2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.3 Word版含答案

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2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其线性运算含解析

3．1空间向量及其运算_3．1.1　空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]空间向量的概念春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.空间向量的线性运算问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝OA ＋AB＝a ＋b ，BA ＝OA －OB ＝a －b ，OB OC＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ).共线向量及共线向量定理空间中有向量a ，b ，c (均为非零向量)．问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49]空间向量及有关概念 [例1]　下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]　根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]　对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案]　(1)(2)(3)(4)[一点通]　1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析

.3.1.3　空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x OA ＋y OB ＋z OCOP .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1]　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]　判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴Error!此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]　空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴Error!此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC，∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底，设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴Error!解得Error!∴OD ＝17OA －5OB －30OC .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH .[思路点拨]　GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB、OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA表示AD →用OB 、OC 表示OD[精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝OD，23∴OH ＝×(OB ＋OC )＝(b ＋c )，231213OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋AD23＝OA ＋(OD －OA )＝OA ＋×(OB ＋OC )23132312＝a ＋(b ＋c )，1313∴GH ＝(b ＋c )－a －(b ＋c )＝－a ，13131313即GH ＝－a .13[一点通]　用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD＋AA ' ，又BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋A C '' 12＝AA ' ＋(A B '' ＋A D '' )12＝AA ' ＋A B '' ＋A D '' 1212＝AD＋AB ＋AA ' 1212又AE ＝x AD ＋y AB＋z AA '∴x ＝，y ＝，z ＝1.12124．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE，EF .解：连接BO ，则BF ＝BP ＝(BO ＋OP )＝(c －b －a )＝－a －b ＋c .121212121212BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋CP ＝－a ＋(CO ＋OP )＝－a －b ＋c .12121212AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .12121212EF ＝CB ＝OA ＝a121212.空间向量基本定理的应用[例3]　证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨]　利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析]　如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝1AC 12＝(AB＋BC ＋1CC )12＝(AB＋AD ＋1AA )，12设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1BD12＝AB ＋(BA＋AD ＋1DD )12＝AB ＋(－AB ＋AD ＋1AA )＝(AB ＋AD ＋AA1)，1212同理可证：AM ＝(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝(AB ＋AD＋1AA )．1212由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]　用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD，1AB ＝AB ＋1AA，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA)＋(1AD ＋1AA )＝2(AB ＋AD＋1AA )，又1AA ＝1CC ，AD ＝BC，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC＋1CC ＝1AC ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ.解：OP ＝OM ＋MP ＝OA ＋MN1223＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1223122312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .162312161313OQ ＝OM ＋MQ ＝OA ＋MN1213＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1213121312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .1313121316161．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]　1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE＝OD＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.12解析：∵AE ＝OE －OA＝OC－OA 12＝(OD＋DC )－OA 12＝OD＋AB －OA 1212＝OD＋(OB －OA )－OA 1212＝OD＋OB －OA ，121232∴x ＝，y ＝－.1232答案：　－12323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG＝________.解析：如图，OG ＝(OM ＋ON)12＝OM＋×(OB ＋OC )121212＝OA＋OB ＋OC 141414＝(OA＋OB ＋OC )．14答案：(OA＋OB ＋OC )144．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC ' ＝AB ＋BC ＋CC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝，z ＝－.1213∴x ＋y ＋z ＝1＋－＝.121376答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且＝，＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .AM MC 12A 1NND解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN由ABCD 是平行四边形，可知AC ＝AB ＋AD＝a ＋b ，MA ＝－AC ＝－(a ＋b )．1313ND ＝1A D ＝(b －c )，1313AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －(b －c )＝(c ＋2b )，1313所以MN ＝MA ＋AN＝－(a ＋b )＋(c ＋2b )1313＝(－a ＋b ＋c )．138．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB ' 、O B ' 、AC ' ；(2)GH(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB ' ＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B ' ＝O O ' ＋OB ＝O O ' ＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC ' ＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA ' －OA＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－(OB′＋OC )＋(OB ' ＋OO ' )1212＝－(a ＋b ＋c ＋b )＋(a ＋b ＋c ＋c )1212＝(c －b )．12。

2018-2019学年高二数学精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4

3.1.3　空间向量基本定理3.1.4　空间向量的坐标表示学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一　空间向量基本定理思考　只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案　不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．梳理　空间向量基本定理(1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e 1，e 2，e 3是空间不共面的三个向量，则把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x ＋y ＋z .OP → OA → OB → OC → 知识点二　空间向量的坐标表示思考　若向量＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？AB→ 答案　不一定．由向量的坐标表示知，若向量的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为AB→ (x 1，y 1，z 1)，若向量的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)．AB→ 梳理　(1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA→ 是确定的，即＝(x ，y ，z )．OA → OA→ (2)空间中有向线段的坐标表示：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：＝－＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．AB→ OB → OA → ②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：运算表示方法加法a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√)2．若向量的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)AP→ 3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)AB→类型一　空间向量基本定理及应用命题角度1　空间基底的概念例1　已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且＝e 1＋2e 2－e 3，＝－3e 1＋e 2＋2e 3，＝e 1＋e 2－e 3，试判断{，，}能否作OA → OB → OC → 67OA→ OB → OC → 为空间的一个基底．解　假设，，共面，OA→ OB → OC → 由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使＝x ＋y 成立．OA → OB → OC→ 所以＝e 1＋2e 2－e 3OA→ ＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y(e 1＋e 2－67e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋e 3.(2x －67y)得Error!解得Error!故，，共面，不可以构成空间的一个基底．OA→ OB → OC → 反思与感悟　基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案　②③解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2　空间向量基本定理的应用例2　如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设＝a ，＝b ，＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量和.OA → OB → OC → OG→ GH →解　因为＝＋OG→ OA → AG →＝＋＝＋(－)，OA → 23AD → OA → 23OD→ OA → 又点D 为BC 的中点，所以＝(＋)，OD → 12OB→ OC → 所以＝＋(－)OG → OA → 23OD→ OA → ＝＋×(＋)－OA → 2312OB → OC → 23OA → ＝(＋＋)＝(a ＋b ＋c )．13OA → OB → OC→ 13而＝－，GH→ OH → OG → 又因为＝＝·(＋)＝(b ＋c )，OH → 23OD → 2312OB → OC→ 13所以＝(b ＋c )－(a ＋b ＋c )＝－a .GH→ 131313所以＝(a ＋b ＋c )，＝－a .OG → 13GH→ 13引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示，？OG→ GH →解　＝(＋)OG → 12OA→ OD → ＝＋×(＋)12OA → 1212OB→ OC → ＝a ＋b ＋c .121414＝＝×(＋)OH → 23OD → 2312OB→ OC → ＝(b ＋c )．13所以＝－GH→ OH → OG → ＝(b ＋c )－13(12a ＋14b ＋14c )＝－a ＋b ＋c .12112112反思与感悟　用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2　如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，＝a ，＝b ，＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，AB → AD→ AA ′—→ 点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)；(2)；(3)；(4).AP → AM → AN → AQ → 解　连结AC ，AD ′.(1)＝(＋)AP → 12AC→ AA ′—→ ＝(＋＋)＝(a ＋b ＋c )．12AB → AD → AA ′—→ 12(2)＝(＋)AM → 12AC→ AD ′—→ ＝(a ＋2b ＋c )＝a ＋b ＋c .121212(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a ＋b ＋c .AN → 12AC ′—→ AD ′—→ 12AB → AD → AA ′—→ AD → AA ′—→ 12(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)AQ → AC → CQ → AC → 45CA ′—→ AC → 45AA ′—→ AC → 15AC → 45AA ′—→ 15AB → AD → ＋＝a ＋b ＋c .45AA ′—→ 151545类型二　空间向量的坐标表示例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．AB→ AD → AA ′—→(1)，，；AE→ AG → AF → (2)，，.EF→ EG → DG → 解　(1)＝＋＝＋＝＋AE → AD → DE → AD→ 12DD ′—→ AD → 12AA ′—→＝，＝＋＝＋＝，(0，1，12)AG → AB → BG → AB → 12AD → (1，12，0)＝＋＋＝＋＋＝.AF → AA ′—→ A ′D ′—→ D ′F —→ 12AB → AD → AA ′—→ (12，1，1)(2)＝－＝－EF → AF → AE → (AA ′—→＋AD → ＋12AB → )(AD → ＋12AA ′—→ )＝＋＝，12AB → 12AA ′—→ (12，0，12)＝－＝－EG → AG → AE→ (AB → ＋12AD → )(AD → ＋12AA ′—→)＝－－＝，AB → 12AD → 12AA ′—→ (1，－12，－12)＝－＝＋－DG → AG → AD → AB → 12AD → AD →＝－＝.AB → 12AD → (1，－12，0)引申探究本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．DA → DC → DD ′—→ AE→ AG → EF → 解　＝＋＝－＋＝，AE → AD → DE → DA → 12DD ′—→ (－1，0，12)＝＋＝－AG → AB → BG → DC → 12DA →＝－＋＝，12DA → DC → (－12，1，0)＝＋＝.EF → 12DC → 12DD ′—→ (0，12，12)反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3　如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量的坐标．MN→解　∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴，，是两两垂直的单位向量．AB→ AD → AP → 设＝e 1，＝e 2，＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .AB → AD → AP→ ∵＝＋＋MN→ MA → AP → PN → ＝－＋＋12AB → AP → 12PC → ＝－＋＋(＋)12AB → AP → 12PA→ AC → ＝－＋＋(＋＋)12AB → AP → 12PA→ AB → AD → ＝＋＝e 2＋e 3，12AP → 12AD→ 1212∴＝.MN → (0，12，12)类型三　空间向量的坐标运算及应用例4　已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)．(1)求＋，－；AB→ AC → AB → AC → (2)是否存在实数x ，y ，使得＝x ＋y 成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请AC → AB → BC→ 说明理由．解　＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，AB→ ＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．AC→ (1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)．AB→ AC → －＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)．AB→ AC → (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得＝(－2，－1,2)．由题意得BC→ (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)，所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )，所以Error!所以Error!所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟　1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4　已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)AB → CD→ ＝(4，－6,6)，∴＝＝，－243－6－36∴与共线，即AB ∥CD ，AB→ CD → 又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，AD→ ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，BC→ ∴≠≠，∴与不平行．0－2－4－11－2AD→ BC → ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．答案　(12,14,10)解析　设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.答案　(2，－4,2)解析　依题意，得b ＝a －(－1,2，－1)＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________.答案　(8,0,4)解析　4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．AD 1—→ AC 1—→答案　(0,2,1)　(2,2,1)解析　根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则的坐标为AD 1—→ (0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．AC 1—→ 5．在四面体OABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OA → OB → OC→ ＝________.(用a ，b ，c 表示)OE→ 答案　a ＋b ＋c121414解析　＝＋＝＋×(＋)OE → OA → 12AD → OA → 1212AB→ AC → ＝＋×(－＋－)OA → 14OB→ OA → OC → OA → ＝＋＋＝a ＋b ＋c .12OA → 14OB → 14OC→ 1214141．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案　①②解析　①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________．答案　(5,13，－3)解析　由四边形ABCD 是平行四边形知＝，AD→ BC → 设D (x ，y ，z )，则＝(x －4，y －1，z －3)，＝(1,12，－6)，AD → BC→ 所以Error!解得Error!即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________.AB→ DC 1—→ B 1D —→答案　(1,0,0)　(1,0,1)　(－1,1，－1)解析　由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以＝(1,0,0)，AB→ ＝(1,0,1)，＝(－1,1，－1)．DC 1—→ B 1D—→ 4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________．答案　140解析　显然x ≠0，y ≠0.因为a ∥b ，所以＝＝，365x 7y 即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________．答案　，－1，－5212解析　∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!∴Error!6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.答案　0解析　因为＝(m －1,1，m －2n －3)，＝(2，－2,6)，AB → AC→ 由题意得∥，AB→ AC → 所以＝＝，m －121－2m －2n －36所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________．答案　2,10,7解析　∵A 与A ′关于x 轴对称，∴Error!⇒Error!8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算答案－1632解析　∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，∴＝＝(y ≠0)，2x11－2y 39∴x ＝，y ＝－.16329．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若＝，则C 的坐标是________．OC → 25AB→ 考点　空间向量的正交分解题点　向量的坐标答案　(－65，－45，－85)解析　设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则＝(x ，y ，z )．OC→ 又＝(－3，－2，－4)，＝，AB → OC → 25AB → ∴x ＝－，y ＝－，z ＝－.65458510.如图，点M 为OA 的中点，以{，，}为基底，＝x ＋y ＋z ，则实数OA → OC → OD → DM → OA → OC → OD→ 组(x ，y ，z )＝________.答案　(12，0，－1)解析　因为＝－DM→ OM → OD →＝＋0－，所以实数组(x ，y ，z )＝.12OA → OC → OD → (12，0，－1)11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设＝a ，＝b ，＝c ，则向量＝________.(用a ，b ，c 表示)OA → OB → OC → OD→答案　a －b ＋c 1212解析　∵＝－2，AB → CD→ ∴－＝－2(－)，OB → OA → OD→ OC → ∴b －a ＝－2(－c )，OD→ ∴＝a －b ＋c .OD→ 1212二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解　由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c ，则有Error!解得Error!故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)＝(－)；(2)＝(－)．OP → 12AB → AC → AP → 12AB→ AC → 解　＝－＝(2,6，－3)，AB→ OB → OA → ＝－＝(－4,3,1)．AC→ OC → OA → (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则＝(x ，y ，z )，(－)＝，OP → 12AB → AC → (3，32，－2)所以＝，即P 点坐标为.OP → (3，32，－2)(3，32，－2)(2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则＝－＝(x －2，y ＋1，z －2)，AP→ OP → OA → 由(1)知(－)＝，所以Error!12AB → AC→ (3，32，－2)解得Error!所以P 点坐标为.(5，12，0)三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号)①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c .答案　③④解析　∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ，∴p 与q 共面，a ，b 共面．而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．AA 1—→ AB 1—→ AC 1—→解　分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以，，的方向为x DA→ DC → DD 1—→ 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ，A 1(32，0，0)，B 1，C 1，(32，0，2)(0，－12，2)(0，12，2)所以＝(0,0,2)，＝，AA 1—→ AB 1—→ (－32，－12，2)＝.AC 1—→ (－32，12，2)。

数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个．答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 ±1解析由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等．答案 ④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案－a ＋b －c 解析如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________．答案 12，－12解析由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析易知四边形EFGH 为平行四边形，所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版第3章空间向量与立体几何 3.1.2ppt版本

2019/11/22
第3章 §3.1 空间向量及其运算
3.1.2 共面向量定理
学习目标
1.了解共面向量等概念. 2.理解空间向量共面的充要条件.
内容索引
问题导学题型探究达标检测
问题导学
知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使得O→A＝xO→B＋yO→C＋zO→D，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则
不一定共面.
(2)空间中四点共面的条件
另外有O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B，
②
或O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B (x＋y＋z＝1)，
③
①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用.
No Image
③若存在有序实数组(x，y)使得O→P＝xO→A＋yO→B，则O，P，A，B四点共面；
再见
2 15
1234
解析答案
共面向量定理的应用：
空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x，y 使得M→P＝xM→A＋
规律与方法 yM→B，
①
此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，M→A，组基底.
(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则
证明
达标检测
1.给出下列几个命题： ①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为__1___. 解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行； ②真命题.这是关于零向量的方向的规定； ③假命题.当b＝0时，则有无数多个λ使之成立.

2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何滚动训练(四) Word版含答案

滚动训练(四)一、填空题1、“相似三角形的对应角相等”的否命题是________、答案不相似的三角形的对应角不相等解析否命题是条件、结论都否定、2、已知a ＝(t ＋1,1,t ),b ＝(t －1,t,1),则|a －b |的最小值为________、答案 2解析 |a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4, 所以当t ＝1时,|a －b |取得最小值2.3、双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是________、答案 m ＞1解析依题意知,e ＝c a ,e 2＝c 2a 2＞2,得1＋m ＞2,所以m ＞1.4、已知A (1,5,－2),B (2,4,1),C (x,3,y ＋2),且A ,B ,C 三点共线,则实数x ,y 的值分别为________、答案 3,2解析若A ,B ,C 三点共线,则AB →,BC →也共线、又AB →＝(1,－1,3),BC →＝(x －2,－1,y ＋1), ∴1x －2＝1＝3y ＋1,∴x ＝3,y ＝2. 5、已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(3,2,－1),则p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 解析由已知得p ＝3a ＋2b －c , 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c . 故p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 6、已知直线l 1,l 2的方向向量分别为a ,b ,且a ＝(1,2,－2),b ＝(－2,3,m ),若l 1⊥l 2,则实数m 的值为________、答案 2解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0, ∴m ＝2.7、已知a ＝3m －2n －4p ≠0,b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ,且m ,n ,p 不共面,若a ∥b ,则x ,y 的值分别为________、答案－13,8 解析 ∵a ∥b 且a ≠0,∴b ＝λa ,即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp . 又∵m ,n ,p 不共面,∴x ＋13＝8－2＝2y －4,∴x ＝－13,y ＝8.8.如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝AD ＝2,∠BAD ＝90°,∠BAC ＝60°,则AB →·CD →＝________.答案－2 解析 AB →·CD → ＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－|AB →||AC →|cos60° ＝2×2×cos90°－2×2×cos60°＝－2.9、在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中,∠ABC ＝90°,SA ⊥平面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝1,AD ＝12,则平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为________、答案63解析以点A 为坐标原点,AD ,AB ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ⎝⎛⎭⎫12，0，0,C (1,1,0),S (0,0,1), 平面SAB 的一个法向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0, 并求得平面SCD 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12, 则cos 〈AD →,n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.10.如图,AB ＝AC ＝BD ＝1,AB ⊂平面α,AC ⊥平面α,BD ⊥AB ,BD 与平面α成30°角,则C ,D 间的距离为________、答案2解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.11、平面α的法向量为m ＝(1,0,－1),平面β的法向量为n ＝(0,－1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为______、答案 60°或120° 解析 ∵cos 〈m ,n 〉＝m·n|m||n |＝－12×2＝－12, ∴〈m ,n 〉＝120°,即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°. 二、解答题12.如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC ＝2,在四边形ABCD 中,∠B ＝∠C ＝90°,AB ＝4,CD ＝1,点M 在PB 上,PB ＝4PM ,PB 与平面ABCD 成30°的角、求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明以C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz,∵PC ⊥平面ABCD ,∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角, ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2,∴BC ＝23,PB ＝4.∴D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2),M ⎝⎛⎭⎫32，0，32,∴DP →＝(0,－1,2),DA →＝(23,3,0),CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32,(1)方法一令n ＝(x ,y ,z )为平面P AD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2,得n ＝(－3,2,1)、∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0,∴n ⊥CM →,又CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . 方法二 ∵PD →＝(0,1,－2),P A →＝(23,4,－2),令CM →＝xPD →＋yP A →,则⎩⎨⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →,由共面向量定理知CM →与PD →,P A →共面,又∵CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . (2)取AP 的中点E ,连结BE ,则E (3,2,1),BE →＝(－3,2,1), ∵PB ＝AB ,∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3,2,1)·(23,3,0)＝0, ∴BE →⊥DA →,∴BE ⊥DA ,又P A ∩DA ＝A , P A ,DA ⊂平面P AD ,∴BE ⊥平面P AD ,又∵BE ⊂平面P AB , ∴平面P AB ⊥平面P AD .13、已知A ,B 是抛物线y 2＝52x 上不同于原点O 的两点,OA ⊥OB .(1)求证：直线AB 恒过定点T ,且以OT 为直径的圆过点D (2,1)； (2)若直线AB 与⊙O ：x 2＋y 2＝5相切,求切点坐标及直线AB 的方程、考点直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题(1)证明设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ,t ＞0,代入y 2＝52x ,得2y 2－5my －5t ＝0.Δ＝25m 2＋40t＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)、则y 1y 2＝－5t 2,x 1x 2＝2y 215·2y 225＝425(y 1y 2)2＝t 2.又OA →⊥OB →,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即t 2－5t 2＝0,解得t ＝52或t ＝0(舍)、所以直线AB 的方程为x ＝my ＋52,恒过点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 所以OD →·TD →＝(2,1)·⎝⎛⎭⎫－12，1＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1＝0, 所以OD →⊥TD →,即OD ⊥TD , 所以点D 在以OT 为直径的圆上、(2)解由(1)知直线AB 的方程为2x －2my －5＝0, 由题意得|－5|4＋4m 2＝5,解得m ＝±12.当m ＝12时,切线AB 的方程为2x －y －5＝0,此时,切点坐标为(2,－1)、当m ＝－12时,切线AB 的方程为2x ＋y －5＝0,此时,切点坐标为(2,1)、三、探究与拓展14、已知Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3,AC ＝4,PC ⊥平面ABC ,PC ＝95,则点P 到斜边AB 的距离是______、答案 3解析以C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系、则A (4,0,0),B (0,3,0), P ⎝⎛⎭⎫0，0，95, 所以AB →＝(－4,3,0),AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95,所以AP 在斜边AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165,所以点P 到斜边AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.15.如图,在五面体ABCDEF 中,F A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角ACDE 的余弦值、(1)解如图所示,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设AB ＝1,依题意得B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),F (0,0,1),M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1),DE →＝(0,－1,1),于是cos 〈BF →,DE →〉＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)证明由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12,CE →＝(－1,0,1), AD →＝(0,2,0),可得CE →·AM →＝0,CE →·AD →＝0. 因此,CE ⊥AM ,CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ,AM ⊂平面AMD ,AD ⊂平面AMD , 故CE ⊥平面AMD .又CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解设平面CDE 的法向量为u ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1,可得u ＝(1,1,1)、又由题设知,平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)、所以,cos 〈u ,v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角ACDE 为锐角,所以其余弦值为33.。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其线性运算 Word版含解析

＝ AD ＋ DA ＝0.
法二：利用 AB － AC ＝ CB ， DC － DB ＝ BC 化简． ( AB － CD )－( AC － BD )＝ AB － CD － AC ＋ BD
空间向量的线性运算
问题 1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题 2：平面向量的加、结合律、分配律． 1．空间向量的加减运算和数乘运算
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∵ AB － CD ＝ AB ＋ DC ，
∴( AB － CD )－( AC － BD )＝ AB ＋ DC － AC ＋ BD
＝ AB ＋ DC ＋ CA ＋ BD ＝ AB ＋ BD ＋ DC ＋ CA
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模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．
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[对应学生用书P49]
空间向量及有关概念
[例 1] 下列四个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若 a、b 满足|a|>|b|，且 a、b 同向，则 a>b； (4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________． [思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论． [精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于 1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错． [答案] (1)(2)(3)(4) [一点通] 1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． 2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何疑难规律方法含答案

1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层用已知向量表示未知向量例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N ―→；(3)MP →＋NC 1―→.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1―→＋A 1D 1――→＋D 1P ―→＝a ＋AD →＋12D 1C 1――→ [@#%^&] ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b. (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c. (3)∵M 是AA 1的中点， [^%&*#]∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A ―→＋AP → [&^%@~]＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC →＋CC 1―→＝12BC →＋AA 1―→ [^&*%#] ＝12AD →＋AA 1―→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. 点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． [^#@~*]第2层化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD.设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．[&%@~*](1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AG →－12(AB →＋AC →)． [&^~@#] 解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD → ＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →.(3)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →.AD →，AG →，MG →如图所示．[~@%*^]点评要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM → ＝－a ＋14(a ＋b ＋c)＝－34a ＋14b ＋14c ， BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →) ＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →. ∴BN →∥BG →，又∵BN →与BG →有公共点B ，∴B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a ·b<0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必。

2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.3

3.2.3　空间的角的计算学习目标　1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一　空间角的计算(向量法)空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a ，b ，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝.|a ·b ||a ||b |(0，π2]直线与平面所成的角设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈e ，n 〉|＝|e ·n ||e ||n |[0，π2]二面角设二面角α－l －β为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝.|n 1·n 2||n 1||n 2|[0，π]知识点二　向量法求线面角、二面角的原理1．向量法求直线与平面所成角的原理条件直线l (方向向量为e )与平面α(法向量为n )所成的角为θ图形关系〈e ，n 〉∈，θ＝－〈e ，n 〉[0，π2]π2〈e ，n 〉∈，θ＝〈e ，n 〉[π2，π]－π2计算sin θ＝|cos 〈e ，n 〉|2.向量法求二面角的原理条件平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n 1，n 2〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)2．若向量n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝.(×)n 1·n 2|n 1||n 2|3．直线与平面所成角的范围为.(×)(0，π2)类型一　求两条异面直线所成的角例1　如图，在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大3小．解　以O 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐OA → OB → 标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，)，3A (，0,0)，A 1(，1，)，333B (0,2,0)，∴＝(－，1，－)，A 1B —→ 33＝(，－1，－)．O 1A —→ 33∴|cos 〈，〉|A 1B —→ O 1A —→ ＝|A 1B —→ ·O 1A —→||A 1B —→||O 1A —→ |＝＝.|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×717∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为.17反思与感悟　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．跟踪训练1　已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解　不妨设正方体的棱长为2，以D 点为坐标原点，分别取DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，AE → CF → ∴||＝，||＝，·＝－1＋0＋4＝3.AE → 5CF → 6AE → CF →又·＝||||cos 〈，〉AE → CF → AE → CF → AE → CF → ＝cos 〈，〉，30AE → CF → ∴cos 〈，〉＝，AE → CF → 3010∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为.3010类型二　求直线和平面所成的角例2　已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所2成的角．解　以A 点为坐标原点，AB ，AA 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，a )，2C 1，(－32a ，a 2，2a )方法一　取A 1B 1的中点M ，则M ，连结AM ，MC 1，(0，a 2，2a)有＝，＝(0，a,0)，MC 1—→ (－32a ，0，0)AB → ＝(0,0，a )．AA 1—→ 2∴·＝0，·＝0，MC 1—→ AB → MC 1—→ AA 1—→ ∴⊥，⊥，则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，MC 1—→ AB → MC 1—→ AA 1—→ 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于＝，＝，AC 1—→ (－32a ，a 2，2a )AM → (0，a 2，2a )∴·＝0＋＋2a 2＝，AC 1—→ AM → a 249a 24||＝＝a ，AC 1—→ 3a 24＋a 24＋2a 23||＝＝a ，AM → a 24＋2a 232∴cos 〈，〉＝＝.AC 1—→ AM → 9a 243a ×3a 232∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，AC 1—→ AM → AC 1—→ AM → 又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.方法二　＝(0，a,0)，＝(0,0，a )，AB → AA 1—→ 2＝.AC 1—→ (－32a ，a 2，2a )设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )，∴Error!即Error!∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)．∵＝，AC 1—→ (－32a ，a 2，2a )∴cos 〈，n 〉＝＝－，AC 1—→ n ·AC 1—→ |n ||AC 1—→ |λ2|λ|∴|cos 〈，n 〉|＝.AC 1—→ 12又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思与感悟　用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．跟踪训练2　如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解　由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ，S (0,0,1)，∴＝(0,0,1)，(12，0，0)AS → ＝(－1，－1,1)．CS → 显然是底面ABCD 的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，AS → CS → 故有sin θ＝cos β＝＝＝，AS → ·CS → |AS → ||CS → |11×333∵θ∈[0°，90°]，∴cos θ＝＝.1－sin2θ63类型三　求二面角例3　在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解　方法一　如图，以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连结BD 与AC 交于点O ，取AD 的中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，＝.BA → CD → ∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )，∴E ，O ，(b 2，－a 2，a 2)(b 2，0，0)＝，＝(b,0,0)．OE → (0，－a 2，a 2)AC → ∵·＝0，OE → AC → ∴⊥，OE → AC → ∵＝＝，·＝0，OF → 12BA → (0，－a 2，0)OF → AC → ∴⊥.OF → AC → ∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)．cos 〈，〉＝＝.OE → OF → OE → ·OF → |OE → ||OF → |22又∵〈，〉∈[0°，180°]，OE → OF → ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°.方法二　建系如方法一，∵PA ⊥平面ABCD ，∴＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量，AP → ＝，＝(b,0,0)．AE → (b 2，－a 2，a 2)AC → 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由Error!得Error!∴x ＝0，y ＝z ，∴取m ＝(0,1,1)，cos 〈m ，〉＝＝＝.AP → m ·AP → |m ||AP → |a 2·a 22又∵〈m ，〉∈[0°，180°]，AP → ∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思与感悟　1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3　如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解　(1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．A 1B —→C 1D —→因为cos 〈，〉A 1B —→C 1D —→ ＝＝A 1B —→ ·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→ |1820×18＝，31010又异面直线所成角的范围为，(0，π2]所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为.31010(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，AD → AC 1—→ 所以Error!即Error!取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的法向量．同理，取平面ABA 1的法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ，由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.|n 1·n 2||n 1||n 2|29×12353所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为.531．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．答案　±156解析　由(0，－1，3)·(2，2，4)1＋9×4＋4＋16＝＝，－2＋1210×24156可知这个二面角的余弦值为或－.1561562．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．答案　60°解析　＝＋＋，AB→ AC → CD → DB → ∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又AB → CD → AC → CD → DB → CD → AC → CD → CD → DB→ CD → ||＝2，||＝1.AB → CD → ∴cos 〈，〉＝＝＝.AB → CD → AB → ·CD →|AB → ||CD → |12×112∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a 与b 所成的角是60°.3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是________．答案　23解析　以D 为坐标原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如DA → DC → DD 1—→ 图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)，DB → DC 1—→ DC→ 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，〉|＝＝.DC → |n ·DC →||n ||DC → |234．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所2成的角是________．答案　30°解析　以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD 的一个法向2PC → 2量为n ＝(0,0,1), 所以cos 〈，n 〉＝＝－，PC →PC→·n |PC → ||n |12又因为〈，n 〉∈[0°，180°]，PC→ 所以〈，n 〉＝120°，PC→ 所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角是30°.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为________．答案　30°解析　异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以l 1与l 2这两条异面直线所成的角为180°－150°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．答案　45°或135°解析　cos 〈m ，n 〉＝＝＝，m ·n|m ||n |11×222即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝，则l 3π4与α所成的角为________．答案　π4解析　线面角的范围是.[0，π2]∵〈a ，n 〉＝，3π4∴l 与法向量所在直线所成角为，π4∴l 与α所成的角为.π44．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为________．答案　1010解析　∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，AB 1—→ ED 1—→ ∴||＝2，||＝，AB 1—→ 2ED 1—→ 5·＝0－2＋4＝2，AB 1—→ ED 1—→ ∴cos 〈，〉＝＝＝，AB 1—→ ED 1—→ AB 1—→ ·ED 1—→|AB 1—→||ED 1—→ |222×51010∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为.10105．正方体ABCD －A 1B1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．答案　63解析　设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的DA → DC → DD 1—→ 正方向，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为＝(1,1,1)．DB 1—→又＝(0,0,1)，BB 1—→ 则cos 〈，〉＝＝＝.DB 1—→ BB 1—→ DB 1—→ ·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→ |13×133故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为＝.1－(33)2636．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A1B 1的中点，则直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为________．答案　1010解析　以A 1为坐标原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，C (2,2,2)，E (1,0,0)，＝(2,2,0)，＝(1,0，－2)．AC → AE→ ∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，则＝(2,2,0)是平面BDD 1B 1AC→ 的一个法向量．设直线AE 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝.AC → AE→ 10107．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．2答案　90°解析　以A 1为坐标原点，，的方向为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直A 1C 1—→ A 1A—→ 角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1，C 1(0，，0)，(62，22，0)2B .(62，22，1)∴＝，AB 1—→ (62，22，－1)＝，C 1B —→ (62，－22，1)∴·＝－－1＝0，∴⊥.AB 1—→ C 1B —→ 6424AB 1—→ C 1B —→ 即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.8．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为________．答案　π6解析　如图所示，取AC 的中点O ，连结OB ，取A 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为坐标原点，OC ，OO 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，易得B (－，0,0)，A (0，－1,0)，C 1(0,1,3)，B 1(－，0,3)，33∴＝(0,0,3)，＝(－，1,3)，＝(0,2,3)，BB 1—→ AB 1—→ 3AC 1—→ 设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!∴n ＝，(1，－3，233)设BB 1与平面AB 1C 1所成的角为θ，θ∈，[0，π2]∵sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝＝，BB 1—→ 233×43312∴θ＝.π69.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________．答案　36解析　以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．＝(1,2，－1)，EF→ ＝(－2,2,0)，BD→ 故cos 〈，〉＝＝.EF → BD→ 2433610．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．答案　23解析　如图，以点D 1为坐标原点，D 1A 1－D1C 1，D 1D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以D (0,0,2a )，C 1(0，a,0)，B (a ，a,2a )，C (0，a,2a )．设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!∴Error!∴Error!∴n ＝，(1，－1，－12)∴·n ＝(0，－a,0)·＝a ，CD → (1，－1，－12)∴cos 〈，n 〉＝＝，CD → aa ·1＋1＋1423设CD 与平面BDC 1所成角为α，∴sin α＝.23二、解答题11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝2，求该二面角的大小．17解　由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.CA → AB → AB → BD → CD→ CA → AB → BD → ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·CD → CA → AB → BD → CA → AB → AB → BD → CA → BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈，〉＝(2)2.CA→ BD → 17∴cos 〈，〉＝－，CA → BD→ 12又∵〈，〉∈[0°，180°]，CA→ BD → ∴〈，〉＝120°，CA→ BD → ∴二面角的大小为60°.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是CC 1，D 1A 1，AB 的中点，求GA 与平面EFG 所成角的正弦值．解　如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)．∴＝(1，－2,1)，EF→ ＝(2，－1，－1)，EG→ ＝(0，－1,0)．GA→ 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量，则由n ⊥，n ⊥，得Error!EF → EG→ 即Error!解得x ＝y ＝z .令x ＝1，得n ＝(1,1,1)．设GA 与平面EFG 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝＝，GA→ |－1|1×333∴GA 与平面EFG 所成角的正弦值为.3313.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值；(2)求二面角A 1－EC －A 的余弦值．解　如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C (0,1,0)，E ，A 1(1,0,1)，(1，12，0)(1)＝(－1，－1,1)，BD 1—→ ＝，故cos 〈，〉＝＝＝－，CE → (1，－12，0)BD 1—→ CE → BD 1—→ ·CE →|BD 1—→||CE → |－123×521515又异面直线所在角的范围是，(0，π2]所以异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值是.1515(2)因为DD 1⊥平面AEC ，所以为平面AEC 的一个法向量，＝(0,0,1)，设平面DD 1—→ DD 1—→ A 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又＝，＝(－1,1，－1)，A 1E —→ (0，12，－1)A 1C—→ 则Error!即Error!取n ＝(1,2,1)，所以cos 〈，n 〉＝＝，DD 1—→ 11×666结合图形知，二面角A 1－EC －A 的余弦值为.66三、探究与拓展14．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝，则cos 〈，〉的值为π3OA→ BC → ________．答案　0解析　·＝·(－)OA→ BC → OA → OC → OB → ＝·－·OA→ OC → OA → OB →＝||·||·cos －||·||·cos ＝||(||－||)＝0.OA → OC → π3OA → OB → π312OA → OC → OB→ ∴cos 〈，〉＝＝0.OA → BC → OA → ·BC →|OA→|·|BC → |15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．(1)证明　如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ，P (0,0,2)．(－12，12，0)可得＝(0,1，－2)，PC → ＝(2,0,0)，AD → 则·＝0，所以PC ⊥AD .PC → AD → (2)解　由(1)可得＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．PC → CD → 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由Error!得Error!令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．又＝(2,0,0)是平面PAC 的一个法向量，AD → 所以cos 〈，n 〉＝＝，AD → AD → ·n |AD → ||n |66从而sin 〈，n 〉＝.AD → 306所以二面角A －PC －D 的正弦值为.306(3)解　由(2)可得＝(2，－1,0)．CD → 设AE ＝h ，h ∈[0,2]，则E (0,0，h )，所以＝.BE → (12，－12，h)所以cos 〈，〉＝＝＝，BE → CD → BE → ·CD → |BE → ||CD → |3212＋h 2×532解得h ＝，即AE ＝.10101010。

2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.5

3.1.5　空间向量的数量积学习目标　1.理解空间向量的夹角及有关概念．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角．知识点一　空间向量的夹角1．定义：a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作＝a ，＝b ，则∠AOB OA → OB→ 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．图形表示：角度表示〈a ，b 〉＝0〈a ，b 〉是锐角〈a ，b 〉是直角〈a ，b 〉是钝角〈a ，b 〉＝π3.范围：0≤〈a ，b 〉≤π.4．空间向量的垂直：如果〈a ，b 〉＝，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .π2知识点二　空间向量的数量积思考　两个向量的数量积是数量，还是向量？答案　数量，由数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，知其为数量而非向量．梳理　(1)定义：①设a ，b 是空间两个非零向量，把数量|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积．②记作：a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)运算律：交换律a ·b ＝b ·a 数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b )(λ∈R )分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c(3)坐标表示：已知非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则①a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.③|a |＝＝.a ·a x 21＋y 21＋z 21④cos 〈a ，b 〉＝.x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 2＋y 2＋z 2知识点三　空间中两点间的距离公式思考　空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？答案　空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关．梳理　在空间直角坐标系中，设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝.(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)21．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(×)2．〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．(×)3．在△ABC 中，〈，〉＝∠B .(×)AB→ BC → 4．对于向量a ，总有|a |2＝a 2.(√)类型一　空间向量的数量积运算命题角度1　空间向量的数量积基本运算例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．①p 2·q 2＝(p ·q )2；②|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|；③若a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均不为0，则它们垂直．解　①此命题不正确．∵p 2·q 2＝|p |2·|q |2，而(p ·q )2＝(|p |·|q |·cos 〈p ，q 〉)2＝|p |2·|q |2·cos 2〈p ，q 〉，∴当且仅当p ∥q 时，p 2·q 2＝(p ·q )2.②此命题不正确．∵|p 2－q 2|＝|(p ＋q )·(p －q )|＝|p ＋q |·|p －q |·|cos 〈p ＋q ，p －q 〉|，∴当且仅当(p ＋q )∥(p －q )时，|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|.③此命题正确．∵a ·[(a ·b )·c －(a ·c )·b ]＝a ·(a ·b )·c －a ·(a ·c )·b ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·b )(a ·c )＝0，且a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均为非零向量，∴a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 垂直．(2)设θ＝〈a ，b 〉＝120°，|a |＝3，|b |＝4，求：①a ·b ；②(3a －2b )·(a ＋2b )．解　①∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴a ·b ＝3×4×cos120°＝－6.②∵(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos120°－4|b |2，∴(3a －2b )·(a ＋2b )＝3×9＋4×3×4×－4×16＝27－24－64＝－61.(－12)反思与感悟　1.已知a ，b 的模及a 与b 的夹角，直接代入数量积的公式计算．2．如果欲求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1　已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.答案　13解析　∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴|a ＋3b |＝.13命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面ABB 1A 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3)·.BC → ED 1—→ BF → AB 1—→ EF→ FC 1—→ 解　如图，设＝a ，＝b ，AB → AD→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，AA 1—→ a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)·＝·(＋)＝b ·＝|b |2＝42＝16.BC → ED1—→ BC → EA 1→ A 1D 1—→ [12(c －a )＋b ](2)·＝(＋)·(＋)＝·(a ＋c )＝|c |2－|a |2BF → AB 1—→ BA 1—→ A 1F —→ AB → BB 1—→ (c －a ＋12b )＝22－22＝0.(3)·＝(＋)·(＋)＝·EF → FC 1—→ EA 1—→ A 1F —→ FD 1—→ D 1C 1—→ [12(c －a )＋12b ](12b ＋a )＝(－a ＋b ＋c )·12(12b ＋a )＝－|a |2＋|b |2＝2.1214反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练2　已知正四面体OABC 的棱长为1，求：(1)(＋ )·(＋)；(2)|＋＋|.OA → OB → CA → CB → OA→ OB → OC → 解　(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)OA → OB → CA → CB → OA → OB → OA → OC → OB → OC → OA → OB → OA → OB → OC→ ＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(2)|＋＋|OA→ OB → OC → ＝(OA → ＋OB → ＋OC →)2 ＝OA →2＋OB → 2＋OC → 2＋2(OA → ·OB → ＋OB → ·OC → ＋OA → ·OC → )＝＝.12＋12＋12＋2(1×1×cos60°×3)6类型二　利用数量积求夹角或模例3　如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求与的夹角的余弦值．AC ′—→ AC→ 解　(1)∵＝＋＋，AC ′—→ AB → AD → AA ′—→ ∴||2＝(＋＋)2AC ′—→ AB → AD → AA ′—→ ＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)AB → AD → AA ′—→ AB→ AD → AB → AA ′—→ AD → AA ′—→ ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.∴||＝.AC ′—→ 85(2)设与的夹角为θ，AC ′—→ AC→ 方法一　∵ABCD 是矩形，∴||＝＝5.AC→ 32＋42∴由余弦定理可得cos θ＝＝＝.AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC85＋25－252×85×58510方法二　设＝a ，＝b ，＝c ，AB → AD → AA′→ 依题意得·＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b )AC ′—→ AC→ ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°＝16＋9＋10＋＝，152852∴cos θ＝＝＝.AC ′—→·AC→ |AC ′—→||AC → |85285×58510反思与感悟　1.求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝通过向量运算求|a |.a ·a 2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线a·b|a ||b |所成的角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a ，b 〉∈时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈时，它们互补.(0，π2](0，π2](π2，π)跟踪训练3　如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．解　∵＝＋＋，AD→ AB → BC → CD → ∴||2＝(＋＋)AD → AB→ BC → CD → 2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°AB → BC → CD → AB → BC → AB → CD → BC → CD → ＋2·2·cos90°)＝8，∴||＝2，即A ，D 两点间的距离为2.AD→ 22类型三　利用空间向量的数量积解决垂直问题例4　如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .证明　因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ，所以∠AOC ＝∠AOB .又·＝·(－)＝·－·OA→ BC → OA → OC → OB → OA → OC → OA → OB → ＝||||cos ∠AOC －||||cos ∠AOB ＝0，OA → OC → OA→ OB → 所以⊥，即OA ⊥BC .OA→ BC → 反思与感悟　1.证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．2．证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练4　已知向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的2夹角为________．答案　45°解析　∵a 与2b －a 垂直，∴a ·(2b －a )＝0，即2a ·b －|a |2＝0.∴2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0，∴4cos 〈a ，b 〉－4＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝，222又〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴a 与b 的夹角为45°.1．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，则a ·(b ＋c )的值为________．答案　3解析　∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝4－6＋5＝3.2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________．答案　75解析　依题意得(k a ＋b )·(2a －b )＝0，所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0，而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1，所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝.753．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝－，则〈a ，b 〉2222＝________.答案　3π4解析　cos 〈a ，b 〉＝＝－，a ·b |a ||b |22又∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝.3π44．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案　2解析　||2＝2＝(＋＋)2EF → EF → EC → CD → DF → ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)EC → CD → DF → EC→ CD → EC → DF → CD → DF → ＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴||＝，∴EF 的长为.EF→ 225．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量与的夹角为________．AB→ AC → 答案　π3解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，AB → AC→ ∴||＝3，||＝，AB → 2AC→ 2·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，AB→ AC → ∴cos 〈，〉＝＝，AB → AC → AB → ·AC →|AB → ||AC → |12又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.AB →AC → AB → AC→ π31．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．2．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．一、填空题1．设a ，b ，c 为两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝________.答案　14解析　|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，故|a －2b ＋3c |＝.142．已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为________．答案　6解析　∵＝＋＋，AC 1—→ AB → AD → AA 1—→ ∴||2＝(＋＋)AC 1—→ AB → AD → AA 1—→ 2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°AB → AD → AA 1—→ AB → AD → AB → AA 1—→ AD → AA 1—→ ＋cos60°)＝6，∴||＝.AC 1—→ 63．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是AB→ CA → ________．答案　2π3解析　＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，·＝－7，||＝，||＝，AB → CA → AB → CA → AB → 14CA→ 14∴cos θ＝＝－，－714×1412又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.2π34．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.答案　2解析　据题意，有c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，故(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为，则|a ＋b |＝________.π3答案　7解析　|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，∴|a ＋b |＝.π376．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝，则cos 〈a ，b 〉＝________.7答案　18解析　将|a －b |＝化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝，712再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，求得cos 〈a ，b 〉＝.187．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________．答案　－13解析　∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－＝－13.32＋12＋4228．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案　90°解析　∵a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，∴a ＋b ＝(sin α＋cos α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )(a －b )＝cos 2α－sin 2α＋sin 2α－cos 2α＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．∴向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.9．已知|a |＝3，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，且m ⊥n ，则实数2λ＝________.答案　－32解析　∵m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×3×4×cos135°2＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，2∴m ·n ＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.3210．将AB ＝2，BC ＝2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，则B ，D 间的距3离为________．答案　7解析　作DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F .由已知可得AC ＝4，DE ＝BF ＝，3∴AE ＝1，CF ＝1，∴EF ＝2.∵二面角的大小为60°，∴与的夹角为120°，DE → FB → ∴||2＝(＋＋)2＝7，DB → DE → EF → FB → ∴||＝，DB → 7∴B ，D 间的距离为.711．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范(－2，t ，－25)围为________________．答案　∪(－∞，－65)(－65，5215)解析　由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×＝3t －，(－25)525因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，即3t －<0，所以t <.5255215若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ，(－2，t ，－25)所以Error!所以t ＝－，65故t 的取值范围是∪.(－∞，－65)(－65，5215)二、解答题12．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，求以，为邻边的平行四边形的AB → AC → 面积S .解　∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，AB → AC → ∴||＝＝，||＝＝，cos 〈，〉＝＝＝AB → 4＋1＋914AC → 4＋1＋914AB → AC → AB → ·AC → |AB → ||AC → |－2＋3＋614×14，12且〈，〉∈[0，π]，AB → AC → ∴sin 〈，〉＝，AB → AC → 32∴S ＝||||·sin 〈，〉＝7，AB → AC → AB → AC → 3∴以，为邻边的平行四边形的面积为7.AB → AC → 313.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求与夹角的余弦值．A 1B —→ B 1C —→ 解　以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．CA → CB → CC 1—→(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，故||＝＝，BN → (1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)23所以线段BN 的长为.3(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，BA 1—→ CB 1—→ ·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.BA 1—→ CB 1—→ 又因为||＝，||＝，BA 1—→ 6CB 1—→ 5所以cos 〈BA 1，〉＝＝.CB 1→ BA 1—→ ·CB 1—→|BA 1—→||CB 1—→ |3010即与夹角的余弦值为.A 1B —→ B 1C —→ 3010三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤，则a ·b 的最6大值是________．答案　12解析　由已知可得：≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |6由于上式对任意单位向量e 都成立．∴≥|a ＋b |成立．6∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤.1215.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为.2(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为，求侧棱的长．π3(1)证明　＝＋，AB 1—→ AB → BB 1—→ ＝＋.BC 1—→ BB 1—→ BC → ∵BB 1⊥平面ABC ，∴·＝0，·＝0.BB 1—→ AB → BB 1—→ BC → 又△ABC 为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.AB → BC → BA → BC → π32π3∵·＝(＋)·(＋)AB 1—→ BC 1—→ AB → BB 1—→ BB 1—→ BC →＝·＋·＋2＋·AB → BB 1—→ AB → BC → BB 1—→ BB 1—→ BC →＝||||·cos 〈，〉＋2＝－1＋1＝0，AB → BC → AB → BC → BB 1—→ ∴AB 1⊥BC 1.(2)解　结合(1)知·＝||||·cos 〈，〉＋2＝2－1.AB 1—→ BC 1—→ AB → BC → AB → BC → BB 1—→ BB 1—→ 又||＝＝＝||，AB 1→ (AB → ＋BB 1—→ )22＋BB 1—→ 2BC 1—→ ∴cos 〈，〉＝＝，AB 1—→ BC 1—→BB 1—→2－12＋BB 1—→212∴||＝2，即侧棱长为2.BB 1—→。

高中数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2

§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理 (1)用向量表示直线的位置：条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a (即直线的方向向量)形式在直线l 上取AB →＝a ，那么对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP →＝tAB → 作用定位置点A 和向量a 可以确定直线的位置定点可以具体表示出l 上的任意一点(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a ，b 和交点O形式对于平面α上任意一点P ，存在有序实数对(x ，y )使得OP →＝x a ＋y b②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：平面的法向量直线l ⊥α，直线l 的方向向量叫做平面α的法向量确定平面位置过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量：直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a ，叫做直线l 的一个方向向量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量n ，n 叫做平面α的法向量知识点二利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v 1＝(a 1，b 1，c 1)，v 2＝(a 2，b 2，c 2)分别是直线l 1，l 2的方向向量．若直线l 1∥l 2，则向量v 1，v 2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R )．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理 (1)空间中平行关系的向量表示：设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b (k ∈R ) 线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝k v (k ∈R )(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量．解由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)．反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)．证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________．答案平行解析设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设存在满足题意的点E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)．答案 ③解析显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)．答案 ④解析由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________．答案 x －3y －z ＋4＝0解析由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)．又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简，得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________．答案－8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________．答案 12解析因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________．答案 ±2解析易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________．答案 4解析因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线，所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________．答案－1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________.答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案－3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z. ∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行，∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________.答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5.二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)，所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；(2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )，当z ＝12时，AP →＝BQ →，即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示含答案解析

3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a ＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a ∥b (a ≠0)⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57]空间向量的坐标表示[例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二：如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).空间向量的坐标运算[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)，求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).空间向量的平行[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS .∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标； (3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)． ∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz .因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0.8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。

2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.2(二)

3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明方法一设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)．因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0，所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________．答案－12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________．答案 (－1,0,2)解析由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)，所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案垂直解析以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．答案 π2或π3解析由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2；当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______．答案－3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ，由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何疑难规律方法

1　空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层　用已知向量表示未知向量例1　如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设＝a ，＝b ，＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示AA 1―→ AB → AD→ 以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.AP → A 1N ―→ MP → NC 1―→ 解　(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴＝＋＋＝a ＋＋AP → AA 1―→ A 1D 1――→ D 1P ―→ AD → 12D 1C 1――→ ＝a ＋c ＋＝a ＋c ＋b .12AB→ 12(2)∵N 是BC 的中点，∴＝＋＋＝－a ＋b ＋A 1N ―→ A 1A ―→ AB → BN → 12BC → ＝－a ＋b ＋＝－a ＋b ＋c .12AD→ 12(3)∵M 是AA 1的中点，∴＝＋＝＋MP → MA → AP → 12A 1A ―→ AP →＝－a ＋＝a ＋b ＋c ，12(a ＋c ＋12b)1212又＝＋＝＋NC 1―→ NC → CC 1―→ 12BC → AA 1―→ ＝＋＝c ＋a ，12AD → AA 1―→ 12∴＋＝＋MP → NC 1―→ (12a ＋12b ＋c )(a ＋12c )＝a ＋b ＋c .321232点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．第2层　化简向量例2　如图，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)＋＋；AB→ BC → CD → (2)＋(＋)；(3)－(＋)．AB → 12BD → BC → AG → 12AB→ AC → 解　(1)＋＋＝＋＝.AB→ BC → CD → AC → CD → AD → (2)＋(＋)＝＋＋AB → 12BD → BC → AB → 12BC → 12BD → ＝＋＋＝.AB→ BM → MG → AG → (3)－(＋)AG → 12AB→ AC → ＝－＝.AG→ AM → MG →，，如图所示．AD→ AG → MG →点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层　证明立体几何问题例3　如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明　设＝a ，＝b ，＝c ，AB → AC → AD→ 则＝＋＝＋BG → BA → AG → BA → 34AM →＝－a ＋(a ＋b ＋c )＝－a ＋b ＋c ，14341414＝＋＝＋(＋)BN → BA → AN → BA → 13AC→ AD → ＝－a ＋b ＋c ＝.131343BG→ ∴∥，又∵与有公共点B ，BN → BG → BN→ BG → ∴B ，G ，N 三点共线．2　空间向量易错点扫描易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清例1　“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)错解　a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝a·b|a||b |角”的充要条件．错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析　当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．正解　必要不充分易错点2　忽略两向量的夹角的定义例2　如图所示，在120°的二面角α—AB —β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．错解　∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴·＝0，·＝0，CA → AB → BD→ AB → ∵二面角α—AB —β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.CA→ BD → ∴CD 2＝2＝(＋＋)2CD → CA→ AB → BD → ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD ＝6CA → AB → BD → CA → AB → CA → BD → BD → AB → .2错因分析　错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量，的夹角与二面CA→ BD → 角α—AB —β的平面角互补，而不是相等．正解　∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴·＝0，·＝0，CA → AB → BD→ AB → ∵二面角α—AB —β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.CA→ BD → ∴CD 2＝2＝(＋＋)2CD → CA→ AB → BD → ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.CA → AB → BD → CA → AB → CA → BD → BD → AB → 易错点3　判断是否共面出错例3　已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝＋＋，b ＝＋－，则OA → OB → OC → OA→ OB → OC → 与a ，b 不能构成空间的一个基底的是________．(将正确答案的序号填上)①；②；③；④或.OA → OB → OC → OA→ OB → 错解　a ＝＋＋，b ＝＋－，OA → OB → OC → OA→ OB → OC →相加得＋＝(a ＋b )，OA → OB→ 12所以，都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故填④.OA→ OB → 剖析　＋＝(a ＋b )，说明＋与a ，b 共面，但不能认为，都与a 、b 共OA → OB → 12OA → OB → OA→ OB → 面．设＝x a ＋y b ，OA→ 因为a ＝＋＋，b ＝＋－，OA → OB → OC → OA→ OB → OC → 代入整理得(x ＋y －1)＋(x ＋y )＋(x －y )＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面，OA → OB → OC→ 所以，，不共面，OA→ OB → OC → 所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0，此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与不共面，OA→ 故a ，b 与可构成空间的一个基底．OA→ 同理a ，b 与也可构成空间的一个基底．OB→ 因为a ＝＋＋，b ＝＋－，相减有＝(a －b )，所以与a ，b 共面，OA → OB → OC → OA → OB → OC → OC → 12OC→ 故不能构成空间的一个基底．正解　③易错点4　混淆向量运算和实数运算例4　阅读下列各式，其中正确的是________．(将正确答案的序号填上)①a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c ②a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )④·＝||||cos(180°－∠AOB )OA→ BO → OA → BO → 错解　①(或②或③)剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律，故①③错误；若a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故②错误；·的夹角是180°－∠AOB .OA→ BO → 正解　④易错点5　忽略建系的前提例5　四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 的中点，试合理建立坐标系，求，所成角的余弦值．AF→ BC → 错解　以A 为坐标原点，以，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角AB→ AD → AE → 坐标系A －xyz .此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos 〈，〉＝.AF → BC → AF → BC→ 33剖析　空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直．正解　设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD .因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ，因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标OC→ OD → OF → 系O －xyz .此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，AF → BC→ 3所以cos 〈，〉＝.AF → BC→ 24易错点6　求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例6　在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A －BD 1－C 的大小．错解　以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知是平面ABD 1的一个法向量，＝(1,0,1)，是平面BCD 1的一个法向量，DA 1―→ DA 1―→ DC 1―→ ＝(0,1,1)，DC 1―→ 所以cos 〈，〉＝＝.DA 1―→ DC 1―→ DC 1―→ ·DA 1―→|DC 1―→ ||DA 1―→ |12所以〈，〉＝60°.DA 1―→ DC 1―→ 所以二面角A －BD 1－C 的大小为60°.剖析　利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．正解　以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向DA 1―→ DC 1―→ 量．所以cos 〈，〉＝＝，DA 1―→ DC 1―→ DC 1―→ ·DA 1―→|DC 1―→ ||DA 1―→ |12所以〈，〉＝60°.DA 1―→ DC 1―→ 结合图形知二面角A －BD 1－C 的大小为120°.3　空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1　已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解　如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．BC 1―→ CD→ 所以cos 〈，〉＝＝.BC 1→ CD → BC 1―→ ·CD ―→|BC 1―→||CD ―→ |31717故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为.31717点评　本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．2．利用线面垂直关系例2　如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的2π3坐标．解　过B 点作BP ⊥BB 1交C 1C 于点P ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AB ＝，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝，2π3所以CP ＝，C 1P ＝，BP ＝，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，)，B 1(0,2,0)，C1232322，C 1，E ，A 1(0,2，)．(32，－12，0)(32，32，0)(32，12，0)2点评　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口．3．利用面面垂直关系例3　如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连结BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．解　取AE 中点M ，连结BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形，所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M －xyz，如图，则M (0,0,0)，B (0,0，)，C (2，，0)，D (0，，0)，333所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，DC → BD→ 33设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由Error!取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量＝(0，，0)，MD→ 3所以cos 〈m ，〉＝＝，MD → m ·MD →|m ||MD → |22所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．4　用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．1．求解、证明问题例1　在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明　以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴＝(－x ，a ，－a )，A 1F―→ ＝(a ，x －a ，－a )．C 1E―→ ∵·＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )A 1F ―→ C 1E―→ ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0，∴⊥，即A 1F ⊥C 1E .A 1F ―→ C 1E―→ 2．定位问题例2　如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示　假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M 的坐标，若满足条件则存在．|BM → ·n ||BM→ ||n |解　因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形，所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ⊂平面ABCD ，所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直，如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°.设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，BE → BF→ 则Error!即Error!令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝＝BM→ |BM → ·n ||BM → ||n |＝，|－2＋t |t 2＋2×322解得t ＝－4±3.又0≤t ≤1，2所以t ＝3－4.2故在DG 上存在点M (0,0,3－4)，且DM ＝3－4时，直线MB 与平面BEF 所成的角为2245°.点评　由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5　向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1　如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明　因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解　因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)．A 1E ―→ A 1C―→ 设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由Error!得Error!令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝＝，m ·n|m ||n |13由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为.13(3)解　过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊥A 1B 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝××FM 1311A B E S A ＝××FM ＝FM .132×2223因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为.432．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2　如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值．分析　求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(1)证明　以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴＝＝(1,1，－2)＝，D 1F ―→ 23D 1E ―→ 23(23，23，－43)∴＝＋＝(0,0,2)＋DF → DD 1―→ D 1F ―→ (23，23，－43)＝.(23，23，23)设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量，则Error!∴Error!取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量，则Error!∴Error!取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)，∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n ⊥p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解　设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量，则Error!∴Error!取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1)，设二面角A －DF －C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈，则cosθ＝－＝－(π2，π)|n ·q ||n ||q |＝－，|0＋0＋1|2×212∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为－.123．函数思想例3　已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析　写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解　由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－，43又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1＝.5(t －75)2＋65当t ∈时，f (t )＝52＋是单调递减函数，∴f (t )max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在，[－4，－43](t －75)65此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7.而|b |＝，35∴cos 〈b ，c 〉＝＝＝－.b·c|b||c |－275×7391535点评　凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4　如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使⊥？PQ→ QD →分析　由⊥，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，PQ→ QD → 若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解　假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使⊥，PQ→ QD → 即PQ ⊥QD ，连结AQ .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QD .又＝＋且⊥，∴·＝0，PQ → PA → AQ → PQ → QD → PQ→ QD → 即·＋·＝0.PA→ QD → AQ → QD → 又由·＝0，∴·＝0，∴⊥.PA → QD → AQ → QD → AQ→ QD → 即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为.a2又∵AB ＝1，由题图知，当＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意；a2当>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意；a2当<1，即0＜a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意．a2综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使⊥；PQ→ QD → 当0<a <2时，不存在点Q ，使⊥.PQ→ QD →。

2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.1

§3.1　空间向量及其运算3.1.1　空间向量及其线性运算学习目标　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作，其模记为|a |或||.AB → AB→ (2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二　空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作＝a ，＝b ，＝c ，与平面向量的运算OA → OB → AB→一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a ＋c ；OB→ OA → AB → ＝－＝a －b ＝－c .BA→ OA → OB → 若P 在直线OA 上，则＝λa (λ∈R )．OP→ 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三　共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一　空间向量的概念及应用例1　如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；AB→ (2)试写出的相反向量；AA 1—→ (3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量的模．AC 1—→ 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．AB→ A 1B 1—→ DC → D 1C 1—→(2)向量的相反向量有，，，，共4个．AA 1—→ A 1A —→ B 1B —→ C 1C —→ D 1D—→ (3)||＝AC 1—→ |AB →|2＋|AD → |2＋|AA 1—→ |2 ＝＝＝3.22＋22＋129引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．5解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，AA ′—→ A ′A —→ BB ′—→ B ′B—→，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位CC ′—→ C ′C ——→ DD ′—→ D ′D——→ 向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，55AD ′—→ ，，，，，，.D ′A ——→ A ′D ——→ DA ′—→ BC ′—→ C ′B ——→ B ′C ——→ CB ′—→ 反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有＝；AC → A 1C 1→ ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的序号为________．答案　①②解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．AC→ A 1C 1—→类型二　空间向量的线性运算例2　如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；AA ′—→ CB → (2)＋＋.AA ′—→ AB → B ′C ′——→ 解　(1)－＝－＝＋＝.AA ′—→ CB → AA ′—→ DA → AA ′—→ AD → AD ′—→(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.AA ′—→ AB → B ′C ′——→ AA ′—→ AB → B ′C ′——→ AB ′—→ B ′C ′——→ AC ′—→ 向量，如图所示．AD ′—→ AC ′—→引申探究利用本例题图，化简＋＋＋.AA ′—→ A ′B ′——→ B ′C ′——→ C ′A—→ 解　结合加法运算，得＋＝，＋＝，＋＝0.AA ′—→ A ′B ′——→ AB ′—→ AB ′—→ B ′C ′——→ AC ′—→ AC ′—→ C ′A—→ 故＋＋＋＝0.AA ′—→ A ′B ′——→ B ′C ′——→ C ′A—→ 反思与感悟　1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.AC→ AB ′—→ AD ′—→ AC ′—→证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，AC→ AB → AD → AB ′—→ AB → AA ′—→ AD ′—→ AD → AA ′—→ ∴＋＋AC→ AB ′—→ AD ′—→＝(＋)＋(＋)＋(＋)AB → AD → AB → AA ′—→ AD→ AA ′—→ ＝2(＋＋)．AB→ AD → AA ′—→ 又∵＝，＝，AA ′—→ CC ′—→ AD → BC → ∴＋＋＝＋＋＝＋＝.AB → AD → AA ′—→ AB → BC → CC ′—→ AC → CC ′—→ AC ′—→ ∴＋＋＝2.AC→ AB ′—→ AD ′—→ AC ′—→ 类型三　向量共线定理的理解与应用例3　如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且＝2，F 在对角A 1E —→ ED 1—→ 线A 1C 上，且＝.A 1F —→ 23FC—→求证：E ，F ，B 三点共线．证明　设＝a ，＝b ，＝c ，AB → AD→ AA 1—→ 因为＝2，＝，A 1E —→ ED 1—→ A 1F —→ 23FC → 所以＝，＝，A 1E —→ 23A 1D 1—→ A 1F —→ 25A 1C —→ 所以＝＝b ，A 1E —→ 23AD→ 23＝(－)＝(＋－)A 1F —→ 25AC → AA 1—→ 25AB → AD → AA 1—→ ＝a ＋b －c .252525所以＝－＝a ＋b －c －b ＝a －b －c ＝.EF → A 1F —→ A 1E —→ 25252523254152525(a －23b －c )又＝＋＋＝－b －c ＋a ＝a －b －c ，EB → EA 1—→ A 1A —→ AB→ 2323所以＝，EF → 25EB → 又因为与有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．EF→ EB → 反思与感悟　1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )．3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线(1)是否存在实数λ，使＝λ.PA → PB→ (2)对空间任意一点O ，是否有＝＋t .OP→ OA → AB → (3)对空间任意一点O ，是否有＝x ＋y (x ＋y ＝1)．OP → OA → OB→ 跟踪训练3　如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用，表AB→ CD → 示向量.EF→解　＝－EF→ AF → AE → ＝(＋)－12AB → AC → 12AD →＝－(－)＝－.12AB → 12AD → AC → 12AB → 12CD →1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是＋＝.AB→ AD → AC → 答案　②解析　若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有＋＝，故④不正确．AB→ AD → AC → 2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量相等的向A ′B ′→ 量有________个．答案　33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋AB → BC → CC 1—→ AA 1—→ A 1D 1—→ D 1C 1—→ AB→ BB 1—→ B 1C 1—→ AA 1—→ A 1B 1—→ .其中运算的结果为的有________个．B 1C 1—→ AC 1—→ 答案　4解析　根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)AB→ BC → ＋＝＋＝；CC 1—→ AC → CC 1—→ AC 1—→ ②(＋)＋＝＋＝；AA 1—→ A 1D 1—→ D 1C 1—→ AD 1—→ D 1C 1—→ AC 1—→ ③(＋)＋＝＋＝；AB→ BB 1—→ B 1C 1—→ AB 1—→ B 1C 1—→ AC 1—→ ④(＋)＋＝＋＝.AA 1—→ A 1B 1—→ B 1C 1—→ AB 1—→ B 1C 1—→ AC 1—→ 所以4个式子的运算结果都是.AC 1—→ 4．化简2＋2＋3＋3＋＝________.AB → BC → CD → DA→ AC → 答案　0解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.AB → BC → CD → DA → AC → AB → BC → CD → DA→ CD → DA → AC → 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________.考点　空间向量的数乘运算题点　空间共线向量定理及应用答案　±1解析　由k e1＋e2与e1＋k e2共线，得k e1＋e2＝λ(e1＋k e2)，即Error!故k＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号)①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律；③只有零向量的模等于0；④共线的单位向量都相等．答案　④解析　容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c ，则＝________.(用a ，b ，c 表AB → BC → AD → CD→ 示)答案　c －a －b 解析　如图，∵＋＋＋＝0，AB→ BC → CD → DA → 即a ＋b ＋－c ＝0，CD→ ∴＝c －a －b .CD→ 3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，－＋－＝________.AB→ CD → BC → DA → 答案　2AC→解析　－＋－＝(＋)－(＋)AB → CD → BC → DA → AB → BC → CD→ DA → ＝－＝2.AC → CA → AC → 4．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：AB→ BC → AC → ①AB ＋＝；②－＝；③|A |＋|B |＝|A |；④|A |－|A |＝|B |.其中一定BC → AC → AB → AC → BC → B → C → C → B → C → C→ 不成立的是____________．(填序号)答案　②解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：A ＋B ＝A 恒成立；对于③：当B → C → C→ A ，B ，A 方向相同时，有|A |＋|B |＝|A |；对于④：当B ，A ，A 在一条直B → C → C → B → C → C → C → B → C→ 线上且B 与A ，A 方向相反时，有|A |－|A |＝|B |.C → B → C → B → C → C→ 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则＋－－化AB → 12BC → 32DE→ AD → 简的结果为________．答案　0解析　延长DE 交边BC 于点F ，则＋＝，＋＝＋AB → 12BC → AF → 32DE→ AD → DF → AD → ＝＋＝，AD→ DF → AF → 故＋－－＝－＝0.AB → 12BC → 32DE→ AD → AF → AF →6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＋＋＝________，－＋＝________.AB → AD → AA 1→ DD1→ AB → BC →答案 AC 1—→ BD 1—→解析　＋＋＝＋＋＝，AB → AD → AA 1—→ AB → BC → CC 1—→ AC 1—→ －＋＝－(－)DD 1—→ AB → BC → DD 1—→ AB → AD → ＝－＝.DD 1—→ DB → BD 1—→ 7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C ＝a ，C ＝b ，C 1＝c ，则＝________.A → B → C→ A 1B —→ 答案　－a ＋b －c解析　如图，＝＋＝＋(－)A 1B —→ A 1A —→ AB →C 1C —→ CB → CA → ＝－＋－＝－c ＋b －a .CC 1—→ CB → CA → 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＝，＝x ＋y (＋)，则A 1E —→ 14A 1C 1—→ AE → AA 1—→ AB → AD → x ＝________，y ＝________.答案　1　14解析　∵＝＋＝＋AE → AA 1—→ A 1E —→ AA 1—→ 14A 1C 1—→＝＋＝＋(＋)，AA 1—→ 14AC → AA 1—→ 14AB → AD → ∴x ＝1，y ＝.149．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且＝＋m －nAF → AD → AB → ，则m ，n 的值分别是________．AA 1—→ 答案　，－1212解析　由于＝＋＝＋(＋)AF → AD → DF → AD → 12DC → DD 1—→ ＝＋＋，AD → 12AB → 12AA 1—→ 所以m ＝，n ＝－.121210．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号)①＋＋＋＝0；EB → BF → EH → GH → ②＋＋＋＝0；EB → FC → EH → GE →③＋＋＋＝0；EF → FG → EH → GH → ④－＋＋＝0.EF → FB → CG → GH → 答案　②解析　易知四边形EFGH 为平行四边形，所以＋＋＋＝＋＋＋EB → FC → EH → GE → EB → BF → GE → EH →＝＋＝0.EF → GH → 11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的AB → CD → 中点分别为E ，F ，则＝________.(用向量a ，b ，c 表示)EF →答案　3a ＋3b －5c解析　设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则＝＋EF → EG → GF →＝＋12AB → 12CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )1212＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)＋；AB → BC → (2)＋＋；AB → AD → AA ′—→ (3)＋＋；AB → CB → AA ′—→ (4)＋－.AC ′—→ D ′B —→ DC → 解　(1)＋＝.AB → BC → AC → (2)＋＋＝＋AB → AD → AA ′—→ AC → AA ′—→＝.AC ′—→ (3)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.AB → CB → AA ′—→ AB → DA → BB ′—→ DA → AB → BB ′—→ DB ′—→ (4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.AC ′—→ D ′B —→ DC → AB → BC → CC ′—→ DA → DC → C ′C —→ DC → DC → 13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若＝＋x ＋y ，求x ，y 的值．AE → 12OD → OB → OA →解　∵＝＋＋AE → AB → BC → CE →＝－＋－－OB → OA → OC → OB → 12OC →＝－＋＝－＋(＋)OA → 12OC → OA → 12OD → DC → ＝－＋(＋)OA → 12OD → AB → ＝－＋＋(－)OA → 12OD → 12OB → OA →＝－＋＋，32OA → 12OD → 12OB → ∴x ＝，y ＝－.1232三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝2e 1＋k e 2，＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，AB → CB → CD → 且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案　－8解析　∵＝＋＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，BD → BC → CD → 又∵A ，B ，D 三点共线，∴＝λ，AB → BD → 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴Error!∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：＝(＋＋)．AG → 13AB → AC → AD →证明　连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知＝.BG → 23BE → ∵E 为CD 的中点，∴＝＋.BE → 12BC → 12BD → ∴＝＋＝＋AG → AB → BG → AB → 23BE →＝＋(＋)AB → 13BC → BD → ＝＋[(－)＋(－)]AB → 13AC → AB → AD → AB → ＝(＋＋)．13AB → AC → AD →。

2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何模块综合 Word版含答案

模块综合试卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为________．答案∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0解析全称命题的否定是存在性命题．2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p .3．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是________．答案(0，－2)解析抛物线方程化为标准方程为x 2＝－8y ，∴2p ＝8，∴p2＝2.∵抛物线开口向下，∴抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标为(0，－2)．4．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．答案y24－x24＝1解析由题意设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，则a ＝2,2a ＋2b ＝22c ，得b ＝2c －2，结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝2，故双曲线方程为y24－x24＝1.5．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．答案1解析λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0.∴λ－1＝0，即λ＝1.6．设F 1和F 2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．答案2解析由题意知tan π6＝c 2b ＝33，所以3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca＝2.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案充分不必要解析由q ⇒綈p 且綈p ⇏q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇏p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案4解析根据题意知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，即p2＝2，解得p ＝4.9．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．答案4解析抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.10．已知a ＞0且a≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫12，1解析由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得12＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．故a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.11．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，MF ＋NF ＝6，则MN 的中点的横坐标为________．答案2解析∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴MF ＋NF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝6，解得x 1＋x 2＝4.∴线段MN 的中点的横坐标为2.12．设P 为直线y ＝b3ax 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.答案324解析由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b2a＝b 3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324. 13．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案120°解析在椭圆x29＋y22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7.因为PF 1＝4，且PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 2＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝错误!＝－错误!，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案63解析以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)，所以BD1→＝(－1，－2,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量．设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD1→〉|＝|AB →·BD1→||AB →||BD1→|＝错误!＝错误!.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m|2<1，∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4， ∴错误!或错误!解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是[2＋1,4)．16．(14分)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．解(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x1－p 2⎝⎛⎭⎫x2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∵p ＞0，∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .17．(14分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10，即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，得[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)，解得x <1－m 或x >1＋m (m >0)，即命题q 对应的集合为Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集．故有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≥－2，1＋m<10或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m>－2，1＋m≤10.解得0<m ≤3.所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．(16分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·OB →＝8x ＝0，n·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n .又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .19．(16分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝59上，求m 的值．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2＝2b ，b2＝a2－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，由Δ＝4m 2－12(m 2－2)＝－8m 2＋24＞0，得－3＜m ＜ 3.所以x 0＝x1＋x22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝59上，所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝59，解得m ＝±1，满足Δ＞0，故m ＝±1.20．(16分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，B (1,2,0)，E (1,1，0)．DA1→＝(1,0,1)，DE →＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·DA1—→＝0，n1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋z1＝0，x1＋y1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD1—→＝(－1，－2,1)，且BD1—→·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故BD1—→⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1∥平面A 1DE .(2)证明由题意得D1E —→＝(1,1，－1)，DA1—→＝(1,0,1)，D1E —→·DA1—→＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0，D1E —→⊥DA1—→，故D 1E ⊥A 1D .(3)解设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，因为MC →＝(－1,2－y 0，0)，D1C —→＝(0,2，－1)，设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧v1·MC →＝0，v1·D1C —→＝0，得错误!取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1MCD 的大小为π6，则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v1·v2||v1||v2|＝错误!＝错误!，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)．所以当AM ＝2－33时，二面角D 1MCD 的大小为π6.。

2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版第3章空间向量与立体几何章末复习ppt版本

∵|c|＝3，∴ －2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3，
又∵|a|＝ 12＋12＋02＝ 2，
∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).
12345
解答
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解 ∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
其中正确结论的序号是__③__④____.
解析答案
反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
则M→N＝M→A＋A→N，
解答
类型二利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA 的中点，求证： (1)PC∥平面EBD.
所以GH∥AB，且GH＝21AB.
证明
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
解答
达标检测
→ AG
解析在△BCD中，因为点G是CD的中点，
从而A→B＋12(B→D＋B→C)＝A→B＋B→G＝A→G. ∵a∥b，∴4－42m＝2m－－21m，解得 m＝3.
12345
所以B→G＝12(B→D＋B→C)，
解析当2－2m＝0，即m＝1时， a＝(2,0,0)，b＝(4,0,0)，满足a∥b；当2－2m≠0，即m≠1时，
解析 O→M·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.
综上可知，m＝3或m＝1.
12345
解析答案
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)
再见

2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版第3章空间向量与立体几何 3.2.3ppt版本

解答
类型二求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为A1(0,，2a)， a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
2
解答
反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算.
(1， 2，－1)，平面 ABCD 的一个法向量为
n＝(0,0,1),
所以
→ cos〈PC，n〉＝
→ PC·n →
＝－21，
|PC||n|
与平面ABCD所成的角是_3_0_°__.
1234
解析答案
规I律mN 与ao 方ge 法
向量法求角 (1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. (3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.
图形
关系计算
〈e，n〉∈
π 2
θ＝
π 2
－〈e，n〉
，
〈e，n〉∈
，
θ＝〈e，n〉－ π2，π
sin θ＝|cos〈e，n〉|
2.向量法求二面角的原理条件平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n1，n2〉＝φ
图形
关系计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
第3章 §3.2 空间向量的应用
3.2.3 空间的角的计算

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3.2.3 空间的角的计算学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一空间角的计算(向量法) 空间三种角的向量求法知识点二向量法求线面角、二面角的原理 1．向量法求直线与平面所成角的原理2.向量法求二面角的原理1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)2．若向量n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.(×) 3．直线与平面所成角的范围为⎝⎛⎭⎫0，π2.(×)类型一求两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)， A (3，0,0)，A 1(3，1，3)， B (0,2,0)，∴A 1B —→＝(－3，1，－3)， O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B —→，O 1A —→〉| ＝|A 1B —→·O 1A —→||A 1B —→ ||O 1A —→|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．跟踪训练1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解不妨设正方体的棱长为2，以D 点为坐标原点，分别取DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (1,1,2)，则AE →＝(－1,0,2)，CF →＝(1，－1,2)， ∴|AE →|＝5，|CF →|＝6，AE →·CF →＝－1＋0＋4＝3. 又AE →·CF →＝|AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉＝30cos 〈AE →，CF →〉， ∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为3010. 类型二求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解以A 点为坐标原点，AB ，AA 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )， C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，方法一取A 1B 1的中点M ，则M ⎝⎛⎭⎫0，a2，2a ，连结AM ，MC 1，有MC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )．∴MC 1—→·AB →＝0，MC 1—→·AA 1—→＝0，∴MC 1—→⊥AB →，MC 1—→⊥AA 1—→，则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， ∴AC 1—→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24， |AC 1—→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ，∴cos 〈AC 1—→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1—→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1—→，AM →〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )， AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AA 1—→＝0，即⎩⎨⎧ay ＝0，2az ＝0，∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)． ∵AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，∴cos 〈AC 1—→，n 〉＝n ·AC 1—→|n ||AC 1—→|＝－λ2|λ|，∴|cos 〈AC 1—→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)，∴AS →＝(0,0,1)， CS →＝(－1，－1,1)．显然AS →是底面ABCD 的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝90°－θ，故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0°，90°]， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 类型三求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解方法一如图，以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连结BD 与AC 交于点O ，取AD 的中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA →＝CD →.∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0， ∴OE →⊥AC →，∵OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0，∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.又∵〈OE →，OF →〉∈[0°，180°]， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)．设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z ，∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.又∵〈m ，AP →〉∈[0°，180°]， ∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝1820×18 ＝31010，又异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1—→＝(0,2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的法向量．同理，取平面ABA1的法向量为n2＝(0,1,0)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ，由|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|＝29×1＝23，得sinθ＝53.所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为5 3.1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．答案 ±156解析由(0，－1，3)·(2，2，4)1＋9×4＋4＋16＝－2＋1210×24＝156，可知这个二面角的余弦值为156或－156. 2．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．答案 60°解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是________．答案 23解析以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB →＝(1,1,0)，DC 1—→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)，设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.4．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________．答案 30°解析以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1), 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →||n |＝－12，又因为〈PC →，n 〉∈[0°，180°]，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角是30°.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为________．答案 30°解析异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以l 1与l 2这两条异面直线所成的角为180°－150°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．答案 45°或135°解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝3π4，则l与α所成的角为________．答案 π4解析线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵〈a ，n 〉＝3π4，∴l 与法向量所在直线所成角为π4，∴l 与α所成的角为π4.4．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为________．答案1010解析 ∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)， ∴AB 1—→＝(0，－2,2)，ED 1—→＝(0,1,2)， ∴|AB 1—→|＝22，|ED 1—→|＝5， AB 1—→·ED 1—→＝0－2＋4＝2，∴cos 〈AB 1—→，ED 1—→〉＝AB 1—→·ED 1—→|AB 1—→||ED 1—→|＝222×5＝1010，∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010. 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．答案63解析设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)， B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)．又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.6．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1B 1的中点，则直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为________．答案1010解析以A 1为坐标原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，C (2,2,2)，E (1,0,0)，AC →＝(2,2,0)，AE →＝(1,0，－2)． ∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC →＝(2,2,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设直线AE 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝1010.7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．答案 90°解析以A 1为坐标原点，A 1C 1—→，A 1A —→的方向为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B —→＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1—→·C 1B —→＝64－24－1＝0，∴AB 1—→⊥C 1B —→.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.8．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为________．答案 π6解析如图所示，取AC 的中点O ，连结OB ，取A 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为坐标原点，OC ，OO 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，易得B (－3，0,0)，A (0，－1,0)，C 1(0,1,3)，B 1(－3，0,3)， ∴BB 1—→＝(0,0,3)，AB 1—→＝(－3，1,3)，AC 1—→＝(0,2,3)，设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1—→＝0，n ·AC 1—→＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，2y ＋3z ＝0，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，233，设BB 1与平面AB 1C 1所成的角为θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵sin θ＝|cos 〈BB 1—→，n 〉|＝233×433＝12，∴θ＝π6.9.如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段P A ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________．答案36解析以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．EF →＝(1,2，－1)， BD →＝(－2,2,0)，故cos 〈EF →，BD →〉＝243＝36.10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．答案 23解析如图，以点D 1为坐标原点，D 1A 1－D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以D (0,0,2a )，C 1(0，a,0)，B (a ，a,2a )，C (0，a,2a )．设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·DC 1—→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(－a ，－a ，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，a ，－2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝2z ，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－12，∴CD →·n ＝(0，－a,0)·⎝⎛⎭⎫1，－1，－12＝a ， ∴cos 〈CD →，n 〉＝a a ·1＋1＋14＝23，设CD 与平面BDC 1所成角为α， ∴sin α＝23.二、解答题11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，求该二面角的大小．解由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →. ∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2. ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，又∵〈CA →，BD →〉∈[0°，180°]， ∴〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是CC 1，D 1A 1，AB 的中点，求GA 与平面EFG 所成角的正弦值．解如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)． ∴EF →＝(1，－2,1)， EG →＝(2，－1，－1)， GA →＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量，则由n ⊥EF →，n ⊥EG →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，解得x ＝y ＝z .令x ＝1，得n ＝(1,1,1)．设GA 与平面EFG 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈GA →，n 〉|＝|－1|1×3＝33，∴GA 与平面EFG 所成角的正弦值为33. 13.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值； (2)求二面角A 1－EC －A 的余弦值．解如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，A 1(1,0,1)， (1)BD 1—→＝(－1，－1,1)，CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈BD 1—→，CE →〉＝BD 1—→·CE →|BD 1—→||CE →|＝－123×52＝－1515，又异面直线所在角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值是1515. (2)因为DD 1⊥平面AEC ，所以DD 1—→为平面AEC 的一个法向量，DD 1—→＝(0,0,1)，设平面A 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又A 1E —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1C —→＝(－1,1，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E —→＝0，n ·A 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，取n ＝(1,2,1)，所以cos 〈DD 1—→，n 〉＝11×6＝66，结合图形知，二面角A 1－EC －A 的余弦值为66. 三、探究与拓展14．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|·cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝0.15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．(1)证明如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)．可得PC →＝(0,1，－2)， AD →＝(2,0,0)，则PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解由(1)可得PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．又AD →＝(2,0,0)是平面P AC 的一个法向量，所以cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝66，从而sin 〈AD →，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)解由(2)可得CD →＝(2，－1,0)．设AE ＝h ，h ∈[0,2]，则E (0,0，h )，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 所以cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →||CD →|＝3212＋h 2×5＝32，解得h ＝1010，即AE ＝1010.。

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