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：数列(含

北京市2020届高三数学理试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题）专题：数列（含答案）一、选择题1 ．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52 ．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 （ ）A ．130B ．120C ．55D ．504 ．（2013届房山区一模理科数学）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =（ ）A ．55B ．81C ．90D ．100 A ．⎝⎛⎭⎫13，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，12 C ．⎝⎛⎭⎫58，1 D ．⎝⎛⎭⎫13，58 A ．1 B ．53C ．2D ．3 A ．16 B ．8 C ．22 D ．4 A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题9 ．（2013届北京海滨一模理科）等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a =10．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=(n f .11．（2013届北京西城区一模理科）设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．12．（2013届北京西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为0 2 4（14题图）max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______． 13．（2013届东城区一模理科）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若nn a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列） 14．（2013届门头沟区一模理科）在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于 ．①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ．三、解答题23．（2013届北京大兴区一模理科）已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12n a a a <<<，设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）nk i iiiii A x x a k n λλλλ====-==∑。

性质1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1ki i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1（1≤≤）kk i i m a k n==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集合n A 中所有元素的和n S 。

（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，求数列}{n a 的通项公式。

24．（2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”： ① 1230n a a a a ++++=；② 1231n a a a a ++++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22ni i a in =≤-∑25．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.26．（2013届北京西城区一模理科）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？ 说明理由； （Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．27．（2013届东城区一模理科）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a =.其中i a (1,2,,)i n =称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++.（Ⅰ）若11(,)22A =-，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；（Ⅱ）若333A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；（Ⅲ）若数组),,(321a a a A =中的“元”满足2221231a a a ++=.设数组(1,2,3,,)m B m n =含有四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且22221234m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数(,)m C A B (1,2,3,,)m n =的最大值.28．（2013届房山区一模理科数学）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．例如811.20.2 1.20.877=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11000n n nn a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,,其中123n =,,,. （Ⅰ）若2=a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （Ⅲ）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．(Ⅰ)当1=k 时，求M 的值； (Ⅱ)求M 的最小值及相应的k 的值（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . ①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a x a a =≤-∑.(1)求数列的通项公式； (2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．（Ⅰ）求2a 的取值范围；（Ⅱ）判断数列}{n a 能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设11(11)(1)(1)22n n b =+++，)211(6nn c -=， 求证：对任意的*n ∈N ，012≥--n nn a c b .对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A的第j 列各数之积．令11()()()n ni ji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．(I)求数列{}n a 的前n 项和;(II)求数列{}nna ⋅2的前n 项和.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设数列{}n b 满足()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+<n n b b λ恒成立,求实数λ的取值范围 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线．（Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．（Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）； （Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，记其“特征值”为λ，求证：1n nλ+≤.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，c 求证：(24)d d t +-(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的 “保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项? (解题中可用以下数据 lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(211)(29)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式2013n k T >对一切n *∈N都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),()313,(2,),n n a n k k f n a n k k **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. D 5. D6. 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C.7. 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。