热点难点突破-不拉分系列之(五)运用逆向思维 巧用三角函数性质求解参数
2014届高考数学热点难点突破-不拉分系列之(五)运用逆向思维 巧用三角函数性质求解参数
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． [解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎫k π＋7π12－⎝⎛⎭⎫k π－5π12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )”，二者是不相同的．针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2B.12 C ．3 D.13解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，即cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合．2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3 [解析] f (x )＝2⎣⎡⎦⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎡⎦⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )，由所给选项知只有D 适合．[答案] D[题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数：函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )且B ＝0，若其为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 针对训练2．使f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数的y 的一个值是( )A.π3B.5π3C.4π3D.2π3 解析：选D ∵f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋y ＋π3为奇函数， ∴f (0)＝0，即sin y ＋3cos y ＝0，∴tan y ＝－3，故排除A 、C ；又函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数，只有D 选项满足．3．根据三角函数的周期性求解参数三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法3(2)．就是利用周期求参数a ，解题时要注意x 的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时需加绝对值．。
逆向思维求三角函数中的参数值
＿厂（ ）一，（ ）一一厂（号），则 的值为——。
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提 示 ：由 题 意 知 ｆ（ｚ）的 对 称 中 心 为 Ｙ— Ａ ｃｏｓ（ｏ￣：ｒ＋ （。）＋ Ｂ （Ａ ≠ ０）为 奇 函 数 ㈢
（号，ｏ），其一条对称轴为 ｚ一专× ＝＝＝ 尼７【＋号（是∈ｚ）且Ｂ＝＝＝ｏ；若函数 二＝＝
提 示 ：因 为 ＿，’（ｚ）为 奇 函 数 ，所 以 厂（Ｏ）一 ｏ，即 得 ｓｉｎ ＋ ＣＯＳ 一 ０，所 以 ｔａｎ Ｙ一 一
１．１殳 凼 数 ＿／（ ）一 ｓｌ１＂１（２ａ－十 ）（一 ＜ ＜ ｏ）， 一 （ｚ）图 像 的 一 条 对 称 轴 足 直 线
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２．提 示 ：由 函 数 ／ （ ）是 Ｒ 上 的 奇 函 数 ，
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盘点高一数学三角函数解题思路
盘点高一数学三角函数解题思路在了解三角函数解题思路之前大伙儿一定要把握好三角函数的公式，牢记公式结合三角函数解题思路才能更好的完成本单元的学习。
第一：三角函数的重要性,即使你高一将就过了,我期望你能在暑假好好学习三角函数知识.第二：任意角三角函数.同角三角函数公式,切化弦公式以后一会常用到,恒等式公式整合了正余弦之间的关系.诱导公式确实是一个BUG不用管它,能记住多少算多少,通用口诀：奇变偶不变符号看象限,奇偶的辨别是PI/2的整数倍的奇偶决定.第三：三角函数的图像和性质.第一要明白三角函数线的知识,尽管考试可不能涉及只是关于明白得三角函数的图像的绘制提供了直观的明白得.三角函数的草图一律用五点作图法.三角函数的性质包括最值性、单调性、奇偶性、周期性、对称性.三角函数的这五个性质必须好好把握.第四：正弦函数.那个地点要紧是从差不多初等三角函数变换成初等三角函数.Asin(wt+y)+c.关于各个数值的含义你以后会在高中物理中的交流电理论或是简谐振动理论里学习.其中的初相位和圆频率之间的先后变换所产生的关系必须弄清晰,那个地点经常会弄错还期望你能注意.第五：余弦函数.和正弦函数一样,只是还有涉及到余弦的便会涉及到向量的数量积.事实上在物理学的功的定义中便接触了.第六：正切函数.注意它的间断点和周期与正余弦函数的差别.最重要的依旧切化弦吧,还有确实是直线斜率和正切的关系.第七：余切,正割,余割,反三角函数,球面三角函数你接触一下吧.尽管高中差不多不用关于你的学习依旧有好处的.第八：三角恒等变换.那个地点是三角函数的难点和重点.八个C级要求那个地点占了两个.再加上数量积一个,C级要求的三角函数就占了3个.要紧思路：变角变名变次数.要紧公式：两角和与差公式,二倍角公式及其推论(降幂扩角,升幂缩角),辅助角公式.第九：两角和与差公式.那个公式假如你可不能用,那请好好学.总共六个公式.记住之间正负号和函数的位置.专门好经历的.第十：二倍角公式.二倍角公式三个.余弦公式中比较复杂,以及由它推导出来的降幂公式升幂公式也是变换的重点.第十一：辅助角公式.那个事实上是两角和函数的逆运算.它的显现频率却不低于二倍角函数,故特引起重视.第十二：其他变换公式.万能代换确实是一个bug,由半角公式推导而来.积化和差和差化积高中应用不多,大学就专门重要了,最差不多的极限理论就得用到它.三角公式繁多还有其他不列举.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的知识点。
掌握三角函数的解题技巧和思路，不仅可以帮助学生顺利完成学习任务，还可以帮助他们更好地理解数学知识，提高数学解题的能力。
下面就来总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。
一、基本概念的掌握在学习三角函数解题之前，首先要掌握基本的概念。
包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，以及三角函数的周期性、奇偶性等基本特点。
只有掌握了这些基本概念，才能更好地理解和运用三角函数进行解题。
二、利用变换简化问题在解三角函数的题目时，有时候可以利用一些特定的变换来简化问题。
常见的变换包括令x=π-x、令x=π/2-y等等。
这样的变换可以将原问题转化为更简单的形式，有利于我们更好地解题。
三、观察周期性和对称性三角函数具有周期性和对称性，因此在解题时要善于观察这些特点。
对于周期函数，可以根据函数的周期性来简化问题，找到最小正周期内的解；对于奇偶函数，也可以根据对称性来简化问题，减少计算的复杂度。
四、利用三角函数的性质在解题过程中，要充分利用三角函数的性质。
比如利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式，将复杂的三角函数问题化简为简单的形式；利用三倍角公式、半角公式等求解特殊角的数值；利用三角函数的导数和微分形式等等。
熟练掌握这些性质，可以帮助我们更好地解题。
五、构建方程求解在解三角函数的题目时，常常需要构建方程求解。
对于一些复杂的问题，可以通过构建方程的方法，将问题转化为代数方程，并利用代数方程的知识求解。
还可以利用三角函数的图像特点，通过图像直观地找到解。
六、多做练习、多思考在学习三角函数解题的过程中，多做练习是非常重要的。
只有通过大量的练习，才能更好地掌握解题的技巧和思路，熟练运用相关知识。
多思考也是解题的关键。
通过深入思考问题，分析问题的本质，可以更好地理解三角函数的知识，提高解题的能力。
在学习三角函数解题的过程中，要多和同学、老师进行交流，分享解题的方法和思路。
应用三角函数的性质求解参数
问题5应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． (5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m2,B ＝M ＋m2.②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.三、知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题 【例1】已知函数．（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．【分析】（1）()f x 化为,可得周期22T ππ==,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为,解得12m =. 【解析】（1）,则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据,k Z ∈,得,k Z ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．（2）因为,所以,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0,即,解得12m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____． 【答案】【解析】所以当时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程解所以要使方程在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________． 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得，所以5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;(2)若存在使成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x 0)的值域,从而可求出m＝00021)20()sin(2)3x m f x x π-=⇒==+的取值范围．【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为：,又因为函数)(x f y =的图像关于直线对称,所以,即,又因为0>a ,所以a 的最小值为12π． (2)故．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． 【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】8π【解析】函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到图象关于y 轴对称,即,解得,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例4】已知不等式对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围是【答案】22m ≤【解析】因为＝,所以原不等式等价于在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立．因为,所以∈2[,2]2,所以22m ≤,故选B ． 【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使,则实数m 的最小值是__________．【答案】2π【解析】函数,若对任意的实数,则：f （α）∈[﹣32,0],由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈[0, 32]．,,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．A .43 B .23C .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b -=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1,即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即令ac ＝2cosθ,13a c＝2sinθ 所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】已知实数,x y 满足221x y +=,则的最小值为【答案】43【解析】由221x y +=,可设,则=.五、迁移运用1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ＝,∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足，解得：3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为______．【答案】【解析】令＝1，，则，＝＝＝，m ，n ，k 都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=，，得，由，得，解得3π4ϕ=. 6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，则实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】，所以4ω=。
初中数学解题技巧攻克三角函数难点的秘籍
初中数学解题技巧攻克三角函数难点的秘籍三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是让很多学生头疼的难点。
它的概念多样，应用广泛，对于学生来说有一定的挑战性。
然而，只要我们掌握了一些解题技巧，攻克三角函数的难点就不再是难题了。
本文将分享一些解题技巧，帮助同学们更加轻松地应对三角函数相关问题。
一、三角函数的基本概念在学习三角函数之前，我们首先要了解三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
当我们遇到与角度有关的问题时，就可以运用这些函数来求解。
我们需要熟悉这些函数的定义和性质，掌握它们的图像和周期性变化规律。
二、角度的转化和化简在解题过程中，角度的转化和化简是非常重要的一步。
有时候，我们需要将角度转化为可以直接使用的形式，比如将角度转化为弧度制或特定的三角函数值。
同时，需要将复杂的三角函数表达式化简为简洁的形式，这样有助于我们更好地理解和求解问题。
三、使用特殊角的性质特殊角的性质是解决三角函数问题的有效方法之一。
对于一些特定的角度值，比如30°、45°、60°等，我们可以提前计算出它们的正弦、余弦和正切函数值，以便在实际问题中直接应用。
熟练掌握特殊角的性质，能够极大地简化我们的计算过程。
四、三角函数的图像应用三角函数的图像是解决问题的有力工具。
通过观察三角函数的图像特点，我们可以判断函数的增减性、最值点等重要信息。
对于涉及角度的问题，我们可以将角度与三角函数的图像相结合，通过画图来直观地获取所需结果，这在初中数学解题中非常实用。
五、运用三角恒等式简化问题在复杂的三角函数问题中，我们常常需要运用三角恒等式来化简表达式或者证明等式。
熟练掌握常见的三角恒等式，能够帮助我们更好地理解三角函数的性质，同时也能够简化问题，提高解题效率。
六、灵活运用综合技巧除了以上提到的基本技巧，我们还需要灵活运用其他解题方法来攻克三角函数的难点。
比如，可以通过引入辅助角、构造合适的三角形、利用三角函数的周期性等方法来化简或证明三角函数问题。
中考数学复习技巧如何应对复杂的三角函数题目
中考数学复习技巧如何应对复杂的三角函数题目数学是中考必考科目之一，对于很多学生来说，数学中的三角函数是比较复杂的知识点。
在中考数学复习中，如何应对复杂的三角函数题目，成为学生们面临的难题。
本文将介绍几个数学复习技巧，帮助学生们有效应对复杂的三角函数题目。
一、理解三角函数的基本概念在应对复杂的三角函数题目前，首先要对三角函数的基本概念有一个清晰准确的理解。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，学生们应掌握其定义、性质以及与角度的关系等内容。
只有对这些基本概念有深入理解，才能够在解题过程中正确运用。
二、熟练掌握常见的三角函数公式掌握常见的三角函数公式是解决复杂题目的关键。
例如，学生们应该熟练掌握正弦函数与余弦函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式在解题时起到了简化计算的作用，能够提高解题效率。
三、灵活运用三角函数的性质在应对复杂的三角函数题目时，学生们应能够根据题目要求，灵活运用三角函数的性质。
例如，根据三角函数的周期性，可以将题目中的角度转化为一个周期内的角度，从而简化计算。
此外，学生们还应注意特殊角的性质，如30°、45°、60°等角的三角函数值可直接得到，可以简化计算过程。
四、细心审题，注意问题的隐含条件解决复杂的三角函数题目时，细心审题显得尤为重要。
学生们应仔细阅读题目，理解题目中的条件和要求，并找出与解题相关的信息。
在解题过程中，如果遇到难以处理的问题，可以反复审题，尝试寻找问题的隐含条件，这有助于准确解题。
五、多做题，强化练习在复习阶段，多做题是提高解题能力的有效途径。
学生们可以通过做大量的三角函数题目，熟悉各类题型的解法，掌握解题技巧。
同时，做题时要注重题目的分类，有针对性地进行练习，从而更好地应对各种复杂的题目。
六、掌握解题思路，学会总结归纳复杂的三角函数题目通常都有一定的解题思路，学生们可以通过总结归纳，掌握解题的一般思路。
例如，在解决三角函数方程时，可以将其转化为关于三角函数的方程，并利用三角函数的性质求解。
运用逆向思维解决初中数学难题的技巧
运用逆向思维解决初中数学难题的技巧逆向思维，作为一种解决问题的方法，被广泛运用在各个领域中。
在初中数学学习中，逆向思维可以帮助学生更好地解决数学难题。
本文将介绍运用逆向思维解决初中数学难题的技巧和方法。
一、理解问题的本质要解决数学难题，首先需要充分理解问题的本质。
有时候，问题表面看起来复杂，但实际上可以通过归纳、分析和转化为简单的数学概念来解决。
这就要求学生在面对问题时，不要陷入求解的细节，而是要从整体上把握问题的本质。
例如，对于一道关于面积的难题，学生可以通过观察几何图形的性质，尝试逆向思考：如何通过已知条件逆向推导出待求面积的表达式？或者通过构造等价的几何图形，将复杂的问题简化为易于计算的形式。
二、寻找已知条件的关联性在初中数学中，常常会有多个已知条件，学生需要通过逆向思维，分析这些条件之间的关联性，找出隐藏的规律和逻辑，从而进行问题求解。
例如，一道关于线性方程组的问题，学生可以通过逆向思考：如何将多个方程组合并，从而简化问题的求解过程？或者通过构造等价的方程，将复杂的问题转化为简单的代数运算。
三、发散思维，尝试不同的解题方法逆向思维也可以激发学生的发散思维，尝试不同的解题方法。
有时候，一道数学难题可能有多个解法，而逆向思维可以帮助学生找到更加简洁和有效的解题方法。
例如，对于一道关于概率的问题，学生可以通过逆向思考：如何从对立事件入手，找到计算概率的简便方法？或者通过构造等价的概率问题，将复杂的问题转化为简单的计数方法。
四、灵活运用逆向推理逆向推理是逆向思维的重要策略之一。
学生可以通过反向思考，从已知结果出发，推断出问题的前提条件，从而解决问题。
例如，对于一道关于函数的问题，学生可以通过逆向推理：根据函数的性质，如何通过结果逆向推导出函数的定义域和值域？或者通过构造等价的函数，将复杂的问题转化为易于计算的形式。
综上所述，逆向思维在解决初中数学难题中发挥着重要的作用。
通过理解问题的本质，寻找已知条件的关联性，发散思维和灵活运用逆向推理，学生可以更好地解决数学难题，提高数学学习的效果。
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结高中数学中，三角函数是一个重要的内容，也是高考数学中出现频率最高的内容之一。
掌握好三角函数的解题技巧和思路，对于提高数学成绩至关重要。
下面将总结一下高中数学中三角函数解题的技巧和思路。
第一，理解三角函数的基本定义和性质。
三角函数的基本定义是：正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx等。
理解这些函数的定义并记住它们的性质是解题的基础。
同时要熟练掌握它们在特殊角上的取值，如sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1等。
第二，理解三角函数的周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，所以可以利用周期性来简化解题过程。
在一些问题中，可以利用周期性把给定的范围转化到一个周期内来求解。
在区间[0,12π]上求sinx=1/2的解，可以先求出[0,2π]上sinx=1/2的解，然后再把2π的整数倍加上去求解。
合理利用三角函数的性质。
三角函数有一些特殊的性质，可以利用这些性质来简化解题过程。
sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，可以利用这些性质求解一些简单的题目。
第四，利用三角函数的图像和关系。
三角函数的图像是由单位圆上的点（x，y）的坐标决定的。
对于一个三角函数的图像，可以通过改变参数a、b、c、d来对其进行平移、伸缩和反射。
利用图像和函数的关系，可以求解关于三角函数的方程。
已知f(x)=sinx和g(x)=cosx在[0,π/2]上相等，可以通过观察图像得出解为π/4。
第五，利用三角函数的和差化积公式和倍角公式。
三角函数有一些重要的公式可以用来化简复杂的式子。
sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB，tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)等。
高中数学解题中逆向思维的运用分析
高中数学解题中逆向思维的运用分析一、引言在解决高中数学问题时，学生通常被要求按照给定的方法和步骤进行计算和推理。
在某些情况下，对问题进行逆向思考可以更好地解决问题。
逆向思维是一种从结果出发，逆推解决问题的思维方式。
本文将对高中数学解题中逆向思维的运用进行分析，以帮助学生更好地理解和运用这一思维方式。
二、逆向思维的基本原理逆向思维是指从结果出发，逆推问题的解决过程。
其基本原理是：已知结果，寻找可能的解决方案。
在数学解题中，逆向思维常用于证明、解方程、求函数的反函数等问题。
通过逆向思考，可以更好地理清解题思路，准确地找到问题的解决过程。
三、逆向思维在解方程问题中的应用对于一元一次方程ax+b=0，常规思路是通过移项和抵消等代数运算求解x的值。
而逆向思维的做法是从x的值出发，逆推a和b的值。
假设得到的一个方程的解为x=c，那么根据方程的定义，可以得到ac+b=0。
由此可以推断出a=-b/c。
通过逆向思考，可以准确地得到a和b的值，进而求得方程的解。
函数是高中数学中的重要内容，逆向思维在解函数问题中有着广泛的应用。
对于一个函数f(x)，常规思路是根据给定的x值，通过函数的表达式计算出y值。
而逆向思维则是从y值出发，逆推x值。
通过逆向思考，可以帮助学生更好地理解函数的性质和特点，从而解决与函数相关的问题。
要证明一个命题P成立，常规思路是根据已知条件，通过逻辑推理得到结论P。
而逆向思维的做法是从结论P出发，逆推已知条件。
假设已知命题P成立，则根据逆否命题的定义，可以得到P的否定命题不成立。
通过逆向思考，可以帮助学生更好地理解证明的逻辑关系和思路。
六、逆向思维的优势和局限性逆向思维在解决高中数学问题中具有许多优势，可以帮助学生更好地理解问题，提高解题效率。
逆向思维突破了传统思维的局限性，可以从不同的角度和方向解决问题。
通过逆向思考，学生可以更好地把握问题的关键，找到解决问题的关键性步骤，提高解题的准确性和有效性。
灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题
备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题，不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象，还需运用各种数学思想，如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想，高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体，用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时，灵活运用整体代换思想，可使问题快速获解.在解题时，需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换，这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A ＞0,ω＞0,0＜||ϕ＜π2)部分图象如图1所示，若x 4-x 1=π，x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式；(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解：(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得，f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致，因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ，所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得π3+k π≤x ≤5π6+k π，k ∈Z ，则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π，k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ，通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式；然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应，于是将θ替换成2x -π6，通过整体代换求得x 的取值范围，即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时，可灵活运用数形结合思想，借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象；然后通过观察图象，确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点，并明确函数的变化趋势；再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ，x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，则k 的取值范围为______.解：由题意可得，f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π，-sin x ()π≤x ≤2π，画出函数的图象，如图2所示.图2当x ∈[]0,π时，f ()x 的最大值为3，当x ∈[]π,2π时，f ()x 的最大值为1，由图可知，要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点，需使1＜k ＜3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式，我们很容易画出函数的图象，于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象，并移53动直线.通过观察图象，可以发现，只有在1＜k ＜3时，函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想，就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω＞0)的周期为π，当x ∈éëùû0,π2时，方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2，则f ()x 1+x 2=_____.解：∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6，而函数的周期为π，∴T =2πω=π，ω=2，∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6，画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0，π2上的图象，如图3所示.0图3由图可知，关于x 1、x 2，x 1+x 2=2×π6=π3，则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后，在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0，π2上的图象，即可通过观察图象，发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时，函数f ()x 的对称轴为x =π6，根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题，需寻找问题中的等量关系，选取合适的变量，建立关于变量的方程或者方程组，通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15，θ∈()0,π，则cot θ=_____.解：将sin θ+cos θ=15平方，可得sin θcos θ=-1225，因为θ∈()0,π，所以sin θ＞0，cos θ＜0，且sin θ＞||cos θ，将sin θ，cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根，则sin θ=45，cos θ=-35，可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ，而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ，于是将已知关系式平方，根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1，得到sin θcos θ=-1225，即可根据韦达定理，构造一元二次方程x 2-15x -1225=0，并将sin θ、cos θ看作方程的两个根，通过解方程，求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0，求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解：2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ，Δ=(cos x 22x =9()cos x -22，可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4，整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ，则tan x =12，所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程，即可通过解方程求得sin x 的表达式，进而求得tan x 的值.可见，灵活运用数学思想，能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中，需根据题意，将已知关系式进行代换，将数形结合起来，构造出合适的方程或方程组，以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想，快速求得问题的答案.（作者单位：冯艳玲，福建省三明市第九中学；谢定亮，福建省三明第一中学）备考指南54。
利用三角函数的性质求参数
高一使用 2021年4月三角函数的主要性质有奇偶性、单调性、周期性、对称性及最值等。
利用三角函数的性质可以求参数的值或参数的取值范围。
下面举例分析，供同学们学习与参考。
—、利用三角函数的奇偶性求参数的值例1 函数y = 3 sin 2x 一 cos 2x 的图像向右平移p (oV p Vy )个单位长度后，得到函数g(x )的图像，若函数g(x )为偶函数,)。
则p 的值为(A 1nn B6C -4D3解：因为 2k n + ；C2x + p C2k n +'：，解：由函数 y = 3 sin 2x 一 cos 2x2sin (x — 6)，可知其图像向右平移pk e Z ,所以 k n + n — p C x C k n + —j- — p ,(o V p v2)个单位长度后，得到函数g(x ) =k ez 。
又因为倚冷)是f (x )的一个单调2sin (2x —2p —6)的图像递增区间， p V n ,所以5n C k n + 3^ — 2,因为g (x )为偶函数，所以2p + n6k e Z ,解得p C :。
同理可知,由n A k n +n n k n-+k n,ez ，可得 p = 6 + w k ez又4一2，k eZ,|p IVn,可得 p #10。
由上可p e (。
，2)，所以 p = 6。
应选 b 。
评析：利用三角函数的奇偶性求参数问 题常用下列结论：①函数y =A cos 9x +p )+ B (A H0)为奇函数O p = k n+ n (k e Z )且B = 0 ；②函数 y = A cos(9x + p ) + B (A H0)为偶函数O p = k n(k e Z )。
二、利用三角函数的单调性求参数的取 值范围例 2 已知函数 f (x ) = — 2sin(2x +p )得,0 C p C n 。
应选C评析：解答本题要注意单调区间的给出方式，如"函数f(x )在k 兀—5；，兀+］：］( eZ)上单调递增"与函数f(x )的单调递增区间为［吃n — — , k n + 12］(k e Z )是不同的。
初中数学解题技巧迅速解决复杂的三角函数题目
初中数学解题技巧迅速解决复杂的三角函数题目解决复杂的三角函数题目是初中数学学习中的一大难题。
在解题过程中，学生们经常会陷入困惑和迷茫。
然而，只要掌握一些解题技巧，就能迅速而准确地解决这类题目。
本文将介绍一些初中数学解题技巧，帮助学生们解决复杂的三角函数题目。
一、利用基本三角函数关系简化题目在解决复杂的三角函数题目时，我们可以利用基本三角函数关系将题目简化。
例如，我们可以根据正弦函数和余弦函数的关系来简化题目。
如果题目中包含正弦函数，我们可以通过余弦函数将其转换为乘积形式；反之亦然。
这样一来，我们就能够更加方便地计算和推导。
二、利用和差化积公式简化计算和差化积公式是解决三角函数题目的重要工具。
通过将三角函数的和差转化为乘积形式，我们可以简化计算过程，更容易得出结果。
在解题过程中，我们可以根据具体情况选择正确的和差化积公式，并灵活运用。
三、熟悉周期性和对称性质三角函数具有周期性和对称性质。
熟悉这些性质可以帮助我们迅速解决复杂的三角函数题目。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为2π。
当我们遇到周期性相关的题目时，只需要在一个周期内进行计算，就可以得出整个周期的结果。
四、利用特殊角的数值特殊角是指常见角度的数值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟悉特殊角的数值可以使我们在解题过程中更加快速准确。
特殊角的数值不仅可以直接使用，还可以通过对称性和周期性来推导得到其他角度的数值。
五、注意单位换算在解决三角函数题目时，我们还需要注意单位的换算。
例如，有些题目给出的角度单位是度，而有些题目给出的角度单位是弧度。
我们需要根据具体情况进行单位换算，确保计算的准确性。
六、积累经验，多做习题最后，解决复杂的三角函数题目需要经验积累。
学生们应该多做一些类似的习题，通过反复练习来加深对解题技巧的理解和掌握。
通过不断练习和总结，我们能够更加熟练地应用解题技巧，迅速解决复杂的三角函数题目。
2014届高考数学热点难点突破(五)运用逆向思维
{ INCLUDEPICTURE "../../../../../Application%20Data/Microsoft/Word/高分障碍要破除.tif" \* MERGEFORMAT |含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3|(ω>0)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12|(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12|(k ∈Z )，则ω的值为________． [解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎫k π＋7π12|－⎝⎛⎭⎫k π－5π12|＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12|(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12|(k ∈Z )”，二者是不相同的．针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3|上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2B.12| C ．3 D.13|解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3|上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3|＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3|＝1， 即cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω|＝12|，检验各选项，得出B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ|－3|sin(3|x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6| B.π3| C ．－π6| D ．－π3| [解析] f (x )＝2⎣⎡⎦⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)|＝2cos ⎣⎡⎦⎤(3x ＋φ)＋π3|＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3|，由f (x )为偶函数，知φ＋π3|＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3|(k ∈Z )，由所给选项知只有D 适合．[答案] D[题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数：函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)为奇函数⇔φ＝k π＋π2|(k ∈Z )且B ＝0，若其为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 针对训练2．使f (x )＝sin(2x ＋y )＋3|cos(2x ＋y )为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4|上是减函数的y 的一个值是( )A.π3| B.5π3| C.4π3| D.2π3| 解析：选D ∵f (x )＝sin(2x ＋y )＋3|cos(2x ＋y )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋y ＋π3|为奇函数， ∴f (0)＝0，即sin y ＋3|cos y ＝0，∴tan y ＝－3|，故排除A 、C ；又函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4|上是减函数，只有D 选项满足．3．根据三角函数的周期性求解参数三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法3(2)．就是利用周期求参数a ，解题时要注意x 的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时需加绝对值．。
如何提高高考数学三角函数解题技巧
如何提高高考数学三角函数解题技巧三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学的热点之一。
掌握三角函数的基本概念、公式和性质，以及灵活运用解题技巧，对于提高高考数学成绩具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍如何提高高考数学三角函数解题技巧。
一、基础知识巩固1.理解三角函数基本概念：要熟练掌握正弦、余弦、正切、余切等基本三角函数的定义，了解它们的图象和性质。
例如，正弦函数的图象是周期性的波浪线，它在[0, π]区间内是增函数，在[π, 2π]区间内是减函数。
2.记忆关键公式：掌握三角函数的基本公式，如和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式等。
例如，和差公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。
3.熟悉三角函数的性质：了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，便于在解题过程中快速得出结论。
例如，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
二、解题技巧与策略1.变换角度：在解题过程中，将题目中的角度变换为更易于处理的角。
例如，利用和差公式将复合角变换为基本角，或利用倍角公式将高次幂的角变换为低次幂的角。
2.构造辅助角：在解决三角函数问题时，可以尝试构造一个辅助角，使问题变得更加简单。
例如，在解决有关三角函数求值问题时，可以尝试将已知函数通过恒等变换转换为标准形式，如sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。
3.运用数形结合：利用三角函数的图象帮助解题。
例如，通过观察正弦函数和余弦函数的图象，可以得出它们在不同区间的单调性、奇偶性等性质。
4.方程与不等式的解法：在解决三角函数方程和不等式时，可以尝试运用三角函数的性质，如周期性、奇偶性等，将问题转化为简单的代数问题。
5.灵活运用公式：在解题过程中，要根据题目要求灵活运用公式。
例如，当遇到有关三角函数的积分问题时，可以尝试运用和差化积公式或积化和差公式简化积分表达式。
高考数学中如何应对逆三角函数问题
高考数学中如何应对逆三角函数问题在高考数学中，逆三角函数是一个不可避免的考点。
逆三角函数是指反函数为三角函数的函数，主要包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
逆三角函数在实际问题中具有广泛的应用，因此掌握逆三角函数的概念和运用方法对于高考数学考试至关重要。
1. 逆三角函数的基本知识逆三角函数是根据三角函数的基本性质推导出来的。
在单位圆上，我们可以通过三角函数的定义和性质，得出三角函数的反函数。
例如，反正弦函数arcsin(x)表示的是：sin(arcsin(x))=x，其中x∈[-1,1]；同理，反余弦函数arccos(x)表示的是cos(arccos(x))=x；反正切函数arctan(x)表示的是tan(arctan(x))=x，其中x∈R。
这样，我们就可以利用逆三角函数，求解三角函数的值域范围以及实际问题中的角度问题。
2. 逆三角函数的应用逆三角函数在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理中，如何求解抛体运动的角度问题？我们可以通过已知物体初速度和抛体高度，求出物体飞行的时间t，然后根据竖直方向上的位移公式求出物体的下落时间t1，最后用反正切函数计算出物体的轨迹角度θ=tan-1(2h/gt1^2)。
在工程中，如何计算三角形的面积？我们可以通过已知三角形的边长以及夹角，利用反正弦函数计算出其中一个角的度数，从而求解三角形的面积。
3. 应对逆三角函数考题的技巧在高考数学中，逆三角函数的考题通常会涉及以下几个方面：逆三角函数的定义、运算性质、图像、取值范围以及应用。
因此，我们需要掌握以下几点技巧：（1）熟练掌握逆三角函数的定义和运算性质；（2）理解逆三角函数的图像和变化特点，例如反正弦函数和反余弦函数的函数图像在[-1,1]的取值范围内单调递减，而反正切函数的函数图像在[-π/2,π/2]的取值范围内单调递增；（3）灵活应用逆三角函数的性质，例如求解三角函数的取值范围、求解实际问题中的角度问题等；（4）注意逆三角函数的运算顺序和可能出现的异常情况，例如在根式中出现分母为零的情况。
【三维设计】高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列(五)运用逆向思维 巧用三角函数性质求解参数 新人
【三维设计】2013届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（五）运用逆向思维 巧用三角函数性质求解参数 新人教版含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________．[解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫k π＋7π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2.[答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )”，二者是不相同的． 针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12 C ．3 D.13解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω×2π3＝1， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3[解析] f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos 3x ＋φ－32sin 3x ＋φ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋φ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )，由所给选项知只有D 适合．[答案] D[题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数：函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B (A ≠0)为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )且B ＝0，若其为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 针对训练2．使f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的y 的一个值是( )A.π3 B.5π3 C.4π3 D.2π3解析：选D ∵f (x )＝sin(2x ＋y )＋3cos(2x ＋y )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y ＋π3为奇函数， ∴f (0)＝0，即sin y ＋3cos y ＝0，∴tan y ＝－3，故排除A 、C ；又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，只有D选项满足．3．根据三角函数的周期性求解参数三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法3(2)．就是利用周期求参数a，解题时要注意x的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时需加绝对值．。
热点难点突破-不拉分系列之(六)合理转化 将三角函数最值问题化难为易
解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.1．配方转化策略对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决．[典例1] 求函数y ＝5sin x ＋cos 2x 的最值．[解] y ＝5sin x ＋()1－2sin 2x ＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋338. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时， y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝－2×116＋338＝4.[题后悟道] 这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x 或cos x 的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x 或cos x 的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]．2．有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一．[典例2] (2012·重庆高考改编)设函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. 求函数y ＝f (x )的最值．[解] f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1，因为－1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的最大值为3＋1，最小值为1－ 3.[题后悟道] 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值．3．单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略．对于三角函数来说，常常是先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的单调性求解．[典例3] 函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－32在⎣⎡⎦⎤π，17π12上的最大值为________，最小值为________．[解析] 由π≤x ≤17π12，得5π4≤x ＋π4≤5π3. 因为f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－32在⎣⎡⎦⎤π，5π4上是减函数，在⎣⎡⎦⎤5π4，17π12上是增函数，且f (π)>f ⎝⎛⎭⎫17π12，所以当x ＝5π4时，f (x )有最小值为22sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋π4－32＝－22－32. 当x ＝π时，f (x )有最大值－2.[答案] －2 －22－32[题后悟道] 这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值．4．数形结合转化策略对于形如y ＝b －sin x a －cos x 的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y ＝b －sin x a －cos x视为定点(a ，b )与单位圆上的点(cos x ，sin x )连线的斜率来解决．[典例4] 求函数y ＝－sin x 2－cos x(0<x <π)的最小值． [解] 将表达式改写成y ＝0－sin x 2－cos x，y 可看成连接点A (2,0)与点P (cos x ，sin x )的直线的斜率．由于点(cos x ，sin x )的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小．设过点A 的直线与半圆相切于点B ，则k AB ≤y <0.可求得k AB ＝tan 5π6＝－33.所以y的最小值为－33⎝⎛⎭⎫此时x＝π3.[题后悟道]这类三角函数的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足条件的图形，最后由图形的几何意义求出三角函数的最值．文章来源：福州五佳教育网(中小学直线提分，就上福州五佳教育)。
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含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思 维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的 性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各 条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待 定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析.
1．根据三角函数的单调性求解参数 π 5π π [典例 1] 已知函数 f(x)＝sin ωx＋3(ω>0)的单调递增区间为kπ－12，kπ＋12(k∈Z)， π 7π 单调递减区间为 kπ＋12，kπ＋12(k∈Z)，则 ω 的值为________． 7π 5π [解析] 由题意，得 kπ＋12－kπ－12＝π，即函数 f(x)的周期为 π，则 ω＝2. [答案] 2 [题后悟道] 解 答 此 类 问 题 时 要 注 意 单 调 区 间 的 给 出 方 式 ， 如 “ 函 数 f(in(2x＋y)＋ 3cos(2x＋y)＝2sin 2x＋y＋3为奇函数， π ∴f(0)＝0，即 sin y＋ 3cos y＝0，∴tan y＝－ 3，故排除 A、C；又函数 f(x)在 0，4上 是减函数，只有 D 选项满足． 3．根据三角函数的周期性求解参数 三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法 3(2)．就是 利用周期求参数 a，解题时要注意 x 的系数 ω 是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公 式时需加绝对值．
π π π 2cos 3x＋φ＋3，由 f(x)为偶函数，知 φ＋3＝kπ(k∈Z)，即 φ＝kπ－3(k∈Z)，由所给选项 知只有 D 适合． [答案] D [题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数：函数 y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)为 π 奇函数⇔φ＝kπ＋ (k∈Z)且 B＝0，若其为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 2 针对训练 π 2．使 f(x)＝sin(2x＋y)＋ 3cos(2x＋y)为奇函数，且在 0，4上是减函数的 y 的一个值是 ( ) π A. 3 4π C. 3 5π B. 3 2π D. 3
2π 2π 0， 上是递减的，且有最小值为 1，则有 f ＝1， 解析：选 B 由 y＝2cos ωx 在 3 3
Go the distance
2π 即 2×cos ω× 3 ＝1， 2π 1 即 cos 3 ω＝2，检验各选项，得出 B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数 [典例 2] 已知 f(x)＝cos( 3x＋φ)－ 3sin( 3x＋φ)为偶函数，则 φ 可以取的一个值为 ( ) π A. 6 π C．－ 6 [ 解 析 ] π B. 3 π D．－ 3 π 1 3 3x＋φ＋ ＝ f(x) ＝ 2 cos 3x＋φ－ sin 3x＋φ ＝ 2cos 3 2 2
kπ－5π，kπ＋ π (k∈Z)上单调递增”与“函数 f(x)的单调递增区间为kπ－5π，kπ＋ π (k 12 12 12 12
∈Z)”，二者是不相同的． 针对训练 2π 0， 上递减，且有最小值 1，则 ω 的值 1．(2012· 荆州模拟)若函数 y＝2cos ωx 在区间 3 可以是( A．2 C．3 ) 1 B. 2 1 D. 3