十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解13统计部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解10解析几何部分一、选择题（共26小题；共130分）1. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A. (x−1)2+(y−1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x+1)2+(y+1)2=2D. (x−1)2+(y−1)2=22. 双曲线x24−y29=1的渐近线方程是( )A. y=±32x B. y=±23x C. y=±94x D. y=±49x3. 若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A. y=±2xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±√22x4. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于√2的充分必要条件是( )A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>25. 圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√26. 在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是( )A. B.C. D.7. 若点P到直线x=−1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是( )A. 圆B. 两条平行直线C. 抛物线D. 双曲线9. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 310. 椭圆 {x =4+5cosφy =3sinφ（φ 为参数）的焦点坐标为 ( )A. (0,0)，(0,−8)B. (0,0)，(−8,0)C. (0,0)，(0,8)D. (0,0)，(8,0)11. " m =12 "是"直线 (m +2)x +3my +1=0 与直线 (m −2)x +(m +2)y −3=0 相互垂直"的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件12. 从原点向圆 x 2+y 2−12y +27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π13. 椭圆短轴长是 2，长轴长是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是 ( )A. 85√5 B. 45√5 C. 83√3 D. 43√314. 已知 F 1 、 F 2 是椭圆x 216+y 29=1 的两焦点，过点 F 2 的直线交椭圆于点 A 、 B ，若 ∣AB ∣=5，则∣AF 1∣+∣BF 1∣= ( ) A. 11B. 10C. 9D. 1615. 如图，直线 l:x −2y +2=0 过椭圆的左焦点 F 1 和一个顶点 B ，该椭圆的离心率为 ( )A. 15B. 25C. √55D.2√5516. 在抛物线 y 2=2px 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 417. 椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦点为 F 1，F 2，两条准线与 x 轴的交点分别为 M ，N ，若 ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣，则该椭圆离心率的取值范围是 ( )A. (0,12]B. (0,√22] C. [12,1)D. [√22,1) 18. "双曲线的方程为x 29−y 216=1 "是"双曲线的准线方程为 x =±95"的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( )4816√220. 已知点A(0,2),B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 121. 已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为( )A. 7B. 6C. 5D. 422. 某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为( )A. 5B. 7C. 9D. 1123. 过直线y=x上的一点作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘24. 已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为∣a∣，∣b∣，∣c∣的三角形( )A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C. 是钝角三角形D. 不存在25. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线26. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为" A点"，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都是" A点"B. 直线l上仅有有限个点是" A点"D. 直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A点"二、填空题（共29小题；共145分）27. 若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=；准线方程为．28. 直线y=x被圆x2+(y−2)2=4截得的弦长为．29. 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于．30. 直线x−√3y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是．31. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5,0)，则a=；b=．32. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=．33. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．34. 设双曲线C的两个焦点为(−√2,0)，(√2,0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为．35. 设双曲线C经过点(2,2)，且与y24−x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．36. 在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60∘，则△OAF的面积为．37. 若点P(m，3)到直线4x−3y+1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则m=．38. 已知(2,0)是双曲线x2−y2b2=1（b>0）的一个焦点，则b=．39. 已知双曲线x2a2−y2=1（a>0）的一条渐近线为√3x+y=0，则a=．40. 如图，F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为√3的正三角形，则b2的值是．41. 已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b=．42. 圆 x 2+(y +1)2=1 的圆心坐标是 ，如果直线 x +y +a =0 与该圆有公共点，那么实数 a 的取值范围是 ． 43. 以双曲线 x 216−y 29=1 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 ．44. 若直线 mx +ny −3=0 与圆 x 2+y 2=3 没有公共点，则 m ，n 满足的关系式为 ；以(m,n ) 为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1 的公共点有 个．45. 曲线 C ：{x =cosθ,y =−1+sinθ（θ 为参数）的普通方程是 ，如果曲线 C 与直线 x +y +a =0有公共点，那么实数 a 的取值范围是 ．46. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1,2,3． （1）记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 ．（2）记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 1，p 2，p 3 中最大的是 ．47. 若双曲线 x 2−y 2m =1 的离心率为 √3，则实数 m = ．48. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ．49. 已知 x ≥0，y ≥0，且 x +y =1，则 x 2+y 2 的取值范围是 ．50. 椭圆 x 29+y 22=1 的焦点为 F 1,F 2，点 P 在椭圆上，若 ∣PF 1∣=4，则 ∣PF 2∣= ；∠F 1PF 2的大小为 ．51. 在极坐标系中，直线 ρcosθ−√3ρsinθ−1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A ，B 两点，则∣AB∣= ．52. 椭圆 x 2+4y 2=4 长轴上一个顶点为 A ，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 ．53. 曲线 C 是平面内与两个定点 F 1(−1,0) 和 F 2(1,0) 的距离的积等于常数 a 2(a >1) 的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线 C 过坐标原点； ②曲线 C 关于坐标原点对称；③若点 P 在曲线 C 上，则 △F 1PF 2 的面积不大于 12a 2．其中，所有正确结论的序号是．54. 设A(0,0)，B(4,0)，C(t+4,3)，D(t,3)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=；N(t)的所有可能取值为．55. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动．三、解答题（共28小题；共364分）56. 已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1)．过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．57. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程．（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．58. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．59. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，△OAB的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：∣AN∣⋅∣BM∣为定值．60. 已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l．（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC=90∘，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．61. 设A(−c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．62. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，右焦点为(2√2,0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(−3,2)．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．63. 已知点A(2,8)、B(x1,y1)、C(x2,y2)均在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程．64. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，右准线方程为x=√33．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+ y2=5上，求m的值．65. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值．66. 已知椭圆C:x2+3y2=3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．67. 已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为√32．（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．68. 已知椭圆C:x2+2y2=4．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．69. 已知椭圆G:x24+y2=1．过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将∣AB∣表示为m的函数，并求∣AB∣的最大值．70. 已知曲线C:(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R)．（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A,G,N三点共线．71. 如图所示，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．72. 已知椭圆：C:x2a2+y2b2=1过点A(2,0)，B(0,1)两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．73. 已知椭圆G:x24+y2=1，过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将∣AB∣表示为m的函数，并求∣AB∣的最大值．74. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√22，点P(0,1)和点A(m,n)（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．75. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(−√2,0)，(√2,0)，离心率是√63，直线y=t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．76. 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．77. 如图，设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．78. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x−3y−6=0，点T(−1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）若动圆P过点N(−2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．79. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(−1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于−13．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．80. 已知抛物线y2=2px(p>0)．过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B．（1）若∣AB∣≤2p,求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求Rt△MNQ的面积．81. 如图，A1，A2为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（1）写出椭圆的方程及准线方程；（2）过线段OA2上异于O，A2的任一点K作OA2的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲线x225−y29=1上．82. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，右准线方程为x=√33．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．83. 已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切，点C在l上．（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为−√3的直线与曲线M相交于A，B两点．（i）问：△ABC能否为正三角形?若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．答案第一部分 1. D2. A3. B【解析】由离心率为 √3，可知 c =√3a ，所以 b =√2a ．所以渐近线方程为 y =±ba x =±√2x ． 4. C【解析】【解析】 ∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1． 【答案】 C 5. C【解析】由于圆 (x +1)2+y 2=2 的圆心为 (−1,0)，则圆心 (−1,0) 到直线 x −y +3=0 的距离为√2=√2．6. D 【解析】方程 a 2x 2+b 2y 2=1 可化为x 21a 2+y 21b 2=1，因为 a >b >0，所以方程 a 2x 2+b 2y 2=1 表示焦点在 y 轴的椭圆；方程 ax +by 2=0 可化为 y 2=−ab x ，表示焦点在 x 轴负半轴的抛物线． 7. D 【解析】若点 P 到直线 x =−1 的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1，则点 P 到直线 x =−2 的距离等于它到点 (2,0) 的距离．8. B【解析】设点 P 、 Q 坐标分别为 P (1,t )，Q (x,y )，由 OP ⊥OQ ，得 x +ty =0. ⋯⋯①由 ∣OP ∣=∣OQ ∣，得 x 2+y 2=t 2+1. ⋯⋯② 由 ①② 消去 t ，得 (x 2+y 2)(1−1y 2)=0．因为 x 2+y 2≠0，所以 1−1y 2=0，即 y =±1．因此，动点 Q 的轨迹方程为 y =±1，它表示两条平行线． 9. C【解析】渐近线方程为 y =±axb ，由题得 −ab ⋅ab =−1，得 a 2=b 2，则 e =√b 2+a 2b 2=√2．10. D【解析】提示：因为椭圆的直角坐标方程为 (x−4)225+y 29=1，相当于椭圆x 225+y 29=1 的焦点 (−4,0) 、(4,0) 向右平移 4 个单位．11. B 12. B 13. D 14. A 【解析】由椭圆定义，可得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣+∣BF 1∣+∣BF 2∣=4a ，∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣+∣AB ∣=16，∴ ∣AF 1∣+∣BF 1∣=11． 15. D【解析】提示：显然 c =2，b =1．16. C 17. D 【解析】∵ ∣MN∣≤2∣∣F 1F 2∣，∴ 2a 2c≤4c ．18. A 19. C 【解析】由题意可知，l 的方程为 y =1．如图，B 点坐标为 (2,1)，所以所求面积S=4−2∫02x 24dx=4−2(x312)∣ 02=83．20. A【解析】根据题意，S△ABC=12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2,解得ℎ=√2，即点C到直线AB的距离为√2．问题转化为与直线AB距离为√2的直线与抛物线交点的个数．由两平行线间的距离公式，得与直线AB距离为√2的直线方程为y=−x或y=−x+4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有2个交点，因此，共有4个不同的C点满足条件．21. B 【解析】如图，当以AB为直径的圆和圆C内切时，m取最大值．22. C 【解析】各点都和原点分别连接，看哪个点连出的斜率最大即可．23. C 24. B 25. D【解析】因为P到直线C1D1的距离就是P到点C1的距离，所以点P到直线BC与到点C1的距离相等，故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线．26. A 【解析】设P(a,a−1)，A(x0,x02)，则由∣PA∣=∣AB∣且三点共线可得B点的坐标为(2x0−a,2x02−a+1)，由B点在抛物线上知：2x02−a+1=(2x0−a)2=4x02−4ax0+a2，整理得：2x02−4ax0+a2+a−1=0．从而知x0为方程2x2−4ax+a2+a−1=0的解，当此方程有解时，对应的点P(a,a−1)为" A点"．而此方程的判别式Δ=16a2−8(a2+a−1)=8(a2−a+1)>0恒成立．所以直线l上的所有点都是" A点"．第二部分27. 2，x=−128. 2√229. 430. 30∘31. a=1，b=2【解析】y=±2x，所以ba =21，c2=5，所以a=1；b=2．32. 2【解析】因为两条渐近线是正方形OABC的相邻两边，所以夹角为90∘，可知渐近线的斜率为±1．所以±ba=±1，a=b．因为B为该双曲线的焦点，所以c=2√2，由a2+b2=c2=8，a=b可得a=2．33. (±4,0)，y=±√3x34. x2−y2=135. x23−y212=1，y=±2x36. √3【解析】如图，过点A作准线的垂线段AM，设AF=t，则AM=t，FN=12t，因为AM=PN=PF+FN，所以t=2+12t，所以AF=t=4，所以AN=2√3，所以S△OAF=12OF⋅AN=√3．37. −338. √339. √3340. 2√3【解析】提示：正三角形面积为√3，故边长为2，从而c=2，P(1,√3)，F1(−2,0)．从而2a=∣PF1∣+∣PF2∣=2√3+2，故b2=(√3+1)2−4=2√3．41. 2【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为y=±bx，得b=2．42. (0,−1)，1−√2≤a≤1+√243. y2=−36(x−4)44. 0<m2+n2<3，2【解析】由直线mx+ny−3=0与圆x2+y2=3没有公共点，得0<m2+n2<3；由0<m2+n2<3，得P点在以原点为圆心、√3为半径的圆面内运动（不含原点和圆周），无论如何运动，它总是在椭圆的内部，因此过点P的直线与椭圆x 27+y23=1一定有两个公共点．45. x2+(y+1)2=1，[1−√2,1+√2]46. Q1，p2【解析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2．47. 248. 649. [12,1]50. 2;120∘【解析】因为a=3，b=√2，c=√a2−b2=√7，所以∣PF2∣=2a−∣PF1∣=2，由余弦定理，有cos∠F1PF2=∣PF1∣2+∣∣PF2∣2−∣∣F1F2∣22∣∣PF1∣∣PF2∣=42+22−(2√7)22×4×2=−12，又0∘<∠F1PF2<180∘，因此∠F1PF2=120∘．51. 2【解析】x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以ρcosθ−√3ρsinθ−1=0可以变形为x−√3y−1=0，ρ=2cosθ可以变形为(x−1)2+y2=1．因为直线x−√3y−1=0经过(1,0)点，圆(x−1)2+y2=1的圆心也是(1,0)，所以交线AB为直径．又因为r=1，2r=2，所以∣AB∣=2．52. 1625【解析】原方程可化为x 24+y2=1，则a2=4，b2=1，从而a=2，b=1，c=√3．设等腰直角三角形另外两个顶点为(x,y)(y>0)，(x,−y)(y>0)，由等腰三角形性质可得2−x=y，代入椭圆方程解得y=45，因此该三角形的面积是S=1625．53. ②③【解析】对于①，若C过原点，则∣OF1∣∣OF2∣=a2，但a2>1，∣OF1∣∣OF2∣=1，矛盾，故①错误；对于②，对于C上任一点P，其关于原点的对称点设为Q，由于F1和F2也关于原点对称，故∣QF2∣=∣PF1∣，∣QF1∣=∣PF2∣，于是∣QF1∣⋅∣QF2∣=∣PF1∣⋅∣PF2∣=a2，故Q点也在C上，②正确．对于③，直接使用三角形面积公式有：SΔPF1F2=12∣PF1∣⋅∣PF2∣sin∠F1PF2≤a22，③正确．54. 6，6,7,8【解析】当t=0时，作图易知共有6个整点，即N(0)=6；如图分别确定直线AD，BC的方程，然后确定直线y=1，y=2与其交点的坐标依次为E(t3,1),G(t3+4,1),F(2t3,2),H(2t3+4,2),故当 t 3∈Z 时，则 2t3∈Z ，在线段 GE 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个，在线段 FH 上且在平行四边形内部的整点共有 3 个，此时整点的个数共有 6 个；当 t3∉Z ，2t3∈Z 时，线段 GE 上满足条件的整点有 4 个，FH 上共有 3 个，故整点总数为 7 个； 当 t3∉Z ，2t3∉Z 时，线段 EG ，FH 上各有 4 个整点在平行四边形内部，故此时整点个数共有 8 个，综上可知 N (t ) 的所有取值为 6，7，8．55. 4，π+1【解析】当 0≤x ≤1 时，(x −1)2+y 2=1；当 1<x ≤3 时，(x −2)2+y 2=2；当 3<x ≤4 时，(x −3)2+y 2=1．故其在一个周期内的函数 y =f (x ) 的图象如图所示，所以 y =f (x ) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为S =14×π×1×2+14×π×(√2)2+12×1×1×2=π+1.第三部分56. （1） 因为 y 2=2px 过点 P (1,1)， 所以 1=2p ， 解得 p =12，所以抛物线方程为 y 2=x ，所以焦点坐标为 (14,0)，准线为 x =−14．（2） 设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)， 所以直线 OP 为 y =x ，直线 ON 为：y =y2x 2x ，由题意知 A (x 1,x 1)，B (x 1,x 1y 2x 2)，由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0，所以 x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1，所以 A 为线段 BM 的中点．57. （1） 由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px ． 因为点 P (1,2) 在抛物线上， 所以 22=2p ⋅1，得 p =2．故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =−1．（2） 设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB ，因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA =−k PB .由 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 在抛物线上，得{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②所以y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1,所以 y 1+2=−(y 2+2)，所以 y 1+y 2=−4． 由① − ②得直线 AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2).58. （1） 由题意得{a =2,c a =√22,a 2=b 2+c 2,解得b =√2.所以，椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1.（2） 由{y =k (x −1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0.设点 M ，N 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则y 1=k (x 1−1),y 2=k (x 2−1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2.所以∣MN ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.又因为点 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离d =√1+k 2,所以 △AMN 的面积为S =12∣MN ∣⋅d =∣k ∣√4+6k 21+2k 2.由 ∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103，解得 k =±1.59. （1） 由题意，得 ca =√32，12ab =1．又因为 a 2=b 2+c 2，解得 a =2，b =1，c =√3．故方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意得 P 不在顶点处，设 P (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)，x 024+y 02=1，即 x 02+4y 02=4．又因为 A (2,0)，B (0,1)，则直线 PA:y =y 0x0−2(x −2)，令 x =0，得 M (0,−2y 0x 0−2)．直线 PB:y =y 0−1x 0x +1，令 y =0，得 N (−x 0y 0−1,0)．∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2y 0−1∣∣∣，∣BM∣=∣∣∣1+2y 0x 0−2∣∣∣=∣∣∣2y 0+x 0−2x 0−2∣∣∣， ∣AN∣⋅∣BM∣=∣∣∣∣4y 0+x 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣∣=∣∣∣4+4+4x 0y 0−4x 0−8y 0x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=4.60. （1） 因为 AB ∥l ，且 AB 边通过点 (0,0)，所以 AB 所在直线的方程为y =x.设 A ，B 两点坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)．由{x 2+3y 2=4,y =x,得x =±1.所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=2√2. 又因为 AB 边上的高 ℎ 等于原点到直线 l 的距离． 所以 ℎ=√2，所以S △ABC =12∣AB∣⋅ℎ=2.（2） 设 AB 所在直线的方程为 y =x +m ，由{x 2+3y 2=4,y =x +m,得4x 2+6mx +3m 2−4=0.因为 A ，B 在椭圆上，所以Δ=−12m 2+64>0.设 A ，B 两点坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−3m2,x 1x 2=3m 2−44,所以∣AB∣=√2∣∣x 1−x 2∣=√32−6m 22. 又因为 BC 的长等于点 (0,m ) 到直线 l 的距离，即∣BC∣=−m∣√2.所以∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2=−m 2−2m +10=−(m +1)2+11.所以当 m =−1 时，AC 边最长（这时 Δ=−12+64>0），此时 AB 所在直线的方程为y =x −1.61. 设动点 P 的坐标为 (x,y ) ． 由 ∣PA∣∣PB∣=a (a >0) ，得 √(x+c )2+y 2√(x−c )2+y 2=a ．化简得(1−a 2)x 2+2c (1+a 2)x +c 2(1−a 2)+(1−a 2)y 2=0．当 a ≠1 时，得x 2+2c (1+a 2)1−a2x +c 2+y 2=0， 整理得(x −1+a 2a 2−1c)2+y 2=(2ac a 2−1)2．当 a =1 时，化简得 x =0 ． 所以当 a ≠1 时， P 点的轨迹是以 (a 2+1a 2−1c,0) 为圆心， ∣∣2ac a 2−1∣∣为半径的圆；当 a =1 时， P 点的轨迹为 y 轴． 62. （1） 由已知得 c =2√2，ca =√63．解得 a =2√3．又 b 2=a 2−c 2=4．所以椭圆 G 的方程为x 212+y 24=1．（2） 设直线 l 的方程为 y =x +m ．由{y =x +m,x 212+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2−12=0. ⋯⋯①设 A,B 的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为 E (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=−3m 4,y 0=x 0+m =m4.因为 AB 是等腰 △PAB 的底边，所以 PE ⊥AB ． 所以 PE 的斜率k =2−m 4−3+3m 4=−1.解得 m =2．此时方程 ① 为 4x 2+12x =0．解得x 1=−3,x 2=0.所以y 1=−1,y 2=2.所以 ∣AB ∣=3√2．此时，点 P (−3,2) 到直线 AB:x −y +2=0 的距离d =√2=3√22, 所以 △PAB 的面积 S =12∣AB ∣⋅d =92．63. （1） 因为点 A (2,8) 在抛物线 y 2=2px 上，所以82=2p ⋅2,解得p =16.所以抛物线方程为 y 2=32x ，焦点 F 的坐标为 (8,0)．（2） 如图，由 F (8,0) 是 △ABC 的重心，M (x 0,y 0) 是 BC 的中点，所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(6,−8)=2(x 0−8,y 0),解得x 0=11,y 0=−4.所以点 M 的坐标为 (11,−4)．（3） 由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，则 BC 所在的直线不垂直于 x 轴． 设直线 BC 的方程为y +4=k (x −11)(k ≠0),由{y +4=k (x −11),y 2=32x,消去 x 得ky 2−32y −32(11k +4)=0,所以y 1+y 2=32k,由（2）的结论得y 1+y 22=−4, 解得k =−4.因此，BC 的方程为 4x +y −40=0． 64. （1） 由题意得{a 2c =√33,ca=√3. 解得 a =1，c =√3． 所以 b 2=c 2−a 2=2． 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 22=1．（2） 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．由{x −y +m =0x 2−y 22=1得 x 2−2mx −m 2−2=0（判别式 Δ>0），所以x 0=x 1+x 22=m,y 0=x 0+m =2m. 因为点 M (x 0,y 0) 在圆 x 2+y 2=5 上，所以 m 2+(2m )2=5． 故 m =±1．65. （1） 依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O −xy （如图），则点 C 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标 y 满足方程x 2r 2+y 24r 2=1(y ≥0), 解得y =2√r 2−x 2(0<x <r ),所以S=12(2x +2r )⋅2√r 2−x 2=2(x +r )⋅√r 2−x 2,其定义域为 {x∣ 0<x <r }．（2） 记 f (x )=4(x +r )2(r 2−x 2)，0<x <r ，则fʹ(x )=8(x +r )2(r −2x ).令 fʹ(x )=0，得x =12r.因为当 0<x <r 2时，fʹ(x )>0；当 r2<x <r 时，fʹ(x )<0，所以 f (12r) 是 f (x ) 的最大值．因此，当 x =12r 时，S 也取得最大值，最大值为√f (12r)=3√32r 2.即梯形面积 S 的最大值为3√32r 2． 66. （1） 椭圆 C 的标准方程为 x 23+y 2=1， 所以 a =√3，b =1，c =√2． 所以椭圆 C 的离心率 e =c a=√63． （2） 因为直线 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴， 所以可设 A (1,y 1)，B (1,−y 1)，直线 AE 的方程为 y −1=(1−y 1)(x −2)． 令 x =3 得 M (3,2−y 1)． 所以直线 BM 的斜率 k BM =2−y 1+y 13−1=1．（3） 直线 BM 与直线 DE 平行．理由如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由（2）可知 k BM =1． 又因为直线 DE 的斜率 k DE =1−02−1=1，所以 BM ∥DE ． 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y =k (x −1)（k ≠1）． 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则直线 AE 的方程为 y −1=y 1−1x 1−2(x −2)．令 x =3，得点 M (3,y 1+x 1−3x 1−2)．直线和椭圆方程联立得{x 23+y 2=1,y =k (x −1),消去 y 得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0,所以x 1+x 2=6k 21+3k 2,x 1x 2=3k 2−31+3k 2.直线 BM 的斜率 k BM =y 1+x 1−3x 1−2−y 23−x 2．因为k BM −1=k (x 1−1)+x 1−3−k (x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k−1)[−x 1x 2+2(x 1+x 2)−3](3−x 2)(x 1−2)=(k−1)(−3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 3−3)(3−x 2)(x 1−2)=0.所以 k BM=1=k DE ，所以 BM ∥DE ．综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．67. （1） 由椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则 a =2，e =c a=√32，则 c =√3，b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1；（2） 设 D (x 0,0)(−2<x 0<2)，M (x 0,y 0)，N (x 0,−y 0)，y 0>0，由 M ，N 在椭圆上，则 x 024+y 02=1，则 x 02=4−4y 02，则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x+2，直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0，直线DE 的方程：y =−x 0+2y 0(x −x 0)，直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x 0−2，直线 BN 的方程 y =−y 0x 0−2(x −2)，{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2), 解得：{x =4x 0+25,y =−45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则 ∣EH∣=4y 05，则 ∣EH∣∣ND∣=45，所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5． 68. （1） 由题意，椭圆 C 的标准方程为x 24+y 22=1, 所以 a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2,因此a =2,c =√2,故椭圆 C 的离心率e =c a =√22.（2） 设点 A ，B 的坐标分别为 (t,2)，(x 0,y 0)，其中 x 0≠0， 因为 OA ⊥OB ，所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0, 又 x 02+2y 02=4，所以∣AB ∣2=(x 0−t )2+(y 0−2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0−2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4−x 022+2(4−x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4), 因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4), 且当 x 02=4 时等号成立，所以 ∣AB ∣2≥8，故线段 AB 长度的最小值为 2√2．69. （1） 由已知得a =2,b =1,所以c =√a 2−b 2=√3.所以椭圆 G 的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0),离心率为e =c a =√32.（2） 由题意知，∣m ∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程为 x =1，点 A,B 的坐标分别为 (1,√32),(1,−√32)， 此时 ∣AB ∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB ∣=√3；当 ∣m ∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )． 由{y =k (x −m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A,B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得√k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)［(x 1+x 2)2−4x 1x 2］=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时，∣AB ∣=√3，所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1］∪［1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,且当 m =±√3 时，∣AB ∣=2，所以 ∣AB ∣ 的最大值为 2． 70. （1） 原曲线方程可化简得x 285−m +y 28m −2=1. 由题意可得{ 85−m >8m −2,85−m >0,8m −2>0,解得72<m <5,所以 m 的取值范围是 (72,5)．（2） 由已知直线方程代入椭圆方程化简得(2k 2+1)x 2+16kx +24=0,结合直线与椭圆交于不同两点知Δ=32(2k 2−3)>0,解得 k 2>32，设 N (x N ,kx N +4),M (x M ,kx M +4),G (x G ,1)，由韦达定理得x M +x N=−16k2k 2+1, ⋯⋯①x M x N=242k 2+1, ⋯⋯② 可知 MB 方程为y =kx M +6x Mx −2, 则 G (3x MkxM +6,1)，故AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3x Mx M k +6,−1),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x N ,x N k +2).欲证 A,G,N 三点共线，只需证 AG⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即 3x Mx M k +6(x N k +2)=−x N ,成立，化简得(3k +k )x M x N =−6(x M +x N ),将 ①② 代入易知等式成立，则 A,G,N 三点共线得证．71. （1） 当 y =p 2 时，x =p 8，又抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线方程为 x =−p2．由抛物线定义得，所求距离为 p 8−(−p 2)=5p 8．（2） 设直线 PA 的斜率为 k PA ，由 y 12=2px 1，y 02=2px 0，两式相减得 (y 1−y 0)(y 1+y 0)=2p (x 1−x 0)． 故 k PA =y 1−y 0x 1−x 0=2p y 1+y 0(x 1≠x 0)．同理可得 k PB =2p y 2+y 0(x 2≠x 0)．由 PA ，PB 倾斜角互补知 k PA =−k PB ,即2py 1+y 0=−2py2+y 0，所以 y 1+y 2=−2y 0，故y 1+y 2y 0=−2．设直线 AB 的斜率为 k AB ，由 y 22=2px 2，y 12=2px 1 相减得 (y 2−y 1)(y 2+y 1)=2p (x 2−x 1)，所以 k AB =y 2−y1x 2−x 1=2py1+y 2(x 1≠x 2)．将 y 1+y 2=−2y 0(y 0>0) 代入得 k AB =2p y 1+y 2=−py 0，所以 k AB 是非零常数．72. （1） 由题知 a =2，b =1，c =√3， 所以椭圆方程为 x 24+y 2=1，离心率 e =√32．（2） 设 P (x 0,y 0) 则 k PA =y 0x 0−2，l PA :y =y 0x0−2(x −2)，令 x =0 得 y =−2y 0x 0−2，所以 M (0,−2y 0x 0−2)，k PB =y 0−1x 0， l PB :y =y 0−1x 0x +1，令 y =0 得 x =−x 0y 0−1，所以 N (−x 0y 0−1,0)，所以四边形 ABNM 的面积 S =12∣BM∣⋅∣AN∣，∣AN∣=∣∣∣2+x 0y 0−1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣， ∣BM∣=∣∣∣2y 0x 0−2+1∣∣∣=∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣，所以S =12∣BM∣⋅∣AN∣=12⋅∣∣∣x 0+2y 0−2x 0−2∣∣∣⋅∣∣∣x 0+2y 0−2y 0−1∣∣∣=∣∣∣(x 02+4y 02)+4x 0y 0−4x 0−8y 0+4x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣, 因为点 P 在椭圆上，所以x 024+y 02=1⇒x 02+4y 02=4，S =12⋅∣∣∣4x 0y 0−4x 0−8y 0+8x 0y 0−x 0−2y 0+2∣∣∣=2， 故四边形 ABNM 的面积为定值 2．73. （1） 由已知，得 a =2，b =1，则 c =√a 2−b 2=√3． 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (−√3,0)，(√3,0)，离心率为 √32． （2） 由题意，得 ∣m ∣≥1．① 当 m =1 时，切线 l 的方程为 x =1，则 A (1,√32)，B (1,−√32)，此时 ∣AB ∣=√3．② 当 m =−1 时，同理可得 ∣AB ∣=√3．③ 当 ∣m ∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )，代入 x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 2m1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2.又由 l 与圆 x 2+y 2=1 相切，得∣km ∣√k 2+1=1,化简，得m 2k 2=k 2+1.由两点间的距离公式，得∣AB ∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m ∣m 2+3.由于当 m =±1 时，∣AB ∣=√3 代入上式成立，所以∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3,m ∈(−∞,−1]∪[1,+∞).因为∣AB ∣=4√3∣m ∣m 2+3=4√3∣m ∣+3∣m ∣≤2,所以 m =±√3 时，∣AB ∣ 的最大值为 2． 74. （1） 由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2.故椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．设 M (x M ,0)，因为 m ≠0，所以 −1<n <1． 直线 PA 的方程为 y −1=n−1mx ，所以 x M =m 1−n，即 M (m1−n,0)．（2） 因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 B (m,−n )， 设 N (x N ,0)，则 x N =m1+n ．“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∠OQM =∠ONQ ”，等价于“存在点 Q(0,y Q ) 使得 ∣OM∣∣OQ∣=∣OQ∣∣ON∣”，即 y Q 满足 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣． 因为 x M =m 1−n，x N =m 1+n，m 22+n 2=1，所以 y Q 2=∣x M ∣∣x N ∣=m 21−n 2=2，所以y Q =√2 或 y Q =−√2.故在 y 轴上存在点 Q ，使得 ∠OQM =∠ONQ ，且点 Q 的坐标为 (0,√2) 或 (0,−√2)． 75. （1） 因为 ca =√63，且 c =√2，所以 a =√3，b =√a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程为 x 23+y 2=1．（2） 由题意知 P (0,t )(−1<t <1)，由 {y =t,x 23+y 2=1,得 x =±√3(1−t 2)．所以圆 P 的半径为 √3(1−t 2)．当圆 P 与 x 轴相切时，∣t ∣=√3(1−t 2)，解得 t =±√32． 所以点 P 的坐标是 (0,±√32)． （3） 由（2）知，圆 P 的方程为x 2+(y −t )2=3(1−t 2).因为点 Q (x,y ) 在圆 P 上，所以y =t ±√3(1−t 2)−x 2≤t +√3(1−t 2).设 t =cosθ，θ∈(0,π)，则t +√3(1−t 2)=cosθ+√3sinθ=2sin (θ+π6).当 θ=π3，即 t =12，且 x =0 时，y 取最大值 2．76. （1） 因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 互相垂直平分． 所以可设 A (t,12)，代入椭圆方程得t 24+14=1, 即t =±√3,所以∣AC ∣=2√3.（2） 假设四边形 OABC 为菱形．因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC ⊥OB ，所以 k ≠0． 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m,消去 y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0.设 A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，则Δ=(8km )2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=64k 2−16m 2+16>0,x 1+x 22=−4km1+4k 2, y 1+y 22=k ⋅x 1+x 22+m =m1+4k 2, 所以 AC 的中点为 M (−4km 1+4k2,m 1+4k 2)．因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m ≠0,k ≠0， 所以直线 OB 的斜率为 −14k．因为k ⋅(−14k)≠−1, 所以 AC 与 OB 不垂直，所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾， 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形．77. 如图，点 A,B 在抛物线 y 2=4px 上，设 A (y A24p ,y A ),B (y B 24p ,y B )，OA,OB 的斜率分别为 k OA ,k OB ．所以k OA =y A y A 24p=4p y A , k OB =4p y B . 由 OA ⊥OB ，得k OA ⋅k OB=16p 2y A y B=−1 ⋯⋯① 依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程(y A +y B )(y −y A )=4p (x −y A24p) ⋯⋯②由 OM ⊥AB ，得直线 OM 方程y =y A +y B−4px ⋯⋯③ 设点 M (x,y )，则 x,y 满足②、③两式，将②式两边同时乘 −x4p ，并利用③式整理得x 4py A 2+yy A −(x 2+y 2)=0 ⋯⋯④ 由③、④两式得−x4py A y B −(x 2+y 2)=0. 由①式知，y A y B =−16p 2, ∴ x 2+y 2−4px =0. 因为 A,B 是原点以外的两点，所以 x ≠0．所以 M 的轨迹是以 (2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 78. （1） 因为 AB 边所在直线的方程为 x −3y −6=0，且 AD 与 AB 垂直， 所以直线 AD 的斜率为 −3．又因为点 T (−1,1) 在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程为y −1=−3(x +1),即3x +y +2=0.（2） 由{x −3y −6=0,3x +y +2=0,解得点 A 的坐标为 (0,−2)．因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2,0)． 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心．又 ∣AM∣=2√2，从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x −2)2+y 2=8.（3） 因为动圆 P 过点 N ，所以 ∣PN∣ 是该圆的半径．。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题12概率统计文(含解析)
专题12概率统计历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2016 概率2016年北京文科06单选题2015 统计2015年北京文科04单选题2012 概率2012年北京文科03单选题2010 概率2010年北京文科03填空题2015 统计2015年北京文科14填空题2010 统计2010年北京文科12解答题2019 概率统计综合题2019年北京文科17解答题2018 概率统计综合题2018年北京文科17解答题2017 概率统计综合题2017年北京文科17解答题2016 概率统计综合题2016年北京文科17解答题2015 概率统计综合题2015年北京文科17解答题2014 概率统计综合题2014年北京文科18解答题2013 概率统计综合题2013年北京文科16解答题2012 概率统计综合题2012年北京文科17解答题2011 概率统计综合题2011年北京文科16历年高考真题汇编1．【2016年北京文科06】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n10，甲被选中包含的基本事件的个数m4，∴甲被选中的概率p．故选：B．2．【2015年北京文科04】某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600＝9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．3．【2012年北京文科03】设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1＝4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P故选：D．4．【2010年北京文科03】从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a＝1，b＝2；a＝1，b＝3；a＝2，b＝3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P，故选：D．5．【2015年北京文科14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y＝x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学．6．【2010年北京文科12】从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a＝．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）＝1，解得a＝0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）＝60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为10＝3人．故答案为：0.03，3．7．【2019年北京文科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．8．【2018年北京文科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510＝2000部，获得好评的第四类电影200×0.25＝50，故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1＝372，估计这部电影没有获得好评的概率为10.814，（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．9．【2017年北京文科17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10＝0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05＝0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05＝20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．10．【2016年北京文科17】某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w＝3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10＝10.5，∴当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．11．【2015年北京文科17】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200＝300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为0.2，同时购买甲和丙的概率为0.6，同时购买甲和丁的概率为0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．12．【2014年北京文科18】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1 [0，2） 62 [2，4）83 [4，6）174 [6，8）225 [8，10）256 [10，12）127 [12，14） 68 [14，16） 29 [16，18） 2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12＝90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a＝0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b＝0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02＝7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．13．【2013年北京文科16】如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P；（Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．14．【2012年北京文科17】近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a ＞0，a+b+c＝600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2[]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c＝600，∴a，b，c的平均数为200∴，∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．15．【2011年北京文科16】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X＝8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差，其中的平均数）（2）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．【解答】解：（1）当X＝8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9，10，∴平均数是，方差是．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，包括：（9，10），（11，8），（11，8），（9，10）共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：随机抽样，用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率，古典概型，几何概型等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点用样本估计总体，变量间的相关关系，独立性检验，随机事件的概率等为重点较佳.最新高考模拟试题1．如图是1990年-2017年我国劳动年龄（15-64岁）人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是（）A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%【答案】B 【解析】解：A 选项，2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万，是图中最大的，2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为3%，也是最多的．故A 对．B 选项，2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加，故B 错．C 选项，从图上看，2013年的长方形是最高的，即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值，C 对，D 选项，我国劳动年龄人口占总人口比重最大为11年，约为74%，最小为92年，约为67%，故极差超过6%．D 对． 故选：B ．2．一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ） A ．3 B ．2.1 C ．0.3D ．0.21【答案】B 【解析】∵290(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=∴()901100.50.20.3P x <<=-=， ∴()10,0.3X B ～，X 的方差为()100.310.3 2.1⨯⨯-=．故选B ．3．小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A ．5500B ．6000C ．6500D ．7000【答案】A 【解析】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750⨯=元 则目前的月就医费为：750200550-=元∴目前的月工资为：55010%5500÷=元本题正确选项：A4．若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取的两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A ．320B ．310C ．925D ．35【答案】B 【解析】从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取的两个不同元素共有2520A = 种要使得函数()5ab f x x x =+是奇函数，必须,a b 都为奇数共有236A = 种则函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为632010P == 故选B5．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表： 产量x （万件）14 16182022单位成本y （元/件） 1210 7a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6【答案】B 【解析】1416182022901855x ++++===1210733255a a y +++++==()x y Q ， 在线性回归方程ˆ 1.1528.1y x =-+上 1.151828.1=7.4y \=-?则32=7.45a+解得5a = 故选B6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900【答案】A 【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A7．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．23【答案】B 【解析】设A 为“恰好抽到2幅不同种类”某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数2615n C ==，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数21132212m C C C ==，则恰好抽到2幅不同种类的概率为()124155m P A n ===． 故选：B ．8．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C 【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为:W 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===. 选C .9．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】25【解析】设4个白球编号为：1,2,3,4；1个黑球为：A从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A、23、24、2A、34、3A、4A，共10种所取的两个球不同色的有：1A、2A、3A、4A，共4种∴所求概率为：42105 P==本题正确结果：2 510．已知某中学高三理科班学生共有800人参加了数学与物理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001,002，003,…,800进行编号。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)-人教版高三全册数
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年文科20解答题2018 导数综合问题2018年文科19解答题2017 导数综合问题2017年文科20解答题2016 导数综合问题2016年文科20解答题2015 导数综合问题2015年文科19解答题2014 导数综合问题2014年文科20解答题2012 导数综合问题2012年文科18解答题2011 导数综合问题2011年文科18解答题2010 导数综合问题2010年文科18历年高考真题汇编1．【2019年文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的X围是（1，+∞）．3．【2017年文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值X围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值X围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值X围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值X围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值X围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k ≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值X围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b ＝9﹣5a ，c ＝4a ． 又△＝（2b ）2﹣4ac ＝9（a ﹣1）（a ﹣9）解得a ∈[1，9]即a 的取值X 围[1，9] 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值X 围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值X 围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：，，） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2【答案】D 【解析】，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值X 围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D 【解析】 令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A 【解析】 设， 因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由， ，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值X 围为_________． 【答案】1a 【解析】关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值X 围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】 作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得，即1a >，不妨设12x x <，则，令，则，，令，则，∴当18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值X 围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，，所以，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=， 若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<；若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2a t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+对恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒，即实数a 的取值X 围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值X 围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+-()f x极大值设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦ ②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值X 围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，某某数a 的取值X 围：（2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则，∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值X 围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故． ∴当0x >时，．。
北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题精华汇编专题01集合与常用逻辑(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题01集合与常用逻辑真题汇总1．【2022年北京卷01】已知全集U={x|−3<x<3}，集合A ={x|−2<x≤1}，则∁U A=（）A．(−2,1]B．(−3,−2)∪[1,3)C．[−2,1)D．(−3,−2]∪(1,3)【答案】D【解析】由补集定义可知：∁U A={x|−3<x≤−2或1<x<3}，即∁U A=(−3,−2]∪(1,3)，故选：D．2．【2021年北京1】已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．(−1,2)B．(−1,2]C．[0,1)D．[0,1]【答案】B由题意可得：A∪B={x|−1<x≤2}，即A∪B=(−1,2].故选：B.3．【2020年北京卷01】已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=（）．A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1,2}D．{1,2}【答案】D【解析】A∩B={−1,0,1,2}∩(0,3)={1,2}，故选：D.4．【2018年北京理科01】已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【答案】解：A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝{0，1}，故选：A．5．【2018年北京理科08】设集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈AB．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉AD．当且仅当a≤32时，（2，1）∉A【答案】解：当a＝﹣1时，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y ＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A不正确；当a＝4，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；当a＝1，集合A＝{（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}＝{（x，y）|x﹣y≥1，x+y＞4，x﹣y≤2}，显然（2，1）∉A，所以当且仅当a＜0错误，所以C不正确；故选：D．6．【2017年北京理科01】若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【答案】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．7．【2016年北京理科01】已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【答案】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．8．【2016年北京理科08】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y＝a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j＝x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l＝y；黑球总数a＝y+i+j，又x+y＝a，故x＝i+j由于x＝k+j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选：B．9．【2014年北京理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【答案】解：∵A＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}故选：C．10．【2014年北京理科08】学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．11．【2013年北京理科01】已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【答案】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．12．【2018年北京理科20】设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M （α，β）=12[（x 1+y 1﹣|x 1﹣y 1|）+（x 2+y 2﹣|x 2﹣y 2|）+…（x n +y n ﹣|x n ﹣y n |）]（Ⅰ）当n ＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M （α，α）和M （α，β）的值；（Ⅱ）当n ＝4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M （α，β）是奇数；当α，β不同时，M （α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）＝0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】解：（I ） M （α，α）＝1+1+0＝2，M （α，β）＝0+1+0＝1．（II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B ＝{（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意， 假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）＝1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Ⅲ） B ＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1， 假设存在B 有多于n +1个元素，由于α＝（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）＝0， 所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i ＝y i ＝l ，此时M （α，β）≥1不满足题意，故B 中最多有n +1个元素．1．已知集合A ={1,2,3}，B ={x|x (2−x )≥0}，则A ∩B =（ ） A ．{1,2}B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}模拟好题【答案】A【解析】因为A={1,2,3}B={x|x(2−x)≥0}={x|x(x−2)≤0}={x|0≤x≤2}所以A∩B={1,2}，故选：A.2．已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2≥1}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{−2,−1,1,2}C．{x|−1≤x≤1}D．{x|x≤−1或x≥1}【答案】B【解析】因集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2≥1}={x|x≤−1或x≥1}，所以A∩B={−2,−1,1,2}.故选：B3．已知集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1}，则A∪B=（）A．{x|x>0}B．{x|1≤x<2}C．{x|x≥1}D．{x|0<x<2}【答案】A【解析】∵A={x|0<x<2},B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x>0}.故选：A.4．已知集合A={x|x<0或x>1}，则∁R A=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x<1}C．{x|0<x≤1}D．{x|0≤x≤1}【答案】D【解析】由题意知：∁R A={x|0≤x≤1}.故选：D.5．已知集合A={x|−2<x<2}，B={−2,0,1,2}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−2,0,1,2}D．{−1,0,1,2}【答案】B【解析】因为A ={x |−2<x <2 }，B ={−2,0,1,2}， 所以A ∩B ={0,1}， 故选：B.6．已知集合A ={x ∣−1<x <2},B ={x ∣0≤x ≤3}，则A ∩B =（ ） A ．{x ∣−1<x ≤3} B ．{x ∣0≤x <2} C ．{x ∣0≤x ≤3} D ．{x ∣−1<x <2}【答案】B 【解析】依题意可知{−1<x <20≤x ≤3，解得0≤x <2，所以A ∩B ={x ∣0≤x <2}， 故选：B .7．已知集合M ={x |lg (x −1)≤0 }，N ={x||x |<2 }.则M ∪N =（ ） A ．∅ B ．(1,2) C ．(−2,2] D ．{−1,0,1,2}【答案】C 【解析】根据题意，lg(x −1)≤0⇒0<x −1≤1⇒1<x ≤2， 则集合M ={x|lg(x −1)≤0}={x|1<x ≤2}，|x|<2⇒−2<x <2，则N ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， 则M ∪N ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]； 故选：C8．设集合A ={x |y =lg (3−2x )}，集合B ={y |y =√1−x}，则A ∩B =（ ） A ．(−∞,1] B ．(−∞,32) C ．[0,32) D ．(32,+∞)【答案】C【解析】y =lg (3−2x )，3−2x >0⇒x <32，函数的定义域是(−∞,32)，所以A =(−∞,32)，y =√1−x ≥0，所以B =[0,+∞)，所以A ∩B =[0,32). 故选：C9．已知集合A ={x |0<x <2}，B ={x |x 2−1≤0}，那么A ∪B =（ ） A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |−1≤x <2}C ．{x |−1≤x <0}D ．{x |1≤x <2}【答案】B 【解析】∵集合A ={x |0<x <2}，B ={x |x 2−1≤0}={x |−1≤x ≤1}， ∴A ∪B ={x |−1≤x <2}． 故选：B ．10．若全集U =R ，A ={x ∣x <1},B ={x ∣x >−1},则（ ） A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．B ⊆∁U AD ．∁U A ⊆B【答案】D 【解析】因为A ={x ∣x <1},B ={x ∣x >−1}, 所以∁U A ={x ∣x ≥1}，所以∁U A ⊆B 故选：D11．已知集合A ={x ∈N|−1≤x <3}，U ={−2,−1,0,1,2}，则∁U A 为（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{−2,−1,0} D ．{−2,−1}【答案】D 【解析】由集合A ={x ∈N|−1≤x <3}，即A ={0,1,2}，U ={−2,−1,0,1,2} 所以∁U A ={−2,−1} 故选：D12．在△ABC 中，A =π4，则“sinB <√22”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】如果sinB <√22，由于B 是三角形的内角，并且A =π4, 则0<B <π4，A +B <π2 ，△ABC 是钝角三角形， 所以sinB <√22是充分条件；如果△ABC是钝角三角形，不妨设B=2π3，则sinB=√32>√22，所以sinB<√22不是必要条件；故选：A.13．设全集U={x∈R|x≥1}，集合A={x∈R+|x2≥3}，则∁U A=（）A．[1,√3)B．[1,√3]C．(√3,+∞)D．[√3,+∞)【答案】A【解析】由题意，集合A={x|x≥√3}又由U={x∈R|x≥1}，所以∁U A={x|1≤x<√3}=[1,√3).故选：A.14．已知集合A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}，B={x|x2<9}，则A∩B=（）A．{0,1,2,3,4}B．{−3,−2,−1,0,1,2,3}C．{−2,−1,0,1,2}D．(−3,3)【答案】C【解析】由题意，集合B={x|x2<9}={x|−3<x<3}，又由集合A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}，所以A∩B={−2,−1,0,1,2}.故选：C.15．已知集合A={x∈N|x2−2x−3≤0}，B={x|x<2}，则A∩B=（）A．{x|−1≤x<2}B．{−1,0,1}C．{0,1}D．{1}【答案】C【解析】解不等式x2−2x−3≤0得：−1≤x≤3，因此A={0,1,2,3}，而B={x|x<2}，所以A∩B={0,1}.故选：C16．设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是R上的增函数”是“任意a>0，y=f(x+a)−f(x)无零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若f (x )是R 上的增函数，则对任意a >0，显然x +a >x ，故f (x +a )>f (x )，即y =f (x +a )−f (x )>0无零点，满足充分性；反之，若对任意a >0，f (x +a )<f (x )，即f (x +a )−f (x )<0，满足y =f (x +a )−f (x )无零点，但f (x )是R 上的减函数，不满足必要性，故“f (x )是R 上的增函数”是“任意a >0，y =f (x +a )−f (x )无零点”的充分而不必要条件. 故选：A.17．已知函数f (x )的定义域为R ，则“存在M ∈R ，对任意x ∈R ，均有f (x )≤M ”是“f (x )有最大值”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】只有当∃M ∈R ，∀x ∈R ，f(x)≤M 且∃x 0∈R ，使得f(x 0)=M ，这时f(x)有最大值， 反之，若f (x )有最大值，则存在M ∈R ，对任意x ∈R ，均有f (x )≤M 成立.所以函数f (x )的定义域为R ，则“存在M ∈R ，对任意x ∈R ，均有f (x )≤M ”是“f (x )有最大值”的必要不充分条件. 故选：B18．已知无穷数列{an }满足an +1＝an +t （t 为常数），Sn 为{an }的前n 项和，则“t ≥0”是“{an }和{Sn }都有最小项”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】∵an +1＝an +t ，∴数列{an }为等差数列，且公差为t ，①当t ≥0时，若t ＝0，a 1＝﹣2时，数列{an }为常数列，且an ＝﹣2， ∴Sn ＝﹣2n 为减函数，无最小项，∴充分性不成立， ②当{an }和{Sn }都有最小项， ∵an ＝a 1+(n ﹣1)t ＝tn +(a 1﹣t )， Sn ＝na 1+n (n−1)2t =t 2n 2+(a 1−t2)n ，则{t =0a 1≥0 或t ＞0，∴t ≥0，∴必要性成立， ∴t ≥0是{an }和{Sn }都有最小项的必要不充分条件， 故选：B ．19．已知集合A ={x|x 2≤4}，B ={x|log 2x ≥1}，则A ∪B =（ ） A ．[−2,2] B ．{2} C ．[2， +∞) D ．[−2， +∞)【答案】D 【解析】A ={x|x 2≤4}={x|−2≤x ≤2}，B ={x|log 2x ≥1}={x|x ≥2} 则A ∪B ={x|−2≤x ≤2}∪{x|x ≥2}={x|x ≥−2} 故选：D20．已知数列{a n }的通项为a n =n 2−2λn ，则“λ<0”是“∀n ∈N ∗，a n+1>a n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题意，数列{a n }的通项为a n =n 2−2λn ，则a n+1−a n =(n +1)2−2λ(n +1)−n 2+2λn =2n +1−2λ>0， 即λ<2n+12=n +12，对∀n ∈N ∗恒成立，当n =1时，n +12取得最小值32，所以λ<32，所以“λ<0”是“∀n ∈N ∗，a n+1>a n ”的充分不必要条件. 故选：A.。
(北京卷)十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)
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专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表单选题2011对数函数2011年北京文科03单选题2010函数的单调性2010年北京文科06填空题2017函数的值域2017年北京文科11填空题2016函数的值域2016年北京文科10填空题2016函数模型2016年北京文科14填空题2015对数函数2015年北京文科10填空题2014函数模型2014年北京文科14填空题2013分段函数2013年北京文科13填空题2012对数函数2012年北京文科12填空题2012指数函数2012年北京文科14填空题2011分段函数2011年北京文科13填空题2011函数模型2011年北京文科14填空题2010分段函数2010年北京文科09填空题2010函数模型2010年北京文科14历年高考真题汇编1．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解:在(0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞)上都是减函数．故选：A．2．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选:D．3．【2017年北京文科05】已知函数f(x）＝3x﹣（)x,则f(x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣(）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x)，即函数f(x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数,故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选:B．4．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是( )（参考数据：lg3≈0。
精品解析：2024年北京高考数学真题(原卷版)(合并)
绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A.{}11x x -≤< B.{}3x x >-C.{}|34x x -<< D.{}4x x <2.已知1i iz=--，则z =（）．A.1i --B.1i -+C.1i- D.1i+3.圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A. B.2 C.3 D.4.在(4x -的展开式中，3x 的系数为（）A .6B.6- C.12D.12-5.设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A.2132N N =B.2123N N =C.2321N N = D.3221N N =8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A.12122log 22y y x x ++< B.12122log 22y y x x ++>C.12212log 2y y x x +<+ D.12212log 2y y x x +>+10.已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S < D.d =，1S >第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线216y x =的焦点坐标为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为________．13.若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为________．14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为______mm ，升量器的高为________mm ．15.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20.设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线．（1）当1k =-时，求()f x 的单调区间.（2）求证：l 不经过点()0,0.（3）当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABOS 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21.已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．绝密★本科目考试启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A.{}11x x -≤< B.{}3x x >-C.{}|34x x -<< D.{}4x x <【答案】C 【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2.已知1i iz=--，则z =（）．A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.3.圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A.B.2C.3D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+==故选：D.4.在(4x -的展开式中，3x 的系数为（）A.6B.6- C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T xxr --+==-=，令432r-=，解得2r =，故所求即为()224C 16-=.故选：A.5.设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b =，即()()0a b a b +⋅-= ，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.6.设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A .1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.7.生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A.2132N N =B.2123N N =C.2321N N = D.3221N N =【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N --==，消去S 即可求解.【详解】由题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N --==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =.故选：D.8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9.已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A.12122log 22y y x x ++< B.12122log 22y y x x ++>C.12212log 2y y x x +<+ D.12212log 2y y x x +>+【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误；对于选项C ：例如121,x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误，故选：B.10.已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（）A.3d =，1S <B.3d =，1S >C.d =，1S <D.d =，1S >【答案】C 【解析】【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定[]1,2x ∈，则()210xx x x -=-≥，且[]0,1t ∈，可知()222x x t x x x x x x ≤+-≤+-=，即2x y x ≤≤，再结合x 的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩，如图阴影部分所示，其中()()()1,1,2,2,2,4A B C，可知任意两点间距离最大值d AC ==；阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯△.故选：C.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线216y x =的焦点坐标为________．【答案】()4,0【解析】【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.12.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.13.若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为________．【答案】12（或12-，答案不唯一）【解析】【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12（或12-，答案不唯一）.14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为______mm ，升量器的高为________mm ．【答案】①.23②.57.5##1152【解析】【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.【详解】设升量器的高为1h ，斗量器的高为2h （单位都是mm ），则2222212325325ππ230221065325ππ22h h h ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故223mm h =，1115mm 2h =.故答案为：11523mm,mm 2.15.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确.对于②，取()112,2,n n n n a b --==--则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b --===--，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1nn b AqAq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,ny A q y kn b ==+单调性相反，方程nA q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为nA q kn b -=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q ->即ln 0Ak q <否则ln 0Ak q >，因,ny A q y kn b =-=+单调性相反，方程nA q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的整数解，即M 中最多有3个元素，故③正确.对于④，因为{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos 7B b B =．（1）求A ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A =；（2）选择①无解；选择②和③△ABC 面积均为1534.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出33sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得32sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则32sin 7B b =，则7sin sin sin 37b a BA A ===，解得3sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.【小问2详解】选择①7b =，则sin 714142B b ==⨯=，因为2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则33sin 14B ==，则代入32sin 7B b =得3332147b ⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭13121421414⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭,则11sin 7322144ABC S ab C ==⨯⨯⨯=.选择③sin c A =2c ⨯=，解得5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin 32C =，解得53sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯=△17.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3030【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由0m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故cos ,30m n ==-，故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为303018.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）110（2）(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i ）中()E X 估计值【解析】【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求ξ的分布列及数学期望，从而可求()E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求()E Y ，从而即可比较大小得解.【小问1详解】设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得()603010180010060301010P A ++==++++.【小问2详解】（ⅰ）设ξ为赔付金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======，603( 1.6)100050P ξ===，303( 2.4)1000100P ξ===，101(3)1000100P ξ===，故()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=，故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元），从而()()E X E Y <.19.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】（1）221,422x y e +==（2）2t =【解析】【分析】（1）由题意得b c ==，进一步得a ，由此即可得解；（2）设(:,0,AB y kx t k t =+≠>，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++，而()121112:y y AD y x x y x x -=-++，令0x =，即可得解.【小问1详解】由题意b c ===，从而2a ==，所以椭圆方程为22142x y +=，离心率为2e =；【小问2详解】直线AB 斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，从而设(:,0,AB y kx t k t =+≠>，()()1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得()222124240k x ktx t +++-=，由题意()()()222222Δ1682128420k t k t k t=-+-=+->，即,k t 应满足22420kt +->，所以2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设()22,D x y -，所以()121112:y y AD y x x y x x -=-++，在直线AD 方程中令0x =，得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt t-++++++====+==+++-，所以2t =，此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩，即k 应满足22k <-或22k >，综上所述，2t =满足题意，此时22k <-或22k >.20.设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线．（1）当1k =-时，求()f x 的单调区间.（2）求证：l 不经过点()0,0.（3）当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABOS 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）【答案】（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）直接代入1k =-，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1tF t t t=+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S = 得到13ln(1)21501tt t t+--=+，再设新函数15()13ln(1)2(0)1th t t t t t=+-->+研究其零点即可.【小问1详解】1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x'=-+=-=>-++，当()1,0x ∈-时，′<0；当∈0,+∞，′>0；()f x ∴在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】()11k f x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即ln(1)1k t k t t tt ++=++，则ln(1)1t t t +=+，ln(1)01tt t +-=+，令()ln(1)1tF t t t=+-+，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t +-'=-=>+++，()F t ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0F t F >=，()F t ∴在(0,)+∞无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).【小问3详解】1k =时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x+'=++=+=>++.1()2ACO S tf t = ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q ≠.所以0q >，则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭，令0x =，则ln(1)1t y q y t t ===+-+.215ACO ABO S S = ，则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，13ln(1)21501t t t t ∴+--=+，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t=+-->+，∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()()()()()()()()2222221313221152141315294211111t t t t t t t h t t t t t t +-++--+--+-=--=++'==+++，当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；当1,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '>，此时()h t 单调递增；当()4,t ∞∈+时，()0h t '<，此时()h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h ⎛⎫==-⨯-=> ⎪⎝⎭，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h ⨯=--=--<⨯--=-<，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.21.已知集合()}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．（1）给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；（2）是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；（3）若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】（1）():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω（2）不存在符合条件的Ω，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接按照()ΩA 的定义写出()ΩA 即可；（2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验即可；（3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列，结合定义分析证明即可.【小问1详解】因为数列:1,3,2,4,6,3,1,9A ，由序列()11,3,5,7T 可得()1:2,3,3,4,7,3,2,9T A ；由序列()22,4,6,8T 可得()21:2,4,3,5,7,4,2,10T T A ；由序列()31,3,5,7T 可得(321:3,4,4,5,8,4,3,10T T T A ；所以()Ω:3,4,4,5,8,4,3,10A .【小问2详解】解法一：假设存在符合条件的Ω，可知()ΩA 的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a sa a a a s⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，假设存在符合条件的Ω，且()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅，因为2642824484+++++++=，即序列Ω共有8项，由题意可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验可知：当2,3n =时，上式不成立，即假设不成立，所以不存在符合条件的Ω.【小问3详解】解法一：我们设序列()21...s T T T A 为{}(),18s n a n ≤≤，特别规定()0,18nn aa n =≤≤.必要性：若存在序列12:,,s T T T Ω ，使得()ΩA 的各项都相等.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+.根据()21...s T T T A 的定义，显然有,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =.所以不断使用该式就得到12345678,1,2s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=+-，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()ΩA 中，使得,1,2,3,4,5,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+--最小的一个.上面已经说明,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,812s s s s s s s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=++.同时，由于t t t t i j k w +++总是偶数，所以,1,3,5,7t t t t a a a a +++和,2,4,6,8t t t t a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2-1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+--的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤.假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j k w 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j k w ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),Ωs na A =是常数列，充分性得证.解法二：由题意可知：Ω中序列的顺序不影响()ΩA 的结果，且()()()()12345678,,,,,,,a a a a a a a a 相对于序列也是无序的，（ⅰ）若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，不妨设1357a a a a ≤≤≤，则2468a a a a ≥≥≥，①当1357a a a a ===，则8642a a a a ===，分别执行1a 个序列()2,4,6,8、2a 个序列()1,3,5,7，可得1212121212121212,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，为常数列，符合题意；②当1357,,,a a a a 中有且仅有三个数相等，不妨设135a a a ==，则246a a a ==，即12121278,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行2a 个序列()1,3,5,7、7a 个序列()2,4,6,8可得122712212272778,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即1227122712272712,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为1357a a a a +++为偶数，即173a a +为偶数，可知17,a a 的奇偶性相同，则*712a a -∈N ，分别执行712a a -个序列()1,3,5,7，()1,3,6,8，()2,3,5,8，()1,4,5,8，可得72172172172172172172173232323232323232,,,,,,,22222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+-+-+-+-+-+-+-+，为常数列，符合题意；③若1357a a a a =<=，则2468a a a a =>=，即12125656,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行5a 个()1,3,6,8、1a 个()2,4,5,7，可得1512151215561556,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为1256a a a a +=+，可得1512151215121512,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即转为①，可知符合题意；④当1357,,,a a a a 中有且仅有两个数相等，不妨设13a a =，则24a a =，即12125678,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行1a 个()2,4,5,7、5a 个()1,3,6,8，可得1512151215561758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1256a a a a +=+，可得1512151215121758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为13571572a a a a a a a +++=++为偶数，可知57,a a 的奇偶性相同，则()()()()1515151715743a a a a a a a a a a a +++++++=++为偶数，且15151517a a a a a a a a +=+=+<+，即转为②，可知符合题意；⑤若1357a a a a <<<，则2468a a a a >>>，即12345678,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行1a 个()2,3,5,8、3a 个()1,4,6,7，可得1312133415363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1234a a a a +=+，可得1312131215363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为1357a a a a +++为偶数，则()()()()()()131315371313572a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++++为偶数，且13131537a a a a a a a a +=+<+<+，即转为④，可知符合题意；综上所述：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，则存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列；（ⅱ）若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列，因为对任意()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅，均有()()()()12123434b b a a b b a a +-+=+-+()()()()56567878b b a a b b a a =+-+=+-+成立，若()ΩA 为常数列，则12345678b b b b b b b b +=+=+=+，所以12345678a a a a a a a a +=+=+=+；综上所述：“存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解3函数部分
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解——3函数部分一、选择题（共41小题；共205分）1. 若集合M=y y=2x，P= y y=x−1，则M∩P= A. y y>1B. y y≥1C. y y>0D. y y≥02. 下列函数中为偶函数的是 A. y=x2sin xB. y=x2cos xC. y=ln xD. y=2−x3. 设集合A=x x2−1>0，B=x log2x>0，则A∩B等于 A. x x>1B. x x>0C. x x<−1D. x x<−1或x>14. 给定函数：①y=x 12，②y=log1x+1，③y= x−1，④y=2x+1，其中在区间0,1上单调递减的函数序号是 A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 函数f x=x和g x=x2−x的递增区间依次是 A. −∞,0，−∞,1B. −∞,0，1,+∞C. 0,+∞，−∞,1D. 0,+∞，1,+∞6. 已知x∈R，y∈R，且x>y>0，则 A. 1x −1y>0 B. sin x−sin y>0C. 12x−12y<0 D. ln x+ln y>07. 下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A. y=1xB. y=e−xC. y=−x2+1D. y=lg x8. 函数y=−1−x x≤1的反函数是 A. y=x2−1−1≤x≤0B. y=x2−10≤x≤1C. y=1−x2x≤0D. y=1−x20≤x≤19. 若f x=x−1x，则方程f4x=x的根是 A. −2B. 2C. −12D. 1210. 函数y=lg x A. 是偶函数，在区间−∞,0上单调递增B. 是偶函数，在区间−∞,0上单调递减C. 是奇函数，在区间0,+∞上单调递增D. 是奇函数，在区间0,+∞上单调递减11. 已知f x6=log2x，那么f8等于 A. 43B. 8C. 18D. 1212. 已知函数 f x =6x −log 2x ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是 A. 0,1B. 1,2C. 2,4D. 4,+∞13. 下列函数中，在区间 0,+∞ 上为增函数的是 A. y = x +1B. y = x −1 2C. y =2−xD. y =log 0.5 x +114. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 A. y =e −xB. y =x 3C. y =ln xD. y = x15. 如果 log 1x <log 1y <0，那么 A. y <x <1B. x <y <1C. 1<x <yD. 1<y <x16. 若 a =20.5,b =log π3,c =log 2sin2π5，则 A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a17. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为f x =x x <AAx ≥AA ,c 为常数 ．已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，1618. "函数 f x x ∈R 存在反函数"是"函数 f x 在 R 上为增函数"的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 函数 f x = x −1 2+1 x <1 的反函数为 A. f −1 x =1+ x −1 x >1B. f −1 x =1− x −1 x >1C. f −1 x =1+ x −1 x ≥1D. f −1 x =1− x −1 x ≥1 20. 若 a =log 3π，b =log 76，c =log 20.8，则 A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a21. 函数 f x =a x a >0 且 a ≠1 对于任意的实数 x ,y 都有 A. f xy =f x f yB. f xy =f x +f yC. f x +y =f x f yD. f x +y =f x +f y 22. 若集合 M = y y =2−x ，P = y y = x −1 ，则 M ∩P = A. y y >1B. y y ≥1C. y y >0D. y y ≥023. 设 y 1=40.9，y 2=80.44，y 3= 12−1.5，则 A. y 3>y 1>y 2B. y 2>y 1>y 3C. y 1>y 2>y 3D. y 1>y 3>y 224. 如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式 f x ≥log 2 x +1 的解集是 A. x−1<x≤0B. x−1≤x≤1C. x−1<x≤1D. x−1<x≤225. 若a，b是非零向量，且a⊥b，a≠b，则函数f x= xa+b⋅ xb−a是 A. 一次函数且是奇函数B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数26. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）A. 1033B. 1053C. 1073D. 109327. 已知函数f x=3x−13x，则f x A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数28. 已知函数f x=3x−13x，则f x A. 是偶函数，且在R上是增函数B. 是奇函数，且在R上是增函数C. 是偶函数，且在R上是减函数D. 是奇函数，且在R上是减函数29. 为了得到函数y=lg x+310的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点 A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度30. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟31. 函数f x的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f x=A. e x+1B. e x−1C. e−x+1D. e−x−132. 函数f x=x 12−12x的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 333. 已知f x=3a−1x+4a,x<1log a x,x≥1是−∞,+∞上的减函数，那么a的取值范围是 A. 0,1B. 0,13C. 17,13D. 17,134. 函数f x=11−x1−x的最大值是 A. 45B. 54C. 34D. 4335. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量升加油时的累计里程千米2015 年 5 月 1 日12350002015 年 5 月 15 日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升36. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是 A. a∈−∞,1B. a∈2,+∞C. a∈1,2D. a∈−∞,1∪2,+∞37. 若实数x,y满足x−y+1≥0,x+y≥0,x≤0,则z=3x+2y的最小值是 A. 0B. 1C. 3D. 938. 函数f x=3x0<x≤2的反函数的定义域为 A. 0,+∞B. 1,9C. 0,1D. 9,+∞39. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油40. 对于函数①f x=lg x−2+1；②f x=x−22；③f x=cos x+2，判断如下三个命题的真假：命题甲：f x+2是偶函数；命题乙：f x在−∞,2上是减函数，在2,+∞上是增函数；命题丙：f x+2−f x在−∞,+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A. ①③B. ①②C. ③D. ②41. 设不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则a的取值范围是 A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,+∞二、填空题（共26小题；共130分）42. 已知函数f x，g x分别由下表给出x123f x211x123g x321则f g1的值为；当g f x=2时，x=．43. 方程lg x2+2=lg x+lg3的解是．44. 函数f x=lg1+x2，g x=2− x， x=lg2x中，其中是偶函数．45. 已知函数f(x)=a x−4a+3的反函数的图象经过点(−1,2)，那么a的值等于．46. 若f−1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f−1(x)的值域是．47. 若f−1(x)为函数f(x)=lg(x−1)的反函数，则f−1(x)的值域是．48. 函数f x=xx−1x≥2的最大值为．49. 已知函数f x=3x,x≤1−x,x>1，若f x=2，则x=．50. 函数f x=log12x,x≥1,2x,x<1,的值域为．51. 2−3，312，log25三个数中最大的数是．52. 已知函数f x=lg x，若f ab=1，则f a2+f b2=．53. 设f x是偶函数．若曲线y=f x在点1,f1处的切线的斜率为1，则该曲线在点−1,f−1处的切线的斜率为．54. 在函数f x=ax2+bx+c中，若a,b,c成等比数列，且f0=−4，则f x有最值（填＂大＂或＂小＂），且该值为．55. 方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是．56. 已知函数f x=2x,x≥2,x−13,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．57. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为吨，2008年的垃圾量为吨．58. 已知函数f x=x2−cos x，对于 −π2,π2上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③x1>x2．其中能使f x1>f x2恒成立的条件序号是．59. 若函数f x=1x,x<0,13x,x≥0,则不等式f x≥13的解集为．60. 设函数f x=x3−3x,x≤a,−2x,x>a,①若a=0，则f x的最大值；②若f x无最大值，则实数a的取值范围是．61. 将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．62. 已知函数f x=2x,x≥2,x−1,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．63. 在函数f x=lg1+x2，g x=x+2,x<−1,0,x ≤1,−x+2,x>1,x=tan2x中，为偶函数的是．64. 对于函数f x定义域中任意的x1,x2x1≠x2，有如下结论：①f x1+x2=f x1⋅f x2；②f x1⋅x2=f x1+f x2；③f x1−f x2x1−x2>0；④f x1+x22<f x1+f x22．当f x=lg x时，上述结论中正确结论的序号是．65. 函数f x=2x−a,x<1, 4x−a x−2a,x≥1.①若a=1，则f x的最小值为；②若f x恰有2个零点，则实数a的取值范围是．66. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P x,y的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f x，则f x的最小正周期为；y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动．67. 已知f x=m x−2m x+m+3，g x=2x−2．若同时满足条件：①∀x∈R，f x<0或g x<0；②∃x∈−∞,−4,f x g x<0，则m的取值范围是．三、解答题（共17小题；共221分）68. 解不等式：log12x2−x−2>log12x−1−1．69. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?70. 设函数f x=x22−k ln x，k>0．（1）求f x的单调区间和极值；（2）证明：若f x存在零点，则f x在区间1,e上仅有一个零点．71. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x0<x<1，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价−投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内?72. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f x的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价−成本）73. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f x的表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元?（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本）74. 设函数f x=lg x，若0<a<b且f a>f b，证明：ab<1．a>b>0，求f x的单调区间，并证明f x在其单调区间上的单调性．75. 设函数f x=x+ax+b76. 解不等式：log2x2−x−2>log22x−2.77. 某地区上年度电价为0.8 元 /kw⋅h，年用电量为a kw⋅h．本年度计划将电价降到0.55 元 /kw⋅h至0.75 元 /kw⋅h之间，而用户期望电价为0.4 元 /kw⋅h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本价为0.3 元 / kw⋅h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% ?注：（收益=实际用电量×（实际电价−成本价））．78. 已知函数y=kx与y=x2+2x≥0的图象相交于不同两点A x1,y1，B x2,y2，l1,l2分别是y=x2+2x≥0的图象在A,B两点的切线，M,N分别是l1,l2与x轴的交点．（1）求k的取值范围；（2）设t为点M的横坐标，当x1<x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（3）试比较 OM 与 ON 的大小，并说明理由（O是坐标原点）．79. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费200元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?80. 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13 km，BC=10 km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处?（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处?81. 当0<a<1时，解关于x的不等式a2x−1<a x−2．82. 已知函数f x=6cos4x+5sin2x−4cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．83. 已知函数f x=2x3−3x．（1）求f x在区间−2,1上的最大值；（2）若过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切，求t的取值范围；（3）问过点A−1,2，B2,10，C0,2分别存在几条直线与曲线y=f x相切?（只需写出结论）84. 函数f x是定义在0,1上的增函数，满足f x=2f x2且f1=1，在每个区间1 2i ,12i−1i=1,2,⋯上，y=f x的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f0及f12，f14的值，并归纳出f12i=1,2,⋯的表达式；（2）设直线x=12，x=12，x轴及y=f x的图象围成的梯形的面积为a i i=1,2,⋯，记S k=limn→∞a1+a2+⋯+a n，求S k的表达式，并写出其定义域和最小值．答案第一部分1. C 【解析】y=2x的值域为y>0，y=x−1的值域为y≥0．所以M∩P=y y>0．2. B3. A4. B5. C【解析】首先作出函数f x= x 与g x=x2−x=−x2+2x=−x−12+1的图象（如图所示），利用图象分别确定其单调区间．y= x 的递增区间为0,+∞，y=x2−x的单调递增区间为−∞,1．6. C 【解析】A 取x=2，y=1排除；B 取x=2π，y=π排除；D 取x=1，y=12排除；C 由单调性可知12x<12y移项正确．7. C 8. C 9. D 【解析】f4x=4x−14x ，依题意，有4x−14x=x．解得：x=12．10. B【解析】由函数图象的变换能画出y=\lg{|x|}的图象，如下图所示：由图象可看出选B．11. D 【解析】由题可知，x>0，令x6=8，得x=816=212，所以f8=log2212=12．12. C 13. A 14. B 15. D【解析】由log12x<log12y<0=log121，根据对数函数的单调性可得x>y>1．16. A 【解析】a>1>b>0>c．17. D 【解析】f x=x 在0,A上是减函数，所以由题意可得f4=4=30,f A=A=15,解得c=60，A=16．18. B 19. B 20. A【解析】a>1>b>0>c．21. C 22. C 23. D 24. C 【解析】方法一：由图象可得f x=2x+2,−1≤x≤0−x+2,0<x≤2，所以f x≥log2x+1等价于−1≤x≤0,2x+2≥log2x+1或0<x≤2,−x+2≥log2x+1.当−1≤x≤0时，0≤2x+2≤2，则log2x+1≤0,x+1>0,所以−1<x≤0．当0<x≤2时，令y1=−x+2，y2=log2x+1，则由y1=y2，得x=1．结合函数y=−x+2−log2x+1的单调性（该函数在定义域上单调递减）知0<x≤1．综上，原不等式的解集为x−1<x≤1．方法二：令g x=log2x+1，作出g x的图象，如图．当f x=g x时，x=1，又x+1>0，所以由f x≥g x，得−1<x≤1．25. A【解析】f x= − a2+b 2⋅x，因此f x为一次函数且为奇函数．26. D 【解析】由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，所以M≈3361≈100.48361≈10173，所以MN ≈1017310=1093．27. A 【解析】f x=3x−13x=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x=−f x，即函数f x为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=13x为减函数，故函数f x=3x−13x为增函数．28. B 【解析】f x=3x−13x=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x=−f x，即函数f x为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=13x为减函数，故函数f x=3x−13x为增函数．29. C 【解析】提示：函数可化为y=lg x+310=lg x+3−1．30. B【解析】答案：B31. D 【解析】依题意，f x向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e−x，于是f x相当于y=e−x向左平移1个单位的结果，所以f x=e−x−1．32. B 【解析】可以转化为求两个函数图象的交点个数．33. C 【解析】3a−1<0 0<a<1 7a−1≥0⇔17≤a<1334. D 【解析】∵x1−x≤x+1−x22=14，∴−x1−x≥−14，1−x1−x≥34，∴0<11−x1−x≤43．当且仅当x=1−x时，函数取得最大值．35. B【解析】汽车每次加油时把油箱加满，第二次加油48升，说明这段时间总消耗油量为48升，这段时间内汽车行驶的里程为600千米，所以每100千米平均耗油量为48÷6=8升．36. D 【解析】提示：函数存在反函数的充要条件是函数是单调的．37. B 【解析】x+2y的最小值在0,0处取到，故z的最小值为1．38. B 39. D 【解析】乙车的燃油效率可以大于5，即消耗1升汽油可以行驶大于5千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．40. D【解析】对于①f x=lg x−2+1：可使命题甲、乙为真．∵f x+2−f x=lg x+1−lg x−2+1在−∞,+∞上不是增函数，∴不能使命题丙为真；对于③f x=cos x+2：∵f x+2=cos x+4不是偶函数，∴③不能使命题甲为真．（③亦不能使命题乙、丙为真）41. A 【解析】作出不等式组x+y−11≥0,3x−y+3≥0,5x−3y+9≤0所表示的平面区域D，如图阴影部分所示：要使指数函数y=a x的图象上存在区域D内的点，则有a>1，当指数函数y=a x的图象过点B2,9时，相应的a值最大，此时a=3，即a∈1,3．第二部分42. 1，143. x1=1,x2=244. f x、g x45. 246. (−1,+∞)47. (1,+∞)48. f2=2【解析】f x=xx−1=x−1+1x−1=1+1x−1，所以f x在2,+∞上是单调递减的，最大值是f2=2．49. log3250. −∞,2【解析】当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故函数的值域是−∞,2．51. log2552. 253. −1【解析】由偶函数的图象关于y轴对称知，在对称点处的切线也关于y轴对称，故所求切线的斜率为−1．54. 大，−355. x1=0,x2=156. 0,1【解析】函数f x的图象如图所示，原方程有两个不同根等价于f x的图象与直线y=k有两个不同的交点，结合图形，得0<k<1．57. a(1+b)，a(1+b)558. ②【解析】f x为偶函数，且当x∈0,π2时，y=x2与y=−cos x都是增函数，故f x在0,π2上单调递增，故在 −π2,0上单调递减．所以要使f x1>f x2，则x1>x2，故②正确．59. −3,1【解析】画出f(x)图象，根据图象与函数值为±13的点求得解集．结合图象知当−3≤x<0或0≤x≤1时，有f x≥13．60. ①2，②−∞,−1【解析】①当a=0时，函数变为f x=x3−3x,x≤0,−2x,x>0,当x≤0时，fʹx=3x2−3，在−∞,−1单增，在−1,0单减．所以x≤0时，f x的最大值是f−1=2；x>0时，f x单减，f x<0，所以若a=0，则f x的最大值为2．②函数的最大值只会在三个位置取到——极大值点、端点以及断点．fʹx=3x 2−3,x≤a,−2,x>a,因为fʹx=3x2−3，在−∞,−1单增，存在最大值为2，所以当a≥−1时，f−1=2，在−1,+∞上，f x<2．所以会有最大值为2．而题目要求不存在最大值，所以f−1=2是无法取到的，所以−∞,−1．61. 4π+4【解析】设正方形的边长为a，圆的半径为r，则4a+2πr=1，于是r=1−4a2π．面积之和S=a2+πr2=14π16+4πa2−8a+1．于是当a=14+π时，面积之和有最小值．62. 0,1【解析】方程f x=k的根就是函数y=f x与y=k图象交点的横坐标，当0<k<1时，它们有两个交点，从而方程f x=k有两个不同的实根．63. f x和g x【解析】用定义判断y=f x为偶函数；画出y=g x的图象，其图象关于y轴对称，则y=g x为偶函数；用定义判断y= x为奇函数．64. ②③【解析】对于①中的函数方程适合指数函数；对于②中的函数方程，类似对数的运算法则，f x=lg x满足它；对于③的形式，实际上是增函数的等价定义，f x=lg x满足它；对于④的形式，体现函数图像的下凸性，而f x=lg x的图像是上凸的，所以f x=lg x不满足它．65. −1， a12≤a<1 或a≥2【解析】①当a=1时，f x=2x−1,x<1,4x−1x−2,x≥1.，当x<1时，f x∈−1,1；当x≥1时，f x∈−1,+∞，所以a=1时，f x的最小值为−1．②因为2x−a=0最多有一个零点，所以f x恰有两个零点，包括：x<1时无零点，x≥1时有两个零点a,2a；x<1与x≥1时各有一个零点．前者需满足a≥1，且log2a≥1，解得a≥2；后者需满足log2a<1，a<1，且2a≥1，解得12≤a<1．综上知，a的取值范围是 a12≤a<1 或a≥2．66. 4，π+1【解析】当0≤x≤1时，x−12+y2=1；当1<x≤3时，x−22+y2=2；当3<x≤4时，x−32+y2=1．故其在一个周期内的函数y=f x的图象如图所示，所以y=f x在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为S=14×π×1×2+14×π×22+12×1×1×2=π+1.67. −4,−2【解析】满足题意的大致图象如下：对于①，当x<1时，g x<0．因为∀x∈R，f x<0或g x<0，所以f x=m x−2m x+m+3<0在x≥1时恒成立．由二次函数的性质，可知抛物线开口只能向下，且与x轴的交点都在1,0的左侧，于是m<0,−m−3<1,2m<1,解得−4<m<0．又因为∃x∈−∞,−4,f x g x<0，而此时g x=2x−2<0恒成立，所以f x=m x−2m x+m+3>0在x∈−∞,−4时有成立的可能，从而只要−4比x1、x2中的较小的根大即可．（1）当−1<m<0时，−m−3<−4不成立；（2）当m=−1时，有两个等根，不成立；（3）当−4<m<−1时，2m<−4，即m<−2成立．综上，可得①②成立时，则有−4<m<−2．第三部分68. 原不等式变形为log12x2−x−2>log122x−2．所以，原不等式⇔x2−x−2>0x−1>0x2−x−2<2x−2⇔x−2x+1>0 x−1>0x2−3x<0⇔x>20<x<3⇔2<x<3故原不等式的解集为x2<x<3．69. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f x=100−x−300050x−150−x−300050×50，整理得f x=−x250+162x−21000=−150x−40502+307050.所以，当x=4050时，f x最大，最大值为f4050=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．70. （1）由f x=x22−k ln x（k>0），得x>0且fʹx=x−kx=x2−kx．由fʹx=0，解得x=f x与fʹx在区间0,+∞上的情况如下：x0, k k k,+∞fʹx−0+f x↘k1−ln k2↗所以，f x的单调递减区间是0,，单调递增区间是+∞ ．f x在x=处取得极小值f k =k1−ln k2．（2）由（1）知，f x在区间0,+∞上的最小值为f k =k1−ln k2．因为f x存在零点，所以k1−ln k2≤0，从而k≥e．当k=e时，f x在区间1,e上单调递减，且f e=0，所以x=e是f x在区间1,e上的唯一零点．当k>e时，f x在区间1,e上单调递减，且f1=12>0，f e=e−k2<0．所以f x在区间1,e上仅有一个零点．综上可知，若f x存在零点，则f x在区间1,e上仅有一个零点．71. （1）由题意得：y= 1.2×1+0.75x−1×1+x×1000×1+0.6x0<x<1，整理得：y=−60x2+20x+2000<x<1．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y− 1.2−1×1000>0,0<x<1,即−60x2+20x>0,0<x<1.解不等式得0<x<1 .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<0.33．72. （1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60−510.02=550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（2）当0<x≤100时，P=60；当100<x<550时，P=60−0.02x−100=62−x50；当x≥550时，P=51，所以P=f x=60,0<x≤100,62−x50,100<x<550,x∈N 51,x≥550,（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=P−40x=20x,0<x≤100,22x−x250,100<x<550,x∈N 11x,x≥550,所以，当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，则利润是11000元．73. （1）当0<x≤100时，P=60；当100<x≤500时，P=60−0.02x−100=62−x50．所以P=f x=60,0<x≤100,62−x50,100<x≤500.x∈N（2）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则L=P−40x=20x,0<x≤100,22x−x2,100<x≤500.x∈N当x=450时，L=5850．因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．74. 由已知f x=lg x=lg x x≥1,−lg x0<x<1.因为0<a<b,f a>f b，所以a,b不能同时在区间1,+∞上，又由于0<a<b，故必有a∈0,1；若b∈0,1，显然有ab<1；若b∈1,+∞，由f a−f b>0，有−lg a−lg b>0，故lg ab<0，所以ab<1．75. 函数f x=x+ax+b的定义域为−∞,−b∪−b,+∞．f x在−∞,−b内是减函数，f x在−b,+∞内也是减函数．证明f x在−b,+∞内是减函数．取x1,x2∈−b,+∞，且x1<x2，那么f x1−f x2=x1+a1−x2+a2=a−b x2−x112.因为a−b>0,x2−x1>0,x1+b x2+b>0,所以f x1−f x2>0,即f x在−b,+∞内是减函数．同理可证f x在−∞,−b内是减函数．76. 原不等式⇔x2−x−2>0x−1>0x2−x−2>2x−2⇔x−2x+1>0 x−1>0x2−3x>0⇔x>2x<0或x>3⇔x>3.故原不等式的解集是x x>3．77. （1）设下调后的电价为x元/kw⋅h，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=kx−0.4+a x−0.30.55≤x≤0.75.（2）依题意有0.2a x−0.4+a x−0.3≥a×0.8−0.31+20%,0.55≤x≤0.75.整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75.解此不等式组得0.60≤x≤0.75．答：当电价最低定为0.60 元 /kw⋅h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．78. （1）由方程组y=kx,y=x2+2,消y得x2−kx+2=0 ⋯⋯①依题意，该方程有两个不相等的正实根，故Δ=k2−8>0,x1+x2=k>0,解得k>22．（2）令f x=x2+2x≥0，由fʹx=2x，求得切线l1的方程为y=2x1x−x1+y1.由y1=x12+2，并令y=0，得t=x12−1x1．又x1,x2是方程①的两实根，且x1<x2，故x1=k− k2−82=4k+ k2−8k>2 2.x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是0,2．t是关于x1的增函数，定义域为0,，所以值域为−∞,0．（3）当x1<x2时，由（2）可知OM = t =−x12+1x1类似可得ON =x22−1x2,所以OM − ON =−x1+x2+x1+x212.由①可知x1x2=2,从而OM − ON =0.当x2<x1时，有相同的结果 OM − ON =0，所以OM = ON .79. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f x=100−x−300050x−200，整理得f x=18000−x x−200=−1x2+164x−32000=−1x−41002+304200.所以，当x=4100时，f x最大，最大值为f4100=304200，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元．80. （1）设P的坐标为0,y，则P到三镇距离的平方和为f y=225+y2+12−y2=3y−42+146.所以，当y=4时，函数f y取得最小值，此时点P的坐标是0,4．（2）由（1）可知，P到三镇的最远距离为g y=2,2≥ 12−y, 12−y,25+y2<12−y,由≥ 12−y,解得y≥119,记m=11924，于是g y=25+y2,y≥m,12−y,y<m.又25+y2在m,+∞上单调递增，而12−y在−∞,m上单调递减．所以y=m时，函数g y取得最小值，此时P点坐标是0,11924．81. 由0<a<1，结合指数函数性质可将原不等式可化为2x−1>x−2,这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集2x−1≥0 x−2<0 ⋯⋯①,2x−1≥0x−2≥02x−1>x−22 ⋯⋯②;解不等式组①得解集x 1≤x<2解不等式组②得解集x2≤x<5所以原不等式的解集为x 12≤x<5.82. 由cos2x≠0得2x≠kπ+π,解得x≠kπ+π,k∈Z,所以f x的定义域为 x x∈R且x≠kπ2+π4,k∈Z ．因为f x的定义域关于原点对称，且f−x=6cos4−x+5sin2−x−4=6cos4x+5sin2x−4=f x,所以f x是偶函数．当x≠kπ2+π4,k∈Z时，f x=6cos4x+5sin2x−4cos2x=2cos2x−13cos2x−1=3cos2x−1,所以f x的值域为 y−1≤y<12或12<y≤2．83. （1）由f x=2x3−3x得fʹx=6x2−3,令fʹx=0，得x=−2 或 x=2,因为f−2=−10,f −2=2,f22=− 2, f1=−1,所以f x在区间−2,1上的最大值为f −22= 2.（2）设过点P1,t的直线与曲线y=f x相切于点x0,y0，则y0=2x03−3x0,且切线斜率为k=6x02−3，所以切线方程为y−y0=6x02−3x−x0,因此t−y0=6x02−31−x0，整理得4x03−6x02+t+3=0,设g x=4x3−6x2+t+3，则"过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切"等价于g x有3个不同零点．gʹx=12x2−12x=12x x−1,g x与gʹx的情况如下：x−∞,000,111,+∞gʹx+0−0+g x↗t+3↘t+1↗所以g0=t+3是g x的极大值，g1=t+1是g x的极小值．当g0=t+3≤0，即t≤−3时，此时g x在区间−∞,1和1,+∞上分别至多有1个零点，所以g x至多有2个零点．当g1=t+1≥0，即t≥−1时，此时g x在区间−∞,0和0,+∞上分别至多有1个零点，所以g x至多有2个零点．当g0>0且g1<0，即−3<t<−1时，因为g−1=t−7<0,g2=t+11>0,所以g x分别在区间−1,0，0,1和1,2上恰有1个零点，由于g x在区间−∞,0和1,+∞上单调，所以g x分别在区间−∞,0和1,+∞上恰有1个零点．综上可知，当过点P1,t存在3条直线与曲线y=f x相切时，t的取值范围是−3,−1．（3）过点A−1,2存在3条直线与曲线y=f x相切；过点B2,10存在2条直线与曲线y=f x相切；过点C0,2存在1条直线与曲线y=f x相切．84. （1）由f0=2f0，得f0=0．由f1=2f12及f1=1，得f12=12f1=12．同理，f14=12f12=14．归纳得f12i =12ii=1,2,⋯．（2）当12i <x≤12i−1时，f x=12i−1+k x−12i−1,所以a n是首项为121−k4，公比为14的等比数列，所以S k=limn→∞a1+a2+⋯+a n=121−k41−14=231−k4.S k的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值12．。
(北京卷)十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编 专题13 算法 文(含解析)
专题13算法历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 程序框图2019年北京文科04 单选题2018 程序框图2018年北京文科03 单选题2017 程序框图2017年北京文科03 单选题2016 程序框图2016年北京文科03 单选题2015 程序框图2015年北京文科05 单选题2014 程序框图2014年北京文科04 单选题2013 程序框图2013年北京文科06 单选题2012 程序框图2012年北京文科04 单选题2011 程序框图2011年北京文科06历年高考真题汇编1．【2019年北京文科04】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，s＝1s＝2不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．2．【2018年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．【解答】解：执行循环前：k＝1，S＝1．在执行第一次循环时，S＝1．由于k＝2≤3，所以执行下一次循环．S，k＝3，直接输出S，故选：B．3．【2017年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝1，S＝2，当k＝1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝2，S，当k＝2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝3，S，当k＝3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．4．【2016年北京文科03】执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．8 B．9 C．27 D．36 【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝2，当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝9，k＝3，当k＝3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B．5．【2015年北京文科05】执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝1，s＝1，s＝s+（k﹣1）2＝1，不满足条件s＞15，k＝2，s＝s+（k﹣1）2＝2，不满足条件s＞15，k＝3，s＝s+（k﹣1）2＝6，不满足条件s＞15，k＝4，s＝s+（k﹣1）2＝15，不满足条件s＞15，k＝5，s＝s+（k﹣1）2＞15，输出k＝5．故选：C．6．【2014年北京文科04】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S＝1+2+4＝7．故选：C．7．【2013年北京文科06】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i＝0+1＝1；判断1≥2不成立，执行，i＝1+1＝2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．8．【2012年北京文科04】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：第1次判断后S＝1，k＝1，第2次判断后S＝2，k＝2，第3次判断后S＝8，k＝3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．9．【2011年北京文科06】执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：S＝1，满足条件S≤2，则P＝2，S＝1满足条件S≤2，则P＝3，S＝1满足条件S≤2，则P＝4，S＝1不满足条件S≤2，退出循环体，此时P＝4故选：C．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：算法的逻辑结构，顺序结构、条件结构、循环结构，程序框图和算法思想，求程序框图中的执行结果和确定控制条件.历年考题主要以选择题型出现，重点考查的知识点为：算法的循环结构，程序框图和算法思想.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以算法的循环结构，程序框图和算法思想为重点较佳.最新高考模拟试题1．我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入x=20，则输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】第1步：T＝2，S＝2，S＜20成立，a＝2，b=，n=2，第2步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝4，b=，n=3，第3步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝8，b=，n=4，第4步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝16，b=，n=5，第5步：T＝，S＝，S＜20不成立，退出循环，输出n=5，故选C.2．如图所示的程序框图，若x=5,则运算多少次停止( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】x=，输入5x=⨯-=<，进入循环；第一步：35213200x=⨯-=<，进入循环；第二步：313237200第三步：3372109200x =⨯-=<，进入循环；第四步：31092325200x =⨯-=>，结束循环，输出结果；共运行4次.故选C3．正整数n 除以m 后的余数为r ，记为r n MOD m =，如4195MOD =.执行如图的程序框图，则输出的数n 是( )A ．19B ．22C ．27D ．47【答案】C【解析】 依题意，n 进入内循环时为10，出内循环时被4除余数是3，即此时11n =，外循环当n 除以5余数是2时结束循环，综合两个循环，输出的n 比11大，且被4除余3，被5除余2，所以该数4352n p q =+=+，所以415,p q q N ++=∈，所以1,6,11,,51,p k k N +=+∈L ，所以当6p =时符合条件，即46327n =⨯+=，故选C.4．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】由程序框图可知：2222221231231log log log log log log 234123411n n S n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭ 若21log 31n =-+，即1118n =+，解得：7n =即当7n =时，21log 31S n ==-+此时输出：718n =+=本题正确选项：C5．为了计算11111123420192020S =-+-++-L ，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+ 【答案】B【解析】 由11111123420192020S =-+-++-L 1111111352019242020N S ⎛⎫=++++-+++=- ⎪⎝⎭L L ， 即1111352019N =++++L ，111242020S =+++L . 则每次循环，i 增加2个数，即2i i =+.故选：B ．6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，20，则输出的a =（ ）A ．14B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】 解：初始值：16a =，b 20=，第1次循环：满足a b ≠，不满足a b >，b 20164=-=，第2次循环：满足a b ≠，满足a b >，16412a =-=，第3次循环：满足a b ≠，满足a b >，1248a =-=，第4次循环：满足a b ≠，满足a b >，844a =-=，不满足a b ≠，输出4a =，故选：B ．7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】D【解析】 第1步：a ＝7-2n ＝5，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝5，n ＝2；第2步：a ＝7-2n ＝3，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝8，n ＝3；第3步：a ＝7-2n ＝1，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝9，n ＝4；第4步：a ＝7-2n ＝－1，a ＞0不成立，退出循环，输出S ＝9。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之三角函数
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“ 割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π34．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．8．【2015年北京理科12】在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC=．9．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x）的最小正周期为．10．【2012年北京理科11】在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝．11．【2011年北京理科09】在△ABC中．若b＝5，∠B=π4，tan A＝2，则sin A＝；a＝．12．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．【2019年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．14．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．15．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．16．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A+cos C的最大值．17．【2015年北京理科15】已知函数f（x）=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．【2014年北京理科18】已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．20．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√322．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√33．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π48．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√312．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π414．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x−π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为（）A．π6B．π4C．π3D．π216．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)．若关于x的方程f(x)= 1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．617．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√6319．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．3221．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠ABC =90°，已知AD =√3，BD =√6.（1）求sin∠ABD 的值；（2）若CD =2，且CD >BC ，求BC 的长.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13．(1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x . (I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3；②cosB =−23；③a =7；④b =3． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC 的面积．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3②a =13③c =15④sinC =13 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求△ABC 的面积.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tanα=1m =yx，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m2+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6B ．t =√32，s 的最小值为π6C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可） 【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，26．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，98．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ． 【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14， ∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ．【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15， 由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55，根据正弦定理得：asinA=b sinB，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17；条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74. 13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：csinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0，得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ） =√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2 =√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0， g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0 （x 0，π2） g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C 【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D 【解析】∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（） A ．π6 B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6，∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x 的方程f(x)=1在区间[0，]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32. 【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)， 所以f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx=√3sinωx −3cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3(sinωx −π3)由题设知f(π6)=0， 所以ωπ6−π3=kπ，k ∈Z . 故ω=6k +2，k ∈Z ，又0<ω<3， 所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x −π3) 所以g(x)=√3sin(x +π4−π3)=√3sin(x −π12). 因为x ∈[−π4,3π4]，所以x −π12∈[−π3,2π3]，当x −π12=−π3，即x =−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋√3asinC －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3 【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ， 即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sin A sinC =75.设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积． 【答案】（1）√63；（2）√2【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13， ∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理b sinB =csinC 得√32√23=3sinC ，∴sinC =√63．（2）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得12=a 2+9−2×3a ×(−13)， ∴a 2+2a −3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=√2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD>BC，则BC=1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．(1)求sin2B+C2+cos2A的值；(2)若a=√3，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24【解析】 (1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1=cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1=1+132+2×19−1=−19；(2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32．（1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77．【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ，所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217．因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217．②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77．因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ，即sin∠ADB =2√77．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22，因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22，所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2.（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55，。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)导数及其应用
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题04导数及其应用本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳.1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是____________．2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3−3x，x≤a −2x，x＞a．①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x2．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．5．【2019年北京理科19】已知函数f（x）=14x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．6．【2018年北京理科18】设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．9．【2015年北京理科18】已知函数f（x）＝ln1+x1−x，（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞2(x+x 33 )；（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞k(x+x 33)对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．10．【2013年北京理科18】设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．11．【2012年北京理科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x−k)2e x k．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1e，求k的取值范围．1．若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−1,+∞)C．[0,3]D．[3,+∞)2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y=a e x+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y =2x+b，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−13．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－25．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．17．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为（）A．12+ln2B．ln2C．12+2ln2D．2ln29．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)≥x a对x∈(1,+ 10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−eC．−e D．−2e2−alnx（a 11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x∈R）的切线，则a的值是______．12．已知f(x)＝e x·sinx，则f′(0)的值为___.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=.14．函数f(x)=xlnx的单调减区间是______．(x>0)的单调递减区15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x+ax间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a=____．16．对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________.17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的|AB|“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）+cosx，给出下列结论：18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y=2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________..21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x（1）求函数f(x)的单调区间；成立，求实数a的最小值.（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1e222．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x2+ax−a)，其中a∈R.e x（1）当a=0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程；（2）求证：f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x+ax.(I)当a=-1时，①求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(II)求证:当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.),，其中a 27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a≠0．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a 的取值范围．28．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】已知函数g(x)=alnx ，f(x)=x 3+x 2+bx . （1）若f(x)在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意x ∈[1,e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当b =0时，设F(x)={f(−x),x <1g(x),x ≥1，对任意给定的正实数a ，曲线y =F(x)上是否存在两点P ，Q ，使得ΔPOQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.29．【北京市人大附中2019届高三高考模拟预测】已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x ＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若函数h(x)＝f(x)+g(x)x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b ，求b 的最小值．30．已知函数f （x ）＝x 22﹣（1+2a ）x +4a+12ln （2x +1），a ＞0．（1）已知函数f （x ）在x ＝2取得极小值，求a 的值； （2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）当a ＞14时，若存在x 0∈（12，+∞）使得f （x 0）＜12﹣2a 2，求实数a 的取值范围．1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是____________．【答案】(0,+∞) 【解析】由题意得{x >0x +1≠0 ，∴x >0故答案为：(0,+∞)2．【2019年北京理科13】设函数f （x ）＝e x +ae ﹣x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a ＝ ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】解：根据题意，函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，若f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即e ﹣x +ae x ＝﹣（e x +ae ﹣x ），变形可得a ＝﹣1， 函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x若f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）的导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x ≥0在R 上恒成立， 变形可得：a ≤e 2x 恒成立，分析可得a ≤0，即a 的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．3．【2016年北京理科14】设函数f （x ）={x 3−3x ，x ≤a −2x ，x ＞a．①若a ＝0，则f （x ）的最大值为 ；②若f （x ）无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】解：①若a ＝0，则f （x ）={x 3−3x ，x ≤0−2x ，x ＞0，则f ′（x ）={3x 2−3，x ≤0−2，x ＞0，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={3x 2−3，x ≤a −2，x ＞a，令f ′（x ）＝0，则x ＝±1，若f （x ）无最大值，则{a ≤−1−2a ＞a 3−3a，或{a ＞−1−2a ＞a 3−3a −2a ＞2，解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y −13=0，（Ⅱ）32. 【解析】（Ⅰ）因为f (x )=12−x 2，所以f ′(x )=−2x ，设切点为(x 0,12−x 0)，则−2x 0=−2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y −11=−2(x −1)，即2x +y −13=0. （Ⅱ）显然t ≠0，因为y =f (x )在点(t,12−t 2)处的切线方程为：y −(12−t 2)=−2t (x −t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t，所以S (t )=12×(t 2+12)⋅t 2+122|t|，不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )=t 4+24t 2+1444t =14(t 3+24t +144t)，所以S ′(t )=14(3t 2+24−144t2)=3(t 4+8t 2−48)4t 2=3(t 2−4)(t 2+12)4t 2=3(t−2)(t+2)(t 2+12)4t 2，由S ′(t )>0，得t >2，由S ′(t )<0，得0<t <2， 所以S (t )在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增， 所以t =2时，S (t )取得极小值， 也是最小值为S (2)=16×168=32.5．【2019年北京理科19】已知函数f （x ）=14x 3﹣x 2+x ． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）的斜率为l 的切线方程；（Ⅱ）当x ∈[﹣2，4]时，求证：x ﹣6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=34x 2−2x +1，由f ′（x ）＝1得x （x −83）＝0， 得x 1=0，x 2=83．又f （0）＝0，f （83）=827， ∴y ＝x 和y −827=x −83， 即y ＝x 和y ＝x −6427；（Ⅱ）证明：欲证x ﹣6≤f （x ）≤x ， 只需证﹣6≤f （x ）﹣x ≤0，令g （x ）＝f （x ）﹣x =14x 3−x 2，x ∈[﹣2，4]，则g ′（x ）=34x 2−2x =34x(x −83)，可知g ′（x ）在[﹣2，0]为正，在（0，83）为负，在[83，4]为正， ∴g （x ）在[﹣2，0]递增，在[0，83]递减，在[83，4]递增，又g （﹣2）＝﹣6，g （0）＝0，g （83）=−6427＞−6，g （4）＝0， ∴﹣6≤g （x ）≤0， ∴x ﹣6≤f （x ）≤x ； （Ⅲ）由（Ⅱ）可得， F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）| ＝|f （x ）﹣x ﹣a | ＝|g （x ）﹣a |∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g （x ）≤0， 令t ＝g （x ），h （t ）＝|t ﹣a |，则问题转化为当t ∈[﹣6，0]时，h （t ）的最大值M （a ）的问题了，①当a ≤﹣3时，M （a ）＝h （0）＝|a |＝﹣a ， 此时﹣a ≥3，当a ＝﹣3时，M （a ）取得最小值3； ②当a ≥﹣3时，M （a ）＝h （﹣6）＝|﹣6﹣a |＝|6+a |， ∵6+a ≥3，∴M （a ）＝6+a ， 也是a ＝﹣3时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为﹣3．6．【2018年北京理科18】设函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x ． （Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若f （x ）在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x 的导数为 f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ．由题意可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 可得（a ﹣2a ﹣1+2）e ＝0，且f （1）＝3e ≠0， 解得a ＝1；（Ⅱ）f （x ）的导数为f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ＝（x ﹣2）（ax ﹣1）e x ， 若a ＝0则x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． x ＝2处f （x ）取得极大值，不符题意；若a ＞0，且a =12，则f ′（x ）=12（x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若a ＞12，则1a ＜2，f （x ）在（1a ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，1a ）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极小值；若0＜a ＜12，则1a ＞2，f （x ）在（2，1a ）递减；在（1a ，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1a ＜2，f（x）在（1a，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，1a）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（12，+∞）．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【答案】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，π2]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，π2]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，π2]递减，即有函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（π2）=eπ2cosπ2−π2=−π2．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】解：（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则{f(2)=2e a−2+2b =2e +2f′(2)=e a−2−2e a−2+b =e −1， 即a ＝2，b ＝e ； （Ⅱ）∵a ＝2，b ＝e ； ∴f （x ）＝xe 2﹣x +ex ，∴f ′（x ）＝e 2﹣x ﹣xe 2﹣x +e ＝（1﹣x ）e 2﹣x +e ＝（1﹣x +e x ﹣1）e 2﹣x ， ∵e 2﹣x ＞0， ∴1﹣x +e x﹣1与f ′（x ）同号，令g （x ）＝1﹣x +e x ﹣1， 则g ′（x ）＝﹣1+e x ﹣1，由g ′（x ）＜0，得x ＜1，此时g （x ）为减函数， 由g ′（x ）＞0，得x ＞1，此时g （x ）为增函数， 则当x ＝1时，g （x ）取得极小值也是最小值g （1）＝1， 则g （x ）≥g （1）＝1＞0，故f ′（x ）＞0，即f （x ）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间． 9．【2015年北京理科18】已知函数f （x ）＝ln 1+x1−x ， （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2(x +x 33)；（Ⅲ）设实数k 使得f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．【答案】解答：（1）因为f （x ）＝ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）所以f ′(x)=11+x +11−x，f′(0)=2 又因为f （0）＝0，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ． （2）证明：令g （x ）＝f （x ）﹣2（x +x 33），则g '（x ）＝f '（x ）﹣2（1+x 2）=2x 41−x 2，因为g '（x ）＞0（0＜x ＜1），所以g （x ）在区间（0，1）上单调递增． 所以g （x ）＞g （0）＝0，x ∈（0，1）， 即当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2（x +x 33）． （3）由（2）知，当k ≤2时，f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立．当k ＞2时，令h （x ）＝f （x ）−k(x +x 33)，则h '（x ）＝f '（x ）﹣k （1+x 2）=kx 4−(k−2)1−x 2，所以当0＜x ＜√k−2k4时，h '（x ）＜0，因此h （x ）在区间（0，√k−2k4）上单调递减．当0＜x ＜√k−2k4时，h （x ）＜h （0）＝0，即f （x ）＜k(x +x 33)．所以当k ＞2时，f （x ）＞k(x +x 33)并非对x ∈（0，1）恒成立．综上所知，k 的最大值为2．10．【2013年北京理科18】设l 为曲线C ：y =lnx x在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 【答案】解：（Ⅰ）∵y =lnx x∴y ′=1−lnx x 2∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1 ∴l 的方程为y ＝x ﹣1证明：（Ⅱ）令f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0） 曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ＞0， 则f ′（x ）＝2x ﹣1−1x =(2x+1)(x−1)x∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）＝0 ∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即lnx x ＜x ﹣1 x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnx x＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方11．【2012年北京理科18】已知函数f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），g （x ）＝x 3+bx（1）若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 【答案】解：（1）f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），则f '（x ）＝2ax ，k 1＝2a ，g （x ）＝x 3+bx ，则g ′（x ）＝3x 2+b ，k 2＝3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a ＝3+b ①又f （1）＝a +1，g （1）＝1+b ，∴a +1＝1+b ，即a ＝b ，代入①式可得：{a =3b =3．（2）由题设a 2＝4b ，设ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2，令h '（x ）＝0，解得：x 1=−a 2，x 2=−a6；∵a ＞0，∴−a 2＜−a6， x （﹣∞，−a2）−a 2 (−a 2，−a 6) −a6(−a6，+∞） h ′（x ） + ﹣+ h （x ）极大值极小值∴原函数在（﹣∞，−a 2）单调递增，在(−a 2，−a6)单调递减，在(−a 6，+∞）上单调递增①若−1≤−a2，即0＜a ≤2时，h （x ）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值； ②若−a2＜−1＜−a6，即2＜a ＜6时，最大值为ℎ(−a2)=1；③若﹣1≥−a 6时，即a ≥6时，最大值为h （−a2）＝1．综上所述：当a ∈（0，2]时，无最大值；当a ∈（2，+∞）时，最大值为ℎ(−a2)=1． 12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x −k)2e xk． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，求k 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f ′(x)=2(x −k)e xk +1k(x −k)2e xk =1k(x 2−k 2)e xk ，令f ′（x ）＝0，得x ＝±k当k ＞0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，﹣k ）﹣k （﹣k ，k ） k （k ，+∞）f ′（x ） + 0﹣ 0 + f （x ） 递增4k 2e ﹣1 递减递增所以，f （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k ），和（k ，+∞），单调递减区间是（﹣k ，k ）；当k ＜0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，k ）k （k ，﹣k ） ﹣k （﹣k ，+∞） f ′（x ） ﹣ 0 + 0﹣f （x ） 递减递增4k 2e ﹣1 递减所以，f （x ）的单调递减区间是（﹣∞，k ），和（﹣k ，+∞），单调递增区间是（k ，﹣k ）； （Ⅱ）当k ＞0时，有f （k +1）=ek+1k＞1e ，不合题意，当k ＜0时，由（I ）知f （x ）在（0，+∞）上的最大值是f （﹣k ）=4k 2e，∴任意的x ∈（0，+∞），f （x ）≤1e ，⇔f （﹣k ）=4k 2e≤1e，解得−12≤k ＜0，故对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，k 的取值范围是−12≤k ＜0．1．若函数f(x)=x 2+ax +1x 在(12,+∞)是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[−1,0]B ．[−1,+∞)C ．[0,3]D ．[3,+∞)【答案】D 【解析】由条件知f ′(x)=2x +a −1x 2≥0在(12,+∞)上恒成立，即a ≥1x 2−2x 在(12,+∞)上恒成立． ∵函数y =1x 2−2x 在(12,+∞)上为减函数， ∴y max <1(12)2−2×12=3,∴．故选D ．2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y =a e x +xlnx 在点(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−1【答案】D【解析】y′=ae x+lnx+1,k=y′|x=1=ae+1=2，∴a=e−1将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=−1，故选D．3．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)【答案】C【解析】由题意知：f(x)的极值为±√3，所以[f(x0)]2=3，因为f′(x0)=πm ⋅√3cosπx0m=0，所以πx0m =kπ+π2,k∈z，所以x0m=k+12,k∈z即|x0m|=|k+12|≥12，所以|x0|≥|m2|，即x02+[f(x0)]2≥m24+3，而已知x02+[f(x0)]2<m2，所以m2>m24+3，故3m24>3，解得m>2或m<−2，故选C.4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－2【答案】B【解析】令f′(x)=3x2−6x=0，解得x=0或x=2.f(0)=2,f(2)=−2,f(−1)=−2,f(1)=0，故函数的最大值为2，所以本小题选B.5．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]【答案】D【解析】由f′(x)=x2−4+2e x+2e−x≥x2−4+2√4e x⋅e−x=x2≥0，知f(x)在R上单调递增，且f(−x)=−13x3+4x+2e−x−2e x=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，故f(a−1)+f(2a2)≤0⇔f(a−1)≤f(−2a2)⇔a−1≤−2a2⇔2a2+a−1≤0，解得−1≤a≤12.故选D.6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．1【答案】C【解析】函数f(x)的零点满足x2−2x=−a(e x−1+e−x+1)，设g(x)=e x−1+e−x+1，则g′(x)=e x−1−e−x+1=e x−1−1e x−1=e2(x−1)−1e x−1，当g′(x)=0时，x=1；当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x=1时，函数g(x)取得最小值，为g(1)=2.设ℎ(x)=x2−2x，当x=1时，函数ℎ(x)取得最小值，为−1，若−a>0，函数ℎ(x)与函数−ag(x)没有交点；若−a<0，当−ag(1)=ℎ(1)时，函数ℎ(x)和−ag(x)有一个交点，即−a×2=−1，解得a=12.故选C.7．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由题意函数f(x)=(x 2+ax −1)e x 的零点即为函数y =x 2+ax −1的零点，令x 2+ax −1=0，则△=a 2+4>0，所以方程必有两个不等实根x 1，x 2，设x 1<x 2， 由韦达定理可得x 1x 2=−1，故①正确；f ′(x)=(2x +a)e x +(x 2+ax −1)e x =[x 2+(a +2)x +a −1]e x ，当x =−1时，f ′(x)=(1−a −2+a −1)e −1=−2e −1≠0，故−1不可能是函数f(x)的极值点，故②正确；令f ′(x)=0即x 2+(a +2)x +a −1=0，△=(a +2)2−4(a −1)=a 2+8>0， 设x 2+(a +2)x +a −1=0的两个实数根为x 3，x 4且x 3<x 4， 则当x ∈(−∞,x 3)，x ∈(x 4,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x 4)为函数极小值； 由①知，当x ∈(−∞,x 1)时，函数f(x)>0，所以当x ∈(−∞,x 3)时，f(x)>0， 又f(0)=−e x <0，所以0∈(x 3,+∞)，所以f(x 4)≤f(0)<0， 所以f(x 4)为函数的最小值，故③正确. 故选：D .8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e 2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m )=g(n)成立，则n −m 的最小值为（） A ．12+ln2B ．ln2C ．12+2ln2D ．2ln2【答案】A 【解析】设e 2m−3=14+ln n2=k(k >0)，则m =32+lnk 2，n =2ek−14，令ℎ(k)=n −m =2e k−14−lnk 2−32，所以ℎ′(k)=2e k−14−12k ，又ℎ′(k)=2e k−14−12k在(0,+∞)增函数，且ℎ′(14)=0，当k ∈(0,14)时，ℎ′(k)<0，当k ∈(14,+∞)时，ℎ′(k)>0， 所以ℎ(k)=2e k−14−lnk 2−32在(0,14)上递减，在(14,+∞)上递增．所以ℎ(k)min =ℎ(14)=12+ln2，即n −m 的最小值为12+ln2．9．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)【答案】A【解析】构造新函数g(x)=f(x)x ,g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，当x>0时g′(x)<0.所以在(0,+∞)上g(x)=f(x)x单减，又f(1)=0，即g(1)=0.所以g(x)=f(x)x>0可得0<x<1,此时f(x)>0，又f(x)为奇函数，所以f(x)>0在(−∞,0)∪(0,+∞)上的解集为：(−∞,−1)∪(0,1).故选A.10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−e2C．−e D．−2e【答案】C【解析】不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立可变形为x+1e x≥x a−alnx,即e−x−lne−x≥x a−lnx a对x∈(1,+∞)恒成立设g(x)=x−lnx则g′(x)=1−1x =x−1x当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,即g(x)=x−lnx在x∈(1,+∞)时单调递增当x∈(0,1)时,g′(x)<0,即g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减因而g(e−x)≥g(x a)在x∈(1,+∞)上恒成立即可当x∈(1,+∞)时,e−x∈(0,1e)而当a<0时(因四个选项都小于0,所以只需讨论a<0的情况)x a∈(0,1)因为g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减,若g(e−x)≥g(x a)只需e−x≤x a不等式两边同取自然底数的对数,可得−x≤alnx当x∈(1,+∞)时,0<lnx化简不等式可得−xlnx≤a只需(−xlnx)max≤a令ℎ(x)=−xlnx,x∈(1,+∞)则ℎ′(x)=1−lnx(lnx)2,令ℎ′(x)=0解得x=e当x∈(1,e)时,ℎ′(x)>0,则ℎ(x)=−xlnx在(1,e)内单调递增当x∈(e,+∞)时,ℎ′(x)<0,则ℎ(x)=−xlnx在(e,+∞)内单调递减所以ℎ(x)=−xlnx 在x=e处取得最大值,ℎ(x)max=−elne=−e故−e≤a所以实数a的最小值为−e故选:C11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x−alnx（a ∈R）的切线，则a的值是______．【答案】−1【解析】设切点的横坐标为x0，f'(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2=1⇒x0=−1a⇒−a=1x0，则有：f(x0)=x0+1x−alnx0=x0+1⇒lnx0−x0+1=0，令ℎ(x)=lnx−x+1⇒ℎ'(x)=1x−1=0⇒x=1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为ℎ(1)=0，所以x0=1⇒a=−1；故答案为−1．12．已知f(x)＝e x ·sinx ，则f ′(0)的值为___. 【答案】1 【解析】因为f ′(x)=e x (sinx +cosx)，所以f ′(0)=1.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax 3+x +1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a =. 【答案】1 【解析】f′(x)=3ax 2+1⇒f′(1)=3a +1,f(1)=a +2⇒l:y −(a +2)=(3a +1)(x −1)⇒7−(a +2) =(3a +1)(2−1)⇒a =1.14．函数f(x)=xlnx 的单调减区间是______． 【答案】(0,1e ) 【解析】函数的定义域为x >0，∵y′=lnx +1，令lnx +1<0，得0<x <1e ,∴函数y =xlnx 的单调递减区间是(0,1e )，故答案为(0,1e). 15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x +ax (x >0)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a =____． 【答案】4. 【解析】依题意可知x ＝2是函数f （x ）的极小值点， 又f′(x)=1−ax 2， 所以，f′(2)=1−a 4＝0， 解得：a ＝4,经检验成立 故答案为：416．对于函数y =f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k >0)，则称y =f(x)为k 倍值函数.若f(x)=lnx +x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________.【答案】(1,1+1e)【解析】由题意得lnx+x=kx有两个不同的解，k=lnxx +1，则k′=1−lnxx=0⇒x=e，因此当0<x<e时，k∈(−∞,1+1e )，当x>e时，k∈(1,1+1e)，从而要使lnx+x=kx有两个不同的解，需k∈(1,1+1e)17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B||AB|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则k A=y′|x=1=1，k B=y′|x=2=8，y1=1，y2=5，则|AB|=√(2−1)2+(5−1)2=√17，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√17=√17<√3，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y′=2x，则k A−k B=2x1−2x2，|AB|=√(x1−x2)2+(x12−x22)2=√(x1−x2)2[1+(x1+x2)2] =|x1−x2|√1+(x1+x2)2．∴φ(A,B)=A B12122=1212122⩽21=2，（3）正确；对于（4），由y=e x，得y′=e x，φ(A,B)=x1x2√(x1−x2)2+(e x−e x)2=x1x2√1+(e x−e x)2．t·φ(A,B)<1恒成立，即t|e x1−e x2|<√1+(e x1−e x2)2恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】①，由于x∈(0,π]，所以f′(x)=−1x2−sinx<0，所以f(x)在(0,π]上递减，所以f(x)在(0,π]上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意F(x)=f(x)−f(−x)=1x +cosx−[−1x−cos(−x)]=2x，由于F(−x)≠F(x)，所以F(x)不是偶函数，故②错误.③，令f(x)=0得cosx=−1x ，画出y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像如下图所示，由图可知y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像有两个交点，则f(x)在(0，2π)上有两个零点，故③正确.故答案为：①③19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y= 2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.【答案】①②④【解析】①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1,+∞)，符合题意；②y=|x+1|+|x+2|≥|(x+1)−(x+2)|=1，故值域为[1,+∞)，符合题意；③∵2x>0，∴2x+1>1，故值域为(1,+∞)，不合题意；④函数f(x)=x2+cosx为偶函数，且f′(x)=2x−sinx，f″(x)=2−cosx>0，故f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，故当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，则当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，又f(0)=1，故其值域为[1,+∞)，符合题意.故答案为：①②④.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________.【答案】(−e,0]【解析】∵f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)，∴f(x)+f′(x)=e−x(2x+3)，即[f(x)+f′(x)]e x=(2x+3)，即[f(x)e x]′=(2x+3)，即f(x)e x=x2+3x+c，，∵f(0)=1，∴f(0)=0+0+c=1，即c=1，即f(x)=x2+3x+ce x，则f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)=−e−x(x2+x−2)，则f(x)=x2+3x+1e x由f′(x)>0得−2<x<1，此时函数y=f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>1或x<−2，此时函数y=f(x)为减函数，即当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值f(−2)=−e2，∵f(−1)=−e，f(−3)=e3，且当x>1时，f(x)>0，由图象知，要使不等式f(x)<m的解集中恰有两个整数，则满足f(−1)<m≤0，即−e<m≤0，即实数m的取值范围是(−e,0]，故答案为：(−e,0].. 21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1成立，求实数a的最小值.e2【答案】（1）函数f(x)的单增区间为(2,+∞)，单减区间为(−∞,2)（2）a的最小值为1【解析】=0解得x=2,解：（1）由f′(x)=x−2e x则f′(x)及f(x)的情况如下：所以函数f(x)的单增区间为(2,+∞),单减区间为(−∞,2)；（2）法一：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe x>0.若a≤1,由（1）可知f(x)的最小值为f(2),f(x)的最大值为f(a),所以“对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)≥−1e2恒成立”等价于“f(2)−f(a)≥−1e2”,即−1e2−1−ae a≥−1e2,解得a≥1.所以a的最小值为1.法二：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe>0.且由（1）可知,f(x)的最小值为f(2)=−1e2, 若2∈[a,+∞),即a≤2时,令x1=2,则任取x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)=f(2)−f(x2)=−1e2−f(x2)≥−1e2,所以f(x2)≤0对x2∈[a,+∞)成立,所以必有x2≥1成立,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),即a≥1.而当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞),f(x1)≤0,f(x2)≤0,所以f(x1)−f(x2)≥f(x1)−0≥f(2)=−1e2,即a=1满足要求,而当a≥2时,求出的a的值,显然大于1,综上,a的最小值为1.22．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2． 【答案】（Ⅰ）a =1；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由f(x)=a e x ，得f ′(x)=a e x ，所以f ′(0)=a . 由g(x)=ln x ，得g ′(x)=1x ，所以g ′(1)=1. 由已知f ′(0)=g ′(1)，得a =1. 经检验，a =1符合题意．（Ⅱ）ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x −ln x ，x >0， ℎ′(x)=e x −1x ，设φ(x)=e x −1x，则φ′(x)=e x +1x 2>0，所以φ(x)在区间(0,+∞)单调递增， 又φ(1)=e −1>0，φ(12)=√e −2<0， 所以φ(x)在区间(0,+∞)存在唯一零点， 设零点为x 0，则x 0∈(12,1)，且e x 0=1x 0．当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)，ℎ′(x)>0． 所以，函数ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,+∞)递增， ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0−ln x 0，由e x 0=1x 0，得ln x 0=−x 0 所以ℎ(x 0)=1x 0+x 0≥2，由于x 0∈(12,1)，ℎ(x 0)>2 从而ℎ(x)>2，命题得证．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f （x ）＝me x ﹣x 2+3，其中m ∈R .（1）如果f （x ）同时满足下面三个条件中的两个：①f （x ）是偶函数；②m ＝1；③f （x ）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h （x ）＝xf （x ）的极值； （2）若函数f （x ）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[13e 4，6e 3) 【解析】（1）若满足条件①f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，且函数f(x)的定义域为R，∴me−x−x2+3=me x−x2+3，∴me−x=me x对x∈R恒成立，∴m=0，此时函数f(x)=−x2+3，在(0,1)单调递减，满足条件③f(x)在(0,1)单调递减；若f(x)不满足①，则m=1,f(x)=e x−x2+3，f′(x)=e x−2x,f′(12)=√e−1，所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③，∴f(x)同时满足条件：①f(x)是偶函数；③f(x)在(0,1)单调递减，此时ℎ(x)=−x3+3x，则ℎ′(x)=−3x2+3=3(1+x)(1−x)，∴当x∈(−∞,−1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴x=1时，函数ℎ(x)取到极大值，极大值为ℎ（1）=2，x=−1时，函数ℎ(x)取到极小值，极小值为ℎ(−1)=−2；（2）令f(x)=me x−x2+3=0，则有m=x2−3e x，函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点，等价于直线y=m与曲线g(x)=x2−3e在区间[−2，4]上有三个交点，g′(x)=2x·e x−(x2−3)e x(e x)2=2x−x2+3e x=−(x−3)(x+1)e x，x∈[−2，4]，令g′(x)=0，则x=3或x=−1，令g′(x)<0，则−1<x<3，令g′(x)>0，则−2⩽x<−1或3<x⩽4，∴函数g(x)在区间[−2，−1)上单调递增；在(−1,3)上单调递减，在(3，4]上单调递增，又g(−2)=e2，g(−1)=−2e，g（3）=6e3，g（4）=13e4，画出函数g(x)在[−2，4]上的大致图象，如图所示：，由图可知，当13e 4⩽m <6e 3时， 直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x在区间[−2，4]上有三个交点，即函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点， ∴m 的取值范围为：[13e 4，6e 3)．24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x 2+ax−a)e x，其中a ∈R .（1）当a =0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程； （2）求证：f(x)的极大值恒大于0. 【答案】（1）y =1e x （2）证明见解析 【解析】 （1）f′(x)=−x 2−(a−2)x+2ae x =−(x+a)(x−2)e x ，当a =0时，f′(1)=1e ，f(1)=1e ， 则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y =1e x ； （2）证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R 上单调递减， ∴函数f(x)无极值；②当a >−2时，令f′(x)>0，解得−a <x <2，令f′(x)<0，解得x <−a 或x >2， ∴函数f(x)在(−a,2)上单调递增，在(−∞,−a)，(2,+∞)上单调递减， ∴f(x)极大值=f(2)=a+4e 2>0；③当a <−2时，令f′(x)>0，解得2<x <−a ，令f′(x)<0，解得x <2或x >−a ， ∴函数f(x)在(2,−a)上单调递增，在(−∞,2)，(−a,+∞)上单调递减，∴f(x)极大值=f(−a)=−a e a>0，综上，函数f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x +ax . (I )当a =-1时，①求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 【答案】（1）切线方程y =1；f(x)min =1；（2）证明见解析 【解析】 (I)当a =−1时，①函数f(x)=e x −x ，∴f(0)=e 0=1， f ′(x)=e x −1，即f ′(0)=e 0−1=0，∴曲线y =f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y =1.②令f ′(x)=e x −1>0，得x >0，令f ′(x)=e x −1<0，得x <0， 所以f(x)在(0,+∞)上单增，在(−∞,0)单减, ∴函数f(x)的最小值为f(x)min =f(0)=1.(II)当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 等价于g(x)=e x +ax +lnx −1(x >0)有且只有一个零点. g ′(x)=e x +1x +a(x >0)，当x ∈(0,1)时，e x >1,1x >1，∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， 当x ∈[1,+∞)时，e x >e >2,1x >0， ∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， ∴g(x)在(0,+∞)上单增，又∵g(1e )=e 1e+ae −2<e 12−2<0，g(e)=e e +ae >e 2−2e >0，由零点存在性定理得g(x)有唯一零点，即曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a l n a无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax ＝x−ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a),，其中a ≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）倾斜角为0(Ⅱ)(−∞,−2)∪(0,+∞)【解析】（Ⅰ）因为f(x)=e a x(x2−a+2a)，所以f′(x)=e a x(ax2+2x−(a+2)),所以f′(1)=0所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为0。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之不等式
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题08不等式本专题考查的知识点为：不等式，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：不等式的性质，基本不等式，不等式的实际应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，会有所变化，备考方向以不等式的性质及其实际应用为重点较佳.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（ ） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．72．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．94．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．55．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ）A ．1x−1y＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞06．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．27．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−128．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ． 10．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是 ．11．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．1．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>24．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b35．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<16．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b27．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值38．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m211．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x>y，则下列各式中一定成立（）A．1x <1yB．x+1y>2C．(12)x>(12)y D．2x+2−y>212．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a、b∈R，且a>b，则（）A．1a <1bB．sina>sinb C．(13)a<(13)b D．a2>b213．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．518．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0 19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．421．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是____ _.23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x>1，则f(x)=x+1x−1的最小值是_________ _．24．已知x,y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为____________________.25．若对任意x>−1，不等式x+1x2+2x+2≤a恒成立，则a的取值范围是______.26．若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．27．【2020届北京市丰台区高三一模】若x>1，则函数f(x)=x+1x−1的最小值为______，此时x=______.28．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y>0，且x+y+1x +12y=194，则3x−716y的最小值是________.29．已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N∗，满足a m a n2=a42，则2m +1n的最小值为__________．30．已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为_____________.1．【2019年北京理科05】若x ，y 满足|x |≤1﹣y ，且y ≥﹣1，则3x +y 的最大值为（ ） A ．﹣7 B ．1C ．5D ．7【答案】解：由{|x|≤1−y y ≥−1作出可行域如图，联立{y =−1x +y −1=0，解得A （2，﹣1），令z ＝3x +y ，化为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过点A 时，z 有最大值为3×2﹣1＝5． 故选：C ．2．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】解：将x 换成﹣x 方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当x ＝0时，代入得y 2＝1，∴y ＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x ＞0时，方程变为y 2﹣xy +x 2﹣1＝0，所以△＝x 2﹣4（x 2﹣1）≥0，解得x ∈（0，2√33]， 所以x 只能取整数1，当x ＝1时，y 2﹣y ＝0，解得y ＝0或y ＝1，即曲线经过（1，0），（1，1）， 根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1）， 故曲线一共经过6个整点，故①正确． 当x ＞0时，由x 2+y 2＝1+xy得x 2+y 2﹣1＝xy ≤x 2+y 22，（当x ＝y 时取等），∴x 2+y 2≤2，∴√x 2+y 2≤√2，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12×2×1=1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误． 故选：C ．3．【2017年北京理科04】若x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x ，则x +2y 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】解：x ，y 满足{x ≤3x +y ≥2y ≤x的可行域如图：由可行域可知目标函数z ＝x +2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由{x =3x =y ，可得A （3，3），目标函数的最大值为：3+2×3＝9． 故选：D ．4．【2016年北京理科02】若x ，y 满足{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0，则2x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】解：作出不等式组{2x −y ≤0x +y ≤3x ≥0对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ， 平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{2x −y =0x +y =3，解得{x =1y =2，即A （1，2），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝1×2+2＝4． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为4． 故选：C ．5．【2016年北京理科05】已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．1x−1y ＞0 B ．sin x ﹣sin y ＞0C ．（12）x ﹣（12）y ＜0 D ．lnx +lny ＞0【答案】解：∵x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则1x＜1y，sin x 与sin y 的大小关系不确定，(12)x ＜(12)y ，即(12)x −(12)y＜0，lnx +lny 与0的大小关系不确定．故选：C ．6．【2015年北京理科02】若x ，y 满足{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0，则z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】解：作出不等式组{x −y ≤0x +y ≤1x ≥0表示的平面区域，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值＝0+2×1＝2． 故选：D ．7．【2014年北京理科06】若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0，且z ＝y ﹣x 的最小值为﹣4，则k 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【答案】解：对不等式组中的kx ﹣y +2≥0讨论，可知直线kx ﹣y +2＝0与x 轴的交点在x +y ﹣2＝0与x 轴的交点的右边，故由约束条件{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0作出可行域如图，当y ＝0，由kx ﹣y +2＝0，得x =−2k ， ∴B （−2k ，0）．由z ＝y ﹣x 得y ＝x +z ．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （−2k ，0）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小． 此时z min =0+2k=−4，解得：k =−12．故选：D ．8．【2013年北京理科08】设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0﹣2y 0＝2，求得m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，43) B ．(−∞，13)C ．(−∞，−23)D ．(−∞，−53)【答案】解：先根据约束条件{2x −y +1＞0，x +m ＜0，y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m +1，要求可行域包含直线y =12x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ） 在直线y =12x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y =12x ﹣1的下方， 故得不等式组{m ＜−2m +11−2m ＞−12m −1m ＜−12m −1，解之得：m ＜−23． 故选：C ．9．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ． 【答案】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8，由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15，则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1510．【2018年北京理科12】若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y ﹣x 的最小值是 ． 【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z ＝2y ﹣x ，则y =12x +12z ，平移y =12x +12z ，由图象知当直线y =12x +12z 经过点A 时， 直线的截距最小，此时z 最小，由{x +1=y y =2x 得{x =1y =2，即A （1，2），此时z ＝2×2﹣1＝3， 故答案为：311．【2017年北京理科13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．【答案】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣31．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（） A ．a 2>b 2 B ．ba<1C ．a −b >1D ．(12)a <(12)b【答案】D 【解析】A.取a =1，b =−2，则a 2<b 2，所以该选项错误；B.取a =−1，b =−2，则ba >1，所以该选项错误；C.取a =2，b =32，则a −b <1，所以该选项错误；D.由于指数函数y =(12)x 为R 上的减函数，∵a >b ，∴(12)a <(12)b ，所以该选项正确.故选：D.2．【2020届北京市丰台区高三一模】“x>1”是“1x<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：因为1x <1等价于x−1x>0等价于x>1或x<0，又“x>1”是“x>1或x<0”的充分而不必要条件，即“x>1”是“1x<1”的充分而不必要条件，故选：A.3．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若b>a>1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab>2B．a+b<2C．1a <1bD．ba+ab>2【答案】D【解析】因为：b>a>1对于A：当a=32,b=43,所以ab=32×43=2,故A错误；对于B：因为b>a>1,所以a+b>2,故B错误；对于C：因为b>a>1,所以0<1b <1a<1,故C错误；对于D：因为b>a>1,所以ba +ab≥2√ba⋅ab=2,又因为b>a>1,则ba ≠ab,故不取等,即ba+ab>2,故D正确；故选：D4．【北京市丰台区2018年高三年级一模】已知a<b<0，则下列不等式中恒成立的是A．1a >1bB．√−a<√−b C．2a>2b D．a3>b3【答案】A 【解析】构造函数y=1x 在(−∞,0)上是减函数，已知a<b<0,则1a>1b，故A正确;√−a>√−b,故B不正确；C构造函数y=2a是增函数，故2a<2b，故选项不正确；D.a3>b3，构造函数y=x3是增函数，故a3<b3，所以选项不正确.故答案为A.5．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】已知a<b<0，则下列不等式成立的是（）A．a2<b2B．a2<ab C．1a <1bD．ba<1【答案】D【解析】a2−b2=（a+b)(a−b)>0,∴a2>b2,所以A选项是错误的. a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab.所以B选项是错误的.1 a −1b=b−aab>0,∴1a>1b.所以C选项是错误的.b a −1=b−aa<0,∴ba<1.所以D选项是正确的.故选：D.6．【2020届陕西省汉中市高三下学期第二次模拟】若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（）A．1a >1bB．1a−b>1aC．|a|>|b|D．a2>b2【答案】B 【解析】选项A：由于a<b<0，即ab>0，b−a>0，所以1a −1b=b−aab>0，所以1a>1b，所以成立；选项B：由于a<b<0，即a−b<0，所以1a−b −1a=ba(a−b)<0，所以1a−b<1a，所以不成立；选项C：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以成立；选项D：由于a<b<0，所以−a>−b>0，所以|a|>|b|，所以a2>b2，所以成立.故选：B.7．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】在各项均为正数的等比数列{a n}中，a6=3，则a4+ a8=（）A．有最小值6B．有最大值6C．有最大值9D．有最小值3【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)∵a6=3∴a4=a6q2=3q2，a8=a6q2=3q2∴a4+a8=3q2+3q2≥2√3q2⋅3q2=6当且仅当3q2=3q2即q=1时上式等号成立本题正确选项：A8．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知a>0，b>0，a+b=1，若α=a+1a ，β=b+1b，则α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】∵a>0，b>0，a+b=1，∴α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b2)2=5，当且仅当a=b=12时取“＝”号．答案：C9．【北京市一五九中学2019-2020学年高一第一学期期中】设x∈R，则“x>12”是“2x2+x−1>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，不等式2x2+x−1>0，解得x<−1或x>12，所以“x>12”是“2x2+x−1>0”的充分而不必要条件，故选A．10．【2020届山西省高三（4月）适应性考试】已知a>0，b>0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是（）A．a m≤b m B．am2≤bm2C．am2≤bm2D．a+m2≤b+m2【答案】C【解析】由题知a >0,b >0,a ≤b ⇔a m ≤b m ,故A 是“a ≤b ”的既不充分也不必要条件; 因为m 2≥0,所以1m 2>0(m ≠0),所以a ≤b ⇔am 2≤b m 2,故B 是“a ≤b ”的充要条件; 因为m 2≥0,所以a ≤b ⇒am 2≤bm 2, 若m 2=0,则am 2≤bm 2⇒a ≤b , 故C 是“a ≤b ”的必要不充分条件;a ≤b ⇔a +m 2≤b +m 2,故D 是“a ≤b ”的充要条件. 故选:C.11．【北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）】已知x >y ，则下列各式中一定成立（） A ．1x <1y B ．x +1y >2C ．(12)x >(12)yD ．2x +2−y >2【答案】D 【解析】x ，y 的符号不确定，当x ＝2，y ＝－1时，x >y ， 对于A ，1x <1y 不成立，所以错误； 对于B 、x +1y =2−1=1>2也错；对于C ，y =(12)x 是减函数，所以，(12)x >(12)y 也错；对于D ，因为x −y >0，所以，2x +2−y ≥2√2x ·2−y =2√2x−y >2√20=2，正确， 故选D12．【2020届北京市西城区第十五中学高三模拟（一）】已知a 、b ∈R ，且a >b ，则（） A ．1a<1bB ．sina >sinbC ．(13)a <(13)bD ．a 2>b 2【答案】C 【解析】对于A 选项，取a =1，b =−1，则a >b 成立，但1a >1b ，A 选项错误；对于B 选项，取a =π，b =0，则a >b 成立，但sinπ=sin0，即sina =sinb ，B 选项错误； 对于C 选项，由于指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，若a >b ，则(13)a <(13)b ，C 选项正确；对于D选项，取a=1，b=−2，则a>b，但a2<b2，D选项错误.故选：C.13．【北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中】设a,b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】D【解析】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“a＞1b”，若“a＞1b”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“a＞1b”的既不充分也不必要条件，故选：D．14．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】“x>0，y>0”是“yx +xy≥2”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当x>0,y>0时，由均值不等式yx +xy≥2成立．但yx+xy≥2时，只需要xy>0,不能推出x>0,y>0．所以是充分而不必要条件．选A.15．【北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习】已知a,b,c∈R,给出下列条件：①a2>b2；②1a <1b；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③【答案】C【解析】由①a2>b2，得：|a|>|b|，不一定有a>b成立，不符；对于②，当a=−1,b=1时，有1a <1b，但a>b不成立，所以不符；对于③，由ac2>bc2，知c≠0，所以，有a>b成立，当a>b成立时，不一定有ac2>bc2，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.16．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】设a，b，c为非零实数，且a>c，b>c，则（）A．a+b>c B．ab>c2C．a+b2>c D．1a+1b>2c【答案】C【解析】a>c,b>c，故a+b>2c，a+b2>c，故C正确；取a=−1,b=−1,c=−2，计算知ABD错误；故选：C.17．【北京工业大学附属中学2018-2019学年度第一学期摸底】已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a +4b的最小值是( )A．72B．4C．92D．5【答案】C 【解析】由题意可得：y=1a+4b=12×(a+b)(1a+4b)=12×(5+ba+4ab)≥12×(5+2√ba×4ab)=92，当且仅当a=23,b=43时等号成立.即y=1a +4b的最小值是92.故选：C.18．【2020届北京市东城区高三一模】已知x<−1，那么在下列不等式中，不成立的是()A．x2−1>0B．x+1x<−2C．sinx−x>0D．cosx+x>0【答案】D【解析】∵x<−1，则x2−1=(x−1)(x+1)>0，x+1x +2=x2+2x+1x=(x+1)2x<0，又∵sinx、cosx∈[−1,1]，∴sinx−x>0，cosx+x<0.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.19．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【答案】A【解析】正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，∴4=a+b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4= cd≤(c+d2)2，∴c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A．20．【北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟】已知a>0，b>0，并且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为()A．16B．9C．5D．4【答案】A【解析】根据题意，a＞0，b＞0，且1a ，12，1b成等差数列，则1a +1b=2×12=1；则a+9b＝（a+9b）（1a +1b）＝10+9ba+ab≥10+2√9ba×ab=16；当且仅当9ba =ab，即a=4,b=43时取到等号，∴a+9b的最小值为16；故选A．21．【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】(−4,2)【解析】因为x +2y =(x +2y)(2x +1y )=4+4y x+xy≥4+2×2=8，要使x +2y >m 2+2m 恒成立，所以m 2+2m <8，解得−4<m <2. 故答案为：(−4,2)．22．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是_____.【答案】(√5−12,1+√52)；【解析】设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a +b >c ，即 （1）当q ⩾1时a +qa >q 2a ，等价于解二次不等式：q 2−q −1<0， 由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52，1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52且q ⩾1，即1⩽q <1+√52（2）当q <1时，a 为最大边，qa +q 2a >a 即得q 2+q −1>0， 解之得q >√5−12或q <−1+√52且q >0即q >√5−12综合（1）（2），得：q ∈(√5−12,1+√52)故答案为：(√5−12,1+√52)23．【北京市西城区2017-2018学年高二下学期期末】已知x >1，则f(x)=x +1x−1的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 ∵x >1∴x −1>0由基本不等式可得，f(x)=x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)�1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1即x −1=1时，x =2时取等号“=” 答案为3.24．已知x,y ∈R +，且满足x3+y4=1，则xy 的最大值为____________________. 【答案】3 【解析】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为1=x 3+y 4≥2√x 3.y 4=2√xy 12=√xy3，所以xy ≤3，当且仅当x 3=y 4，即x =32,y =2时取等号，所以xy 的最大值为3． 25．若对任意x >−1，不等式x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】[12,+∞) 【解析】因为x >−1，则x +1>0依题意得：设y =x+1x 2+2x+2=x+1(x+1)2+1=1(x+1)+1(x+1)所以y =(x +1)+1(x+1)≥2√(x +1)⋅1(x+1)=2 得y =1(x+1)+1x+1≤12，即y ⩽12当且仅当x +1=1x+1时，即x =0时，取得最大值为12， 又因为x+1x 2+2x+2≤a 恒成立，即y max ≤a ，得a ≥12， 故答案为：[12,+∞).26．若实数x ，y 满足xy =1，则x 2+4y 2的最小值为______． 【答案】4 【解析】若实数x,y 满足xy =1,则x 2+4y 2≥2⋅x ⋅2y =4xy =4, 当且仅当x =2y =±√2时,上式取得最小值4 故答案为：427．【2020届北京市丰台区高三一模】若x >1，则函数f(x)=x +1x−1的最小值为______，此时x =______. 【答案】32 【解析】f(x)=x −1+1x −1+1⩾2√(x −1)⋅1x −1+1=3 当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，取等号 即函数f(x)=x +1x−1的最小值为3，此时x =2 故答案为：3；228．【浙江省绍兴一中2018届高三下学期5月高考模拟】已知x,y >0，且x +y +1x +12y =194，则3x −716y的最小值是________. 【答案】−14 【解析】因为x +y +1x +12y =194，所以3x −716y =3x −716y +x +y +1x +12y −194=x +4x +y +116y −194≥92−194=−14，当且仅当x =4x ,y =116y ，即x =2,y =14时，取等号.故答案为：−1429．已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ∗，满足a m a n 2=a 42，则2m +1n 的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{a n }公比为q ，则首项a 1=q由a m a n 2=a 42得：a 1q m−1⋅(a 1q n−1)2=(a 1q 3)2 则：q m+2n =q 8∴m +2n =8∴2m +1n =18⋅(2m +1n )(m +2n)=18⋅(2+4n m +m n +2)=18⋅(4+4n m +mn) ∵m,n ∈N ∗∴4n m >0,mn>0 则4n m+m n≥2√4n m ⋅m n=4（当且仅当4n m =mn ，即2n =m 时取等号）∴(2m +1n )min =18×(4+4)=1 本题正确结果：130．已知a , b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为_____________.【答案】14 【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且：2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合均值不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3b a −3b =−6，即{a =−3b =1时等号成立.综上可得2a +18b 的最小值为14.。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题07数列文(含解析)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年北京文科04】设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．2．【2012年北京文科06】已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A 不正确；，∴，故B正确；若a1＝a3，则a1＝a1q2，∴q2＝1，∴q＝±1，∴a1＝a2或a1＝﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2＝a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选：B．3．【2013年北京文科11】若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝；前n项和S n ＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①a3+a5＝a3（1+q2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到 2即等比数列的公比q＝2，将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1 2∴数列{a n}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．4．【2012年北京文科10】已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1，S2＝a3，则a2＝，S n ＝．【解答】解：根据{a n}为等差数列，S2＝a1+a2＝a3a2；∴d＝a3﹣a2∴a2 1S n故答案为：1，5．【2011年北京文科12】在等比数列{a n}中，a1，a4＝﹣4，则公比q＝；a1+a2+…+a n＝．【解答】解：q38∴q＝﹣2；由a1，q＝﹣2，得到：等比数列的前n项和S n＝a1+a2+…+a n．故答案为：﹣2；6．【2019年北京文科16】设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），解得d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：S n＝﹣10n n2﹣11n＝（n）2，∴n＝5或n＝6时，S n取最小值﹣30．7．【2018年北京文科15】设{a n}是等差数列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．可得：2a1+3d＝5ln2，可得d＝ln2，{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝nln2，（Ⅱ）2n，∴21+22+23+…+2n2n+1﹣2．8．【2017年北京文科15】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2+a4＝10，b2b4＝a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1＝1，a2+a4＝10，可得：1+d+1+3d＝10，解得d＝2，所以{a n}的通项公式：a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5＝a1+4d＝9，等比数列{b n}满足b1＝1，b2b4＝9．可得b3＝3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2＝3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1．9．【2016年北京文科15】已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2＝3，b3＝9，可得q3，b n＝b2q n﹣2＝3•3n﹣2＝3n﹣1；即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，则d2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）n•2n＝n2．10．【2015年北京文科16】已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3＝2，所以d＝2∵a1+a2＝10，所以2a1+d＝10∴a1＝4，∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2（n＝1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，∴∴q＝2，b1＝4∴128，而128＝2n+2∴n＝63∴b6与数列{a n}中的第63项相等11．【2014年北京文科15】已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n ﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，∴3+3d＝12，解得d＝3，∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q38，∴q＝2，∴b n﹣a n＝（b1﹣a1）q n﹣1＝2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．（2）由（1）知b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为12n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．12．【2013年北京文科20】给定数列a1，a2，…，a n．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【解答】解：（Ⅰ）当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1﹣B1＝2，同理可求d2＝3，d3＝6；（Ⅱ）由a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{a n}的通项为：a n＝a1q n﹣1，且为单调递增的数列．于是当k＝1，2，…n﹣1时，d k＝A k﹣B k＝a k﹣a k+1，进而当k＝2，3，…n﹣1时， q为定值．∴d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为B i≤B i+1，d＞0，所以A i+1＝B i+1+d i+1≥B i+d i+d＞B i+d i＝A i，又因为A i+1＝max{A i，a i+1}，所以a i+1＝A i+1＞A i≥a i．从而a1，a2，…，a n﹣1为递增数列．因为A i＝a i（i＝1，2，…n﹣1），又因为B1＝A1﹣d1＝a1﹣d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n﹣1，因此a n＝B1．所以B1＝B2＝…＝B n﹣1＝a n．所以a i＝A i＝B i+d i＝a n+d i，因此对i＝1，2，…，n﹣2都有a i+1﹣a i＝d i+1﹣d i＝d，即a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．13．【2011年北京文科20】若数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|＝1（k＝1，2，…，n﹣1），则称A n为E数列，记S（A n）＝a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；（Ⅱ）若a1＝12，n＝2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2011；（Ⅲ）在a1＝4的E数列A n中，求使得S（A n）＝0成立得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，﹣1，0，﹣1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，﹣1，﹣2或0，±1，0，﹣1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列所以a k+1﹣a k＝1（k＝1，2， (1999)所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000＝12+（2000﹣1）×1＝2011充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1＝12，a2000＝2011所以a2000≤a1+1999故a k+1﹣a k＝1＞0（k＝1，2，…，1999），即A n是递增数列．综上所述，结论成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1﹣1＝3a3≥a2﹣1≥2…a8≥a7﹣1≥﹣3…所以a 1+a 2+…+a k ＞0（k ＝2，3，…，8），所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S （A n ）＝0，则必有n ≥9，又a 1＝4的E 数列A 9：4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4满足S （A 9）＝0， 所以n 的最小值是9．14．【2010年北京文科16】已知{a n }为等差数列，且a 3＝﹣6，a 6＝0． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n }满足b 1＝﹣8，b 2＝a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和公式． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差d ． 因为a 3＝﹣6，a 6＝0所以解得a 1＝﹣10，d ＝2所以a n ＝﹣10+（n ﹣1）•2＝2n ﹣12 （Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q 因为b 2＝a 1+a 2+a 3＝﹣24，b 1＝﹣8， 所以﹣8q ＝﹣24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：，故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，…．故.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由得，当2n ≥时，，整理得，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以，从而，所以，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C 【解析】 由数列各项除以2的余数， 可得{}n a 为，所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为，所以数列{}n a 的前2019项的和为，故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若，，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列6a ∴={}n b 是等差数列673b π∴=本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为nT，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】 解：数列{}n a 满足，①当2n ≥时，，②①﹣②得：12n a n n=， 故：22n a n =，数列{}n b满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：244n n λ+>+，因为在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式成立，若数列{}n a 满足，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】由，令0x =，1y =-，则0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则，即又()1f x -> ∴当0x >时，令21x x >，则21>0-x x，即()f x ∴在R 上单调递减又令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，，，，()f x 在R 上单调递减，，，本题正确选项：A 9．在数列{}n a 中，，则2019a 的值为______．【答案】1 【解析】 因为所以，...,,各式相加，可得，，所以，20191a =，故答案为1. 10．已知正项等比数列{}n a 满足，若存在两项m a ，n a ，使得，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足，，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =，存在两项m a ，n a 使得1a ，，整理，得8m n +=，∴，则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对，都有成立，72a π=，函数()f x =，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对，都有成立，可令1m =即有，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数，由，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，，∴，∴可得数列{}n y 的前13项和为．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-， 所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列， 所以，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则，，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即，整理得，解得0d =或1d =，当0d =时，；当1d =时，，于是，故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得32q =，化简得631S S +＝＝，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以＝3故答案为：315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，，又，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得．故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足，则数列的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由，得，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是，所以12n n a n +=⋅，因为，所以的前n 项和2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为，证明：{}n a 存在等比子数列.【答案】（1）①12n n a -=；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，，当2n ≥时，，所以.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以不成立.因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比.设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足，即需满足，则需满足.取k q =，则2l k pq =+.此时，.故此时成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比，所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的通项公式；（3）令，数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =；（2）；（3）.【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （2）∵①∴②②－①得：，，故。
北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)汇编10平面解析几何(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题10平面解析几何1．【2022年北京卷03】若直线2x+y−1=0是圆(x−a)2+ y2=1的一条对称轴，则a=（）A．12B．−12C．1D．−1【答案】A【解析】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0−1=0，解得a=12．故选：A．2．【2021年北京5】双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x23−y2=1C．x2−√3y23=1D．√3x23−y2=1【答案】A∵e=ca =2，则c=2a，b=√c2−a2=√3a，则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1，将点(√2,√3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2−33a2=1a2=1，解得a=1，故b=√3，因此，双曲线的方程为x2−y23=1.故选：A.3．【2021年北京9】已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A．±2B．±√2C．±√3D．±√5【答案】C由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d=|m|√k2+1，则弦长为2√4−m2k2+1，则当k=0时，弦长取得最小值为2√4−m2=2，解得m=±√3.故选：C.4．【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．真题汇总A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.5．【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.6．【2019年北京理科04】已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b【答案】解：由题意，ca=12，得c 2a 2=14，则a 2−b 2a 2=14，∴4a 2﹣4b 2＝a 2，即3a 2＝4b 2． 故选：B ．7．【2013年北京理科06】若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12x D ．y =±√22x【答案】解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ， 又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ． 故选：B ．8．【2013年北京理科07】直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A ．43B ．2C ．83D ．16√23【答案】解：抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， ∴直线l 的方程为y ＝1，由 {y =1x 2=4y，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ∫ 2−2(1−x 24)dx =（ x −112x 3）|−22=83．故选：C ．9．【2022年北京卷12】已知双曲线y 2+x 2m=1的渐近线方程为y =±√33x ，则m =__________．【答案】−3 【解析】解：对于双曲线y 2+x 2m =1，所以m <0，即双曲线的标准方程为y 2−x 2−m =1， 则a =1，b =√−m ，又双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±√33x ，所以a b=√33，即√−m=√33，解得m =−3；故答案为：−310．【2021年北京12】已知抛物线C:y 2=4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM|=6，则M 的横坐标是_______；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN =_______． 【答案】5 4√5因为抛物线的方程为y 2=4x ，故p =2且F(1,0).因为|MF|=6，x M +p2=6，解得x M =5，故y M =±2√5， 所以S △FMN =12×(5−1)×2√5=4√5， 故答案为：5，4√5.11．【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）∵P(cosθ,sinθ)与Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称， 即θ,θ+π6关于y 轴对称， θ+π6+θ=π+2kπ,k ∈Z ， 则θ=kπ+5π12,k ∈Z ，当k =0时，可取θ的一个值为5π12. 故答案为：5π12（满足θ=kπ+5π12,k ∈Z 即可）.12．【2018年北京理科14】已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ． 【答案】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c 2，√3c 2），可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1）， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m 2=2． 故答案为：√3−1；2．13．【2017年北京理科09】若双曲线x 2−y 2m =1的离心率为√3，则实数m ＝ ．【答案】解：双曲线x 2−y 2m=1（m ＞0）的离心率为√3， 可得：√1+m1=√3，解得m ＝2． 故答案为：2．14．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是 ．（2）记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是 ．【答案】解：（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1＝A 1的纵坐标+B 1的纵坐标；Q 2＝A 2的纵坐标+B 2的纵坐标， Q 3＝A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1，（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率， 故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2 故答案为：Q 1，p 215．【2016年北京理科13】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ． 【答案】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y ＝±x ， 即a ＝b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB ＝2√2，即c ＝2√2， 则a 2+b 2＝c 2＝8， 即2a 2＝8， 则a 2＝4，a ＝2，故答案为：216．【2015年北京理科10】已知双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的一条渐近线为√3x +y ＝0，则a ＝ ．【答案】解：双曲线x 2a 2−y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa，由题意可得1a =√3，解得a =√33．故答案为：√33． 17．【2014年北京理科11】设双曲线C 经过点（2，2），且与y 24−x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ． 【答案】解：与y 24−x 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 2＝m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m =224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y 24−x 2＝﹣3，即x 23−y 212=1，对应的渐近线方程为y ＝±2x ， 故答案为：x 23−y 212=1，y ＝±2x ．18．【2020年北京卷14】已知双曲线C:x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】(3,0) √3 【解析】在双曲线C 中，a =√6，b =√3，则c =√a 2+b 2=3，则双曲线C 的右焦点坐标为(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为y =±√22x ，即x ±√2y =0，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为√12+2=√3.故答案为：(3,0)；√3.19．【2022年北京卷19】已知椭圆：E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P(−2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN|=2时，求k 的值． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)k =−4 【解析】(1)解：依题意可得b =1，2c =2√3，又c 2=a 2−b 2， 所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P (−2,1)的直线为y −1=k (x +2)，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2≤2， 由{y −1=k (x +2)x 24+y 2=1，消去y 整理得(1+4k 2)x 2+(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0， 所以Δ=(16k 2+8k )2−4(1+4k 2)(16k 2+16k )>0，解得k <0， 所以x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k 1+4k 2，直线AB 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x11−y 1，直线AC 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以|MN |=|x N −x M |=|x21−y 2−x11−y 1|=|x 21−[k (x 2+2)+1]−x 11−[k (x 1+2)+1]|=|x 2−k (x 2+2)+x 1k (x 1+2)|=|(x 2+2)x 1−x 2(x 1+2)k (x 2+2)(x 1+2)|=2|x 1−x 2||k |(x 2+2)(x 1+2)=2，所以|x 1−x 2|=|k |(x 2+2)(x 1+2)，即√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|k |[x 2x 1+2(x 2+x 1)+4]即√(−16k 2+8k1+4k 2)2−4×16k 2+16k 1+4k 2=|k |[16k 2+16k 1+4k 2+2(−16k 2+8k 1+4k 2)+4]即81+4k 2√(2k 2+k )2−(1+4k 2)(k 2+k )=|k |1+4k 2[16k 2+16k −2(16k 2+8k )+4(1+4k 2)]整理得8√−k =4|k |，解得k =−4 20．【2021年北京20】已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）x 25+y 24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]． （1）因为椭圆过A(0,−2)，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a ×2b =4√5，即a =√5， 故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.21．【2020年北京卷20】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4于点P,Q．求|PB||BQ|的值．【答案】（Ⅰ）x 28+y22=1；（Ⅱ）1.【解析】(1)设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：{4a2+1b2=1a=2b，解得：{a2=8b2=2，故椭圆方程为：x 28+y22=1.(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程x 28+y22=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则：x1+x2=−32k24k2+1,x1x2=64k2−84k2+1.直线MA的方程为：y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4可得：y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得：y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显y P y Q<0，且：|PB||PQ|=|y Py Q|，注意到：y P+y Q=−(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=−(2k+1)×(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2)，而：(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2[64k2−84k2+1+3×(−32k24k2+1)+8]=2×(64k2−8)+3×(−32k2)+8(4k2+1)4k2+1=0，故y P+y Q=0,y P=−y Q.从而|PB||PQ|=|y Py Q|=1.22．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A（4x1，﹣1），B（4x2，﹣1），可得AB的中点的横坐标为2（1x1+1x2）＝2•−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），半径为|AB|2=12|4x 1−4x 2|＝2•√16k 2+164=2√1+k 2，可得圆的方程为（x ﹣2k ）2+（y +1）2＝4（1+k 2）， 化为x 2﹣4kx +（y +1）2＝4， 由x ＝0，可得y ＝1或﹣3．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．23．【2018年北京理科19】已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2＝2px经过点P （1，2），∴4＝2p ，解得p ＝2， 设过点（0，1）的直线方程为y ＝kx +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立方程组可得{y 2=4x y =kx +1，消y 可得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，∴△＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1， 且k ≠0，x 1+x 2=−2k−4k2，x 1x 2=1k2，又∵P A 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k ≠﹣3， 故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ）， 则QM →=（0，y M ﹣1），QO →=（0，﹣1）因为QM →=λQO →，所以y M ﹣1＝﹣y M ﹣1，故λ＝1﹣y M ，同理μ＝1﹣y N ， 直线P A 的方程为y ﹣2=2−y 11−x 1（x ﹣1）=2−y 11−y 124（x ﹣1）=42+y 1（x ﹣1）， 令x ＝0，得y M =2y12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2k k 2−4−2k k=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．24．【2017年北京理科18】已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P （1，1）．过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点．【答案】解：（1）∵y 2＝2px 过点P （1，1）， ∴1＝2p ， 解得p =12， ∴y 2＝x ，∴焦点坐标为（14，0），准线为x =−14，（2）证明：设过点（0，12）的直线方程为y ＝kx +12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴直线OP 为y ＝x ，直线ON 为：y =y2x 2x ，由题意知A （x 1，x 1），B （x 1，x 1y 2x 2），由{y =kx +12y 2=x，可得k 2x 2+（k ﹣1）x +14=0，∴x 1+x 2=1−k k2，x 1x 2=14k2∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1=2kx 1+（1﹣k ）•2x 1＝2x 1，∴A 为线段BM 的中点．25．【2016年北京理科19】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |•|BM |为定值． 【答案】解：（Ⅰ）由题意可得e =c a =√32， 又△OAB 的面积为1，可得12ab ＝1， 且a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1，c =√3， 可得椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （x 0，y 0）， 可得x 02+4y 02＝4，若P （0，﹣1），可得P A 与y 轴交于点M （0，﹣1），直线PB 与x 轴交于点N （0，0）， 可得|AN |•|BM |＝4； 直线P A ：y =y 0x 0−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−2y 0x 0−2， 则|BM |＝|1+2yx 0−2|；直线PB ：y =y 0−1x 0x +1，令y ＝0，可得x =−xy 0−1， 则|AN |＝|2+x 0y 0−1|．可得|AN |•|BM |＝|2+x 0y 0−1|•|1+2y0x 0−2|＝|(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)|＝|x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝|8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝4，即有|AN |•|BM |为定值4．证法二：设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π），直线P A ：y =sinθ2cosθ−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−sinθcosθ−1， 则|BM |＝|sinθ+cosθ−11−cosθ|；直线PB ：y =sinθ−12cosθx +1，令y ＝0，可得x =−2cosθsinθ−1， 则|AN |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|．即有|AN |•|BM |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|•|sinθ+cosθ−11−cosθ|＝2|sin 2θ+cos 2θ+1+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝2|2+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝4．则|AN |•|BM |为定值4．26．【2015年北京理科19】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，点P （0，1）和点A （m ，n ）（m ≠0）都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意得出{b =1c a=√22a 2=b 2+c 2解得：a =√2，b ＝1，c ＝1 ∴x 22+y 2＝1，∵P （0，1）和点A （m ，n ），﹣1＜n ＜1 ∴P A 的方程为：y ﹣1=n−1m x ，y ＝0时，x M =m1−n ∴M （m 1−n，0） （II ）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A （m ，n ）（m ≠0） ∴点B （m ，﹣n ）（m ≠0） ∵直线PB 交x 轴于点N ， ∴N （m 1+n，0），∵存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，y Q ），∴tan ∠OQM ＝tan ∠ONQ ， ∴y Q x M=x N y Q，即y Q 2＝x M •x N ，m22+n 2＝1y Q 2=m 21−n 2=2， ∴y Q =±√2，故y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，√2）或Q （0，−√2） 27．【2014年北京理科19】已知椭圆C ：x 2+2y 2＝4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）由x 2+2y 2＝4，得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1．∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2． 因此a ＝2，c =√2． 故椭圆C 的离心率e =c a =√22； （2）直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ，∴OA →⋅OB →=0，即tx 0+2y 0＝0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0＝t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程，得t =±√2．故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y +2x 0﹣ty 0＝0． 圆心O 到直线AB 的距离d =00√(y0−2)2+(x 0−t)2．又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y02x 0|√x 02+y 02+02x 02+4=|4+x 02x 0|√04022x 02=√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．28．【2013年北京理科19】已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24+y 2=1上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【答案】解：（I ）∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x ＝1 设A （1，t ），得124+t 2=1，解之得t =√32（舍负）∴A 的坐标为（1，√32），同理可得C 的坐标为（1，−√32） 因此，|AC |=√3，可得菱形OABC 的面积为S =12|AC |•|BO |=√3； （II ）∵四边形OABC 为菱形，∴|OA |＝|OC |， 设|OA |＝|OC |＝r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2＝r 2与椭圆W ：x 24+y 2=1的公共点，解之得3x 24=r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2=2√33•√r 2−1，或x 1=2√33•√r 2−1且x 2=−2√33•√r 2−1， ①当x 1＝x 2=2√33•√r 2−1时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）； ②若x 1=2√33•√r 2−1且x 2=−2√33•√r 2−1，则x 1+x 2＝0，可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．1．已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x，则C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√5【答案】A【解析】由题设双曲线渐近线为y=±1ax，而其中一条为y=x，所以a=1，则c=√a2+b2=√2，故C的离心率为√2.故选：A2．已知直线l:ax−y+1=0与圆C:(x−1)2+y2=4相交于两点A,B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【答案】C【解析】因为直线直线l:ax−y+1=0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C:(x−1)2+y2=4的圆心C(1,0),r=2，所以△ABC的面积的最大值为：S=12|CA||CB|sin∠ACB=12r2sin∠ACB≤12r2=12×4=2.模拟好题故选：C.3．已知直线y=k(x−√3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，且OA⊥OB，则k=（）A．√2B．±√2C．1D．±1【答案】B【解析】解：因为直线y=k(x−√3)，所以，直线y=k(x−√3)过定点(√3,0)，且在圆O:x2+y2=4内，因为直线y=k(x−√3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，且OA⊥OB，所以，圆心O(0,0)到直线y=k(x−√3)的距离为d=√2，所以，d=√2=√3k|√1+k2，即k2=2，即k=±√2.故选：B4．已知双曲线x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线与圆(x−3)2+y2=8相交于M，N两点，且|MN|=4，则此双曲线的离心率为（）A．5B．5√33C．√5D．3√55【答案】D【解析】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为2x−ay=0,∵|MN|=4,圆的半径为2√2，∴圆心到渐近线的距离为2，即√a2+4=2,a=√5,∴c=√a2+b2=3∴双曲线的离心率为e=ca =3√55.故选：D5．已知点P在抛物线C:y2=4x上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（）A．4B．4√2C．5D．5√2【答案】A【解析】设P(m,n)，设圆的半径为r，因为点P在抛物线C:y2=4x上，所以n2=4m，以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以m+1=r,圆P与x轴相交的弦长为6，所以32+n2=r2，所以m2−2m−8=0，又m≥0，所以m=4，故n=±4，r=5,所以点P到y轴的距离为4，故选：A.6．已知双曲线x24−y2m2=1(m>0)的一条渐近线方程是5x−2y=0，则m=__________．【答案】5【解析】双曲线x24−y2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±m2x，直线5x−2y=0的方程可化为y=52x，所以，m=5.故答案为：5.7．已知抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)，则抛物线的准线方程是______.【答案】y=1【解析】解：由题意得：∵抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)∴4=−2p×(−1)=2p，解得p=2∴准线方程为y=p2=1故答案为：y=18．若抛物线y2=2px上任意一点到点( 1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，则p=___________.【答案】2【解析】由抛物线的定义可得p2=1，解得p=2.故答案为：2.9．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，P为C上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若∠POQ =45°，则cos∠PFQ=__________．【答案】35【解析】不妨设P在x轴上方，由∠POQ=45°，可设直线OP:y=x，由{y=xy2=2px，可得x=y=2p，∴P(2p,2p),Q(2p,0)，又F(p2,0)，∴cos∠PFQ=|FQ||PF|=|2p−p2|√(2p−p2)2+(2p)2=35.故答案为：35.10．己知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√2，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】y=±x【解析】解：己知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√2，所以ca=√1+b2=√2，解得b=1，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x11．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(−2,0),B(0,−1).(1)求椭圆C的方程及其离心率；(2)若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N，且有MN//AB，求点P的坐标.【答案】(1)x24+y2=1，离心率为√32；(2)(√2,√22)【解析】(1)依题知：a=2,b=1，所以c=√a2−b2=√3.所以椭圆方程为x24+y2=1，离心率e=ca=√32.(2)如图：设P(m,n)，第一象限有m,n>0，m24+n2=1①；由MN//AB得：|PM||MA|=|PN||NB|，又|PM||MA|=|x P||x A|=m2，|PN||NB|=|y P||y B|=n1=n，因此m2=n②，联立①②解得{m=√2n=√22，故P(√2,√22).12．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(−2,0),F2(2,0)．过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为4√6．(1)求椭圆C的方程；(2)求|MN||AB|的取值范围．【答案】(1)x 26+y 22=1(2)[13,3)【解析】 (1)由题，c =2由椭圆定义，△MNF 2的周长为4a =4√6⇒a =√6，所以b =√a 2−c 2=√2 所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1.(2)当l ⊥x 轴时，MN 与x 轴重合，不符合题意， 当直线l 与x 轴重合时，|MN |=2b 2a=2√63,|AB |=2a =2√6，所以|MN ||AB |=13；当直线l 斜率存在且不为0时，设l:x =ty −2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),MN:x =−1t y −2 {x 2+3y 2=6x =ty −2⇒(t 2+3)y 2−4ty −2=0，Δ=(4t )2+8(t 2+3)>0 由韦达定理y 1y 2=−2t 2+3,y 1+y 2=4tt 2+3所以|AB |=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√61+t 23+t 2同理|MN |=2√6t 2+13t 2+1所以|MN ||AB |=t 2+33t 2+1=13(1+83t 2+1)∈(13,3) 综上所述，|MN ||AB |的取值范围是[13,3). 13．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左、右顶点分别是A ，B ，且|AB |=4． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知M ，N 是椭圆E 上异于A ，B 的不同两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积等于-1，判断直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)过定点(−65,0)；【解析】(1)解：由离心率e =c a =√32=√1−b 2a 2可得a 2=4b 2，又由左、右顶点|AB|=4可得2a =4，所以a =2，b =1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)解：由（1）可得A(−2,0)，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=kx+tx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，Δ>0，即64k2t2−4×(1+4k2)(4t2−4)>0，可得t2<1+4k2，且x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2，k AM⋅k AN=y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2(x1+2)(x2+2)=(kx1+t)(kx2+t)(x1+2)(x2+2)=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2x1x2+2(x1+x2)+4=k2⋅4t2−41+4k2+kt⋅−8kt1+4k2+t24t2−41+4k2+2⋅−8kt1+4k2+4=t2−4k24t2−16kt+16k2=−1，整理可得5t2−16kt+16k2=0，可得t=65k或t=2k，符合Δ>0，所以直线MN的方程为：y=k(x+65)或y=k(x+2)，所以直线恒过(−65,0)或(−2,0)（舍去），所以直线MN的方程为：y=kx+65k=k(x+65)，可得直线MN恒过(−65,0)点；当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=t，代入椭圆的方程，可得y=±√1−t24，设M(t,√1−t24)，N(t,−√1−t24)，则kAM⋅k AN=√1−t24t+2⋅−√1−t24t+2=−1，解得t=−65或t=−2（舍)，所以直线恒过定点(−65,0)，综上所述：直线MN恒过定点(−65,0)．14．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点B1，B2分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的焦点F也是抛物线y2=8x的焦点，且FB1⊥FB2．(1)求椭圆C的方程：(2)设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，问x轴上是否存在定点P，使点F到直线BP的距离与点F到直线AP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)存在，P(4,0)【解析】(1)∵椭圆C的焦点F也是抛物线y2=8x的焦点∴c=2又FB1⊥FB2，∴△FB1B2是等腰直角三角形∴b=c=2∴a2=b2+c2=8所以椭圆C的方程为：x28+y24=1(2)如图所示，假设点P存在，设FQ,FH分别为点F到直线PA,PB的距离由题意FQ=FH,FP=FP,∠FQP=∠FHP=π2∴∠FPQ=∠FPH接下来只需要说明存在点P，使得∠FPQ=∠FPH即可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2将直线AB与椭圆C方程联立，消去x整理得到：(m2+2)y2+4my−4=0∴y1+y2=−4mm2+2,y1y2=−4m2+2由题意，PF平分∠APB，则直线PA,PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0设P(t,0)，则k PA=y1x1−t ,k PB=y2x2−t∴y1x1−t +y2x2−t=0将x1=my1+2,x2=my2+2代入上式，整理得：2my1y2+(2−t)(y1+y2)(my1+2−t)(my2+2−t)=0∴2my1y2+(2−t)(y1+y2)=0将y1+y2=−4mm2+2,y1y2=−4m2+2代入上式整理得：4m(t−4)=0由于上式对任意实数m都成立，所以t=4即存在点P(4,0)使得点F到直线BP的距离与点F到直线AP的距离相等15．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.(1)求椭圆E的标准方程及离心率；(2)过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线y=3于点M、N.求|PM||PN|的值.【答案】(1)x25+y24=1，e=√55；(2)254.【解析】(1)由题设{2c=2 b=2a2−b2=c2，则{a2=5b2=4c=1，故E标准方程为x25+y24=1且e=ca=√55.(2)由题设，AB:y =y B −2x Bx +2，则x M =x ByB−2，同理x N =xC y C −2， 而l:y =kx +3，联立椭圆可得(4+5k 2)x 2+30kx +25=0，所以Δ=900k 2−100(4+5k 2)=400(k 2−1)>0，可得k >1或k <−1， 且x B +x C =−30k 4+5k 2，x B x C =254+5k 2>0，所以|PM||PN|=|x M x N |=|x B kx B+1⋅xCkx C+1|=|x B x Ck 2xB xC +k(x B +x C)+1|=254.16．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，上下顶点分别为A,B ，且|AB|=4.过点(0,1)的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N （不与点A, B 重合）. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AM 与直线y =4相交于点P ，求证：B,P,N 三点共线. 【答案】(1)x 28+y 24=1(2)证明见解析 【解析】(1)解：根据题意，{2b =4,ca=√22,a 2=b 2+c 2解得a 2=8,b 2=4.所以椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1. ...（2）(2)由（1）知，A(0,2),B(0,−2).根据题意，直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 的方程为y =kx +1. 由{x 2+2y 2−8=0y =kx +1 ，得(2k 2+1)x 2+4kx −6=0.根据题意，Δ>0恒成立，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 则x 1+x 2=−4k 2k 2+1,x 1x 2=−62k 2+1. 直线AM 的方程为y −2=y 1−2x 1x ，令y =4，得x =2x 1y1−2，所以P(2x 1y 1−2,4).因为B(0,−2),N(x 2,y 2)， 则直线BN,BP 的斜率分别为k BN =y 2+2x 2,k BP =3(y 1−2)x 1，k BN −k BP =y 2+2x 2−3(y 1−2)x 1=x 1(y 2+2)−3x 2(y 1−2)x 1x 2.又x 1(y 2+2)−3x 2(y 1−2)=x 1(kx 2+3)−3x 2(kx 1−1)， =−2kx 1x 2+3(x 1+x 2)， =−2k −62k 2+1+3×−4k2k 2+1，=0.所以k BN =k BP ， 所以B,P,N 三点共线. 17．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12．过点P(6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ． (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°． 【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)解：由题得a =2,ca =12,∴a =2,c =1,∴b =√3, 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)解：要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°−∠POM ， 只需证明tan∠PAN =1tan∠POM ,只需证明tan∠PAN ⋅tan∠POM =1, 只需证明k AN ⋅k OM =1,设M(6,m),N(6,n)，只需证明n6−2⋅m 6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k(x −6)，k ≠0， 联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−48k 2x +144k 2−12=0，设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k2,x 1x 2=144k 2−123+4k 2，又A,B,M 三点共线，所以m4=y 1x 1−2,∴m =4y 1x1−2，同理n =4y 2x 2−2，所以mn =4y 1x 1−2×4y 2x2−2=16k 2(x 1−6)(x 2−6)(x 1−2)(x 2−2)，所以mn =16k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2[144k 2−123+4k 2−6×48k 23+4k 2+36]144k 2−123+4k 2−2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°. 18．已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，P 到椭圆C 的两个焦点的距离和为4√2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (4,0)，R 为PQ 的中点，作PQ 的平行线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，直线AQ 与椭圆C 交于另一点M ，直线BQ 与椭圆C 交于另一点N ，求证：M ，N ，R 三点共线． 【答案】(1)x 28+y 22=1(2)证明见解析 【解析】(1)根据椭圆的定义可得2a =4√2，解得a =2√2， 又过点P (2,1)，所以4a 2+1b 2=1，解得b 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)因为P (2,1)，Q (4,0)，所以R (3,12)，k PQ =1−02−4=−12，设直线l 的方程为y =−12x +m ，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x m ,y m ),N(x n ,y n )， 所以k AQ =y 1x1−4,k BQ =y 2x 2−4，所以直线AQ 的方程为y =y1x 1−4(x −4)，直线BQ 的方程为y =y2x 2−4(x −4)，联立直线AQ 与椭圆{y =y1x 1−4(x −4)x 28+y 22=1，消去x 可得[(x 1−4y 1)2+4]y 2+8(x 1−4)y 1y +8=0， 所以y 1+y m =−8(x 1−4)y 1(x 1−4y 1)2+4，又x 128+y 122=1代入，整理可得y m =8(x 1−4)y 124−8x 1−y 1=y13−x 1，代入直线AQ ，可得x m =8−3x 13−x 1同理可得y n =y23−x 2，x n =8−3x 23−x 2，所以k MN =y 23−x 2−y13−x 18−3x 23−x 2−8−3x 13−x 1=3(y 1−y 2)+x 1y 2−x 2y 1x 2−x 1=32+x 1(−12x 2+m)−x 2(−12x 1+m)x 2−x 1=32−m又k MR =y m −12x m −3=y 13−x 1−128−3x 13−x 1−3=(−12x 1+m)−12(3−x 1)8−3x 1−3(3−x 1)=32−m =k MN ，所以M ，N ，R 三点共线 19．已知椭圆M:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A(2,0)，离心率为√22.(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线y =k(x +3)在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求k (|OP |+|OQ |)的值. 【答案】(1)x 24+y 22=1(2)45 【解析】(1)由题意知：a =2,c a =√22，则c =√2，b 2=a 2−c 2=2，则椭圆M 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线与椭圆{y =k(x +3)x 24+y 22=1，整理得(2k 2+1)x 2+12k 2x +18k 2−4=0，Δ=144k 4−4(2k 2+1)(18k 2−4)=−40k 2+16>0， 即−√105<k <√105，又直线y =k(x +3)在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两点，则0<k <√105；设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)，则−2<x 1<2,−2<x 2<2，x 1+x 2=−12k 22k 2+1,x 1x 2=18k 2−42k 2+1，y 1=k(x 1+3),y 2=k(x 2+3)，易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则AB:y =y 1x1−2(x −2)，令x =0，得y =2y 12−x 1>0，则P(0,2y 12−x 1)，同理可得Q(0,2y 22−x 2)，且2y22−x 2>0，则k (|OP |+|OQ |)=k (2y 12−x1+2y22−x 2)=k ⋅2k(x 1+3)(2−x 2)+2k(x 2+3)(2−x 1)(2−x 1)(2−x 2)=k ⋅−4kx 1x 2−2k(x 1+x 2)+24kx 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k ⋅−4k⋅18k 2−42k 2+1−2k⋅−12k 22k 2+1+24k 18k 2−42k 2+1−2⋅−12k 22k 2+1+4 =45.20．已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A (−2,0)，圆O ：x 2+y 2=1经过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程和焦距；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值. 【答案】(1)x 24+y 2=1，2√3；(2)√6. 【解析】(1)依题意，a =2,b =1，由c =√a 2−b 2=√3，得2c =2√3，所以椭圆C的方程为：x24+y2=1，焦距为2√3.(2)设P(x0,y0)(x0y0≠0)，则x024+y02=1，依题意，设Q(x1,y0)(x1≠0)，且x12+y02=1，因A(−2,0)，则线段AP的中点为(x0−22,y02)，直线AP的斜率k AP=y0x0+2，则线段AP的中垂线方程为：y−y02=−x0+2y0(x−x0−22)，令x=0得点M的纵坐标y M=y02+(x0+2)(x0−2)2y0=x02+y02−42y0，而x02−4=−4y02，则y M=−3y02，即M(0,−32y0)，直线OQ的斜率k OQ=y0x1，因此，圆O在点Q处的切线斜率为−x1y，切线方程为y−y0=−x1y0(x−x1)，令x=0得点N的纵坐标yN=y0+x12y0=x12+y02y0=1y0，即N(0,1y)，则有|MN|=|y N−y M|=|1y0+32y0|=1|y0|+32|y0|≥2√1|y0|⋅32|y0|=√6，当且仅当1|y0|=32|y0|，即y=±√63时取“=”，所以线段MN长度的最小值为√6.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题10 平面解析几何选择填空题 文(含解析)-人教版
专题10平面解析几何选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 双曲线2019年文科05单选题2016 圆的方程2016年文科05单选题2015 圆的方程2015年文科02单选题2014 圆的方程2014年文科07单选题2013 双曲线2013年文科07单选题2011 抛物线2011年文科08填空题2019 抛物线2019年文科11填空题2018 抛物线2018年文科10填空题2018 双曲线2018年文科12填空题2017 双曲线2017年文科10填空题2016 双曲线2016年文科12填空题2015 双曲线2015年文科12填空题2014 双曲线2014年文科10填空题2013 抛物线2013年文科09填空题2012 圆的方程2012年文科09填空题2011 双曲线2011年文科10填空题2010 双曲线2010年文科13历年高考真题汇编1．【2019年文科05】已知双曲线y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．【解答】解：由双曲线y2＝1（a＞0），得b2＝1，又e，得，即，解得，a．故选：D．2．【2016年文科05】圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为（）A．1B．2C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2＝2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2＝2的圆心到直线y＝x+3的距离为：d．故选：C．3．【2015年文科02】圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：由题意知圆半径r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：D．4．【2014年文科07】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO AB＝m，故有m≤6，故选：B．5．【2013年文科07】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a＝1，b，可得c，∵离心率e等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．6．【2011年文科08】已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2＝0点C到直线AB的距离为：d，有三角形ABC的面积为2可得：|a+a2﹣2|＝2得：a2+a＝0或a2+a﹣4＝0，显然方程共有四个根，可知函数y＝x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故选：A．7．【2019年文科11】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．【解答】解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1相切，∴圆的半径为2．则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4．故答案为：（x﹣1）2+y2＝4．8．【2018年文科10】已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，∴x＝1，代入到y2＝4ax，可得y2＝4a，显然a＞0，∴y＝±2，∵l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，∴44，解得a＝1，∴y2＝4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）9．【2018年文科12】若双曲线1（a＞0）的离心率为，则a＝．【解答】解：双曲线1（a＞0）的离心率为，可得：，解得a＝4．故答案为：4．10．【2017年文科10】若双曲线x21的离心率为，则实数m＝．【解答】解：双曲线x21（m＞0）的离心率为，可得：，解得m＝2．故答案为：2．11．【2016年文科12】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），则a＝，b＝．【解答】解：∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y＝0，一个焦点为（，0），∴，解得a＝1，b＝2．故答案为：1，2．12．【2015年文科12】已知（2，0）是双曲线x21（b＞0）的一个焦点，则b＝．【解答】解：双曲线x21（b＞0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得2，解得b．故答案为：．13．【2014年文科10】设双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c，a＝1，∴b＝1，∴C的方程为x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．14．【2013年文科09】若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（1，0），则p＝；准线方程为．【解答】解：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为（1，0），∴1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x，∴其标准方程为：x＝﹣1，故答案为：2，x＝﹣1．15．【2012年文科09】直线y＝x被圆x2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y＝x的距离为∴直线y＝x被圆x2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为2故答案为：16．【2011年文科10】已知双曲线x21（b＞0）的一条渐近线的方程为y＝2x，则b ＝．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y＝±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y＝2x，又b＞0，可以得出b＝2．故答案为：2．17．【2010年文科13】已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．【解答】解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c＝4，且满足2，故a ＝2，b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±±x故答案为：（4，0），（﹣4，0）；y x考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【解析】由题意得直线l 的方程为bx y c a=+，不妨取1a =，则x by c =+，且221b c =-. 将x by c =+代入2221y x b-=，得()4234120b y b cy b -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则312421b c y y b +=--，41241b y y b =-.由3AF FB =，得123y y =-，所以324422422131b c y b b y b ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，得22431b c b =-，解得214b =，所以2c ===c e a ==，故选A 。
北京十年高考真题(2013-2022)与优质一二模题汇编专题10平面解析几何(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题10平面解析几何1．【2022年北京卷03】若直线2x+y−1=0是圆(x−a)2+ y2=1的一条对称轴，则a=（）A．12B．−12C．1D．−1【答案】A【解析】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0−1=0，解得a=12．故选：A．2．【2021年北京5】双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x23−y2=1C．x2−√3y23=1D．√3x23−y2=1【答案】A∵e=ca =2，则c=2a，b=√c2−a2=√3a，则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1，将点(√2,√3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2−33a2=1a2=1，解得a=1，故b=√3，因此，双曲线的方程为x2−y23=1.故选：A.3．【2021年北京9】已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A．±2B．±√2C．±√3D．±√5【答案】C由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d=|m|√k2+1，则弦长为2√4−m2k2+1，则当k=0时，弦长取得最小值为2√4−m2=2，解得m=±√3.故选：C.4．【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．真题汇总A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.5．【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.6．【2019年北京理科04】已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b【答案】解：由题意，ca=12，得c 2a 2=14，则a 2−b 2a 2=14，∴4a 2﹣4b 2＝a 2，即3a 2＝4b 2． 故选：B ．7．【2013年北京理科06】若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12x D ．y =±√22x【答案】解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ， 又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ． 故选：B ．8．【2013年北京理科07】直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A ．43B ．2C ．83D ．16√23【答案】解：抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， ∴直线l 的方程为y ＝1，由 {y =1x 2=4y，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ∫ 2−2(1−x 24)dx =（ x −112x 3）|−22=83．故选：C ．9．【2022年北京卷12】已知双曲线y 2+x 2m=1的渐近线方程为y =±√33x ，则m =__________．【答案】−3 【解析】解：对于双曲线y 2+x 2m =1，所以m <0，即双曲线的标准方程为y 2−x 2−m =1， 则a =1，b =√−m ，又双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±√33x ，所以a b=√33，即√−m=√33，解得m =−3；故答案为：−310．【2021年北京12】已知抛物线C:y 2=4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM|=6，则M 的横坐标是_______；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN =_______． 【答案】5 4√5因为抛物线的方程为y 2=4x ，故p =2且F(1,0).因为|MF|=6，x M +p2=6，解得x M =5，故y M =±2√5， 所以S △FMN =12×(5−1)×2√5=4√5， 故答案为：5，4√5.11．【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）∵P(cosθ,sinθ)与Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称， 即θ,θ+π6关于y 轴对称， θ+π6+θ=π+2kπ,k ∈Z ， 则θ=kπ+5π12,k ∈Z ，当k =0时，可取θ的一个值为5π12. 故答案为：5π12（满足θ=kπ+5π12,k ∈Z 即可）.12．【2018年北京理科14】已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ． 【答案】解：椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c ，0），正六边形的一个顶点（c 2，√3c 2），可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1）， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m=√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为e =√m 2+n 2m 2=2． 故答案为：√3−1；2．13．【2017年北京理科09】若双曲线x 2−y 2m =1的离心率为√3，则实数m ＝ ．【答案】解：双曲线x 2−y 2m=1（m ＞0）的离心率为√3， 可得：√1+m1=√3，解得m ＝2． 故答案为：2．14．【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是 ．（2）记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是 ．【答案】解：（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1＝A 1的纵坐标+B 1的纵坐标；Q 2＝A 2的纵坐标+B 2的纵坐标， Q 3＝A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1，（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率， 故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2 故答案为：Q 1，p 215．【2016年北京理科13】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ． 【答案】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y ＝±x ， 即a ＝b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB ＝2√2，即c ＝2√2， 则a 2+b 2＝c 2＝8， 即2a 2＝8， 则a 2＝4，a ＝2，故答案为：216．【2015年北京理科10】已知双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）的一条渐近线为√3x +y ＝0，则a ＝ ．【答案】解：双曲线x 2a 2−y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa，由题意可得1a =√3，解得a =√33．故答案为：√33． 17．【2014年北京理科11】设双曲线C 经过点（2，2），且与y 24−x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ． 【答案】解：与y 24−x 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y 24−x 2＝m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m =224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y 24−x 2＝﹣3，即x 23−y 212=1，对应的渐近线方程为y ＝±2x ， 故答案为：x 23−y 212=1，y ＝±2x ．18．【2020年北京卷14】已知双曲线C:x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】(3,0) √3 【解析】在双曲线C 中，a =√6，b =√3，则c =√a 2+b 2=3，则双曲线C 的右焦点坐标为(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为y =±√22x ，即x ±√2y =0，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为√12+2=√3.故答案为：(3,0)；√3.19．【2022年北京卷19】已知椭圆：E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P(−2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN|=2时，求k 的值． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)k =−4 【解析】(1)解：依题意可得b =1，2c =2√3，又c 2=a 2−b 2， 所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P (−2,1)的直线为y −1=k (x +2)，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2≤2， 由{y −1=k (x +2)x 24+y 2=1，消去y 整理得(1+4k 2)x 2+(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0， 所以Δ=(16k 2+8k )2−4(1+4k 2)(16k 2+16k )>0，解得k <0， 所以x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k 1+4k 2，直线AB 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x11−y 1，直线AC 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以|MN |=|x N −x M |=|x21−y 2−x11−y 1|=|x 21−[k (x 2+2)+1]−x 11−[k (x 1+2)+1]|=|x 2−k (x 2+2)+x 1k (x 1+2)|=|(x 2+2)x 1−x 2(x 1+2)k (x 2+2)(x 1+2)|=2|x 1−x 2||k |(x 2+2)(x 1+2)=2，所以|x 1−x 2|=|k |(x 2+2)(x 1+2)，即√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|k |[x 2x 1+2(x 2+x 1)+4]即√(−16k 2+8k1+4k 2)2−4×16k 2+16k 1+4k 2=|k |[16k 2+16k 1+4k 2+2(−16k 2+8k 1+4k 2)+4]即81+4k 2√(2k 2+k )2−(1+4k 2)(k 2+k )=|k |1+4k 2[16k 2+16k −2(16k 2+8k )+4(1+4k 2)]整理得8√−k =4|k |，解得k =−4 20．【2021年北京20】已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）x 25+y 24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]． （1）因为椭圆过A(0,−2)，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a ×2b =4√5，即a =√5， 故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.21．【2020年北京卷20】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4于点P,Q．求|PB||BQ|的值．【答案】（Ⅰ）x 28+y22=1；（Ⅱ）1.【解析】(1)设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得：{4a2+1b2=1a=2b，解得：{a2=8b2=2，故椭圆方程为：x 28+y22=1.(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为：y=k(x+4)，与椭圆方程x 28+y22=1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8，即：(4k2+1)x2+32k2x+(64k2−8)=0，则：x1+x2=−32k24k2+1,x1x2=64k2−84k2+1.直线MA的方程为：y+1=y1+1x1+2(x+2)，令x=−4可得：y P=−2×y1+1x1+2−1=−2×k(x1+4)+1x1+2−x1+2x1+2=−(2k+1)(x1+4)x1+2，同理可得：y Q=−(2k+1)(x2+4)x2+2.很明显y P y Q<0，且：|PB||PQ|=|y Py Q|，注意到：y P+y Q=−(2k+1)(x1+4x1+2+x2+4x2+2)=−(2k+1)×(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)(x1+2)(x2+2)，而：(x1+4)(x2+2)+(x2+4)(x1+2)=2[x1x2+3(x1+x2)+8]=2[64k2−84k2+1+3×(−32k24k2+1)+8]=2×(64k2−8)+3×(−32k2)+8(4k2+1)4k2+1=0，故y P+y Q=0,y P=−y Q.从而|PB||PQ|=|y Py Q|=1.22．【2019年北京理科18】已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A（4x1，﹣1），B（4x2，﹣1），可得AB的中点的横坐标为2（1x1+1x2）＝2•−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），半径为|AB|2=12|4x 1−4x 2|＝2•√16k 2+164=2√1+k 2，可得圆的方程为（x ﹣2k ）2+（y +1）2＝4（1+k 2）， 化为x 2﹣4kx +（y +1）2＝4， 由x ＝0，可得y ＝1或﹣3．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．23．【2018年北京理科19】已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2＝2px经过点P （1，2），∴4＝2p ，解得p ＝2， 设过点（0，1）的直线方程为y ＝kx +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立方程组可得{y 2=4x y =kx +1，消y 可得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，∴△＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1， 且k ≠0，x 1+x 2=−2k−4k2，x 1x 2=1k2，又∵P A 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k ≠﹣3， 故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ）， 则QM →=（0，y M ﹣1），QO →=（0，﹣1）因为QM →=λQO →，所以y M ﹣1＝﹣y M ﹣1，故λ＝1﹣y M ，同理μ＝1﹣y N ， 直线P A 的方程为y ﹣2=2−y 11−x 1（x ﹣1）=2−y 11−y 124（x ﹣1）=42+y 1（x ﹣1）， 令x ＝0，得y M =2y12+y 1，同理可得y N =2y22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M+11−y N=2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2kk +1)1−4−2k k+1=4−2×4−2k k 2−4−2k k=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值．24．【2017年北京理科18】已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P （1，1）．过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点．【答案】解：（1）∵y 2＝2px 过点P （1，1）， ∴1＝2p ， 解得p =12， ∴y 2＝x ，∴焦点坐标为（14，0），准线为x =−14，（2）证明：设过点（0，12）的直线方程为y ＝kx +12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴直线OP 为y ＝x ，直线ON 为：y =y2x 2x ，由题意知A （x 1，x 1），B （x 1，x 1y 2x 2），由{y =kx +12y 2=x，可得k 2x 2+（k ﹣1）x +14=0，∴x 1+x 2=1−k k2，x 1x 2=14k2∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1=2kx 1+（1﹣k ）•2x 1＝2x 1，∴A 为线段BM 的中点．25．【2016年北京理科19】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A （a ，0），B （0，b ），O （0，0），△OAB 的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |•|BM |为定值． 【答案】解：（Ⅰ）由题意可得e =c a =√32， 又△OAB 的面积为1，可得12ab ＝1， 且a 2﹣b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1，c =√3， 可得椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1；（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P （x 0，y 0）， 可得x 02+4y 02＝4，若P （0，﹣1），可得P A 与y 轴交于点M （0，﹣1），直线PB 与x 轴交于点N （0，0）， 可得|AN |•|BM |＝4； 直线P A ：y =y 0x 0−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−2y 0x 0−2， 则|BM |＝|1+2yx 0−2|；直线PB ：y =y 0−1x 0x +1，令y ＝0，可得x =−xy 0−1， 则|AN |＝|2+x 0y 0−1|．可得|AN |•|BM |＝|2+x 0y 0−1|•|1+2y0x 0−2|＝|(x 0+2y 0−2)2(x 0−2)(y 0−1)|＝|x 02+4y 02+4+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝|8+4x 0y 0−4x 0−8y 02+x 0y 0−x 0−2y 0|＝4，即有|AN |•|BM |为定值4．证法二：设P （2cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π），直线P A ：y =sinθ2cosθ−2（x ﹣2），令x ＝0，可得y =−sinθcosθ−1， 则|BM |＝|sinθ+cosθ−11−cosθ|；直线PB ：y =sinθ−12cosθx +1，令y ＝0，可得x =−2cosθsinθ−1， 则|AN |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|．即有|AN |•|BM |＝|2sinθ+2cosθ−21−sinθ|•|sinθ+cosθ−11−cosθ|＝2|sin 2θ+cos 2θ+1+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝2|2+2sinθcosθ−2sinθ−2cosθ1+sinθcosθ−sinθ−cosθ|＝4．则|AN |•|BM |为定值4．26．【2015年北京理科19】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，点P （0，1）和点A （m ，n ）（m ≠0）都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意得出{b =1c a=√22a 2=b 2+c 2解得：a =√2，b ＝1，c ＝1 ∴x 22+y 2＝1，∵P （0，1）和点A （m ，n ），﹣1＜n ＜1 ∴P A 的方程为：y ﹣1=n−1m x ，y ＝0时，x M =m1−n ∴M （m 1−n，0） （II ）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A （m ，n ）（m ≠0） ∴点B （m ，﹣n ）（m ≠0） ∵直线PB 交x 轴于点N ， ∴N （m 1+n，0），∵存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，y Q ），∴tan ∠OQM ＝tan ∠ONQ ， ∴y Q x M=x N y Q，即y Q 2＝x M •x N ，m22+n 2＝1y Q 2=m 21−n 2=2， ∴y Q =±√2，故y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，Q （0，√2）或Q （0，−√2） 27．【2014年北京理科19】已知椭圆C ：x 2+2y 2＝4， （1）求椭圆C 的离心率（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求直线AB 与圆x 2+y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：（1）由x 2+2y 2＝4，得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1．∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2． 因此a ＝2，c =√2． 故椭圆C 的离心率e =c a =√22； （2）直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0． ∵OA ⊥OB ，∴OA →⋅OB →=0，即tx 0+2y 0＝0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0＝t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程，得t =±√2．故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y +2x 0﹣ty 0＝0． 圆心O 到直线AB 的距离d =00√(y0−2)2+(x 0−t)2．又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y02x 0|√x 02+y 02+02x 02+4=|4+x 02x 0|√04022x 02=√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．28．【2013年北京理科19】已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24+y 2=1上的三个点，O 是坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【答案】解：（I ）∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x ＝1 设A （1，t ），得124+t 2=1，解之得t =√32（舍负）∴A 的坐标为（1，√32），同理可得C 的坐标为（1，−√32） 因此，|AC |=√3，可得菱形OABC 的面积为S =12|AC |•|BO |=√3； （II ）∵四边形OABC 为菱形，∴|OA |＝|OC |， 设|OA |＝|OC |＝r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2＝r 2与椭圆W ：x 24+y 2=1的公共点，解之得3x 24=r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2=2√33•√r 2−1，或x 1=2√33•√r 2−1且x 2=−2√33•√r 2−1， ①当x 1＝x 2=2√33•√r 2−1时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）； ②若x 1=2√33•√r 2−1且x 2=−2√33•√r 2−1，则x 1+x 2＝0，可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．1．已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x，则C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√5【答案】A【解析】由题设双曲线渐近线为y=±1ax，而其中一条为y=x，所以a=1，则c=√a2+b2=√2，故C的离心率为√2.故选：A2．已知直线l:ax−y+1=0与圆C:(x−1)2+y2=4相交于两点A,B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【答案】C【解析】因为直线直线l:ax−y+1=0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C:(x−1)2+y2=4的圆心C(1,0),r=2，所以△ABC的面积的最大值为：S=12|CA||CB|sin∠ACB=12r2sin∠ACB≤12r2=12×4=2.模拟好题故选：C.3．已知直线y=k(x−√3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，且OA⊥OB，则k=（）A．√2B．±√2C．1D．±1【答案】B【解析】解：因为直线y=k(x−√3)，所以，直线y=k(x−√3)过定点(√3,0)，且在圆O:x2+y2=4内，因为直线y=k(x−√3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，且OA⊥OB，所以，圆心O(0,0)到直线y=k(x−√3)的距离为d=√2，所以，d=√2=√3k|√1+k2，即k2=2，即k=±√2.故选：B4．已知双曲线x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线与圆(x−3)2+y2=8相交于M，N两点，且|MN|=4，则此双曲线的离心率为（）A．5B．5√33C．√5D．3√55【答案】D【解析】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为2x−ay=0,∵|MN|=4,圆的半径为2√2，∴圆心到渐近线的距离为2，即√a2+4=2,a=√5,∴c=√a2+b2=3∴双曲线的离心率为e=ca =3√55.故选：D5．已知点P在抛物线C:y2=4x上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（）A．4B．4√2C．5D．5√2【答案】A【解析】设P(m,n)，设圆的半径为r，因为点P在抛物线C:y2=4x上，所以n2=4m，以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以m+1=r,圆P与x轴相交的弦长为6，所以32+n2=r2，所以m2−2m−8=0，又m≥0，所以m=4，故n=±4，r=5,所以点P到y轴的距离为4，故选：A.6．已知双曲线x24−y2m2=1(m>0)的一条渐近线方程是5x−2y=0，则m=__________．【答案】5【解析】双曲线x24−y2m2=1(m>0)的渐近线方程为y=±m2x，直线5x−2y=0的方程可化为y=52x，所以，m=5.故答案为：5.7．已知抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)，则抛物线的准线方程是______.【答案】y=1【解析】解：由题意得：∵抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)∴4=−2p×(−1)=2p，解得p=2∴准线方程为y=p2=1故答案为：y=18．若抛物线y2=2px上任意一点到点( 1,0)的距离与到直线x=−1的距离相等，则p=___________.【答案】2【解析】由抛物线的定义可得p2=1，解得p=2.故答案为：2.9．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，P为C上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若∠POQ =45°，则cos∠PFQ=__________．【答案】35【解析】不妨设P在x轴上方，由∠POQ=45°，可设直线OP:y=x，由{y=xy2=2px，可得x=y=2p，∴P(2p,2p),Q(2p,0)，又F(p2,0)，∴cos∠PFQ=|FQ||PF|=|2p−p2|√(2p−p2)2+(2p)2=35.故答案为：35.10．己知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√2，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】y=±x【解析】解：己知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√2，所以ca=√1+b2=√2，解得b=1，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x11．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(−2,0),B(0,−1).(1)求椭圆C的方程及其离心率；(2)若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N，且有MN//AB，求点P的坐标.【答案】(1)x24+y2=1，离心率为√32；(2)(√2,√22)【解析】(1)依题知：a=2,b=1，所以c=√a2−b2=√3.所以椭圆方程为x24+y2=1，离心率e=ca=√32.(2)如图：设P(m,n)，第一象限有m,n>0，m24+n2=1①；由MN//AB得：|PM||MA|=|PN||NB|，又|PM||MA|=|x P||x A|=m2，|PN||NB|=|y P||y B|=n1=n，因此m2=n②，联立①②解得{m=√2n=√22，故P(√2,√22).12．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(−2,0),F2(2,0)．过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为4√6．(1)求椭圆C的方程；(2)求|MN||AB|的取值范围．【答案】(1)x 26+y 22=1(2)[13,3)【解析】 (1)由题，c =2由椭圆定义，△MNF 2的周长为4a =4√6⇒a =√6，所以b =√a 2−c 2=√2 所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1.(2)当l ⊥x 轴时，MN 与x 轴重合，不符合题意， 当直线l 与x 轴重合时，|MN |=2b 2a=2√63,|AB |=2a =2√6，所以|MN ||AB |=13；当直线l 斜率存在且不为0时，设l:x =ty −2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),MN:x =−1t y −2 {x 2+3y 2=6x =ty −2⇒(t 2+3)y 2−4ty −2=0，Δ=(4t )2+8(t 2+3)>0 由韦达定理y 1y 2=−2t 2+3,y 1+y 2=4tt 2+3所以|AB |=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√61+t 23+t 2同理|MN |=2√6t 2+13t 2+1所以|MN ||AB |=t 2+33t 2+1=13(1+83t 2+1)∈(13,3) 综上所述，|MN ||AB |的取值范围是[13,3). 13．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左、右顶点分别是A ，B ，且|AB |=4． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知M ，N 是椭圆E 上异于A ，B 的不同两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积等于-1，判断直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)过定点(−65,0)；【解析】(1)解：由离心率e =c a =√32=√1−b 2a 2可得a 2=4b 2，又由左、右顶点|AB|=4可得2a =4，所以a =2，b =1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)解：由（1）可得A(−2,0)，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=kx+tx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，Δ>0，即64k2t2−4×(1+4k2)(4t2−4)>0，可得t2<1+4k2，且x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2，k AM⋅k AN=y1x1+2⋅y2x2+2=y1y2(x1+2)(x2+2)=(kx1+t)(kx2+t)(x1+2)(x2+2)=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2x1x2+2(x1+x2)+4=k2⋅4t2−41+4k2+kt⋅−8kt1+4k2+t24t2−41+4k2+2⋅−8kt1+4k2+4=t2−4k24t2−16kt+16k2=−1，整理可得5t2−16kt+16k2=0，可得t=65k或t=2k，符合Δ>0，所以直线MN的方程为：y=k(x+65)或y=k(x+2)，所以直线恒过(−65,0)或(−2,0)（舍去），所以直线MN的方程为：y=kx+65k=k(x+65)，可得直线MN恒过(−65,0)点；当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x=t，代入椭圆的方程，可得y=±√1−t24，设M(t,√1−t24)，N(t,−√1−t24)，则kAM⋅k AN=√1−t24t+2⋅−√1−t24t+2=−1，解得t=−65或t=−2（舍)，所以直线恒过定点(−65,0)，综上所述：直线MN恒过定点(−65,0)．14．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点B1，B2分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的焦点F也是抛物线y2=8x的焦点，且FB1⊥FB2．(1)求椭圆C的方程：(2)设过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点，问x轴上是否存在定点P，使点F到直线BP的距离与点F到直线AP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)存在，P(4,0)【解析】(1)∵椭圆C的焦点F也是抛物线y2=8x的焦点∴c=2又FB1⊥FB2，∴△FB1B2是等腰直角三角形∴b=c=2∴a2=b2+c2=8所以椭圆C的方程为：x28+y24=1(2)如图所示，假设点P存在，设FQ,FH分别为点F到直线PA,PB的距离由题意FQ=FH,FP=FP,∠FQP=∠FHP=π2∴∠FPQ=∠FPH接下来只需要说明存在点P，使得∠FPQ=∠FPH即可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+2将直线AB与椭圆C方程联立，消去x整理得到：(m2+2)y2+4my−4=0∴y1+y2=−4mm2+2,y1y2=−4m2+2由题意，PF平分∠APB，则直线PA,PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0设P(t,0)，则k PA=y1x1−t ,k PB=y2x2−t∴y1x1−t +y2x2−t=0将x1=my1+2,x2=my2+2代入上式，整理得：2my1y2+(2−t)(y1+y2)(my1+2−t)(my2+2−t)=0∴2my1y2+(2−t)(y1+y2)=0将y1+y2=−4mm2+2,y1y2=−4m2+2代入上式整理得：4m(t−4)=0由于上式对任意实数m都成立，所以t=4即存在点P(4,0)使得点F到直线BP的距离与点F到直线AP的距离相等15．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.(1)求椭圆E的标准方程及离心率；(2)过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线y=3于点M、N.求|PM||PN|的值.【答案】(1)x25+y24=1，e=√55；(2)254.【解析】(1)由题设{2c=2 b=2a2−b2=c2，则{a2=5b2=4c=1，故E标准方程为x25+y24=1且e=ca=√55.(2)由题设，AB:y =y B −2x Bx +2，则x M =x ByB−2，同理x N =xC y C −2， 而l:y =kx +3，联立椭圆可得(4+5k 2)x 2+30kx +25=0，所以Δ=900k 2−100(4+5k 2)=400(k 2−1)>0，可得k >1或k <−1， 且x B +x C =−30k 4+5k 2，x B x C =254+5k 2>0，所以|PM||PN|=|x M x N |=|x B kx B+1⋅xCkx C+1|=|x B x Ck 2xB xC +k(x B +x C)+1|=254.16．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，上下顶点分别为A,B ，且|AB|=4.过点(0,1)的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N （不与点A, B 重合）. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AM 与直线y =4相交于点P ，求证：B,P,N 三点共线. 【答案】(1)x 28+y 24=1(2)证明见解析 【解析】(1)解：根据题意，{2b =4,ca=√22,a 2=b 2+c 2解得a 2=8,b 2=4.所以椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1. ...（2）(2)由（1）知，A(0,2),B(0,−2).根据题意，直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 的方程为y =kx +1. 由{x 2+2y 2−8=0y =kx +1 ，得(2k 2+1)x 2+4kx −6=0.根据题意，Δ>0恒成立，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 则x 1+x 2=−4k 2k 2+1,x 1x 2=−62k 2+1. 直线AM 的方程为y −2=y 1−2x 1x ，令y =4，得x =2x 1y1−2，所以P(2x 1y 1−2,4).因为B(0,−2),N(x 2,y 2)， 则直线BN,BP 的斜率分别为k BN =y 2+2x 2,k BP =3(y 1−2)x 1，k BN −k BP =y 2+2x 2−3(y 1−2)x 1=x 1(y 2+2)−3x 2(y 1−2)x 1x 2.又x 1(y 2+2)−3x 2(y 1−2)=x 1(kx 2+3)−3x 2(kx 1−1)， =−2kx 1x 2+3(x 1+x 2)， =−2k −62k 2+1+3×−4k2k 2+1，=0.所以k BN =k BP ， 所以B,P,N 三点共线. 17．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12．过点P(6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ． (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°． 【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)解：由题得a =2,ca =12,∴a =2,c =1,∴b =√3, 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)解：要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°−∠POM ， 只需证明tan∠PAN =1tan∠POM ,只需证明tan∠PAN ⋅tan∠POM =1, 只需证明k AN ⋅k OM =1,设M(6,m),N(6,n)，只需证明n6−2⋅m 6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k(x −6)，k ≠0， 联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−48k 2x +144k 2−12=0，设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k2,x 1x 2=144k 2−123+4k 2，又A,B,M 三点共线，所以m4=y 1x 1−2,∴m =4y 1x1−2，同理n =4y 2x 2−2，所以mn =4y 1x 1−2×4y 2x2−2=16k 2(x 1−6)(x 2−6)(x 1−2)(x 2−2)，所以mn =16k 2[x 1x 2−6(x 1+x 2)+36]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2[144k 2−123+4k 2−6×48k 23+4k 2+36]144k 2−123+4k 2−2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°. 18．已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，P 到椭圆C 的两个焦点的距离和为4√2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (4,0)，R 为PQ 的中点，作PQ 的平行线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，直线AQ 与椭圆C 交于另一点M ，直线BQ 与椭圆C 交于另一点N ，求证：M ，N ，R 三点共线． 【答案】(1)x 28+y 22=1(2)证明见解析 【解析】(1)根据椭圆的定义可得2a =4√2，解得a =2√2， 又过点P (2,1)，所以4a 2+1b 2=1，解得b 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)因为P (2,1)，Q (4,0)，所以R (3,12)，k PQ =1−02−4=−12，设直线l 的方程为y =−12x +m ，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x m ,y m ),N(x n ,y n )， 所以k AQ =y 1x1−4,k BQ =y 2x 2−4，所以直线AQ 的方程为y =y1x 1−4(x −4)，直线BQ 的方程为y =y2x 2−4(x −4)，联立直线AQ 与椭圆{y =y1x 1−4(x −4)x 28+y 22=1，消去x 可得[(x 1−4y 1)2+4]y 2+8(x 1−4)y 1y +8=0， 所以y 1+y m =−8(x 1−4)y 1(x 1−4y 1)2+4，又x 128+y 122=1代入，整理可得y m =8(x 1−4)y 124−8x 1−y 1=y13−x 1，代入直线AQ ，可得x m =8−3x 13−x 1同理可得y n =y23−x 2，x n =8−3x 23−x 2，所以k MN =y 23−x 2−y13−x 18−3x 23−x 2−8−3x 13−x 1=3(y 1−y 2)+x 1y 2−x 2y 1x 2−x 1=32+x 1(−12x 2+m)−x 2(−12x 1+m)x 2−x 1=32−m又k MR =y m −12x m −3=y 13−x 1−128−3x 13−x 1−3=(−12x 1+m)−12(3−x 1)8−3x 1−3(3−x 1)=32−m =k MN ，所以M ，N ，R 三点共线 19．已知椭圆M:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点A(2,0)，离心率为√22.(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线y =k(x +3)在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求k (|OP |+|OQ |)的值. 【答案】(1)x 24+y 22=1(2)45 【解析】(1)由题意知：a =2,c a =√22，则c =√2，b 2=a 2−c 2=2，则椭圆M 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线与椭圆{y =k(x +3)x 24+y 22=1，整理得(2k 2+1)x 2+12k 2x +18k 2−4=0，Δ=144k 4−4(2k 2+1)(18k 2−4)=−40k 2+16>0， 即−√105<k <√105，又直线y =k(x +3)在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两点，则0<k <√105；设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2)，则−2<x 1<2,−2<x 2<2，x 1+x 2=−12k 22k 2+1,x 1x 2=18k 2−42k 2+1，y 1=k(x 1+3),y 2=k(x 2+3)，易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则AB:y =y 1x1−2(x −2)，令x =0，得y =2y 12−x 1>0，则P(0,2y 12−x 1)，同理可得Q(0,2y 22−x 2)，且2y22−x 2>0，则k (|OP |+|OQ |)=k (2y 12−x1+2y22−x 2)=k ⋅2k(x 1+3)(2−x 2)+2k(x 2+3)(2−x 1)(2−x 1)(2−x 2)=k ⋅−4kx 1x 2−2k(x 1+x 2)+24kx 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k ⋅−4k⋅18k 2−42k 2+1−2k⋅−12k 22k 2+1+24k 18k 2−42k 2+1−2⋅−12k 22k 2+1+4 =45.20．已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A (−2,0)，圆O ：x 2+y 2=1经过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程和焦距；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N .求线段MN 长度的最小值. 【答案】(1)x 24+y 2=1，2√3；(2)√6. 【解析】(1)依题意，a =2,b =1，由c =√a 2−b 2=√3，得2c =2√3，所以椭圆C的方程为：x24+y2=1，焦距为2√3.(2)设P(x0,y0)(x0y0≠0)，则x024+y02=1，依题意，设Q(x1,y0)(x1≠0)，且x12+y02=1，因A(−2,0)，则线段AP的中点为(x0−22,y02)，直线AP的斜率k AP=y0x0+2，则线段AP的中垂线方程为：y−y02=−x0+2y0(x−x0−22)，令x=0得点M的纵坐标y M=y02+(x0+2)(x0−2)2y0=x02+y02−42y0，而x02−4=−4y02，则y M=−3y02，即M(0,−32y0)，直线OQ的斜率k OQ=y0x1，因此，圆O在点Q处的切线斜率为−x1y，切线方程为y−y0=−x1y0(x−x1)，令x=0得点N的纵坐标yN=y0+x12y0=x12+y02y0=1y0，即N(0,1y)，则有|MN|=|y N−y M|=|1y0+32y0|=1|y0|+32|y0|≥2√1|y0|⋅32|y0|=√6，当且仅当1|y0|=32|y0|，即y=±√63时取“=”，所以线段MN长度的最小值为√6.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
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十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解13统计部分一、选择题（共4小题；共20分）1. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A. 90B. 100C. 180D. 3002. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 A. x1>x2>x3B. x1>x3>x2C. x2>x3>x1D. x3>x2>x13. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为 A. 4041B. 1 C. 4140D. 24. 10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远单位:米 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳单位:次63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共2小题；共10分）5. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的学生中选取的人数应为．6. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，（1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；（2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共5小题；共65分）7. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10,2622,4834,61746,82258,1025610,1212712,146814,162916,182合计100（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a,b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．（只需写出结论）8. A，B，C 三班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A6 6.577.58B6789101112C3 4.567.5910.51213.5（1）试估计 C 班的学生人数；（2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的同学该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为μ1，表格中的数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）9. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，⋯80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．10. 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4 元/立方米收费，超出w立方米的部分按10 元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w至少定为多少?（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．11. A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组:10,11,12,13,14,15,16;B 组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?（结论不要求证明）答案第一部分1. C2. C 【解析】依题意，有x1=50+x3−55=x3−5，∴x1<x3，同理，x2=30+x1−20=x1+10，∴x1<x2，同理，x3=30+x2−35=x2−5，∴x3<x2．3. B4. B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1−8号．所以：进入30秒跳绳决赛的6人需要从1−8号里产生．数据排序后可知第3，6，7号必须进跳绳决赛，目前还需要3人（需要从63，a，63，60，a−1四个得分中抽3人）．若63分的人未进决赛，则60分的人就会进决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛．第二部分5. 0.030，36. 乙，数学第三部分7. （1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1−10100=0.9.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（2）课外阅读时间落在组4,6的有17人，频率为0.17，所以a=频率组距=0.17=0.085,课外阅读时间落在组8,10的有25人，频率为0.25，所以b=频率组距=0.252=0.125.（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．8. （1）由表可得，A班，B班，C班各抽取5，7，8；设 C 班的学生人数为N，则N100=85+7+8，解得N=40．（2）记该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长为事件A，由题可知，从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，共有C51×C81=40种．满足条件的有6,3，6,4.5，6.5,3，6.5,4.5，6.5,6，7,3，7,4.5，7,6，7.5,3，7.5,4.5，7.5,6，8,3，8,4.5，8,6，8,7.5共15种．所以P A=1540=38.（3）μ0>μ1．（提示：新选出7，9，8.25的平均数约为8.08；A，B，C 的三组数据均为等差数列，平均数分别为7，9，8.25，整体平均数显然大于8.08）.9. （1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1−0.04+0.02×10=0.4．故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间40,50内的频率为：1−0.04+0.02+0.02+0.01×10−0.05=0.05，估计总体中分数在区间40,50内的人数为400×0.05=20人．（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3:2．10. （1）由频率分布直方图知，=0.1；用水量在0.5,1的频率为0.2×12=0.15；用水量在1,1.5的频率为0.3×12=0.2；用水量在1.5,2的频率为0.4×12=0.25；用水量在2,2.5的频率为0.5×12=0.15；用水量在2.5,3的频率为0.3×12所以用水量不超过2的频率为0.1+0.15+0.2=0.45；用水量不超过3的频率为0.1+0.15+0.2+0.15=0.85；又w为整数，所以为使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w至少定为3．（2）依题意，1×4×0.1+1.5×4×0.15+2×4×0.2+2.5×4×0.25+3×4×0.15+3×4+0.5×10×0.05+3×4+1×10×0.05+3×4+1.5×10×0.05=10.5.答：该市居民该月的人均水费为10.5 元/立方米．11. （1）设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，i=1,2,⋯,7．由题意可知P A i=P B i=1，i=1,2,⋯,7．7由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P A5∪A6∪A7=P A5+P A6+P A7=37．（2）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,因此P C=P A4B1+P A5B1+P A6B1+P A7B1+P A5B2+P A6B2+P A7B2+P A7B3+P A6B6+P A7B6=10P A4B1=10P A4P B1=10.（3）a=11或a=18．。