10第4章1向量的内积与正交向量组
1向量的内积及正交性
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
4-1向量的内积与正交
BB
1
2 0
0 1
1
2 0
0
1 2
则 B 是正交矩阵。
1 0 2
1 0 0
0 1 0 1 0
1 2
0
0 0 1
1
CC
0
0 0
1 0
1 0
0 0
1 0
2 0
0 0
0 0 E
1 0 1 1 0 1 0 0 2
则 C不 是正交矩阵。
19
性质3 设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
9
例3 1 1,1,1,1T , 2 1,1,1,1T , 3 1,1,1,1T ,
求与 1,2 ,3 都正交的单位向量。
解 设所求向量为 X x1, x2, x3, x4 T
X X
, ,
1 2
0 0
X ,3 0
即
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 x4
0 0
x1 x2 x3 x4 0
证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 A A E BB E
ABAB B A AB B A A B E
则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 A1 与 A, A
也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 A 1.
20
例6 A 为 n 阶正交阵，则
(1) A 1 或 1 (2) A 是正交矩阵
i j
0, i 1, i
j j
即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。
例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵
1 A 0
0
0 1 0
0
1 2
0
B
1 2
向量的内积与正交
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的内积与向量组的正交化ppt课件
+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
线性代数第12讲
α = x1l1 + L + xr lr β = y1l1 + L + yr lr
r r (α, β ) = ∑ xi li , ∑ y j l j j =1 i =1
= ∑∑ xi y j ( li , l j )
i =1 j =1 r
r
r
= ∑ xi yi
即此时α与β的内积只要考虑它们的坐标的 运算即可.
12
1 1 1, α = 2是正交的, 试 例 4.1 已知 α1 = 2 1 1 求α3, 使α1,α2,α3 两两正交. 解 求解齐次线性方程组: x1 1 1 1 0 1 2 1 x3 = 0 x 3
13
1 1 1 1 2 1
x1 x = 0 3 0 x 3
23
三, 正交矩阵
24
设在Rn中有一组规范正交基l1,Λ,ln, 即有
1, ( li , l j ) = δ ij = 0, j = i, j ≠ i.
把l1,Λ,ln排成矩阵A, 即A=(l1,Λ,ln), 则有
l1T l1T l1 l1T l2 L l1T ln T T T T l2 l2 l1 l2 l2 L l2 ln T A A= (l1 , l2 ,L, ln ) = =E M M M M T T T T ln ln l1 ln l2 L ln ln
第四章 矩阵的对角化 §1 向量内积与正交矩阵
1
一, 向量内积 定义4.1 设有n维向量 定义 x1 y1 M , y = M ∈ Rn . x= x y n n 定义 (x,y)=xTy=x1y1+Λ+xnyn 称其为向量x与y的内积 内积. 内积
2
由此定义可知, 两个n维实向量之内积是 一个实数. 且易验证, 此内积满足性质: (1)对称性: (x,y)=(y,x); (2)线性: (x+y,z)=(x,z)+(y,z),z∈Rn, (kx,y)=k(x,y), k∈R; (3)正定性: (x,x)≥0, (x,x)=0x=0
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
线性代数习题4.1向量的内积与正交向量组 (1)
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8 14 T T 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
T
[ 1 , a3 ] [ 2 , a3 ] 3 a3 1 2 [ 1 , b1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
，
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
k k 将向量单位化的方法：
1
1
1
1
为单位向量。 单位化得
1 1 2 14 3
三、正交向量组 称 arccos
[ , ]
1 2 如： 3
2内积是两个向量之间的一种运算，其结果 是一个实数，它也可以看着矩阵的乘积， 即有 T
,
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§4.1 向量的内积与正交向量组
内积的运算性质 （其中 , , R , k , l R)
n
(1)
(2)
.
, , ; , , ;
§4.1 向量的内积与正交向量组
第四章
矩阵的特征值与特征向量
§4.1 向量的内积与正交向量组
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
定义4.1.1 设n维向量 (1 , 2 ,, an )T T n (b1 , b2 ,, bn ) R 记
由于
[ei , e j ] 0, i j且i, j 1, 2,3, 4. [ei , e j ] 1, i j且i, j 1, 2,3, 4.
4.1向量的内积
j =1 r −1
(α r , β j ) (β j , β j )
β j.
⇒ Schmidt 正交化过程
再令γ 1 =
1
β1
β1 ,
γ
1
βr
βr ,
则 γ1, γ2, …, γr 是一个规范正交基.
9
例 设α1= (1, 2, −1), α2= (−1, 3, 1), α3= (4,−1, 0), 试将其 正交规范化. 解:
[ β 2 , β3 ] = [ β 2 , β 4 ] = 0，
1 2 ) ⋅ (− 1 2 ) = 0.
[ β3 , β 4 ] =
1 2
⋅
1 2
+(
由定理知, β1, β2, β3, β4 线性无关, 即为规范正交基.
4
标准正交基的优点
若 n 维向量α1, α2 , …, αn 是一组标准正交基. 则 n 维向量 α =(x1,x2,…,xn) 在基α1, α2 , …, αn 下的 第 j 个分量为: x j = (α ,α j ), j = 1，， , n. 2L
12
例: 已知三维向量空间中两个向量
1 1 α1=1，α2 = −2正交，试求α3， 1 1 使α1，α2，α3构成三维空间的一个正交基。
解： 设 α = ( x 3 1
x2
x3 ) ≠ 0, 且分别与 α 1， α 2正交，则
T
[α 1， α 3 ] =0=x 1 + x2 + x3 [α 2， α 3 ] = 0 = x1 − 2 x2 + x3 解得， x1 = − x3 , x2 = 0.令 x3 = 1, 得 −1 α 3 = 0 ，且 α 1， α 2， α 3构成三维空间的一个正交基。 1 13
向量的内积与正交矩阵
05
特殊类型的正交矩阵
对角矩阵
对角矩阵的定义
对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩 阵。
对角矩阵的性质
对角矩阵的转置等于其本身，即如果A是对角矩阵，则A^T = A。
对角矩阵的应用
对角矩阵在许多领域都有应用，例如线性代数、统计学和计算机科 学等。
单位矩阵
单位矩阵的定义
单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其他元 素都是0。
01
单位矩阵的性质
单位矩阵的逆矩阵等于其本身，即如果 A是单位矩阵，则A^(-1) = A。
02
03
单位矩阵的应用
单位矩阵在数学和工程领域中都有广 泛应用，例如在解决线性方程组和计 算矩阵的逆时。
幺正矩阵
幺正矩阵的定义
幺正矩阵是一个满足条件 U^H * U = I的矩阵，其中U 是幺正矩阵，H是U的共轭转
01
乘法
正交矩阵与任何矩阵相乘都得到 一个正交矩阵。
02
03
转置
逆矩阵
正交矩阵的转置矩阵也是正交矩 阵。
正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
03
向量与正交矩阵的应用
向量在几何中的应用
描述方向和位移
向量可以用来表示物体的方向和位移，例如速度、加速度和力等 物理量。
线性变换
向量可以用于描述线性变换，例如旋转、平移和缩放等。
置，I是单位矩阵。
幺正矩阵的性质
幺正矩阵的行列式等于1或-1， 且其转置等于其共轭转置。
幺正矩阵的应用
幺正矩阵在量子力学、信号处 理和通信等领域有广泛应用， 例如在量子计算中实现量子门
操作时。
THANKS
感谢观看
分配律
1-1-向量内积正交
1-1-向量内积正交这些基础知识在后面具体方法中都会用到，因此首先介绍这些内容。
本章介绍：向量的内积、正交等概念矩阵相似变换、正交变换概念标准特征问题基本性质向量正交化方法（G-S 方法）矩阵三角分解、QR 分解*（* 通过H 变换和Givens 变换实现QR 分解）第一章基础知识引言§1-1 向量的内积和正交一、线性空间子空间1、实数域：n 维实向量{x }的全体（集合）称为n 维线性空间，记为R n则复数域：n 维复向量{x }的全体，记为C n ，则{}nR x ∈{}nCx ∈均为线性空间第一节向量的内积和正交称为实空间。
另外：n m Rnm C是m ×n 阶实矩阵集合。
[]A []A 是m ×n 阶复矩阵集合。
均为线性空间。
称为复空间。
nm Rnm C和2、子空间的概念设有{}{}{}nm Rx x x ∈ 21个向量：nR 由这m 个向量的任何线性组合所构成的集合：称为的由{}{}{}m x x x 21所生成的子空间，记为{}{}()m x x span 1{}{}m x x 1()n m ≤称为子空间生成向量。
第一节向量的内积和正交{}{}?∈=∑=R x x m i mi i αααα,,,211 生成/张成特别当{}{}m x x 1子空间的维数= mnR {}{}{}()m x x x span ,,21即是的一个m 维子空间。
二、向量的内积和正交1、向量内积的定义设有{}{}nRy x ∈,在实数域线性空间中定义内积：则{}{}(){}{}ii Ty x x y y x ∑==,nR 在中定义了内积的向量集合—称为n 维欧几里德空间（或称为内积空间）第一节向量的内积和正交线性无关时，①在复数域上两向量内积定义：则如设{}{}nCy x ∈,{}{}(){}{}ii Hy x x y y x ∑==,（复数域上n 维线性空间n C 内积定义）第一节向量的内积和正交时，就是常说的几何空间。
什么是标准正交向量组
什么是标准正交向量组首先，我们需要了解向量的内积。
向量的内积是向量空间中的一个重要运算，它可以帮助我们定义向量的夹角和长度。
对于向量a和b，它们的内积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
如果两个向量的内积为0，那么我们称这两个向量是正交的。
标准正交向量组是指一组向量中的每两个向量之间都是正交的，并且每个向量的长度都为1。
换句话说，对于标准正交向量组中的任意两个向量a和b，它们的内积为0，同时向量a和b的长度都为1。
标准正交向量组的性质使得它在很多数学和工程问题中都有着重要的应用。
标准正交向量组的性质有很多重要的应用。
首先，它可以用来构造正交矩阵。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的转置矩阵等于它的逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
正交矩阵的列向量构成了一个标准正交向量组，而且正交矩阵具有很多重要的性质，在数学和工程问题中有着广泛的应用。
其次，标准正交向量组还可以用来进行矩阵的正交对角化。
对于一个对称矩阵A，我们可以找到一组标准正交向量组，使得A可以被对角化为对角矩阵Λ，即A = QΛQ^T，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵。
这个过程在信号处理、优化问题以及物理学中都有着重要的应用。
另外，标准正交向量组还可以用来进行函数的正交展开。
在函数空间中，我们可以通过标准正交向量组来表示一个函数，从而实现对函数的分解和逼近。
这在信号处理、图像处理以及偏微分方程的求解中都有着重要的应用。
总之，标准正交向量组是线性代数中一个非常重要的概念，它具有很多重要的性质和应用。
通过学习和理解标准正交向量组，我们可以更好地理解向量空间、矩阵运算以及函数空间中的各种问题，为解决实际的数学和工程问题提供了有力的工具和方法。
希望通过本文的介绍，读者能对标准正交向量组有一个更加深入的理解，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
向量的内积长度和正交性
(1) 非负性: 当 x = 时, || x ||= 0;当 x 时, || x || 0. (2) 齐次性: || x ||= |||| x || ;
(2) [ x, y ]= [ x, y];
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量旳长度及性质
(1) A1 AT ; (2) AAT E;
3 A的列向量是两两正交的 单位向量;
4 A的行向量是两两正交的 单位向量.
设1 , 2 ,, r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基 ,就是要找一组两两正交 的单
位向量e1 ,e2 ,,er ,使e1 ,e2 ,,er与1 , 2 ,, r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 ,,r 这个基规
范正交化 .
下面简介施密特正交化措施（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
例如
1, 3
1 , 3
1
T
,
3
1 ,0, 2
1 2
,0
T
,
若
,
则
1
||
||
为单位向量.
若 ,
1 || ||
称为把向量 单位化.
例如 (1,2,3)T , 单位化得 : 1 (1,2,3)T .
第10讲：向量的内积与正交矩阵
就是正交变换.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
1
9
8 9
4 9
例：判别矩阵
A=
8 9
1 9
4 9
是否为正交阵？
4 9
4 9
7 9
解：只需验证 AT A 是否等于 E ？
1
9
8 9
4 9
T
1 9
8 9
4 9
1
0
0
由于
8 9
4 9
1 9 4 9
4 9
7 9
8 9
4 9
1 9 4 9
4 9 7 9
0 0
1 0
0
,
1
所以 A是正交矩阵.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
例：设实对称阵 A 满足 A2 6A 8E O, 证明：A+3E 为正交矩阵. 证： 因为 ( A 3E )T ( A 3E )
( AT 3E )( A 3E ) ( A 3E)( A 3E) A2 6A 9E E, 所以 A+3E 是正交矩阵.
br
1
,
则 b1,L , br 两两正交,且 b1,L , br 与 a1,L ar 等价;
（2）再单位化，取
e1
b1 b1
, e2
b2 b2
,LL
, er
br br
,
则 e1, e2 ,L , er 就是 V 的一规范正交基.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
例 用施密特正交化方法，将向量组
a2 b1
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
向量的内积与正交向量组
§2.4 向量的内积与正交向量组定义1 在中，设向量n R ,,2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a βα令,),(2211n n b a b a b a +++= βα称为向量与的内积.),(βααβ.),(βαβαT =例如，设则与的内积.)2,1,3,2(,)0,0,1,1(T T =−−=βααβ.12010312)1(),(=⨯+⨯+⨯+⨯−=βα内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示为根据定义1，不难验证内积具有下述性质：,0),)(4().,(),)(3().,(),)(2().,(),)(1(≥++=+==ααγβγαγβαβαβααββαk k 当且仅当时，有其中为中的向量，为常数.0=α.0),(=ααγβα,,n R k n R 定义2 对中的向量其长度向量长度也称为向量的范数.,),,,(21Tn a a a =α.),(22221n a a a +++== ααα例如，向量的长度T )2,1,1(=α.6211),(222=++==ααα向量长度具有下面的性质：当且仅当时，有.0α≥（1），0=α0=α.k k αα=•（2）(3)对任意向量，有βα,)1(.),(βαβα•≤如果上面不等式可写成这一等式称为柯西-施瓦次不等式.,),,,(,),,,(2121Tn T n b b b a a a ==βα.12121∑•∑≤∑===n i i n i i n i i i b a b a 证：当时，(1)式显然成立，以下. 令t 是一个实数，作向量. 由内积的性质(4)可知，不论t 取何值，一定有0=β0≠ββαγt +=,0),(),(≥++=βαβαγγt t对于不等式(1)当且仅当线性相关时，等号才成立.这由上述证明过程可以看出.用向量的长度去除向量，就得到一个单位向量，通常称为把向量单位化.即0),(),(2),(2≥++t t βββααα取代入上式，得),(),(βββα−=t ,0),(),(),(2≥−βββααα即),,)(,(),(2ββααβα≤两边开方得βαβα•≤),(βα,长度为1的向量称为单位向量，对于中的任一非零nR 向量，向量是一个单位向量.ααα1)0(≠ααα例1零向量与任意向量的内积为0，因此零向量与任意向量正交.定义3 如果两个向量与的内积等于0，即则称向量与互相正交. 记为.αβ,0),(=βααββα⊥例2 中的单位坐标向量组是两两正交的.n R n εεε,,,21 ⎩⎨⎧≠==)(0)(1),(j i j i j i εε定义4如果中的非零向量组两两正交，即则称该向量组为正交向量组.n R s ααα,,,21 ),,,2,1,;(0),(s j i j i j i =≠=αα定理4.1中的正交向量组线性无关.nR 证设为中的正交向量组，且有数，s ααα,,,21 n R s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα 使得上式两边与向量组中的任意向量求内积，得i α,0)0,(),(2211==+++i s s i k k k ααααα 即,0),(),(),(2211=+++s i s i i k k k αααααα 由于，所以上式可化简为)(0),(j i j i ≠=αα,0),(1=i i k αα而为非零向量，于是得，从而线性无关.i α,0),(≠i i αα),,2,1(0s i k i ==s ααα,,,21.),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),(,),(),(,111122221111222231111333111122211−−−−−−−−=−−=−==s s s ss s s s s ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ如果已知中的线性无关的向量组则可以生成正交向量组使这两个向量组等价.由一个线性无关向量组生成满足上述性质的正交向量组的过程，一般称为将该向量组正交化，将一个向量组正交化可以应用施密特正交化方法，其步骤如下：n R 12,,,,s ααα12,,,,s βββ对于中的线性无关向量组，令n R s ααα,,,21解.)21,21,1()1,1,0(21)1,1,1(30)0,1,1(),(),(),(),(,)1,1,0()1,1,1(33)2,0,1(),(),(,)1,1,1(222231111333111122211T T T T T T T T−=−−−−−=−−=−=−=−===ββββαββββααβββββααβαβ例3已知线性无关向量组将其化为正交向量组.,)0,1,1(,)2,0,1(,)1,1,1(321T T T −===ααα定义5设n 阶实矩阵Q ，满足则称Q 为正交矩阵.例如，单位矩阵E 为正交矩阵；在平面解析几何中，两直角坐标系间的坐标变换矩阵，是正交矩阵.正交矩阵具有下述性质：(1)若Q 为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.(2)若Q 为正交矩阵，则Q 可逆，且(3)若P , Q 都是正交矩阵，则它们的积PQ 也是正交矩阵.,E Q Q T =⎪⎭⎫⎝⎛−θθθθcos sin sin cos .1T Q Q =−定理4.2设Q 为n 阶实矩阵，则Q 为在正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组.即Q 为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是单位正交向量组.类似可证，Q 的正交矩阵的充分必要条件是其行向量组是单位正证设，其中为Q 的列向量组.Q 是正交矩阵等价于而),,,(21n Q ααα =n ααα,,,21 ,E Q Q T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T n T n T n n T T T n T T T n T n T T T Q Q αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121),,,(由此可知等价于E Q Q T =⎩⎨⎧=≠===),,2,1,;(0),,,2,1(1n j i j i n i j T i i T i αααα11例4正交阵的例子：定义6若Q 为正交矩阵，则线性变换y =Qx 为正交变换.由正交变换的定义可知这表明正交变换不改变向量的长度，这正是正交变换的优良特性..31313161616221210)2(;010100001)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−.x x x Qx Q x y y y T T T T ====。
4.1 向量的内积与正交向量组
(i , j = 1,2,L, n )
例
验证矩阵 1 1 1 1 − − 2 2 2 2 1 −1 −1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
α1 α T 1 T α 2 α 1 ⇔ M α T n α1
T j
α1 α T L α1 α T n 2 T T α2α2 L α2αn
M
αn αT 2
=E M M L αn αT n
1, 当 i = j; ⇔ α i α = δ ij = 0, 当 i ≠ j
作业
P137
A
2 4 5 (1)(2) 6 (2)
1 2 3 1 2 2 2
b3 = a 3 − c 3 .
例. 设线性无关的向量组α1 = (1,1,1,) ,
T
α 2 = (3,3, −1, −1) , α 3 = (−2, 0, 6,8) , 试将
T T
α1 , α 2 , α 3正交化。
b1 = a1 = (1,1,1,1)
T
( b1 , a 2 ) b = (3, 3, − 1, − 1)T b2 = a 2 − 1 b1 , b1 ) ( ( b1 , a3 ) b − ( b2 , a3 ) b b3 = a3 − 1 2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
二、向量的长度及性质
定义2 定义2 令
x =
2 2 x, x) = x12 + x2 +L+ xn , (
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ).
向量的内积
取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn
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是一个正交向两组。
16
定理4.2（P99）
若n维向量组 1 , 2 ,L , r 是正交向量组,且不含零向量,则
1 , 2 ,L , r
证明 则 而 可得
线性无关.
设有 k1 , k2 ,L , kr , 使 k11 k22 L krr 0
i , k11 k22 L krr i , o 0,
即
——三角不等式
——余弦定理
9
例1
解
设 求
10
例2 设 与的夹角是120 0, 模分别为 12 和 6， 求 与的距离。
解 由题设知： 所以
120 0, 12, 6
的距离为
与
2 cos
0
2
2
12 2 6 2 2 12 6 cos120
m , m1 [ m , 1 ] [ m , 2 ] m m 1 2 L m1 [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] m1, m1
则 1 , 2 ,L , m 是与 1 , 2 ,L , m 等价的正交向量组。
uuuu r uuuu r 则 OM1 OM 2 cos x1 y1 x2 y2 x3 y3
——根据余弦定理即可证明
3
4.1.1 向量的内积与模 定义4.1
n
， a1b1 a2b2 L
anbn aibi
i 1
对应分量 乘积之和
向量内积 可用矩阵 乘法表示
1 2 3 4 30
20
标准正交组 如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就 称其为标准正交向量组，简称标准正交组。
如
1 2 2 1 , , 3 3 3 2 1 2 2 , , 3 3 3 2 2 1 3 , , 3 3 3
i , j 0, i j
i 1,2,L , r
ki i ,i 0
Q i 0,
即 所以向量组
ki 0,
i 1,2,L , r
线性无关.
17
k1 k2 L kr 0.
1 , 2 ,L , r
命题
矩阵A的列向量组是正交组
1 (9,3,5,9) ,2 (9, 5,3, 9) ,
T T
[1 , 3 ] 9 14 3 4 5 (6) 9 (12)
0
0
[ 2 , 3 ] 9 14 (5) 4 3 (6) (9) (12)
196
2 2 a12 a2 L an 2 a i i 1 n
（1） 非负性
性 质
（2） 齐次性
（3） 三角不等式
为单位向量。
如果
，则称
是单位向量，常记作
6
定理4.1
对任意n维向量和，恒有
[， ]
——施瓦兹（Schwarz）不等式 证明见书P96定理4.1 ：技巧——构造函数
LLL
i 若令 i i
(i 1, 2,L , m) 1 ,2 ,L ,m 是与 1 ,2 ,L , m
等价的标准正交向量组.
24
例6 试用Schmidt正交化方法将向量组正交规范化
解
将 1 , 2 , 3 正交化，令
1 1
2 2 [ 2 , 1 ] 1
是对角矩阵
证明
满足
则
反过来，若
则
18
问题：
如果矩阵A的行向量组是正交组，命题该如何表述？ 矩阵A的行向量组是正交组 是对角矩阵 矩阵A的行向量组和列向量组都是正交组
?
19
满足 i i, i 1,2,3,4 ,求 1 2 3 4
解 由题设知： i , j 0,
252 15.87
11
例3
证明：
几何意义：平行四边形中两对角线的平方和等于各边的平方和. 证明 左边
右边 所以，原命题成立。
12
第二节 正交向量组与正交矩阵
13
4.2.1 正交向量组
定义4.5
如果向量 的夹角为90℃，则
垂直概念 的推广
此时称 与
正交。
(a1 , a2 ,L an )
第四章
向量的内积与二次型
§1 向量的内积 §2 正交向量组与正交矩阵 §3 实对称矩阵 §4 二次型
1
第一节
向量的内积
2
引 言 F
力F作用于物体，使之沿水平方向前进S，则力F所做的功为
r r W F S cos
推广到三维向量空间：
uuuu r uuuu r 设 OM 1 x1 , x2 , x3 , OM 2 y1 , y2 , y3
可见1与 2正交， 1 与 3 正交， 2 与 3 非正交。
15
正交向量组
如果n维向量组
中的向量两两正交
则称向量组为正交向量组，简称正交组。
即
如
1 5, 6,8,10 , 2 8,10, 5, 6 ,
T T
3 10, 8, 6, 5
T
所以
因为
1,2 0 1,3 0 2 ,3 0
1 2 3 1
21
1 , 2 , 3
构成标准正交组。
在 Rn 中
1 （ 1，， 0 L ,0） 2 （0,1, L, 0）
L
n （0,0, L ,1）
是标准正交组，称为单位坐标向量组
1,2
1
2 与 1 正交，即
1 , 2 1 , 1 0 2 1 , 1 23
定理4.3 设n维向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关,令 1 1 Schmidt正交化 [ 2 , 1 ] 方法 2 2 1 [ 1 , 1 ] [3 , 1 ] [3 , 2 ] 3 3 1 2 [ 1 , 1 ] [2 , 2 ]
的夹角为 与
从而有
物理应用 若 , 0 ，则
，此时称向量 与 正交。
2
8
两个向量的距离
定义4.4 n 维向量 (a1 , a2 ,L , an )
与
(b1 , b2 ,L , bn )
的距离为
(a1 b1 )2 (a2 b2 )2 L (an bn ) 2
3 3 [3 , 1 ] 1 [3 , 2 ] 2
[ 1 , 1 ] [2 , 2 ]
72 (1,13, 1,3) (3, 5,1, 1) 36
[ 1 , 1 ]
(5,3,1,1)
36 36 (7, 3,5,5) (3, 5,1, 1) (5,3,1,1) 36 36
(1, 1,3,5)
25
将
1,2 ,3 单位化，令
则
即为所求的标准正交向量组.
26
例7 已知
两两正交。
解 即 得一个基础解系为 令
，求一组非零向量
，使
则
为所求。
27
作
P120-P121
预习
业
4.1；4.2；4.3.
4.2.2 正交矩阵 4.3 实对称矩阵
28
例5 设有正交向量组1， 2， 3， 4，
i j , i, j 1,2,3,4.
1 1, 2 2, 3 3, 4 4,
则
1 2 3 4
2
1 ,1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 2 1 , 2 2 1 , 3 21 , 4 2 2 , 3 2 2 , 4 2 3 , 4 12 22 32 42 30
4
向量内积的运算律
(1)[ , ] [ , ]
(2)[ , ] [ , ] [ , ]
(3)[ , 1 2 ] [ , 1 ] [ , 2 ]
由向量内积的定义即可证明以上运算率
5
向量的模
定义4.2
的模（或长度）为 n维向量 （a1，a2， L an）
f (t ) t
2
Q f (t ) , t 2 2 , t , 0
4 , 4 , , 0
2
三角不等式的证明
对任意n维向量和，恒有
7
4.1.2 两个向量的夹角与距离 定义4.3 非零的n维向量
(b1, b2 ,L bn )
与 正交 a1b1 a2b2 L anbn 0
零向量与任意同维向量都正交
14
例4 三个向量
3 (14, 4, 6, 12)T , 找出它们之间相互正交的关系。
解 [ , ] 9 9 3 (5) 5 3 9 (9) 1 2
a1 , a2 ,L an
a11 a2 2 L an n
22
施密特正交化方量
2 cos
0 1
2
1 , 2 1 1,1
1 2 1 2 1