经典追及和相遇问题
专题：追及和相遇问题
专题：追及和相遇问题一．相遇问题（1）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于初始时刻两物体的距离时及相遇。
例1. 一辆轿车违章超车，以108 km/h 的速度驶入左侧逆行车道时，猛然发现正前方80 m 处一辆卡车正以72 km/h 的速度迎面驶来，两车司机同时刹车，刹车时加速度大小都是10 m/s 2。
两司机的反应时间（即司机从发现险情到实施刹车所经历的时间）都是Δt，试问Δt 为何值，才能保证两车不相撞。
（2）同向运动的物体追及即相遇二．常见追及问题的种类： 1.速度小者追速度大者类型 图象说明匀加速追匀速①V1〉V2时，后面物体与前面物体间距离增大； ②V1=V2时，后面物体与前面物体间距离达到最大。
最大距离为x 0+Δx ③V1<V2以后，后面物体与前面物体间距离减小； ④能追及且只能相遇一次，相遇时有X 后=X 前+X0共同点：速度相等时二者间有最大距离匀速追匀减速匀加速追匀减速说明：①表中的Δx 是开始追及以后，前面物体因速度大而比后面物体多运动的位移； ②x 0是开始追及以前两物体之间的距离；2.速度大者追速度小者匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当V1=V2时刻： ①若Δx=x0,则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δx<x0,则不能追及，此时两物体最小距离为x0-Δx③若Δx>x0,则相遇两次，设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 共同点：速度相等时二者间有最小距离匀速追匀加速匀减速追匀加速总结论：速度相等是能否追上，两者间有最大距离，最小距离的临界条件： 说明：①表中的Δx 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； ②x 0是开始追及以前两物体之间的距离； ③t 2-t 0=t 0-t 1;④v 1是前面物体的速度，v 2是后面物体的速度.例2：一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内．问：(1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？(2）警车发动后要多长时间才能追上货车？例3.汽车前方S=120m有一自行车正以6m/s的速度匀速前进，汽车以18m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上作同方向的直线运动，求：（1）经多长时间，两车第一次相遇？（2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？例4.一辆长途客车正在以v＝16 m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方s＝36 m处有一只小狗(如图甲)，司机立即采取制动措施．从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔Δt＝0.5 s．若从司机看见小狗开始计时(t＝0)，在4.5s末速度减为0。
四种数学方法分析追及和相遇问题
四种数学方法分析追及和相遇问题例1 在水平道路上有两辆汽车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同，如图1所示．要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0满足什么条件．图1解析 解法一：解方程法A 、B 两车的运动过程如图所示．对A 车，有x A ＝v 0t －12×2at 2，v A ＝v 0－2at 对B 车，有x B ＝12at 2，v B ＝at . 两车恰好不相撞的条件是：当x ＝x A －x B 时，v A ＝v B ，联立以上各式解得v 0＝6ax ，故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax . 解法二：判别式法设A 车经过时间t 恰好追上B 车，两车的位移关系为x A ＝x ＋x B ，即v 0t －12×2at 2＝x ＋12at 2，整理得3at 2－2v 0t ＋2x ＝0，这是一个关于时间t 的一元二次方程，当判别式Δ＝(－2v 0)2－4·3a ·2x ≤0时，t 无实数解或只有一个解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax .解法三：图象法先作出A 、B 两车的v －t 图象，如图所示．设经过时间t 两车刚好不相撞，则：对A 车，有v A ＝v ＝v 0－2at ；对B 车，有v B ＝v ＝at ，解得t ＝v 03a. 两车相遇时的位移差等于x ，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x ＝12v 0t ＝v 026a，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0≤6ax.解法四：相对运动法以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a，A车追上B车且刚好不相撞的条件是v t＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式得－v02＝2×(－3a)x，所以v0＝6ax，即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.答案v0≤6ax。
【小学数学】小学数学常考相遇问题、追及问题(附例题、解题思路)
相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行；在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式；复杂的题目变通后再利用公式。
例1南京到上海的水路长392千米；同时从两港各开出一艘轮船相对而行；从南京开出的船每小时行28千米；从上海开出的船每小时行21千米；经过几小时两船相遇？解392÷（28＋21）＝8（小时）答：经过8小时两船相遇。
例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步；小李每秒钟跑5米；小刘每秒钟跑3米；他们从同一地点同时出发；反向而跑；那么；二人从出发到第二次相遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行；甲每小时行15千米；乙每小时行13千米；两人在距中点3千米处相遇；求两地的距离。
解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快；乙骑得慢；甲过了中点3千米；乙距中点3千米；就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米；因此；相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）答：两地距离是84千米。
追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发；或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动；在后面的；行进速度要快些；在前面的；行进速度较慢些；在一定时间之内；后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式；复杂的题目变通后利用公式。
追及与相遇问题
见全品练习册，20页的13题
方法一：设：经过时间t，人与车速度相等，
因
人追不上车。人车间的最小距离为
方法二：设：经过时间t，人与车相距S，
则S= S0+S车 - S人=25 + 0.5 t2 - 6 t 令S=0，既假设人能追上车，0.5 t2 - 6 t+25=0 因b2-4ac = （-6）2 -4×0.5×25=-14＜0,方程无 解,故人追不上车 当t=人车间的最小距离为 s =25 + 0.5×62 - 6× 6=7m 时，s有最小值
追及与相遇问题
一、追及问题：二者速度相等时相距最远 （或者最近） 1、后面加速，前面匀速，二者相距x 。一定 能追上，二者速度相等时相距最远 。
2、后面匀速，前面从静止加速，二者相距x 。 不一定能追上，二者速度相等时相距最远近。
2 例6、车从静止开始以1m/s 的加
速度前进，车后相距s0为25m处， 某人同时开始以6m/s的速度匀速 追车，能否追上？若追不上，求 人、车间的最小距离。
高一物理追及相遇问题
高一物理追及相遇问题追及和相遇是高一物理中常见的运动学问题，这类问题涉及到两个或多个物体在同一时间或不同时间运动的情况。
解决这类问题的关键是掌握运动学的基本公式和定理，理解物体之间的相对运动关系，并运用数学工具进行计算和分析。
一、追及问题追及问题通常是指两个物体在同一时间开始运动，其中一个物体追赶另一个物体，直到追上或超过被追物体。
解决追及问题的关键是找出两个物体之间的位移差、速度差和时间关系。
定义变量设被追物体为A，追赶物体为B。
设t时刻A、B的位移分别为x1、x2，速度分别为v1、v2。
建立数学方程根据运动学公式，我们可以建立以下方程：(1) x1 = v1t + 1/2at^2（匀加速运动）(2) x2 = v2t（匀速运动）(3) 当A、B速度相等时，有v1 = v2 + at求解方程解方程组（1）（2）（3），可以求出t、x1、x2的值。
分析结果根据求出的t、x1、x2的值，可以判断A、B是否能够相遇，相遇时A、B的位移和速度关系。
二、相遇问题相遇问题是指两个物体在同一地点开始运动，其中一个物体迎向另一个物体，直到两个物体相遇或相离。
解决相遇问题的关键是找出两个物体之间的位移和速度关系。
定义变量设相遇的两个物体分别为A、B。
设t时刻A、B的位移分别为x1、x2，速度分别为v1、v2。
建立数学方程根据运动学公式，我们可以建立以下方程：(1) x1 + x2 = v1t + v2t（相对速度）(2) v1 - v2 = at（相对加速度）求解方程解方程组（1）（2），可以求出t、x1、x2的值。
分析结果根据求出的t、x1、x2的值，可以判断A、B是否能够相遇，相遇时A、B的位移和速度关系。
如果A、B不能相遇，还可以求出它们之间的距离。
追及相遇问题
1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀
3．相遇问题 (1)相遇的特点：在同一时刻两物 体处于同一位置． (2)相遇的条件：同向运动的物体 追及即相遇；相向运动的物体，各自 发生的位移的绝对值之和等于开始时 两物体之间的距离时即相遇．
类型一 追及相遇问题的求解方法
例1 一小汽车从静止开始以3 m/s2的 加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的 速度从车边匀速驶过．
加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好
追不上的临界条件是两物体速度相等，
即v甲＝v乙． 判断此种追赶情形能否追上的方法是：
假定在追赶过程中两者在同一位置，比
较此时的速度大小，若v甲>v乙，则能追上； v甲<v乙，则追不上，如果始终追不上，当 两物体速度相等即v甲＝v乙时，两物体的 间距最小．
(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速 度小者(如匀速运动)
(1)汽车从开动后在追上自行车之 前，要经多长时间两者相距最远？最 远距离是多少？
(2)什么时候追上自行车，此时汽 车的速度是多少？
(2)由图知，t＝2 s以后，若两车位移相等， 即v－t图象与时间轴所夹的“面积”相等．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此 时v汽＝2v自＝12 m/s.
解析：汽车和自行车运动草图如下：
六、追及和相遇问题 1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
高中物理追击、追及和相遇问题
高中物理追击、追及和相遇问题一、追击问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上，两者距离有极值的临界条件：1、做匀减速直线运动的物体追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）两物体的速度相等时，追赶者仍然没有追上被追者，则永远追不上，这种情况下当两者的速度相等时，它们间的距离最小.（2）两物体的速度相等时，如它们处在空间的同一位置，则追赶者追上被追者，但两者不会有第二次相遇的机会.（3）若追赶者追上被追者时，其速度大于被追者的速度，则被追者还可以再追上追赶者，两者速度相等时，它们间的距离最大.2、初速度为零的匀加速直线运动追赶同向做匀速直线运动的物体.（1）追上前，两者的速度相等时，两者间距离最大.（2）后者与前者的位移大小之差等于它们初始位置间的距离时，后者追上前者.二、相遇问题1、同向运动的两物体追及即相遇.2、相向运动的物体，当各自发生位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇.例1、两辆车同时同地同向做直线运动，甲以4m/s的速度做匀速运动，乙由静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动. 求：（1）它们经过多长时间相遇？相遇处离原出发地多远？（2）相遇前两物体何时距离最大？最大距离多少？解析：（1）经过t时间两物体相遇，位移为s，根据各自的运动规律列出方程：代入数据可得t=4s，s=16m.（2）甲乙经过时间t＇它们之间的距离最大，则从上面分析可知应该满足条件为：，，解得：此时它们之间最大距离为什么当时，两车间的距离最大？这是因为在以前，两车间距离逐渐变大，当以后，，它们间的距离逐渐变小，因此当时，它们间的距离最大.例2、羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度为25m/s，并能保持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这一速度4.0s. 设猎豹距羚羊x时开始攻击，羚羊在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，则：（1）猎豹要在减速前追到羚羊，x值应在什么范围？（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？解析：解决这类题目，关键是要读懂题目，比如：猎豹在减速前一共用了多长时间，减速前的运动是何种运动等等.（1）由下图可知，猎豹要在减速前追到羚羊：对猎豹：，对羚羊同理可得：，即；当x≤55m时，猎豹能在减速前追上羚羊（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，则：对猎豹：对羚羊：则：即：当x≤31.9m时，猎豹能在加速阶段追上羚羊.。
追及相遇问题
追及与相遇问题1．追及问题追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能追上、追不上、两者距离达到最大值的临界条件．(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)．①两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离．②若速度相等时，有相同位移，则刚好追上、也是两者相遇时避免碰撞的临界条件．③若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，两者速度相等时，两者间距离有一个较大值．(2)速度小者加速(如初速为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)．①当两者速度相等时两者间有最大距离．②当两者位移相等时，即后者追上前者．2．相遇问题(1)同向运动的两物体：追及即相遇．(2)相向运动的两物体：当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离即相遇．3．解决追及与相遇问题的关键(1)抓临界条件．(2)抓关系：①纵向关系：同一研究对象各过程之间的关系，如位移、速度、时间之间的关系．②横线关系：两研究对象之间的关系：如位移关系、速度关系、时间关系等．1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m／s2的加速度开始行驶．恰在这时一辆自行车以6m／s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少?2、一辆公共汽车由静止开始以1m／s2的加速度沿直线前进，车后相距s=45m处，与车行驶方向相同的某人同时开始以6m／s的速度匀速追赶车，问人能否追上车?若能追上，求追上的时间；若不能追上，求人、车间的最小距离．3、某人骑自行车以4m／s的速度匀速前进，某时刻在他前面7m处以10m／s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以2m／s2的加速度减速前进，此人需要多长时间才能追上汽车?4、一个滑雪人，质量为75kg，以2m/s的初速度沿山坡匀加速滑下，山坡的倾角为30°，在5s的时间内滑下的路程为60m，求(1)在图中对滑雪人进行受力分析(2)滑雪人的加速度(3)滑雪人受到的阻力（g取10/s2）。
四年级奥数——相遇、追及
四年级奥数——行程问题相遇问题1、南北两村相距90千米，甲从南村出发，他要在9分钟内赶到北村，那他每分钟至少要行多少千米？2、王叔叔因急事，以每小时78千米的车速从甲地赶往乙地，3小时后，他发现时间足够，又以每小时62千米的速度行驶了2小时，赶到了乙地，甲乙两地相距多少千米？3、小飞和小华同时从相距5320米的两地相向而行，两人行了40分钟后还相距1520米，问两人再走几分钟才能相遇？4、甲乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙队每小时行50千米，一个人骑摩托车每小时行80千米在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？5、小明骑摩托车、小军骑自行车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。
小军从甲地到乙地要12小时，小明从乙地到甲地要几小时？6、甲、乙两车同时从东西两地相对开出，6小时相遇。
如果甲车每小时少行9千米，乙车每小时多行6千米，那么经过6小时后，两车已行路程是剩下路程的19倍。
东西两地相距多少千米？7、A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站50千米处相遇。
相遇后继续前进，各自到达乙、甲两站后立即返回，第二次在距乙站20千米处相遇。
甲、乙两站相距多少千米？追及问题1、甲从A出发，每小时12千米，2小时后，乙也从A地相背而行，每小时16千米，再经过4小时他们同时停下来，这时他们相距多远？2、甲、乙相背而行，甲每小时比乙多行2千米，8小时后两人相隔112千米，求甲、乙各自的速度？3、快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行60千米，经过3小时后，快车已驶过中点25千米。
这时与慢车还相距6千米。
慢车每小时行多少千米？4、小华和小亮的家相距410米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。
3分钟后两人可能相距多少米？5、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍，现在甲在乙的后面250米，乙追上需要多少分钟？6、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每小时行10千米，乙每小时行8千米，甲行至15千米处又回去取东西，因此比乙迟1小时到B地。
追及和相遇问题
（4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据 追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还 有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对 运动知识求解．
1、《走向高考》：P15—例证3 2、备考P9例6
3、备考P12例9
4、如图所示，A、B两物体相距 S=7米，A正以VA=4米/秒的速度向 右做匀速直线运动，而物体B此时 A 速度VB=10米/秒，方向向右做匀减 速直线运动，加速度大小a=2米/秒， 从图示位置开始，问经多少时间A 追上B？
3、匀速物体追赶匀加速物体：当追者速 度等于被追赶者速度时恰好追上，只有一 次相遇机会。当第一次追上时追者速度大 于被追者速度，有两次相遇机会。 4、匀速物体追匀减速物体：必能追上且 只有一次相遇机会，注意分析匀减速物体 何时停下来。
二、相遇问题
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情 形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标 相同．
提醒：遇到匀速运动物体追赶匀减速运动物体的 问题时，特别要注意匀减速的物体何时停下来！
追及问题小结： 1、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体 时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者 的速度等于被追赶者的速度。 2、匀减速物体追赶同向匀速物体时，恰能追 上或恰好追不上的临界条件是：即将靠近时追 赶者的速度等于被追赶者的速度。
VA
B S
VB
解：设经时间t ,A追上B，由运动学公式列方 程得：
VA t=S+VB t-a t2/2
即：t2-6t-7=0
对吗？
解得 t=7s
正确解法：根据Vt=V0+at得 B停下来的时间tB=VB/a=10/2=5(s), 这段时间B的位移 SB=VtB=VBtB/2=10×5/2=25(m) 由 VAtA=S+SB 得： tA=(S+SB)/VA=(7+25)/4=8(s)
追及和相遇问题
追及和相遇问题
追及和相遇问题是一个经典的数学问题。
问题描述如下：
假设有两个物体，分别以不同的速度从不同的起点出发。
一方称为“追逐者”，另一方称为“被追者”。
追逐者希望能够追上被
追者并与其相遇。
问题的关键是要确定两个物体相遇的时间和地点。
解决这个问题的一种常见方法是使用相对速度概念。
相对速度是指两个物体之间的相对运动速度。
假设追逐者速度为v1，
被追者速度为v2，它们之间的相对速度为v=v1-v2。
假设两个物体分别从起点A和起点B出发，相遇的地点为C，则AC的距离为A和B之间的距离，AC的时间为相遇时间t。
根据相对速度的定义，相遇时间可以用公式t=d/v表示，其中
d为A和B之间的距离。
通过求解这个方程，可以确定相遇时间t。
有时候，题目可能要求求解相遇位置。
这时需要将已知的速度代入相对速度公式，并根据相遇时间t计算相遇位置C的坐标。
追及与相遇问题练习题
追及与相遇问题练习题一、基础题1. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲以5米/秒的速度向前走，乙以3米/秒的速度向前走。
问甲追上乙需要多长时间？2. 甲、乙两车从相距100公里的两地同时出发，甲车速度为60公里/小时，乙车速度为40公里/小时。
问两车相遇需要多长时间？3. 甲、乙两人同时从相距10公里的两地出发，甲向乙方向走，速度为4公里/小时，乙向甲方向走，速度为6公里/小时。
问两人相遇需要多长时间？4. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲以6米/秒的速度向前走，乙以4米/秒的速度向前走。
问甲比乙多走多少米？5. 甲、乙两车从相距120公里的两地同时出发，甲车速度为70公里/小时，乙车速度为50公里/小时。
问两车相遇时，甲车比乙车多走了多少公里？二、提高题1. 甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，甲以5米/秒的速度向前走，乙以4米/秒的速度向前走，丙以3米/秒的速度向前走。
问甲追上丙需要多长时间？2. 甲、乙两车从相距150公里的两地同时出发，甲车速度为80公里/小时，乙车速度为60公里/小时。
两车相遇后，甲车继续前行，乙车掉头返回。
问两车再次相遇需要多长时间？3. 甲、乙两人同时从相距12公里的两地出发，甲向乙方向走，速度为5公里/小时，乙向甲方向走，速度为7公里/小时。
问两人相遇时，各自走了多少公里？4. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲以7米/秒的速度向前走，乙以5米/秒的速度向前走。
问甲追上乙时，两人共走了多少米？5. 甲、乙两车从相距180公里的两地同时出发，甲车速度为90公里/小时，乙车速度为60公里/小时。
问两车相遇时，甲车比乙车多走了多少公里？三、拓展题1. 甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，甲以6米/秒的速度向前走，乙以4米/秒的速度向前走，丙以2米/秒的速度向前走。
问甲追上乙和丙分别需要多长时间？2. 甲、乙两车从相距200公里的两地同时出发，甲车速度为100公里/小时，乙车速度为80公里/小时。
追及和相遇问题
1．追及问题的常见两种情形 (1)速度小的v2追及速度大的v1【如：匀加追匀速；匀速追 匀减；匀加追匀减】【令开始相距x0】．则： A、两者速度相等时即t0时，两者有最大距离 △xmax=x1+x0-x2 B、若x2=x1+x0,则追上即t1时。
v1
v2
v
v1 v2
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
v1 v2
t0
匀加追匀速
t1
t0
匀速追匀减
t1
t0
匀加追匀减
t1
• (2)速度大的v1追及速度小的v2【如：匀减追匀速；匀速 追匀加；匀减追匀加】【令开始相距x0】 ．则： • ①两者速度相等时即t0时，若仍未追上即x1<x2+x0，则 永远追不上，此时二者间有最小距离xmin=x1-x2-x0． • ②若速度相等时即t0时，刚好追上即x1=x2+x0，则只能 追上一次，这也是二者避免碰撞的临界条件． • ③若速度相等之前t1已经追上即x1=x2+x0 ，则被追的在 t2还能有一次反追上追的即x`2=x`1+x0 ，二者速度相等 t0时，二者间距离有一个最大值xmax=x1-x2-x0．
• 3．求解“追及”“相遇”问题的思路 (1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意 图．分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住“一个 条件，两个关系”： “一个条件”是两物体的速度相等满足的临界条件，如两 物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等． “两个关系”是时间关系和位移关系，其中通过画草图找 到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．因此， 在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为 正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益． (2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方 程．注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中． (3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程． (4)联立方程求解． 注意：如被追的做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已
追和和相遇问题
长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解法二 用数学求极值措施来求解
设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知
t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大
成旳三角形面积与标有斜线旳三角形面积相等时，两车
旳位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t′=2t=4 s v′ = 2v自=12 m/s
②匀速运动旳物体追赶同向匀加速直线运动旳物体，追赶 时两者距离最小（涉及追及）旳条件为：追赶者旳速度等 于被追赶者旳速度．
情境设置
例2、一车从静止开始以1m/s2旳加速度迈进，车后相 距x0为25m处，某人同步开始以6m/s旳速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间旳最小距离。
t v=6
m/s
t v v0 6 20 s 28s a 0.5
在这段时间内，s A=v0t′＋
1at′2=364 m
2
sＢ= vt′＝168 m
sA- sＢ=196 m＞180 m，所以两车相撞.
另外，本题也能够用不等式求解：设在t 时刻两物体相遇，则
有：v0t＋
1 2
at2=180+
x人=v人t=6×6=36m
x车=at′2/2=1×62/2=18m
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两 个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前 追上,不然就不能追上.
解析：作汽车与人旳运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所 示．因v-t图象不能看出物体运动旳初位置，故在图乙中标上两 物体旳前、后．由图乙可知：在0～6 s时间内背面旳人速度大， 运动得快；前面旳汽车运动得慢．即0～6 s内两者间距越来越 近．因而速度相等时两者旳位置关系，是判断人能否追上汽车 旳条件．
追及和相遇问题
解法三：巧选参考系 选前车为参考系，刹车后后车相对于前车作初 速度为v0 = v1 – v2，加速度为ａ的匀减速运动， 当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移 s'≤s，则不会相撞。故由 s' =
v v1 v 2 2a 2a
2 0
2
≤ s 得a≥ ( v2 -v1)2/2s
小结：关键是利用时间关系、速度关系、位移关 系列出方程求解。 笫一、追及问题中两者的速度相等时，两者距 离是极大值或极小值； 笫二、相向运动的物体，当各自发生的位移的绝 对值之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
作业：
• 1.回顾周末练习三5，，7，8，11（追及相遇 问题）； • 2.作业本：教材P41习题1—7; • 3.三维第七节的尝试应用，例题，跟踪演练。
解法二：利用数学方法求极值
要使两车不相撞， 其位移关系应为v1t - a t2/2 ≤ v2t +s
即 a t2/2+ ( v2 - v1) t +s≥0， 该不等式任意时刻都成立， 则其系数必须满足 △ = b2 - 4ac≤ 0 即△ = ( v2 - v1)2 - 2as ≤0 由此解出a≥ ( v2 -v1)2/2s
8．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行 驶，t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开 始．它们在四次比赛中的υ－t图如图所示，哪 些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆 （ ）
11．A、B两棒均长1ｍ，A棒悬挂于天花板上，B 棒与A棒在一条竖直线上，直立在地面，A棒的下 端与B棒的上端之间相距20ｍ，某时刻烧断悬挂A 棒的绳子，同时将B棒以v0=20ｍ/ｓ的初速度竖 直上抛，若空气阻力可忽略不计，且g=10m/s2， 试求： （1）A、B两棒出发后何时相遇？ （2）A、B两棒相遇后，交错而过需用多少时间？
追及和相遇问题
典型例题
• 练习册
例 2 P44 10 P47
总结
1、临界条件：当两物体速度相等（即 追 被追 ） 时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距 最远、相距最近等情况 2、追上时都满足 追 被追 0（S0时开始时两 者间的距离）
v
v
s
s
s
第三类：匀减速直线运动的A追及匀速直线运 动的B（开始前AB相距S0）
问题：1、A能否追上B？ 2、若能追上，什么时候追上？ 3、若不能追上，则什么时候距离最小？是多少？
• 答案：1、不一定能追上。 • 2、判断能否追上的条件是：
v v 时是否满足s s s
B A A 0
B
①若vA vB 时sA s0 sB ，则以后永远都不可 能追上，此时存在最小距离 1 2 s AB s0 s B s A s0 a B t v A t 2 ②若 vA vB 时sA s0 sB ，说明两者速度相 等时刚好追上,这种情况只有一次相遇； ③若vA vB 时sA s0 sB ，说明在两者速度相 等前A已经追上B，此后B再次追上A（匀速B 追匀减速A），即有两次相遇。
• 能否追上的条件： vB vA时是否满足sA s0 sB 解：②S0=4m 当vB vA 6m / s 时，由 vt v0 at 得： v0 6 0 v t s 1.5s B的加速时间 t 0 a 4 此时A的位移为sA vA t 0 6 1.5m 9m 1 1 2 2 B的位移为s B 2 a B t 0 2 4 1.5 m 4.5m 故有sB s0 8.5m sA ，说明两者速度相等前A车 追上了B车，假设 A车经过时间 t追上了 B 车， ' ' 1 2 t 追上时有 s A s 0 s B，即 v A s0 2 a B t 代入数据解得t1=1s,t2=2s 即AB两车分别在1s和2s末各相遇一次
追及和相遇问题
变式题来自 变式1 自行车甲沿着平直公路以速度v 做匀速 直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车 乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶自行 车甲，根据上述已知条件【 】 A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C．可求出乙车从开始启动到追上甲车所用的时间 D．不能求出上述三者中的任何一个 答案：A
变式题
变式2 汽车从静止开始以a =1m/s2的 加速度启动，车后相距x0=25 m处，与汽车 运动方向相同的某人骑自行车同时开始以v =6m/s的速度匀速追赶汽车，问： （1）自行车能否追上汽车？ （2）若能追上，自行车何时何地追上？ 若追不上，求两者间的最小距离为多少？
答案：（1）追不上
追及和相遇问题
例1. 在交通十字路口，当绿灯亮时， 一小汽车以a =1m/s2匀加速启动，恰有 一自行车以v =6m/s的速度从汽车边匀 速驶过。 （1）汽车从开动后到追上自行车之前， 要经过多长时间两者相距最远？此时最远 距离为多少？ （2）什么时候追上自行车，此时汽车 的速度为多大？
（2）7m
交通安全
例题2. 客车以速度v1匀速行驶，司机发现前 方同一轨道上相距x0处有另一列货车沿同方向以 速度v2（对地，且v1 > v2）做匀速行驶。客车司 机立即以加速度a (表示大小)紧急刹车。要使两 车不相撞，a 应满足什么条件？ 解析：客车刹车后虽做匀减速运动，但在其速 度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减 小；当客车速度减小至小于货车速度，两车距离 将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距 离最近。若这时客车追上货车，这正是两车恰不 相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不 相撞的最小加速度a 0。
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知识要点：1、相遇是指两物体分别从相距S 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S.2、追及是指两物体同向运动而达到同一位置。
（1）、匀减速物体追及同向匀速物体时，恰能追上或恰好追不上的临界条件为：即将靠近时，追及者速度等于被追及者的速度；（2）初速度为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速直线运动的物体时，追上之前距离最大的条件：为两者速度相等【例1】、甲乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲以6m/s 的速度做匀速直线运动，乙做初速度为为零，加速度为2m/s 2的匀加速直线运动。
二者何时距离最大？最大距离是多少？[解析]开始一段时间内，甲快乙慢，甲在前，二者距离变大，甲的速度v 甲=6m/s,乙的加速度a 乙=2m/s 2，当乙的速度达到6m/s 时，二者距离最大,由速度公式 v =at 得t =v 甲/a =6/2s=3s在这3s 内，甲的位移s 甲=v 甲t =6×3m=18m ， 乙的位移s 乙=at 2/2=2×32/2m=9m ，二者的最大距离△s =s 甲-s 乙=18m-9m=9m【例2】、甲乙两物体在同一条直线上沿同一方向运动，甲以6m/s 的速度做匀速直线运动，从计时时起，乙在甲后7m 处做初速度为为零，加速度为2m/s 2的匀加速直线运动，乙能否追上甲？[解析]乙的速度达到6m/s 时所用的时间为2632v t s s a ===，在这3s 的时间内，甲的位移s 甲=v 甲t =6×3m=18m ，乙的位移s 乙=221123922at m m ==⨯⨯= 由于s 乙+s 0=（9+7）m=16m ＜s 甲=18m ， 因此追不上。
[规律小结]两物体沿同一方向作直线运动，若前快后慢，两物体间距离变大，s 甲s 乙△ss 0=7ms 甲s 乙△s速度相等时两物体间距离最大；若后快前慢，两物体间距离变小，如果追不上，速度相等时两物体间距离最小。
【例3】、甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。
在描述两车运动的v －t 图中（如图），直线a 、b 分别描述了甲乙两车在0－20s 的运动情况。
关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是A ．在0－10 s 内两车逐渐靠近B ．在10－20 s 内两车逐渐远离C ．在5－15 s 内两车的位移相等D ．在t ＝10 s 时两车在公路上相遇[解析]由v-t 图象可知，0~10s 内，v 乙＞v 甲，两车逐渐远离；10s~20s 内，v 乙＜v 甲，两车逐渐靠近，故A 、B 均错。
v -t 图线与时间轴所围的面积表示位移，5s~15s 内，两图线与t 时间轴包围的面积相等，故两车的位移相等。
C 对。
t =20s 时，两车的位移相等，说明两车相遇，故D 措。
[规律小结]在v -t 图线中，图线与时间轴所围的面积表示位移的大小，两物体沿同一方向作直线运动，若同时同地出发，v -t 图线与t 时间轴包围的面积相等时两物体相遇。
【例4】、当汽车B 在汽车A 前方7m 时，A 正以v A =4m/s 的速度向右做匀速直线运动，而汽车B 此时速度v B =10m/s ，向右做匀减速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2.此时开始计时，则A 追上B 需要的时间是多少？[解析]设B 车运动的时间为t 0,则01052B v t s s a === 在5s 内，B 车的位移01052522B B v t s m m ⨯=== A 车的位移s A =v A t 0=4×5m=20m设A 车需要再经t 1追上B 车，根据两车的位移关系，有01B A A s s s v t +-=vAt=vBt-at2/2+s 0+25-20)/4=3s 017252034B A A s s s t s s v +-+-===A 追上B 需要的时间 t 0+t 1=(5+3)s=8s[规律小结]分析追及、相遇问题时，一定要认真分析两个物体的时间关系和位移关系。
时间关系是两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位51010 15 205t /sv /(m/s)b (乙)a (甲)s 0=7ms Bs Av A t 1移关系是解题的突破口。
在v-t 图线中，图线的交点表示在某一时刻物体的速度相等，并不表示两物体相遇，例3中有的同学极易认为在10s 末两物体相遇。
若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。
例4中若认为汽车B 一直做匀减速运动，就会列出表达式2012A B v t v t at s =-+，得出t=7s 的错误结论。
【小结】追及问题（同向运动）以车子为例，两车行驶在双车道公路上。
匀速追匀加速 1、（同位置同时出发）问：1、开始一段时间内，两车距离如何变？2、什么情况下，两车相距最远？t=？?max =∆S 方法：运动规律公式法、图像法3、当t=？时，车1追上车2？此时车1速度？S=？2、变形一：（同位置不同时出发）车2先出发，t=1S 后车1出发。
问：1、开始一段时间内，两车距离如何变？2、什么情况下，两车相距最远？t=？?max =∆S3、当t=？，车1追上车2？此时车1速度？S=？ [思考]：如果是车1先出发，t=1S 后车2出发呢？3、变形二：（同时不同位置出发）问：1、开始一段时间内，两车距离如何变？2、x S 满足什么条件时，车2追不上车1？3、若m S x 6=，则何时两车相距最近？相遇时车2的位移？匀速追匀减速（同时同位置出发）问：1、开始一段时间内，两车距离如何变？2、什么情况下，两车相距最远？t=？?max =∆S3、当t=？，车2追上车1。
此时车1位移？ （问：此时，车1速度？）跟踪练习：1、a 、b 两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是A ．a 、b 加速时，物体a 的加速度大于物体b 的加速度B ．20秒时，a 、b 两物体相距最远C ．60秒时，物体a 在物体b 的前方D ．40秒时，a 、b 两物体速度相等，相距200m2、两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶。
t =0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。
它们在四次比赛中的v-t 图如下图所示。
哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）3、一辆摩托车行使的最大速度为108km/h 。
现让摩托车从静止出发，要求在4min 内追上前方相距1km,、正以25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车。
则该摩托车行使时，至少应有多大的加速度？4、甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。
为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。
在某次练习中，甲在接力区前s 0＝13.5m 处作了标记，并以v ＝9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。
乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棱。
已知接力区的长度为L ＝20m求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a 。
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
A B C D t /s t /s t /s t/s v /m ·s -1 v /m ·s -1 v /m ·s -1v /m ·s -1 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 5 10 5 10 510 5 10 bb aab a b a参考答案：1、[解析]a 、b 两物体从同一位置沿同一直线运动，从图像看，速度均为正值，加速时，加速时，加速度也为正值，且同向运动。
因ab 加速时， a 的加速度a 1=（v 1-v 0）/t =(40-10)/20m/s 2=1.5 m/s 2b 的加速度a 2=v 1/t =(40-0)/(40-20)m/s 2=2.0 m/s 2故A 错误。
t =20s 时，v a =40m/s, v b =0,a 在b 前，距离继续增大，当t =40s 时，v a = v b ，a 与b 距离最大，此时，s a =(v 0+v a )t 1+v a t 2=(10+40)20/2+40×20m=1300m s b =(v 0+v b )t 3=(0+40)×20/2m=400m.故a 、b 间最大距离△s max = s a - s b =900m,所以BD 错误。
t =60s 时，s a =(10+40)20/2+40×40m=2100ms b =at 2/2=2×402/2.m=1600m,故t=60s 时，a 仍在b 前方，所以C 正确。
[答案]C2、[解析]在v -t 图线中，图线与时间轴所围的面积表示位移的大小，A 图中，t =20s 时，两车位移大小相等，即b 车追上了a 车；B 图中b 车的速度始终比a 车速度大，即a 车不可能追上b 车；C 图中t =20s 时两车位移相等，即b 车能追上a 车；D 图中从图像可以看出，两车速度相等时，始终是b 车位移大，故a 车不可能追上b 车。
[答案]AC3、[解析]若摩托车在追赶过程中一直做匀加速直线运动，则有v 汽t +s 0=vt /2 代入数值解得追上时摩托车的速度v =58m/s这个速度大于摩托车行使的最大速度，因此摩托车应先加速，再匀速追赶。
设摩托车在t =4min 内恰好追上汽车且加速阶段的时间为t 1,由位移关系可得v 汽t +s 0=v m t 1/2+v(t - t 1)其中v m =108km/h=30m/s 代入数值解得t 1=40/3s 由v m =at 1代入数值解得a =2.25m/s 2因此，摩托车行使时至少应有2.25m/s 2的加速度。
[答案]2.25m/s 24、[解析]（1）设经过时间t ，甲追上乙，则根据题意有vt －vt /2＝13.5m 将v ＝9m/s 代入得到：t ＝3s , 又 v ＝at 解得：a ＝3m/s 2（2）在追上乙的时候，乙走的距离为s ,则：s ＝at 2/2代入数据得到s ＝13.5m 所以乙离接力区末端的距离为∆s ＝20m －13.5m ＝6.5m [答案]13.5m ，6.5m一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A 、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 在前，速度为v A ＝10m/s ，B 在后，速度为v B ＝30m/s ，因大雾能见度低，B 车在距A 车500m 时，才发现前方有A 车，这时B 车立即刹车，但要经过1800mB 车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。