2012届高考数学课时复习题1
2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合-学生版
2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合§1.1 集合的含义及其表示经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ； （3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A ； 其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x2-3x+5=0的解集是空集； （3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集； 其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0x y <>} B ． {(x,y)0,0x y <>}C. {(x,y)0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>}6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a__________{a}， π__________Q ， 21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ． 7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x =}．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N=-+∈∈}为 ．9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集．10．对于集合A ＝{2，4，6}， 若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x2－x}中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x －∈N }，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11Aa∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。
2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)
第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。
2012 年全国各地高考数学试题及解答汇编大全
3、 (2012 全国卷大纲版●理)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列， 要求每行的字母 互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A). A. 12 种； B. 18 种； C. 24 种； D. 36 种. 4、 (2012 全国卷大纲版●理)正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE BF
2、 (2012 新课标●理)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边 长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为(A). A. B. C. D.
2 ； 6
3 ； 6 2 ； 3
2 . 2
【解析】 ABC 的外接圆的半径 r 1 1 o 3 ，球心 O 到面 ABC 的距离 2 sin 60 3 第 1 页/共 64 页
1 1 1 1 f ( y)，即 y f 1 ( x) g ( x) 知， y f (2 x) 的 2 2 2
反函数是 y 1 g ( x) ，故函数 y f (2 x) 与 y 1 g ( x) 的图像也关于直线 y x 对称；正 2 2 确. ③ f ( x) f (2 x) f ( x 2) f [2 ( x 2)] f (4 x) f ( x 4) .故 f ( x) 是周期为 4 的函数. 故选 C.
由对称性知， y x，y 1 ， ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 围成的面积与 x
1 y x，y ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积相等. x
故 A B 所表示的平面图形的面积为 y x ， ( x 1)2 ( y 1)2 1 围成的面积
2012年高考数学一轮复习 4-专题1课时作业
4专题1课时作业一、选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1∴S n ＝2·2n－12－1－n ＝2n ＋1－2－n2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13B.512 C.12D.712 答案 B 解析b n ＝1a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512 3．已知等差数列公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nd a 1a 1＋nd B.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋1d ]答案 B 解析∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2008的值为( )A.20052006B.20062007 C.20072008D.20082009答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12008－12009)＝1－12009＝20082009二、填空题5．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5050 解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×100＋12＝50506．S n ＝122－1＋142－1＋…＋12n 2－1＝________. 答案n2n ＋1 解析 通项a n ＝12n 2－1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋17．(2010·《高考调研》原创题)某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数共有________．答案 255解析 当n 为偶数时，由题易得a n ＋2－a n ＝2，此时为等差数列；当n 为奇数时，a n ＋2－a n＝0，此时为常数列，所以该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数总和为S 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.三、解答题8．(2010·某某卷，文)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21.S n ＝19n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n－12.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n q 2，(q ≠0) 求和：1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n.解 由题意得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝(1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1)＋(1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n )＝1a 1(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＋1a 2(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q2n －2)．当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32n ，当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32(1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2)＝32(1－q －2n1－q －2)＝32[q 2n－1q 2n －2q 2－1]． 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n ， q ＝132[q 2n－1q 2n －2q 2－1]， q ≠1.10．数列{a n }的前n 项和为S n ＝10n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 易求得a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． 令a n ≥0，得n ≤5；令a n ＜0，得n ≥6. 记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则： (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝10n －n 2. (2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上，得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10nn ≤5时；n 2－10n ＋50n ≥6时.11．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4(1)求{a n }的通项公式． (2)求{T n }的通项公式． 解析 (1)T 1＝a 1＝1T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2 ∴a n ＝2n －1(2)解法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n② ②－①得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋21－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2解法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝21－2n1－2－n＝2n ＋1－n －212．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n ①，∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n －n ·12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n .13．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列{1a n－1}是等比数列；(2)求数列{n a n}的前n 项和S n . 解 (1)∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ，∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列{1a n －1}是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n .①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝121－12n1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n ，又1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12，∴数列{n a n }的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n n ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数-学生版
2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。
2012届高考数学一轮复习 1不等式和绝对值不等式课件 (文) 新人教A版选修4-5
)
C.(-4,0)
D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得 1<x+1<3或-3<x+1<-1,
∴0<x<2或-4<x<-2,
∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 答案:D
5.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值 是( A.0 C.-1 ) B.1 D.2
(2)由不等式|2x+5|>7+x,
可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2或x<-4. ∴原不等式的解集是{x|x<-4或x>2}.
(3)解法一:分别求|x-1|,|x+2|的零点,即1,-2.
由-2,1把数轴分成三部分:
x<-2,-2≤x≤1,x>1. 当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5. 解得-3<x<-2;
[反思感悟] 使用绝对值不等式的性质证明不等式时,常与放缩法结合在一起应用,利用放缩法时要目标明
确,通过添､拆项后,适当放缩.
错源
去绝对值不当致误
【典例】 解不等式:|2x+1|-|x-4|<2. [剖析] 本题可以按照-,4把实数集分割成三个部分,去掉绝对值后转化为三个不等式组的解处理.可能出 现的错误就在这个去绝对值上,一个是分区时漏掉了端点值- ､ 4,另一个是在各个部分内判断绝对 值内式子的符号,如当- ≤ x<4时认为2x+1<0等.
等式.转化的途径有三种:一是依据实数绝对值的定义:
2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案
专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x＜0，有x2≤02. (2,3)解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4. [－1,1]解析：集合A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A.5.215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a，a＋45≤10≤a≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b－13≥0，b≤113≤b≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13解析：p：x2＋x－6＜0为真，则不等式的解集为A＝(－3,2)，由q：mx ＋1＞0得m＝0时，解集为B＝R，m＞0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－1m，＋∞，m＜0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m，m＝0时，A B成立；m＞0时，－1m≤－3,0＜m≤13；m＜0时，－1m≥2，－12≤m＜0，综上m∈⎣⎡⎦⎤－12，13.7. 12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的有15－x，只喜爱乒乓球的有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞)解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x＋3x＋1≥02x＋2－(x＋3)x＋1≥0x－1x＋1≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a ＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵B A，∴2a≥1或a ＋1≤－1，∴ a≥12或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.10. 解：若命题p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m2－4＞0，－m＜0m＞2.若命题q为真，Δ＝16(m－2)2－16＜0,1＜m＜3.p或q为真，p且q为假，所以若命题p为真，命题q为假，则m≥3；若命题p 为假，命题q为真，则1＜m≤2，综上，则实数m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x－2)2解析：函数满足f(x)＝f(x＋2)，函数周期为2.则x∈[2,3]，x－2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解： 任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲 基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析： 二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )，∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲 函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立， 即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明： 当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0， 故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解： 由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲 不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号． 即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18； 当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数， 故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲 导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析： 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2， －2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32， 若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立， 则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5； 当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2， 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲 三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ s inα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲 平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6， 则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要 解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲 数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ， 所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ， 当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ， 此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010， 有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值 极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]
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解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}， 则 A*B 中元素的个数为________． 答案 10 解析 由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素 有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}， 且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析 化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}， 由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根． 所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010
2012届高考理科数学小题训练
2012届高考理科数学小题训练1 姓名一、本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N = （ ） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm4．命题“存在R x ∈，使24x ax a +-＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A. m 250B. m 350C. m 225D. m 22256. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽 取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表 示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 为（ ） A ．> B ．< C ．＝ D ．不能确定7. 函数x x y sin 3+=的图象大致是（ ）正视图侧视图俯视图8．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为 （ ）A ．2-B ．223-C ．0D ．225-二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。
2012年高考全国卷1理科数学试题及答案(word精校版)
2012 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ⅰ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．102．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 3．下面是关于复数21iz =-+的四个命题： p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ， p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 44．设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．455．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－76.如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…,a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．2A B+为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．188．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B两点，||AB =C 的实轴长为( )AB． C ．4 D ．8 9．已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．(0，12］ D ．(0,2］10．已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则y ＝f (x )的图像大致为( )11．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A．6 B．6 C．3 D．212．设点P 在曲线1e 2xy =上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln2 B(1－ln2) C ．1＋ln2 D(1＋ln2) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 夹角为45°，且a ＝1，2a b -＝b ＝__________．14．设x ，y 满足约束条件1300,x y x y x y ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩－－，＋，，，则z ＝x －2y 的取值范围为__________．15．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________． 16．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C a sin C －b －c ＝0． (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC b ，c ．18．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD的面积为p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．21．（本小题满分12分）已知函数f (x )满足f (x )＝(1)f 'e x －1－f (0)x ＋12x 2． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1) b 的最大值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题计分. 22．(本题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD ．23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．24．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|．(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2］，求a 的取值范围．2012年全国课标Ⅰ理科数学参考答案13.14.[－3,3］ 15.816. 1 830 17．解：(1)由a cos C ＋a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C sin A sin C －sin B －sin C ＝0．因为B ＝π－A －C ， A sin C －cos A sin C －sin C ＝0． 由于sin C ≠0，所以π1sin()62A -=． 又0＜A ＜π，故π3A =． (2)△ABC 的面积1sin 2S bc A ==bc ＝4．而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8． 解得b ＝c ＝2．18．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80． 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80．所以y 关于n 的函数解析式为1080<16()8016n n y n n ⎧∈⎨≥⎩N －，，＝．，，(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7．X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76．X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44． ②答案一： 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4． Y 的方差为DY ＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04．由以上的计算结果可以看出，DX ＜DY ，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX ＜EY ，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花． 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 55 65 75 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为EY ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4．由以上的计算结果可以看出，EX ＜EY ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．19．解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1．又112AC AA =，可得DC 12＋DC 2＝CC 12，所以DC 1⊥DC ． 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC平面BCD ，故DC 1⊥BC ．(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1， 所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点,CA 方向为x 轴的正方向,CA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ． 由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则1(0,01)A D =，－，(11,1)BD =，－，1(1,0,1)DC =－．设n =(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则10,0,BD A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y z z ⎧⎨⎩－＋＝，＝， 可取n ＝(1,1,0)．同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，10,0.BD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(1，2，1). 3cos ,⋅=n m n m n m . 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°20．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径||2FA =.由抛物线定义可知A 到l 的距离=||2d FA =. 因为△ABD 的面积为42所以1||422BD d ⋅=，即122422p ⋅= 解得p ＝－2(舍去)，p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |， 所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为3或3-.当m 的斜率为3时，由已知可设n ：y ＝3x ＋b ，代入x 2＝2py ，得x 2－3px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故∆＝43p 2＋8pb ＝0， 解得6pb =-. 因为m 的截距12p b =，1||3||b b =，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为3-时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 21．解：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋12x 2. 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .①(ⅰ)若a ＋1＜0,则对任意常数b ,当x ＜0,且11bx a -<+时,可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.(ⅲ)若a ＋1＞0，设g (x )＝e x －(a ＋1)x ，则g ′(x )＝e x －(a ＋1)．当x ∈(－∞，ln(a ＋1))时，g ′(x )＜0；当x ∈(ln(a ＋1)，＋∞)时，g ′(x )＞0. 从而g (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在(ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 故g (x )有最小值g (ln(a ＋1))＝a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．所以f (x )≥12x 2＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)，则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．所以h (a )在(－1，12e 1-)上单调递增，在(12e 1-，＋∞)上单调递减， 故h (a )在12=e 1a -处取得最大值．从而e ()2h a ≤，即(a ＋1)b ≤e 2. 当12=e 1a -，12e 2b =时，②式成立，故f (x )≥12x 2＋ax ＋b . 综合得，(a ＋1)b 的最大值为e 2. 22．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ． 又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD ． 而CF ∥AD ，连结AF ，所以ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC ．(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ． 而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD ．23．解：(1)由已知可得A (π2cos3，π2sin 3)，B (ππ2cos()32+，ππ2sin()32+)， C (2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (π3π2cos()32+，π3π2sin()32+)，即A (1，3)，B (3-，1)，C (－1，3-)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．24．解：(1)当a ＝－3时，25,2,()1,23,25, 3.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |4－x －(2－x )≥|x ＋a |－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2012安徽理)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 （D ）3 【解析】选D第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=2.(2012安徽理)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 （D ）2或4 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人3. (2012北京理)从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。
如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。
【答案】B4．(2012广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．94 B ．31 C ．92 D ．91解析：（D ）．两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，而其中个位数为0的有5个，是10,30,50,70,90。
所以，所求事件的概率为91455=5．(2012湖北理)设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =A ．0B ．1C ．11D ．12 考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6.(2012辽宁理) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【答案】C【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。
2012届高考数学复习方案配套测试题(附答案)
2012届高考数学复习方案配套测试题（附答案）试卷类型：A 2012届高三原创月考试题二数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式建议使用时间：2011年9月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合则（） A. B. C. D.2.（理）[2011•安徽“江南十校”联考]设向量a，b均为单位向量，且|a＋b| ，则a与b夹角为（） A． B． C． D．（文）[2011•安徽“江南十校”联考]设向量a，b均为单位向量，且(a＋b) ，则a与b夹角为（） A． B． C． D． 3．[2011•天津卷] 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．1104．[2011•课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( ) A．－45 B．－35 C.35 D.455．[2011•皖南八校二模]设是公比为q的等比数列，令，若数列的连续四项在集合{―53，―23，19，37，82}中，则q等于( )A． B． C． D． 6．（理）[2011•湖南卷] 由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B．1C.32D.3 （文）已知锐角的面积为，，则角的大小为（）A. 75° B. 60° C. 45° D.30° 7．[2011•山东临沂一检]已知，且，则下列不等式中，正确的是（） A． B． C． D． 8．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（） A. B. C. D. 9．[2011•天津一中月考]已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（） A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 11．[2011•安徽“江南十校”二模]已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则的值（） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 12．[2011•陕西卷] 方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．[2011•青岛模拟]已知向量a、b 的夹角为 ,|a|=2, |b|=3,则|2a－b |= ． 14．若对任意，恒成立，则的取值范围是． 15．[2011•皖南八校二模]若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为． 16．[2011•江西九校联考]下列说法正确的为. ①集合A= ，B={ }，若B A，则-3 a 3；②函数与直线x=l的交点个数为0或l；③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；④ ，+∞）时，函数的值域为R；⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2 -x）. 三、解答题(本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17．（本小题满分12分）[2011•皖南八校二模拟]已知向量 . （1）若且，试求的值；（2）设试求的对称轴方程，对称中心，单调递增区间． 18.（本小题满分12分）[2011•课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和． 19.（本小题满分12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 20.（本小题满分12分）已知函数， . （1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 21.（本小题满分12分）[2011•北京卷] 若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an. (1)写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0； (2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011； (3)在a1＝4的E数列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值．22．（本小题满分14分）（理）[2011•黑龙江鸡西一中三模] 设函数 . （1）写出定义域及的解析式；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. (文) [2011•山东青岛一模]已知函数． (1)若 ,令函数 ,求函数在上的极大值、极小值； (2)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.试卷类型：A 2012届高三原创月考试题二参考答案数学 1、【答案】B 【解析】当x=-1,0,1时集合B的元素y对应取值为：cos（-1），1，cos1，故A∩B= . 2.（理）【答案】C 【解析】设a，b的夹角为θ，(a＋b) ，a•b ，, ∴〈a,b〉，故选C. （文）【答案】C 【解析】a•b ，，〈a,b〉= ，故选C. 3. 【答案】D 【解析】由a27＝a3•a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋10×92(－2)＝110. 4.【答案】B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a, 2a)(a≠0)，则r2＝OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35. 解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35. 5. 【答案】Ｃ【解析】各项减去1得到集合，其中-24,36，-54,81或81，-54,36，-24成等比数列， . 6. （理）【答案】D 【解析】根据定积分的简单应用相关的知识可得到：由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为：，故选D. （文）【答案】B 【解析】由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C= °，选B. 7. 【答案】D 【解析】结合对数函数性质及基本不等式可知选D. 8.【答案】C 【解析】无论a>1还是0<a<1总有，解得a=2. 9. 【答案】D 【解析】函数横坐标缩短为原来变为，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位,函数变为． 11. 【答案】A 【解析】，＞0，＞又＞0，∴ ＞，∴ ＞，∴ ＞0，故选A. 13. 【答案】【解析】． 14.【答案】【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有，即的最大值为，故． 15. 【答案】【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得，它的图象与函数的图象重合，所以（），解得（）.因为，所以 . 16. 【答案】②③⑤ 17．解：（１）．．（2）由题意得．令；令令可得单调递增区间为． 18. 解：(1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19. 由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q ＝1，所以a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝13n. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n) ＝－＋故1bn＝－＋＝－21n－1n＋1， 1b1＋1b2＋…＋1bn＝－2 ＝－2nn＋1. 所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1. 19．解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．（2）设该单位每月获利为 , 则，因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损． 20. 解：（１），又，，即，．（２），，且，，即的取值范围是． 21．解：(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1999)，．所以An是首项为12，公差为1的等差数列，所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011，充分性：由于a2000－a1999≤1. a1999－a1998≤1. …… a2－a1≤1. 所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999. 又因为a1＝12，a2000＝2011，所以a2000＝a1＋1999. 故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即E数列An是递增数列．综上，结论得证． (3)对首项为4的E数列An，由于a2≥a1－1＝3，a3≥a2－1≥2，…… a8≥a7－1≥－3，…… 所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2,3，…，8)．所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)＝0，则必有n≥9. 又a1＝4的E数列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S(A9)＝0，所以n的最小值是9. 22．（理）解：（1）的定义域为．（2）①当时，，所以上为增函数；② 当，由，上为增函数，在上是减函数．（3）①当时，由（1）知，对任意，恒有；②当时，由（1）知，上是减函数，在上是增函数，取，则；③当时，对任意，恒有且，得．综上，当且仅当时，若对任意恒有成立．（文）解：(1) ，所以．由得或．所以函数在处取得极小值；在处取得极大值． (２) 因为的对称轴为．①若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；②若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以．综上，实数的取值范围为．。
苏州大学2012届高考数学考前指导题组
19－3．在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，对一切正整数n， 13 5 点Pn位于函数y＝3x＋ 4 的图象上，且Pn的横坐标构成以－2为首项，－1 为公差的等差数列{xn}． (1)求点 Pn 的坐标； (2)设抛物线列 c1，c2，c3，…，cn，…中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn，且过点 Dn(0，n2＋1)，设与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 kn． 1 1 1 求：k k ＋k k ＋…＋ ； k － 1 2 2 3 n 1kn * (3)设S＝{x|x＝2xn，n∈N }，T＝{y|y＝4yn，n∈N*}，等差数列{an}的任一项an∈S∩T，其中 a1 是S∩T中的最大数，－265<a10<－125，求{an}的通项公式．
y P
F1 A
O
F2
B
x
18－3．设 F1 , F2 是椭圆 C :
x2 y 2 1 (a b 0) 的左、右 a 2 b2 焦点，A, B 分别为其左顶点和上顶点，BF1 F2 是面积为 3
A
y
B
O
N
M
的正三角形． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点，直线
A
A
F D C E 图（1） B
F
D
C
E 图（2）
B
18 － 1 ．如图，已知椭圆
x2 y 2 1 (a b 0) 的左，右焦点为 a 2 b2 F1 , F2 ，点 P 为椭圆上动点，弦 PA，PB 分别过点 F1 , F2 ． 24 （1） 若 F1 (3,0) ， 当 PF1 F1 F2 时， 点 O 到 PF2 的距离为 ， 17 求椭圆的方程； （2）设 PF1 1 F1 A ， PF2 2 F2 B, 1 , 2 R ，求证： 1 2 为定值．
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01 集合)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（01集合）一、选择题：1.(2012安徽文)设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域；则A B =（ ）A.(1,2)B. [1,2]C. [,)12 D ．(,]12【解析】选D{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=2．(2012北京文、理)已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=（ ） A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D3. (2012福建文)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ ） A.N ⊆M B.M ∪N=M C.M ∩N=N D.M ∩N={2}4. (2012广东文) 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则UM =（ ）A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 4. A. U M ={2,4,6}.5．(2012广东理)设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}4,2,1{=M ，则M C U =（ ）A ．UB ．}5,3,1{C ．}6,5,3{D ．}6,4,2{ 解析：（C ）．6．(2012湖北文) 已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足 条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.7. (2012湖南文)设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（ ）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M ∩N.8 (2012湖南理) 设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=（ ）A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.9. (2012江西文) 若全集U=｛x ∈R |x 2≤4} A=｛x ∈R ||x+1|≤1}的补集CuA 为（ ） A |x ∈R |0＜x ＜2| B |x ∈R |0≤x ＜2| C |x ∈R |0＜x≤2| D |x ∈R |0≤x≤2|【答案】C【解析】考查集合的基本运算{|22}U x x =-≤≤，{|20}A x x =-≤≤，则{|02}U C A x x =<≤.10、(2012江西理) 若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（ ）A ．5 B.4 C .3 D.210.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn 图的考查等.12. (2012辽宁文、理)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为（ ）(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
2012届高考数学课时复习题42
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2010·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：A、B、C中α与β都有可能相交．答案：D2．(2010·江南十校)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：可通过公理、定理判定其正确，通过特例、反例说明其错误．①在正方体A1B1C1D1－ABCD中，平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD.平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，且CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，①错误．②因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确．④当直线a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．答案：B3．下列命题正确的是()A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错误；直线a 与平面α不垂直，但直线a 可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D 错误，只有选项C 正确．答案：C4．给出下列命题：①若直线a ∥直线b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内；②直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的直线有且只有一条；③a ∥α，b 、c ⊂α，a ∥b ，b ⊥c ，则有a ⊥c ；④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行；其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：②④错误．答案：C5．(2010·无锡一模)下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：a ∩α＝A 时，a ⊄α，∴①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；l ∥α，l 与α无公共点，∴l 与α内任一直线都无公共点，④正确；长方体中A 1C 1与B 1D 1都与面ABCD 平行，∴⑤正确．答案：B6.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1可知AC ⊥BE .故A 正确．EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确． A 到平面BEF 的距离即为A 到平面DBB 1D 1的距离，为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，故V A －BEF 为定值，即C 正确．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ∥α，则m ∥β.其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由线面平行定义及性质知①正确．②中若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m 、n 可能平行，也可能异面，故②错，③中由 ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥n ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αn ⊥β⇒α∥β知③正确．④中由α∥β，m ∥α可得，m ∥β或m ⊂β，故④错．答案：①③8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为 ________.解析：如图，连结AC 、BD 交于O ，连结EO ，则EO ∥BD 1又EO ⊂面ACE ，故BD 1∥面ACE .答案：平行9．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则当M 满足条件________________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：当M 点满足在线段FH 上有MN ∥面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH三、解答题(共3个小题，满分35分)10．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．求证：EF ∥平面SAD .证明：法一：作FG ∥DC 交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结AG ，FG 綊12CD ，又CD 綊AB ，且E 为AB 的中点，故FG 綊AE ，∴四边形AEFG 为平行四边形．∴EF ∥AG .又∵AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，∴EF ∥平面SAD .法二：取线段CD 的中点M ，连结ME ，MF ，∵E ，F 分别为AB ，SC 的中点，∴ME ∥AD ，MF ∥SD ，又∵ME ，MF ⊄平面SAD ，∴ME ∥平面SAD ，MF ∥平面SAD又∵ME ，MF 相交，∴平面MEF ∥平面SAD ，∵EF ⊂平面MEF ，∴EF ∥平面SAD .11.如图，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)平面EFGH ∥平面α.证明：(1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH∥BD且EH＝12BD.同理，FG∥BD且FG＝12BD，∴FG∥EH且FG＝EH.∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面．(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD.又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E，EH⊂平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面α.12．(2010·山东济南)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥AA1；(2)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，则BD⊥平面AA1C1C，又A1A⊂平面AA1C1C，故BD⊥AA1.(2)证明：由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质知AB1∥DC1，A1D∥B1C，AB1∩B1C＝B1，A1D∩DC1＝D，由面面平行的判定定理推论知：平面AB1C∥平面DA1C1.(3)存在这样的点P满足题意．∵A1B1綊AB綊DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．∴A1D∥B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，∵B1B綊CC1，∴BB1綊CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，∴BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.。
2012届高考数学课时复习题22
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．答案：A2．已知sin2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75 解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝1－2425＝125， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，∴sin α＋cos α>0， ∴sin α＋cos α＝15. 答案：B3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A. 2B.22C.12D.32解析：原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin45°＝22. 答案：B4．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是( )A ．－145B ．－75C ．－2 D.45解析：∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：C5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为() A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10解析：tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg 1a 1－lg (10a )·lg 1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.答案：C6.2cos10°－sin20°sin70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵α、β均为锐角，∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α，∴α＝π4. 答案：π48．若tan(π4－θ)＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝________. 解析：∵tan(π4－θ)＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12. ∴cos2θ1＋sin2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ1＋2tan θ＋tan 2θ＝1－141－1＋14＝3. 答案：39．设f (x )＝1＋cos2x 2sin (π2－x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4) ＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)． 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.答案：±3三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2， 1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13. (2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α(2cos 2α－1)cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α. 因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 11．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45. 又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45， 于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725. 又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝25，sin α＝15(α∈(0，π4))． ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525. 12．(2010·天津高考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值． 解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)． 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin(2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数， 又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1， 所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin(2x 0＋π6)． 又因为f (x 0)＝65，所以sin(2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]． 从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45. 所以cos2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6]＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin(2x 0＋π6)sin π6＝3－4310.。
2012年高考数学一轮复习 10A-7课时作业
课时作业(五十三)一、选择题1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．0 B．8C．奥 D．运答案 B2．(2010·某某卷，理)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面FEGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中正确的是( )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱形D．Ω是棱台答案 D解析根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)．因此，几何体Ω不是棱台，应选D.3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43 D.32答案 A解析 分别过A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连结DG 、CH .V ＝12×1×22×1＋13×12×1×22×12×2＝23. 4．(09·东北三校第一次联考)正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成角的60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为( )A.34a 2B.33a 2 C.13a 2D.38a 2 答案 D解析 如图所示，正三棱锥P －ABC 中AB ＝a ，作PO ⊥面ABC ，则∠PAO 为侧棱与底面所成的角，即∠PAO ＝60°.连接AO 并延长交BC 于一点M ，在PA 上取一点N ，使∠AMN ＝30°，连接BN 、NC ，可得截面NBC ，由MN ⊥BC ，AM ⊥BC 可得∠AMN 就是二面角N －BC －M 的平面角，∴AN ⊥MN ，又AM ＝32a ， 得MN ＝AM sin60°＝BC ·32·32＝34a ， ∴S △NBC ＝12BC ·MN ＝12×a ×34a ＝38a 2，故应选D.5．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为4，过AB 作一截面交侧棱CC 1于点P ，截面与底面成60°角，则截面△PAB 的面积是( )A ．23B ．3 2 C.233D.323 答案 A解析 由题意，在图中作PD ⊥AB 于D 点，连结CD ，在Rt △PDC 中，CD ＝3，∠PDC ＝60°，则PD ＝23，所以截面△PAB 的面积为12×2×23＝23，故选A.6．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于( )A.2B ．2 2 C ．32D ．4 2 答案 B解析 如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设∠AA 1B 1＝∠AA 1C 1＝60°，由条件有∠C 1A 1B 1＝60°，作AO ⊥面A 1B 1C 1于点O ，则cos ∠AA 1O ＝cos ∠AA 1B 1cos ∠B 1A 1O ＝cos60°cos30°＝13＝33，∴sin ∠AA 1O ＝63. ∴AO ＝AA 1·sin∠AA 1O ＝263.于是，VABC －A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·AO ＝12×2×2×sin60°×263＝2 2.二、填空题7．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2.则该三角形的斜边长为________．答案 2 3解析 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2，△DEF 为直角三角形，DF 为斜边，设DF 长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1，EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI＋EG ＝2x 22－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋(2x 22－4)2，解得x ＝2 3.8．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．答案349．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．答案θ＝π3解析 底面正方形面积S ＝12(26)2＝12，底面边长a ＝S ，高h ＝3V S ，二面角的余切值tan θ＝ha /2.代入数据，得：tan θ＝3V /S S /2＝6V S S ＝6×1212×12＝ 3.又θ必为锐角，所以θ＝π3. 三、解答题10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点． (1)求二面角A 1－BD －M 的大小； (2)求四面体A 1－BDM 的体积．解析 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，取BD 的中点为O ，连结OM ，OA 1. ∵BM ＝DM ＝52，A 1B ＝A 1D ＝2， 从而A 1O ⊥BD ，MO ⊥BD ，∴∠A 1OM 为二面角A 1－BD －M 的平面角， 在△A 1OM 中，OM ＝BM 2－OB 2＝32， A 1O ＝A 1B 2－OB 2＝62， 而A 1M ＝A 1C 12＋C 1M 2＝32，从而由勾股定理可知：∠A 1OM ＝90°.(2)由(1)可知A 1O ⊥平面BDM ，从而四面体A 1－BDM 的体积V ＝13·S △BDM ·A 1O ＝13·(12·2·32)·62＝14. 11．如图，平面ADE ⊥面ABCD ，△ADE 是边长为a 的等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，EC 与面ABCD 成30°角，(1)求四棱锥E －AFCD 的体积；(2)求二面角E －CF －D 的大小；(3)求D 到面EFC 的距离．思路点拨 无论是求体积还是确定二面角的平面角，其关键都是确定平面ABCD 的垂线，对于求点D 到平面EFC 的距离可考虑用体积转化法求之．解析 (1)EH ⊥AD 于H∵面ADE ⊥面ABCD ∴EH ⊥面ABCD ∵△ADE 是边长为a 的等边三角形． ∴H 为AD 中点，且EH ＝32a 连结CH ，则∠ECH 为EC 与面ABCD 所成的角． ∴∠ECH ＝30° 在Rt △CEH 中，∵EH ＝32a ，CH ＝32a ；CE ＝3a 在Rt △CDH 中，∵CH ＝32a ，DH ＝12a ，∴CD ＝2a∴AF ＝12AB ＝12CD ＝22a∴S 梯形AFCD ＝12(AF ＋CD )·AD ＝324a 2∴V E －AFCE ＝13·S 梯形AFCD ·EH ＝13×324a 2×32a ＝68a 3(2)∵AF ⊥AH ，由三垂线定理可证AF ⊥AE 在Rt △AEF 中EF ＝AE 2＋AF 2＝a 2＋12a 2＝62a 在Rt △CBF 中，CF ＝BF 2＋BC 2＝12a 2＋a 2＝62a 在△CEF 中，∵EF 2＋CF 2＝CE 2，∴∠EFC ＝90°由三垂线逆定理可得HF ⊥CF∴∠EFH 为所求的二面角E －CF －H 的大小．在Rt △EFH 中，sin ∠EFH ＝EH EF ＝32a 62a＝22 ∴∠EFH ＝45°(3)设D 到面EFC 的距离为h ，S △EFC ＝12EF ·CF ＝34a 2S △CDF ＝12·AD ·CD ＝22a 2 由V D －CEF ＝V E －CDF 得，h ＝EH ·S △CDF S △CEF ＝32a ·22a 234a 2＝63a即D 到面EFC 的距离为63a . 12．(2011·某某一中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，CC 1＝6，D 是CC 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面AB 1C 1；(2)求二面角B －AB 1－C 1的大小(用反三角函数表示)． 解析 (1)由∠ACB ＝90°，知BC ⊥AC . 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ⊥CC 1， 又AC ∩CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， 又A 1D ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥A 1D ， 而B 1C 1∥BC ，∴A 1D ⊥B 1C 1.在Rt △ACC 1和Rt △A 1DC 1中，AC ＝A 1C 1＝3，CC 1＝6，C 1D ＝62， ∴tan AC 1C ＝AC CC 1＝22，tan A 1DC 1＝A 1C 1C 1D＝2， ∴∠AC 1C ＋∠A 1DC 1＝90°，∴A 1D ⊥AC 1，又B 1C 1∩AC 1＝C 1，∴A 1D ⊥平面AB 1C 1.(2)设A 1D ∩AC 1＝E ，作A 1F ⊥AB 1，垂足为F ，且A 1F ∩BB 1＝G . 连结EF .由(1)知A 1D ⊥平面AB 1C 1，∴A 1D ⊥AB 1，又∵A 1F ⊥AB 1，A 1D ∩A 1F ＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1DF ， 则EF ⊥AB 1，∠EFG 是二面角B －AB 1－C 1的平面角．在Rt △AA 1C 1、Rt △AA 1E 、Rt △AA 1B 1、Rt △AA 1F 和Rt △A 1EF 中，AA 1＝6，A 1C 1＝3，AC 1＝3，A 1B 1＝2，AB 1＝10，∴A 1E ＝AA 1·A 1C 1AC 1＝ 2 A 1F ＝AA 1·A 1B 1AB 1＝2155，∴sin A 1FE ＝A 1E A 1F ＝306，∠A 1FE ＝arcsin 306. ∴二面角B －AB 1－C 1的大小为π－arcsin306. 13．(2010·某某卷)已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M 是棱AA ′的中点，点O 是对角线BD ′的中点．(1)求证：OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线； (2)求二面角M －BC ′－B ′的大小； (3)求三棱锥M －OBC 的体积．解析 (1)连结AC ，取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK . 因为点M 是棱AA ′的中点，点O 是BD ′的中点，所以AM 綊12DD ′綊OK ，所以MO 綊AK .由AA ′⊥AK ，得MO ⊥AA ′.因为AK ⊥BD ，AK ⊥BB ′，所以AK ⊥平面BDD ′B ′， 所以AK ⊥BD ′，所以MO ⊥BD ′.又因为OM 与异面直线AA ′和BD ′都相交， 故OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线．(2)取BB ′的中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ′B ′.过点N 作NH ⊥BC ′于H ，连结MH ，则由三垂线定理得，BC ′⊥MH .从而，∠MHN 为二面角M －BC ′－B ′的平面角． 因为MN ＝1，所以NH ＝BN sin 45°＝12×22＝24.在Rt ΔMNH 中tan ∠MHN ＝MNNH＝124＝2 2.故二面角M －BC ′－B ′的大小为arctan 2 2.(3)易知，S ΔOBC ＝S ΔOA ′D ′，且ΔOBC 和ΔOA ′D ′都在平面BCD ′A ′内．点O 到平面MA ′D ′的距离h ＝12.V M －OBC ＝V M －OA ′D ′＝V O －MA ′D ′＝13S ΔMA ′D ′h ＝124.14．(2010·某某卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1－ED －F 的正弦值．解析 (1)设AB ＝1，可得AD ＝2，AA 1＝4，CF ＝1，CE ＝12，连接B 1C ，BC 1，设B 1C 与BC 1交于点M ，易知A 1D ∥B 1C . 由CE CB ＝CF CC 1＝14，可知EF ∥BC 1.故∠BMC 是异面直线EF 与A 1D 所成的角，易知BM ＝CM ＝12B 1C ＝5，所以cos ∠BMC ＝BM 2＋CM 2－BC 22·BM ·CM ＝35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)连接AC ，设AC 与DE 交于点N . 因为CD BC ＝EC AB ＝12，所以Rt △DCE ∽Rt △CBA .从而∠CDE ＝∠BCA ，又由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，所以∠BCA ＋∠CED ＝90°，故AC ⊥DE ，又因为CC 1⊥DE 且CC 1∩AC ＝C ，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥DE .连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF ，从而AF ⊥B 1C ，所以AF ⊥A 1D ，因为DE ∩A 1D ＝D ，所以AF ⊥平面A 1ED .(3)连接A 1N ，FN ，由(2)可知DE ⊥平面ACF ，又NF ⊂平面ACF ，A 1N ⊂平面ACF ，所以DE ⊥NF ，DE ⊥A 1N ，故∠A 1NF 为二面角A 1－ED －F 的平面角．易知Rt △E ∽Rt △CBA ，所以CB ＝ECAC ，又AC ＝5，所以＝55，在Rt △F 中，NF ＝CF 2＋2＝305，在Rt △A 1AN 中，A 1N ＝AN 2＋A 1A 2＝4305. 连接A 1C 1，A 1F ，在Rt △A 1C 1F 中，A 1F ＝A 1C 12＋C 1F 2＝14.在△A 1NF 中，cos ∠A 1NF ＝A 1N 2＋FN 2－A 1F 22·A 1N ·FN ＝23.所以sin ∠A 1NF ＝53.所以二面角A 1－ED －F 的正弦值为53.。
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(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |y ＝12x ，x ∈A ，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2,3,4}
B ．{1,2} C{1,3} D ．{2,4}
解析：由题意得B ＝{12，1，32
，2}，则A ∩B ＝{1,2}． 答案：B
2．（2011·威海模拟）如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则
阴影部分所表示的集合是( )
A ．(∁I A ∩
B )∩C
B ．(∁I B ∪A )∩C
C ．(A ∩B )∩∁I C
D ．(A ∩∁I B )∩C
解析：由图可知阴影部分所表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .
答案：D
3．(2010·北京宣武模拟)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：A ∩B ＝{3,4}，U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，∁U (A ∩B )的元素个数有3个．
答案：C
4．设集合U ＝{小于7的正整数}，A ＝{1,2,5}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |32－x ＋1≤0，x ∈N ，则A ∩(∁U B )＝( )
A ．{1}
B ．{2}
C ．{1,2}
D ．{1,2,5} 解析：U ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{3,4,5}，则A ∩∁U B ＝{1,2}．
答案：C
5．设集合A ＝{x |y ＝x 2－4}，B ＝{y |y ＝x 2－4}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2－4}，则下列关系：①A ∩C ＝∅；②A ＝C ；③A ＝B ；④B ＝C .其中不．
正确的共有( ) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：②、③、④都不正确．
答案：C
6．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B 为( )
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}
D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 解析：A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．
答案：D
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．设集合A ＝{x |x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围为____________．
解析：设M ＝{m |关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0的两根均为非负实数}，
则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4(－2m －3)≥0，x 1＋x 2＝2＞0，
x 1·x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m ≤－32， 设全集U ＝{m |Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m ≤－32， ∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
－2≤m ≤－32， ∴m 的取值范围是∁U M ＝{m |m <－2}．
答案：{m |m <－2}
8．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.
解析：A ∪B ＝{x ∈N *|lg x ＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．
答案：{2,4,6,8}
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：借助Venn 图分析(如图所示)．
答案：12
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 解：由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9，
解得x ＝±3，或x ＝5.
当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；
当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝ {－8，－7，－4,4,9}；
当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．
综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4,4,9}．
11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R}．
(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，
B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.
∴m ＞5或m ＜－3.
12．若集合A ＝{x |x 2－2x －8＜0}，B ＝{x |x －m ＜0}．
(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；
(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．
解：(1)由x 2－2x －8<0，得－2<x <4，
∴A ＝{x |－2<x <4}．
当m ＝3时，由x －m <0，得x <3，∴B ＝{x |x <3}，
∴U ＝A ∪B ＝{x |x <4}，∁U B ＝{x |3≤x <4}．
∴A ∩(∁U B )＝{x |3≤x <4}．
(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，
又A∩B＝∅，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.。