专题4 等比数列-2018年北京高考理科数学分析及相似模拟题训练Word版含解析

专题4 等比数列-2018年北京高考理科数学分析及相似模拟题训练【母题原题】【2018北京理4】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A B C．D．【答案】D【名师点睛】此题以数学文化为载体考查等比数列的基本概念及运用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列，然后运用通项公式求特定项，需要一定的运算能力；等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 【变式1】【2017课标II理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：()71238112x⨯-=-，解得3x=，即塔的顶层共有灯3盏，故选B 。

【名师点睛】以数学文化为载体考查等比数列的应用，关键是合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。

【变式2】【2017课标3理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________. 【答案】8-【解析】设等比数列的公比为q ，很明显1q ≠- ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由 ②① 可得：2q =- ，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得：3418a a q ==- .【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 【变式3】【2018年理新课标I 卷】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.【命题意图】高考对本部分内容的考查以中档题为主，重点为考查等比数列的通项公式、前n 项和公式及性质，等比数列的证明也是考查的热点。

在近年数列的考题中常常与数学文化相结合。

数列作为一种特殊的函数，常常与方程、不等式、最值等问题相联系，意在考查考生的抽象能力、运算能力、逻辑推理能力及应用意识。

【命题规律】这类试题在考查题型上，通常以选择题、填空题及解答题的形式出现，属于中档题。

高考对等比的考查主要有以下三个命题角度：（1）等比数列的基本运算；（2）等比数列的性质及其应用；（3）等比数列的判定与证明；【答题模板】解答本类题目，一般有两个基本思路：一是利用基本量，由等数比列的前n项和公式及通项公式；若已知a1，d，n，a n，S n中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【知识与方法总结】1.等比数列2.易错辨析（1）由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数；（2）由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0；（3）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1≠q 分类讨论，防止因忽略1q =这一特殊情形导致解题失误．1.【2018北京模拟】设数列{}n a 满足()132n n a a n -=≥，且13a =，则20a =（ ） A. 173 B. 183 C. 193 D. 203 【答案】D【解析】 由()132n n a a n -=≥，可得数列{}n a 是以3为首项， 3为公比的等比数列， 所以191920201333a a q ==⋅=，故选D.2.【2018东城一模理】已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 【答案】C3.【2016高考北京】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.4．【2018大连模拟】在等比数列{}n a 中， 1a 和2018a 是方程2220180x x +-=的两个根，则42015a a ⋅=（ ）A . 2018-B . 2018C . 1009D . 1009-【答案】D【解析】1a 和2018a 是方程2220180x x +-=的两个根，根据韦达定理得120181009a a ⋅=-， 在等比数列{}n a 中， 42015a a ⋅= 120181009a a ⋅=-，故选D5.【2018兰州模拟】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A.－2或1B.－1或2C.－2D.1【答案】C6.【2018莆田一中模拟】某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每一年比上一年增长%10，这5年的最后 一年产值为（ ）A ．a ∙41.1B ．a ∙51.1C ．a ∙61.1 D ．a ∙+)1.11(5【答案】 B【解析】由题得第一年的产值为1 1.1a a =，所以5145511.1 1.1 1.1 1.1a a a a -=⋅=⋅=⋅，故选择B .7.【2018北京大兴模拟】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．8.【2018成都七中模拟】一个等比数列{a n }的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项 【答案】B9．【2018北京市东城区高三期末】已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是( )A ．1322a a a +…B ．2221322a a a +… C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a > 【答案】B【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…． 10.【2018衡水金卷】已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是( ) A.52 B.12 C ．2 D.32【答案】D 【解析】由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq ，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有a q ＋a ＞aq ，即q 2－q －1＜0(q ＞1)，解得1＜q ＜1＋52，所以q 的一个可能值是32，故选D 。

11.【2018江西南昌模拟】在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由于{a n ＋1}也是等比数列，所以（a 2＋1）2＝（a 1＋1）（a 3＋1）， 即a 22＋2a 2＋1＝a 1a 3＋a 1＋a 3＋1，即2a 2＝a 1＋a 3，即2q ＝1＋q 2，解得q ＝1， 所以数列{a n }是常数数列，所以S n ＝2n.12．【安徽省蒙城县2018届高三“五校”联考】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158【答案】C13.【2018北京模拟】若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n 项和n S = ．【答案】12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--14.【2017北京高考】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____． 【答案】1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 15.【2018广州模拟】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．【答案】50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=50．16．【2018大连模拟】设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ． 【答案】15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15．17．【2018武汉模拟】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比 ． 【答案】2【解析】设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m ）1－q＝q m ＋1＝9，∴q m＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.18.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．【答案】6419．【2018合肥模拟】在各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值是__________。