2011年高考压轴题数学跟踪演练系列一
2011高考数学押题卷及答案 如皋中学4月
2011高考数学押题卷及答案 如皋中学4月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 ▲ .2．若复数1z mi =-(i 为虚数单位，m ∈R )，若22z i =-，则复数z 的虚部为 ▲ .3．若函数()2sin()(0)f x x =ω+ϕω>的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω的值为 ▲ .4．若双曲线焦点为(5,0)，渐近线方程为2x y =±，则此双曲线的标准方程为 ▲ ．5．已知向量a → = (sin 55°，sin 35°)，b → = (sin 25°，sin 65°)，则向量 a → 与 b → 的夹角为 ▲ ．6．已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a = 3，b = 4，△ABC 的面积为33，则c = ▲ ．7．作为对数运算法则：lg()lg lg (0,0)a b a b a b +=+>>是不正确的.但对一些专门值是成立的，例如：lg(22)lg 2lg 2+=+. 则关于所有使lg()lg lg a b a b +=+（0a >，0b >）成立的,a b 应满足函数()a f b =表达式为▲ .8．两游客坐火车旅行，期望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车内的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有 ▲ .①48，49 ②54，55 ③62，63④75，76 ⑤84，85 ⑥96，979．已知关于x 的不等式 x + 1x + a 2的解集为P ，若1P ，则实数a 的取值范畴为 ▲ ．窗口 1 2过道 345窗口67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … …10．已知集合(){}22,|2009x y x y Ω=+≤，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有如此的点Q 构成的集合为 ▲ .11．若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范畴是 ▲ .12．已知集合P ={ x | x = 2n ，n ∈N}，Q ={ x | x = 2n ，n ∈N}，将集合P ∪Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，则数列{an}的前20项之和S20 = ▲ ．13．记集合{}0,1,2,3,4,5,6=T ，3124234,1,2,3,47777⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭i a a a a Ma T i ，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ▲ .14．已知抛物线()y g x =通过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++，其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解承诺写出必要的文字讲明步骤．15．（本小题共14分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且(01)AP AB =≤≤u u u r u u u rλλ.（1）若等边三角形边长为6，且13=λCP ；（2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，求实数λ的取值范畴.16．（本小题共14分）如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ； （3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并讲明理由．17．（本小题共14分）椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的一个焦点)0,2(1-F ，右准线方程8=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M 为右准线上一点，A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，求APPM的取值范畴； （3）设圆Q ：22()1(4)x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点，过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS 、BT ，切点为,S T ，求BS BT ⋅u u u r u u u r的最大值．A 1B 1C 1AB CD18．（本小题共16分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且许多于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节约堆放场地？19．（本小题共16分）已知函数21()ln (4)2f x x x a x =++-在(1,)+∞上是增函数.（1）求实数a 的取值范畴；（2）在（1）的结论下，设2()||,[0,ln 3]2xa g x e a x =-+∈，求函数)(x g 的最小值．20．（本小题共16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-.（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求通项n b ；（2）求证：1n n T T +>；（3）求证：当2n ≥时，271112n n S +≥．数学附加题21.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X ，写为“11211222a a a a ”的形式，先左乘矩阵1422A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，再左乘矩阵625514855B ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，得到密文Y ，现在已知接收方得到的密文是4,12,36,72，试破解该密码.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1,5)-，[来源:学科网]点M 的极坐标为(4,)2π．若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心、4为半径.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系.23．在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票.（1）求这名大学生先去买火车票的概率；（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钞票数为ξ，求ξ的数学期望值.24．已知抛物线223y x =，过其对称轴上一点(23,0)P 作一直线交抛物线于,A B 两点，若60OBA ∠=︒，求OB 的斜率.答案1、062、1-3、1 5．30° 6.137、(1)1ba b b =>- 8、“通过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P 的连线的斜率之积为定值22b a-”.②⑤⑥9.[−1，0] 10、答案：(){}22,|2009,00且x y x y x y +=≤≥提示：P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点集合为(){}22,|2009,00且x y xy x y +=≤≥.11、答案：24S <≤提示：设12122,2(0,0)x y t t t t ==>>，则22121222t t t t +=+，2121212()22()t t t t t t +-=+，∴2121212()2()20t t t t t t +-+=>，得112t t +>或120t t +<（舍去），又2212121212()2()222t t t t t t t t +⎛⎫+-+=≤ ⎪⎝⎭，得1204t t ≤+≤，∴1224t t <+≤.12. 343 13、答案：3922401[来源:学科网] 提示：3124234,1,2,3,47777⎧⎫=+++∈=⎨⎬⎩⎭i a a a a M a T i 中的元素为44444401237,,,,,77777⋅⋅⋅，故从大到小排列第2009个数是3922401. 14、答案：b n a m <<<提示：由抛物线通过点(0,0)O 、(,0)A m 设抛物线方程(),0y kx x m k =-≠， 又抛物线过点(1,1)P m m ++，则1(1)(1)m k m m m +=++-，得1k =， 则2()()y g x x x m x mx ==-=-，∴)()()(x g n x x f -=32()()()x x m x n x m n x mnx =--=-++，[来源:学&科&网] ∴/2()32()f x x m n x mn =-++，又函数()f x 在a x =和b x =处取到极值， 故//()0,()0f a f b ==，Q 0>>n m ，∴/22()32()()0f m m m n m mn m mn m m n =-++=-=->，/22()32()()0f n n m n n mn n mn n n m =-++=-=-<，又a b <，故b n a m <<<.15、解：（1）当13=λ时，13AP AB =u u u r u u u r ，2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.∴||7CP =u u u r……………………………………………………………………7分（2）设等边三角形的边长为a ，则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r…………………12分即2222212a a a -+λ≥-λ，∴21202λ-λ+≤，∴222222≤λ≤. 又00≤λ≤，∴2212≤λ≤. ……………………………………………………14分16、解：（1）证明：连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点，连结MD ，又D 为AC 的中点，∴1//B C MD ，又⊄C B 1平面BD A 1，∴1//B C 平面BD A 1．…………4分（2）∵1AB B B =，∴四边形11A ABB 为正方形，∴11A B AB ⊥，又∵1AC ⊥面BD A 1，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11C AB ，∴111A B B C ⊥，又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥，∴11B C ⊥平面A ABB 1．………………8分（3）当点E 为C C 1的中点时，平面⊥BD A 1平面BDE ，D Θ、E 分不为AC 、C C 1的中点，∴1//DE AC ，1AC Θ平面BD A 1，∴DE ⊥平面BD A 1，又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE ．…………14分17、解：（1）由题意得，2=c ，82=ca 得，216a =，212b =，∴所求椭圆方程为1121622=+y x ．………………………………………………………4分 （2）设P 点横坐标为0x ，则141248000-+=+-=x x x AP PM ， ∵440≤<-x ，∴21141248000≥-+=+-=x x x AP PM ． ∴AP PM 的取值范畴是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 ………………………………………………………9分（3）由题意得，5t =，即圆心Q 为(5,0)，设BQ x =，则||||cos BS BT BS BT SBT ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r[来源:学科网] 2||||(12sin )BS BT SBQ =⋅-∠u u u r u u u r221(1)[12()]x x=--2223x x=+-，∵19BQ <≤，即19x <≤，∴2181x <≤，易得函数2y x x =+在(1,2)上单调递减，在(2,81]上单调递增，∴281x =时，max 6320()81BS BT ⋅=u u u r u u u r . …………………………………14分18、(1) 当62=n 时，使剩余的圆钢尽可能地少，现在剩余了56根圆钢；-----4分(2) 当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(21=-+n n nx ，即4177220092)12(⨯⨯⨯=⨯=-+n x n ，因1-n 与n 的奇偶性不同，因此12-+n x 与n 的奇偶性也不同，且12-+<n x n ，从而由上述等式得： ⎩⎨⎧=-+=574127n x n 或⎩⎨⎧=-+=2871214n x n 或⎩⎨⎧=-+=981241n x n 或⎩⎨⎧=-+=821249n x n ，因此共有4种方案可供选择。
11年全国各地高考数学压轴题解析
11年高考数学压轴题1、（安徽理）（21）（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=，求点P 的轨迹方程。
（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。
解：由MP QM λ=知Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y 0),M(x,x 2),则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1(①再设),(11y x B ，由λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y 。
2、（广东理）21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:214y x =.实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。
（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段AB 上任一点Q(p ，q)有0(,);2p p q ϕ= （2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。
2011年高考数学压轴题(三)
2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）Θ右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b ax =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，，Θ，∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c abc→=--=-()()22，， ΘOM MF a b c a b c OM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分 （II ）Θe b a e a b =∴=-=∴=621222222，， Θ||()MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分 证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxΘl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分ΘAP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ，Θ-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()1421022λλλλ ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞+++12Λ存在，并求出这个极限值.解：（I ）Θn N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312ΛΘf f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n ……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，ΛΛ ∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313*********+++=-+-+-++-+=-+ΛΛ[()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112Λ ……10分注：b ca n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12Λ存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.（I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？ 解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()() S m ma n n =+-()1 （2）由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立{}Θm m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m m m b f b b b n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分()()*Θa m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()lim n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n n n n 121133131414151112112231·……由题意知lgm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=． 由P 分所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分 由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛd n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=， ∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。
2011年高考数学压轴题(三)
2011年高考数学压轴题（三）1．（本小题满分13分）如图，已知双曲线C ：x a y ba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：OM MF →⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足AP AQ →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.解：（I ）Θ右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b ax =∴=+M a c ab c F c c a b ()()22220，，，，Θ，∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c abc→=--=-()()22，， ΘOM MF a b c a b c OM MF →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分 （II ）Θe b a e a b =∴=-=∴=621222222，， Θ||()MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分 证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=k x kxΘl 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k……11分ΘAP AQ x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x k k k k k k ，Θ-<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()1421022λλλλ ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分2．（本小题满分13分）已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞+++12Λ存在，并求出这个极限值.解：（I ）Θn N ∈*∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1……1分∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()-=++++=+012312ΛΘf f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n ()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n ……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，ΛΛ ∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分（IV ）设b a n n =1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313*********+++=-+-+-++-+=-+ΛΛ[()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=122112Λ ……10分注：b ca n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12Λ存在.19. （本小题满分14分）设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+=∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3. （本小题满分13分）已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.（I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？ 解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()() S m ma n n =+-()1 （2）由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*都成立{}Θm m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()*∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分()()*Θa m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()lim n b a n n n m m mm n b b b b b b n n n n n n n 121133131414151112112231·……由题意知lgm m +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4．（本小题满分12分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=． 由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而b x b c ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分 圆半径a ca cb r ==+=22222． 10分 由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y Λ的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++ΛΛΛd n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++ΛΛΛ)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++． 当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6．（本小题满分12分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22020为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线 ①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为2220201222242y y y x d +=+=+=于是……10分 11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出比较过程）.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(32),0(],,0[Θ.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),(ΛΛx g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)(ΛΘx f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分。
2011年高考数学最后压轴大题系列--解析几何
2011年高考数学最后压轴大题系列-解析几何1. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，162036212121=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x 。
2. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.02222,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x kk x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+3. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以4. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ∆（O 为原点）的面积的最大值及相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,a 2=22==c21222124cos PF PF PF PF ⋅-+=θ=2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -221,321.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩063)1(222=-+-y my即 044)32(22=--+my y m .由韦达定理得: 324221+=+m m y y 324221+-=⋅m y y ∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t∴221y y -=4448)12(482++=+tt t t . 又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316 ∴OMN S ∆ 的面积有最大值332. 直线l 的方程为1-=x .5. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率eC (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a b(a ＞b ＞0)，由e =c aa 2=b 2+c 2得a 2=3 b 2， 故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① (Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ② 把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），∴x 1+x 2= -22631k k +， ③x 1x 2=2223331k b k -+， ④∴O AB S ∆=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 2+1|．联立②、③得x 2+1=22(1)(31)k λ-+，∴O AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + (k ≠0)． (Ⅱ)OAB S ∆=11λλ+-·2||31k k +=11λλ+-·113||||k k +≤11λλ+-(λ≥2)． 当且仅当3| k | =1||k ，即k=OAB S ∆取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，∴x 1=11λ-，x 2= -1λλ-，代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-(λ≥2)． (Ⅲ)由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+-1，x 2=22(1)(31)k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =224(1)(31)k λλ-++1． 由k 2=λ-1得23b =24(1)(32)λλλ--+1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．6. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. （I ）求椭圆的离心率；（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+222221222121212123.833()()a c ab x xc a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.7. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线12x =-上。
》2011年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解—1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过點()1,2M ，牠们在x 轴上有共同焦點，椭圆和双曲线地对称轴是坐标轴，抛物线地顶點为坐标原點.（Ⅰ）求这弎条曲线地方程；（Ⅱ）已知动直线l 过點()3,0P ，交抛物线于,A B 两點，是否存在垂直于x 轴地直线l '被以AP 为直径地圆截的地弦长为定值？若存在，求出l '地方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程的2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线地焦點为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 地仲點为C ，l '地方程为：x a =，以AP 为直径地圆交l '于,D E 两點，DE 仲點为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 仲，16a =，點(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 仲，點(),n n B n b 在过點()0,1，以方向向量为()1,2地直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 地通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立，求正数a 地取值范围.解：（Ⅰ）将點(n n A a 代入21y x =+仲的()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==Q 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
2011高考数学压轴题集锦1
1 1 1 ) = + ln a ， a 2 2
要使解得
f ( x) ≥
1 2
恒成立，只需 1 + 1 ln a ≥ 1 ，得 a ≥ 1
2 2 2
（ii）若 a ≤ 0 ， f ' ( x) < 0 恒成立，
f ( x ) 在 ( 0, +∞ )
是单调递减，
伍
高考必备
f (1) =
a ≤0， 2
∴
3
( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 = 12
2
． 、
∴ 12 y 2 + 4 x 2 = 12 ，∴动点的轨迹 C 的方程为 x + y 2 = 1 ．
9
（ 2 ）依题意，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 y = k ( x − 1) ． 设 M ( x 3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R ( 0 , y5 ) ，
a f ( n) 1− an 1 所以 lim = lim = n →∞ n n →∞ n a +a a +a a
（Ⅲ） （ h x ) = e x ( x 2 − m +1)( x < 0), 所以 h′( x) = ex ( x2 +2 x − m +1) 令 h′( x ) = 0, 即x 2 + 2 x − m + 1 = 0,由题意应有∆ ≥ 0，即m ≥ 0
k PQ = yq − yP xQ − x p
= 8k = −1 是一个与 − 8k
k 无关的定值。
5.已知函数
f ( x) =
a 2 x − ln x ， 2 f (x ) 没有零点；
泄露天机——2011年金太阳高考押题精粹(数学文)答案
泄——2011年金太阳高考押题精粹(数学文课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案】一．选择题（30道）1、【参考答案】B2、【参考答案】D3、【参考答案】C【点评】：集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的运算相结合，不外乎上述几种题型。
但以描述法为主，考查不等式的有关知识。
4、【参考答案】C5、【参考答案】C6、【参考答案】C【点评】：上面2题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。
作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。
7、【参考答案】A8、【参考答案】D。
9、【参考答案】C10、【参考答案】D【点评】：6、7、8题属于函数模块。
该模块的内容主要包括分段函数、函数的奇偶性、函数的图象、函数的零点、指对函数值比较大小，上述6题考查的内容基本涵盖该模块中的知识点，且比较新颖。
11、【参考答案】B12、【参考答案】C【点评】：9、10为三角类题目。
三角在高考中一般有两种题型，一是三角求值题，二是三角函数的性质和图象题，上面两题几乎把要考的知识点都包含进去了，且题设比较好！13、【参考答案】A14、【参考答案】D【点评】：11、12是向量这部分内容的代表。
向量的坐标运算是高考命题的一个重要方向，像11题，就考查了该部分知识点，而向量的数量积是高考命题的另一个重要方向，而12题可以作为一个代表。
15、【参考答案】A16、【参考答案】B【点评】：13、14为解几内容。
新课标背景下双曲线是客观题的必考内容，抛物线、直线和圆也是常考内容，而椭圆一般放在解答题中考查，相对来说在客观题出现的比较少。
17、【参考答案】C18、【参考答案】C【点评】：15、16题是空间几何体的内容。
空间点、线、面的位置关系是文科考查的重点，三视图和空间角是高考的重点内容，这其中三视图考查得越来越新，如16题就是这样。
2011届高考数学考前抢分押题卷——全国卷文理合卷11
2011届高考数学考前抢分押题卷——全国卷：文理合卷11第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．（理）全集设为U ，P 、S 、T 均为U 的子集，若 P （T U）＝（T U）S 则（ ）A ．S S T P =B ．P ＝T ＝SC ．T ＝UD ．P S U＝T（文）设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2B ．m ≥2C ．m ≤2D ．m ≤2或m ≤-42．（理）复数=+-+ii i 34)43()55(3（ ） A ．510i 510-- B ．i 510510+ C ．i 510510- D ．i 510510+-（文）点M （8，-10），按a 平移后的对应点M '的坐标是（-7，4），则a ＝（ ） A ．（1，-6） B ．（-15，14） C ．（-15，-14） D ．（15，-14）3．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．76 4．若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．-1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．与命题“若M a ∈则M b ∉”的等价的命题是（ ） A ．若M a ∉，则M b ∉ B ．若M b ∉，则M a ∈C ．若M a ∉，则M b ∈D ．若M b ∈，则M a ∉6．（理）在正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N 分别为棱1AA 和1BB 之中点，则sin （，D 1）的值为（ ）A ．91 B ．554 C ．592D ．32（文）已知三棱锥S -ABC 中，SA ，SB ，SC 两两互相垂直，底面ABC 上一点P 到三个面SAB ，SAC ，SBC 的距离分别为2，1，6，则PS 的长度为（ ） A ．9 B ．5 C ．7 D ．37．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a 被抽到的概率为（ ） A ．301B ．61C ．51D ．658．（理）已知抛物线C ：22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．-∞(，]1- [3，)∞+B ．[3，)∞+C ．-∞(，]1-D ．[-1，3]（文）设R ∈x ，则函数)1|)(|1()(x x x f +-=的图像在x 轴上方的充要条件是（ ） A ．-1＜x ＜1 B ．x ＜-1或x ＞1C ．x ＜1D ．-1＜x ＜1或x ＜-19．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．315(-，)315 B ．0(，)315C ．315(-，)0 D ．315(-，)1- 10．a ，b ，c ∈（0，＋∞）且表示线段长度，则a ，b ，c 能构成锐角三角形的充要条件是（ ）A ．222c b a <+ B ．222||c b a <-C ．||||b a c b a +<<-D ．22222||b a c b a +<<- 11．今有命题p 、q ，若命题S 为“p 且q ”则“或”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．（理）函数x x y 3154-+-=的值域是（ ）A ．[1，2]B ．[0，2]C ．（0，]3D ．1[，]3（文）函数)(x f 与x x g )67()(-=图像关于直线x -y ＝0对称，则)4(2x f -的单调增区间是（ ） A ．（0，2） B ．（-2，0） C ．（0，＋∞） D ．（-∞，0）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且某连续三项正好为等差数列}{n b 中的第1，5，6项，则=+∞→12limna S n n ________．14．若1)1(lim 2=-++--∞→k x x x n ，则k ＝________．15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．16．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求E （5ξ-1）．18．（12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，M ，N 分别为11B A ，BC 之中点．（1）试求ABAA 1，使011=⋅B A ．（2）在（1）条件下，求二面角M AC N --1的大小．19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？20．（12分）线段4||=BC ，BC 中点为M ，点A 与B ，C 两点的距离之和为6，设y AM =||，x AB =||．（1）求)(x f y =的函数表达式及函数的定义域；（2）（理）设1-+=x y d ，试求d 的取值范围；（文）求y 的取值范围．21．（12分）定义在（-1，1）上的函数)(x f ，（i ）对任意x ，∈y （-1，1）都有： )1()()(xyyx f y f x f ++=+；（ii ）当∈x （-1，0）时，0)(>x f ，回答下列问题． （1）判断)(x f 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．（2）判断函数)(x f 在（0，1）上的单调性，并说明理由．（3）（理）若21)51(=f ，试求)191()111()21(f f f --的值．22．（14分）（理）已知Ｏ为△ABC 所在平面外一点，且=a ，=b ，=c ，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，H 为△ABC 的垂心，试用a ，b ，c 表示OH ． （文）直线l ∶y ＝ax ＋1与双曲线C ∶1322=-y x 相交于A ，B 两点． （1）a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线x -2y ＝0对称，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．参考答案1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D 6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C12．（理）A （文）A 13．1或0 14．21 15．10080° 16．42l17．解析：（1）ξ的分布如下（2）由（1）知535352351350==⨯+⨯+⨯=ξE ．∴ 1152515)15(=-⨯=-=-ξξE E ．18．解析：（1）以1C 点为坐标原点，11A C 所在直线为x 轴，C C 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设b B A =11，a AA =1（a ，∈b （0，＋∞）．∵ 三棱柱111C B A ABC -为正三棱柱，则1A ，B ，1B ，C 的坐标分别为：（b ，0，0），b 21(，b 23，)a ，b 21(，b 23，)0，（0，0，a ）． ∴ A 1b 21(-=，b 23，)a ，B 1b 21(-=，b 23-，⎪⎭⎪⎬⎫=-=⇒⋅⋅.01121)2211C B B A b a B A a 又，2221==⇒=⇒b a AB A A a b ． （2）在（1）条件下，不妨设b ＝2，则2=a ，又A ，M ，N 坐标分别为（b ，0，a ），（b 43，b 43，0），（b 41，b 43，a ）． ∴ 332||==bAN ，3||1=N C ． ∴ 3||||1==N C AN 同理 ||||1M C AM =．∴ △N AC 1与△M AC 1均为以1AC 为底边的等腰三角形，取1AC 中点为P ，则1AC NP ⊥，NPM AC MP ∠⇒⊥1为二面角M AC N --1的平面角，而点P 坐标为（1，0，22）， ∴ 21(-=，23，)22． 同理 PM 21(=，23，)22-． ∴ PN PM ⋅⇒=-+-=0214341PN PM ⊥． ∴ ∠NPM ＝90°⇒二面角M AC N --1的大小等于90°．19．解析：设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则210100501005-=-⨯=x x t y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125tx ＋100x ＋60（500＋100t ）＝26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x ＝2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x ＝262500)2(10031450-+-+x x3645062500100231450=⨯+≥ 当且仅当262500)2(100-=-x x ，即x ＝27时，y 有最小值36450． 故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．20．解析：（1）当A 、B 、C 三点不共线时，由三角形中线性质知)|||(|222AM BM +⎭⎬⎫≥-+=⇒-+=+⇒+=0)3(5)6()2(2||||22222222y x y x x y AC AB 又⇒5)3(2+-=x y ；当A ，B ，C 三点共线时，由A BC AC AB ⇒=>=+4||6||||在线段BC 外侧，由14|6|=⇒=--x x x 或x ＝5，因此，当x ＝1或x ＝5时，有6||||=+AC AB ，同时也满足：2222||||)|||(|2AC AB AM BM +=+．当A 、B 、C 不共线时，4||||||||=<-BC AC AB5)3()(512+-==⇒<<⇒x x f y x 定义域为[1，5]．（2）（理）∵ 5)3(2+-=x y ． ∴ d ＝y ＋x -1＝15)3(2-++-x x ． 令 t ＝x -3，由2[51-∈⇒≤≤t x ，25]22+++=⇒t t d ， 两边对t 求导得：d t d t ⇒>-+≥++=09215112关于t 在[-2，2]上单调增．∴ 当t ＝2时，min d ＝3，此时x ＝1． 当t ＝2时，max d ＝7．此时x ＝5．故d 的取值范围为[3，7]．（文）由5)3(2+-=x y 且1[∈x ，]5，∴ 当x ＝3时，5min =y ．当x ＝1或5时，3522max =+=y ．∴ y 的取值范围为[5，3]．21．解析：（1）令0)0(0=⇒==f y x ，令y ＝-x ，则)(0)()(x f x f x f -⇒=-+)()(x f x f ⇒-=在（-1，1）上是奇函数．（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(21212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-，而021<-x x ，0)1(01102121212121>--⇒<--⇒<<x x xx f x x x x x x ．即 当21x x <时，)()(21x f x f >．∴ f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于)31()52115121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-， )41()111()31(f f f =-，)51()191()41(f f f =-，∴ 1212)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f ．22．解析：（理）由⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥OA OC OA OB OA ，平面BC OA OBC ⊥⇒，连AH 并延长并BC于M ．则 由H 为△ABC 的垂心． ∴ AM ⊥BC ．于是 BC ⊥平面OAH ⇒OH ⊥BC ． 同理可证：⊥⇒⎭⎬⎫=⊥OH C BC AC ACOH 又平面ABC ．又 ，，是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数1k ，2k ，3k 使得OH ＝1k a ＋2k b ＋3k c ．由 0=⋅OH 且b a ⋅＝c a ⋅＝0⇒2k b 2＝3k c 2， 同理2221b a k k =． ∴ 0232221≠===m k k k c b a ． ①又 AH ⊥OH ，∴ )()1(0321321c b a c b a k k k k k k OH AH ++++-⇒=⋅⋅＝0211)1(a -⇒k k0223222=++c b k k ②联立①及②，得100)1(321321=++⇒⎭⎬⎫≠=++-k k k m mk mk k m ， ③又由①，得 21a m k =，22b m k =，23c mk =，代入③得： ∆=⇒++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅221222222222c b a c c b b a c b a k m ，∆=⋅222a c k ，∆=⋅223b a k ，其中222222a c cb b a⋅⋅⋅++=∆，于是OH∆=1)(222222c b a b a c a c b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++． （文）（1）联立方程ax ＋1＝y 与1322=-y x ，消去y 得：022)3(22=---ax x a （*） 又直线与双曲线相交于A ，B 两点， ∴660<<-⇒>∆a ．又依题 OA ⊥OB ，令A ，B 两点坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ），则 2121x x y y -=． 且 212121221211)()1)(1(x x x x a x x a ax ax y y -=+++=++=1221()1(x a a x x ++⇒)2x +01=+，而由方程（*）知：22132a a x x -=+，32221-=a x x 代入上式得1101323)1(222221±=⇒=⇒=+-+-+-a a aa a a ．满足条件． （2）假设这样的点A ，B 存在，则l ：y ＝ax ＋1斜率a ＝-2．又AB 中点2(21x x +，)221y y +在x y 21=上，则)(212121x x y y +=+，又 2)(2121++=+x x a y y ，代入上式知 6324)(22212121=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=++=++a a a x x x x x x a 又这与2-=a 矛盾．故这样的实数a 不存在．。
2011年全国高考数学试题压轴题
2011年全国高考数学试题压轴题（1）、（2011年全国卷）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（2）、（2011年全国卷）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e ＜＜（3）、（2011年新课标卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
（4）、（2011年新课标卷）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围。
（5）、（2011年北京卷）已知函数2()()xkf x x k e =-。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e ，求k 的取值范围。
（6）、（2011年北京卷）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m,0）作圆221x y +=的切线交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB表示为m 的函数，并求AB的最大值.（7）、（2011年北京卷）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2, (1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。
2011年高考终极压轴江西卷(数学理)
1 2 x bx c 0 (ab 1) 的解集为空集，则 a
）
T
1 a(b 2c ) 的最小值为（ 2(ab 1) ab 1
A． 3 B ．2 C． 2 3
D．4
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4．设 f ( x ) 表示 x 2 与 x 2 3x 2 中的较大者，则 f ( x ) 的最小值为（ A．0 B ．2 C．
所以这条曲线的函数表达式为： y 4 sin( （2） y 10
7 x )8 12 12
7 x ) 8 10 12 12 7 1 sin( x ) 12 12 2
4 sin(
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0 x 24 7 7 17 x 12 12 12 12 7 5 ∴ x 6 12 12 6 9 x 17
17-9=8 这天气温不低于 10 摄氏度的时间有 8 小时。 18.解： S 5
(a1 a5 ) 5 2
20
(a1 8) 5 2
V
4 R3 3
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) C nk p k (1 p ) n k
其中 R 表示球的半径
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1 ．已知复数 z 的对应点在复平面的第一象限，那么复数 2 3zi 的对应点 B 在复平面的 A．第一象限 （ ） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ）
1 2 _____________
【数学】2011年高考压轴题跟踪演练系列最新
【关键字】数学2011高考数学――压轴题跟踪演练系列题海无涯，方法是岸1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分）对于椭圆，………………………………（4分）对于双曲线，………………………………（6分）（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令………………………………………………（7分）…………（12分）2．（14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.解：（Ⅰ）将点代入中得…………………………………………（4分）（Ⅱ）………………………………（5分）……………………（8分）（Ⅲ）由………………………………（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON 交C 于点E. 求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M 的坐标为,由题意可知………………(2分) 又∴.所以, 点M 的轨迹C 的方程为.………………(4分) (2)设点, , 点N 的坐标为,㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: 由消去x, 得………………① ∴………………(6分) ∴,∴点N 的坐标为.………………(8分)①若, 坐标为, 则点E 的为, 由点E 在曲线C 上, 得, 即 ∴舍去). 由方程①得 又∴.………………(10分) ②若, 由①得∴∴点N 的坐标为, 射线ON 方程为: , 由 解得 ∴点E 的坐标为 ∴.综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分) 4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x +=)R x (∈.(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++= .若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=.∵,)24(244244241)x 1(f 0000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分) 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分) (3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥.∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（2） 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值；（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4）设n b =n N ∈且2n ≥时，n n a b <.解：（1）2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121n S n =+.222limlim 2212lim 1n n n n nn n a S S S →∞→∞→∞===---.（2）当2n ≥时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--， 综上，()()21132214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.（3）令a b ==，当2n ≥时，有0b a <<≤ （1） 法1：等价于求证112121n n >-+当2n≥时，0<≤令()23,0f x x x x =-<≤ ()233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>，则()fx 在递增.又0<<≤所以g g <即n n a b <.法（2）223311()2121n n a b b a b a n n -=--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2）22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- （3）因31111102222a b a b a +-<+-<-<=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-<由（1）（3）（4）知n n a b <.法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102ag b b a b -'=+-=⇒=所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=--因0a <≤则()210a a a a -=-<，22323()303a a a a a -=-≤<所以()220g b a b ab a b =++--< （5） 由（1）（2）（5）知n n a b < 7． (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =ab(x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,bak kab+),∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222ka b b a k -, ∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b ba k -=222222k a b )k 1(b a -+ ,∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP|2= |→-OQ·→--OR | . 4分（2）由条件得：222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分即k 2 =22a4ab abb 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4172分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！第21题。
2011高考数学最后冲刺压轴题库
a 2 x1 x2 0 4 ，
∵ x1 x2 ，∴ a 0 ．∴实数 a 的取值范围为
2 2
0,
．
2 4 2 f x ax 4 x 2 a x 2 x 0 f 0 2 a a a （Ⅱ）∵ ，显然 ，对称轴 。
特级教师 王新敞
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本题考查二次函数的性质、直线等基础知识，及综合分析问题的能力
特级教师 王新敞
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新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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函数与方程思想
2 解： f ( x) ax (b 1) x b 2 (a 0) ， 2 （1）当 a 2, b 2 时， f ( x) 2 x x 4 ．
M a
2 4 2a 2 a 4 2a 2 ， ∵ 0 a 2 ， ∴
2 1 4 a 2 2 ．
2 4 2 4 M a M a 4． a a ，且 f ，即 a 2 时，
（2）当
令 ax 4 x 2 4 ， 解 得
由函数图象可知： c R ，方程
3. 设 a R 且 a 0, e 为自然对数的底数，函数 f（ x）
e x x 1, g ( x)
a 2 x x e . 2
（1）求证：当 a 1 时， f ( x) g ( x) 对一切非负实数 x 恒成立；
5
（2）对于（0，1）内的任意常数 a，是否存在与 a 有关的正常数 x0 ，使得 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立？如 果存在，求出一个符合条件的 x0 ；否则说明理由. 分析：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题 的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法
2011年黄冈中学高考数学压轴题精选12
【精编精解】2011年黄冈中学高考数学压轴题精选1256、已知：在曲线（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，且满足，设定b1的值，使得数列{b n}是等差数列；（3）求证：57、已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1＝2,na n＋1＝S n＋n(n＋1).（1）求数列；（2）设58、已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。
（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若函数上的最小值为的最大值。
59、已知斜三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面底面.（1）证明：点在平面上的射影为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？60、如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．参考答案56、解：(1)∴∴∴数列是等差数列，首项公差d=4∴∵∴…………（4分）(2)由得∴∴∴若为等差数列，则∴(3)∴∴……………………12分57、解：（1）（2）真的不掉线吗？？、？？？？？？？？？？？？58、解：（Ⅰ）设P（x，y）是函数图象上的任意一点，它在函数图象上的对应点，则由平移公式，得…………2分∴代入函数中，得………………2分∴函数的表达式为…………1分（Ⅱ）函数的对称轴为①当时，函数在[]上为增函数，∴………………2分②当时，∴当且仅当时取等号；…………2分③当时，函数在[]上为减函数，∴…………2分综上可知，∴当时，函数的最大值为59、（1）证明：过B1点作B1O⊥BA。
∵侧面ABB1A1⊥底面ABC∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA是侧面BB1与底面ABC 倾斜角∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中，BB1=2，∴BO=BB1=1又∵BB1=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中点。
即点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点…………4分（2）连接AB1过点O作OM⊥AB1，连线CM，OC，∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA1BB1∴OC⊥平面AABB。
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a n +1 an − ≤0 ⎛ n − 2 + an 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟L ⎜1 + ⎟ ⎝ b1 ⎠⎝ b2 ⎠ ⎝ bn ⎠
即a ≤
1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟L ⎜1 + ⎟ 2n + 3 ⎝ b1 ⎠⎝ b2 ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 记f ( n ) = ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟L ⎜1 + ⎟ 2n + 3 ⎝ b1 ⎠⎝ b2 ⎠ ⎝ bn ⎠
1 m −1 1 m 1 + 2a m = + 2× = − , 2 2 6 2 6
1 (3m − 1). ………………(8 分) 12 1 2 (3) ∵ b1 = , b n +1 = b n + b n = b n ( b n + 1) , ………………③ 3
∴
DC =
1 1 2 AP = ( x1 − 3) + y12 2 2 x +3 1 CH = 1 − a = ( x1 − 2a ) + 3 2 2
∴
2 1 2 1 2 2 2 DH = DC − CH = ⎡( x1 − 3) + y12 ⎤ − ⎡ ( x1 − 2a ) + 3⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 4 2 = ( a - 2 ) x1 − a + 3a 2
∴ OE = 2ON .
综上, OE = 2ON 的充要条件是 | AB | = 3 .………………(12 分) 4.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) =
1 (x ∈ R ) . 4 +2 1 1 (1) 试证函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , ) 对称; 2 4 n (2) 若数列 {a n } 的通项公式为 a n = f ( ) ( m ∈ N + , n = 1, 2, L , m) , 求数列 {a n } m
双曲线方程为：
………………………………（6 分）
x2 y2 − =1 3− 2 2 2 2 − 2
（Ⅱ） 设 AP 的中点为 C ， l ′ 的方程为： x = a ， 以 AP 为直径的圆交 l ′ 于 D, E 两点， DE 中点为 H 令 A ( x1 , y1 ) ,
⎛ x + 3 y1 ⎞ ∴ C⎜ 1 , ⎟ ………………………………………………（7 分） 2⎠ ⎝ 2
∴
抛物线方程为: y 2 = 4 x ………………………………………………（1 分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ( −1,0 )1 , F2 (1,0 ) , 对于椭圆， 2a = MF1 + MF2 =
∴ c=1 …………………（2 分）
2
(1 + 1)
2
+ 22 +
(1 − 1)
+4 =2+2 2
②若 | AB | = 3 , 由①得
∴点 N 的坐标为 (
3 6 2 , ± ) , 射线 ON 方程为: y = ± x ( x > 0) , 3 6 2 ⎧ 2 3 ⎪x = 2 3 6 ⎪ 3 解得 ⎨ ∴点 E 的坐标为 ( , ± ), 3 3 6 ⎪y = ± ⎪ 3 ⎩
⎧ 2 x ( x > 0) ⎪y = ± 由⎨ 2 ⎪x 2 + 4 y 2 = 4 ⎩
an = a1 + ( n − 1) ⋅ 1 = n + 5
直线l : y = 2 x + 1, ∴ bn = 2n + 1 ⎧ ⎪n + 5, （Ⅱ） f ( n ) = ⎨ ⎪ ⎩2n + 1,
( n为奇数) ………………………………（5 分） ( n为偶数)
Q f ( k + 27 ) = 4 f ( k )
当a = 2时, DH = −4 + 6 = 2为定值; ∴
…………（12 分）
DE = 2 DH = 2 2为定值
此时l ′的方程为： x = 2
2． （14 分）已知正项数列 {an } 中， a1 = 6 ，点 An an , an +1 在抛物线 y 2 = x + 1 上；数 列 {bn } 中，点 Bn ( n, bn ) 在过点 ( 0,1) ，以方向向量为 (1, 2 ) 的直线上. （Ⅰ）求数列 {an } , {bn } 的通项公式；
①若 OE = 2ON , 坐标为, 则点 E 的为 (
得
48 12m 2 + = 1 , 即 m 4 − 4m 2 − 32 = 0, ∴ m 2 = 8 (m 2 = −4 舍去). (m 2 + 4) 2 (m 2 + 4) 2 12m 2 + 4m 2 + 16 4 m 2 + 1 = = 1, m2 + 4 m2 + 4
1 2
1 ) 的对称点为 4
P( x, y ) . ⎧x + x0 1 = ⎧x = 1 − x 0 , ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 由⎨ 得⎨ 1 y = − y0. ⎪y + y0 = 1 ⎪ ⎩ 2 ⎪ 4 ⎩ 2 1 − y 0 ) .………………(2 分) 2 1 由点 P0 ( x 0 , y 0 ) 在函数 f ( x ) 的图象上, 得 y 0 = x . 0 4 +2
1 高考数学――压轴题跟踪演练系列一 2011 备战 201
1． （12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M (1, 2 ) ，它们在 x 轴上有共同焦点， 椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）已知动直线 l 过点 P ( 3,0 ) ，交抛物线于 A, B 两点，是否存在垂直于 x 轴的直线 l ′ 被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 l ′ 的方程；若不存在，说明理由. 解： （Ⅰ）设抛物线方程为 y 2 = 2 px ( p > 0 ) ，将 M (1, 2 ) 代入方程得 p = 2
∴ ∴ ∴ ∴
a = 1+ 2 a2 = 1 + 2
(
)
2
= 3+ 2 2
………………………………（4 分）
b2 = a 2 − c 2 = 2 + 2 2
椭圆方程为：
x2 y2 + =1 3+ 2 2 2+ 2 2
对于双曲线， 2a′ = MF1 − MF2 = 2 2 − 2
∴ ∴ ∴ ∴
a′ = 2 − 1 a ′2 = 3 − 2 2 b′2 = c′2 − a′2 = 2 2 − 2
㈠当直线 l 与 x 轴重合时, 线段 AB 的中点 N 就是原点 O, 不合题意,舍去; ………………(5 分) ㈡设直线 l: x = my + 3 , 由⎨
⎧ ⎪x = my + 3 消去 x, 2 2 ⎪ ⎩x + 4 y = 4
2 2
得 (m + 4) y + 2 3my − 1 = 0 ………………①
由方程①得 | y 1 − y 2 |=
又 | x 1 − x 2 | = | my1 − my 2 | = | m( y 1 − y 2 ) |, ∴ | AB | =
m 2 + 1 | y 1 − y 2 | = 3 .………………(10 分) 4(m 2 + 1) = 3, ∴ m 2 = 8. 2 m +4
= ∴ ∴ ∴
>1 4n 2 + 16n + 15 f ( n + 1) > f ( n ) , 即f ( n ) 递增，
f ( n )min = f (1) =
0 5 3 15
………………………………（14 分） 3.（本小题满分 12 分）将圆 O: x + y = 4 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标 不变), 得到曲线 C. (1) 求 C 的方程; (2) 设 O 为坐标原点, 过点 F( 3 , 0) 的直线 l 与 C 交于 A、 B 两点, N 为线段 AB 的 中点, 延长线段 ON 交 C 于点 E. 求证: OE = 2ON 的充要条件是 | AB | = 3 . 解: (1)设点 P( x ′, y ′) , 点 M 的坐标为 ( x , y ) ,由题意可知 ⎨ 分) 又 x ′ 2 + y ′ 2 = 4, ∴ x + 4 y = 4 ⇒
∴ ∴
f ( n + 1) =
⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟L ⎜1 + ⎟⎜1 + 2n + 5 ⎝ b1 ⎠⎝ b2 ⎠ ⎝ bn ⎠⎝ bn +1 ⎠ f ( n + 1) 2n + 3 ⎛ 1 ⎞ 2n + 3 2n + 4 2n + 4 = ⋅ ⎜1 + ⋅ = ⎟= f (n) 2n + 5 ⎝ bn +1 ⎠ 2n + 5 2 n + 3 2n + 5 ⋅ 2 n + 3 1 4n 2 + 16n + 16
∴函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , 由 S m = a 1 + a 2 + a 3 + L + a m −1 + a m , ……………… ①
1 2
得 S m = a m −1 + a m − 2 + a m −3 + L + a 1 + a m , ………………② 由①＋②, 得 2S m = ( m − 1) × ∴ Sm =