内蒙古大学2012-2013线性代数期末试卷A

( B) 1 2， 2 3 , 3 1 ( D) 1 2， 2 3 , 3 1
4、若向量组a1，a2， ，ar 可由另一向量组b1 , b2 ,, bs 线性表示，则
( A) r s ( B) r s

(C ) 秩{a1，a2， ，ar } 秩{b1 , b2 ,, bs } ( D) 秩{a1，a2， ，ar } 秩{b1 , b2 ,, bs } 5、设m n阶矩阵A的秩R A r, 则n元齐次线性方程组Ax 0的解集S的秩Rs
设3阶方阵A的特征值1 2，2 2，3 1；对应的特征向量依次为 p1 0 1 1 , p2 1 1 1 , p3 1 1 0 , 求 A
T T T
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得分
五.证明题（本题满分 12 分）
x1 x 2 x3 1 为何值时，线性方程组 x1 x 2 x3 有唯一解、无解或是无穷多解？ x x x 2 2 3 1
a2 ab b 2 1、计算行列式 2a a b 2b . 1 1 1
1 2 3 2、向量组1 4 ， 2 k ， 3 1 线性相关，求常数k , 并找出向量组的最 3 1 2 大无关向量组，用该最大无关向量组线性表示其他向量。
2 2
。 3． n阶方阵A的行列式 A 2，则 A
1 2
A
。
2 5 2 4． 矩阵 2 6 0 对应的的二次型是 2 0 4 a1 5. 设矩阵A b1 c 1 a2 b2 c2 a3 b3 , 且有可逆矩阵P，使得 c3
( A) n r
( B) n (C ) r

( D) n r
6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是
( A) A有n个线性无关的特征向量
(C ) A的行列式 A 0

( B) A有n个互不相同的特征值
( D) A可表示成初等矩阵的乘积
7、设 A 为实对称矩阵, 下列四个论述中哪个是正确的（ ）
)
( A)
ACB E .
( B) CBA E .
(C ) BAC E .
( D) BCA E .
3、若齐次线性方程组的一个基础解系为1， 2，3，则( )也是该齐次线性方程组的 基础解系。 ( A) 1 2， 2 3 , 3 1
(C ) 1 2， 2 3 , 3 1
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。
a1 b1 PA b1 c1 c 1
a2 b2 b2 c2 c2
a3 b3 b3 c3 , 则P c3
。
1 2 3k ，则k 6． 矩阵A 1 2k 3 的秩R A 1 k 2 3
。
7． 1和2是矩阵A的两个不同的特征值，P 1和P 2 是依次对应的特征向量，则P 1 P 2 （填是或者不是）矩阵 A 的特征向量。 8． 设矩阵A的全部特征值是1 ， -1， 2，则A 3 A 1的全部特征值是
2
。
5 0 0 1 9．设矩阵 A 0 3 1 , 那么 A = 0 2 1
1、关于矩阵，下列关系正确的是( )
( A) 若A2 0, 则A 0
(C ) 若AB BA, , 则A 0或A E
( D) 若AX AY , 且A 0，则X Y
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2、设 A, B, C 都是 n 阶方阵，且 ABC E ，则下列关系(
内蒙古大学 2012-2013 学年第 1 学期
线性代数
期末考试（A 卷）
120 分钟）
（闭卷
姓名
学号
专业 重修标记 □
年级
题号 得分
一
二
三
四
五
合计
得分
一、填空题（本题满分 30 分，每小题 3 分）
1
1． n阶行列式
2


。
n
2． 设A、B是两个n阶方阵，则 A B A 2 AB B 的充分必要条件是
。
1 1 0 1 2 1 10. 设矩阵A的秩R A 2，且有P 0 1 0 和Q 3 4 2 ， 0 0 1 5 4 1
使得B PAQ，则RB
。
得分
二、选择题（本题满分 21 分，每小题 3 分）
( A) 若 A 的主对角线上的元素都为正数，则 A 正定 ( B) 若 A 0 , 则 A 正定. (C ) 若存在可逆矩阵 P 使得 A PT P , 则 A 正定. ( D) 0 , A E 正定
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得分
三、计算下列各题（本题满分 27 分，每小题 9 分）
在有无穷解时求其通解.
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x1 2 x2 x3 x4 0 3、求齐次线性方程组 3x1 6 x2 x3 3x4 0 的一个基础解系，并给出全部解。 5 x 10 x x 5 x 0 2 3 4 1
得分
四、计算题（本题满分 10 分）