配方法与公式法以及韦达定理练习题

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中学数学 韦达定理 练习题(含答案)

中学数学  韦达定理  练习题(含答案)

第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在:运用韦达定理,求方程中参数的值;运用韦达定理,求代数式的值;利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根,则代数式)2(22-+βαα的值为 .思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数,且0132=+-m a a ,0132=+-m b b ,那么ba ab +的值为( ) A .22123 B .22125或2 C .22125 D .22123或2思路点拨 可将两个等式相减,得到a 、b 的关系,由于两个等式结构相同,可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于1x 、2x 的对称式,这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式.【例3】 已知关于x 的方程:04)2(22=---m x m x (1)求证:无论m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根. (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ,求m 的值及相应的1x 、2x .思路点拨 对于(2),先判定1x 、2x 的符号特征,并从分类讨论入手.【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根,当m 为何值时,2221x x +有最小值?并求出这个最小值.思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性.【例5】 已知:四边形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根. (1)当m =2和m>2时,四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点,线段MN 分别交AC 、BD 于点P ,Q ,PQ =1,且AB<CD ,求AB 、CD 的长. (2003年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(2),易建立含AC 、BD 及m 的关系式,要求出m 值,还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.注:在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时,往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化,既要注意通过根的判别式的检验,又要考虑几何量的非负性.学历训练1.(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根,并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ,则实数m 取值范围是 . (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根,那么实数m 的取值范围是 .2.已知α、β是方程的两个实数根,则代数式2223βαββαα+++的值为 .3.CD 是Rt △ABC 斜边上的高线,AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根,则△ABC 的面积是 .4.设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根,1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根,则p 、q 的值分别等于( )A .1,-3B .1,3C .-1,-3D .-1,35.在Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根,那么AB 边上的中线长是( )A .23B .25 C .5 D .2 6.方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ,则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A .1 B .-l C .21- D .21 7.若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式:)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ,判断4)(2≤+b a 是否正确?8.已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x .(1) 当k 是为何值时,此方程有实数根;(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足:312=+x x ,求k 的值.9.已知方程02=++q px x 的两根均为正整数,且28=+q p ,那么这个方程两根为 .10.已知α、β是方程012=--x x 的两个根,则βα34+的值为 .11.△ABC 的一边长为5,另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根,则m 的取值范围是 .12.两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根,则b a a b +的值是( ) A .9413 B .1949413 C .999413 D .979413 13.设方程有一个正根1x ,一个负根2x ,则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A .0232=---m x xB .0232=--+m x xC .02412=---x m xD .02412=+--x m x14.如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m 的取值范围是( )A .0≤m ≤1B .m ≥43C .143≤<mD .43≤m ≤1 15.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 的长为10,且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.(1)求rn 的值;(2)若E 是AB 上的一点,CF ⊥DE 于F ,求BE 为何值时,△CEF 的面积是△CED 的面积的31,请说明理由.16.设m 是不小于1-的实数,使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .(1) 若62221=+x x ,求m 的值.(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值. 17.如图,已知在△ABC 中,∠ACB=90°,过C 作CD ⊥AB 于D ,且AD =m ,BD=n ,AC 2:BC 2=2:1;又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192,求整数m 、n 的值.18.设a 、b 、c 为三个不同的实数,使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根,并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根,试求c b a ++的值.参考答案。

解一元二次方程练习题配方法

解一元二次方程练习题配方法

.. 解一元二次方程练习题(配方法)1.用适当的数填空:①、x2+6x+ =(x+ )2;②、x2-5x+ =(x-)2;③、x2+ x+ =(x+ )2;④、x2-9x+ =(x-)22.将二次三项式2x2-3x-5进行配方,其结果为_________.3.已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_______.4.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为_______,•所以方程的根为_________.5.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是()A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对6.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是()A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-17.把方程x+3=4x配方,得()A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=21 C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=28.用配方法解方程x2+4x=10的根为()A.2B.-2C.D.9.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()A.总不小于2 B.总不小于7C.可为任何实数D.可能为负数10.用配方法解下列方程:(1)3x2-5x=2.(2)x2+8x=9(3)x2+12x-15=0 (4)41x2-x-4=011.用配方法求解下列问题(1)求2x2-7x+2的最小值;(2)求-3x2+5x+1的最大值。

一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x2、2)3(2=-x..3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y 2、x x 4232=-3、9642=-x x 4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x9、()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。

解一元二次方程练习题(韦达定理)

解一元二次方程练习题(韦达定理)

实用标准文档解一元二次方程练习题(配方法)1.用适当的数填空:①、x 2+6x+ =(x+ )2; ②、x 2-5x+ =(x - )2; ③、x 2+ x+ =(x+ )2; ④、x 2-9x+ =(x - )2 2.将二次三项式2x 2-3x-5进行配方,其结果为_________. 3.已知4x 2-ax+1可变为(2x-b )2的形式,则ab=_______.4.将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成(x+a )2=b 的形式为______,•所以方程的根为_______.5.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( ) A .3 B .-3 C .±3 D .以上都不对 6.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )A .(a-2)2+1B .(a+2)2-1C .(a+2)2+1D .(a-2)2-1 7.把方程x+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7B .(x+2)2=21C .(x-2)2=1D .(x+2)2=2 8.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( )A .2B .-2C .D .9.不论x 、y 为什么实数,代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值( )A .总不小于2B .总不小于7C .可为任何实数D .可能为负数 10.用配方法解下列方程:(1)3x 2-5x=2. (2)x 2+8x=9 (3)x 2+12x-15=0 (4)41x 2-x-4=07、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x11.用配方法求解下列问题(1)求2x 2-7x+2的最小值 ; (2)求-3x 2+5x+1的最大值。

一.填空题:1.关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________. 2.方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____. 3.方程x 2=1的解为______________.4.方程3 x 2=27的解为______________; x 2+6x+____=(x+____)2; a 2±____+41=(a ±____ )2 5.关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二.选择题:6.在下列各式中①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=- x1+2 是一元二次方程的共有( )A 0个B 1个C 2个D 3个 8.一元二次方程的一般形式是( )A x 2+bx+c=0 B a x 2+c=0 (a ≠0 ) C a x 2+bx+c=0 D a x 2+bx+c=0 (a ≠0) 9.方程3 x 2+27=0的解是( )A x=±3B x= -3C 无实数根D 以上都不对 10.方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 011.将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )A (x- 2)2=1B (x- 4)2=1C (x- 2)2=5D (x- 1)2=4五. 用配方法或公式法解下列方程.:(10) x 2-6x+9 =0 (1)x 2+ 2x + 3=0 (2)x 2+ 6x -5=0 (3) x 2-4x+ 3=0(4) x 2-2x -1 =0 (5) 2x 2+3x+1=0 (6) 3x 2+2x -1 =0(7) 5x 2-3x+2 =0 (8) 7x 2-4x -3 =0 (9) -x 2-x+12 =0韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么1212,b cx x x x a a+=-=说明:(1)定理成立的条件0∆≥ (2)注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 (1)计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:(1) 2212x x +;(2)1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:222121212()2x x x x x x +=+-,12121211x x x x x x ++=,22121212()()4x x x x x x -=+-,12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+,33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.【课堂练习】1.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22的值为_________2.已知x 1,x 2是方程2x 2-7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= ,(x 1-x 2)2=3.已知方程2x 2-3x+k=0的两根之差为212,则k= ;4.若方程x 2+(a 2-2)x -3=0的两根是1和-3,则a= ;5.若关于x 的方程x 2+2(m -1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;6. 设x 1,x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值: (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 -1x 27.已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:2221x 1x 1+(2)构造新方程理论:以两个数为根的一元二次方程是。

配方法解方程练习题和答案

配方法解方程练习题和答案

配方法解方程练习题和答案在代数学中,配方法(也称为配方法)是一种用于解决二次方程的常见方法。

本文将提供一些配方法解方程的练习题以及它们的答案。

这些练习题旨在帮助读者更好地理解配方法,并提供一个基础的解方程能力。

练习题一:解方程 x^2 + 6x + 8 = 0解:通过观察,我们可以将方程写为 (x + 2)(x + 4) = 0 的形式。

然后,根据零乘法,可以得知 x + 2 = 0 或 x + 4 = 0。

从而得到两个解:x = -2 或 x = -4。

练习题二:解方程 2x^2 + 5x - 3 = 0解:首先,我们需要进行系数的配比。

这里的系数是 2、5 和 -3。

我们需要找到两个数,使它们的和等于 5,乘积等于 -6(2 和 -3 的乘积)。

这两个数是 6 和 -1,因此,我们可以将方程重写为 (2x + 6)(x - 1) = 0。

接下来,根据零乘法,可以得知 2x + 6 = 0 或 x - 1 = 0。

解方程后,我们得到两个解:x = -3 或 x = 1。

练习题三:解方程 3x^2 - 10x + 3 = 0解:我们需要找到两个数,使它们的和等于 -10,乘积等于 9(3 和 3 的乘积)。

这两个数是 -9 和 -1,因此,我们可以将方程重写为 (3x - 9)(x - 1) = 0。

根据零乘法,我们得知 3x - 9 = 0 或 x - 1 = 0。

解方程后,我们得到两个解:x = 3 或 x = 1。

练习题四:解方程 x^2 + x + 1 = 0解:这个方程看起来不太容易进行系数的配比。

但我们仍可以使用另一种方法来解决。

我们将方程重写为 (x^2 + x + 1) = 0。

然后,我们使用韦达定理来找到根。

x1 = (-1 + √3i) / 2x2 = (-1 - √3i) / 2其中,i 是虚数单位。

这些练习题展示了如何使用配方法解二次方程。

通过观察系数并进行配比,我们能够得到方程的因式分解形式,然后根据零乘法得到解。

人教版数学九年级上册 解一元二次方程练习题(配方法)

人教版数学九年级上册 解一元二次方程练习题(配方法)

一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、 用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x三、 用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x 6、02322=--x x四、 用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x4、22)2(25)3(4-=+x x5、0)21()21(2=--+x x6、0)23()32(2=-+-x x五、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-2322 15、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2+4x -12=0 24、030222=--x x25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x34、()1126=+x x . 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=037、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+40、081222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0一元二次方程解法练习题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。

配方法与公式法以及韦达定理练习题

配方法与公式法以及韦达定理练习题

解一元二次方程练习题(配方法)步骤: (1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m )2=n 的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.练习1.用适当的数填空:①x 2+6x+ =(x+ )2;② x 2-5x+ =(x - )2; ③x 2+ x+ =(x+ )2;④ x 2-9x+ =(x - )2 2.将二次三项式2x 2-3x-5进行配方,其结果为_________. 3.已知4x 2-ax+1可变为(2x-b )2的形式,则ab=_______.4.将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成(x+a )2=b 的形式为_______,•所以方程的根为_________. 5.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( ) A .3 B .-3 C .±3 D .以上都不对 6.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( ) A .(a-2)2+1 B .(a+2)2-1 C .(a+2)2+1 D .(a-2)2-17.把方程x+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7 B .(x+2)2=21 C .(x-2)2=1 D .(x+2)2=28.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( )A .2.-2..9.不论x 、y 为什么实数,代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值( )A .总不小于2B .总不小于7C .可为任何实数D .可能为负数 10.用配方法解下列方程:(1)3x 2-5x=2. (2)x 2+8x=9 (3)x 2+12x-15=0 (4)41x 2-x-4=0(5)6x 2-7x+1=0 (6)4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题(1)求2x 2-7x+2的最小值 ;(2)求-3x 2+5x+1的最大值。

(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)

(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)

(7) 5x 2 -3x+2 =0
(8) 7x 2 -4x-3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 -6x+9 =0
韦达定理:对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,如果方程有两个实数根 x1, x2 ,那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明:(1)定理成立的条件 0
2.已知 x1,x2 是方程 2x2-7x+4=0 的两根,则 x1+x2=
,x1·x2=

(x1-x2)2=
1
3.已知方程 2x2-3x+k=0 的两根之差为 2 ,则 k=
;
2
4.若方程 x2+(a2-2)x-3=0 的两根是 1 和-3,则 a=
;
5.若关于 x 的方程 x2+2(m-1)x+4m2=0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m 的值为
(2)注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根,试求下列各式的值:
(1) x12 x22 ;
(2) 1 1 ; x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ;
(4) | x1 x2 | .
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1

一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理编号:撰写人:一、一元二次方程的解法:例题1:用配方法、因式分解、公式法解方程:x2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中,最简单的方法是哪一种?【一元二次方程的解法总结】1、直接法:对于形如—x 2=a 的方程,我们可以用直接法。

方程的解为x=推论:对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。

注意点:①二次项的系数为1,且a ≥0②假如a 为根式,注意化简。

例1:解方程:5x 2=1例2:解方程:x 2= 4-例3:解方程:4x 2+12x+9=122、配方法:对于形如:ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程,我们可以采用配方法的方法来解。

步骤:①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ,可以得到:X 2+ b a x+ c a=0 ②配方: 〔x+ 2b a 〕2+c- 2()2b a=0 ③移项: 〔x+ 2b a 〕2=2()2b a-c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a注意点:解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。

例:解方程:x 2+x=13、公式法:对于形如:ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程,我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法,我们可以得到方程的解为:X=-2b a 进一步变形,就可以知道:形如:ax 2+bx+c=0〔其中a ≠0〕的方程的解为:x 1x 2 注意点:① 解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。

② 解题步骤要标准。

例:解方程:x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法,一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程,假如在构造上有某种特殊的相似性,可以考虑用换元法;或者,当这个题目有比拟复杂的根式,换元法也是可以考虑的解法。

例1:解方程:〔x2+5x+2〕2+(x2+5x+2)-2=0例2:15、有理化方法:对于一个方程,假如含有两个根式,并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值,那就可以考虑用有理化的方法。

解一元二次方程练习进步题(配方法)

解一元二次方程练习进步题(配方法)

一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x 三、用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x 四、用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x4、22)2(25)3(4-=+x x5、0)21()21(2=--+x x6、0)23()32(2=-+-x x五、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=,.4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-232215、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2+4x -12=0 24、030222=--x x25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x34、()1126=+x x . 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=037、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+40、081222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0一元二次方程解法练习题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。

解一元二次方程配方法公式法

解一元二次方程配方法公式法

解一元二次方程专题训练(林)1.用适当的数填空:①、x 2+6x+ =(x+ )2 ②、x 2-5x+ =(x - )2; ③、x 2+ x+ =(x+ )2 ④、x 2-9x+ =(x - )2⑤5x 2– 4x + 12 = 0中的二次项系数a=_____,一次项系数b=______,常数项c=______, b 2-4ac=_______,此方程______(填有、没有)实数根。

⑥(x -2)(3x -5) =1的一般形式为:__________________2.利用直接开平方法解下列方程:2(4)16(1)49x3.用配方法解下列方程:(步骤:移项、配方、变形、开方、求解)(1)x 2+8x=9 (2)x2 –6x-11=0(3) 2x 2+6=7x (4)-3x 2+22x-24=04.利用公式法解下列方程 (当b 2-4ac ≥0时,(1)3x 2-5x-2=0 (2)16x 2+8x=-32(1)36x =2(2)10257x x -+=x =()2(5)25250x +-=2(3)425x =(3) (4)(2x-1)(x-2) =-15、不解方程,判断下列方程解的情况(1)5x +2=3x 2 (2) 9x 2+6x+1 =06.(1)韦达定理:如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个根是 x 1,x 2 ,那么x 1+x 2=_____, x 1·x 2=______.(2)说出下列各方程的两根之和与两根之积:(1)x 2-7x+12=0 ; (2)2x 2+3x-2=0(3)已知 x 1,x 2 是方程3x 2+px+q=0的两个根,分别根据下列条件求出p 和q 的值.(1) x 1=1, x 2=2 (2) x 1=3, x 2=-67、拓展提升:(1)关于a 的一元二次方程a 2-4a+k=0有实数根,则k 的取值范围是______(2)关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+3=0没有实数根,则整数a 的最大值为_______(3) 已知方程 x 2-(k+1)x+3k=0 的一个根是2,求它的另一个根和 k 的值.231.y +=。

完整版)解一元二次方程练习题(配方法)

完整版)解一元二次方程练习题(配方法)

完整版)解一元二次方程练习题(配方法) 一元二次方程解法练题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、4x-1=2、(x-3)^2=2、2、(x-1)^2=5、81(x-2)=16二、用配方法解下列一元二次方程。

1、y^2-6y-6=0、3x^2-4x+2=02、x^2-4x-5=0、2x^2+3x-1=03、x^2-4x=9、3x^2+2x-7=04、x^2-4x-5=0、-4x^2-8x=165、2x^2+3x-1=0、(2-3x)^2=46、-4x^2+12x=0三、用公式解法解下列方程。

1、x^2-2x-8=0、4y^2-2y-1=02、2x^2-5x+1=0、-4x^2-8x=16、2x^2-3x-2=0四、用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x^2=2x、(x+1)^2-(2x-3)^2=3、x^2-6x+8=02、4(x-3)^2=25(x-2)、(1+2)x^2-(1-2)x=6、(2-3x)^2+(3x-2)^2=1五、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、3x/(x-1)=x/(x+5)、2x-3=5x、x-2y+6=22、x^2-7x+10=0、(x-3)(x+2)=6、4(x-3)+x(x-3)=23、(5x-1)^-2=8、3y^2-4y-9=0、x^2-7x-30=24、(y+2)(y-1)=4、x^2-4ax=b^2-4a^2、x^2+(531/36)x=05、4x(x-1)=3、3x^2-9x+2=0一元二次方程解法练题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1.4x-1=2解:移项得4x=3,两边平方得16x^2=9,即x=±3/4.2.(x-3)^2=2解:展开得x^2-6x+7=0,两边平方得x-3=±√2,即x=3±√2.3.(x-1)^2=5解:展开得x^2-2x-4=0,两边平方得x-1=±√5,即x=1±√5.4.81(x-2)=162解:移项得(x-2)^2=2,两边开平方得x-2=±√2,即x=2±√2.七、用配方法解下列一元二次方程。

一元二次方程的解法与韦达定理练习题

一元二次方程的解法与韦达定理练习题

一元二次方程的解法与韦达定理【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法?2.还记得如何用配方法解方程吗?配方时需要注意些什么?3.韦达定理是什么?你能推导吗?使用韦达定理的前提条件是什么?【典型例题】例1 (1)一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____.(2)将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________, 一次项是__________,常数项是_________.例2 用配方法解下列方程(1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)036412=+-x x 例3 用公式法解下列各方程(1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x例4 用因式分解法解下列方程(1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x例5 用适当方法解方程:(1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2=-+y(4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x (5))3(215)3(2+-=+x x(6)01242=-+x x (7)0)12(532=++x x根与系数关系式一、填空题与选择题:1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6,那么=k ______3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( )A 、3 C 、6 D 、94、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( )A.11B.17C.17或19D.19 二、解答题:5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1))3)(3(21--x x ; (2)2221)1()1(+++x x(3))31)(31(1221x x x x ++6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比它们的积大21,求m 的值.7、m 为何值时,关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数;8、已知m ,n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根,求m n m 23222++的值。

韦达定理(常见经典题型)

韦达定理(常见经典题型)

韦达定理(常见经典题型)一、一元二次方程的基本概念及解法一元二次方程是指等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),未知数的最高次数是2(二次)的方程。

通常可写成如下的一般形式:ax²+bx+c=0,其中a、b、c为常数,且a≠0.一元二次方程的解法有三种:直接开平方法、配方法和公式法。

1)直接开平方法:当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方,而另一边是一个常数时,可以根据平方的意义,通过开平方法求出这个方程的解。

2)配方法:用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一般步骤是:①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为一次项和常数项,右边为零;③配方,即方程两边都加上b²/4a²的平方;④化原方程为(x+m)²=n的形式,如果n是非负数,即n≥0,就可以用公式法求出方程的解。

如果n<0,则原方程无实数解。

3)公式法:方程ax²+bx+c=0(a≠0),当b²-4ac>0时,x1=(-b+√(b²-4ac))/2a,x2=(-b-√(b²-4ac))/2a,即方程有两个不相等的实数解;当b²-4ac=0时,x1=x2=-b/2a,即方程有两个相等的实数解;当b²-4ac<0时,方程无实数解。

二、一元二次方程的应用一元二次方程可以应用于解决实际问题,例如求解某个物体的运动轨迹、面积和体积等问题。

通过列出方程,可以得到实际问题的答案。

三、___定理韦达定理是指一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1和x2的和为-x1-x2=-b/a,乘积为x1x2=c/a。

这个定理可以在解一元二次方程时起到重要的作用。

注:原文中存在格式错误和明显有问题的段落,已在修改过程中删除。

1.已知一元二次方程的两个根分别为$x_1$和$x_2$,求其系数$a$、$b$、$c$的值。

解一元三次方程练习题配方法

解一元三次方程练习题配方法

解一元三次方程练习题配方法
引言
一元三次方程是一个常见的数学问题,解决这类方程需要掌握一些方法和技巧。

本文将介绍一些解一元三次方程的练题配方法。

一、使用因式分解法
当一元三次方程形式为 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 时,我们可以尝试使用因式分解法来解方程。

二、应用根与系数之间的关系
一元三次方程的根与系数之间有一定的关系。

根据韦达定理,一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根满足以下条件:- 根的和与系数 b/a 的倒数相反,即第一个、第二个和第三个根的和为 -b/a;
- 根的乘积与系数 d/a 相反,即第一个、第二个和第三个根的乘积为 d/a。

三、应用换元法
在解一元三次方程时,可以通过进行适当的换元将其转化为其他形式的方程。

比如,可以令 y = x + p,将方程转化为一个关于 y 的方程,然后尝试解这个转化后的方程。

四、综合运用方法
解一元三次方程的过程中,也可以综合运用不同的方法。

通过分析方程的特点和取值范围,有时可以找到更便捷的解法。

结论
解一元三次方程需要掌握因式分解法、根与系数之间的关系、换元法等方法。

在练题中,可以尝试综合运用这些方法,提高解题能力和灵活性。

参考资料。

解一元二次方程练习题(配方法)

解一元二次方程练习题(配方法)

关于诗歌的综合实践活动嘿,朋友们!咱今儿来聊聊诗歌的综合实践活动呀!诗歌,那可是个神奇的玩意儿,就像一把能打开心灵之门的钥匙。

你想想看,一首好诗,那可不亚于一顿美味大餐!能让你品出各种滋味来。

有时候它像清晨的第一缕阳光,温暖又明亮;有时候又像夜晚的星星,神秘而迷人。

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咱搞诗歌综合实践活动,就像是踏上一场奇妙的冒险。

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那场面,啧啧,别提多带劲了!每个人都沉浸在诗歌的海洋里,感受着那些优美的词句带来的冲击。

你听听别人朗诵,说不定就能发现一些自己从来没注意到的好诗呢!这不就像在宝藏堆里淘宝嘛!或者来个诗歌创作大赛咋样?让大家的想象力和创造力都飞起来!甭管写得好不好,重要的是敢写。

就像学走路一样,一开始可能摇摇晃晃的,但多走走不就稳了嘛!说不定还能冒出几个小诗人呢!到时候,看着自己写的诗被大家欣赏,那心里得多美呀!还有还有,咱可以搞个诗歌主题的手抄报呀!把喜欢的诗抄上去,再配上些漂亮的图画,哇,那得多吸引人呀!这就像是给自己打造了一个专属的诗歌小世界。

再不然,咱们可以去大自然里寻找诗歌的灵感呀!看看那蓝天白云、绿水青山,听听那鸟儿唱歌、风儿吹过,这些不都是最好的素材嘛!大自然可是个超级大诗人呢,它写的诗那才叫一个绝!你说,诗歌的综合实践活动是不是超级有趣?它能让我们更加亲近诗歌,了解诗歌,爱上诗歌。

它就像一把火,能点燃我们心中对文学的热爱;又像一阵风,能吹拂我们心灵的每一个角落。

难道你不想试试吗?来吧,朋友们,让我们一起在诗歌的世界里尽情遨游吧!别再犹豫啦,这么有意思的事儿,不参与多可惜呀!赶紧行动起来吧!。

初三上册一元二次方程计算题韦达定理练习题

初三上册一元二次方程计算题韦达定理练习题

一元二次方程计算题韦达定理练习题一、解一元二次方程:(1)250x x += (2)(2)36x x x -=-(3)2(5)4x -= (4)(2)20x x x -+-=;(5)用配方法解方程:210220x x -+= (6)2(34)0x x x +-=(7)2310x x --= (8)260x x -=(9)(2)2x x x -=- (10)2680x x ++=(11)21090x x ++= (12)2680x x -+=(13)用配方法解方程:21060x x -+= (14)(3)3x x x -=-;(15)2230x x --= (16) 2680x x -+=(17)228x x -= (18)2x 2﹣3x ﹣2=0(19)﹣x 2+2x +3=0 (20)x 2+4x +1=0二、判断一元二次方程根的个数:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆: (1)⇔>∆0方程有两个不等实数根. (2)⇔=∆0方程有两个相等实数根. (3)⇔<∆0方程无实数根.(4)⇔≥∆0方程有两个实数根.1、以下是方程2321x x -=-的解的情况,其中正确的有( ). A .248b ac -=-,∴方程有解 B .248b ac -=-,∴方程无解 C .248b ac -=,∴方程有解D .248b ac -=,∴方程无解2. 若关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围 是( ). A .2a <且0a ≠B .2a >C .2a <且1a ≠D .2a <-3. 已知0b ≠,试判定关于x 的一元二次方程222(2)(2)0x a b x a ab b -+++-=的根的情况是 .4. 已知a ,b ,c 分别是三角形的三边,则方程2()2()0a b x cx a b ++++=的根的情况是( ). A .没有实数根 B .可能有且只有一个实数根 C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根5. 关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根,则a 满足( ).A .≥a 1B .1a >且5a ≠C .≥a 1且5a ≠D .5a ≠6. 如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 .7、已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根,则二次项系数a 的取值范围是( ). A .1a >B .2a >-C .1a >且0a ≠D .1a >-且0a ≠8、下列关于x 的一元二次方程中,有两个相等的实数根的方程是( ). A .2230x x +-=B .210x +=C .24410x x ++=D .230x x ++=9、已知:关于x的一元二次方程230--=有两个不相等的实数根.求k的取值范围.x x k10、已知:关于x的方程2(2)20-++=.求证:无论取任何实数值,方程总有实数根.x k x k11、若关于x的一元二次方程22--++=有实数根,求实数k的取值范围.2(2)120x k x k12、已知关于x 的方程2(3)(23)0x m x m m +---=,证明:无论m 为何值方程都有两个实数根.13、已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-=.求证:无论k 为何实数,方程总有实数根。

解一元二次方程练习题(配方法)

解一元二次方程练习题(配方法)

解一元二次方程练习题(配方法)1.用配方法解下列方程:(1)3x 2-5x=2. (2)x 2+8x=9 (3)x 2+12x-15=0 (4)41 x 2-x-4=02.用配方法求解下列问题(1)求2x 2-7x+2的最小值 ;(2)求-3x 2+5x+1的最大值。

一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x三、 用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x4、22)2(25)3(4-=+x x5、0)21()21(2=--+x x6、0)23()32(2=-+-x x四、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-2322 15、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2+4x -12=0 24、030222=--x x25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x34、()1126=+x x . 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=037、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+40、081222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0一元二次方程解法练习题五、用直接开平方法解下列一元二次方程。

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高一年级数学周末家庭作业
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一、解一元二次方程练习题(配方法)
1.用适当的数填空:
①x 2+6x + =(x + )2;② x 2-5x + =(x - )2;
③x 2+ x + =(x + )2;④ x 2-9x + =(x - )2
2.将二次三项式2x 2-3x -5进行配方,其结果为_________.
3.已知4x 2-ax +1可变为(2x -b )2的形式,则ab =_______.
4.将一元二次方程x 2-2x -4=0用配方法化成(x +a )2=b 的形式为_______,所以方程的根为_________.
5.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( )
A.3
B.-3
C.±3
D.以上都不对
6.用配方法将二次三项式a 2-4a +5变形,结果是( )
A.(a -2)2+1
B.(a +2)2-1
C.(a +2)2+1
D.(a -2)2-1
7.把方程x+3=4x 配方,得( )
A.(x -2)2=7
B.(x +2)2=21
C.(x -2)2=1
D.(x +2)2=2
8.用配方法解方程x 2+4x =10的根为( )
9.不论x 、y 为什么实数,代数式x 2+y 2+2x -4y +7的值( )
A.总不小于2
B.总不小于7
C.可为任何实数
D.可能为负数
10.用配方法解下列方程:
(1)3x 2-5x =2. (2)x 2+8x =9 (3)x 2+12x -15=0
(4)
4
1x 2-x -4=0 (5)6x 2-7x +1=0 (6)4x 2-3x =52
11.用配方法求解下列问题
(1)求2x 2-7x +2的最小值 ;(2)求-3x 2+5x +1的最大值。

12.将二次三项式4x 2-4x +1配方后得( )
A.(2x -2)2+3
B.(2x -2)2-3
C.(2x +2)2
D.(x +2)2-3
13.已知x 2-8x +15=0,左边化成含有x 的完全平方形式,其中正确的是( )
A.x 2-8x +(-4)2=31
B.x 2-8x +(-4)2=1
C.x 2+8x +42=1
D.x 2-4x +4=-11
14.已知一元二次方程x 2-4x +1+m =5请你选取一个适当的m 的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程。

(1)你选的m 的值是 ;(2)解这个方程.
15.如果x 2-4x +y 2+6y ,求(xy )z 的值
二、解一元二次方程练习题(十字交叉法)
1、解下列方程.
(1)2x 2-4x -1=0 (2)5x +2=3x 2 (3)(x -2)(3x -5)=0
(4)4x 2-3x +1=0 (5)2x 2+x -6=0; (6) 0422=+-x x
(7)5x 2-4x -12=0; (8)4x 2+4x +10=1-8x . (9)2220x x +-=
(10)23470x x +-=; (11)22810y y +-=; (12)212308
x x -+
=
2.2的根是( ).
A.x 1x 2
B.x 1=6,x 2
C.x 1x 2
D.x 1=x 2=-3.当x =______时,代数式x 2-8x +12的值是-4.
4.若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +m 2+2m -3=0有一根为0,则m 的值是_______.
5、用公式法解方程:3x (x -3) =2(x -1) (x +1).
三、一元二次方程根的判别式与韦达定理练习题
一、选择题
1.方程x 2-3x +1=0的根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
2.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有实数根,则k 的取值范围是( ).
A.k ≤1
B.k ≥1
C.k <1
D.k >1
3.关于x 的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a 的值是( )
A.-1
B.1
C.1或-1
D.-1或0
4.关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+2kx +k +3=0有两个不相等的是数根,则k 的最大整数值是( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
5.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两根,那么(1x +1)(2x +1)的值是( )
A.1.5
B.0.5
C.-2.5
D.-6
二、填空题
7.方程2(x +1)2 =3(x +1)的解为_________
8.不解方程,判断下列方程x 2+x + 1=0 根的情况为_________
9.若一元二次方程x 2-2x +a =0有两个相等的实数根,则a 的值是_________
10.已知x 1,x 2是关于x 的方程(a -1)x 2+x +a 2-1=0的两个实数根,且x 1+x 2=3
1,则x 1·x 2=_______.
三、解答题
11.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2-5x -6=0的两个根,求x 12+x 22 的值
12.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2-(2a -3)x +1=0的两个实数根,且11x +2
1x =-2,求a 的值
14.已知方程x 2+kx -6=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
四、立方和与立方差公式
一、填空,使之符号立方和或立方差公式:
(1)(x -3)( )=x 3-27; (2)(2x +3)( )=8x 3+27;
(3)(x 2+2)( )=x 6+8; (4)(3a -2)( )=27a 3-8
二、已知x 2+y 2=6,xy =2,求x 6+y 6的值.。

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