第三章 量子力学初步

二、定态薛定谔方程 能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的
力场不随时间改变，即势能U (r )中不显含时间t，将其代
2 U (r ) 入方程： i t 2m 波函数分离变量： (r , t ) u (r ) f (t )
2
i df (t ) 1 2 2 [ U (r )]u (r ) E f (t ) dt u ( r ) 2m
0 cos (t n ) 0 cos 2 (t
r cos )

)
r是原点到这波面任何一点的距离，rn 是从原点到这波面的垂 直距离。 将（1）式改成复数形式：
0e
2i (t
0e
2i (t k r )
矢量代表波长倒数的数值和波的前进方向。
光的微粒性：黑体辐射、光电效应。 一个光子的能量: E h 按照相对性原理，能量与质量的关系： E mc 2
E h h p mc 2 c hk c c
波数
E, P ,
------光的波粒二象性
二、德布罗意关系式
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波
m0 1 2 / c2
1 m
2．当 c 时， m mo

德布罗意波的实验验证：戴维孙和孔斯曼在德 布罗意的建议提出以前，在1921到1923年间就观察 到，电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角 度上散射较强，当时未有合理的解释。其实这已经
显示了电子的波动性。
三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了 电子波的波长，证实了德布罗意假设。 1．实验装置
渐
12.25 12 .25 2 n 2d sin V n nk 2d sin V
1
此式与实验数据符合，从而证实了电子的 波动性及德布罗意波的正确性。
3.2 测不准原理
在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以 同时精确测定的。
在量子理论中，要同时测出微观物体的位置和动量，
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x 0
(x p x / 2)
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
x p x / 2
p / 2
y p y / 2
E t / 2
动性。具有一定能量 E 和一定动量 p 的自由粒子，相 当于具有一定频率 和一定波长 的平面波，二者之 间的关系为：
p
h

, E h
----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称 为德布罗意波长。
粒子的德布罗意波长： 1．当 ~ c 时， m
h h p m
的粒子，这是方程的局限性。
上节内容回顾
一、自由粒子的波函数
i ( Et r p ) Ae i ( Et xp x yp y zpz ) Ae
z p z / 2
测不准原理来源于物质的二象性。是物质的客观 规律，不是测量技术和主观能力的问题。对微粒不可 能象经典力学那样准确知道物质的位置和动量，对微 观物体的恰当描述是说它处于某一位置的几率，而在 它可能出现的空间中有一个位置几率的分布。
3.3
一、波函数
波函数及其物理意义
现在考虑一个自由粒子的波。自由粒子不受力，动量不变 ，所以同它联系的波长也不变，是单色波。代表平面单色波的公 式为： r r cos
i p y p
2 p x 2
2 p y 2
2 p px i px 2p x
p y
p
p p2 i y py 2p y
2 p pz i pz 2p x
i p z p z
n
意常数。
即如果 1 2 n 、是体系可能的状态，那么它
们的的线性组合
cn n 也是体系一个可能的状态
n
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 (r , t ) 在势
(r , t ) 场U (r , t )中随时间变化 的规律。
t
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。
有限：几率不能无限大。
连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空
间出现的总几率应当为1
( x, y , z , t )
2
dV 1
3.4 薛定谔波动方程
2 形式。 (r , t ) 表示概率波， ( r , t ) 是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态 随时间变化的规律，是一种统计规律。
p2 U (r , t ) ，所 5．在薛定谔方程的建立中，应用了 E 2m
以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 m=0
经过电场加速的电子：

1 m 2 eU 2
－－－－(1)
h h h 12.25 p m 2eU / m 2emU U (V )
根据电子在晶体上散射的实验，强波束射出的条 件是：
n 2d sin
－－－－－－－－－－－(2)
在戴维孙和革末的实验中，d和 是固定的，使 变，观察强出射波束的出现。将(1)式代入(2)式得：
其精密度是有一定限制的。这个限制来源于微观物质的 二象性。 海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范 围是 q ,那么同时测得其动量 p 也有一个不确定范围 二者的乘积总是大于一定的数值。即：
p q 2
h 2
测不准原理
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
量子力学中一般用下式表示一个自由粒子的波：
0e
2i ( k r t )
0e
2i ( pr Et ) h
二、波函数的物理意义： 一粒自由粒子怎样和这样一个波联系起来呢？波函数究竟代表 什么意思？ 玻恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒 子的几率，这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。如果有大 量的粒子，那么在某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成 正比。将这种情况同光来对比，光的强弱同光子的几率成正比，我 们知道光的强弱同光波的电场或磁场强度的平方成正比，这样来类 比，可见在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的波函数平 方 2 成正比。如果 是复数，就用 代表 2 我们可以将 在体积 d 中发现一个粒子的几率表达为：d d
2．实验结果 (1)当U不变时，I与的 关系如图：不同的，I 不同；在有的上将出现 极值。
(2)当不变时，I与U的
关系如图：当U改变时 ，I亦变；而且随了U周 期性的变化。
3
实验解释
波程差：
2 d s in
n ( 2 n 1) 2
当 2d sin n 时加强----布拉格公式。
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
p
i ( Et r p ) Ae

i E p 对t求一次偏导： t
p
i ( Et xp x yp y zpz ) Ae
i
p t
E p
对x、y、z分别求二次偏导：
p i p x p x
第三章 量子力学初步
主要参考书： 褚圣麟编的《原子物理学》 杨福家编的《原子物理学》
内容：
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述
3.1 微观物质的波粒二象性
一、光的波粒二象性
光的波动性：光的干涉、衍射、偏振。
由热金属丝发射的电 子，加速后经过前后几 个小孔，形成一道电子 束，打在晶体上。晶体 可以绕一平行于电子束 的轴转动。接收器（电 子探测器）同一个灵敏 电流计相接，用以测量 收到的电子的数量。电 子探测器可以在一圆弧 上移动，圆弧的圆心在 晶体上，所以，电子探 测器可以在不同角度接 受从晶体散射出来的电 子。
E为一常数
2 2 [ U (r )]u (r ) Eu (r ) 2
df (t ) i Ef (t ) dt
df (t ) i Edt f (t )
解出： f (t )
i Et Ce
i
Et (r , t ) u(r )e
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基 本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果
相一致来得到证明。 3．具体的势场U (r , t ) 决定粒子状态变化的情况，如果 给 U (r , t ) 出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒
子初始时刻的状态 (r0 , t0 ) 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 (r , t ) 。 4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r , t ) 一般是复数
――定态波函数
定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2 2 [ U (r )]u (r ) Eu (r ) 定态薛定谔方程 2m
4．态迭加原理
如果 1 2 n、是方程的解，那么它们的的线性组
c 合 c1 1 c2 2 cn n cn n 也是方程的解， i 为任
代表在单位体积内发现一个粒子的几率，因而
称几率密度。这就是德布罗意波的物理意义。

函数既然具有这样的物理意义，必须满足一些