水力学1(8)

第八讲
概述
第三章
一元水动力学
1.液体的运动要素：表征液体运动状态的物理量，如流速、 1.液体的运动要素：表征液体运动状态的物理量，如流速、加 液体的运动要素 速度、动水压强等。 速度、动水压强等。 水动力学的任务就是研究这些运动要素随空间和时间的变 化规律及其相互间的关系，从而提出解决工程实际问题的方法。 化规律及其相互间的关系，从而提出解决工程实际问题的方法。 2.动水压强的概化：理想液流由于不存在粘滞性， 2.动水压强的概化：理想液流由于不存在粘滞性，其内部各点处 动水压强的概化 动水压强的大小和静水压强一样与受压面的方位无关； 动水压强的大小和静水压强一样与受压面的方位无关； 实际液流因粘性的影响， 实际液流因粘性的影响，其内部各点处动水压强的大小一般与 受压面的方位有关。 受压面的方位有关。但由于粘滞力对压强随方位变化的影响
ux = ux (x, y, z) u y = u y (x, y, z) uz = uz (x, y, z) p = p(x, y, z)
它们对时间t的偏导数都为零， 它们对时间t的偏导数都为零，即
∂ux ∂u y ∂uz ∂p = = = =0 ∂t ∂t ∂t ∂t
恒定流中液体质点的当地加速度为零
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dx dy dz = = = dt ux u y uz
【例3-1】 已知流速场
ux = kx， u y = −ky， u z = 0
其中
y≥0
k为常数，试求（1）流线方程；（ ）迹线方程。 为常数，试求（ ）流线方程；（ 迹线方程。 ；（2） 为常数
y ≥ 0 可知，液体运动仅限于xoy的半平面内。 可知，液体运动仅限于xoy的半平面内 xoy的半平面
∂ux , ∂t
∂uy ∂t
,
∂uz ∂t
），它表示了同一时刻液体质点因空间 ），它表示了同一时刻液体质点因空间 它表示了同一时刻液体
位置的变化而引起的加速度，称为迁移加速度。 位置的变化而引起的加速度，称为迁移加速度。 如图，水箱经渐缩管放水，箱中水位逐渐下降。 如图，水箱经渐缩管放水，箱中水位逐渐下降。 渐缩管内某定点A处的质点流速， 渐缩管内某定点A处的质点流速，一方面随时 间变化而不断减小，引起负的当地加速度； 间变化而不断减小，引起负的当地加速度；另 一方面，由于管段的收缩， 一方面，由于管段的收缩，同一时刻管内各质 点的流速又沿x方向而增加，故在定点A 点的流速又沿x方向而增加，故在定点A处又会 引起正的迁移加速度。 引起正的迁移加速度。
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二、欧拉法 欧拉法就是以流场中各空间点上液体质点的运动要素为研 究对象， 究对象，通过考察每一时刻流场中各空间点上液体质点运动要 素的分布和变化情况来获得整个液体运动的全貌。 素的分布和变化情况来获得整个液体运动的全貌。即它研究的 是各种运动要素的分布场，所以这种方法又称为流场法。 是各种运动要素的分布场，所以这种方法又称为流场法。 一般说来，在同一时刻，各空间点的运动要素是不等的， 一般说来，在同一时刻，各空间点的运动要素是不等的，在 同一空间点上，不同时刻的运动要素也不一样。所以在直角坐标 同一空间点上，不同时刻的运动要素也不一样。 系中，流场中液体质点的运动要素可表示为空间点的坐标(x,y,z) 系中，流场中液体质点的运动要素可表示为空间点的坐标(x,y,z) 和时间t的函数。变量x 和时间t的函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。例如，液体 统称为欧拉变量。例如， 的流速场可表示为
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注意流线与迹线的区别如图 2.流线的特性 2.流线的特性 在恒定流中， （1）在恒定流中，流线的形状 和位置不随时间而变化， 和位置不随时间而变化，流线 与迹线重合； 与迹线重合； （2）在非恒定流中，流线的形状或位置一般是随时 在非恒定流中， 间而变化的，即流线一般只具有瞬时意义， 间而变化的，即流线一般只具有瞬时意义，并且流 线与迹线一般不重合； 线与迹线一般不重合； （3）流线不能相交或转折。 流线不能相交或转折。
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如果流场中任一空间点上有任何一种运动要素是随时间而变化 的，那么这种流动就是非恒定流。 那么这种流动就是非恒定流。 恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t 恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t， 这使问题的分析要简单得多。在实际中，恒定流只是相对的， 这使问题的分析要简单得多。在实际中，恒定流只是相对的，绝 对的恒定流并不存在。但工程中的大多数液流， 对的恒定流并不存在。但工程中的大多数液流，其运动要素随时 间的变化都很缓慢，或者在一段时间内其运动要素的平均值几乎 间的变化都很缓慢， 不变，这些液流都可简化为恒定流动来处理。本书主要讨论恒定 不变，这些液流都可简化为恒定流动来处理。 流问题。 流问题。 二、迹线与流线 拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况， 拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，由此 引出了迹线的概念。 引出了迹线的概念。迹线就是一定的液体质点在连续时间内所经 过的空间点的连线，也就是液体质点运动的轨迹线。 过的空间点的连线，也就是液体质点运动的轨迹线。
则根据流线的定义, 则根据流线的定义,可得流线微分方程
v v u × ds = 0式中或ux、uy、uz
是空间坐标x 是空间坐标x、y、z和时间t的函数， 和时间t的函数，
其中t为参变量，即在积分流线方程时将其作为常数。 其中t为参变量，即在积分流线方程时将其作为常数。 液体质点运动的迹线方程， 液体质点运动的迹线方程，由理论力学可知 式中t为自变量， 式中t为自变量，x、y、z是t的因变量。 的因变量。
ux = ux (x, y, z, t) u y = uy (x, y, z, t) uz = uz (x, y, z, t)
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同样， 同样，动水压强场可表示为
p = p(x, y, z, t)
在上面的公式中，如令x 在上面的公式中，如令x，y，z为常数，t为变量，则可得出 为常数， 为变量， 相应某一固定点上液体质点的流速和动水压强随时间t 相应某一固定点上液体质点的流速和动水压强随时间t的变化情 况；如令t为常数，x，y，z为变量，则可得出同一时刻，在流 如令t为常数， 为变量，则可得出同一时刻， 场内不同空间点上液体质点的流速和动水压强的分布情况，即 场内不同空间点上液体质点的流速和动水压强的分布情况， 瞬时流速场和压强场。 瞬时流速场和压强场。 在欧拉法中，加速度的表示比较复杂。 在欧拉法中，加速度的表示比较复杂。因为运动液体质点 本身的坐标x 本身的坐标x，y，z也是时间t的函数，例如，质点的加速度在 也是时间t的函数，例如， x轴方向的分量应是对时间t的全导数，即 轴方向的分量应是对时间t的全导数，
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第一部分为上式等号右边的第一项： 第一部分为上式等号右边的第一项： 加速度； 加速度； 第二部分为上式等号右边的后三项之和 （如 u x
∂ux ∂u ∂u + u y x + uz x ∂x ∂y ∂z
它表示了通过固定点的液体质点速度随时间的变化率， 它表示了通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，称为当地
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dux ∂ux ∂ux dx ∂ux dy ∂ux dz ax = = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt dt
因为 故 同理
dx = ux dt
dy = uy dt
dz = uz dt
dux ∂ux ∂ux ∂ux ∂ux ax = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
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3.流线方程 3.流线方程 设流线上任一点的流速矢量为： 设流线上任一点的流速矢量为： 流线上的微元线段矢量为： 流线上的微元线段矢量为：
v v v v ds = dx i + dy j + dzk
dx dy dz = = ux u y u z
v v v v u = u x i + u y j + u zk
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介绍描述液体运动的方法和有关的基本概念； 本章 ① 介绍描述液体运动的方法和有关的基本概念； 根据运动学和动力学的普遍规律， ② 根据运动学和动力学的普遍规律，讨论液体一元恒定流动 的三大基本方程，即恒定流的连续性方程、能量方程和动量方程. 的三大基本方程，即恒定流的连续性方程、能量方程和动量方程. 第一节 描述液体运动的两种方法 一、拉格朗日法 拉格朗日法是以研究液流的个别质点为基础， 拉格朗日法是以研究液流的个别质点为基础，通过研究液 体中每个质点在整个运动过程中的轨迹以及其运动要素随时间 的变化规律来获得整个液体运动的全貌。 的变化规律来获得整个液体运动的全貌。 拉格朗日法的着眼点是液体中的各个质点。 拉格朗日法的着眼点是液体中的各个质点。它在概念上易 于接受，但由于液体运动较固体运动复杂得多， 于接受，但由于液体运动较固体运动复杂得多，在大多数情况 下，试图研究液体中每个质点运动的全过程是很困难的，况且 试图研究液体中每个质点运动的全过程是很困难的， 在实用上一般也没有必要。所以，除少数情况外， 在实用上一般也没有必要。所以，除少数情况外，水力学中通 常不采用这种方法。 常不采用这种方法。
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1.流线的概念 1.流线的概念 欧拉法要考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况， 欧拉法要考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况， 由此引出了流线的概念。流线是某一时刻， 由此引出了流线的概念。流线是某一时刻，流场中与一系列液体 质点的流速矢量相切的假想曲线， 质点的流速矢量相切的假想曲线， 如图所示。可见， 如图所示。可见，流线反映了同一时刻在流线上各液体质点的流 速方向，这个方向就是流线上各点的切线方向。 速方向，这个方向就是流线上各点的切线方向。
ay = duy dt = ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z
az =
du z ∂uz ∂u ∂u ∂u = + ux z + u y z + uz z dt ∂t ∂x ∂y ∂z