大学物理答案第八章 振动

第八章 振动

8-1 解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）

设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，

合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=.

又 2

2

d d t y M Ma F == 故0d d 22

=+gy s t y M ρ 02

2=+y M g

s dt

dy ρ 故作简谐振动 M g

s ρω=

2

)(35.68

.910102101022223

33

4s g s M T =⨯⨯⨯⨯⨯===πρπωπ

8-2 解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：

)(1.0sin 0m k

mg l ==

θ

(1) (1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx

列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式

220d d )(sin sin t

x

m x l k mg T mg =+-=-θθ

将（1）式代入上式，整理后得

0d d 2

2=+x m k

t

x 故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==

m

k

ω 习题8-1图

由初始条件,000⎩⎨

⎧=-=v l x 求得,1.00⎩⎨⎧===π

ϕm

l A 故物体A 的运动方程为

x =0.1cos(7t+π)m

(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:

221d d sin t

x

m T mg =-θ (2)

对

滑

轮

列

出

转

动

方

程为：

22

221d d 2

1

21t x Mr r a Mr J r T r T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==-β (3)

式中,T 2=k (l 0+x ) （4）

由式（3）、(4)知2

201d d 21)(t x

M x l k T ++=代入(2)式知

22

021)(sin dt

x

d m M x l k mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-θ

又由（1）式知0sin kl mg =θ

故0d d )21(22=++kx t

x

m M

即0)2

(d d 22=++

x m M k

t

x m M k +=

2

2

ω

可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52

=+=

m M k ω

由于初始条件：0,000=-=v l x

可知，A 、ϕ不变，故物体A 的运动方程为:

m t x )7.5cos(1.0π+=

由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率

.

习题8-2图

8-3 解：简谐振动的振动表达式：)cos(ϕω+=t A x

由题图可知，m 1042

-⨯=A ,当t=0时，将m 1022

-⨯=x 代入简谐振动表达式，得：

2

1

cos =

ϕ 由)sin(ϕωωυ+-=t A ,当t=0时，ϕωυsin A -= 由图可知，υ>0,即0sin <ϕ,故由21cos =ϕ,取3

πϕ-= 又因:t=1s 时，,1022

m x -⨯=将其入代简谐振动表达式，

得

213cos ,

3cos 42=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=πωπω

由t=1s 时,⎪⎭⎫

⎝

⎛

-

-=3sin πωωυA <0知，03sin >⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-πω,取33ππω=-， 即 s 3

2π

ω=

质点作简谐振动的振动表达式为

m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-33

2

cos 1042ππ

8-4 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r

，由高斯

定理可知304R r Q E πε

=

,则微粒在此处受电场力为:

r R Qq F

3

04πε-= 式中，负号表明电场F 的方向与r

的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：

04d d 04d d 043022

3022

3

0=+⇒=+=+r mR

Qq

t r r R Qq t r m

r R

Qq

F πεπεπε

令 m

R Qq

3

02

4πεω=

则 0d d 222=+r t

r

ω

习题8-3图