2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学理科试题(学生版)
2020届广东省深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题及答案精品
0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 5 页 共 6页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如 果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于
5
5
A． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4,6) 在直线 3x − 2y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
A． 2 3
B． 3 2
2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学(理)试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．
【详解】
解： ＝36.
故选： ．
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．
5．若双曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
18．如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】（1）连接 ， 交于 ，取 的中点 ，连接 ， ，先证明平行四边形 ，所以 ，最后得出结论；
（2）根据题意，以 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．
16．已知点 和点 ，若线段 上的任意一点 都满足：经过点 的所有直线中恰好有两条直线与曲线 相切，则 的最大值为___．
【答案】 .
【解析】由条件可得 ， 在直线 上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数 的导数，可得在 和 的切线的斜率和方程，联立直线 ，求得交点 ， ，可得所求最大值．
【详解】
2．设 ，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解： ，
的虚部为1．
故选： ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念．
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）
广东省深圳市2020届普通高中高三线上统一测试数学理试题(解析版)
绝密★启用前试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2<--=xxxB，则A B=UA．)3,1(-B．]3,1(-C．)3,0(D．]3,0(答案：B解析：{|13}B x x=-<<，所以，集合A中，元素0，1，2集合B都有，3不在集合B中，所以，A B=U]3,1(-2．设23i32iz+=-，则z的虚部为答案：B解析：23i32iz+=-＝(23i)(3+2i)6496(32i)(3+2i)13i ii+++-==-，所以，虚部为1。
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42答案：C解析：如下图，第1行第5列的数字开始，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第5个编号为12，选C。
A．1-B．1C．2-D．2 A．25B．23C．12 D. 074．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为答案：A 解析：16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为答案：C解析：双曲线的渐近线为：by x a=±，经过点(1,2)-， 所以，2b a =，离心率为：c e a ====6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=答案：D解析：πsin 2()4α+=22sin(2)cos 2cos sin 2παααα+==-＝222222cos sin 1tan 194cos sin 1tan 195αααααα---===-+++，选D 。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)试题
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(1)由sin2 B sin Asin C及正弦定理可得b2 ac,
所以cos B a2 c2 b2 ≥ 2ac ac 1 ,
2ac
2ac 2
而0 B , 所以0 B ≤ π
3
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(2) 在平面ABCD内过点A作直线AD的垂线Ax,
SA 平面ABCD, SA AD, SA Ax,
所以直线AS、Ax、AD两两垂直,以点A为坐标原点, 分别
以直线Ax、AD、AS为
z
S
x、y、z轴建立如图所
示空间直角坐标系,
过点B作BE AD
交直线AD于E .
A
E
AD / / BC, AB BC CD 1,
A. 2 3
3 B.
2
3 C.
3
D. 3
AC AD AB BC AD AB AD BC AD
3 BD AD
3 BA AD AD
A
2
3 AD 3
B
D
C
6.已知一个四棱锥的高为3, 其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形 ?则此四棱
锥的体积为( D )
AF / / BC, 且AF BC 1,四边形ABCF是平行四边形,
CF / / AB,
S
又因为CF 平面SAB,
AB 平面SAB,CF / / 平面SAB
P
FP CF F ,
平面PCF / / 平面SAB,
A
F
又CP 平面SAB,
D
CP / / 平面SAB
B
广东省深圳市2020届普通高中高三线上统一测试数学理试题(解析版)2020.3
B．1
答案：B
C． − 2
D． 2
解析： z = 2 + 3i ＝ (2 + 3i)(3+2i) = 6 + 4i + 9i − 6 = i ，所以，虚部为 1。
3 − 2i (3 − 2i)(3+2i)
13
3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检 测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某四面体 的三视图，则该四面体的外接球表面积为
A． 32 3π 3
B． 32π
C． 36π
D． 48π
答案：D
（第 9 题图）
解析：该四面体的直观图如下图所示，将其还原成一个棱长为 4 的正方体，第则9 题该图四面体的外接球也
是正方体的外接球，设外接球的半径为 R，则有
B． 23
C．12
D. 07
答案：C
解析：如下图，第 1 行第 5 列的数字开始，大于 30 的数字舍去，重复的舍去，
取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第 5 个编号为 12，选 C。
1
4．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，若 a2 = 3 ， a5 = 9 ，则 S6 为
所以， b = 2 ，离心率为： e = c =
a
a
a2 + b2 = a
1+
b2 a2
=
5
6．已知 tan = −3 ，则 sin 2( + π) = 4
A． 3 5
答案：D
2020届深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)参考答案
函数 f (x) 在区间[−1,3] 上有两个零点，
f (−1) = 2t 0
则
f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t
0
，解得
0
t
4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
sin A
2
2
（法二） acos B + bsin A = c ，
又 acos B + bcos A = c ，
acos B + bsin A = acos B + bcos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A = cos A，又 A(0, π) ， A = π . ……………………………………………9 分 4
a2 + b2 − c2 = absin C ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC = a2 + b2 − c2 = absin C = sin C ，
2ab
2ab
2
sin C=2cosC ， …………………………………………………………………………4 分
在 Rt NAD 中， sin = AN = 1 = 2 ， …………11 分 ND 2 2
= π ， = π ，
4
2
二面角 N − BD − M 的正弦值为1 .
…………………12ຫໍສະໝຸດ 分（法二）由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 − 2AD ABcosDAB = 3，
2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合11|22,|ln 022xA xB x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,则()R A B =I ð( )A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-【答案】B【解析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<Q 剟，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<剟， 3{|2R B x x ∴=>ð或1}2x „，则12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R I ð．故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.2．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 6cos05π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ） A ．724a -<< B ．7a =或24a = C ．7a <或24a > D ．247a -<<【答案】A【解析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】Q 点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由分段函数的单调性可转化条件得1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】Q()1()3,1,2,1,xa x a xf xa x⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，∴1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a≤<.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.5．如图，在ABCV中，AD AB⊥，3BC BD=u u u v u u u v，1AD=u u u v，则AC AD⋅=u u u v u u u v（）A．3B3C3D3【答案】D【解析】∵3AC AB BC AB=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD AD⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v，又∵AB AD⊥，∴0AB AD⋅=uu u r uuu r，∴33cos3cos33 AC AD AD AD ADB BD ADB ADu u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D．6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A． B ．C ．13D ．【答案】D【解析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】A【解析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， Q 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题.8．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ） A ．163B ．83C．3D．【答案】A【解析】由题意可得直线:2BC x y =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +=∴001023x y +=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解. 【详解】Q 函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， Q 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确； 当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误； 当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题.10．甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是（ ） A ．0.0402 B ．0.2592 C ．0.0864 D ．0.1728【答案】B【解析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由独立性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意若要甲以3:1获胜则需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，则所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.故选：B. 【点睛】本题考查了独立性重复实验概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =++B ．()31f x x =-+C ．()2f x x =-D ．()4f x x =+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】Q ()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点.直线1DB 与平面EFC 的交点O ，则1DOOB 的值为（ ）A ．45B ．35C ．13D ．23【答案】A【解析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BD CE M =I ，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ， 设BD CE M =I ，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ， 由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =， 又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点， 取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN V V ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =， 由BEM DCM V V ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =， 由1DMO B NO V V ∽可得1145DM D O B B N O ==. 故选：A.【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【解析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.【答案】32 【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=， 所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.15．某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解. 【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种；若4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况共有2224232218C C A A ⋅⋅=种； 故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，考查了古典概型概率的求解，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则椭圆的离心率为_________. 【答案】63-【解析】设AC m =，由题意结合椭圆性质可得2AF a m =-，242BC a BF a m =-=-，由等腰直角三角形性质可得1224a m m =+，再由直角三角形性质可得222FC AF AC =+，最后利用ce a=即可得解. 【详解】如图所示，设AC m =，由椭圆定义可得2AF a m =-，Q ABC V 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴AC AB m ==，22BF AB AF m a =-=-，242BC a BF a m =-=-，∴422BC a mAC m-==，∴1224a m m =+，∴22mAF =， 在Rt AFC V 中，222232FC AF AC m =+=，∴624FC mc ==， ∴66463122224mc e a m m ====-++.故答案为：63-.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =. （1）求证：03B π<≤；（2）求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(【解析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a c b ac ac B ac ac +--=≥=，Q 0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题.18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.（1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）存在；证明见解析（2）14【解析】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由已知结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n u r 与平面SCD 的一个法向量为2n u u r，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可得解. 【详解】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，则//FP AD 且12FP AD =， Q //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，Q CP Ë平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，Q SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，Q //AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，3BE =， 从而可得()0,0,0A ，31,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ， 则()0,0,1AS =u u u r ，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,1SD =-u u u r，31,,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，则1100n AS n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即11103102z x y =⎧+=，取13x ()13,3,0n =-u r ，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2200n SD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 即22222031022y z x y -=⎧-=⎩，取23x ，可得)23,3,6n =u u r ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ()()()222221433336=-+-⋅++， ∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.19．已知椭圆22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点.（1）求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围.【答案】（1）AMB ∠的最大值为23π；证明见解析（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤），过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，00tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；（2）由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤）. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，则()0,0Hx (0x -<<，于是，有00tan AH AMH M x H y +∠==，00tan BH BMH MH y x ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠00000y y =， Q 点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-，而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤ Q 0AMB π<∠<，∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则k =，k '=，∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，Q 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.20．已知函数()()ln 1f x x =+，()xg x e =（e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【答案】（1）当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点（2）证明见解析【解析】（1）对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解； （2）由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,x B x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】（1）由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+， 则()()222111a x ax ax x x x xϕ++'=+=++， 令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或4a >时， 函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x --=，22a x -+=，（i ）当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；（ii ）当4a >时，因为2212a x -+---==02>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. （2）证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()0011y x y x x -=-+， 设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=， 由（1）可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增， 所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根， 故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想和推理能力，属于中档题.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例； （2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：若()2,Z Nμσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】（1）15.87%（2）4n =【解析】（1）由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；（2）由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10n X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比较即可得解. 【详解】 （1）由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【解析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由2C 的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C 的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【解析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-， 所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题附答案
ABC
b a sin B
sin A
acos B bsin A c
5 3 10 10 3 2
2
acos B bcos A c
acos B bsin A a cos B bcos A
sin A cos A
A (0, )
A 4
ABC
c asin C
5 25 5 22
sin A
2
2
b C cos A a cosC
___________
n
Sn
Sn 2an n
a6 ___________
15
.
012
9
( 0123 )
___________
16
M (m, m 1)
N (n, n 1) (m n)
MN
2
2
C : y 1 x2 x ( 1 x 3) 2
70 22 23
60
17
12
ABC
ABC
a b c ABC
1 cosC
2
6
6
50
50
65
35
100
50
55
45
100
120 K 2 (65 45 55 35)2 200 25 2.083
120 80 100 100 12
80
200
5
K 2 2.083 3.841
95%
6
3 20
1
6
6
X
400 2 7
1000 5
2 X ~ B(20, )
P( X
5
k)
C2k0
2 5
k
3 20 k 5
N BD A
(理数)2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题及参考答案
−1=
0
，
（法一）显然
x0
0 ，所以 2t
=
x0
−
1 x0
，
令 f (x) = x − 1 ， x [−1,0) U(0,3]， x
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页
如图，直线 y = 2t 和函数 y = f (x) 的图象有两个交点，
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 2 页 共 5页
15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码
由 0 ，1， 2 ，…，9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型
验证码”(如 0123 )，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
（t
为参数，
为倾斜角），
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 = 4sin ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）直线 C1与 C2 相交于 E, F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2 3, π) ，若 2 EF = PE + PF ，
求直线 C1的普通方程．
−
π 6
)
=
3
2020年深圳市普通高中高三年级三月线上统一测试数学(理科)试题参考答案及评分细则(一模)【高清版】
π 6
)
3
有两个实根
1，2
，
又
g(8) 3
1
8 9
h(8) 3
，所以易知有
1
8 3
2
，
所以此时存在一个实数 1 满足题设，
综上所述，存在两个正实数 满足题设，故应选 C.
二、填空题：
13. 3
14. 63
15. 4 15
16. 4 3
16. 解析：由对称性不妨设 m n ，易知线段 MN 所在直线的方程为 y x 1 ， 2
52 5 5 2 2.
sin A
2
………………………10 分
2 b C cos A a cosC ，
c 2 2 2 5 5 3 .
2
5
………………………………………………………12 分
（法三）求 A 同法一或法二
在△ ABC 中，由正弦定理得 c a sin C sin A
52 5 5 2 2，
又 a cos B b cos A c ，
a cos B b sin A a cos B b cos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A cos A ，又 A (0, π) ， A π . ……………………………………………9 分 4
在△ ABC 中，由正弦定理得 c a sin C
sin B sin AcosC cos Asin C 2 5 2 2 5 3 10 ， ………………11 分 2 5 2 5 10
在△ ABC 中，由正弦定理得 b a sin B sin A
（法二） a cos B bsin A c ，
5 3 10 10 3 . 2
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题含答案
绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx -的展开式中3x 的系数为 8．函数()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D. 219．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．323π3B ．32πC ．36πD ．48π10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2214yx +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________． 16．已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所ABCDA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ．2D. 1（第9题图）第9题图有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M --的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,P -为AB中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：1000（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．100020095%66623．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D10. B11. D12. C12. 解析：当ω4π - π6 > π2 时，即 ω > 83 时， f (x )max =1 = ω3 ，解得 ω = 3 ；当ω4π - π6 ≤ π2 时，即 0 < ω ≤ 83 时， f (x )max = sin(ω4π - π6 ) = ω3 ，令 g (ω) = sin(ω4π - 6π) ， h (ω) = ω3 ，如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，所以方程 sin(ω4π - π6 ) = ω3 有两个实根 ω1，ω2 ，又 g (83) =1 > 89 = h (83) ，所以易知有 ω1 < 83 < ω2 ，所以此时存在一个实数 ω = ω1 满足题设，综上所述，存在两个正实数 ω 满足题设，故应选 C.二、填空题：13. - 314. 6315.4 16.4 15316. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 MN 所在直线的方程为 y = x -12 ，又12 x 2 + x > x - 12 ，∴点 P 必定不在曲线 C 上，不妨设 P (t , t - 1 ) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x , 1 x 2 + x ) ， 2 0 2 0 0( 1 x 2 + x ) - (t - 1 )易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x + 1 =22 ，整理得 x 02 - 2tx 0- 1 = 0 ，x- t（法一）显然 x 0 ≠ 0 ，所以 2t = x 0 -1，x 0令 f ( x ) = x -1 ， x ∈[-1,0) U (0,3] ，x深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，又 f (-1) = 0 ，且 f (3) = 83 ，∴ 0 ≤ 2t ≤83 ，即 0 ≤ t ≤ 43 ，∴ 0 ≤ m < n ≤43 ，∴ | m - n | 的最大值为 43 ，故应填 43 ．（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x 2 - 2tx - 1 ，∴函数 f ( x ) 在区间 [-1, 3] 上有两个零点，⎧ f (-1) = 2t ≥ 0⎪4⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 00 ≤ t ≤ 则⎨，解得，⎪-1 < t< 33⎪2+ 4 > 0⎩V = 4t∴ 0 ≤ m < n ≤43 ，∴ | m - n | 的最大值为 43 ，故应填 43 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S .（1）求 cos C ；（2）若 a cos B + b sin A = c ， a = 5 ，求 b .解：（1） S = 12 ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ，…………………………………………………………………2 分在△ ABC 中，由余弦定理得 cos C = a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C = sin C，2ab2ab2∴ s in C =2cosC ，…………………………………………………………………………4 分又 sin 2 C +cos 2C=1 ， ∴5cos 2C=1，cosC= ±55，cosC= 5由于 C ∈(0, π) ，则 sin C > 0 ，那么 cosC>0 ，所以 5.………………………6 分（2）（法一）在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B + sin B sin A = sin C ，……………7 分sin C = sin[π - ( A + B )] = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B ， ………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即 sin B sin A = cos A sin B ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， sin A =cosA ，得 A = π. ……………………………9 分4sin B = sin[π - ( A + C )] = sin( A + C ) ， ……………………………………………10 分23， (11)2 5 2 510 分∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2⨯ 5= 103 10a sin B 5 ⨯在△ ABC 中，由正弦定理得 b = =10= 3 . ……………………………12 分 sin A2（法二） a cos B + b sin A = c ，又 a cos B + b cos A = c ， ∴ a cos B + b sin A = a cos B + b cos A ，…………………………………………………8 分即 sin A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π. ……………………………………………9 分4⨯ 25a sin C5在△ ABC 中，由正弦定理得 c ==52.………………………10 分2sin A 22b = C cos A + a cos C ，25 = 3.………………………………………………………12 分（法三）求 A 同法一或法二⨯25 a sin C5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c =52， ………………………10 分 2 sin A 2 2 又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 .所以 b = 3 . ……………………………………………………………………………12 分（余弦定理 a 2= b 2+ c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得 b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 - c 2 = -2 < 0 ，不满足 cosC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 3 页 共 16页18．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C 1C ，A A 上，且 C M = 2MC ， A N = 2NA .C 1111（1）求证： NC 1 // 平面 BMD ；A 1πB（2）若 A A = 3，AB = 2AD = 2 ， ∠DAB =1，求二面角13MN - BD - M 的正弦值.DNCA B（第 18 题图）解：（1）证明：（法一）如图，连接 AC 交 BD 于点 G ，连接MG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 AE ．………2 分G , M 是在△ ACE 边 CA ,CE 的中点，A 1 ∴ MG //AE ， ……………………………………3 分又 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA ， AA 1 //CC 1 ，N∴四边形 ANC 1E 是平行四边形，故 NC 1 //AE ，∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分A GM ⊂ 平面 BMD ，∴ NC 1 // 平面 BMD . …………………………………5 分（法二）如图，设 E 是 BB 1 上一点，且 BE = 2B 1E ，连接 EC 1 . 设 G是BE 的中点，连接 GM .……………………1 分BE = MC 1，BE //MC 1 ，∴四边形 BEC 1M 是平行四边形，故 EC 1 //BM ， ……2 分又 BM ⊂ 平面 BMD ，∴ EC 1 // 平面 BMD ， …………………………………3 分同理可证 NE //AG ， AG //DM ，故 NE //DM ，D C 1E B 1MDCBD 1 C 1A 1 BMA B深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页∴NE//平面BMD ，…………………………………4分又EC1，NE ⊂平面NEC1，且NE C1E = E ，∴平面NEC1//平面BMD，又NC1⊂平面NEC1，所以NC1//平面BMD.……………5分（2）（法一）设二面角N-BD-M为α，二面角N - BD - A 为β，根据对称性，二面角M - BD - C的大小与二面角N - BD - A 大小相等，故α =π-2β，sin α =sin(π - 2β ) = sin 2β.下面只需求二面角M - BD - C 的大小即可.………7分由余弦定理得BD2= AD2+ AB2-2AD ⋅ AB cos∠DAB =3，故AB2= AD2+ BD2，AD⊥BD.……………………8分四棱柱ABCD - A1B1C1D1为直棱柱，∴DD1⊥底面ABCD，DD1⊥ BD ，……………………9分又AD, D1D ⊂平面ADD1 A1，AD D1D = D，∴BD ⊥平面BDD B ，…………………………………10 分1 1DCA BMDN CA BND ⊂平面ADD1A1，∴ND ⊥ BD，所以二面角N - BD - A 的大小为∠NDA ，即∠NDA = β，在Rt ∆NAD中，sin β =AN=1=2，…………11 分ND2∴ β =π，α =π，42∴二面角N - BD - M 的正弦值为1.…………………12 分（法二）由余弦定理得BD2= AD2+ AB2-2AD ⋅ AB cos∠DAB =3，故AB2= AD2+ BD2，AD⊥BD.……………………6 分以D 为坐标原点O，以DA, DC, DD1分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.深圳市2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第 5 页共16页依题意有 D (0,0,0) ， B (0, 3,0) ， M (-1, 3,1) ， N (1, 3,1) ，DB = (0, 3,0) ， DM = (-1, 3,1) ， DN = (1, 3,1)，……7 分 设平面 MBD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ， ⎧ ⎧3y = 0∴⎨， ∴⎨，⎪n ⋅ DM = 0 ⎪-x + 3y + z = 0⎩⎩令 x =1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分同理可得平面 NBD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分m ⋅ n 0所以 cos < m , n >==0 ，……………11 分2 ⋅ 2 | m || n |所以二面角 N - BD - M 的大小为 π2 ，正弦值为1 .…12 分zDCABMNDCx B y【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分 12 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为AB 中点，且 OM + OP = λOF .（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；（2）当 OA ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.解：（1）因为 P (1, -2) 在 y 2 = 2 px 上，代入方程可得 p = 2 ，C y = 4x ，焦点为 F (1, 0) ， 2所以 的方程为 2 ………………………………… 分设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 OM + OP = 3OF ，可得 M (2, 2) ， ………………4 分（2）（法一）设 A (x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ，由 OM + OP = λOF ，可得 (x 0 +1, y 0 - 2) = (λ,0) ，所以 y 0 =2 ，所以 l 的斜率存在且斜率 k = y 1 - y 2=4=2=1 ， ……………7 分x 1 - x 2y 1 + y 2y 0⎧ y = x + b + (2b - 4)x + b 2 = 0 ， 可设 l 方程为 y = x + b ， 联立 ⎨4x 得 x 2⎩ y 2 =∆ = b - 4 22=16 -16b > 0 ，可得 b < 1 ，………………………………9 分（2 ）深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1 x 2 = b 2 ， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b 2 = 4b ，所以 OA ⋅OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ， …………………………………11 分1 2 1 2解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），所以直线 l 的方程为 y = x -6 .……………………………………………12 分（法二）设 l 的方程为 x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ，⎧x = my + n+16n > 0 ， ………………6 分 联立 ⎨ 2 = 4x得 y 2- 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 ⎩ y则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m 2 + 2n ，所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，…………………………………………………………7 分由 OM + OP = λOF ，得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分 所以 l 的方程为 x = y + n ，由 ∆ = 16 +16n > 0 可得， n > -1， ……………………………………………9 分由 y y= -4n 得 x x =( y y )2= n 2，1 21 216所以 OA ⋅OB = x x + y y =n 2 - 4n =12 ， ………………………………………11 分1 2 1 2解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），所以直线 l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分 12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页潜伏期 ≤ 6 天 潜伏期 > 6 天总计50 岁以上（含 50 岁）10050 岁以下55总计200（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？．．．． ．．．．．附：P (K 2 ≥ k 0 )0.050.025 0.010k3.8415.0246.635K2=n (ad - bc )2，其中 n = a + b + c + d .(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )解：（1） x =1⨯（1⨯85 + 3⨯ 205 + 5 ⨯310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯5）= 5.4 天. 1000……………………………………………………………………………2 分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期 < 6 天 潜伏期 ≥ 6 天 总计50 岁以上（含 50 岁）653510050 岁以下5545100总计12080200则K2= (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35)2 ⨯ 200 = 25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分120 ⨯80 ⨯100 ⨯10012经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有 95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 400 = 2 ， ……7 分10005设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，则 X ~ B (20, 2 ) , P ( X = k ) = C k ⎛ 2 ⎫k⎛ 3 ⎫20-k20 ⎪ ⎪， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ，………8 分5⎝ 5 ⎭ ⎝ 5⎭⎧ k ⎛ 2 ⎫k ⎛ 3 ⎫ 20-kk +1 ⎛ 2⎫k +1 ⎛ 3 ⎫19-k⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k +1) ⎪C20 ⎪ ⎪ ≥ C 20 ⎪ ⎪5 5 5 5 得 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭， …………10 分 由 ⎨⎨ ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1)⎪ k ⎛ 2 ⎫k ⎛ 3 ⎫ 20-k k -1 ⎛ 2 ⎫k -1 ⎛ 3 ⎫21-k ⎪C20 ⎪ ⎪ ≥ C 20 ⎪ ⎪5 5 ⎩ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16页⎧3(k+1) ≥ 2(20 -k )37≤ k ≤42化简得⎨，解得,55⎩2(21 -k ) ≥ 3k又k ∈N,所以k =8,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12 分）已知函数f (x)=e x- a ln(x -1).（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f(x)的极值点个数；-a11（2）若函数f(x)在区间(1,1+e) 上不单调，证明：+> a .a a +1解：（1）易知f'(x)=(x-1)e x- a，x >1，………………………………………1 分x -1a ≤0 f (x)>0 f (x)(1, +∞)①若，则'，函数在上单调递增，∴函数f ( x)无极值点，即函数f ( x)的极值点个数为0；……………………2 分②若a >0，（法一）考虑函数y =(x -1)e x- a(x ≥1)，Q y(1+ a)= a e1+a- a > a - a =0，y(1)= -a <0，∴函数y =(x -1)e x- a(x ≥1)有零点x0，且1< x0<1+ a ，Q y' = x e x>0，∴函数y =(x -1)e x- a(x ≥1)为单调递增函数，∴函数y =(x -1)e x- a(x ≥1)有唯一零点x，'(x-1)e x-a亦存在唯一零点x ，∴ f (x)=x -10…………………………………4 分∴当x ∈(1, x0)时，易知f '(x)<0，即函数f ( x)在(1, x0)上单调递减，x ∈(x0,+∞) f (x)>0 f ( x)(x0 , +∞)当时，易知'，即函数在上单调递增，∴函数f( x) 有极小值点x0，即函数f ( x) 的极值点个数为1 ，……………………5 分综上所述，当a ≤0时，函数f(x)的极值点个数为0；当a >0时，函数f(x)的极值点个数为1.（法二）易知函数y =e x的图象与y =x a-1(a>0)的图象有唯一交点M(x0,y0)，深圳市2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第9 页共16页∴e x 0=a，且 x >1 ，…………………………………………………………………3 分x 0 -1 0∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f ( x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减， x ∈(x 0 , +∞) f (x ) > 0 f ( x ) (x 0 , +∞)当时，易知 ' ，即函数 在上单调递增，∴ 函数 f ( x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f ( x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f ( x ) 的极值点个数为1 .（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N * ，使得 n >2 - ln a，即 2 - na < lna ， aQe -na < 1 ，∴ e 1-na +e - na - a < e 2-na - a < e ln a - a = 0 ，e-na 1+e -na- a∴ f '(1 + e -na ) = e< 0 ，e-na又f '(1 + a ) =a e 1+a - a=e 1+a -1 > 0 ， a∴函数 f '(x )(x-1)e x - a有零点，不妨设其为 x0 ，x -1显然 f '(x ) = e x - xa-1 (x >1) 为递增函数，∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f ( x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，当x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f ( x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，∴ 函数 f ( x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f ( x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f ( x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f ( x ) 的极值点个数为1 .（2） Q 函数 f (x ) 在区间 (1,1+e -a ) 上不单调，∴存在 x ∈(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点，……………………………………6 分∴ 由（ ）可知a > 0 ，且 '-a) =e -a ⋅ e 1+e - a - a> 0，即 1-a +e - a> a ，1f (1+e e -ae两边取对数得1 - a +e -a > ln a ，即1+e -a - ln a > a ， ………………………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页（法一）欲证 1a + a1+1> a ，不妨考虑证 1a + a 1+1 ≥1+e -a - ln a ，先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，令 g(x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ，不难知道函数 g(x ) 的极小值（即最小值）为 g(0) = 0 ，∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，……………………………………………………8 分（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1 ≤ 1 ， 即 1 ≥ e -a ，………………………9 分a +1 a +1e a11111又e -1≥ ，∴ e 1-≤ a ，∴1 - ≤ ln a ，即 ≥1 - ln a ， ………………………11 分a a a a a∴ 1 + 1 ≥1+e -a- ln a ，∴ 1 + 1 > a . …………………………12 分a a +1 a a +1ϕ(a ) = a- a 2=a 22 ϕ(a ) = a + ln a -1 （思路 ：构造函数）令 1，则 ' 11a -1，不难知道，函数 ϕ(a ) 有最小值 ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，…………………………10 分当 a > 0 时， 1 - e -a = e a- a-1> 0 ， …………………………………………11 分a +1 (a +1)e a∴ 1a + ln a -1 + a +1 1 - e -a > 0，即1a + a1+1 ≥1+e -a - ln a ，∴ 1 + 1> a . …………………………………………………………………12 分 a +1 a（法二）令 F (x ) =1+e -x - ln x - x ，则 F (x ) = -e - x - -1 < 0，'1∴函数 F (x ) 为单调递减函数，显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，①若 0 < a < 1 ，则 1 + 1 > 1> a ，即 1 + 1 > a 成立； …………………………8 分 aa +1 a a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1不难证明 1 + 1 ≥ 14，只需证明 14 ≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分 a a +1 7a + 37a + 3令 G (a )=14 -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a1 98 1 98 - e + - > - ， 7a + 3 a (7a + 3)2 a (7a + 3)2 当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98 = 49a 2-56a +9 ，a (7a + 3)2 a (7a + 3)2显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1,2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页∴ G (a)>0G(a)10 '，即函数为单调递增函数，………………………………………分∴当1≤a< 2 时，G(a)≥G(1)=2-1=2e - 5> 0 ，即G(a)>0，………………11 分5e5e∴7a 14+3≥1+e-a- ln a，即1a+a1+1>a，综上所述，必有1+1> a 成立.…………………………………………………12 分a a +1（法三）同（法二）得0 <a< 2 ，①若0 <a< 1 ，则1+1>1> a ，即1+1> a 成立；…………………………8 分a a +1a a +1a②若1≤a< 2 ，只需证1+1≥1+e-a- ln a，a a +1令G(a)=1a+a1+1-e-a+ln a -1，1≤ a ≤2，则G'(a)= e -a-1+a -1≥ e-a-1，(a+1)2a2(a+1)2下证当1≤a≤ 2 时，e-a-1> 0 ，即证e a< (a+1)2，即证ea< a +1， (9)分2(a+1)2a令H (a)=e2- a -1，1≤a≤2，'1aa =2ln 2'则2，当时，，2 e-1H (a)=H (a)=0不难知道，函数H (a)在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数H (a)的最大值为H (1)，或H (2)中的较大值，显然H (1)= e - 2 < 0 ，且H(2)=e-3<0，a∴函数H (a)的最大值小于0，即H (a)<0，亦即e2< a +1，…………………………10分∴ e -a1> 0，即'，-(a+1)2G (a)>0∴函数G(a)=1+1- e-a+ ln a-1 ，1≤a≤ 2 单调递增，a a +1易知G(1)=1-1> 0，∴ G(a)>0，即1+1≥1+e-a- ln a，………………………11分a a +12e11∴当1≤a< 2 时，有+> a成立，a a +111综上所述，+> a .…………………………………………………………12 分a a +1深圳市2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第12 页共16页【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 + t cos α, 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1（ t 为参数， α 为倾斜角），的参数方程为 ⎨⎪⎩y = t sin α,以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ．（1）求 C 2 的直角坐标方程； （2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (23, π) ，若 2 EF = PE + PF ，求直线 C 1 的普通方程．解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ = 4sin θ ，所以 ρ 2 = 4ρ sin θ ，………………1 分又 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ，………………2 分代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分（2）易得点 P 的直角坐标为 (-23,0) ，⎧代入 C 2的直角坐标方程，可得将 ⎨⎪⎩y = t sin α,t 2 - (4 3 c os α + 4 sin α )t +12 = 0 ，………………5 分∆ = (4 3 cos α + 4sin α)2 - 48=[8sin(α +π3 )]2- 48 > 0 ，解得 sin(α + π3 ) > 23 ，或 sin(α + π3 ) < - 23 ，不难知道α必为锐角，故 sin(α +π3 ) > 23 ，所以 π3 < α + π3 < 2π3 ，即 0 < α < π3 ,………………6 分设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 4 3 cos α + 4 sin α ， t 1 ⋅t 2 =12 ，………………7 分深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页所以 t 1 与 t 2 同号，由参数 t 的几何意义可得，PF t t t + t π =+2 =2= 8 sin(α + ) ，1 13= 4 4sin 2 (α +π ) - 3 ，………………8 分 t - t 2 = (t + t )2 - 4t t11 2 1 23所以 2 ⨯ 44sin 2 (α +π3) - 3 = 8 sin(α + 3π) ，两边平方化简并解得 sin(α +π3 ) = 1，所以α = π6 + 2k π ， k ∈ Z ,因为 0 < α < π ，所以 α = π，………………9 分3 6⎧3⎪x = -2 3 + t ,所以直线 C 1⎪2的参数方程为 ⎨1⎪⎪y =t ,2⎩消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x -y + 2= 0 ．………………10 分3 3【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：（1）1a + b 1 + 1c ≥ 9 ；（2） ac + bc + ab - abc ≤ 278.1 1 1⎛ 1 1 1 ⎫证明：（1）因为 ++= (a + b + c ) ++⎪a b c b c ⎝ a ⎭= 3 +ba +b a + ac +ac + b c +bc深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页≥3 + 2 ba⋅ba+2 ac⋅ac+2 bc⋅bc=9（当且仅当a = b = c =13时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为a,b,c为正数，且满足a+b+c=1，所以c =1- a - b ，且1- a >0，1- b >0，1- c >0，所以ac + bc + ab - abc= (a+b-ab)c+ab= (a+b-ab（)1-a-b）+ab= (b-1)(a-1)(a+b)= (1 -a)(1 -b)(1 -c)⎡(1 -a) + (1 -b) + (1 -c) ⎤38≤ ⎢⎥=，327⎣⎦所以ac + bc + ab - abc ≤278 .（当且仅当a = b = c =13时，等号成立）.………………10分（法二）因为a, b, c 为正数，且满足a+b+c=1，所以c =1- a - b ，且1- a >0，1- b >0，1- c >0，ac + bc + ab - abc =1-(a + b + c )+ ac + bc + ab - abc=(1 -a)+b(a- 1)+c(a- 1)+bc(1 -a)=(1-a)⎡1-(b+c)+bc⎤⎣⎦=(1-a)(1-b)(1-c)⎡3-(a + b + c)⎤38≤ ⎢⎥=327⎣⎦所以ac + bc + ab - abc ≤278 .深圳市2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第15 页共16页（当且仅当a = b = c =13时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案第16 页共16页深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题第22 页共22页。
(理数)2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 1 页 共 5页绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<−−=x x x B ，则A B =A ．)3,1(−B ．]3,1(−C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=−，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为5．若双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)−，则该双曲线的离心率为6．已知tan 3α=−，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx −的展开式中3x 的系数为A ．1−B ．1C ．2−D ．2A ．25B ．23C ．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35−C ．45D ．45−A ．168B ．84C ．42D. 218．函数()2ln|e1|xf x x=−−的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为A ．323π3B．32πC．36πD．48π10．已知动点M在以1F，2F为焦点的椭圆2214yx+=上，动点N在以M为圆心，半径长为1||MF的圆上，则2||NF的最大值为11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A．33AB AC HM MO+=+B．33AB AC HM MO+=−C．24AB AC HM MO+=+D．24AB AC HM MO+=−12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x xωω=−>的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数最多为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+−≥−+1122xyxyx，则yxz2−=的最小值为___________．14．设数列{}na的前n项和为n S，若naSnn−=2，则=6a___________．A B C DA．2B．4C．8D．16A．4B．3C．2 D. 1（第9题图）深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题第2 页共5页深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 3 页 共 5页15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m −和点1(,)2N n n −()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x −≤≤相切，则||m n −的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S −=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M −−的正弦值.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 4 页 共 5页19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P −，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=，其中d c b a n +++=. 1000100020095%100061666深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =−−.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a−上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++−≤。
【答案】2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)
（2）设直线 BM 的斜率为 k ， M (x0 , y0 ) ，则 k y0 x2
, k y0
3
x0 2
,k k y02 ，
3
x02 12
又 x02 12
y02 4
1, x02
12 3y02,k k
1 ，………………………………………………10 分
3
k
1 2
,
1 3
2 ，即 2 sin2 A C sin B 1的取值范围是 (1,
2] ．……………12 分
4
2
18．解析：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时， CP / / 平面 SAB ．证明如下： 取 SA 的中点 F ，连接 FP, FB, PC ，则 FP 1 AD ，………………………………………………2 分
F
O
C
a2
B
所以离心率 e 3( 2 1) 6 3 ．
17．解析：（1）由 sin2 B sin Asin C 及正弦定理可得 b2 ac ，………………………………3 分
a2 c2 b2 2ac ac 1
π
所以 cos B
≥
，而 0 B ，所以 0 B ≤ ．…………………6 分
A
E
Dy
n2 SD 2 y2 z2 0
3 1
，
n2 DC 2 x2 2 y2 0
xB
C
取 x2 1，则 y2 3, z2 2 3 ，从而 n2 (1, 3, 2 3) ．…………………………………10 分
cos
n1, n2
n1 n2 n1 n2
2 1 ，
解得 7 a 24 ．
4．答案：C
1
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)含答案
A． 2 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 3
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 1 页 共 6页
6．已知一个四棱锥的高为 3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形, 则此四棱锥的体积为
A． 2
B． 6 2
C． 1 3
D． 2 2
7．在等差数列{an }中， S n 为其前 n 项的和，已知 3a8 = 5a13 ，且 a1 0 ，若 S n 取得最大值，则 n
数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
参考数据：若 Z ~ N (, 2 ) ，则 P( − Z + ) = 0.6826 ， P( − 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( − 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，
的中点．直线
DB1
与平面
EFC
的交点
O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
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深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试
数 学(理科)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}0,1,2,3A =，2{|230}B x x x =--<，则A B =U ( )
A. (1,3)-
B. (1,3]-
C. (0,3)
D. (0,3] 2.设23i 32i z +=
-，则z 的虚部为 ( ) A. 1- B. 1 C. 2- D. 2
3.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为( )
A. 25
B. 23
C. 12
D. 07
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为( )
A. 36
B. 32
C. 28
D. 24
5.若双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 2 6.已知tan 3α
=-，则πsin 2()4α+=( ) A. 35
B. 35-
C. 45
D. 45- 7.72
()x x -的展开式中3x 的系数为( )
A. 168
B. 84
C. 42
D. 21
8.函数()2ln |1|x f x e x =--的图像大致为( )
A. B. C. D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为
( )
A. 323π
B. 32π
C. 36π
D. 48π 10.已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2
214
y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 ( )
A. 33AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u r u u u u r
B. 33AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u r u u u u r
C. 24AB AC HM MO u u u r u u u r u u u u r u u u u r +=+
D. 24AB AC HM MO u u u r u u u r u u u u r u u u u r +=-
12.已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为
3ω，则正实数ω的取值个数最多为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．
13.若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为 ___________．
14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则6a =___________．
15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，⋯，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．
16.已知点1(,)2M m m -和点1(,)2N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2
C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___． 三、解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一 ) 必考题：共 60 分．
17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.
(1)求cos C ；
(2)若cos sin a B b A c +=，5a =，求b .
18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD
是
平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A
上，且12C M MC =，12A N NA =.
(1)求证：1//NC 平面BMD ；
(2)若13A A =，22AB AD ==，π3
DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值. 19.已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中
点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r .
(1)当3λ=时，求点M 的坐标；
(2)当12OA OB ⋅=uu r uu u r 时，求直线l 的方程.
20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．(即概率最大．．．．．
)是多少？ 附：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 21.已知函数()e ln(1)x f x a x =--.(其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数)
(1)若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；
(2)若函数()f x 区间(1,1+e )a -上不单调，证明：111
a a a +>+. (二)选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4－4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，直线1C
的参数方程为cos ,sin ,
x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，α为倾斜角)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
(1)求2C 的直角坐标方程；
(2)直线1C 与2C 相交于,E F 两个不同的
点，点P
的极坐标为π)，若2EF PE PF =+，求直线1C 的普通方程．
选修4－5：不等式选讲
23.已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：
(1)1119a b c
++≥； (2)8.27ac bc ab abc ++-≤。