第六讲相关性与Copula函数
copula函数及其应用.doc
copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
金融计算与建模：Copula函数及其应用
cd
2
根据上述定义，t即为数组对 {( xi , yi ),( x j , y j )} 一致与不 一致的概率之差。
将Kendall’s tau引入Copula函数： 定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendall’s tau为： 4 C (u, v)dC (u, v) 1 (14.16)
n
n
是一列连续随机变量，有Copula函数 C C ， n
定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则 Kendall’s tau和Spearman’s rho满足定义13所述要求。
Kendall’s tau与Spearman’s rho的关系
定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足： （1） 对( X , Y ) 有定义； （2）1 X ,Y 1, X , X 1, X , X 1 （3） X ,Y Y , X （4）若X,Y独立，则 X ,Y 0 （5） X ,Y X ,Y X ,Y （6）若 C1, C2 满足 C1 C2 ，则 C1 C2 （7）若 {( X n , Yn )} 则 lim C C
Copula函数的一些其他性质：
性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递 减，即，若 v [0,1]n，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数， n v [0,1] 则对于每个 ，有： (14.5) W n (v ) C(v ) M n (v ) 其中
定理3为连续随机变量则彼此独立当且仅当这些变量的copula函数copula定义4正态分布随机变量的均值分别为方差分别为协方差矩阵为r则随机变量的分布函数为copula函数称为协方差矩阵为的正态gausscopula函数
Copula函数简介
3.2.二元t-Copula函数
C u , v; ,
T1 u T1 v
s 2 t 2 2 st 1 2 2 1 2 1 1
2 12 2 2 1 2 1 2 1
◆Sperman秩相关系数对严格单调增的变换也是不变 的，由相应的Copula函数来表示如下：
12
1 1
0 0
uvdCu, v 3 12 Cu, vduv 3
1 1 0 0
2.2.基于Copula函数的相关性测度
③Gini关联系数γ
τ 和ρ 只考虑了随机变量变化方向的一致性和不一致 性，而Gini关联系数则更细致地考虑了随机变量变化顺 序的一致性和不一致性。 设随机变量(X,Y)的n个样本为 x1, y1 , x2 , y2 ,, xn , yn ， xi 的名次 ri 称为它 将 x1, x2 ,, xn 按从小到大顺序排列后， 的秩，同样 y i 在y1, y2 ,, yn中的名次（秩）记为 si 。 ri si 就应该很小，所以 如果x，y的变化是一致的， n ri si 反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么 ri i 1 si 应位于倒数第 ri 的 xi 位于 ri 位置时， 与 si 应处于两端， si n 1 ri 就应该 n 1 ri 的位置上，因此， 位置上，即第 n 很小，而 ri si n 1 就反映了相反变化的不一致程度。
1
1
因此，基于Copula函数的尾部相关性可以表示为
U lim
1 2u C u , u u 1 1 u C u, u u 0 u
copula
copula函数的定义
• 1959年Sklar提出copula理论，他提出可以将一个多维联合
分布函数分解为多个边缘分布函数和一个copula函数，这
个copula函数描述了变量间的相关性。
• Nelson(1998)首先系统地说明了 Copula 函数的定义，
copula函数是把随机向量所对应的联合分布函数与这些随
• 基于copula函数的辽西地区气候干旱频率分析 引言 研究方法 1、干旱的定义 2、copula理论（参数选取，边缘函 数的建立，相关性检验，copula函数的选取，拟合检验合适 的copula函数模型，联合重现期的计算） 应用实例 辽西地区 结论
• 干旱要素：干旱烈度，干旱历时，干旱间隔时间
常所讲“多少年一遇”，重现期用T表示。
• 目前，copula函数多被应用于金融应用领域，现也多用于 水文领域，同一水文事件中的各个变量往往并不是服从同 一种边缘分布，而Copulas 函数一般不受变量的边缘分布 类型限制，可以构建不同类型边缘分布的水文变量的联合 分布。 • 其中，有学者用copula函数建立洪峰、洪量、洪水历时的 三变量联合分布；构建降水历时、降水强度的联合分布； 建立了干旱历时、干旱烈度和干旱间隔时间的联合分布， 构建暴雨量、暴雨日数、暴雨强度的联合分布，对极端降 水量、极端降水强度、极端降水频次、极端降水贡献率进 行联合概率分析和重现期测算等方面。
• 几种copula函数:正态copula，t-copula，阿基米德copula；最常用的阿 基米德copula函数有Gumbel-Hougaraard、Clayton和Frank Copula.
• 在使用copula函数解决问题时，copula函数模型选择很重要。对于最
基于copula函数的股票影响因子相关性分析
基于 copula 函数的股票影响因子相关性分析摘要本文通过对上证 300 股票近 10 年的数据抓取，获得了 10 年内各季度的资产负债表和利润表以及该股开盘日的价格等信息，并计算得到每支股票各季度的盈利收益率（EPS），净资产收益率（ROE）,账面市值比, 总资产收益率(ROA) , 主营毛利率 , 净利率 , 资产负债 , FAP , CMV ,年化收益率等 9 个因子,考虑根据上述因子对股票收益率的影响程度，获得有效且不存在冗余的多因子模型。
首先，本文通过对各季度每只股票所得因子值计算排序，将股票分组，并根据年化组合收益率得到收益率与因子值的数据，再选择其中较为稳定的股票作为基准市场收益率，从而得到各组合收益与因子值之间的正负相关性，进而选取高低收益组合与基准市场收益率做比较，最终判断得到其中有效的因子。
其次，在所选有效因子中，考虑个因子间的相关性影响，选取每一对因子，分别进行 pearson 相关性以及 copula 相关性计算，对比两种相关性的计算值得出结论，并通过对因子值的 copula 密度函数估计，选取不同 copula 函数，即分别运用高斯 copula 以及t-copula函数对上述数据进行分析，得出更合理的相关性分析结果。
关键词：多因子选股pearson相关性分析copula函数秩相关系数一、内容介绍本文研究内容是建立在多因子模型选股分析后期对所选择有效因子进行相关性分析并对冗余因子剔除的问题，由于股票市场数据波动性较大且所选年限跨度较长，因此各因子之间的相关性仅仅通过简单的线性判别方式不具有说服力，因此我们考虑使用 copula 函数方法对每对因子之间进行相关性分析，这里主要介绍净利率和 EPS 这一组。
下面我们对所用到理论知识进行梳理。
1.1 多因子模型多因子模型是关于资产定价的模型。
与资本资产定价模型和单指数模型不同，多因子模型认为证券价格并不仅仅取决于证券的风险，还取决于其他一些因素，如，投资者未来预期收入、未来消费品的相对价格及未来的投资机会等。
copula函数 python实现
copula函数 python实现copula（连系动词）是一种特殊的动词，用于连接主语和谓语补足语，表达主语的状态、性质、身份等。
在Python中，我们可以使用函数来实现copula的功能，使得我们能够更方便地在程序中进行状态的判断和描述。
Python是一种简洁而强大的编程语言，拥有丰富的函数库和工具，可以轻松实现各种功能。
在Python中，我们可以使用一个函数来实现copula的功能，该函数可以接受主语和谓语补足语作为参数，并返回一个描述主语状态的结果。
我们需要定义这个copula函数，可以将其命名为copula_func。
接下来，我们需要在函数中添加一些逻辑来判断主语和谓语补足语的关系，并返回相应的结果。
在这个函数中，我们可以使用if语句来进行条件判断和逻辑判断。
在函数中，我们可以使用主语和谓语补足语作为参数，并将它们赋值给相应的变量。
然后，我们可以使用if语句来判断主语的状态，并根据不同的状态返回不同的结果。
例如，如果主语是"我"，谓语补足语是"高兴"，那么函数可以返回"我很高兴"这样的结果。
除了基本的判断逻辑，我们还可以在函数中添加一些其他的功能，例如处理多个主语和谓语补足语的情况，处理特殊的状态和性质等。
这样，我们就可以更灵活地使用copula函数，并根据实际需求进行扩展和修改。
在使用copula函数时，我们可以将其作为其他程序的一部分来调用，也可以直接在交互式环境中使用。
无论是哪种方式，我们都可以得到一个描述主语状态的结果，以便更好地理解和处理数据。
总结一下，copula函数的实现可以帮助我们更方便地描述主语的状态、性质和身份等。
通过使用函数，我们可以在Python程序中轻松地进行状态的判断和描述，使得我们的程序更加灵活和强大。
使用copula函数，我们可以更好地理解和处理数据，提高程序的可读性和可维护性。
关联结构copula
關聯結構(copula)在信用風險管理之運用本中心風險研究小組賴柏志一、簡介隨著BaselⅡ在六月底的正式公佈，有關信用風險模型的建置及管理的專業技巧，已成為金融機構十分重要的議題。
在過去，主要著重的議題是先衡量每一授信戶(obligor)的個別風險，再予以加總。
而近年來有關如何衡量投資組合(portfolio)整體的風險，則已成為最熱門的課題。
在衡量投資組合之信用風險時，金融監理機關及風險管理人員所面臨的一個重要但棘手的問題為：如何決定並估計投資組合內各項信用資產(如債券、貸款、信用衍生性商品等)的交易對手間，其信用評等及違約機率之聯合變化(joint rating change)。
RiskMetrics的CreditManager及KMV的PortfolioManager信用模型，均是在假設信用評等及違約機率之聯合變化服從多變量常態分配的前提下，進行投資組合信用風險的評量。
然而，實證研究顯示在財務及保險領域中很少真正是服從多變量常態分配的資料(Embrechts et al.1999)。
除此之外，由於總體經濟景氣循環會使得違約轉置矩陣(transition matrix)產生時間序列行為之效應(Coleman 2002, Bangia et al 2000)，多變量常態分配的假設將低估巨大事件(如金融風暴)或國際經濟不景氣(如90年代初期)時的股價同時下跌及多個交易對手同時發生違約的機率，並因而低估整體投資組合所面臨的信用風險。
在過去若欲配適出多變量的聯合機率分配，在相關的理論推導及計算上極為複雜，尤其當投資組合標的個數很大時，欲準確估算出聯合機率分配幾乎是不可能的，通常的處理方式為假設標的資產報酬率服從多變量常態分配，並據以進行模擬工作。
本文所介紹的關聯結構(copula)方法，最早由Sklar(1959)以法文所提出，但一直到1999年才開始被應用在財務領域中，近來相關的研究應用成長速度非常快，利用此方法可將上述的問題簡化處理，提供一種新的思維，以配適出更符合實務的聯合機率分配，進而更準確地衡量出銀行本身所可能面臨的風險。
第六讲相关性与Copula函数
协方差和相关系数
变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
SD(V1)SD(V2 ) 变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
cov(V1,V2 ) E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
独立性
两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另 一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立
还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构 一种可能是二元学生t-分布
二元正态分布的5000个随机样本
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
二元学生t-分布的5000个随机样本
5
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3
2
1
0
-5-4Leabharlann -3-2-10
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
多元Copula函数
covn varx,n vary,n
协方差
第n天的协方差为
E(xn yn ) E xn E yn
经常被简化为
E(xn yn )
监测相关系数（续）
EWMA：
covn covn1 (1 )xn1 yn1
GARCH（1，1）：
covn xn1 yn1 covn1
类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，…，Vn 的边际分布 我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射
连接函数(Copula)理论及其在金融中的应用
连接函数（Copula）理论及其在金融中的应用Copula 理论及其在金融中的应用摘要：Copula 是一种常用于描述多维随机变量之间依赖关系的函数，它不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。
在金融领域，Copula 理论广泛应用于风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域。
本文介绍了 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨了其在金融中的应用和优势。
关键词：Copula 理论，依赖关系，金融，风险管理，衍生品定价，投资组合优化一、引言在金融中，随机变量之间的依赖关系是研究风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域的重要基础。
然而，在实际应用中，研究者通常会遇到两个问题。
第一个问题是如何描述多维随机变量之间的依赖关系。
传统的做法是使用相关系数或协方差矩阵来描述变量之间的线性关系，但是这种做法忽略了变量之间的非线性因素，不能完全反映变量之间的依赖关系。
第二个问题是如何将变量的边际分布和依赖关系分开来。
从统计学的角度来看，边际分布和依赖关系是不同的概念，它们之间的关系不应该混淆。
然而，在现实应用中，变量的边际分布和依赖关系通常是同时存在的，不加区分的分析会导致结果的误解。
为了解决这些问题，Copula 理论被提出作为一种描述多维随机变量之间依赖关系的方法。
该理论不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。
在本文中，我们将介绍 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨其在金融中的应用和优势。
二、Copula 理论的基本概念Copula 是从多元随机变量的联合分布函数中提取出依赖结构的工具，其主要思想是通过一个单独的函数来描述变量之间的依赖关系，从而将边际分布与依赖关系分离开来。
Copula 的基本定义是：设 $X_1, X_2, ..., X_d$ 为 $d$ 个随机变量，它们的边际分布函数分别为 $F_1, F_2, ..., F_d$，联合分布函数为$H$，则称 $C(u_1, u_2, ..., u_d)$ 为 $X_1, X_2, ..., X_d$ 的Copula 函数，其中 $u_i = F_i(x_i)$ 是 $X_i$ 的分位数。
t-copula函数的参数 相关系数矩阵
t-copula函数的参数随着数据分析和金融工程领域的发展，copula函数作为一种重要的概率密度函数已经被广泛应用。
其中，在金融领域，t-copula函数是一种常用的copula函数，它在描述金融资产之间的相关性和联动性时具有重要的作用。
在使用t-copula函数进行建模时，需要正确地设置参数，以获得有效的模型拟合和合理的结果。
本文将对t-copula函数的参数进行详细介绍和分析。
1. 自由度参数（degrees of freedom）自由度参数是t-copula函数的一个重要参数，它决定了t分布的尾部厚度和形状。
在copula函数中，自由度参数可以用来描述变量之间相关性的程度。
通常情况下，自由度参数越大，表示数据之间的相关性越强；而自由度参数越小，表示变量之间的相关性越弱。
在使用t-copula函数时，需要合理设置自由度参数，以反映数据之间真实的相关性情况。
2. 相关系数矩阵（correlation matrix）相关系数矩阵是t-copula函数参数设置中的另一个关键因素。
相关系数矩阵用来描述数据之间的线性相关性程度，是描述多维随机变量之间相关性的重要工具。
在t-copula函数中，相关系数矩阵被用来构建联合分布函数，从而描述变量之间的相关性。
通过调整相关系数矩阵，可以有效地控制变量之间的相关性强度和方向，从而得到合理的模型拟合结果。
3. 边缘分布函数（marginal distribution function）在使用t-copula函数时，还需要考虑边缘分布函数的选择。
边缘分布函数用来描述单个随机变量的分布特征，对于多维随机变量来说，选择合适的边缘分布函数可以有效地影响copula函数的拟合效果。
通常情况下，常见的边缘分布函数包括正态分布、t分布、偏态分布等。
在实际应用中，需要根据数据的特点和实际需求选择合适的边缘分布函数，以获得准确的模型拟合结果。
t-copula函数的参数设置对于建模和分析多维随机变量之间的相关性具有重要意义。
Copula函数
一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。
copulas函数
copulas函数Copulas函数1. 引言Copulas函数是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量之间的依赖关系。
在本文中，我们将深入探讨Copulas函数的概念、性质和应用。
我们将介绍Copulas函数的基本定义和特征，然后讨论它们在金融和风险管理领域的应用，并最后分享我们的观点和理解。
2. Copulas函数的定义和性质Copulas函数是用来描述随机变量的联合分布的无参数函数。
它将每个随机变量的边际分布函数映射到一个标准均匀分布函数，从而消除了边际分布函数的影响，使得我们能够更好地研究随机变量之间的依赖关系。
Copulas函数具有以下几个重要的性质：- Copulas函数的取值范围在0到1之间，表示两个随机变量之间的依赖程度。
- 当Copulas函数等于0或1时，表示随机变量之间存在完全的负相关或正相关关系。
- Copulas函数是无参数的，这使得我们能够对不同类型的数据进行建模，而不需要知道其具体的分布函数形式。
3. Copulas函数在金融领域的应用Copulas函数在金融领域具有广泛的应用。
它可以用于建模和估计金融资产之间的相关性，从而帮助投资者和风险管理者更好地理解和管理投资组合的风险。
另一个重要的应用是用Copulas函数进行期权定价。
由于期权的价值取决于多个底层资产的联合分布，传统的单一分布模型难以准确地描述期权的价格。
通过使用Copulas函数，我们可以考虑不同底层资产之间的相关性，从而提供更准确的期权定价模型。
4. Copulas函数在风险管理中的应用Copulas函数在风险管理中也发挥着重要的作用。
它可以用于测量和估计极端事件的概率，从而帮助机构更好地管理市场风险和信用风险。
另一个应用是基于Copulas函数进行风险度量。
传统的VaR（Valueat Risk）方法通常假设资产之间的独立性，而这在现实市场中往往是不成立的。
通过使用Copulas函数，我们可以更准确地考虑不同资产之间的相关性，从而提供更准确的风险度量方法。
copulas函数
copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。
它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。
Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。
一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。
Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。
1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。
（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。
（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。
（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。
二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。
Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。
cht10 相关系数与Copula函数
12
N元联合正态分布的随机抽样生成 n 个相互独立，并 且服从正态分布的随机抽样 Zi 1 i N ，则n元正态
随机分布变量为：
i
i ik zk , 其中 ik =1， ik z jk ij i j
2 k 1 k 1 k 1
相关系数与 Copula 函数
Chapter 10
,金融风险管理
张学功
1
Correlation and Covariance
The coefficient of correlation between two variables V1 and V2 is defined as
E (VV 1 2 ) E (V1 ) E (V2 ) = SD(V1 ) SD(V2 )
;变量Y 的最新波动率估计为 ，X 及 Y 的最新相关系数为
0.00041125=2.2028%
0.00012025 =0.6044 0.00981 0.02028
金融风险管理
张学功
9
Positive Finite Definite Condition
A variance-covariance matrix, W, is internally consistent if the positive semidefinite condition wTWw ≥ 0 holds for all vectors w
covn varx,n vary ,n
金融风险管理 张学功
6
Covariance
The covariance on day n is E(xnyn)−E(xn)E(yn) It is usually approximated as E(xnyn)
empirical copula函数 -回复
empirical copula函数-回复什么是empirical copula函数？Empirical copula函数是一种用于统计分析和建模数据之间相关性的工具。
其主要作用是将多个随机变量的分布函数转换为一个多维联合分布函数，从而可以更好地描述和解释变量之间的相互关系。
第一步：理解copula函数在介绍empirical copula函数之前，我们首先要了解copula函数的概念。
Copula函数是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量之间的依赖关系，它把每个随机变量的边际分布函数映射为一个多维联合分布函数。
Copula函数主要用于研究多维随机变量的联合分布，而不关注各个随机变量的边际分布。
简单来说，copula函数可视为一种对随机变量之间依赖结构的非边际化描述，提供了一个统一的框架来分析多变量之间的关联性，不受边际分布的影响。
第二步：引入empirical copula函数empirical copula函数是一个特殊的copula函数，它利用观测值来估计真实联合分布的copula函数。
在实际应用中，常常需要估计变量之间的相关性和依赖结构，而传统的copula函数通常依赖于变量的边际分布参数，而这些参数通常是未知的。
因此，empirical copula函数的主要优势在于不需要对边际分布做出任何假设，而是直接利用观测数据来估计联合分布的copula函数。
这样一来，我们可以更加准确地描述变量之间的关系，而不用依赖于边际分布的假设。
第三步：empirical copula函数的计算估计empirical copula函数的常用方法是通过经验分布函数，具体步骤如下：1. 对每个变量进行排序，得到对应的经验分布函数。
2. 将每个观测值映射到[0, 1]区间，得到这些值在经验分布函数上的累积概率。
3. 对于每一对观测值，根据其对应的累积概率计算copula值。
4. 得到所有观测值的copula值，在[0, 1]区间上构建empirical copula 函数。
Copula函数
一、 Copula 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、Copula函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布;④根据所建分布进行相应的统计分析。
Copula系列(一)-什么是Copula函数
最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。
本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。
我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。
此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。
什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。
最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。
反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。
Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。
其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。
copula函数
copula函数1、Sklar定理Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。
反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。
Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。
在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]2、什么是copula函数？copula函数实际上是一个概率。
假设我们有n个变量（U1,U2,…,UN），这n个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u1,u2,…,un)即是P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}，（这里的n个变量是相互关联的）。
(1)copula是最全面的相关性(2)copula可以有尾部相依性(3)copula定义的C(u1,u2,…,un)=P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}对应的概率密度函数为c(u1,u2,…,un)=∂n C(u1,u2,… ,un)/∂u1∂u2…∂un，fi(x1,x2,…,xn)为联合分布函数F i (x1,x2,…,xn)= Ui的概率密度函数，fi(x1,x2,…,xn)为Ui的概率密度函数，则有：f(x1,x2,…,xn)= c(u1,u2,…,un)*[ f1(x1,x2,…,xn)*…*fn(x1,x2,…,xn)]3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1](2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤14、copula函数的种类（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）（2）多元t分布的copula：t-copula（3）阿基米德copula（人工构造）令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。
金融风险管理相关系数和Copula函数
金融风险管理相关系数和Copula函数金融风险管理是在金融市场中对于不确定性的管理和控制。
相关系数和Copula函数都是金融风险管理中常用的工具和技术。
相关系数是用来衡量两个变量之间的关联程度的统计量。
在金融风险管理中，相关系数被广泛应用于衡量不同投资资产之间的相关性。
相关系数的范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
通过计算相关系数，投资者可以了解不同资产之间的相关程度，帮助他们进行资产配置和风险分散。
相关系数越高，两个资产的价格变动趋势越一致，投资者需要更加注意风险管理和资产配置。
然而，相关系数的局限在于它只能测量线性关系，无法准确反映非线性关系或尾部风险。
这就引出了Copula函数的应用。
Copula函数是一种用来描述多变量随机变量之间相关关系的方法。
它能够捕捉到非线性关系和尾部风险，因此在金融风险管理中具有重要的应用价值。
通过使用Copula函数，投资者能够更准确地估计多个资产之间的相关性和联动性，从而更有效地进行风险管理和资产配置。
Copula函数可以根据具体的风险偏好和投资目标进行定制，提供个性化的风险管理和投资策略。
然而，使用Copula函数也存在一些挑战和限制。
由于Copula函数需要估计多维分布函数，数据要求较高，且计算复杂度较高。
此外，Copula函数对于模型的选择和参数估计也需要一定的专业知识和经验。
综上所述，相关系数和Copula函数都是金融风险管理中常用的工具和技术。
相关系数用于测量线性关系，而Copula函数可以更准确地捕捉非线性关系和尾部风险。
通过综合应用这两种方法，投资者可以更好地理解和管理金融风险，实现更有效的资产配置和投资决策。
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Prob(Ti T F ) N
1
对应一个期限为T，置信水平为X的投资组合，违约率的最坏情
况为
N 1[Q(T )] N 1( X )
WCDR(T, X) N
1
假定，某交易组合的规模为L，违约回收率为R，在时间T，在
X置信区间的条件下，贷款组合的风险价值度为
s2 1 2
m1 和 m2 分别为 V1 和 V2 的（无条件）期望值，s1和s2分别为 V1 和 V2 的（无条件）标准差， 为 V1 和 V2 的相关系数
多元正态分布
很容易处理 方差-协方差矩阵定义了方差和变量间的相关系数 要满足内部一致性条件，方差-协方差矩阵就必须是半正定的
类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，…，Vn 的边际分布 我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射
是分位数之间的一一对应） 假定 Ui 服从多元正态分布
因子Copula模型
在因子Copula模型中，变量 Ui 之间的相关结构通常被假定由 一个或多个因子来决定
0.6
0.8
1
1.2
V2
一对一映射
-6
-4
-2
0
2
4
6
U1
-6
-4
-2
0
2
4
6
U2
相关性假设
例
V1
V2
V1 到 U1 的映射
V1
分布的分位数
U1
0.2
20
-0.84
0.4
55
0.13
0.6
80
0.84
0.8
95
1.64
V2 到 U2 的映射
V2
分布的分位数
U2
0.2
8
−1.41
0.4
32
−0.47
生成随机样本：模特卡洛模拟
在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（））来生成服从 正态分布随机数
对于产生多元联合正态分布的随机抽样要采用Cholesky分解的 方法
因子模型
对N个变量之间的相关性进行估计，我们需要估计N(N-1)/2个参 数
采用因子模型进行估计，我们就可以减少估计参数的数量
贷款组合模型
定义Ti 为公司i的违约时间，将变量Ti 的分位数与Ui 的分位数之 间进行一一对应的映射，假定Ui 满足式
Ui ai F 1 ai2 Zi
F 及Zi 为相互独立的正态分布
定义Qi 为Ti 的累积概率分布
当N(U)=Qi(T)时，Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)
还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构 一种可能是二元学生t-分布
二元正态分布的5000个随机样本
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5-1-2源自-3-4-5
二元学生t-分布的5000个随机样本
5
4
3
2
1
0
-5
-4 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
多元Copula函数
VaR(T, X ) L(1 R)WCDR(T, X )
作业 11.17
0.6
68
0.47
0.8
92
1.41
例：计算联合概率分布
V1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 < −0.84 和 U2 < −1.41 的概率
当Copula相关系数等于0.5时 M（−0.84, −1.41, 0.5）= 0.043 M是二元正态分布的累积分布函数
其他Copula函数
Prob(Ui
U
F)
N
U
ai
F
1 ai2
Prob(Ti
T
F) N
N 1 Qi (T ) aiF
1 ai2
贷款组合模型（续）
假设所有公司之间的Copula相关系数均等同，此量被记为ρ
N 1 Q(T ) F
单因子模型
假设 Ui 服从标准正态分布，可设
Ui ai F 1 ai2 Zi
其中，共同因子 F 和特异因子 Zi 均服从标准正态分布 Ui 和 Uj 的相关系数为 ai aj
高斯Copula函数
假设我们希望在不服从正态分布的两个变量V1 和 V2 之间定义 一种相关结构
covn varx,n vary,n
协方差
第n天的协方差为
E(xn yn ) E xn E yn
经常被简化为
E(xn yn )
监测相关系数（续）
EWMA：
covn covn1 (1 )xn1 yn1
GARCH（1，1）：
covn xn1 yn1 covn1
我们将变量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，这里的U1 和 U2 均服 从标准正态分布
这种映射为分位数与分位数之间的一一映射 假定U1 和 U2 的联合分布为二元正态分布
V之间的相关结构是通过U之间的相关结构定义的
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
V1
-0.2
0
0.2
0.4
几种不同的关联形式
E V2 V1
a)
E V2
V1
b)
E V2
V1
c)
监测相关系数
定义 xi=(Xi−Xi-1)/Xi-1 和 yi=(Yi−Yi-1)/Yi-1 varx,n ：以第n-1天估计的X的日方差 vary,n ：以第n-1天估计的Y的日方差 covn ： 以第n-1天估计的协方差 相关系数为
协方差的一致性条件
方差-协方差矩阵Ω满足内部一致性条件的不等式为：对于所有 的向量w，满足
wTw 0
二元正态分布
假定两个变量V1 和 V2 服从二元正态分布，假定变量变量V1 的
某个观察值为v1，V2 在V1 = v1条件下为正态分布，期望值为
m2
标准差为
s
2
V1 m1 s1
第六讲 相关性与Copula函数
协方差和相关系数
变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
SD(V1)SD(V2 ) 变量V1 和 V2 的相关系数被定义为
cov(V1,V2 ) E(V1V2 ) E(V1)E(V2 )
独立性
两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另 一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立
精确地讲，变量V1 和 V2 在统计上被定义为相互独立，如果对 于所有的x，下列等式成立
f (V2 V1 x) f (V2)
f (﹒)代表变量的概率密度函数
独立性并不等同于零相关
假定变量 V1 的值有三种均等的可能：–1，0，或 +1 如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1 如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0 可以清楚地看到 V1 和 V2 有某种关联性，但它们的相关系数为0