2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
高中数学人教b版选修2-3课时作业：2.3.1 离散型随机变量的数学期望(1)含解析
第二章§2.3 课时作业41一、选择题1．设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝14，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2解析：E(X)＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝14×10＝2.5.答案：A2．若X，Y是离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则有E(Y)＝aE(X)＋b.利用这个公式计算E(E(X)－X)＝( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定解析：∵E(X)是常数，∴E(E(X)－X)＝E(X)＋E(－X)＝E(X)－E(X)＝0.答案：A3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.4解析：X ＝k 表示第(4－k)次命中目标， P(X ＝3)＝0.6， P(X ＝2)＝0.4×0.6， P(X ＝1)＝0.42×0.6， P(X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376. 答案：C4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.6 解析：X 的取值为6,9,12，P(X ＝6)＝C 38C 310＝715，P(X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P(X＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. 答案：A二、填空题5．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则E(ξ)＝__________.解析：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝10≤1－2q ≤1q 2≤1，解得q ＝1－22.于是，ξ的分布列为所以E(ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－ 2.答案：1－26．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是__________．解析：设此人获利为随机变量X ，则X 的取值是300，－100，其概率分布列为：。
人教B数学选修2-3课件：第2章2.32.3.1离散型随机变量的数学期望
第二章概率2. 3 随机变量的数字特征2.3. 1 离散型随机变量的数学期望学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求岀数学期望.（重点）2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.（重点）3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.（难点）教材整理/离散型随机变量的数学期望阅读教材P59〜卩60,完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是加切•“，凡, 这些值对应的概率是卩1，卩2,…，Pn，则E(X)二如1土泌土T土泌叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.------ 0微体验0 -----1. __________________ 下列说法正确的有・(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化;②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4；Xl+%2 ----- 為④随机变量X的均值E(X)二◎【镒】■鑒@-^s s s 虐息謬舉1W雷摄豊舉屢藍苞•皐1聲—益眾-K-X 啊豎證■型羸曾酗嚣2.已知离散型随机变量X的分布列为:则X的数学期望E(X)二___11牛刀出M 如】•HG+XDgmsHgg 掘教材整理2常见的几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.----- 0微体验0 ----(1]1.若随机变量X服从二项分布$4, 则E(X)的值为1 4【解析】E(X)=np=^j=y 【笞案】2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是・【解析】因为P(X=l)=0.8, P(X=0)二0.2,所以E®=1X0.8+0X02=0.8.【答案】0.8\響17 二点分布与布的数劉望【例1】某运动员投篮命中率为p=0.6.⑴求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望.【精彩点拨】⑴利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【解】⑴投篮1次，命中次数X的分布列如下表:则E®=0.6.⑵由题意，重复5次投篮，命中的次数丫服从二项分布，即丫〜5(5,0.6),则E(F)=〃p=5X0.6=3.r规律方沽1.常见的两种分布的均值设卩为-次试验中成功的概率，则⑴二点分布E(X)=p；⑵二顶分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算豊提高解题速度•2.二点分布与二项分布辨析⑴相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,l, 2,…，n.②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行〃次试验.越跟腳||漏1.⑴某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X,则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 4002 -9 11 - 07A学期望E(X)等于()X0 1P_______m加【解析】⑴由题意可知，补种的种子数记为X, X服从二项分布, 即X〜B(1 000,0.1),所以不发芽种子的数学期望为1000X0.1 = 100.所以补种的种子数的数学期望为2X100=200.1 12 2(2)由题意可知m+2m=l,所以m=y所以E(X)=0X亍+1X厂亍【答案】(1)B (2)D求离散型随机变量的数学期望一一丿------------------------------------------------------------------------------ 【例2】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演岀活动中, 每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演岀顺序（序号为1,2, •“，6）,求：⑴甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两单位之间的演岀单位个数（的分布列与均值.【精彩点拨】⑴可先求“甲乙两单位的演岀序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；（2）先求出（的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【解】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.⑴设4表示“甲、乙的演岀序号至少有一个为奇数”，则只表示網乙的演岀序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P⑷=1 -— C2P⑷r(2)(的所有可能取值为0,1,2,3,4,且5 1 4 4 3 1 2P(f=0)=R=y P(f=l)="=K，P(f=2)=声PK=3)=^2= C6 J L Z61JL Z6 J Y2 1 1丐P(f=4)p祁.从而知｛的分布列为14 12 1 4所以E(^)=0X^+1X|^+2X^+3X^+4X J^=J.规律方疥求离散型随机变量f的数学期望的步骤(1)根据f的实际意义,写岀§的全部取值.(2球岀｛的每个值的概率.(3)与出§的分布列.(4)利用定义求出数学期望.其中第⑴、⑵两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识. 腿刀2-盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取-节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3,3 2 3 3则P(X=1)=§, P(X=2)=§X厂亦P(X=3)=討XI二点抽取次数X的分布列为3 3 1 3 E(X)=1X§+2X 込+3X 百二离散型随机变量的均值实际应用［探究问题］1.某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X=0)=03, P(X=l)=0.7.2.在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为^=0.8.3.在探究1中，你能求岀在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0X0.3+1XO.7=O.7（分）.因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.【例3】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检，其中一等品126 件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元, 设1件产品的利润（单位：元）为X.⑴求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；⑶经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%, -等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？【精彩点拨】利用期望回答问题根据利润的意义写岀X的取值f写岀X的分布列求岀数学期望E(X)【解】（1）X 的所有可能取值有6,2,1, -2.P(X=_2)=缶=0.02.故X 的分布列为:P(X=6)= 126=0.63,P(X=2)= 5020=0.25, P(X=1)= 20 20=0.h(2)E(X)=6 X 0.63+2 X 0.25+1X 0.1+(—2) X 0.02=4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6X0.7+2X(l-0.7-0.01-x)+lXx+(-2)X0.01 =4.76-x(0<x<0.29).依题意，E(X)24.73,即 4.76—诊4.73,解得i<0.03,所以三等品率最多为3%.¥律方------------------ --------------1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤⑴审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.踪训龜3. 甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7, & 9,10环.将他们的比赛成绩111成频率分布甲 环数乙 环数(1)根据这次比赛的成绩步贝学力冲且力囹屮8环的概率P(X 乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;直方图如图甲和图乙所示.0.3 0.2 0.15击中频率击中频率0.35 0.27 8 9 10击中(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】⑴由图乙可知P（X乙=7）=0.2, P（X乙=9）=0.2, P（X乙=10） =0.35.所以P（X 乙=8）=1—0.2—0.2—0.35=0.25.同理卩（火甲=T）=0.2, P（X甲=8）=0.15, P（X甲二9）=03,所以P（X 甲=10）=1—0.2—0.15—0.3=0.35.P（X甲29）=0.3+0.35=0.65.（2）因为E（X 甲）=7X0.2+8X0.15+9X0.3+10X0. 35=8.8,E（X 乙）=7X0.2+8X0.25+9X0.2+10X0.35=8.7, 则有E（X 甲）〉E（X乙），所以估计甲的水平更高.漲堂小结二自分布的均值二项分布的均值1 •一名射手每次射击中靶的概率为0.8,则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()D. 3A. 0.83B. 0.8C. 2.4【解析】E(X)=3X0.8=2.4.。
2018学年高中数学人教B版选修2-3学案：2.1.2 离散型随
2.1.2离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(重点)3.理解二点分布的定义，并能简单的运用.(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P41～P42例1以上部分，完成下列问题.1.定义要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：①X所有可能取的值x1，x2，…，x n；X取每一个值x i的概率p1，p2，…，p n，需要列出下表：此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.2.性质(1)p i≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.()(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内.(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件.(3)√由分布列的性质可知，该说法正确.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 二点分布阅读教材P 42例1以下部分，完成下列问题. 如果随机变量X 的分布列为则称离散型随机变量X ＝P (X ＝1)为成功概率.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝ ________.【解析】 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 【答案】 47[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia(i ＝1,2,3,4)，求：(1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率.【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10， 则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10， 可得P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1，2，…，n .[再练一题]1.若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a 及相应的分布列.【解】 由分布列的性质可知：3a 2＋a ＋4a －1＝1， 即3a 2＋5a －2＝0，解得a ＝13或a ＝－2，又因4a －1>0，即a >14，故a ≠－2.所以a ＝13，此时4a －1＝13，3a 2＋a ＝23.所以随机变量X 的分布列为：求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列.【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量.可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率.【自主解答】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1.求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n ). (2)求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格.2.求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程.(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确.[再练一题]2.从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列.【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}. 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：二点分布探究1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量.探究2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？ 【提示】 不一定.如随机变量X 的分布列由下表给出X 不服从二点分布，因为X袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红.求X的分布列.【精彩点拨】 X 只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，最后列出表格的形式即可.【自主解答】 由题设可知X 服从二点分布. P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的分布列为两步法判断一个分布是否为二点分布1.看取值：随机变量只取两个值0和1.2.验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布.[再练一题]3.若离散型随机变量X 的分布列为则a ＝( ) A.12 B.13 C.15D.110 【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.【答案】 C[构建·体系]1.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )【导学号：62980035】A.1B.913 C.2713D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝⎛⎭⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A.0B.13C.12D.23【解析】 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.【答案】 B3.随机变量η的分布列如下：则x ＝________【解析】 由分布列的性质得 0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554.已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________.【解析】 设X 的分布列为⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎡⎦⎤－13，13 5.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列.【解】 (1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况.综上，共有31种情况.(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]1.某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C.0.1D.－0.1【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B2.下列问题中的随机变量不服从二点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球，0，取出红球D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【解析】 A 中随机变量X 的取值有6个，不服从二点分布，故选A. 【答案】 A3.若P (X ≤n )＝1－a ，P (X ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤X ≤n )＝( )【导学号：62980036】A.(1－a )(1－b )B.1－a (1－b )C.1－(a ＋b )D.1－b (1－a )【解析】 ∵P (m ≤X ≤n )＝P (X ≤n )－P (X ≤m )＝1－a －[1－(1－b )]＝1－(a ＋b ). 【答案】 C4.抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.5.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B.34 C.45 D.56【解析】a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝ a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15 ＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝54×⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＝56. 【答案】 D 二、填空题6.从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，随机变量X 的概率分布列如下：则x ，x 2，x 3的值分别为【导学号：62980037】【解析】 X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.【答案】 0.1,0.6,0.37.设离散型随机变量X 的概率分布列为：则P (X ≤2)＝【解析】 P (X ≤2)＝1－25＝35.【答案】 358.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16三、解答题9.一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列.【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：10.从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的分布列及P (X >1).【解】 依题意，有 P (X ＝1)＝2P (X ＝2)， P (X ＝3)＝12P (X ＝2).由分布列的性质得1＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)，所以P (X ＝2)＝27，所以X 的分布列如下：故P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.[能力提升]1.随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c A.13 B.23 C.34D.45【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 B2.(2016·周口中英文学校月考)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 为( ) A.1 B.1±22C.1＋22D.1－22【解析】 由分布列性质(2)知12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又由性质(1)知1－2q ≥0，∴q ≤12，∴q ＝1－22，故选D.【答案】 D3.以下茎叶图2-1-1记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列.【解】 当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为4..游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图2-1-2)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.图2-1-2(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形.所以X 的分布列为。
人教B版选修23高中数学23《第1课时 离散型随机变量的数学期望》课时作业
【成才之路】2015-2016学年高中数学 2、3第1课时离散型随机变量的数学期望课时作业新人教B版选修2-3一、选择题1.若随机变量X~B（5,0、8），则E（X)的值为( )A.0、8 B。
4C。
5 D.3［答案］ B[解析]∵X～B(5，0、8),∴E（X）＝5×0、8＝4、2。
样本(x1，x2，…，x n）的平均数为错误!,样本（y1,y2,…，y n)的平均数为错误!(错误!≠错误!）。
若样本（x1,x2，…,x n,y1,y2，…,y m)的平均数错误!＝α错误!＋（1－α）错误!，其中0<α<错误!，则n,m的大小关系为( )A。
n〈m B。
n〉mC。
n＝m D.不能确定[答案］ A[解析］由题意，x1＋x2＋…＋x n＝n x,y1＋y2＋…＋y m＝m错误!，错误!＝错误!＝错误!错误!＋错误!错误!、∴错误!＝α,∴0<错误!〈错误!,∴m〉n、3.若随机变量ξ～B(n，0、6）,且E(ξ）＝3，则P（ξ＝1）的值是（)A.2×0、44B.2×0、45C.3×0、44D。
3×0、64［答案］ C［解析]∵E（ξ）＝n×0、6＝3,∴n＝5、∴P（ξ＝1)＝C错误!×0、6×（1－0、6）4＝3×0、44、故选C。
4.（2015·衡水高二检测)设随机变量ξ的分布列如下表所示且E（ξ)＝1、6,则a－b ＝（)ξ012 3P 0、1 a b 0、1A。
0、2C。
－0、2 D。
－0、4［答案] C[解析］由0、1＋a＋b＋0、1＝1,得a＋b＝0、8①又由E（ξ）＝0×0、1＋1×a＋2×b＋3×0、1＝1、6，得a＋2b＝1、3②由①②解得a＝0、3，b＝0、5,∴a－b＝－0、2、故选C。
5。
设E（X）＝10,则E(3X＋5)等于（)A.35 B。
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.1 离散型随机变量的数学期望 Word版含答案
2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？ 提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？ 提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34][例1] 一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．[思路点拨] 明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． [精解详析] X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.[一点通]求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.[例2] A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．[思路点拨] (1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． [精解详析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ， 那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. 故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.[一点通]1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值 设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.[例车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[思路点拨]对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X1、X2的期望，比较大小作出判断．[精解详析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋3 50＝110.(2分)(2)依题意得，X1的分布列为(4分) X2的分布列为(6分) (3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．(12分)[一点通]解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为设游客在一次游戏中获得奖金为Y 元， 于是Y 的分布列为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为 E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2， 所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________． 解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )． 解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627，所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，11 所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627， 所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。
2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差课时过关·能力提升1.D(X-D(X))的值为()A.不确定B.0C.D(X)D.2D(X)答案:C2.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为()A.64B.256C.259D.320解析:由题意知,D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16,所以D(4X+3)=42×D(X)=16×16=256.答案:B3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-8解析:∵X~B(n,p),∴E(X)=np,D(X)=np(1-p).∴P(X=1)==3·2-10.答案:C4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.1-p和p(1-p)解析:随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则P(X=0)=p,P(X=1)=1-p,所以E(X)=0×p+1×(1-p)=1-p,D(X)=[0-(1-p)]2×p+[1-(1-p)]2×(1-p)=p(1-p).答案:D5.已知随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P则在下列式子①E(ξ)=-,②D(ξ)=,③P(ξ=0) =中,正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由分布列可知P(ξ=0)=,根据公式可求得E(ξ)=-,D(ξ)=,所以①③正确.答案:C6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=.(结果用数字表示) 解析:由已知条件可求得n=5,p=0.8,故P(X=2)=p2(1-p)3=答案:7.随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值是.解析:由已知得解得所以D (ξ)=答案:★8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;的最大值为.解析:随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X0 1P1-p p,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-=-因为0<p<1,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为=2-因为0<p<1,所以2p+2当2p=,即p=时,取等号.因此,当p=时,取得最大值2-2答案:2-29.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差最大?并求其最大值.分析根据题意,可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式,所以解决本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解:设成功次数为随机变量X,由题意可知X~B(100,p).那么因为D(X)=100p(1-p)=100p-100p2,所以把上式看作一个以p为自变量的二次函数,易知当p=时,D(X)有最大值为25,所以的最大值为5,即当p=时,成功次数的标准差的最大值为5.10.从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选2人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3)求X的方差.分析X的可能取值有0,1,2,求出相应概率再由公式求期望、方差.解:(1)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为X0 1 2P(2)X的数学期望E(X)=0+1+2(3)D(X)=。
高中数学人教B版选修2-3第二章2.3.1离散型随机变量的数学期望教学设计
高中数学人教B版选修2－3第二章2.3.1离散型随机变量的数学期望教学设计【名师授课教案】1教学目标知识与技能:了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望.过程与方法:理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及“若ξ B(n,p),则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观: 承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
2教学重点离散型随机变量的均值或期望的概念3教学难点根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望4教学过程1【导入】复习引入1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出2【讲授】讲解新课二、讲解新课:根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ 4 5 6 7 89 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列,我们可以估计,在n次射击中,预计大约有次得4环;次得5环;…………次得10环.故在n次射击的总环数大约为,从而,预计n次射击的平均环数约为这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平.对于任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个 (i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:… .1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x1 x2 …xn…P p1 p2 … pn…则称……为ξ的均值或数学期望,简称期望.2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令… ,则有… ,… ,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若 (a、b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为ξ x1 x2 …xn …η……P p1 p2 …pn…于是……= ……) ……)= ,由此,我们得到了期望的一个性质:5.若ξ B(n,p),则Eξ=np证明如下:∵ ,∴ 0× +1× +2× +…+k× +…+n× .又∵ ,∴ + +…+ +…+ .故若ξ~B(n,p),则 np.3【活动】讲解范例例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的期望解:因为 ,所以例2. 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ,则 ~ B(20,0.9), ,由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:例3. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3 种方案:方案1:运走设备,搬运费为3 800 元.方案2:建保护围墙,建设费为2 000 元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好.解:用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失.采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800 元,即X1 = 3 800 .采用第2 种方案,遇到大洪水时,损失2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损失2 00 0 元,即同样,采用第 3 种方案,有于是,EX1=3 800 ,EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2 .值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“平均损失”:假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案 2 也不一定是最好的.例4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数的期望解:∵ ,=3.5例5.有一批数量很大的产品,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)解:抽查次数取1 10的整数,从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第次( =1,2,…, 10)取出次品的概率:( =1,2, (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率: 由此可得的概率分布如下:1 2 3 4 56 7 89 100.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0. 0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布,可得的期望4【活动】课堂练习：1. 口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出球的最大号码,则( )A.4;B.5;C.4.5;D.4.75答案:C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望;⑵他罚球2次的得分η的数学期望;⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.解:⑴因为 , ,所以1× +0×⑵η的概率分布为η 0 1 2P所以 0× +1× +2× =1.4.⑶ξ的概率分布为ξ0 1 2 3P所以 0× +1× +2× =2.1.5【导入】小结小结 :(1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ公式E(aξ+b) = aEξ+b,以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np6【作业】课后作业P64-65练习1,2,3,4 P69 A组1,2,3。
人教B版数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》课件
9组 ★ ★
李雯玉、郭欣鹏
4
一、复习回顾
1. 离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2. 离散型随机变量分布列的性质： (1) pi≥0，i＝1，2，…； (2) p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
3. 离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。
三、概念形成 数学期望 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为: 1、离散型随机变量取值的平均值
X
P
则称
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2、概念形成
离散型随机变量的数学期望(均值) 几点说明： (1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量 取值的平均水平。 (2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若p1=p2=p3=…=pn，此时
Pn (k) C p (1 p)k nkn k18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合
混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
定价为混合糖果的平均价格才合理
按3：2：1的比例混合
18元/kg
24元/kg
36元/kg
平均价格为 18 3 m 24 2 m 36 1 m 6 6 m千克混合糖果的总价格为 6
2.3.1 离散型随机变量的数学期 望
高中数学 2.3.1离散型随机变量的数学期望教案 新人教B版选修2-3
2．3．1离散型随机变量的数学期望一、教学目标：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望二、课前预习：1 一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是,,......,,21n x x x 这些值对应的概率是,,........,,21n p p p 则_________________________________，叫做这个___________________或__________________（简称__________）。
2 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的________________________。
3 _______________________________)(=X E4 _______________________________)(=X E三、例题分析例1 根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。
例3 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。
方案1：运走设备，此时需花费3800元。
方案2：建一保护围墙，需花费2000.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。
试比较哪一种方案好。
四、课堂小练求E(X).张设一个奖，奖金为10 000元。
某人购买一张彩票，问这个人能期望得到多少奖金？3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望4. 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．5. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ=（）A．4；B．5；C．4.5；D．6.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。
2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 14离散型随机变量的数学期望 Word版含解析
(限时：10 分钟) 1．已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10 则 X 的数学期望 E(X)＝( ) 3 A.2 B．2 5 C.2 D．3 答案：A 1 2．若随机变量 X 服从二项分布 B4，3，则 E(X)的值为( ) 4 8 A.3 B.3 13 8 C. 3 D.9 答案：A 3 3．已知 η＝2ξ＋3，且 E(ξ)＝5，则 E(η)＝( ) 3 6 A.5 B.5 21 12 C. 5 D. 5 答案：C 4．将一颗骰子连掷 100 次，则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)＝ __________. 50 答案： 3 5．在一次抽奖活动中，有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会．抽奖 规则如下：主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1 000 元，再从余 下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元，最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元． (1)求甲和乙都不获奖的概率． (2)设 X 是甲获奖的金额，求 X 的分布列和均值 E(X)． 解析：(1)设“甲和乙都不获奖”为事件 A，
1 1 C2 1 4 C2 C2 则 P(A)＝C2· 1· 1＝ 10， 6 C4 C4
1 所以，甲和乙都不获奖的概率为10. (2)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1 000， 2 C5 33 3 P(X＝0)＝C2· · ＝8， 6 4 4 C2 1 5 3 1 P(X＝400)＝C2· · ＝ 8， 6 4 4 C2 1 5 1 3 P(X＝600)＝C2· · ＝ 8， 6 4 4 1 2 C5 C5 11 3 P(X＝1 000)＝C2＋C2· · ＝8， 6 6 4 4 所以 X 的分布列为 X 0 400 600 1 000 3 1 1 3 P 8 8 8 8 3 1 1 3 所以 E(X)＝0×8＋400×8＋600×8＋1 000×8＝500(元)．
2018年秋人教B版数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
2 3
×
27+1×
1 7
=
47.
答案:47
1
1 7
������ =0
pkqn-k=k∑=n 1np·C������������--11
������ -1
pk-1qn-1-(k-1)=np������∑=0C������������-1
pkqn-1-k
=np(p+q)n-1=np.
其中在上述证明过程中,用到了一个重要的组合数公
式:kC������������ =nC������������--11. 该公式证明如下:
题型一 题型二 题型三 题型四
(3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1������2 ������3)+P(������1A2������3)+P(������1 ������2A3)=45(1-p)(1-q)+15p(1-q)+15(1-p)q=13275.
b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=15285, 故 E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=95. 反思 求期望的关键是准确地找出随机变量的所有取值及求得 相应事件的概率.
A.
1 48
B.
1 24
C.
1 12
D.
1 6
解析:由已知得,3a+2b+0×c=1,即 3a+2b=1,
所以
ab=16
×3a×2b≤
1 6
×
3������+2������ 2
2
=
1 6
×
3a=2b=12时取等号,即 ab 的最大值为214.
人教B版高中数学选修2-3创新设计练习2.3.1离散型随机变量的数学期望(含答案详析)
2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望双基达标(限时20分钟)1．已知ξ的分布列为则ξ的均值为()．A．0 B．－1 C.18 D.14解析E(ξ)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.答案 D2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100 B．200 C．300 D．400解析由题意可知，不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y～B(1 000，0.1)，∴E(Y)＝1 000×0.1＝100，所以X的数学期望E(X)＝2×E(Y)＝200.答案 B3．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为()．A．6 B．5 C．1 D．7解析∵E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，∴E(X)＝1.答案 C4．已知随机变量ξ的分布列为则x＝________，P(1≤ξ＜3)＝________，E(ξ)＝________．解析x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ＜3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5；E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.答案0.30.5 2.15．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)＝________．解析每一次摸得红球的概率为610＝35，由X～B(4，35)，则E(X)＝4×35＝125.答案12 56．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：0.50.1(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；(2)求E(X)；(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．解(1)由分布列的性质可知0．20＋0.10＋0.5＋0.10＋0.1＋0.20＝1.故0.5＋0.1＝0.40.由于小数点后只有两位有效数字，故0.1中处应填5，0.5中的的数字为2.即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.(3)法一由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，E(η)＝E(X)＝3.50.法二由于η＝2X－E(X)，所以η的分布列如下：∴E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.综合提高(限时25分钟)7．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝()．A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.答案 B8．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝().A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4解析由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8 ①又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6∴a＋2b＝1.3 ②②－①得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.答案 C9．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝______________．解析P(X＝0)＝13×14＝112，P(X＝1)＝23×14＋13×34＝512，P(X＝2)＝23×34＝612，E(X)＝1×5＋2×612＝1712.答案17 1210．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析设所得两数之积为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，4，P(ξ＝0)＝2×12×13＋2×12×16＋12×12＝34，P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝2×13×16＝19，P(ξ＝4)＝16×16＝136.所以ξ的分布列为：所以E(ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.答案4 911．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张． (1)设该顾客中奖的奖券张数为X ，求X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y 元，用X 表示Y ，并求Y 的数学期望．解 (1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14， P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14， P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.其分布列为(2)∵X ～B (4，12)，∴E (X )＝4×12＝2. 又由题意可知Y ＝2 300－100X ，∴E (Y )＝E (2 300－100X )＝2 300－100E (X )＝2 300－100×2＝2 100(元)． 即所求变量Y 的数学期望为2 100元．12．(创新拓展)某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km 时，租车费为10元；若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收费用为η.(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式；(2)若随机变量ξ的分布列为求所收费用η的数学期望；(3)已知某旅客实付费用38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计多长时间？解(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N；(2)E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴E(η)＝E(2ξ＋2)＝2E(ξ)＋2＝34.8(元)，故所收费用η的数学期望为34.8元．(3)由38＝2ξ＋2，解得ξ＝18，故停车时间t转换的行车路程为18－15＝3 km，∴3×5≤t＜4×5，即出租车在途中因故停车累计时间t∈[15，20)．。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》导学案
2.3.1离散型随机变量的数学期望【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望。
2．理解离散型随机变量数学期望的性质。
3．掌握两点分布、二项分布的数学期望。
4．会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。
【学法指导】离散型随机变量的数学期望是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得数学期望。
利用随机变量的数学期望可以帮助我们对实际问题做出决策。
【知识要点】1．离散型随机变量的数学期望或期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝为随机变量X的数学期望或期望，它反映了离散型随机变量取值的。
2．离散型随机变量的数学期望的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。
3．两点分布与二项分布的数学期望（1）如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)。
（2）如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝。
【问题探究】探究点一离散型随机变量的数学期望公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2离散型随机变量的均值有什么作用？问题3若一组数据x i(i＝1,2，…，n)的平均数为x，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为a x＋b。
那么离散型随机变量Y＝aX＋b 是否也具有类似性质？如何证明？例1已知随机变量X的分布列如下：（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。
小结对于aX＋b型的随机变量，可利用数学期望的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。
2.3.1离散型随机变量均值和方差(3课时)(选修2-3)习题全
方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不能 防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水, 损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元;
分析:⑴如下月没有洪水,那么方案 3 最好
(2)两点分布的均值 若X~B(1，p)， 则E(X)= p (3)二项分布的均值 若X~B(n，p)， 则E(X)= np
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
新疆 王新敞
奎屯
23
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
（第一课时）
1
一．随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 ,L , xi ,L ,
取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率 P( xi ) pi则称表
L L L L P
px11
x2
p2
xi
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
对于离散型随机变量，确定了它的分布列， 就掌握了随机变量取值的统计规律.
2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1 离散型随机变量及其分布列课时过关·能力提升1.下列分布列中,属于离散型随机变量的分布列的是( )A.X012P0.30.40.5B.X x1x2x3P0.3-0.10.8C.X1234P0D.X x1x2x3P答案:C2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是( )A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)解析:15个村庄中,7个交通不方便,8个交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个交通方便的村庄,故P(X=4)=答案:C3.已知随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,其中c是常数,则P的值为( )A BC D解析:由c=1,得c=,所以P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=答案:D4.从分别写有a,b,c,d,e的五张卡片里任取两张,则这两张卡片的字母恰好是按字母顺序相邻的概率等于( )A B C D解析:五张卡片中恰好按字母顺序相邻有ab,bc,cd,de四种,其概率P=答案:A5.同时投掷2枚骰子一次,所得点数之和ξ是一个随机变量,则P(ξ≤4)= .解析:相应的基本事件空间有36个基本事件,其中ξ=2对应(1,1);ξ=3对应(1,2),(2,1);ξ=4对应(1,3),(2,2),(3,1),所以P(ξ≤4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=答案:6.8支篮球队中有2支强队,任意将这8支队分成两个组(每组4支队)进行比赛,则这两支强队被分在一个组内的概率是 .解析:由题意知,P=答案:★7.袋中有大小相同的3个白球,3个红球和5个黑球,从中抽取3个球.若取得一个白球得1分,取得一个红球扣1分,取得一个黑球得0分,求所得分数ξ的分布列.分析按求分布列的步骤求解,分清ξ的每个取值所对应的事件.解得分ξ的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3.ξ=-3时表示取得3个球均为红球,所以P(ξ=-3)=;ξ=-2时表示取得2个红球和1个黑球,所以P(ξ=-2)=;ξ=-1时表示取得2个红球和1个白球,或1个红球和2个黑球,所以P(ξ=-1)=;ξ=0时表示取得3个黑球或1个红球、1个黑球、1个白球,所以P(ξ=0)=;ξ=1时表示取得1个白球和2个黑球,或2个白球和1个红球,所以P(ξ=1)=;ξ=2时表示取得2个白球和1个黑球,所以P(ξ=2)=;ξ=3时表示取得3个白球,所以P(ξ=3)=所以所求ξ的分布列为ξ-3-2-10123P8.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.解:设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.191.。
高中数学人教B版选修2-3同步训练：2.3 离散型随机变量的数学期望与方差
2.3 离散型随机变量的数学期望与方差1、某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.4002、设l 为平面上过点()0,1的直线, l 的斜率k 等可能地取-,用ξ表示坐标原点到l 的距离,则随机变量ξ的数学期望E ξ为( ).A. 37B. 47C. 27D. 173、已知随机变量ξ的分布列为若3,3a E ηξη=+=, 则a ( ) A.1 B.2 C.3 D.44、甲、乙两台车床生产同种标准件, X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数, Y 表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的调研,得,X Y 的分布列如下据此可判定( )A.甲车床生产的标准件比乙车床生产的标准件的质量好B.乙车床生产的标准件比甲车床生产的标准件的质量好C.甲车床生产的标准件与乙车床生产的标准件的质量相同D.甲车床生产的任意一件标准件一定比乙车床生产的任意一件标准件的质量好5、某船队若出海后天气好,可获利5 000元;若出海后天气不好,将损失2000元;若不出海,将损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海效益的期望是( )A.2 000 元B.2 200 元C.2 400 元D.2 600 元6、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取1个球,记下颜色后放回.若连续取三次,用X 表示取出红球的个数,则EX DX += ( )A. 2B.23C. 53D. 43 7、已知随机变量8ξη+=,若()10,0.4B ξ~,则E η和D η分别是( )A.2和2.4B.4和2.4C.6和2.4D.4和5.68、设随机变量ξ的分布列为()21,0,1,2,,33k n k kn P k C k n ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且24E ξ=,则D ξ的值为( )A. 8?B. 12C. 92D. 169、有甲、乙两名学生,经统计,他们在参加同一智力竞赛时,各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示:甲乙则下列说法正确的是( )A.甲、乙两名学生的成绩不相当,但甲的较稳定B.甲、乙两名学生的成绩不相当,但乙的较稳定C.甲、乙两名学生的成绩相当,但甲的较稳定D.甲、乙两名学生的成绩相当,但乙的较稳定10、设随机变量(),X B n p ~,且X 的均值与方差分别是2.4和1.?44,则( )A. 4,0.6n p ==B. 6,0.4n p ==C. 8,0.3n p ==D. 24,0.1n p ==11、在一次篮球练习课中,规定每人最多投篮4次,若投中3次就称为"优秀"并停止投篮.已知甲每次投中的概率是23,设甲投中的次数为X ,则期望 EX =__________12、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,未命中得0分.已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.8,且每次罚球是否命中互不影响,则他罚球一次得分X 的数学期望是 __________13、设p 为非负实数,随机变量ξ的分布列如下表,则D ξ的最大值为__________.14、某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试通知的概率为23,得到乙、丙两公司面试通知的概率均为p ,且该毕业生是否得到三个公司面试通知是相互独立的.设X 为该毕业生得到面试通知的公司个数.若()1012P X ==,则DX =__________ 15、现在人们用QQ 建立了很多群,有时候一个人管理多个群很不方便,所以一些人就开发了QQ 群机器人来管理群,用来回复群里一些成员的问题,不过这个前提是先设置好问答数据库,某网友设置了三类问答数据库,并规定:每回答1个第一类数据库中的问题(共有a 个不同的问题)得1分,每回答1个第二类数据库中的问题(共有 b 个不同的问题) 得2分,每回答1个第三类数据库中的问题(共有c 个不同的问题)得3分.1.当3,?2,?1a b c ===时, QQ 群机器人回答2次数据库中的问题(可重复回答同一个问题,且每个问题被提问的机会均等),记随机变量ξ为回答这2次问题所得分数之和,求ξ的方差;2. QQ 群机器人回答1次数据库中的问题(每个问题被提问的机会均等),记随机变量η为回答此次问题所得分数,若55,39E D ηη==,求::a b c .答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1.∴不发芽的种子数(1000,0.1)B ξ~,∴1000粒种子中不发芽的种子数的数学期望()10000.1100E ξ=⨯= (粒),又每粒不发芽的种子需补种2粒,∴需补种的种子数的数学期望()2100200E X =⨯= (粒).2答案及解析：答案：B解析：当k =±,直线l 的方程为10y ±-+=,此时13ξ=,当k =12ξ=,当2k =±时，23ξ=;当k 为0时, 1ξ=由等可能事件的概率公式可得ξ的分布如下所以14137273777E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 3答案及解析：答案：B解析：由分布列的性质,得111+1,236m m +=∴= 11111012363E ξ∴=-⨯+⨯+⨯=- ()17333,233E E a aE a a ηξξ∴=+=+=-+=∴=4答案及解析：答案：A解析：00.710.120.130.10.6,EX =⨯+⨯+⨯+⨯=00.510.320.20.7EY =⨯+⨯+⨯=,由于EY EX >,故甲车床生产的标准件比乙车窗生产的标准件质量好5答案及解析：答案：B解析：出海效益的期望是()()5000.610.620003008002200⨯+-⨯-=-=6答案及解析：答案：C解析：由题意,知每次取到红球的概率为13,易得13,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以112231,33333EX DX =⨯==⨯⨯=,所以53EX DX +=.7答案及解析：答案：B解析：∵()10,0.4B ξ~,∴()100.44,100.410.4 2.4E D ξξ=⨯==⨯⨯-=.又8ξη+=,∴()28844,1 2.4E E D D ηξηξ=-=-==-=.8答案及解析：答案：A解析：由题意可知2B ,3n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴2243n E ξ==, ∴36n =,∴2136833D ξ=⨯⨯=.9答案及解析：答案：C解析：∵800.2900.61000.290EX =⨯+⨯+⨯=,()()()22280900.290900.6100900.240DX =-⨯+-⨯+-⨯=, 800.4900.21000.490EY =⨯+⨯+⨯=,()()()22280900.490900.2100900.480DY =-⨯+-⨯+-⨯=, ∴,EX EY DX DY =<,∴甲与乙成绩的均值一样,甲成绩的方差较小,因此甲、乙两名学生的成绩相当,但甲的较稳定.10答案及解析：答案：B解析：由题意,得()2.4,1 1.44np np p =-=,∴10.6p -=,∴0.4,6p n ==.11答案及解析： 答案：20081解析：由题意,得X 的所有可能取值为0,1,2,3,()42101381P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,()31422811,3381P X C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ ()222422821,3327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()188163181812727P X ⎛⎫==-++= ⎪⎝⎭ 所以1881620001238181272781EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 12答案及解析：答案：0.8解析：因为()()10.8,00.2P X P X ====,所以10.800.20.8EX =⨯+⨯=13答案及解析：答案：1解析：由随机变量ξ的分布列的性质,得11022102p p ⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,解得102p ≤≤.易得1E p ξ=+,则()()()22222111501112112224D p p p p p p p p ξ⎛⎫⎛⎫=--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以当0p =时, D ξ取得最大值, ()max 15144D ξ=-+=.14答案及解析： 答案：1318解析：由题意,知()2111312p ⨯-=,即12p =,所以()22111111111111323223223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()211211111521132232232212P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()22113326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,所以1151501231231263EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以222215155515130123123331236318DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.15答案及解析：答案：1.由题意,知ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6.()3312664P ξ⨯===⨯, ()23213663P ξ⨯⨯===⨯, ()23122546618P ξ⨯⨯+⨯===⨯, ()22115669P ξ⨯⨯===⨯, ()11166636P ξ⨯===⨯, 所以ξ的分布列为所以11511102345643189363E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 2222210110110510110110234563433318393369D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.由题意,知η的所有可能取值为1,2,3, η的分布列为所以2353a bcE a b c a b c a b c η=++=++++++,22255551233339a b c D a b c a b c a b c η⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 化简得240{4110a b c a b c --=+-=,解得32a cb c =⎧⎨=⎩,故::3:2:1a b c =.解析：由Ruize收集整理。
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2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变量的数学期望
课时过关·能力提升
1.已知随机变量X的分布列为
X024
P0.40.30.3
则E(5X+4)等于( )
A.13
B.11
C.2.2
D.2.3
答案:A
2.有10件产品,其中3件是次品.从中任取两件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于( )
A B
C D.1
解析:X=0时,P=;X=1时,P=;X=2时,P=,
所以E(X)=0+1+2
答案:A
3.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为( )
A.0.765
B.1.75
C.1.765
D.0.22
解析:由题意可知X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,
P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22,
P(X=2)=0.9×0.85=0.765,
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:B
4.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于( )
X012345
P2x3x7x2x3x x
A B
C D
解析:由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=,所以E(X)
=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40
答案:C
5.一整数等可能地在1,2,3,…,10中取值,如果以X记这一整数的因数的个数,那么E(X)等于( )
A.2.6
B.2.5
C.2.7
D.2.8
解析:X可取1,2,3,4,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以E(X)=1+2+3+4=2.7.
答案:C
6.已知X的分布列为
X-101
P
且Y=aX+3,E(Y)=,则a= .
解析:先求出E(X)=-,再由E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3,得=a+3⇒a=8.
答案:8
7.袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3只球,若用X表示取出的球的最大号码,则
E(X)等于 .
解析:X可能的取值为3,4,5,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,
所以E(X)=3+4+5=4.5.
答案:4.5
8.若一离散型随机变量X的概率分布列为
X0123
P0.1a b0.1
且E(X)=1.5,则a-b= .
解析:依题意,得
即
则a-b=0.4-0.4=0.
答案:0
9.若根据以下盈利表中的数据进行决策,应选择哪种方案?
方案A方案B方案C 自然
状况概率盈利/万元概率盈利/万元概率盈利/万元
巨大成功0.460.370.46.5
中等成功0.320.42.50.24.5
不成功0.3-40.3-50.4-4.5
分析计算三种方案的期望值,再进行比较即可.
解:由表格中的数据可知:
E A=0.4×6+0.3×2-0.3×4=1.8(万元),
E B=0.3×7+0.4×2.5-0.3×5=1.6(万元),
E C=0.4×6.5+0.2×4.5-0.4×4.5=1.7(万元),
所以E A>E C>E B.故选择方案A.
★10.乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.
解:记A i表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;
A表示事件:第3次发球,甲得1分;
B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.
(1)B=A0·A+A1,
P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,P(B)=P(A0·A+A1)
=P(A0·A)+P(A1)
=P(A0)P(A)+P(A1)P()
=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.
(2)P(A2)=0.62=0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=P(A2·A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144,
P(ξ=2)=P(B)=0.352,
P(ξ=3)=P(A0)=P(A0)P()=0.16×0.6=0.096,
P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)
=1-0.144-0.352-0.096=0.408.
E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=0.408+2×0.352+3×0.096=1.4.。