19.2(5)证明举例
19.2 证明举例(1)
19.2 证明举例（1）[平行线的判定和性质]第一组 19-51、以下不能推出两直线平行的依据是（ ） A 、同位角相等，两直线平行 B 、内错角相等，两直线平行 C 、同旁内角互补，两直线平行 D 、两直线平行，同旁内角互补2、如图19-5-1，下面推理中，正确的是（ ） A 、∵AD//BC ，∴∠A+∠D=180º B 、∵AB//CD ，∴∠C+∠D=180º C 、∵AB//CD ，∴∠A+∠D=180º D 、∵AB//CD ，∴∠A+∠C=180º3、下列说法，其中是平行线性质的是（ ）①两直线平行，同旁内角互补；②两直线平行，同位角相等；③内错角相等，两直线平行；④同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 A 、①② B 、②③ C 、④ D 、①④ 4、如图19-5-2，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是120º，第二次拐弯的角∠B 不知是多少，第三拐弯的角∠C 是140º，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 是（ ）A 、140ºB 、150ºC 、160ºD 、170º图 19 - 5 - 1图 19 - 5 - 2CB A5、如图19-5-3，AB//CD ，直线EF 分别交AB 和CD 于点E 和F ，FH 平分∠EFD 。
若∠1=110º，则∠2= 。
6、如图19-5-4，若AB//CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP=40º，则∠EPF= 。
7、如图19-5-5，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4=∠C ，求证：∠1=∠2. 证明：∵AD ⊥BC （已知），EF ⊥BC （已知）， ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵∠4=∠C （已知），∴ （ ）。
19.2 证明举例
第19章 几何证明§19.2 证明举例学习目标1.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎证明的一般规则，初步掌握规范的表达格式。
2.了解证明之前进行分析的基本思路，能利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线垂直的简单问题。
3.了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态。
知识概要1.几何证明的常用方法(1)证两直线平行——利用平行线的性质和判定；利用平行线的判断定理及其推论来证，这是证明两直线平行最基本的方法(关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系) (2)证两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定： ①如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等(有时可能缺少直接条件，要证两次全等)②如果两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等，那么可添辅助线构造全等三角形来证。
常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等.③如果两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等(等角对等边)④证明两条线段都等于第三条线段(即以第三条线段为中间量)(3)证两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定.(4)证两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质.(5)证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法，常常要作辅助线。
2.证明前的分析及其方法在完成证明之前要有“分析”，这是在弄清题意的基础上，探索证明思路的过程.常用的分析方法有：(综合法)由因导果，就是从条件(已知)出发，推导出“可知”，直到求证的结论；(分析法)执果索因，就是从要证的“结论”开始，探寻使结论成立的所需要的条件，一直追到“已知”；“知什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”；也可采用以上两种方法综合分析，也就是先看看由“已知”可得到什么，再看看要使“结论”成立需要什么，两方面若能走到同一个点上去就可找到证明的过程。
第8周教研活动安排表(中学理科)
浦东新区教育发展研究院课程教学研究部第八周活动安排表（中学理科）
2012学年度第一学期 第8周（10月22日至10月26日）
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沪教版(上海)八年级上册数学19.2证明举例(解析版)
19.2证明举例一、解答题1．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图点D在AB上，E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C,求证：BD=CE．【答案】见解析【解析】由两角和夹边ASA即可得出∠ABE∠∠ACD,由全等三角形的性质可到AE=AD,进而可得出结论BD=CE．证明:在∠ABE和∠ACD中B CA A AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以∠ABE∠∠ACD（ASA）,所以AD=AE,因为AB=AC,所以AB-AD=AC-AE即:BD=CE,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,关键是由两角和夹边得出∠ABE∠∠ACD．2．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图所示ABC，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE//BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析≅，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；【解析】（1）根据SAS证明ADC AEB≅,最后根据全等三角形（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明BDO CEO对应边相等的性质解题即可．（1）证明：在ADC和AEB△中AB=AC；∠A=∠A；AD=AE，≅所以ADC AEB所以∠ABE=∠ACD，又因为AD=AE，所以BD=CE ， 在BDO △和CEO 中 BD=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC 所以BDO CEO ≅ 所以OD=OE （2）证明：AD AE AB AC ==，AD AEAB AC∴=A A ∠=∠ADE ABC ∴ADE ABC ∴∠=∠//DE BC ∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）已知：如图，在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．【答案】135°【解析】先设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A∠∠ABC∠∠ACB，在∠ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC∠解：∠在∠ABC中，∠A∠∠ABC∠∠ACB=3∠4∠5∠故设∠A=3x∠∠ABC=4x∠∠ACB=5x∠∠在∠ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠∠3x+4x+5x=180°∠解得x=15°∠∠∠A=3x=45°∠∠BD∠CE分别是边AC∠AB上的高，∠∠ADB=90°∠∠BEC=90°∠∠在∠ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°∠∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°∠【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．4．（2020·上海市静安区实验中学初二课时练习）如图，AB=AC，E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．【答案】见解析【解析】先证明∠ABD∠∠ACD ，得到∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，再证明∠BDE∠∠CDE ，问题得证．证明：在∠ABD 和∠ACD 中AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠ACD ，∠∠ADB=∠ADC ，BD=CD ，在∠BDE 和∠CDE 中DE DE EDB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠BDE∠∠CDE ， ∠∠EBD=∠ECD ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．5．（2020·仪征市第三中学初二月考）如图，点E∠F 在BC 上，BE=CF∠AB=DC∠∠B=∠C∠AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF∠【答案】证明见解析. 【解析】求出BF=CE ，根据SAS 推出∠ABF∠∠DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． ∠BE=CF∠∠BE+EF=CF+EF∠ ∠BF=CE∠在∠ABF 和∠DCE 中AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠∠ABF∠∠DCE∠SAS∠∠ ∠∠GEF=∠GFE∠ ∠EG=FG∠【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2020·全国初一课时练习）如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠； 由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ； 故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． D C ∠=∠，∠ABD D ∠=∠， //AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠． A F ∠=∠，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下： ∠A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．（2020·四川前锋·初三其他）如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF ∥．【答案】见解析.【解析】由全等三角形的性质SAS 判定∠ABC∠∠DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论．∠AB DE ∥， ∠A D ∠=∠． ∠AF DC =， ∠AC DF =．在ABC △与DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABC △∠DEF （SAS ）． ∠ACB DFE ∠=∠．∠BC EF ∥． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件. 8．（2020·广西北流·初三学业考试）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 在边AB 上，使DB BC =，过点D 作EF AC ⊥，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F ．求证：AB BF =．【答案】详见解析【解析】根据EF AC ⊥得出90F C ∠+∠=︒，再根据90A C ∠+∠=︒，故A F ∠=∠，证明FBD ∠ABC 即可证明AB BF =.∠EF AC ⊥，∠90F C ∠+∠=︒．∠90A C ∠+∠=︒，∠A F ∠=∠．在FBD 和ABC 中，90A FFBD ABC BD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠FBD ∠ABC （AAS ），∠AB BF =． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及三角形全等的判定和性质是解题的关键.9．（2019·全国初二课时练习）如图，在∠ABC 中，AB=AC ，D 点在BA 的延长线上，点E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线交BC 于点F ，求证：DF∠BC ．【答案】见解析证明．【解析】试题分析：过A作AM∠BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∠AM，进而得到DF∠BC．试题解析：证明：如图，过A作AM∠BC于M，∠AB=AC，∠∠BAC=2∠BAM，∠AD=AE，∠∠D=∠AED，∠∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∠∠BAC=2∠BAM=2∠D，∠∠BAM=∠D，∠DF∠AM，∠AM∠BC，∠DF∠BC．考点：等腰三角形的性质．．10．（2020·玉山县南山乡中学月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD EBC()1求证：AC BD ⊥；()2判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析【解析】（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．()1证明：∠ABD EBC ≅，ABD EBC ∠=∠∴．又A ，B ，C 在同一条直线上，90EBC EBA ∴∠=∠=，即AC BD ⊥．()2解：直线AD 与直线CE 垂直．理由：延长CE 交AD 于F ，如图所示，ABD EBC ≅， D C ∴∠=∠．在Rt ABD △中，90A D ∠+∠=，则A C90∠+∠=，∠90∠=，AFC⊥．即CE AD【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．11．（2020·荆州市实验中学月考）如图，∠ABE和∠CBF有公共顶点B，且满足AB=CB，EB=FB，AB∠BC，BE∠BF，AE和CF交于点D．（1）求证：∠ABE∠∠CBF；（2）求证：AE∠CF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由已知可得：∠ABE＝∠FBC，从而可得∠ABE∠∠CBF；（2）记AE与BC交于点H，则由（1）和已知可得∠A＝∠C，∠CHD＝∠AHB，再由三角形内角和定理可以得到∠CDH=∠CBA=90°，从而可以证得AE∠CF．（1）由AB∠BC，BF∠BE可知：∠ABC＝∠EBF＝90°∠∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE即∠ABE＝∠FBC在∠ABE和∠CBF中：ABE CBF EB FB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBF （SAS ） （2）由（1）知：∠ABE∠∠CBF ∠∠A ＝∠C记AE 与BC 交于点H ，则：∠AHB ＝180°－∠ABC －∠A ＝90°－∠A 又∠∠CHD ＝∠AHB ＝90°－∠A ∠∠C ＋∠CHD ＝∠C ＋90°－∠A ＝90° ∠∠CDH ＝180°－90°＝90° ∠AE∠CF 【点睛】本题考查三角形全等的应用，综合运用三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理求证是解题关键． 12．（2020·湖南渌口·初二期末）如图，BD ∠CE 分别是ABC 的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ≅∠【答案】证明见解析.【解析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL 推出即可；证明：∠BD ∠CE 分别是ABC 的高， ∠90BEC CDB ∠=∠=∠ 在Rt BEC 和Rt CDB 中，BE CD⎨=⎩∠ ∠()Rt BEC Rt CDB HL ≅∠ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．（2020·剑阁县公兴初级中学校初二月考）如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，求证：122B ∠+∠=∠．【答案】见解析【解析】根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ，再利用角平分线的定义转化证明即可．证明：∠∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ， ∠AD 是∠ABC 的角平分线， ∠∠BAC=2∠BAD ，∠∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2． 【点睛】此题考查三角形外角的性质，关键是根据三角形的外角性质得出∠1=∠B+∠BAC ，∠2=∠B+∠BAD ． 14．（2020·安徽临泉·初二期末）如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件：∠AB DE =；∠AC DF =；∠//AB DE ；∠BE CF =.请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明. 解：我写的真命题是：已知：____________________________________________； 求证：___________.（注：不能只填序号） 证明如下：【答案】已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF.求证：AB∠DE.证明见解析.或已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ．求证：AC=DF ．证明见解析.【解析】由BE=CF∠BC=EF ，所以，由∠∠∠，可用SSS∠∠ABC∠∠DEF∠∠ABC=∠DEF∠ AB∠DE ；由∠∠∠，可用SAS∠∠ABC∠∠DEF∠AC=DF ；由于不存在ASS 的证明全等三角形的方法，故由其它三个条件不能得到1或4．解：将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ． 求证：AB∠DE ．证明：在∠ABC 和∠DEF 中， ∠BE=CF ， ∠BC=EF.又∠AB=DE ，AC=DF ， ∠∠ABC∠∠DEF （SSS ） ∠∠ABC=∠DEF ． ∠ AB∠DE.将∠∠∠作为题设，∠作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在∠ABC 和∠DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB=DE ，AB∠DE ，BE=CF ． 求证：AC=DF ．证明：∠AB∠DE,∠∠ABC=∠DEF. 在∠ABC 和∠DEF 中 ∠BE=CF ，∠BC=EF.又∠AB=DE，∠ABC=∠DEF，∠∠ABC∠∠DEF（SAS），∠AC=DF．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．15．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．【答案】见解析．【解析】先根据CE=FB得到CF=BE，然后利用“边边边”证明∠ABE和∠DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明∠ABF和∠DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．∠CE=FB，∠CE+EF=FB+EF，即CF=BE，在∠ABE和∠DCF中，AB CD AE DF CF BE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABE∠∠DCF（SSS），∠∠B=∠C，在∠ABF和∠DCE中AB CDB C CE FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABF∠∠DCE（SAS），∠AF=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．16．（2020·江苏海安·月考）如图，AD=CB，AE∠BD，CF∠BD，E、F是垂足，AE=CF．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．证明：（1）⊥⊥，CF BDAE BDAEB CFD AED CF∴∠=∠=∠=∠=︒B90==，AD CBAE CF∴∆≅∆()Rt ADE CBF HL∠DE=BF∴-=-BD BD BFDE∴=BE DF=∠AEB CFD∠=∠，AE CF∠ABE CDF∆≅∆（SAS）∠AB=CD；∆≅∆（2）∠ABE CDFABE CDF∠∠=∠∴AB CD//【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2020·上虞市实验中学初二月考）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P放在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．【答案】PC=PD，证明见解析【解析】作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F，易证∠ PEO∠∠PFO，得出∠CPE=∠DPF，再证∠PEC∠∠PFD 即可.解：PC=PD证明：作PE∠OA,PF∠OB,垂足分别为E、F．则有∠PEC=∠PFD=90°即∠PEO=∠PFD=90°∠OM平分∠AOB∠∠POE=∠POF于是在∠PEO和∠PFO中∠PEO PFOPOE POFPO PO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠ PEO∠∠PFO(AAS)∠ PE=PF(全等三角形的对应边相等)∠ ∠CPD= 90 ° 即∠CPE+∠EPD=90°易知∠ EPF= 90 ° 即∠ DPF+∠EPD=90°∠ ∠CPE=∠DPF于是在∠PEC和∠PFD中∠PEC PFDCPE DPFPE PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ ∠PEC∠∠PFD(AAS)∠ PC=PD(全等三角形的对应边相等)18．（2020·湖北红安·初二月考）如图1，已知∠ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与∠ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为14；（3）仍然成立，证明见解析.【解析】（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可；（2）根据全等得出∠MBD与∠NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于∠BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明∠MBD∠∠NCD，进而求证即可.（1）如图1，连接BD.∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠BD=DC=AD，∠BDC=90°，∠∠ABD=∠C=45°，∠∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°∠∠MDB=∠NDC，在∠MBD与∠NCD中，∠∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，∠∠MBD∠∠NCD，∠DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得∠MBD∠∠NCD，∠S∠MBD=S∠NCD，∠四边形DMBN面积=S∠DMB+S∠BDN= S∠CND+ S∠BDN=12S∠ABC=14.∠3∠DM=DN仍然成立.如图2，连接BD，∠在Rt∠ABC中，AB=BC，AD=DC，∠DB=DC,∠BDC=90°，∠∠DCB=∠DBC=45°，∠∠DBM=∠DCN=135°，∠∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，∠∠CDN=∠BDM，在∠CDN与∠BDM中，∠∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，∠∠CDN∠∠BDM，∠DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。
沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.2证明举例( 答案不全)
19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．2.已知：如图， AB∥CD，∠B＋∠D＝180°. 求证：BG∥DE.3.．已知：如图，∠E＝∠DAB，∠F＝∠C，请你说明AB与CD是否平行．4. 已知：如图， AB＝AC，AE平分∠DAB. 求证：AE∥BC.5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．19.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF．求证：∠A=∠D．2．已知：如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：AB=AD．3. 已知：如图， AB＝AC，BE＝CD. 求证：∠B＝∠C.4. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD是BC上的中线，且BE∥CF．求证: DF=DE．2．已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在直线AD上，∠ABE＝∠DCF．求证：BE‖CF．3. 如图，已知：点C在线段AB上，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交DC于M，BD交CE于N. 求证：MN∥AB.4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。
19.2证明举例
同济附中数学组
教师：杨珍珠
目录
教学分析 教学过程 教学反思
01
教学分析
教材分析
01
02
03
教学目标
01 进一步体会证明的分析方法和证明过程表述规范，体会论证
几何的严谨性.
初步学会利用全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性
02 质来证明有关线段相等.
教学重点和难点 教学重点
教学难点
02
教学过程
课堂实施
01
02
新课讲授
（1）问题1 （2）证明线段相等 的方法和分析方法
新知运用
（1）巩固练习 （2）错题反思 （3）交流展示
03
课堂小结
（1）证明方法 小结 （2）分析方法 小结
04
教学反思
亮点与不足
亮点： 1.注重证明的分析过程 2.教学中注重学生的语言的规范性
不足： 1. 语言的规范性
感谢聆听
同济附中数学组
《19.2证明举例(3)》
例：已知如图，AD∥BC,E 是线段 BC 的中点，AE=DE.求证：AB=DC.
思考：本题能否通过图形的运动来说明 AB=DC？
三、自主练习： 1、已知：如图，BEAC,DFAC，垂足分别是点 E、F.AF=CE,BE=DF.求证:AB=CD,AB∥CD
2、已知：如图，DE∥BC,A 是 DE 上一点，AD=AE，AB=AC.求证:BE=CD
A
∴
；
B
C
（2）如图：在△ABCห้องสมุดไป่ตู้中，已知 AB=AC ∵AD⊥BC ∵BD=CD ∴ ∴AD = BC； ∴AD =
1 BC； 2
= BC； =
=
=
1 ∠BAC 2
∵∠BAD=∠CAD
1 ∠BAC 2 1 = = BC 2
巩固练习:已知：如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC，点 E、F 在 AD 上，∠ABE ＝∠DCF.求证：BE∥CF.
想一想：本题还有什么证法？请写出.
二、学习新知 变式 1:已知如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC，点 E、F 在 AD 上，∠ABE＝∠ DCF.求证：BE∥CF.
变式 2：已知如图，AD、BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC，点 E、F 在 AD 上，且 AE=DF， 求证：BE∥CF.
三星中学教学案
学科 年级 课题 19.2 证明举例（3） 课型 新授 学时 1 数学 八年级 学习目标：
1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式；了解 证明之前进行分析的基本思路； 2、能利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等以及两条直线的平行的简单问题. 3、积累如何寻找证明思路和证明过程的经验，感悟化归的数学思想和演绎推理的方法，加深 对逻辑推理意义的理解，从添置辅助线中感悟创设条件进行证明的积极性，促进学生形成积 极向上的生活态度。 学习重点：平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质的综合运用， 学习难点：证明思路和过程的寻求及规范的证明格式书写。 学习过程： 一、 知识回顾 1、 图形有哪些基本运动？图形的运动有什么性质？ 2、等要三角形的性质有哪些？ （1）如图：在△ABC 中， ∵AB=AC
19.2证明举例
OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且
∠ABE=∠DCF.求证BE//CF.
分析： BE//CF
A
B
∠1=∠2 ∠ABE=∠DCF ∠A=∠D
E1 O 2F
△ABO≌△DCO C
D
分析、证明
练习1.已知:如图，AD、BC相交于点O，
OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，
BE、CF分别为∠ABO、∠DCO的角平
19.2证明举例
上海市北蔡中学
钱杰
任选两个论断作为已知，给小伙伴出道证明题。
条件1 ∠1+∠D=180° 条件2 ∠2=∠D 条件3 AE//CD
C
已知：如图，点B在直线AE上，
____________________，_________________
D
求证：BC//DE
返回1 返回2 返回3
A 1
B 2
E
分析、证明
例1.已知:如图，等腰三角形ABC中， AB=AC，AD=AE，求证DE//BC.
分析： DE//BC
A
∠AED=∠B
∠C=∠B=(180°-∠A)/2 ∠AED=∠ADE=(180°-∠A)/2 E
D
AB=AC
AD=AE
B
C
分析、证明
例2.已知:如图AD、BC相交于点O，
用方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
分线.求证：BE//CF.
A
B
E1 O 2F
C
D
分析、证明
练习2.已知：如图，AC=AE，BE=BD， ∠1=90°.求证：AC//BD.
C D
1
A
E
B
小结
分析证明如何入手？ 证明平行的方法？
19.2证明举例(2)
课题：19.2证明举例（2）（上海教育出版社七年级第二学期p90~p92）
新港中学许晗
【教学目标】：
教继续学习演绎推理，初步掌握规范表达的格式；
能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判断与性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题；
了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线.
【学重点与难点】：
重点：如何进行演绎证明和简明表达.
难点：如何探索证题思路和添置辅助线.
【教学设想】：通过学生已有的认知结构，采用创设学生熟悉的问题情景，层层设疑、讲练结合，综合运用探究式、启发式方法进行教学.
【课前准备】：课件，投影仪，电子白板。
【教学方法】：探索发现法和运用多媒体教学;尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。
【教学过程】：
1.全等三角形有几条判定？分别简记为什么？
2.全等三角形的性质是什么？
3. 利用全等三角形的性质可以证明什么？
4.等腰三角形与什么样的性质？分别可以用来
证明什么？
∠B和∠C就分别为△这时要证明∠B=。
19.2举例证明(4)
布置作业
• 练习册19.2（4）
19.2(4)证明举例崇明县大公中学龚Fra bibliotek明知识回顾
• （1） 全等三角形的判定和性质是什么？
• （2）等腰三角形的判定与性质是什么？
举例探讨1
• 已知，如图，DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.
求证:AD⊥BC.
证明:∵DB⊥AB,DC⊥AC(已知), ∴∠ABD=∠ACD=90°(垂直的定义). 在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(A.A.S). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). ∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2, ∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一).
举例探讨2
• 已知:如图，在 中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC 上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F. 求证:BF⊥AD.
证明:∵AC⊥BD(已知), ∴ (垂直的定义).
∴
∴ 在 在 (全等三角形的对应角相等). 中, 中, (三角形的内角和等于180°), (三角形的内角和等于180°), (等量代换). (等式性质).
∴ ∴ ∴BF⊥AD(垂直的定义).
反馈练习，巩固知识
• 课后练习19.2(4)
课堂小结
• 你能讲一讲，证明两条直线垂直，一般可 以采用什么方法吗？
19.2(4)证明举例
分析：由已知条件容易证得△ABD≌△ACD， 从而AB=AC，联系∠1= ∠2 ， 共同推得AD⊥BC
变式练习
已知：如图， P是AD上一点， ∠ABP= ∠ACP， ∠BPD= ∠CPD， 求证：（1）BD=CD， （2）AD⊥BC。
变式练习
已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的 一点，BC=DE，AB=CD， 求证：AC⊥CE。 A
本题的思路是证明∠ACE=90°
B
C D
E
巩固练习
已知：如图，OA=OB，AC=BD，且 OA⊥AC， OB⊥BD，点M在CD上， ∠AOM=∠BOM， 求证：OM⊥CD。
O
A
B
C
M
C
19.2 证明举例（4）
课前练习
在△ABC中 （1）∵AB=AC （已知） B ∠___ C （ 等边对等角 ） ∴∠___= （2）∵ AB=AC ,∠BAD=∠CAD（已知） BD CD ，____ AD ⊥____ BC . ∴ _____=_____ B （ 等腰三角形三线合一 ）
A
D
C
例1
课堂小结
垂直常用的证明方法： ①等腰三角形三线合一； ②证明角度为90°。
作业：练习册19.2(4)
AБайду номын сангаас
仍然用全等三角形结合等腰 三角形三线合一
B
P
D
C
例2
已知：如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为点C， AC=BC，点E在AC上，且CE=CD，联接BE并延 长交AD于点F。 求证： BF⊥AD。
分析：由已知条件易证明 △BCE≌△ACD，故∠1= ∠2，又 由于对顶角∠BEC= ∠AEF， 所以∠AFE= ∠BCA=90°， 因此BF⊥AD。
八年级数学上册 19.2 证明举例(1)教案 沪教版五四制
课题
19.2（1）证明举例
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：
学生学情分析：
课型
新授课
教
学
目
标
能利用定义、定理、公理等证明命题，能说出命题的题设和结论，掌握数学语言的转化.
经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.
数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系的严密性
求证：AB∥CD。
2、如图，（1）已知：AB=AC，DE∥BC。
求证：AD=AE。
课堂小结：
证明举例பைடு நூலகம்
根据“同位角相等”、“内错角相等”、“同旁内角互补”证明两条直线平行。
课外
作业
练习册，堂堂练
预习
要求
19.2（2）证明举例
能利用全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.
重点
运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.
难点
正确说出简洁命题的题设和结论，数学语言的转化.
教学
准备
三角形的性质，平行线的性质和判定，其他几何性质等
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
课前练习二
根据下列命题画出图形，写出“已知”、“求证”。
（1）等腰三角形两腰上的高相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直。
（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，D，E为垂足。求证：BD=CE。
（2）已知：如图，AB∥CD，GP、HP分别平分∠BGF，∠DHE。
19.2(1)证明举例
E
例题讲解
例1 已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D=180°. 求证：CB∥DE.
A B
C
D
E
练习
如图，已知AB//CD，∠B= ∠D. 求证：AD//BC.
A
B
D
C
例题讲解
已知：如图，点D、E、F分别是AC、AB、BC 上的一点，DF∥AB，∠DFE=∠A. 求证：EF∥AC. A 方法1： ∠A=∠FDC.
方法2： ∠ DFE=∠BEF. 方法3： ∠A+∠ADF=180° B 或∠DFE+∠AEF=180°
E
D
F
C
变式练习
已知条件改为：EF//AC 结论选其一：DF//AB， ∠DFE=∠A. 并证明
E A
B
F
巩固练习
A E D C B F
平行于同一条直线的两条直线
平行线的判定有哪些？
一般判定两直线平行的思路是什么？
布置作业：练习册 习题19.2(1)
19.2 证明举例（1）
课前练习
（1）∵∠1=∠2（已知） ∴ AD∥ BC（同位角相等，两直线平行 ） （2）∵∠3=70°∠4=70°（已知） ∴∠3 = ∠4（ 等量代换 ） ∴AB ∥ CD（ 同位角相等， ）A 1
两直线平行
3 2
D
4 C
（3）∵∠C=45°，∠ADC=135°（已知） B ∴∠C+ ∠ADC = 180° （ 等式性质 ） ∴AD∥ BC （同旁内角互补，两直线平行 ）
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例一、已知，如图，C是AB的中点，点E在CD上， 并且∠1=∠2。求证：AE=BD。
D E
1
2
A
B
C
证明：延长DC到F，使CD=CF,联结BF
D E
1 2
∵C是AB的中点， ∴AC=BC(线段中点的意义） 在△AEC和△BCF中 AC=BC （已证） ∠ACE=∠BCF （对顶角相等）
（已作） EC=FC ∴△AEC≌△BCF（S.A.S) ∴AE=BF(全等三角形对应边相等） ∠1=∠F(全等三角形对应角相等) 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠F(等量代换） ∴BD=BF（等角对等边） ∴AE=BD(等量代换）
A C
B
F
例二：已知如图，四边形ABCD中，AB=DC,∠B=∠C 求证可以作其他辅助线来完成吗？
证明: 延长BA、CD交于点E 方法二： ∵∠B=∠C (已知) ∴EB=EC (等角对等边) ∵AB=AC (已知) ∴EA=ED (等式性质) ∴∠EAD=∠EDA (等边对等角) ∵∠EAD+∠BAD=1800 (平角 ∠EDA+∠ADC=1800 的定义) ∴∠BAD=∠CDA (等式性质)
﹛
∴ ∠BAD=∠CDA （等式性质）
B E C
A
D
B
C
证明 : 联结AC,BD 方法一： 在△ABC和△DCB中 AB=DC (已知) ∠ABC=∠DCB (已知) BC=CB (公共边) ∴△ABC≌△DCB （S.A.S） ∴AC=BD (全等三角形的对应边相等) 在△ABD和△DCA中 D A AB=DC (已知) BD=CA (已证) AD=DA (公共边) ∴△ABD≌△DCA （S.S.S） B C ∴∠BAD=∠ADC (全等三角形的对应角相等)
B C
E
A
D
A
证明: 取BC的中点E, 联结AE,DE ∴BE=CE (中点的定义) 在△ABE和△DCE中 AB=DC (已知) ∠B=∠C (已知) BE=CE (公共边) ∴△ABE≌△DCE （S.A.S） ∴AE=DE (全等三角形的对应边相等) (全等三角形的对应角相等) ∠ BAE= ∠ CDE D ∴ ∠EAD=∠EDA （等边对等角）