河北省衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试题(图片版)
河北省衡水市高二下学期期中数学试卷(理科)
河北省衡水市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据，将其整理后得到如上的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是（）A .B .C .D .2. （2分）已知，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）A . 11个B . 12个C . 15个D . 16个3. （2分） (2016高二上·水富期中) 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样4. （2分）设f（x）=x2﹣2x﹣3（x∈R），则在区间[﹣π，π]上随机取一个实数x，使f（x）＜0的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log （x+ ）≤1”发生的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）由一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），得到回归直线方程 =bx+a，那么下面说法不正确的是（）A . 直线 =bx+a至少经过（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）中的一个点B . 直线 =bx+a必经过（）C . 直线 =bx+a的斜率为D . 直线 =bx+a的纵截距为﹣b7. （2分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）已知总体容量为101，若用随机数表法抽取一个容量为20的样本，下面对总体中的个体编号正确的是（）A . 1，2，3，…，100，101B . 0，1，2，…，100C . 01，O2，03．…，100，101D . 001，002，…，100，1019. （2分） (2016高二下·宁波期末) 把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（）A . 12种B . 30种C . 96种D . 144种10. （2分）(2017·浙江) 已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi ， P（ξi=0）=1﹣pi ， i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A . E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B . E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C . E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D . E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）11. （2分）如果随机变量§~N（—2，），且P（—3≤§≤—1）=0.4，则P（§≥—1）=（）A . 0.7B . 0.6C . 0.3D . 0.212. （2分）已知数列对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq ，且a2＝－6，那么a10＝（）A . －165B . －33C . －30D . －21二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·海南期末) 设p为非负实数，随机变量ξ的分布列为：ξ012P﹣p p则D（ξ）的最大值为________．14. （1分）小明在微信中给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额度，每份至少1分），若这三个红包被甲、乙、丙三人抢到，则甲抢到5分钱的概率为________．15. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种．16. （1分） (2018·保定模拟) 甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是________三、 解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·沙市模拟) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．（1） 请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．18. （15分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如图所示的统计图，根据统计图：（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？（2）甲网站点击量在[10，50]间的频率是多少？（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．19. （10分） (2017高二下·夏县期末) 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求的值；（2）求展开式中系数最大的项．20. （5分）(2018·凯里模拟) 某地有一企业2007年建厂并开始投资生产，年份代号为7，2008年年份代号为8，依次类推.经连续统计9年的收入情况如下表（经数据分析可用线性回归模型拟合与的关系）：年份代号（）789101112131415当年收入（千万元）131418202122242829（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）试预测2020年该企业的收入.（参考公式：，）21. （10分）(2020·甘肃模拟) 2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求的分布列及数学期望.22. （10分）(2018·榆社模拟) 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
数学理卷·2018届河北省衡水中学高二下学期三调考试
2016—2017学年度第二学期高二年级三调考试数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C 与直线l的极坐标方程分别为6cos ,sin()4πρθρθ=+=则圆心C 到直线l 的距离是（ ）A ．4B ．2 C2.参数方程sin cos 22(x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数）的普通方程为（ ）A ．221y x -=B ．221x y -= C．221(1y x y -=≤≤ D．221(x y x -=≤3.函数y = ） A．5 C ．7 D ．11 4. 设0,1a b >>，若2a b +=，则311a b +-的最小值为（ ） A．4+．8 C．．5.已知1ln x a x x -≤+对任意1[,2]2x ∈恒成立，则a 的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ．(0,2)7.函数()2(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的且切线斜率2，则8a bab+的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．8 D．8.正三棱柱体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为 （ ）A．9. 设a R ∈，若函数3,ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-10.已知曲线21:(0,0)C y tx y t =>>在点4(,2)M t处的切线12:1x C y e +=+与曲线也相切，则t 的值为 （ ）A ．4eB ．24e C ．24e D ．4e11. 若函数()f x 对任意x R ∈的都有()()f x f x '>恒成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln 3)f f > B ．3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln 3)f f <D ．3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定12. 已知函数()2ln ()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是（ ）A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．(,3)-∞ D．(-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()48,f x ax ax a R =--+∈，若()f x k ≤恒成，求k 的取值范围 ． 14.当正数,a b ，满足416532a b a b+=++时，则47a b +的最小值 ． 15.已知函数()11f x x a x =+--，若()3f x a x ≤+，则a 的最小值 ． 16.定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()21f x '<，当[0,2]x π∈时，不等式21(2cos )2cos 22x f x <-的解集为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线cos :(sin x m t l y t ααα=+⎧⎨=⎩为参数）经过椭圆2cos :(x C y ϕϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的左焦点F .（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的最大值和最小值. 18.已知函数()21f x x a x =-+-.（1）当3a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≥-对x R ∀∈恒成，求实数a 的取值范围.19.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为24(cos sin )3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系 （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标；（3）已知112:(2x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），若版曲线1C 上各点恒坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值.20.已知关于x 的不等式：21x m -≤的整数解有且仅有一个值为2. （1）求整数m 的值；（2）已知,,a b c R ∈，若444444a b c m ++=，求222a b c ++的最大值； （3）函数()2f x x a a =-+，若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤， 且存在实数n 使()()f n m f n ≤-- 成立，求实数m 的取值范围.21.已知函数()2(sin 2)xf x e x ax a e =-+-，其中, 2.71828a R e ∈= 为自然对数的底数.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a ≤≤时，求证：对任意的()[0,),0x f x ∈+∞<. 22.已知函数()22ln (0,1)f x a x x a a a =+->≠. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 满足：①对任意的1212,,m m m m ≠，当12()()f m f m =时，有120m m +<成立； ②对[]12,1,1x x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBAA 6-10: CBCBB 11、C 12：B二、填空题13. [12,)+∞ 14.32 15. 1216.5[0,)(,2]33πππ 三、解答题17.解：（1）将椭圆C 的参数化为普通方程，得22143x y +=，2,1a b c ===则点F 坐标为(1,0)-，l 是经过点(,0)m 的直线，故1m =-.（2）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得2(3cos24sin 2)6cos 90t t ααα+--=，设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ， 则12993cos 24sin 23sin 2FA FB t t ααα⋅=⋅==++，当sin 0α=时，取FA FB ⋅最大值3； 当sin 1α=±时，取FA FB ⋅最小值94. 18.解：（1）当3a =时，即求解2312x x -+-≥，①当32x ≥时，23122x x x -+-≥⇒≥； ②当312x <<时，32120x x x -+-≥⇒≤；③当1x ≤时，223123x x x -+-≥⇒≤，综上，解集为2{|3x x ≤或2}x ≥.（2）由题意得，即251x a x x -≥---恒成立， 令()62,1514,1x x g x x x x -≥⎧=---=⎨<⎩，由函数的图象可知，32a≥，所以6a ≥.19.解：（1）因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以224430x y x y +--+=， 即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程，所以所求圆C的参数方程为2(2x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数）. （2）设2x y t +=，得2x t y =-代入224430x y x y +--+= 整理得2254(1)430y t y t t +-+-+=，则关于y 的方程必有实数根， 所以2216(1)20(43)0t t t ∆=---+≥，化简得212110t t -+≤， 解得111t ≤≤，即2x y +的最大值为11，将11t =代入方程，得28160y y -+=，解得4y =，代入211x y +=得3x =，故2x y +的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4).（3）2C的参数方程为1cos 2(x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），故点P的坐标是1(cos ,)22θθ， 从而点P 到直线l的距离是)2]44d πθ==-+， 由此当sin()14πθ-=-时，d取得最小值，且最小值为1)4. 20.解：（1）由21x m -≤，得1122m m x -+≤≤，所以不等式的整数解为2，所以113522m m x m -+≤≤⇒≤≤， 又不等式仅有一个整数解2，所以4m =. （2）显然4444441a b c ++=， 由柯西不等式可知：()2222222222222(111)[()()()]a b ca b c ++=++++，所以222()3a b c ++≤，即222a b c ++≤222a b c ===取等号，最大（3）有（1）知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则124,211()212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，所以()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4,)+∞.21.解（1）当0a =时，()(sin ),xf x e x e x R =-∈，则()(sin cos ))]4xxf x e x x e e x e π'=+-=+-，因为当x R ∈时，所以()f x 在R 上为减函数.（2）设()()2sin 2,[0,),cos 2g x x ax a e x g x x ax '=-+-∈+∞=-，令()()cos 2,[0,)h x g x x ax x '==-∈+∞，则()sin 2h x x a '=--， 当112a ≤≤时，[0,)x ∈+∞，有()0h x '≤， 所以()h x 在[0,)x ∈+∞上是减函数，即()g x '在[0,)x ∈+∞上是减函数，又因为()010g '=>，2()0422axg ππ'=≤<，所以()g x '存在唯一的，使得，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间0(0,)x 单调递增，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在区间上单调递减，因此在区间[0,)+∞上()2000max ()sin 2g x g x x ax a e ==-+-，因为00cos 20x ax -=，所以001cos 2x x a=，将其代入上式得， ()220000max111sin cos 2sin sin 2444g x x x a e x x a e a a a=-+-=+-+-，令0sin t x =，0(0,)4x π∈，则(0,)2t ∈，即有211()2,(0,)442p t t t a e t a a =+-+-∈，因为()p t 的对称轴20t a =-<，所以函数()p t 在区间(0,2上是增函数，且112a ≤≤，所以1151()20,(1)882p t p a e e a a <=+-<+-<≤≤， 即任意()[0,),0x g x ∈+∞<，所以()()0x f x e g x =<，因此任意()[0,),0x f x ∈+∞<. 22.解：（1）()ln 2ln (0,1)x f x a a x a a a '=+->≠ 令()ln 2ln x g x a a x a =+-，则()2l n 2xg xa a '=+，从而()g x 在(,)-∞+∞上单调递增， 即()f x '在(,)-∞+∞内单调递增，又()00f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）①由（1），当1212,,m m m m ≠时，12,m m 必异号，不妨设120,0m m ><， 我们先证明一个结论，当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立； 当01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立. 事实上，()22()ln ln 2ln 0xxx x f x f x a x x a ax x a a a x a -->-⇒+->++⇔-->构造函数，()()2ln ln ln 2ln ln (2)x x x x x x t x a a x x t x a x a a a a a a ---=--⇒=+-=+-，220x x a a -+-≥=（当且仅当0x =时等号成立），又()00t =， 当01a <<时，()0t x '≤，所以()t x 在(0,)+∞上是单调递减，()()00t x t <=，此时对任意的0x >有()()f x f x <-成立；当1a >时，()t x 在(0,)+∞上是单调递增，()()00t x t >=， 此时对任意的0x >有()()f x f x >-成立；当1a >时，211()()()f m f m f m =>-，由于()f x 在上单调递减， 所以21m m <-，即120m m +<，同理01a <<，120m m +<， 所以当21()()f m f m =时，当且仅当1a >时，有120m m +<.②当1a >时，由（1）可得()()()()min max []01,[]max{1,(1)}f x f f x f f ===-， 又()()1111(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=+--++=--， 构造函数()()222112(1)2ln ,(1,)10a h a a a a h a a a a a -'=--∈+∞⇒=+-=≥， 所以()h a 在[1,)+∞单调递增，又()10h =，所以，当1a >时，()0h a >，即()()11f f >-， 所以()()max []11ln f x f a a ==+-，因为[]12,1,1x x ∀∈-，()()12max min ()()ln f x f x f x f x a a -≤-=-， 若要题设中不等式恒成立，只需ln 1a a e -≤-成立即可， 构造函数()()11ln 1,(1,)10a a a a e a a a aϕϕ-=---∈+∞⇒=-=>所以()a ϕ在(1,)+∞上递增，又()0e ϕ=，所以由()0a ϕ≤得a e ≤.。
河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷(理科) Word版含解析
河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评： 本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），当x ∈[0，2）时，f（x ）=﹣2x 2+4x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n =（）A ．B ．C ．D ．考点： 数列与函数的综合． 专题： 综合题．分析： 根据定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），可得f （x+2）=f （x ），从而f （x+2n ）=f （x ），利用当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ，可求（x ）在[2n ﹣2，2n ）上的解析式，从而可得f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n ，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n }的前n 项和为S n ．解答： 解：∵定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2）， ∴f （x+2）=f （x ）， ∴f （x+4）=f （x+2）=f （x ），f （x+6）=f （x+4）=f （x ），…f （x+2n ）=f （x ）设x ∈[2n ﹣2，2n ），则x ﹣（2n ﹣2）∈[0，2）∵当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ．∴f[x ﹣（2n ﹣2）]=﹣2[（x ﹣（2n ﹣2）]2+4[x ﹣（2n ﹣2）]． ∴=﹣2（x ﹣2n+1）2+2∴f （x ）=21﹣n[﹣2（x ﹣2n+1）2+2]，x ∈[2n ﹣2，2n ），∴x=2n ﹣1时，f （x ）的最大值为22﹣n∴a n =22﹣n∴{a n }表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n }的前n 项和为S n ==故选B ．点评： 本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x 2项的系数为135．考点： 定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2017-2018学年高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h （x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。
2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年河北衡水中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B ．点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 2．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法． 其中正确的表述有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．【考点】综合法和分析法的特征. 3．设复数满足（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为，故选D.4．用反证法证明命题则s i n0c o s 0θθ≥≥且”时，下列假设的结论正确的是（ ）A ．sin 0cos 0θθ≥≥或B ．sin 0cos 0θθ<<或C ．sin 0cos 0θθ<<且D ．sin 0cos 0θθ>>且【答案】B【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设sin 0cos 0θθ<<或成立 【考点】反证法5．方程22{2+2t tt tx y --=-=（t 为参数）表示的曲线是( ) A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线的下支 D. 圆 【答案】B【解析】由题意得，方程22222222222{{2+22+22t t t t t t t tx x y y ----=-=+-⇒==+ ，两式相减，可得224y x -=，由2+22t t y -=≥=，所以曲线的方程为()221,244y x y -=≥，表示双曲线的上支，故选B. 【考点】曲线的参数方程.6．若，，，则，，的大小关系是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A ．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（ ）A. 7B. 8C. 11D. 15 【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C. 【考点】归纳推理.8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论． 详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B ．点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用． 9．设函数()()()sin cos 04xf x ex x x π=-≤≤，则函数()f x 的所有极大值之和为A. e πB. 2e e ππ+C. 3e e ππ-D. 3e e ππ+【答案】D 【解析】∵函数()()si n c o s x fx exx =- ，∴()()()()''sin cos sin cos '2sin x x x f x e x x e x x e x =-+-= ，∵()22x k k πππ∈+， 时， ()()'0222f x x k k ππππ>∈++，， 时， ()'0f x < ，∴()22x k k πππ∈+，时原函数递增， ()222x k k ππππ∈++， 时，函数()()sin cos xf x e x x =- 递减，故当2x k ππ=+ 时，()f x 取极大值，其极大值为()()()22sin 2cos 2k f k e k k ππππππππ+⎡⎤+=+-+⎣⎦()()2201k k e e ππππ++=⨯--= ，又04x π≤≤ ，∴函数()f x 的各极大值之和3S e eππ=+ ．故选D ． 10．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．详解：由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B ．点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．11．已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A. B. ， C. D. ，【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12．已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解．详解：设，则，令，得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值，由方程，可得或，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．二、填空题13．复数（为虚数单位）的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．详解：由题意，复数，所以复数的虚部为．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14．在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．【考点】逻辑推理．16．已知实数，满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．三、解答题17．设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．18．已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），，.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．详解：（1）将，，分别代入，可得，，.猜想.（2）①由（1），得时，命题成立；②假设时，命题成立，即，那么当时，，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据①②，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为{1x a y =+=（t为参数， a R ∈），以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值. 【答案】(1) 10x y a --+=， 24y x =；(2) 136a =或94. 【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线1C 参数方程化为普通方程，利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线2C 化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线参数方程转化为2{1x a y =+=+（t 为参数， a R ∈），再根据直线参数方程几何意义由2PA PB =得122t t =，最后将直线参数方程代入2C 化为直角坐标方程，利用韦达定理得关于a 的方程，解得a 的值. 试题解析: （Ⅰ）曲线1C参数方程为{1x a y =+=+,∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t ，联解24{ 1y xx a y ==+=得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则(()242140a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212{142t t a t t +=-⋅=根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =-∴当122t t =时，有212221231{0143622t t t a a t t t +==⇒=>-⋅==，符合题意． 当122t t =-时，有21222129{014422t t t a a t t t +=-=⇒=>-⋅=-=，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136a =或94． 20．（本小题满分12分） 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)； （Ⅱ）该校2017年6月7、8日将作为高考考场，若这两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这两天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）110（Ⅱ）9000EX =【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为()0.10.23650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）． （Ⅱ）由题可知， X 的所有可能取值为： 0， 10000， 20000， 30000， 40000，50000， 60000，则： ()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()213142410000105125P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭ ()22213314141082720000105105500125P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()311321114493000010101051000P X C C ⎛⎫==+⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ ()2222331114274000010101051000P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2231135000010101000P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭ ()31160000101000P X ⎛⎫===⎪⎝⎭．64482749273101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 9000=（元）． 21．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线 交于点,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：(1)由已知可得的焦点坐标为，设，则，解得，所以，由点在椭圆上，得，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，由，得，则，，当时，直线的方程为，由，得.即，所以，所以，设，则，则，由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故的取值范围是.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。
河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二6月调研考试数学(理)试题(含精品解析)
2017-2018学年第二学期6月调研考试卷高二理科数学试题注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卷上,写在其它地方无效.第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.1.若，，则等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件概率公式可得：故答案选2. 三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A. 25B. 26C. 36D. 37【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
考点：本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用。
点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解。
视频3.3.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于( )A. 180B. －180C. 45D. －45【答案】A【解析】根据二项式定理知，故选A.4.4.若复数满足，其中为虚数单位，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算计算即可.【详解】故选B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属基础题.5.5.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到的值．【详解】根据所给的三对数据，得到∴这组数据的样本中心点是∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，属基础题．6.6.设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由于二项分布的数学期望,所以二项分布的方差，应填选答案C。
2018年河北省衡水中学高三2017～2018学年度第二学期第7周周考理科数学试题及参考答案
f
x 1 x 1 f
x 2 1 的解集为__________.
19、 ． 如图， 在四棱锥 A EFCB 中， 平面 AEF 平面 EFCB ， EF BC ， AEF 为等边三角形，
16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 面积为 S， 则“三斜求积”公式为 S
C. , 8
）
பைடு நூலகம்
3 1 2 4．下列函数： y ， y x ， y x 3 ， y 在 0, 上是增函数且为偶函数的 x 2
有（ A. 1 个 ） B. 2 个 C. 3 个 在点 D. 4 个 处的切线的倾斜角为 ，则 ( )
B.
3．已知命题 p ：“对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x ”，则命题 p 的否定是（ A. 对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x C. 对任意 x 0 ，都有 ln x 1 x
x
B. 存在 x0 0 ，使得 ln x0 1 x0 D. 存在 x0 0 ，使得 ln x0 1 x0
2 3 e4 3
B.
3 3 e4 2
C.
4 2 e3 3
D.
3 2 e3 4
A.
B.
C.
D. ）
二、填空题 13．已知函数 y f x 的定义域为 , a b, （其中 a b ） ，则“ y f x 在 , a 和
7．若向量 a , b 的夹角为 A.
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要条件”）
2017-2018学年衡水中学高二下期末考试复习卷数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年衡水中学高二下期末考试复习卷数学(理）试题（解析版）一、单选题1．已知集合()2{|log 12}A x x =-<，{|6}B x a x =<<，且{|2}A B x x b ⋂=<<，则a b +=（ ）A. 5B. 6C. 7D. 4 【答案】C【解析】()2{|log 12}A x x =-<()={|014}1,5x x <-<=, 因为{|2}A B x x b ⋂=<<，所以2,57a b a b ==∴+= ，选C.2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A. 163 B. 203 C.4 D. 7 【答案】B【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知该几何体是正方体去两个相同的三棱锥（虚线表示的部分），因为正方体的体积是V =2×2×2=8，每个小的三棱锥的体积V 1=13×12×2×2×1=23，则三视图所代表的几何体的体积V 2=8−2×23=203，应选答案A 。
所以函数f (x )=e xx在x =1处取最小值f min (x )=e ，结合函数的图像可知当2a >e 且a <e ，即e2<a <e 时，方程f 2(x )+2a 2=3a |f (x )|有且仅有四个实数根，应选答案B 。
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（ ）A. {}2345，，，B. {}123456，，，，，C. {}12345，，，，D.{}23456，，，， 【答案】A【解析】循环依次为()23135,2233131a a a a +≤⇒≤++>⇒> ，所以可能取值的集合是{}2345，，，，选A. 4．若cos2sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值为（ ）A. -B. 12-C. 12D. 【答案】C【解析】cos22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭221sin cos 22αα⇒=-⇒+= ，选C.5．已知向量a =(2 ， 3)，b =(−1 ， 2)，若ma +n b 与a −2b 共线，则mn 等于（ ）A. −12 B. 12 C. −2 D. 2 【答案】A【解析】试题分析：若ma+n b 与2a −b 共线,则ma +n b =λ(2a −b )∴mn=2λ−λ=−2【考点】向量共线的判定6．已知函数()sin f x x x ωω=（0ω>）的图像的相邻两对称轴间的距离为2π，则当02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为（ ）A.B. 1C.D. 1-【答案】A【解析】()sin f x x x ωω=π2sin 3x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以2ππ,222T T Tπω=⇒===当02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π4πππ2,sin 23333x x ⎡⎡⎤⎛⎫-∈--∴-∈-⎢ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()f x ⎡∈-⎣，()f x A.点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.7．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题①α∥βα∥γ ⇒β∥γ；②α⊥βm ∥α ⇒m ⊥β；③m ⊥αm ∥β ⇒α⊥β；④m ∥nm ⊂α⇒m ∥α.其中正确的命题是（ ）A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④ 【答案】B【解析】①利用平面与平面平行的性质定理可知：α∥β，a ∥γ，则β∥γ，故①正确；②α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，也可能相交，故②错误；③m ∥β⇒∃n ⊂β，且m ∥n ，因为m ⊥α，所以n ⊥α，所以α⊥β，故③正确；④m ∥n ，n ⊂α⇒m ∥α或m ⊂α，故④错误． 综上所述，真命题是：①③．故选B ．8．设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin sin A C B -=，cos cos cos A C B +=，则B A -等于（ ）A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．3π或3π-【答案】A【解析】试题分析：sin sin sin A C B -= ，cos cos cos A C B +=sin sin sin A B C ∴-=，cos cos cos B A C -=,两式平方相加得()()122cos cos sin sin 1cos 2A B A B B A -+=∴-=，cos cos cos 0B AC -=>B A ∴<3B A π∴-=-【考点】三角函数化简求值点评：求角的大小通常先求角的某一三角函数值，结合角的范围求其值9．已知f ′(x )为f (x )的导函数，若f (x )=ln x2，且b1x b1d x =2f ′(a )+12b −1，则a +b 的最小值为（ ）A. 4 2B. 2 2C. 92 D. 92+2 2 【答案】C【解析】试题分析：f ′(x )=2x ⋅12=1x ,1x b1d x =(−12x−2)|1b=−b 22+12,所以b1x d x =2f ′(a )+12b b1−1⇔−12b −1+12b =2a +12b −1，即2a +12b =1，所以a +b =(a +b )(2a+12b)=52+2ba+a2b≥52+22ba⋅a 2b=92，当且仅当2ba=a2b ，即a =2b 时等号成立，所以则a +b 的最小值为92.【考点】1.导数运算；2.定积分运算；3.基本不等式. 【名师点睛】本题考查导数运算、积分运算及基本不等式的应用，属中档题；导数与基本不等式是高考的重点与难点，本题将两者结全在一起，并与积分运算交汇，考查学生运算能力的同时，体现了学生综合应用数学知识的能力.10．已知函数()f x 是周期为2的函数，若[]01x ∈，时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭131132f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，52f ⎛⎫⎪⎝⎭1123111222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行11．若圆222x y r +=（0r >）上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是（ ）A. 01r <<B. 1r >C. 01r <<D.11r << 【答案】B【解析】圆心到直线20x y --== ，所以要有4个点到直线20x y --=的距离为1，需1r > ，选B.点睛：与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．12．已知函数247()1x x f x x ++=-+，217()ln 22g x x x =-+，实数a ，b 满足1a b <<-，若1[,]x a b ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．3【答案】D【解析】试题分析：因2'11(1)(1)()x x x g x x x x x-+-=-==，则01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <．所以max ()(1)3g x g ==，4()2(1)1f x x x =--+++，令1(0)t x t =+<，设4()2()h t t t=--+，作函数()y f t =的图像如图所示，由()3f t =得1t =-或4t =-，b a ∴-的最大值为3.故应选D.【考点】导数的知识与函数的图象等知识的综合运用.【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查函数的图像和基本性质的综合性问题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息:1[,]x a b ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞使得12()()f x g x =成立.本题解答的另一个特色就是数形结合思想的运用和转化化归的数学思想的运用.求解时是先运用导数求出了函数)(x g 的最大值max ()(1)3g x g ==.然后通过解方程()3f t =(1+=x t )求出1t =-或4t =-,最终求出a b -的最大值是3)4(1=---.本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许多数学思想和方法具体应用.二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1=33，a n +1−a n =2n ，则an n 的最小值为__________． 【答案】212【解析】∵数列{a n }满足a 1=33，a n+1﹣a n =2n ，∴当n≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（n ﹣1）+2（n ﹣2）+…+2×2+2×1+33=2×(n −1)·n2×33=n 2−n +33.上式对于n=1时也成立． ∴a n =n 2−n +33. ∴an n =n +33n−1，是一个对勾函数形式的表达式，(0, 33)减，( 33,+∞)增，故得到在 n =6.，代入得到最小值为212。
最新-【数学】河北省衡水中学2018学年高二下学期期末考试(理) 精品
衡水中学2018—2018学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车两次的概率为 （ ）A 、19B 、16C 、13D 、7182. 复数ii 21)2(2-+等于 （ ） A ．i 2 B ．i 2-C ．2D ．-23.=⎪⎭⎫⎝⎛+--+-→342231lim 221x xx xx （ ）A ．21-B ．21 C ．61-D ．614. 下列命题正确的是 （ ）A ．极大值比极小值大B ．极小值不一定比极大值小C ．极大值比极小值小D ．极小值不大于极大值5. 已知cx bxax x f ++=23)(，当1=x 时函数)(x f 有极大值4，当3=x 时函数)(x f 有极小值0，则 （ ）A ．x x x x f 96)(23++= B ．x x x x f 96)(23--= C ．x xxx f 96)(23+-= D ．x xxx f 96)(23-+=6.下列命题中：①若)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→=，则)()(00x g x f =；②若)(x f 在0x x =处无意义，则)(lim 0x f xx →不存在；③若)()(x g x f 在0x x =处连续，则)(x f 和)(x g 在xx =出连续；④设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=)0()0(11)(x a x xx x f 在0=x 处连续，则实数a 的值为21。
河北省衡水中学2017-2018学年高二下学期期中物理试卷 Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中物理试卷一、选择题1．下列叙述不正确的是（）A．一切物体都在辐射电磁波B．微观粒子的能量是量子化的C．当波长趋于零时，辐射可以无穷大D．黑体辐射与材料种类和表面状况无关2．入射光照到某金属表面上发生光电效应，若入射光的强度减弱，而频率保持不变，下列说法正确的是（）A．逸出的光电子的最大初动能减少B．逸出的光电子的最大初动能不变C．单位时间里从金属表面逸出的光电子数目减少D．不发生光电效应3．在光电效应实验中，小君同学用同一光电管在不同实验条件下得到了三条光电流与电压之间的关系曲线（甲光、乙光、丙光），如图所示．则可判断出（）A．甲光的频率大于乙光的频率B．甲光的照射功率大于乙光的照射功率C．乙光对应的截止频率大于丙光的截止频率D．甲光对应的光电子最大初动能小于丙光的光电子最大初动能4．下列关于力的冲量和动量的说法中，正确的是（）A．物体所受的合力为零，它的动量一定为零B．物体所受的合外力的做的功为零，它的动量变化一定为零C．物体所受的合外力的冲量为零，它的动量变化不一定为零D．物体所受的合外力不变，它的动量变化率不变5．一质量为m的铁锤，以速度v竖直打在木桩上，经过△t时间而停止，则在打击时间内，铁锤对木桩的平均冲力的大小是（）A．mg△t B．C．+mg D．﹣mg6．质量为m的物块以初速v0沿倾角为θ的粗糙斜面冲上斜面，滑到B点速度为零，然后滑下回到A点．关于物块所受的冲量，下述说法中正确的是（）A．重力的冲量方向始终竖直向下B．物块上滑过程和下滑过程受到摩擦力冲量等值反向C．无论上滑过程还是下滑过程，物块所受支持力的冲量始终为零D．物块从冲上斜面到返回斜面底端的整个过程中合外力的冲量总和小于2mv07．如图所示，足够长的传送带以恒定的速率v1逆时针运动，一质量为m的物块以大小为v2的初速度从传送带的P点冲上传送带，从此时起到物块再次回到P点的过程中，下列说法正确的是（）A．合力对物块的冲量大小一定为2mv2B．合力对物块的冲量大小一定为2mv1C．合力对物块的冲量大小可能为零D．合外力对物块做的功可能为零8．如图所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2=2m1．开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩的轻弹簧，烧断细绳后，两木块分别向左、右运动．若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数为μ1、μ2，且μ1=2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块（）A．动量大小之比为1：1 B．速度大小之比为2：1C．通过的路程之比为2：1 D．通过的路程之比为1：19．如图所示，一只内壁光滑的半球形碗固定在小车上，小车放在光滑水平面上．在小车正前边的碗边A处无初速度释放一只质量为m的小球．则小球沿碗内壁下滑的过程中，下列说法正确的是（半球形碗的半径为R）（）A．小球、碗和车组成的系统机械能守恒B．小球的最大速度度等于C．小球、碗和车组成的系统动量守恒D．小球不能运动到碗左侧的碗边B点10．质量为m a=1kg，m b=2kg的小球在光滑的水平面上发生碰撞，碰撞前后两球的位移﹣时间图象如图所示，则可知碰撞属于（）A．弹性碰撞B．非弹性碰撞C．完全非弹性碰撞D．条件不足，不能判断11．质量为m的木块和质量为M（M＞m）的铁块用细线连接刚好能在水中某个位置悬浮静止不动，此时木块至水面距离为h，铁块至水底的距离为H （两物体均可视为质点）．突然细线断裂，忽略两物体运动中受到水的阻力，只考虑重力及浮力，若M、m同时分别到达水面水底，以M、m为系统，那么以下说法正确的是（）A．该过程中系统动量不守恒B．该过程中M、m均作匀速直线运动C．同时到达水面水底时，两物体速度大小相等D．系统满足MH=mh12．如图所示，质量m1=3kg、长度L=0.24m的小车静止在光滑的水平面上，现有质量m2=2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5，最后恰好不掉下小车且与小车保持相对静止．在这一过程中，取g=10m/s2，下列说法正确的是（）A．系统最后共同运动的速度为1.2m/sB．小车获得的最大动能为0.96JC．系统损失的机械能为2.4JD．物块克服摩擦力做的功为4J13．如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h．今有一质量为m的小物块，沿光滑斜面下滑，当小物块从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是（）A．B．C．D．14．如图所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t=0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物块运动的速度v随时间t变化的图象可能正确的是（）A．B．C．D．15．两个小球在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，B球在前，A球在后，m A=1kg，m B=2kg，v A=6m/s，v B=3m/s，当A球与B球发生碰撞后，A、B两球速度可能为（）A．v A=4m/s，v B=4m/s B．v A=2m/s，v B=5m/sC．v A=﹣4m/s，v B=6m/s D．v A=7m/s，v B=2.5m/s二、非选择题16．某同学用图1所示装置来验证动量守恒定律，实验时先让a球从斜槽轨道上某固定点处由静止开始滚下，在水平地面上的记录纸上留下痕迹，重复10次；然后再把b球放在斜槽轨道末端的最右端附近静止，让a球仍从原固定点由静止开始滚下，和b球相碰后，两球分别落在记录纸的不同位置处，重复10次，回答下列问题：（1）在本实验中结合图1，验证动量守恒的验证式是下列选项中的．A．m a=m a+m bB．m a=m a+m bC．m a=m a+m b（2）经测定，m a=45.0g，m b=7.5g，请结合图2分析：碰撞前、后m a的动量分别为p1与p1′，则p1：p1′=（保留分式）．有同学认为，在该实验中仅更换两个小球的材质，其它条件不变，可以使被碰小球做平抛运动的水平距离增大．请你用已知的数据，分析和计算出被碰小球m b平抛运动水平距离的最大值为cm．17．用如图所示的装置验证碰撞中的动量守恒，图中MN是一个竖直放置的木板，木板上依次固定有白纸和复写纸，实验步骤如下：A、用天平测量小球A、B的质量分别为m1、m2；B、先不放小球B，让小球A从斜槽上某一位置由静止释放，撞到复写纸上的D点；C、在斜槽末端放置小球B，从B球球心等高处向竖直板作垂线BO，在白纸上描出O点位置；D、记小球A仍从槽面上同一位置由静止释放，碰撞后小球A、B分别撞到复写纸上的E、C两点；E、用刻度尺测量出OC、OD、OE的长度．（1）小球A、B质量关系为m1m2（填“=”、“＞”或“＜”）；（2）如果等式成立，则碰撞过程动量守恒；（3）请你写出一条减少实验误差的建议．18．如图甲所示，物块A、B的质量分别是m A=4.0kg和m B=3.0kg．用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触．另有一物块C从t=0时以一定速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v﹣t图象如图乙所示．求：①物块C的质量？②B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能E P？19．如图所示，光滑水平面上依次放置两个质量均为m的小物块A和C以及光滑曲面劈B，B的质量为M=3m，B的曲面下端与水平面相切，且劈B足够高．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生弹性碰撞，碰撞后小物块A又滑上劈B．求物块A在B上能够达到的最大高度．20．如图，A、B、C三个木块的质量均为m．置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连．将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体．现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起．以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离．已知C离开弹簧后的速度恰为v0．求弹簧释放的势能．21．如图所示，在足够长的光滑水平地面上有一滑板，滑板AB部分为半径R=0.15m的圆弧，BC段水平，长度L=0.8m，滑板质量M=2.7kg，滑板左侧靠墙．滑块P1和P2（可视为质点）的质量都为m=0.9kg，滑块P1P2与BC面的动摩擦因数相同，开始时P1以V0=1m/s的初速度从A点沿弧面切线滑下，P2静止在滑板BC的中点．若P1与P2的碰撞为完全非弹性碰撞．g取10m/s2．求：（1）P1滑到圆弧最低点时，对凹形滑板的压力？（2）要使P1与P2不发生碰撞，滑块与BC面的动摩擦因数μ应满足什么条件？（3）若滑块与BC面的动摩擦因数μ=0.3，试通过计算判断P1与P2是否会从滑板上掉下？2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中物理试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列叙述不正确的是（）A．一切物体都在辐射电磁波B．微观粒子的能量是量子化的C．当波长趋于零时，辐射可以无穷大D．黑体辐射与材料种类和表面状况无关【考点】电磁波的发射、传播和接收．【分析】热辐射是物体由于具有温度而辐射电磁波的现象．温度较低时热辐射，主要以不可见的红外光进行辐射，能100%地吸收入射到其表面的电磁辐射，这样的物体称为黑体．原子向外辐射光子后，能量减小，加速度增大．随着波长越短温度越高辐射越强；但波长小到一定程度时辐射能力减弱．【解答】解：A、自然界的任何物体都向外辐射红外线，温度越高，辐射电磁波的本领越强，故A正确；B、微观粒子的能量是量子化的；故B正确；C、根据黑体辐射理论可知，当波长趋于零时，辐射也趋于零；故C错误；实际物体辐射电磁波情况与温度、表面情况、材料都有关；故D错误；故选：AB．2．入射光照到某金属表面上发生光电效应，若入射光的强度减弱，而频率保持不变，下列说法正确的是（）A．逸出的光电子的最大初动能减少B．逸出的光电子的最大初动能不变C．单位时间里从金属表面逸出的光电子数目减少D．不发生光电效应【考点】爱因斯坦光电效应方程．【分析】发生光电效应的条件是入射光的频率大于金属的极限频率，光的强弱只影响单位时间内发出光电子的数目．【解答】解：A、根据光电效应方程知，E KM=hγ﹣W0知，入射光的频率不变，则最大初动能不变．故A错误，B正确．C、光的强弱影响的是单位时间内发出光电子的数目，入射光的强度减弱，则从金属表面逸出的光电子数目减少．故C正确．D、入射光的频率不变，则仍然能发生光电效应，故D错误；故选：BC．3．在光电效应实验中，小君同学用同一光电管在不同实验条件下得到了三条光电流与电压之间的关系曲线（甲光、乙光、丙光），如图所示．则可判断出（）A ．甲光的频率大于乙光的频率B ．甲光的照射功率大于乙光的照射功率C ．乙光对应的截止频率大于丙光的截止频率D ．甲光对应的光电子最大初动能小于丙光的光电子最大初动能【考点】光电效应．【分析】光电管加正向电压情况：P 右移时，参与导电的光电子数增加；P 移到某一位置时，所有逸出的光电子都刚参与了导电，光电流恰达最大值；P 再右移时，光电流不能再增大．光电管加反向电压情况：P 右移时，参与导电的光电子数减少；P 移到某一位置时，所有逸出的光电子都刚不参与了导电，光电流恰为零，此时光电管两端加的电压为截止电压，对应的光的频率为截止频率；P 再右移时，光电流始终为零．eU 截==h γ﹣W ，入射光的频率越高，对应的截止电压U 截越大．从图象中看出，丙光对应的截止电压U 截最大，所以丙光的频率最高，丙光的波长最短，丙光对应的光电子最大初动能也最大．【解答】解：A 、根据eU 截==h γ﹣W ，入射光的频率越高，对应的截止电压U 截越大．甲光、乙光的截止电压相等，所以甲光、乙光的频率相等；故A 错误；B 、由图可知，甲的饱和电流大于乙的饱和电流，而光的频率相等，所以甲光的照射功率大于乙光的照射功率，故B 正确．C 、同一金属，截止频率是相同的，故C 错误．D 、丙光的截止电压大于甲光的截止电压，所以甲光对应的光电子最大初动能小于于丙光的光电子最大初动能．故D 正确．故选：BD ．4．下列关于力的冲量和动量的说法中，正确的是（）A．物体所受的合力为零，它的动量一定为零B．物体所受的合外力的做的功为零，它的动量变化一定为零C．物体所受的合外力的冲量为零，它的动量变化不一定为零D．物体所受的合外力不变，它的动量变化率不变【考点】动量定理；动量冲量．【分析】冲量等于力与时间的乘积，是矢量，方向与力的方向相同．根据动量定理可分析动量、动量变化及冲量之间的关系．【解答】解：A、物体受到的合外力为零，则冲量为零，动量不会发生变化，但是它的动量不一定为零；故A错误；B、合外力做功为零动能不变，但合外力的冲量不一定为零，则动量的变化不一定为零；如匀速圆周运动，其合力做功为零，但其动量始终在变化；故B 错误；C、物体所受的合外力的冲量为零，则动量变化一定为零；故C错误；D、物体受到的合外力不变，则由动量定理可知，动量的变化率不变；故D正确；故选：D．5．一质量为m的铁锤，以速度v竖直打在木桩上，经过△t时间而停止，则在打击时间内，铁锤对木桩的平均冲力的大小是（）A．mg△t B．C．+mg D．﹣mg【考点】动量定理．【分析】由题意可知，铁锤的初末动量，由动量定理可求得其对木桩的平均冲力．【解答】解：对铁锤分析可知，其受重力与木桩的作用力；设向下为正方向，则有：（mg﹣F）t=0﹣mv得：F=mg+；由牛顿第三定律可知，铁锤对桩的平均冲力为：F=mg+；故选：C．6．质量为m的物块以初速v0沿倾角为θ的粗糙斜面冲上斜面，滑到B点速度为零，然后滑下回到A点．关于物块所受的冲量，下述说法中正确的是（）A．重力的冲量方向始终竖直向下B．物块上滑过程和下滑过程受到摩擦力冲量等值反向C．无论上滑过程还是下滑过程，物块所受支持力的冲量始终为零D．物块从冲上斜面到返回斜面底端的整个过程中合外力的冲量总和小于2mv0【考点】动量定理．【分析】冲量是矢量，方向与力的方向相同，根据初末速度，结合动量定理判断合外力的冲量．【解答】解：A、重力的方向竖直向下，则重力的冲量方向始终竖直向下．故A正确．B、物体上滑过程和下滑过程的时间不同，则物块上滑过程和下滑过程摩擦力的冲量不等值．故B错误．C、上滑过程和下滑过程中，支持力的冲量不为零，故C错误．D、根据动能定理知，物体返回出发点的速度小于v0，根据动量定理知，I合=mv﹣（﹣mv0）＜2mv0，故D正确．故选：AD．7．如图所示，足够长的传送带以恒定的速率v1逆时针运动，一质量为m的物块以大小为v2的初速度从传送带的P点冲上传送带，从此时起到物块再次回到P点的过程中，下列说法正确的是（）A．合力对物块的冲量大小一定为2mv2B．合力对物块的冲量大小一定为2mv1C．合力对物块的冲量大小可能为零D．合外力对物块做的功可能为零【考点】动量定理；功的计算．【分析】根据物块返回到P点的速度大小，结合动量定理求出合外力的冲量，根据动能定理得出合外力做功的大小．【解答】解：若v2＜v1，则物块返回到P点的速度大小为v2，根据动量定理=mv2﹣（﹣mv2）=2mv2，根据动能定理知，合力做知，合力的冲量为：I合功的大小为零．v2＞v1，则物块返回到P点的速度大小为v1，根据动量定理知，合力的冲量I=mv1+mv2，根据动能定理得，合力做功为：W=．故D正合确，A、B、C错误．故选：D．8．如图所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2=2m1．开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩的轻弹簧，烧断细绳后，两木块分别向左、右运动．若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数为μ1、μ2，且μ1=2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块（）A．动量大小之比为1：1 B．速度大小之比为2：1C．通过的路程之比为2：1 D．通过的路程之比为1：1【考点】动量守恒定律；匀变速直线运动的位移与时间的关系．【分析】系统所受合外力为零，系统动量守恒，根据动量守恒条件判断系统动量是否守恒，然后应用动量守恒定律分析答题．【解答】解：以两木块及弹簧为研究对象，绳断开后，弹簧将对两木块有推力作用，这可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且F1=μ1m1g，F2=μ2m2g，系统所=μ1m1g﹣μ2m2g=0，系统动量守恒；受合外力F合设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度大小分别为v1、v2，以向右为正方向，由动量守恒定律得：﹣m1v1+m2v2=0，即m1v1=m2v2，A、两物体的动量大小之比为1：1，故A正确．B、两物体的速度大小之比：==，故B正确．C、弹簧伸长过程中，两木块的运动时间相等，任意时刻速度之比为2：1，则两木块通过的路程之比：===，故C正确，D错误．故选：ABC．9．如图所示，一只内壁光滑的半球形碗固定在小车上，小车放在光滑水平面上．在小车正前边的碗边A处无初速度释放一只质量为m的小球．则小球沿碗内壁下滑的过程中，下列说法正确的是（半球形碗的半径为R）（）A．小球、碗和车组成的系统机械能守恒B．小球的最大速度度等于C．小球、碗和车组成的系统动量守恒D．小球不能运动到碗左侧的碗边B点【考点】动量守恒定律；机械能守恒定律．【分析】小球下滑过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒；系统水平方向不受外力，水平方向的动量守恒，根据两大守恒列式可求出小球第一次到达最低点的速度，即最大速度；根据两大守恒判断小球能否到达B点．【解答】解：A、由于没有摩擦，对于小球、碗和车组成的系统，只有重力对小球做功，系统的机械能守恒．故A正确．B、设小球滑到最低点时速度为v．假设小车不动，则由机械能守恒得：mgR=，v=．由于小球对碗有压力，小车获得动能，故小球的最大速度度小于．故B错误．C、小球运动过程，具有向心加速度，有竖直向上的分加速度，根据牛顿第二定律得知，系统的合外力不为零，故系统的动量不守恒．故C错误．C、小球从a到b过程中左侧墙壁对半球有弹力作用但弹力不做功，所以两物体组成的系统机械能守恒，但动量不守恒，故D错误．故选A10．质量为m a=1kg，m b=2kg的小球在光滑的水平面上发生碰撞，碰撞前后两球的位移﹣时间图象如图所示，则可知碰撞属于（）A．弹性碰撞B．非弹性碰撞C．完全非弹性碰撞D．条件不足，不能判断【考点】动量守恒定律．【分析】根据x﹣t图象的斜率等于速度求出各个物体的速度，分别求出碰撞前后的总动量，即可判断动量是否守恒；根据碰撞前后机械能是否守恒判断是否为弹性碰撞即可．【解答】解：根据x﹣t图象可知：a球的初速度为：v a==3m/s，b球的初的速度为v b=0，碰撞后a球的速度为：v a′=﹣=﹣1m/s碰撞后b球的速度为：v b′==2m/s两球碰撞过程中，动能变化量为：△E k=m a v a2+0﹣m a v a′2=×1×32﹣×1×12﹣×2×22=0则知碰撞前后系统的总动能不变，此碰撞是弹性碰撞；故选：A．11．质量为m的木块和质量为M（M＞m）的铁块用细线连接刚好能在水中某个位置悬浮静止不动，此时木块至水面距离为h，铁块至水底的距离为H （两物体均可视为质点）．突然细线断裂，忽略两物体运动中受到水的阻力，只考虑重力及浮力，若M、m同时分别到达水面水底，以M、m为系统，那么以下说法正确的是（）A．该过程中系统动量不守恒B．该过程中M、m均作匀速直线运动C．同时到达水面水底时，两物体速度大小相等D．系统满足MH=mh【考点】动量守恒定律．【分析】当系统所受合外力为零时，系统动量守恒，对系统进行受力分析，判断动量是否守恒，然后根据物体受力情况判断物体运动性质，应用动量守恒定律分析答题．【解答】解：A、以木块与铁块组成的系统为研究对象，开始系统静止，处于平衡状态，由平衡条件可知，系统所受合外力为零，不计水的阻力，细线断裂后系统所受合外力为零，系统动量守恒，故A错误；B、细线断裂后，木块m上浮，受到的合外力向上，不为零，木块向上做加速运动，铁块向下运动，所受合外力向下，向下做加速运动，故B错误；C、以木块与铁块组成的系统为研究对象，系统动量守恒，以向上为正方向，由动量守恒定律得：mv﹣Mv′=0，则mv=Mv′，由于M＞m，则v′＜v，故C 错误；D、以木块与铁块组成的系统为研究对象，系统动量守恒，以向上为正方向，由动量守恒定律得：mv﹣Mv′=0，则：m t﹣M t=0，解得：MH=mh，故D正确；故选：D．12．如图所示，质量m1=3kg、长度L=0.24m的小车静止在光滑的水平面上，现有质量m2=2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5，最后恰好不掉下小车且与小车保持相对静止．在这一过程中，取g=10m/s2，下列说法正确的是（）A．系统最后共同运动的速度为1.2m/sB．小车获得的最大动能为0.96JC．系统损失的机械能为2.4JD．物块克服摩擦力做的功为4J【考点】动量守恒定律；功能关系；机械能守恒定律．【分析】由于摩擦作用，滑块减速，平板小车加速，系统水平方向不受外力，总动量守恒，可求出相对静止时的共同速度；根据动能的计算公式即可求出小车的动能；系统动能减小转化为内能，根据能量守恒定律求内能．以物块为研究对象，由动能定理求物块克服摩擦力做的功．【解答】解：A、物块与小车组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，选择向右为正方向，则由动量守恒得：m2v0=（m1+m2）v解得：v==0.8m/s．故A错误；B、小车获得的动能为：J．故B正确；C、根据能量守恒定律得系统损失的机械能为：Q=代入数据得：Q=2.4J．故C正确；D、对物块，由动能定理得：﹣W f=解得物块克服摩擦力做的功为：W f=3.36J．故D错误．故选：BC13．如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h．今有一质量为m的小物块，沿光滑斜面下滑，当小物块从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是（）A．B．C．D．【考点】动量守恒定律．【分析】由于斜面体放在光滑地面上，则物体下滑的过程中，斜面后退；则由平均动量守恒可列式求解，注意两物体运动的水平位移之和等于斜面的长度．【解答】解：物体与斜面在水平方向上动量守恒，设物块的速度方向为正方向，则有：mv1﹣Mv2=0运动时间相等，则有：ms1﹣Ms2=0由题意可知，s1+s2=联立解得：s2=故选：C14．如图所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t=0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物块运动的速度v随时间t变化的图象可能正确的是（）A．B．C．D．【考点】匀变速直线运动的图像；匀变速直线运动的速度与时间的关系．【分析】木板碰到挡板前，物块与木板一直做匀速运动，木板碰到挡板后，物块继续向右做匀减速运动，木板向左做匀减速运动，最终两者速度相同，由动量守恒分析最终的速度，即可选择图象．【解答】解：木板碰到挡板前，物块与木板一直做匀速运动，速度为v0；木板碰到挡板后，物块向右做匀减速运动，速度减至零后向左做匀加速运动，木板向左做匀减速运动，最终两者速度相同，设为v．设木板的质量为M，物块的质量为m，取向左为正方向，则由动量守恒得：Mv0﹣mv0=（M+m）v，得v=＜v0故A正确，BCD错误．故选：A．15．两个小球在光滑水平面上沿同一直线，同一方向运动，B球在前，A球在后，m A=1kg，m B=2kg，v A=6m/s，v B=3m/s，当A球与B球发生碰撞后，A、B两球速度可能为（）A．v A=4m/s，v B=4m/s B．v A=2m/s，v B=5m/sC．v A=﹣4m/s，v B=6m/s D．v A=7m/s，v B=2.5m/s【考点】动量守恒定律．【分析】两球碰撞过程，系统不受外力，故碰撞过程系统总动量守恒；碰撞过程中系统机械能可能有一部分转化为内能，根据能量守恒定律，碰撞后的系统总动能应该小于或等于碰撞前的系统总动能；同时考虑实际情况，碰撞后A球速度不大于B球的速度．【解答】解：两球碰撞过程系统动量守恒，以两球的初速度方向为正方向，如果两球发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得：M A v A+M B v B=（M A+M B）v，代入数据解得：v=4m/s，如果两球发生完全弹性碰撞，有：M A v A+M B v B=M A v A′+M B v B′，由机械能守恒定律得：，。
河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期第二次调研考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则AB 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==-为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 考点：复数的概念．3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 考点：函数的极值．4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（ ）A．．2 D ．4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 考点：程序框图．6.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B 【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ． 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B考点：正态分布． 8.函数()()s i n 0,0fx A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0 B．． D．【答案】A 【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++=，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++＝(8)0f -=，故选A ．考点：1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω．9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 【答案】C考点：二项式定理．10.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．102，⎛⎤⎥⎝⎦ C ．⎫⎪⎪⎣⎭ D ．0⎛ ⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7π B．19π C D【答案】A考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2体的体积为2123V =⨯=考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥，所以0AP BC =．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ=+-=+－2AB AB AC λ-＝22(1)||||cos60||||AB AC AC AB λλ-︒+-＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=． 考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是23（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2）2． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =3sin B=，即3sin B A =.(3分)sin B A +=sin A =. (5分) 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=. (6分)考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0． 【解析】试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）（3）不存在，理由见解析．（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，12)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,p t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即0+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ．(12分)考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.(1)若6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2）故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=， 所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分）考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式．21.(本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小. 【答案】(1) 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)3；(3) 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2) 由(1)知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；(3) 由12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=，两式相减，得(3) 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下： 因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-；(2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】(1)见解析； (2)103AB =．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形． 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为32x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y ---=，圆C的直角坐标方程为(225x y +-=；（2） 【解析】试题分析：(1) 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：(1)由32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l的普通方程为30x y --=.(2分)又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t，所以12|||PB||||t |PA t +=+=分)考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.【答案】(1) []3,1x ∈-；（2）3．考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。
河北省衡水中学高二下学期期中考试(数学理).doc
河北省衡水中学高二下学期期中考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间1第 I 卷 选择题 （共70分）一. 选择题：本大题共14个小题，每题5分，共70分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的1. 某自然保护区有12只大熊猫，从中捕捉5只做上标记，半年后，再从此保护区捕捉1只，则恰好此只带有标志的概率为（ ）A 51B 121C 125D 1272．易建联在3月27日蓝网与活塞的比赛中，16投中12，保持此命中率不变，假设在下次比赛中有无限投篮权，那么他第一次投中时投篮次数的期望值为（ ）A 34B 1C 94D 433．6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒中，要求每盒不空，共有放法种数为（ ）A.8B.10C.6D.604 将一枚质地均匀的骰子掷2次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，已知两条直线1l :8by ax =+ , 2l :42y x =+ 则两条直线相交的概率为（ ）A 1817B 1211C 98D 655. 379班现有同学73人，要选取6名同学参加学校组织的膳食服务座谈会，班主任老师先随机排除一个同学，然后采用系统抽样的方法，从剩下的72名学生中抽取了6名，问班长被抽到的概率为（ ）A 121B 721C 731D 7366. 有5张电影票，甲、乙、丙三个人分，每人最多分两张，甲若分得两张，则须为连号，则共有多少种分法 （ ）A. 24B. 54C. 30D. 907. 老孙家新买两辆汽车，年初参加某种事故的保险，向保险公司交纳每辆500元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆可一次性赔偿5000元，已知这两辆车一年内发生此种事故的概率分别为51，101，两车是否发生事故相互独立，求一年内小李家获得赔偿的期望是（ ）A 10000元B 1500元C 元D 5000元8 设()*--∈++∙∙∙+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+N n ,x a x a x a x a a 22x 2n 2n 12n 12n 22102n，则()()[]=+∙∙∙+++-∙∙∙+++-∞→212n 53122n 420n a a a a a a a a lim （ ）A -1B 1C 0D 229. 已知数列{}n a 中， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤=10000n ,5n n n 10000n ,1n1a 222n 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1 Ｄ．不存在10. 对于二项式()1999x 1-，下列说法正确的个数是（ ）① 展开式中999100019991000xC T -=； ② 展开式中非常数项的系数和为0；②展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④ 当x 等于时，()1999x 1-除以的余数是1；A 1个B 2个C 3个D 4个 11．某校参加高考学生人数共人，经体检绘制视力情况频率分布直方图（如图）那么视力在0.7—1.1的学生人数估计为（ ）A 400人B 600人C 1000人D 1500人 12．设首项为1,公比为q (q ≥1)的等比数列前n 项和为nS ,则1n nn S lim+∞→的值为( )A 1B q 1C 1或q 1D 以上都不对13 n2x 1x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中的各项系数和是32，则展开式的常数项为（ ） A 15 B C 0 D 不存在14. 高二某班在成人节班会上，计划从班委7人中选4人作感想发言，班长和团支书两人至少有一人发言，若两人都发言，则发言顺序不能相邻，则不同的发言种数为（ ）A 360B 5C 600D 7Ⅱ卷 非选择题 （共80分）二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共把答案填在答题纸相应的位置15. 6个人分乘2辆不同的出租车，每车最多乘4人，则不同的乘车方案有。
2017-2018年河北省衡水中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是（）A．（2，）B．（2，﹣）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，）2．（5分）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（5分）若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．D．4．（5分）用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0D．sinθ＞0且cosθ＞05．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7．（5分）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（）A．15B．11C．8D．78．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A．S4=S1+S2+S3B．S42=S12+S22+S32C．S43=S13+S23+S33D．S44=S14+S24+S349．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（）A．e4πB．eπ+e2πC．eπ﹣e3πD．eπ+e3π10．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部为．14．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为．15．（5分）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是．16．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设复数z=2m+（4﹣m2）i，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．18．（12分）已知数列{a n }满足S n +a n =2n +1． （1）写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论．19．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1过点P （a ，1），其参数方程为（t 为参数，a ∈R ）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cosθ﹣ρ=0． （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 1与曲线C 2交于A 、B 两点，且|PA |=2|PB |，求实数a 的值． 20．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于点T，求的取值范围．22．（12分）已知a∈R，函数．（1）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求函数f（x）的最小值g（a）的最大值；（3）设函数h（x）=f（x）+|（a﹣2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是（）A．（2，）B．（2，﹣）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，）【解答】解：与极坐标（﹣2，）不表示同一点的极坐标是．故选：B．2．（5分）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．故选：C．3．（5分）若复数z满足（1+i）z=|1﹣i|（i为复数单位），则z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．D．【解答】解：（1+i）z=|1﹣i|，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i），∴z=﹣i．则z的共轭复数为+i．故选：D．4．（5分）用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0B．si nθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0D．sinθ＞0且cosθ＞0【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，故选：B．5．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆【解答】解：（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0），∴方程（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，故选：B．6．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：a=∫02x2dx=|02=，b=∫02x3dx==4，c=∫02sinxdx=﹣cosx|02=1﹣cos2，因为1＜1﹣cos2＜2，所以c＜a＜b．故选：D．7．（5分）老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则n=（）A．15B．11C．8D．7【解答】解：由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时（23﹣1）要多，此四个操作的此时（24﹣1）要少，相当与操作三个的时候，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故选：B．8．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A．S4=S1+S2+S3B．S42=S12+S22+S32C．S43=S13+S23+S33D．S44=S14+S24+S34【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S42=S12+S22+S32故选：B．9．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（）A．e4πB．eπ+e2πC．eπ﹣e3πD．eπ+e3π【解答】解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=e x （sinx﹣cosx）递减，故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））=e2kπ+π，又0≤x≤4π，∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π．故选：D．10．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点．∴设M（4cosα，sinα），∵曲线T的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=20，∴曲线T的直角坐标方程为x+2y﹣20=0，∴点M到T的距离d===|2sin（θ+α）﹣4|，∴当sin（θ+α）=﹣1时，点M到T的距离的最大值为2+4．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．12．（5分）已知函数关于x的方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：设y=，则y′=，由y′=0，解得x=e，当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=0化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]=0．解得f（x）=m或f（x）=．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部为．【解答】解：==﹣i，其虚部为﹣．故答案为：﹣．14．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为．【解答】解：把直线l的方程ρsin（θ+）=化为直角坐标方程为x+y﹣1=0，点A（2，）的直角坐标为（﹣，），故点A到直线l的距离为=，故答案为：．15．（5分）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是甲．【解答】解：①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；②假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲16．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为．【解答】解：分别设y=f（x）=2x2﹣5lnx（x＞0），y=﹣x，则表示曲线上y=f（x）的点到直线y=﹣x的距离，则的最小值表示为和直线y=﹣x平行的曲线的切线的之间的距离，∵f′（x）=2x2﹣5lnx，∴f′（x）=4x﹣，∴f′（a）=4a﹣=﹣1，解得a=1，∴f（1）=2=b，∴曲线过点（1，2）的切线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0，∴直线x+y﹣3=0与直线y+x=0的距离d==，∴的最小值为，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设复数z=2m+（4﹣m2）i，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【解答】解：（1）复数z对应的点位于虚轴上，则．∴m=0时，复数z对应的点位于虚轴上．（2）复数z对应的点位于一、三象限，则2m（4﹣m2）＞0⇒m（m﹣2）（m+2）＜0⇒m＜﹣2或0＜m＜2．∴当m∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，复数z对应的点位于一、三象限．（3）复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则⇒m=0或m=±2．∴m=0或m=±2时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．18．（12分）已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，=2（k+1）+1，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k=2（k+1）+1=2k+3，∴2k+1﹣a k+2a k+1∴2a k=2+2﹣，即a k+1=2﹣，+1即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上所述，实数a 的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）20．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题可知，4级污染以下的概率P=1﹣0.002×100=．X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则：，，，，，，．∴X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于点T，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由y2=4x得其交点坐标是F（1，0），设B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则|BF|=x0+1=，解得：x0=，∴=4×=，由点B在椭圆C上，得+=1，即+=1，又a2=b2+1，解得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是+=1；（Ⅱ）设直线PQ的方程为x=my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则△=36m2+36（3m2+4）＞0，y1+y2=，y1y2=，∴|PQ|=|y1﹣y2|==，当m≠0时，直线FT的方程为y=﹣m（x﹣1），由，得x=4，y=﹣3m，即T（4，﹣3m），∴|TF|=3，∴=•=（3+），设t=，则t＞1，则=t+，应用y=t+在（1，+∞）递增，∴y＞3+1=4，则＞×4=1，当m=0时，PQ的中点是F，T（4，0），ze|TF|=3，|PQ|==3，∴=1，综上，≥1，故的取值范围是[1，+∞）．22．（12分）已知a∈R，函数．（1）若函数f（x）在区间（0，2）内单调递减，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求函数f（x）的最小值g（a）的最大值；（3）设函数h（x）=f（x）+|（a﹣2）x|，x∈[1，+∞），求证：h（x）≥2．【解答】解：（1）函数f（x）在区间（0，2）内单调递减⇔∀x∈（0，2），恒有f'（x）≤0成立，而，故对∀x∈（0，2），恒有成立，而，则a≤1满足条件．所以实数a的取值范围为（﹣∞，1]．（2）当a＞0时，．随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）的最小值．g'（a）=ln2﹣lna=0⇒a=2．随x的变化，g'（x），g（x）的变化情况如下表：所以g（a）的最大值为g（2）=2．（3）证明：因为x∈[1，+∞），所以当a≥2时，h（x）=f（x）+（a﹣2）x=．因为，所以h（x）在区间[1，+∞）内是增函数，故h（x）≥h（1）=a≥2．当a＜2时，h（x）=f（x）﹣（a﹣2）x=，由=，解得（舍去）或x=1．又2﹣a＞0，故x≥1时，h'（x）≥0，所以h（x）在区间[1，+∞）内是增函数，所以h（x）≥h（1）=4﹣a＞2．综上所述，对∀x∈[1，+∞），h（x）≥2恒成立．。