解分式题常见错误剖析
追根溯源析错因诊断反思促教学——从学生解题的几处常见错误谈起
时，解得
x
=
1 3
；当
x
=
-2
时，等式也成立.
所以原方
程的解为 x1 = -2，x2 = 13. 因此，教师教学时要注重分
析学生错误的根源，揭示原理，这样也许就能激发学
生产生新的思路，变教“解法”为教“如何思考”，这
样的教学则更加灵动.
例2
在学习解分式方程
1 x-2
-
1-x 2-x
+3=0
时，
由于刚学完分式加减运算，个别学生对方程的左边进
为
3x
=
1，解得
x
=
1 3
.
教师纠正：这是一元二次方程，不能同时除以 x + 2，
应该移项，用因式分解法解方程，即将原方程化为
3x(x + 2) - (x + 2) = 0，得(x + 2)(3x - 1) = 0. 解得 x1 = - 2，
x2
=
1 3
.
用因式分解法解此方程固然没有问题，但站在学
作业. 由于学生的思维水平不同，思考问题的方式不 生的角度，为什么不能将方程两边同时除以 x + 2 呢？
（1） 求证：不论a与m为何值，该函数的图象与 x 轴 总有两个公共点.
（2） 略 . 例 4 （2018 年 江 苏 · 南 京 卷） 已 知 二 次 函 数
y = 2(x - 1)(x - m - 3) （m为常数）.
（1） 求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总 有公共点.
（2） 略 .
学生错误：转化成 a(x - m)2 - a(x - m) = 0 和 2(x - 1) ·
同，会发现作业中存在各式各样的错误. 但在这些错 若以后遇到方程 3x(x2 + 2) = (x2 + 2)，难道不能同时除
解分式方程的典型错误剖析
解分式方程的典型错误剖析解分式方程是初中数学中一个重要的知识点，其涉及到分数的运算、代数式的化简及方程的解法。
但是，在实际的解题中，很多学生常常犯一些典型错误，导致解题的过程出现错误，无法得出正确的答案。
本文将对解分式方程中的典型错误进行剖析，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
错误一：忽略分母为0的情况在解分式方程的过程中，常常会涉及到分母。
如果在运算过程中忽略了分母为0的情况，就会导致错误的结果。
例如，对于方程$\frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$，如果直接将分母约掉，则会得出错误的结果$x=1$。
事实上，由于分母$x-1=0$，因此这个方程的解并不包括$x=1$ 这个值。
解决方法：在运算过程中要记得检查分母是否为0，并将分母为0时的情况特别处理。
错误二：缺乏化简步骤解分式方程的关键是将分式化简成简单的代数式，从而得到方程的解。
如果在化简过程中疏忽了某些步骤，就会导致最终的解答出现错误。
例如，对于方程$\frac{3}{2x+1}+\frac{2}{x-2}=\frac{1}{3x-2}$，如果没有进行通分和分子分母约分的步骤，就直接将分母约去，得出错误的解$x=\frac{5}{13}$。
解决方法：在解题过程中，要注重化简步骤，包括通分、约分、提公因数等操作，确保每一步都是正确的。
错误三：将不等式误解成方程在解分数方程时，有些题目实际上是不等式，但由于不熟悉题型，可能会误解成方程来解题，导致答案错误。
例如，对于不等式$\frac{1}{x-2}>1$，如果误解成方程，就会得出错误的解$x<\frac{3}{2}$。
解决方法：在解题前要分清题目是否为方程或不等式，采用正确的解题方法。
错误四：没有检查解的合法性解分式方程的最后一步是检查解的合法性，即将求得的结果带回原方程中验证是否成立。
如果忽略了这一步骤，就会导致解答错误。
例如，对于方程$\frac{x-2}{x-3}=1$，如果没有检查解的合法性，就会得出错误的解$x=2$。
八年级数学上册分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：12x M +=，21x N x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值； ②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1【解析】【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可；（2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可；②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可．【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下： M －N =()()21122121x x x x x -+-=++ ． ∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0． （2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1． ②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2． 当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ； 当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ；当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1．【点睛】 本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．3．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可； （2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ； （2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.4．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？ 设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】 解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.5．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．6．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①22a b ，②22a b -，③11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．①若m =-n =，求对称式b a a b+的值．②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）①2．②172【解析】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab+-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b += a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2222a b ab a b+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b +的最小值是172． 试题解析：（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b是对称式， ∴①、③是对称式； （2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，∴a +b =m ，ab =n ，∵m =－n， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-22-－2； ②421a a ++421b b+， =a 2+21a +b 2+21b， =（a +b ）2－2ab +()2222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172，∵1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172， ∴421a a ++421b b+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.7．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号） ①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231a a +-. （2）将假分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 4321a a +-=______________+________________. （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式： 231a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋41a - . 【解析】试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；（2）根据题意的化简方法进行化简即可；（3）根据题意的化简方法进行化简即可.试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.（2）4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221a +-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111a a a a a a -++-=+---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.8．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-()434(1)1134.111x x x x x --+==+--- 又∵代数式431x x --的值为整数， 11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-2x ∴=或 0.9．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=．解得: 30x=，经检验，30x=是原方程的解，且符合题意．答:这项工程的规定时间是30天．(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，111()183045÷+=（天），答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.10．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．。
九年级数学分式错解剖析
分式错解剖析.一、忽视分数线的括号作用例1 计算: 222+--a a a 错解: 原式=1222+--a a a =2)2)(2(22--+--a a a a a =2)4(22---a a a =2422-+-a a a . 剖析:把整式-a+2化为分母为1的式子时,忽视了分数线的括号作用.正解: 原式=)2(22---a a a =1222---a a a =2)2(22---a a a =24422--+-a a a a =2462--+-a a a =2462-+--a a a . 二、分式通分与解方程中去分母相混淆例2 计算: xx x +---12132. 错解:原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =x-3-2(x-1) =x-3-2x+2=-x-1.剖析:错解在于把分式的通分与解方程中的去分母相混淆,导致分式相加减时出现“分母不要，分子相加减”的错误.正解: 原式=)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x =)1)(1(223-++--x x x x = )1)(1(1-+--x x x =11--x . 三、运算顺序混乱例3 计算: ab b a b a 32231⋅÷-. 错解:原式=1÷-b a b =b a b -. 剖析: 错误在于没有按分式混合运算的顺序进行计算.正解: 原式=a b a b b a 32321⨯⨯-=a b 32321⨯-=a b 941-=ab a 949-. 四、臆造分配律例4 计算:)(b ab a b -÷. 错解:原式=b a b a b a b ÷-÷=a a a 111-=-. 剖析:乘法对加法的分配律是a(b+c)=ab+ac,但除法没有相应的分配律,而错解凭空臆造并运用了“除法分配律”.正解:原式=aa b a a b a ab b a b -=-⨯=-÷11)1(. 五、半途而废例5 计算:mm -+-329122. 错解:原式=32)3)(3(12---+m m m =)3)(3(62)3)(3()3(212-++-=-++-m m m m m m . 剖析:分式运算的结果应化为最简分式,而错解中的分子与分母仍然有公因式(m-3),必须进行约分化简.正解: 原式=32)3)(3()3(2)3)(3(62+-=-+--=-++-m m m m m m m .。
中考数学复习指导：分式方程常见错解例析
分式方程常见错解例析求解分式方程，通常要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、检验增根等重要的运算过程，因此，它比求解整式方程更容易出现这样或者那样的错误，为帮助同学们尽快走出解题误区，现将分式方程解题中的几种常见错误分类举例如下，供大家学习和参考.（一）误区一：解方程时忘记验根例1．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.∴原方程的解为.评析：本题最后没有进行验根从而将增根误认为是原方程的根，从而导致解题错误（用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，需要用方程中各个分母的最简公分母去乘方程的两边，如果去分母后所得的解恰好使得最简公分母的值为零，则这个解即为原方程的增根，应该将其舍去）.因此，为避免错误，解分式方程最后必须进行验根.正解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.检验：把代入得.∴是原方程的增根，原方程无解.（二）误区二：解方程时约简漏根例2．解方程：.错解：等号两边通分相减，得，方程两边同除以，得，∴.去括号，得，解之，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在方程两边同除以多项式时失去了根，从而导致解题错误（只有当时，上述解法才成立；而当时，原方程还有一解为）.因此，在没有其它条件约定的情况下，方程两边不能同时除以含未知数的整式.正解：等号两边通分相减，得，去分母，得，移项并整理，得，即：，∴，.经检验，都不是原方程的增根，∴原方程的解为，.（三）误区三：解方程时忽略分母有意义的条件例3．解方程:.错解：等号两边同乘以，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∴原方程的解为全体实数.评析：本题由于没有考虑分式的分母不能为零从而导致解题错误（一个分式有意义的条件是分式的分母不能为零，如果分母为零，则分式就会没有意义）.正解：去分母，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∵当时，方程中的分母，此时分式无意义，∴原方程的解为的所有实数.（注意：本题同样可以采用验根的方法来排除这种情况）（四）误区四：去分母时忘记加括号例4．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，移项并合并同类项，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将分式的分子用括号括起来，从而导致解题错误（分式中的分数线本身具有括号作用，去掉分母时就必须把分子中的多项式用括号括起来）.正解：等号两边同乘以，得，去括号并整理，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.（五）误区五：去分母时漏乘不含分母的项例5．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，即.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将等号右边的整数2也乘以最简公分母，从而导致解题错误（在将分式方程去分母转化为整式方程的过程中，方程两边所乘的最简公分母应乘遍等号前后的每一项）.正解：等号两边同乘以，得，解之，得经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.。
2019年中考数学重点题型突破易错点：2-2《分式方程》试题及答案
分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4.100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
分式计算题的四种典型错
分式计算题的四种典型错误初学分式运算与分式方程，同学们总是感觉十分复杂，解题困难．有时受旧知识的影响，有时是概念理解不彻底，使分式计算走上各种歧途．下面将分式计算题四种典型错误分析如下：一、错路：新旧内容混淆，错去分母．例1、计算 41-x -41+x错解：原式=)())((4441+-+∙x x x -)())((4441-+-∙x x x=)(4+x -)(4-x =x+4-x+4=8分析：由于受方程中去分母的影响，导致分式计算中随意去分母．一定注意：解方程去分母时，两边同时乘以最简公分母可以去分母，而在分式加减计算中通分后不能直接去掉分母．所以正确的解法：原式=)())((4441+-+∙x x x -)())((4441-+-∙x x x =))(())((4444-+--+x x x x =))((448-+x x =1682-x二、弯路：对概念理解模糊，弄简为繁．例2：计算 --11x 112-x错解：原式=))((11122---x x x -))((1112---x xx=))(())((111122-----x x x x =))((111122--+--x x x x=))((1122---x x x x =)())((1112---x x x x=12-x x分析：有些异分母分式通分时，最简公分母正好是所有分母的乘积．例如11-x +x +11，ab c -cd a 等．有些同学把它当成现成的模式，走上弯路．确定最简公分母应先把分母分解因式，然后根据分母确定．所以例2中最简公分母为（x+1）(x-1)．三、短路：方程两边乘最简公分母时，丢项．例3、 解分式方程43--x x +x -41=1 错解：43--x x +x -41=1整理，得43--x x -41-x =1去分母，得3-x-1=1整理，把系数化成1，得x=1经检验：x=1不是原方程的解．分析：按正常思路解答，x=1应是原方程的解，经检验，为什么不是呢？简直像电路中出现了短路．原因是，去分母时，方程左右两边应同时乘以最简公分母，而有些同学只考虑有分母的项乘以最简公分母，而落下整式项．正确的方法两也各项包括1，都乘以最简公分母而去分母．四、半路：解题过程中出现化简不彻底，而导致结果错误．例4： 计算：--422x x21-x 错解：原式=))((--+222x x x )())((2221+-+∙x x x=)())((2222-++-x x x x=))((222-+-x x x=422--x x分析：计算到))((222-+-x x x 时，应先考虑约分所以，原式=21+x。
中招分式化简求值易错问题解析(2)
中招分式的化简求值易出现的错误解析教学目标：（1)使学生知道中招考试中分式的化简求值易出现的错误。
(2)通过训练，使学生准确解决分式化简求值这类问题。
学习过程：（一）导语：同学们，一年一度的中招考试即将开始，在中招考试的数学考试中，分式的化简求值可以说是每年必考的题型，但得分率却不高。
那么分式化简求值这种题型最常出现的错误有哪些呢？（二）学习新知1.颠倒运算顺序。
例.（2016·青海西宁·7分）化简:分析：本题应先算后面的除法，易出现的错误是先算前面的减法。
解：原式===2.忽视了分数线的括号作用。
例.（2016·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a ＋1－4a －5a －1）÷（1a －1a 2－a），其中a ＝2＋3． 解：原式＝a 2－1－4a ＋5a －1÷a －1－1a (a －1)＝a 2－4a ＋4a －1 •a (a －1)a －2＝(a －2)2a －1•a (a －1)a －2＝a (a －2)＝a 2－2a .当a ＝2＋3时，原式＝(2＋3)2－2(2＋3)＝3＋2 3.分析：此类题目容易出现的错误是：原式＝15412----a a a ÷a －1－1a (a －1)，应该把（4a-5）看成一个整体。
3.要注意代入的值要使分式有意义。
例：（2016·青海西宁·7分）化简：，然后选择一个合适的值代入求值。
解：原式====2=2取x=0,代入得：原式=1分析：要使分式有意义，分母不能为0，因此本题x≠1,-1,-2.由于忽视了分式的取值范围，把1，-1，-2代入而发生错误。
(三）总结：在解分式化解求值时，除注意以上三个容易出现的错误外，还要注意一些基本功的训练，比如因式分解，通分，约分等训练。
分式知识点需注意常见问题
1、分式的概念需注意的问题
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而
分数线则可以理解为除号，还含有
括号的作用；
(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字
母．
2、约分需明确的问题
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分都除以同一个因
式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分
解因式中提取公因式时确定公因式
的思考过程相似；
(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的
整体都除以同一个因式．
3、确定最简公分母的方法
(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。
4、列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审--仔细审题，找出等量关系；
(2)设--合理设未知数；
(3)列--根据等量关系列出方程；
(4)解--解出方程；
(5)验--检验增根；
(6)答--答题．
八年级数学下册 学生解分式方程错误点分析 人教新课标版
学生解分式方程错误点分析解分式方程是八年级下册第16章第3节的内容，是该章的重点，也是学生学习的一个难点。
本文收集了学生解分式方程出现的错误点，并进行分析。
错误1：表达形式错误解方程的基本思路是使方程逐步化成x a =的形式，表达形式上应写“解”。
学生写成“解原式=”或“证明”。
有些学生怕麻烦，不写解分式方程各步骤的说明语句，这点对于初学者是不提倡的。
错误2：运算基础不扎实导致错误 如解分式方程21233x x x-=---由于运算基础不扎实导致的错误有： （1） 找出最简公分母不是3x -或3x -，而是()()33x x --导致运算麻烦（2） 方程两边同时乘以最简公分母3x -后，没有处理好负数出错，如212(3)x x -=--以及整理方程212(3)x x -=---后得方程2126x x -=--- （3） 去分母时出现漏乘现象，方程两边同时乘以3x -得212x -=--。
错误3：解分式方程易忽略检验过程初学者由于受解整式方程的习惯影响，往往漏掉检验这一步。
一般地，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，去分母时方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解，通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的最简公分母不为零时，它才是方程的解。
错误4：解含有字母的分式方程时不够沉着出现含有字母的分式方程时，学生往往产生畏惧感，不够沉着冷静按步骤细心演算.含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准未知数和已知数的代表字母，注意题目的限制条件。
如解关于x 的方程()11a b a b a x b x-=-≠，此题已说明x 是未知数，a ，b 为已知数，先找出最简公分母abx ，然后去分母，化为整式方程，解这个方程并检验。
笔者作了顺口溜“解字当头思路清，去分母分化整，解方程得数值，勿忘检验探究竟，万变不离宗，沉着冷静加谨慎”，供学生参考。
解分式方程常见失误剖析
．
ｘ ３ 原 方 程 的解 ． ＝是
温 馨提 示 ： 方程 两 边 同 时乘 以 最 简公 分 母 时 ， 程 的每 一 项 在 方
都 要 乘 以 最 简公 分 母 ，不 能 只 在 含 分母 的 项 中乘 以 最 简公 分母 ，
而 未 乘 不含 分母 的 项 ． 三、 漏检 验
正 解 ： 程 两边 同 乘 以 （ 一１ ， ６ ＝ ＋ ． 方 Ｘ ）得 ｘ ｘ ５
解 得 ． ＝１
检验 ： － 时 ，（ １： 当Ｘ １ Ｘ — ） ０，
・ ． ．
Ｘ －是 原 方 程 的增 根 ． － １
选 ．
温 馨 提 示 ：增 根 是 指 把 分 式 方 程 去 分 母 后 化 成 的 整 式 方 程 的
例３ 解 分式方程 ： ｘ ４ － ５
一
：
±
ｊ 一 Ｕ
一
１ ．
二
错 解 ： 程 两 边 同乘 以３ 一 ， ３ ５ 一 ＝ ＋１ — （ ２ ． 方 （ ２） 得 （ ｘ ４） ０ ３ 一 ）
解这个方程 ， ｘ ２ 得 ＝．
・ ． ．
ｘ ２ 原方程的解 ． ＝是
１
经检验，： ÷ 和 ： 都是原方程的解 ， 一 ｌ
１
・
．
．
＝
一
÷ 和 ｌ ＝ 是原方程的解． ２
温 馨提 示 ： 程 两边 同除 以一 个 不等 于零 的数 ， 方 所得 方 程 与 原 方程 同解 ； 同除 以含 有 未 知 数 的 代 数 式 ， 可 能 丢根 ． 有
（ ｘ ） ３ 一５） ＋１） ｘ ３） ２ ＋１ （ ｘ ＝（ （一 ．
１
当２＋ ＝ 时， ｘ ｌ０ 方程显然成立 ， 此时 一 ． ：÷
一道分式方程的解法及常见错误分析
一道分式方程的解法及常见错误分析作者：穆艳华来源：《神州·中旬刊》2019年第02期摘要：分式方程是当前中学数学教学中的一门知识，在对分式方程的实际解题过程中，可以综合运用多种方法进行。
同时，由于分式方程对刚刚接触到它的中学生而言，有一定的复杂性，所以要注意解题过程中出现的错误。
本文从一道分式方程的解题方法入手，对分式方程解题过程中出现的错误进行了探究。
关键词：分式方程;解法;错误分析引言：在进行分式方程的解题过程中，可以发现分式方程的解法多样，同时出现错误的位置也不尽相同。
在分式方程中，学生可能会在对分母的处理、解题步骤的处理等多个地方出现错误。
所以通过实例对可能出现的错误进行分析，并引导学生去避免错误的发生是分式方程教学过程中值得注意的一点。
一、分式方程的解法分式方程是初中学习数学过程中的重点之一，同时由于其相对于初中学生而言，具有一定的难度，所以也是学生学习过程中的难点之一。
在对分式方程进行解答的时候，通常使用的有去分母和移项的两种解题方式。
以一道分式方程为例：2x+1-xx2-1=0，在解答过程中，通过乘以（x-1）（x+1）的方式可以得到：2（x-1）-x=0.当方程进行到这一步，我们可以通过解答目前的等式，得出x=2的结论，通过带入x=2进入（x-1）（x+1）时，可以得出等式不等于零，同时带入原方程可以发现原方程成立，所以x=2为原方程的解。
需要注意的是，在进行分时方程解答的时候，去分母的依据是，等式的两边同时乘以或除以一个不等于零的时时，等式仍然成立，同时，由于原方程转化为整式方程，所以原本的取值范围扩大，可能会产生增根，需要进行检验。
因而，其完整的解题步骤应为：（1）去分母，通过方程两边同乘最简公分母（x-1）（x+1）去掉分母。
（2）得到2（x-1）-x=0（3）解答该方程2（x-1）-x=0（4）进行检验，将所得的解，代入最简公分母中。
若最简公分母的不为零，则该值为原方程的解成立;若最简公分母为零，则原方程无解，所得到的数值为原方程的增根。
解分式方程常见错误分析
犯错知错不再错济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继海（适用于鲁教版五四制 初三版 9月刊） 分式方程是初中数学的一个重要内容,也是中考数学常考的知识点.可是有的同学在解分式方程时,由于各种原因，经常出现这样那样的错误.下面就同学们解分式方程时常犯的错误归纳分析，希望同学们知错、改错、不再错.一、去分母时，整式部分漏乘公分母例1、解方程23132--=--xx x . 【错解】：方程两边都乘以（x-3），得2-x= -1-2，解这个方程，得x=5.【剖析】：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.【正解】：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：当x=3时，x-3=0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.二、去分母时，分子是多项式不加括号例2、解方程011132=+--x x 【错解】：方程化为011)1)(1(3=+--+x x x ， 方程两边同乘以（x ＋1）（x －1），得3-x-1=0，解得x=2.检验：当x=2时，（x ＋1）（x －1）≠0，∴方程的解为x=2.【剖析】：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.【正解】：方程两边都乘以（x ＋1）（x －1），得3-（x －1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，（x ＋1）（x －1）≠0，所以x=4是原方程的根.三、不注意验根例3、解方程：2236111x x x +=+-- 【错解】：方程两边同乘以(x+1)(x-1) 得2（x-1）+3(x+1)=6，整理得：5x=5，x=1. ∴原方程的解为x=1.【剖析】：解分式方程时，要通过去分母把分式方程转化为整式方程，因此方程两边要同乘以一个含有未知数的整式，当这个整式等于0时，方程的转化就不符合等式的性质，所以就会产生不适合原方程的根——分式方程的增根.所以，解分式方程一定要检验.这也是不同于解整式方程的重要步骤.本题正是忽略了检验，造成结果错误.【正解】：方程两边同乘以(x+1)(x-1) 得2（x-1）+3(x+1)=6，整理得：5x=5，x=1.检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，所以x=1是增根.∴原分式方程无解．四、方程两边同除以可能为零的整式例4、解方程323423+-=--x x x x . 【错解】：方程两边都除以3x-2，得3141+=-x x ， 所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.【剖析】：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．【正解】：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4）， 所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x ＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=32. 检验：当x=32时，（x-4）（x+3）≠0，所以x=32是原方程的解. 五、忽视“双重”验根例5、解方程627132+=++x x x 【错解】：方程两边同乘以2（x+3)，得4x ＋1=7．x=23. 检验：当x=23时，2（x+3）≠0，∴原方程的解为x=23. 【剖析】：本题求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题,但只要将x=23代入原方程就发现左边不等于右边，所以x=23不是原分式方程的解。
初中数学 分式运算中的错误剖析-
分式运算中的错误剖析山东 于秀坤分式的运算主要分式的基本性质、约分、通分在综合应用，在进行分式的运算时，如果不能细心地处理分式的基本性质的应用，对约分、通分不能熟练掌握，就容易出现一些计算上的错误.一、马虎从事 漏掉括号例1 计算ba b a b a b a ++-++33. 错解：b a b a b a b a ++-++33=b a b a b a b a b a ++=++-+4233. 剖析：这里减式的分子是一个多项式，运算时忽视了分数线的括号作用. 正解：b a b a b a b a ++-++33=ba b a b a b a b a b a b a b a +-=+--+=++-+2223)3()3(. 【说明】当分式作减法运算时，一定要注意符号的变化，当减式的分母是多项式，计算应注意将分子用括号括起来.二、思维定势 混淆变形例2 计算112+-+x x x . 错解：112+-+x x x =x 2-(x+1)(x -1)=x 2-(x 2-1)=x 2-x 2+1=1. 剖析:错解受解方程去分母的影响,在分式计算中采用了去分母方法解决问题了.破坏了分式计算的等值变形.正解: 112+-+x x x =111)1(1)1)(1(1222+=+--=++--+x x x x x x x x x . 【说明】当分式与整式进行加减计算时，为了避免出现错误，可将整式的分母看作1.三、法则模糊 错误计算例3 计算)(22y x x y x x y x x +--÷-.错解：)(22y x x y x x yx x +--÷- =yx x y x x y x x y x x +÷---÷-2222 =yx y y x y x -=--+211. 剖析：错解在对乘法分配律的模糊认识，将乘法分配律应用到除法运算上来. 正解：)(22y x x y x x y x x +--÷- =22222yx xy y x x -÷- =y21. 【说明】分式的除法运算，当除式是和或差的形式，应先算括号内的，然后再进行除法运算.四、思维混乱 违背顺序例4 计算(m 2n -mn 2)÷(m+n)·)(n m mn n m +-. 错解: (m 2n -mn 2)÷(m+n)·)(n m mn n m +- =mn(m -m)÷mnn m -=m 2n 2. 剖析:错解在违背了乘除运算从左到右的顺序先把计算后两项了.正: (m 2n -mn 2)÷(m+n)·)(n m mn n m +- =mn(m -n)×)(1n m mn n m n m +-⨯+=22)()(n m n m +- 【说明】当分式中同时含有乘除运算时，应注意将除法运算转化为乘法运算，注意运算顺序.五、违背性质 分母通分例5 计算1111+-+-+a a a a . 错解：1111+-+-+a a a a =121111222-=-++--a a a a a a . 剖析：通分的依据是分式的基本性质：分子的分子、分母都乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.错解在违背了分式的基本性质，只把分式的分母乘以一个整式，而分子乘.这样所得的分式就与原分式不等值了. 正解：1111+-+-+a a a a =1221)1(1)1(222222-+=--+-+a a a a a a . 【说明】分式的加减运算的关键是通分，通分时要注意分式基本性质的理解及应用.。
分式知识点需注意常见问题
分式知识点需注意常见问题
1、分式的概念需注意的问题
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有
括号的作用；
(2)分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．
2、约分需明确的问题
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式
的思考过程相似；
(3)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整
体和分母的整体都除以同一个因式．
3、确定最简公分母的方法
(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。
4、列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审--仔细审题，找出等量关系；
(2)设--合理设未知数；
(3)列--根据等量关系列出方程；
(4)解--解出方程；
(5)验--检验增根；
(6)答--答题．。
分式运算常见错误示例易错点剖析.docx
分式运算常见错误示例一、概念记不准例 1 下列哪些是分式 ? 哪些是整式 ?① x 2 1② 13 ③3 a4错解：①，③是分式 ,②是整式 . ①在代数式x21中, 因为在分母中含有字母,所以是分式 ; ②在代数式13 中,因为它是二项式 , a属于整式；3是分式 . 4错解分析：分式的定义就是形如A, 其中 A 和 B 都为整式 ,分母 B B中要含有字母，① x21中的分母是常数 ,而不是字母 ; ②1 3 中a的1是分式 ,加 3 后,仍然属于分式 ; ③把分式和分数混淆了 . a正解：①, ③是整式 ,②是分式.二、直接将分式约分例2 x为何值时 , 分式x23x9有意义 ?错解 :x3x31x29x 3x3x 3. 要使分式有意义 , 必须满足x+3≠0,即x≠-3.错解分析 : 错误的原因是将x-3 约去 , 相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式 , 无意中扩大了字母的取值范围 , 当x=3 时, 分式无意义的条件漏掉了 .正解 : 要使分式有意义 , 必须满足x2 -9 ≠0, 解得x≠± 3. ∴当x≠±3 时,分式x23有意义 . x9三、误以为分子为零时 , 分式的值就为零例 3当 x 为何值时 , 分式x22x 4的值为零 ?错解 : 由题意 , 得| x | - 2=0, 解得 x =±2. ∴当 x =±2 时,分式x2的值为零 .2x 4错解分析 : 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零. 本题当x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 , 应舍去 .正解 : 由题意 , 得 | x | - 2=0, 解得 x =±2. 当 x =2 时, 分母 2x +4≠0; 当 x =-2 时, 分母 2x +4=2×(-2)+4=0, 分式无意义 . ∴当 x =2 时, 分式x2的值为零 .2x 4四、分式通分与解方程去分母混淆例 4化简 x 2- x -2.x2错解 : 原式 =x 2 - x ( x -2) - 2( x -2) = x 2 - x 2 +2x -2 x +4=4.错解分析 : 上述错误在于进行了去分母的运算 , 当成了解方程 ,而本题是分式的加减运算 , 必须保持分式的值不变 .正解 : x2- x -2=x 2-( x +2)=x2-x2 x 2 = x 2(x 2 4) =x 2x2 x 2x2 x 24.x 2五、颠倒运算顺序例 5 计算 a ÷b × 1 .b错解 : a ÷b × 1= a ÷1=a .b错解分析 : 乘法和除法是同级运算 , 应按从左到右的顺序进行 .错解颠倒了运算顺序 , 造成运算错误 .正解 : a ÷b × 1 = a × 1 = a.b bb b 2六、化简不彻底例 6计算2 1.x 24 2x4错解 : 原式 =21=4 x 2x 2 x 2 2 x 22 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4 x 2=x 2.2 x 2x 2 2 x 2x 2错解分析 : 上面计算的结果 , 分子、分母还有公因式 ( x -2) 可约分 ,应继续化简 .正解 : 原式 =21=4x 2x 2 x 22 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2=4 x 2 =x 2=1.2 x 2 x 22 x 2 x 22 x 2七、忽视“分母等于零无意义”致错1. 错在只考虑了其中的一个分母例 7 x 为何值时 ,分式1有意义 ?11x1错解：当 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1. 所以当 x ≠ - 1时, 原分式有意义 .错解分析：上述解法中只考虑了分式1 中的分母 , 没有注意整个分1.x1式的大分母 1x 1正解：由 x + 1 ≠ 0, 得 x ≠ - 1.1由1x 1≠ 0, 得 x ≠ 0 ，因此， 当 x ≠0 且 x ≠ - 1 时, 原分式有意义 .2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验例 8 先化简 ,再求值 :x 2x x21,其中 x 满足 x2- 3x + 2=x1x22x10.错解： x2xx2x 21= x( x1)(x1)( x1)= x .x 12x 1x 1( x 1)2∵x 2- 3 x+ 2= 0,∴( x- 2) (x- 1) = 0.∴x= 1或 x= 2，原式=1 或 2.错解分析：只要把本题中的 x=1代入到 (x - 1)2中可知 , 分母等于 0,所以原式无意义 . 故原式只能等于 2.正解：x 2x x 21x(x1) (x1)(x 1)x ，·22x 1·(x 1)2x 1 x x 1由x2-3 x+2=0，解得 x1=2, x2=1，当x=2时， x+1≠0，x2-2 x+1≠0，当x=1时， x2-2 x+1=0，故x 只能取2，则原式 =x=2.3.错在没有考虑除式也不能为零例 9先化简1x,再选择一个恰当的 x 值代入并求值.11x2x1错解：11x=x 1 1 ( x 1)( x 1)= x+ 1.x 1x2x1x1∵ x- 1≠0, x 2- 1≠0,∴x ≠±1.当取 x= 0时代入 x+1,原式= 1.错解分析： 本题若取 x = 0,则除式 x 颠倒到分母上时 , 分式就变得无意义了 , 显然是不正确的 , 所以 x ≠- 1, 0, 1.其他值代入均可求.正解： 11 x 2x = x ·(x 1)(x 1)x 1,x 11 x 1x∵ x -1 ≠0, x 2-1 ≠0,x为除数不为 0，即 x ≠0,x 21∴x ≠± 1 且 x ≠0,当取 x =2 时,原式 =x +1=2+1=3.4. 错在“且”与“或”的混用例 10 x 为何值时 , 分式1有意义 ?( x 2)( x 3)错解：要使分式有意义 , x 必须满足分母不等于零 ,即( x - 2) ( x -3) ≠0, 所以 x ≠2 或 x ≠3.错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词 , 两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且” .正解：要使分式有意义 , x 必须满足 ( x - 2) ( x - 3) ≠0, 所以 x ≠2 且 x ≠3.八、忽视分数线具有双重作用例 11 化简：x 2 1xx1错解： 原式 = x 2x 1 x 2 (x 1)(x 1) 2 x 1 .x11x 1x 1错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用 ,在添分数线时 , 如果分数线前面是负号 , 那么所添各项都要变号 .正解：原式 =x2x 1x2( x1)( x 1) 1 .x 11x1x 1。
解分式不等式常见错误与对策
解分式不等式常见错误与对策
张海军
【期刊名称】《甘肃联合大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2000(0)S2
【摘要】分式不等式的解法是高中不等式解法教学的重点之一.教学的基本要求是:掌握简单的分式不等式的解法.教材中主要采用“列表法”来解.但步骤较多,不利于快速、准确地解分式不等式,并且掌握较难,出错率高.本人结合自己的教学实践,就学生在解分式不等式时常见错误与解决对策总结如下,仅供参考.
【总页数】2页(P29-30)
【关键词】分式不等式;解不等式;常见错误;解决对策;解法教学;教学实践;基本要求;列表法;出错率;仅供参考
【作者】张海军
【作者单位】华亭一中
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.解绝对值不等式及分式不等式的通法综述 [J], 郭丽娟;吴琼
2.解分式方程的常见错误剖析 [J], 于志洪;刘建东
3.数形结合法在解一元二次不等式、一元高次不等式和分式不等式中的用应 [J], 安晓燕
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5.立足初中生解分式方程的常见错误浅析数学运算能力的提升策略 [J], 林虹因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
2021年中考数学热点专题复习：盘点解分式问题中的常见错误
2021年中考数学热点专题复习：盘点解分式问题中的常见错误在分式学习过程中，部分同学不能正确理解分式意义，在运算顺序、技巧方法等方面都容易出现错误． 一、忽视隐含条件例l 关于x 的分式方程3111m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是____． 误解 两边同乘（x －1），得m －3＝x －l ，解得x ＝m －2．因为分式方程的解为正数，所以m －2>0，即m>2．分析 这里的错误在于忽视了x －1＝0时，分母没有意义的隐含条件，即x －l ≠0，那么x ≠1，即m －2≠1，所以m ≠3． 正确答案是：m >2且m ≠3．例2 已知分式26189x x +-的值为正整数，求整数x 的值．误解()()()26361869333x x x x x x++==-+--值为正整数，则3－x 的值分别是1，2，3，和6．解得x ＝2，x ＝1．x ＝0，x ＝－3． 分析 此解错误之处在于，忽视了26189x x +-的分母中x 为＋3和－3时无意义的隐含条件；而且，在约分时将3＋x 约去就更容易出错． 正确答案是：x 的值为2，l ，0只有3个．例3 先化简22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当b ＝－l 时，再从－2<a<2的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．误解 原式＝()()()222a b a b a ab b a a b a+-++÷-＝()21a b a a a b a b +•=++ 取a ＝0时，原式＝－1．分析 此解法先化简时进行约分，忽视了题目中分母不能为0，只专注于化简后得到的分式分母不为0．在－2<a<2中，a 可取的整数值为－l ，0，I ．当a ＝－l 时，分式222a b a ab--无意义；a ＝0时分式，22ab b a +，222a b a ab --均都无意义；当a ＝l 时，分式1a b+无意义，所以，a 在规定的范围内取整数，原式均无意义，即所求值不存在．评注 分式的定义AB中，隐含B 不为0才有意义的条件，在具体运算时容易忽略甚至遗漏这一条件造成错误，这类开放性的问题是各地中考的热点题目，表面看给了学生很多的自主选择机会，却步步陷阱，不慎即导致错误，同学们只有在学习中不断的总结研究才能减少失误． 二、遗忘显性条件 例4 若m 为正实数，且m －1m＝3，则221m m -＝_______．误解 由于22111m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而22114m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2213413m m ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，m ＋1m ＝±13，所以221m m -＝±313． 分析 此解错误在已知条件明显告诉m 是正整数，m ＋1m不可能为负数，但很多同学受思维定势的影响，误认为一个正数的平方根有两个，他们互为相反数，导致错误．正确答案是：313评注 初二的学生很容易出现的错误，就是题目中的条件虽然非常清楚，但会受到忽视、忽略，按照固有思维模式来解决分式问题，且缺少解题后检查的学习习惯． 三、计算顺序错误例5 计算221112111x x xx x x x-+-÷•-+-+分析 此解法的错误在于，后面乘法刚好可以约分，所以不按运算顺序计算导致错误．正确答案按从左到右的顺序进行是：例6 计算22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭．误解 原式分析 分式乘法分配律不能错误地用到除法中去，而要按照运算顺序，先算括号内的，再算除法．正确解法应为：评注 多数同学虽然熟悉分式混合运算顺序，但在具体运算时有从简心理，想当然自己制造一些看似符合规律的“合理”法则，计算过程混乱．例7 计算111a a --+分析 分式与整式相加减时，多项式整式分母为1的式子，分数线起到括号的作用，不能忽略．正确解答为：评注 我们在准确运用分式的运算法则的同时，运算过程中要正确完成约分通分以及因式分解．分式混合运算是分式一章学习的重点，也是中考命题的热点，关键是在类比已有的分数运算基础上掌握分式运算顺序规律，分式的基本性质，灵活运用交换律、结合律，使运算简便，不能想当然，随心所欲造成不必要的失误． 四、将求分式的值混同于解分式方程例8 先化简，再求值：23111x x x----，其中x ＝2．分析 当x ＝2，原式＝2×－2＝2．上述错误关键是把分式运算当作了解分式方程，去分母时发生混淆．正确解法应该是：当x ＝2时，原式＝23． 评注 学习了解分式方程以后，看到分母分式化简运算，也就习惯性的去分母，这就需要不断的积累总结分式运算与解方程区别和联系，减少失误． 五、方程变形未考虑同解性例9 已知a b b c a c k c a b +++===，求21kk +的值．误解 由已知得a ＋b ＝ck ，b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a ＋b ＋c)＝k(a ＋b ＋c)，两边除以（a ＋b ＋c ），得k ＝2．代入21k k +＝25． 分析 当a ＋b ＋c ＝0时，2（a ＋b ＋c ）＝k （a ＋b ＋c ）与k ＝2就因不是同解方程，导致错误．当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ．此时a b c+＝－1，即k ＝－1．代入21kk +＝－12． 正确答案是：25和－12． 评注 在解分式相关问题时，学生往往只注意与所求最密切相关的条件，或者偏向性地选择条件，从而忽视了部分条件而导致失误．条件分式的求值，要依据题目自身特点，充分利用整体的数学思想和转化的数学思想，才会有事半功倍的效果． 六、解分式方程遗忘检验例10 解方程4525142362x x x x -+=--- 误解 方程两边同乘6（x －2），得3(5x －4)＝2（2x ＋5）－3（x －2），解得x ＝2． 分析 将分式转化为整式方程，关键是找准最简公分母，这里不能找成（4－2x ）（3x －6），而且要注意符号的变化，（x －2）与(2－x)互为相反数，对于常数或者整式也不要漏乘，而解分式方程与整式方程最大的区别是，将求得的解代人最简公分母中检验，分母为零的解不是原方程的解，这里当x ＝2时，6（x －2）＝0，所以x ＝2不是原方程的解．评注 需要指出的是，检验是解分式方程的一个必不可少的步骤．。
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的值 为０ ７
ｃ叶６ ＋
（ ６ ＋ ６ ） （ ） ２ ａ ｂ ｃ ２ 叶 ） （ ＋ ｃ （＋ ＋ ）
确 的解 法如 下 ： 由分 母 ＿ ＋ － 得 ２ ３ ０ ＝
锄
本题 的错 因在 于没 考虑
不 能 同 时 乘 以 或 除 以 一 个 为 零 的 整
＾
（ ＋ ） 慨 － ０ ＝ ＋ ） 慨 ＿ ） 则 １（ ２）（ １（ ６，
轻 易化简 而致错
有 （ｘ １ ［ ２ ＋ ）
－ ０ 一 － ）＝ ， ２ ）（ ６ ］０ 即
式． 而本 题 无 法知道 、 — ／ Ｖ百 是 否
有 意义 （ 此处 还 要注 意 “ ” “ ” 或 与 且 两 字 的 区别与运 用） ． ．
锄
分式之值为。 必须具备分
有告 诉我 们叶 ６ ｃ 值 是否 为０ 因此 ＋之 ，
还 需 讨 论 另 一 类 情 况． 即 当０ ６ ｃ ０ ＋ ＋＝ 时 ． Ⅱ ６ Ｃ 入 已知 式 中 ． Ｊ １ 将 ＋一 代 得ｉ ． ｝ 一
子 为Ｏ 分母 不为Ｏ 且 两个条 件 ． ： ＝ 即
Ｏ ｘ－ ｘ ２ ＆ ２ ３ ＋ ≠Ｑ 由 — ＝ 得 ｘ － 当 ４Ｏ ＝Ｚ ＋ ｘ ２ ， ２３ ＋ ， 此 时 分 式 无 意 义 ； ＝ 时 ＿ ２ 当 ： ２ ， ２３ ＋ ￣Ｏ 一 时 ｘ－ ｘ ２ ．所 以 ， 当 ＝ ２ 一 时原 分 式 之 值 为Ｑ
ｎ６ 一
＝
亦 为 分式 的 分母 ． 以 它也 应 不 为 所
１
边 同 时 除 去 ＋ ，这 忽视 了 分 式 基 本 １
性 质的条件 ，即分式 方程左 右两边 不
０ 而 １ ， ＋
‘
：
１
， ２ ≠０ ≠２ 由 得 ，
ｌ
能 同 时乘 以或 除 以一 个 为０ 整 式 ． 的
分 解 因 式 后 再 约 分 可 得 原 分 式 为
，
４ 忽视等比性质的条件
（／ 、 ）、 一 ／ ＿ 、 ＋ ／ （／ 、 ｌ ） － ＿
由 ｌ 得 ≠ １ 所 以 ， ≠ １ — ≠０ ， 当
濑 已 ＝ ， 知＝ ＝
＝
、＿一 ／ ／ ＿、 ．囝
初｛ ．ｊ １ 爷ｌ ７ 】 ｛ 数 ｝ 导
忽略 同解原 理而 漏解
１
故 正 确 答 案 为 或 １ ＝ 一 ．
潮 解 程 ＋ ＝ ＋ 方 １１
１
一
灞霉 当 为何 ； 值时， 分式
ｌ 一
—
５ 忽视分式基本性质的条件
ｘ５ ＋
嘲
有意义？
兰 ：
２ ６ ． 一
１
两边分别通分再相加得
基囝 星
由 乙４０ ＝ ２ ＝ 得 ± ，所以当
１ ｘ３ 或 ＝ ．所 以 当 ≠ ｌ ≠ ３ 原 分 式 且 时
等 比性 质成 立 的条 件 ． 即只有 在叶６ ＋
Ｃ ≠０时 ， 能 用 此 性 质 ， 本题 并 没 才 但
ｘ ２ ＝２ ． 分式之 值为Ｑ ＝ 或 一 时 原
， 即 ＋ 一 ＝ ２ｘ ６ ｘ＋ 一
且 １ ≠０ 即 ≠± ， １时 ， 原分式有 意义．
ｚ ２ ＋一 Ｏ
２ ． 以有一 ＝ ２ ， ０所 ６ 一 ０ 故原 方程 无解．
（ ６ （／ 一 ）、 Ｖ百 ）
腽
方程两边约去 ＋就是两 １
（ ／ 、 （／ 、 ） 、 ＋ ／ 、 一 ／ （ ）＼ 一 ／ ） ６ （／ 、
±
．
旦
１ ＋— １ —
灞 化 — 一． 简
、 ＋ 、 ，
方 程 两 边 约 去 ＋
ｚ 一０ 慨 ２
１
固
得
将分式分母有理化 变形
嘲 函
１
— —
由分式有意义得 １ ≠０ 慨 考虑不周 ，没注意到 ｌ ＋
ｌ。— — ＝ — 一 得 — 一 — ｚ
＋— ６
、 一 ／ ． ／ 、
所 以 当 ≠± 且 ≠２时原 分 式有 意 义 ． 】
因 为 这 样 会 破 坏 方 程 的 同解 原 理 造 成 失根 正 确 解 法如 下． 方 程 可 变形 为 原
函
错 因在 于忽视 了分式基
本 性 质 的 条 件 ． 分 式 的 分子 、 母 即 分
为０ 所 以 上 述 解 答 过 程 错 误 ．正 确 解 ，
法 为
霸 功何 时 式 值 分
有意义 ？
（ｘ １ ×一 ４ ＝ 所 以有２ ＋ ＝ ， ２ ＋ ） （ １ ）Ｑ ｘ ｌＯ 解得
ｘ －． ＝ ０ ．经检 验 ． － ．是 原 方程 的 根 ５ ｘ －５ ＝０
题圈 将分式的分子、 分母分别
瓣 攀 致学 冉谕 别
０ 贵 州绥 阳金 承 中学
韩承 昀
时原 分式 有意 义． 忽 略分母 不为 零
求 的值．
团团 把 分子、 分母的公因式约
去 ． 母 的 取 值 范 围 就 扩 大 了 ， 此 字 因 本 类题 无 论 多 么 复 杂 都 不 能 约 分 ．正
固
利 用 等 比性 质 可得 ：