立体几何专题---空间中的角

二面角及它 的
平面角
图形
AL
oθ B
α
一、概念
名称
两条异面直线 所成的角
定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并使 a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角。
直线与平面 所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的
射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
FG AD又 AD A1D1 A1D1 FG
A1
B1
四边形A1GFD1 为平行四边形
A1G D1F（证） AE1就是G与是BBAA1的EE与所中D成点1F的所锐成角的（角或（。直点角）） A
D
O
G
F E
C
B
R tAGOAAG11=AA9=G0
ABE GAO
即直线AE与D1F所成的角为直角（。 算）
例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边上的中点，
bˊ
b
o
θ
.
aˊ
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o
α
a
一、概念
名称
定义
两条异面直线 所成的角
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并使 a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所
成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角。
直线与平面 所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的
射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0º的角。
B1 F
C1
设E为AB1的中点，连接BE则BE 平面ACB1
作EF B1C于F，连接BF，则BF B1C
B
E A1
C
EFB是二面角B— B1C —A的平面角。
A
AB BB1=AB1 BE
BE 又
= AB BB1 AB1
BC BB1
=
1 =2 B1C
1= BF
2
2
BF=
BC BB1 = B1C
3 1= 2
沿AE折成60º的二面角，分别求DE、DC与平面AC所成的角。
D
D
E
C
3
E2 C
3
A
4
B
A
4
B
二面角 D—AE—B 为60º
解：如图（1），作DM⊥AE于M，延长DM交CB于N ， 沿AE折成60º的二面角后如图（2）
过D作DF⊥平面ABCE, 连结EF、 DC 、 CF.
于是∠DEF是DE与平面ABCE所成的角，
3
2
Sin EFB= 即二面角B—
BBB1ECF—=A的22平面32角=的余63 弦值为Cos3
EFB=
3
3
3
例4：如图，已知在正三棱柱ABC-A1 B1C1中， 侧棱长大于底面边长，M、N分别在侧棱AA1、
B底B面1上A，1B且1C1B所1N=成A的1B二1=2面A角1M的，大求小截面。 C1MN与
一、概念
名称
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意 一点o，作直线a’、b’，并使a’//a， b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a和b所成的 角。
二面角及它 的
平面角
图形
O是空间中的任意一点
点o常取在两条异面直线中的一条上
N
A
4B
MF
N
A
B
图（1）
图（2）
在图（1）中，设∠EDM=α，在Rt∆DME中，cos
DM DE
3 13
∵DF=DM+MF=
6 13
3 13
9 13
在∆DFC中，由余弦定理得：CF²=DF²+DC²-2DF·DC·Cosα=73/13
在图（2）中∵DF=
DE2 EF 2 22 ( 5 )2 4 25 52 25 27 3 3
即截面 C1MN与底面 A1 B1C1所，成二面角为45
利用面积也可作出Cos
=
S S
=（
3
4
a2
）/（
6
4
a2
）=
2
2
=45
c.求二面角的大小： 找（或作）其平面角 构造可解三角形
3.步骤：
①作（找）② 证 ③ 点 ④ 算
三例1、：例如题图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F
分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。
解：如图，取AB的中点G ，连结
D1
C1
FG ，A1G ， A1G与AE交于（O 作）
∠DCF是DC与平面ABCE所成的角.
D
DD
D
D 2E 2 C
D
E
M
3
M
N
F
A
4
B
A
图（1）
图（2）
C
N B
D 2 E 2C
3
M
F
N
A
4B
图（1）
D
E
C
MF
N
A
B
图（2）
∵DM⊥AE，MN⊥AE ∴∠DMN=60º，且AE ⊥平面 DMN
又∵AE ⊂ 平面ABCE ∴平面DMN⊥平面ABCE,从而垂足F在
6 1 13 2
3 13
在Rt∆EFM中，EF ME 2 MF 2 5
13
5
在Rt∆DFE中，Cos∠DEF=
EF 13 5 5 13 DE 2 2 13 26
∴∠ DEF= arccos 5 13
26
即DE与平面AC所成的角为
arccos 5 13 26
D
D 2 E 2C
E
C
3
M
F
A N
且又DB1AN1 =A1AAB111BMC1，=1 AD为1CB等11 =2边D三A1 角形
C1
M B1
C1A1 D=180-60=120
A1C1D=30，又 A1 C1B1=60
A1
B1C1D=90，即DC1 B1C1
又
CCC1D1
平面 平面
AC11BB11CB1C
C C1
C1D
D
又 又
在N RNCt1C1B平N1是B面1C平C11中面B1B，CC1BM，1NN与=B底C1C1面1D 所成CN1C二N1B面1=角45的平面角。
注：在求解图形翻折问题时， （1）分别画好平面图形和翻折后的立体图， 字母一定要一致； （2）弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变 与不变的情况； （3）按题意作出包含已知与未知的图形，然后 计算和证明。
例3： 如图，在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中，B1
C1
BAC=90º，AB=BB1=1，直 线B1C与平面ABC成30º的角， 求二面角B B1C A的余弦值。
A1 B
C
A
分析：求二面角B B1C A的度数，要作出平面角，显然二面 角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂 直于棱的两条射线。
解：作AN BC于N，则AN 平面 BCC1B1，作NQ B1C于Q，则AQ B1C
B1
C1
AQN是二面角B B1C A的平面角。
AN BC=AB AC
B
A1 N
Q
AN=
AB AC BC
=
1
3
2
=
6
3
C
A
又 AC AB1 AQ B1C=AC AB1
AQ= Sin
AB1 AC B1C
= AN
2
AQN= AQ =
2
2
6
3
=1
Cos AQN= 3 3
另解： AC AB AC AA1
AC 平面AA1B1B
又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平面AA1B1B
13
13
13
13 13
33
在Rt∆DFC中， tan DCF DF 13 3 3 3 219 CF 73 73 73
∴ DCF arctan 3 219 73
13
即DC与平面AC所成的角为：arctan 3 219
73
D 2 E 2C
3
M
F
N
A
4B
图（1）
D
E
C
MF
N
A
B
图（2）
另外，过D作DF ⊥平面ABCE于F；过F作FM ⊥AE于M；连结DM，则DM ⊥AE，从而 ∠DMF=60° 也可。
二面角及它 的
平面角
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。
图形
AL
o
α
θ
B
A
α
B
O
L
β
一、概念
名称
两条异面直线 所成的角
定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并使 a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角。
图形
AL
o
α
θ
B
αA
B
L Oβ
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，
即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角， 然后通过解三角形求得。 2.方法： a.求异面直线所成的角：平移 构造可解三角形
b.求直线与平面所成的角：找（或作）射影 构造可解三角形
直线与平面 所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的
射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
二面角及它 的
平面角
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。
C
分共析点：是由C1题，意但平二面面角C1没MN有与棱平，面需A1B要1C作1 出的，公 C1 再找平面角。
B
A N
M
B1
A1
解：连结NM并延长交 B1A1 的延长线于点D，连 C
B
结 C1D，则截面 C1MN与底面 A1 B1C1 所成二面 角的棱为 C1D。
在 N B1D中， B1N=2A1M，
MN上.
如图（1）在Rt△ADE中，DM=
AD • DE 3 2 6
AE
22 32 13
ME= DE2 4 （或ME DE2 DM 2 4 36 52 36 4 )
AE 13
13
13
13
D
D 2 E 2C
E
C
3
M
F
N
A
4B
图（1）
MF
N
A
B
图（2）
在Rt∆DFM中，MF DM • COS 60