2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(10)立体图形的直观图
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册课件：8.4.2
直线与平面的位置关系中文字语言、图形 语言和符号语言的表示
直线在平面 位置关系
内
无数个公共 公共点个数
点
符号表示
a⊂α
直线在平面外
直线与平面相 直线与平面平
交
行
1个
0个
a∩α＝A
a∥α
图形表示
两个平面之间的位置关系有且只有两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线。
第八章 立体几何初步
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标：
1.掌握空间中直线与直线的位置关系。 2.理解异面直线的概念。 3.理解直线与平面位置关系的定义。 4.理解平面与平面位置关系的定义。
我们已经认识了空间中点、直线、 平面之间的一些位置关系，如点在 平面内，直线在平面内，两个平面 相交，等等。
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关
D 系是( )
A.a∥c
B.a和c异面
C.a和c相交
D.a和c平行、相交或异面
答案：D [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB 所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行． 若令C′C所在直线为c，则a和c异面． 若令D′D所在直线为c，则a和c相交．]
2.以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，
C 且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
A
B
C
D
答案：C [本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线 的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A， B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]
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第六章 平面向量及其应用
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6.1 平面向量的概念
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6.2 平面向量的运算
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0002页 0082页 0111页 0162页 0222页 0282页 0336页 0429页 0481页 0524页 0603页 0666页
第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.4 平面向量的应用 7.1 复数的概念 7.3 * 复数的三角表示 8.1 基本立体图形 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.5 空间直线、平面的平行 第九章 统计 9.2 用样本估计总体 第十章 概率 10.2 事件的相互独立性
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2019-2020学年高中数学新同步人教A版必修2模块测评.docx
模块综合测评（教师独具）（满分：150分 时间：120分钟）一'选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）[满足条件的情形如下:5.圆（X +1）2+/=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）A. 1B. 2 C I — 1 —0+3|［圆心（一1, 0）,直线x-y+3-O,所以圆心到直线的距离为/ 2 , z 丄 \1 + （―1）=72.]6. 直线2ax+y-2=0与直线x-（a+l ）y+2=0互相垂直，则这两条直线的C. ^21.若＜/〃0, aUa, buf}, 平行或异面则a 与b 的位置关系是（）A. B. 相交 C. 异面 D. 平行2. A. 直线y=kx 与直线y=2x+l 垂直, —2 B. 2 C. -*[由题意,得 2k= — 1 > k = —2']3.两圆 Ci ： x * 2+y 2=r 2与 C 2： (%-3)2+(y+l)2 = r 2(r>0)外切，则 r 的值为( )B-f A.VTo-i C. D. 或帧+1[因为两圆外切且半径相等，所以|GC2| = 2r.所以r=^.]4. 在空间直角坐标系中，0为坐标原点，设A （j,B. AB LAC ]则k 等于（）交点坐标为()A・"I) B. (|, -1) C. (|, |) D. (-1, ||C [由题意知：2a—(a+l) = 0,得a=l,所以2x+y-2 = 0, x~2y+2 = Q, 解得x=|, y=|-l7.如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BD上任意一点，则一定有（）A.PCi与AAi异面B.PG与4心垂直C.PG与平面ABiDi相交D.PCi与平面AB X D X平行D ［当A, P, C共线时，PCi与AAi相交不垂直，所以4, B错误；连接BC”DCi（图略），可以证ADi//BCi，ABj/DCx，所以平面AB X D X〃平面BDC X.又PG U平面BDCi，所以PCi与平面ABrDy平行.］8.在长方体ABCD-AiBiCrD i 中，AB=y［2, BC=4,AA】=甫,则4G 和底面ABCD 所成的角为（）A. 30°B. 45°D. 75°C. 60°A ［如图所示，连接4C,在长方体ABCD-A x B x CxD x中，CG丄底面ABCD,所以ZQAC就是4G与底面4BCD 所成的角.因为AB=y/2, BC=4, AA X=\[6,所以CCi=4Ai=&, ACi9.己知点4(—1, 1), B(3, 1),直线/过点C(l, 3)且与线段AB相交，则直线/与圆(X-6)2+/=2的位置关系是()A.相交D [因为k AC=l, *BC=—1，直线/的斜率的范围是(一8, —1] U [1, +°°), 直线BC方程为x+y—4 = 0,圆(X-6)2+/=2的圆心(6,0)到直线BC的距离为迈，因此圆(尢一6)2+y2 = 2与直线BC相切，结合图象可知，直线/与圆(兀一6)2+y2 = 2 的位置关系是相切或相离・]10.设Z, m, n表示三条直线，a, B，丫表示三个平面，则下面命题中不成立的是()A.若/丄a,加丄a,则I//mB・若加U0,加丄〃是/在0内的射影，则加丄〃C.若加Ua, nQa, m//n,贝J n//aD・若a丄y, 0丄丫，贝\ allBD [若/丄a, m丄a,则I//m, A正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若mUB，m丄I,〃是/在0内的射影，则加丄〃，B正确；由直线与平面平行的判定定理，若mUa, nQa, m//n,则n//a, C正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，即若a丄y, 0丄/,则a///3或aQ0=a, D不正确・]11.如果圆” + ©—1)2= 实数C的取值范围是()二1上任意一点P(x, y)都能使x+y+c》0成立，那么A. c$—"\[2—1C. c$迈一1B・D・cW寸5—1C [对任意点P(x, y)能使x+y+c^0成立，等价于c^[ —(x+y)]max.设〃=得一迄一lWbW述一1.所以c$迄一1.]= 2&.所以在RtZiACCi 中，sinZCiAC=CCi_ ^6AG 2y[6=空.所以Z Cp4C=30°•]B.相离C.相交或相切D.相切或相离12.如图，在ZX4BC 中，AB=BC=^6, ZABC=90° , 点D 为AC 的中点，将△4BD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.兀B. 3兀C. 5兀D. 7兀D [由题意得该三棱锥的面PCD是边长为书的正三角形，且BD丄平面PCD, 设三棱锥P-BDC外接球的球心为O,△PCD外接圆的圆心为0”则001丄平面PCD,所以四边形OOiDB为直角梯形，由BD=晶 04=1,及OB=OD,得7OB=29所以外接球半径为R= 2 ?所以该球的表面积S=47iR2=471X-=771.]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线13.若直线（m+ 1）%—y —（m + 5） = 0 与直线2x — my — 6 = Q平行，贝!！m =2—2 [由题意知：m+1 =—,解得m= 1或一2.当m= 1时，两直线方程均为m2x—y—6 = 0,两直线重合，不合题意，舍去；当加=—2时，直线分别为x+y+3=0, x+y—3 = 0,两直线平行・]14.（2018江苏高考）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________ ・| [平面ABCD将多面体分成了两个以迈为底面，边长、高为1的正四棱锥, 所以其体积为72X^/2X1X|X2=|.]15. (2018-天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0)的圆的方程为.|(2-V2)m [由 PD 丄底面 ABCD 得 PD 丄AD 又 PD=m, FA=y[2m,则 AD =九设内切球的球心为O,半径为R,连接Q4, OB, OC, OD, OP (图略)，易知1 2 1 2 1 Vp-ABCD =Vo-ABCD~^ Vo-PAD^ Vo-PAB^ Vo-PBC^ Vo-PCD> 即 * m = ^'m ^R +亍 X* • m • R+^X^-^m 2 • R+gx*迈 m 2 • R+j'-^-m 2 • R,解得R=|(2-V2)m,所以此球的最大半径是*2—迄)九］三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤)17. (本小题满分10分)已知直线/的方程为3x+4y —12 = 0,分别求下列直线 r 的方程，r 满足：(1) 过点(一1, 3),且与/平行；(2) 与直线I 关于y 轴对称.x+y 2-2x=0 ［设圆的一般方程为x+y 2+Dx+Ey+F=0,又因为圆经过三点(0, 0), (1, 1), (2, 0),所以 F=0,1 + 1+D+E+F=O,解得 D=—2, E=0, F=0,22 + 2D+F=0,所以圆的方程为x 2 + y 2—2x=0.］16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为加的正方形，PD 丄底面 ABCD,且 PD=m,PA=PC=^2m,若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是.3［解］⑴因为/〃儿所以「的斜率为一才,3所以直线&的方程为：丁一3 = —了仕+1),即3x+4y—9 = 0.⑵/与丁轴交于点(0, 3),该点也在直线「上，在直线/上取一点4(4, 0),则点4关于y 轴的对称点4'(一4, 0)在直线「上，所以直线「经过(0, 3)和(一4, 0) 两点，故直线/'的方程为3x-4y+12 = 0.18.(本小题满分12分)已知圆C： ?+/-8j+12 = 0,直线/经过点D(—2, 0),且斜率为上(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线/与圆C相离，求k的取值范围.［解］⑴将圆C的方程?+y2-8^+12=0配方得标准方程为#+(丁一4尸=4, 则此圆的圆心为C(0, 4),半径为2.所以CD的中点E(—l, 2),|CD|=V?+7 = 2V5,所以r=\[5,故所求圆E的方程为(x+l)2 + (j—2)2 = 5. ⑵直线I的方程为y~0 = k(x+2),即kx-y+2k=0.10—4+20 Q 若直线/与圆C相离，则有圆心C到直线I的距离-寸卩+「＞2,解得£＜才.所以k的取值范围为-8,1)19.(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2y)2, PA=PB=PC=AC=4, O 为AC 的中点.⑴证明：PO丄平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.［解］(1)因为AP=CP=AC=4, 0为AC 的中点, 所以OP 丄AC,且OP=2羽. OB=^AC=2.由 OP 2 + OB 2 = PB 2 知，OP-LOB.由 OP LOB, OP 丄 AC, OBU 平面 ABC, 4CU 平面 ABC, OBQAC=O,知PO 丄平面ABC.⑵作CH 丄OM,垂足为H.又由⑴可得OP 丄CH, OPU 平面POM, OMU 平面POM, OPQOM=O,所 以CH 丄平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.1 2 4A /?由题设可知 O C=^AC=2, CM=qBC=号,ZACB=45° ・2y ［5 OC-MC- sin Z ACS 4A /5所以。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(2)平面向量的运算 Word版
（2）平面向量的运算1、已知3,b a =r r 在b r 方向上的投影是32，则a b ⋅r r 的值为( )A.92B.3C.2D.122、如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=u u u r u u u r u u u r( )A.0rB.0C.AE u u u rD.EA u u u r3、已知向量,a b r r 满足1a =r，1a b ⋅=-r r ，则(2)a a b ⋅-=r r r ( )A.4B.3C.2D.04、设,,a b c r r r是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题:①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r r ；②a b a b -<-r r r r ；③()()b c a c a b ⋅-⋅r r r r r r 不与c r垂直；④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-r r r r r r . 其中正确的有( ) A.①②B.②③C.③④D.②④5、设向量,a b r r 满足10,6a b a b +=-=r r r r a b ⋅=r r ( )A.1B.2C.3D.56、在边长为1的等边ABC △中，设,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r等于( )A.32-B.0C.32D.37、如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若1AB =，则AB FE CD ++=u u u r u u u r u u u r( )A.1B.2C.3D.238、若在ABC △中，,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，且1,2a b a b ==+=r r r r，则ABC △的形状是( )A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形9、设点,,A B C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10、在ABC △中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()AP PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r等于( )A.49B.43 C.43-D.49-11、在平行四边形ABCD 中，BC DC BA DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r_________.12、已知向量,a b r r 的夹角为60︒，2,1a b ==r r ，则2a b +=r r___________.13、如图，在ABC △中，已知D 是BC 上的点，且2CD BD =.设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，则AD =u u u r_____(用,a b r r 表示).14、已知a r 与b r 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +r r 与向量ka b -r r垂直，则k =__________.15、设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若,,AB a AD b OD c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，用,,a b c r r r表示,OA OB u u u r u u u r .答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：∵3cos ,,32a a b b ==r r r r ，∴39cos ,322a b a b a b ⋅==⨯=r r r r r r .故选A.2答案及解析： 答案：A解析：∵,OA OC OB OB OE +==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴0OA OC OE OB OE ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，故选A.3答案及解析： 答案：B解析：22(2)22a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅r r r r r r r r r.∵1,1a a b =⋅=-r r r， ∴原式22113=⨯+=.故选B.4答案及解析： 答案：D解析：①错误，因为向量的数量积不满足结合律.③错误，因为()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦r r r r r r r r r r r r r r r，则()()b c a c a b ⋅-⋅r r r r r r 与c r 垂直.②④都是正确的. 故选D.5答案及解析： 答案：A解析：2222()210a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r ， 2222()26a b a b a a b b -=-=-⋅+=r r r r r r r r ， 将上面两式左右两边分别相减， 得44a b ⋅=r r ，∴1a b ⋅=r r.故选A.6答案及解析： 答案：A解析：a b BC CA CB CA ⋅=⋅=-⋅r r u u u r u u u r u u u r u u u r 1cos602CB CA =-︒=-u u u r u u u r .同理11,22b c c a ⋅=-⋅=-r r r r ，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-r r r r r r .故选A.7答案及解析： 答案：B解析：2AB FE CD AB BC CD AD ++=++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选B.8答案及解析： 答案：D解析：因为a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ，所以1,1,AB BC AC ==u u u r u u u r u u u rABC △为等腰直角三角形. 故选D.9答案及解析： 答案：C解析：因为点,,A B C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，所以AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r 等价于AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r，因模为正，故不等号两边平方得22222cos 2cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (θ为AB u u u r与AC u u u r 的夹角)，整理得4cos 0AB AC θ⋅>u u u r u u u r ，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB u u u r与AC u u u r 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的充分必要条件.故选C.10答案及解析： 答案：A解析：∵1AM =，且2AP PM =u u u r u u u u r ，∴23AP =u u u r .如图，2224()239AP PB PC AP PM AP AP AP ⎛⎫⋅+=⋅=⋅=== ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r .故选A.11答案及解析： 答案：0r解析：因为0DC BA +=u u u r u u u r r ，0BC DA +=u u u r u u u r r ，所以0BC DC BA DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r.12答案及解析： 答案：23解析：2222444421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=r r r r r r ，所以21223a b +==r r13答案及解析：答案：2133a b +r r解析：()1133AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()121333a b a a b =+-=+r r r r r.14答案及解析： 答案：1解析：∵a r 与b r是不共线的单位向量，∴1a b ==r r.又ka b -r r 与a b +r r垂直，∴()()0a b ka b +⋅-=r r r r ， 即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=r r r r r r .∴10k ka b a b -+⋅-⋅=r r r r ，即1cos cos 0k k θθ-+-=.(θ为a r 与b r的夹角) ∴(1)(1cos )0k θ-+=.又a r 与b r不共线，∴cos 1θ≠-，∴1k =.15答案及解析：答案：,c b a b c --+r r r r r解析：由于OA DA DO =-u u u r u u u r u u u r ，因为,AD b OD c ==u u u r r u u u r r ，所以OA DA DO b c c b =-=-+=-u u u r u u u r u u u r r r r r ，由于OB DB DO =-u u u r u u u r u u u r ，而DB AB AD a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，所以OB a b c =-+u u u r r r r.。
8.1基本立体图形-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义(机构专用)
【分析】
根据旋转体的定义，即可得出结论.
【详解】
由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱. 故选:B.
5、下列命题中正确的个数是（ ）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
由圆锥母线的定义知②正确；
在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，
且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.
故选：D.
4、如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（ ）
A．一个球 C．一个圆柱 【答案】B
B．一个球挖去一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体
故选：A.
3、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆
周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆
柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
由圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征知 A，C，D 均正确.
以直角梯形的直角腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面，以直角梯形的非直角腰为轴，另一腰旋转形成的面不 是圆台的侧面. 故选 B.
巩固练习
下列说法正确的是（ ） A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C 【分析】 根据旋转体的定义判断. 【详解】 以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底 圆锥的组合体，A 错； 以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B 错； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确； 平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D 错. 故选：C.
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.1基本立体图形(第一课时)
第八章立体几何初步8.1 基本立体图形（第一课时）教学设计一、教学目标1.掌握多面体和旋转体的概念，认识柱、锥、台的结构特征。
2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构。
二、教学重难点1.教学重点感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台的结构特征。
2.教学难点柱、锥、台的结构特征的概括。
三、教学过程1.新课导入在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。
如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度，认识几种最基本的空间几何体。
2.探索新知观察课本97页中生活中的物体，这些物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫什么？如何描述它们的形状？观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识。
在图中，可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面。
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。
这条定直线叫做旋转体的轴。
下面，我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识一些特殊的多面体和旋转体。
观察长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？我们可以发现，长方体的每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面平行。
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
2019-2020学年高中数学人教A版必修第二册同步学典：(14)空间直线、平面的垂直
(14)空间直线、平面的垂直1、已知m ,n 表示两条不同直线, α表示平面,下列说法正确的是( )A.若//m α,//n α,则//m nB. 若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C.若m α⊥,m n ⊥,则//n αD.若//m α,m n ⊥,则n α⊥2、给出下列条件（其中l 为直线，a 为平面）：①l 垂直于a 内五边形的两条边；②l 垂直于a 内三条不都平行的直线；③l 垂直于a 内无数条直线；④l 垂直于a 内正六边形的三条边其中能得出l a ⊥的所有条件的序号是( )A.②B.①③C.②④D.③3、在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点，则( )A. 11A E DC ⊥B. 1A E BD ⊥C. 11A E BC ⊥D. 1A E AC ⊥ 4、空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两对角线AC 、BD 的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交5、在四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知平面11AA C C ⊥平面ABCD ,且,AB BC AD CD ==,则BD 与1CC ( )A.平行B.共面C.垂直D.不垂直6、在长方体1111ABCD A B C D -中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点1A 到截面11AB D 的距离是( )A. 83B. 38C. 43D. 347、如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,1BC AC ⊥,过点1C 作平面ABC 的垂线,则垂足H 必在( )A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线CA 上D.ABC △内部8、如图所示,在四边形ABCD 中, //,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒,将ABD ∆沿BD 折起至'A BD ∆位置,使平面'A BD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A BCD '-,则在三棱锥A BCD '-中,下列结论正确的是( )A.平面'A BD ⊥平面'A BCB.平面A DC '⊥平面BDCC.平面'A BC ⊥平面BDCD.平面A DC '⊥平面'A BC9、如图,在正四面体P ABC -中, ,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( )A. BC //平面PDFB. DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面PAED.平面PDF ⊥平面ABC10、在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、在长方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 垂直且异面的棱有________条.12、如图, AB 为圆O 的直径,点C 在圆周上(异于点,A B ),直线PA 垂直于圆O 所在的平面,点M 是线段PB 的中点.有以下四个命题:①//MO 平面PAC ;②//PA 平面MOB ;③OC ⊥平面PAC ;④平面PAC ⊥平面PBC其中正确的命题的序号是__________.13、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则下列结论：① //AD 平面PBC ；② 平面PAC ⊥平面PBD ；③ 平面PAB ⊥平面PAC ；④ 平面PAD ⊥平面PDC .其中正确的结论序号是________．14、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .（只要填写一个你认为是正确的条件即可）15、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，,E F 分别为棱,PC PD 的中点，已知,PA AB PA AD ⊥⊥.求证：(1) 直线//PB 平面OEF ；(2) 平面OEF ⊥平面ABCD .答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：对于选项A, m 与n 还可以相交或异面;对于选项C,还可以是n α⊂;对于选项D,还可以是 //n α或n α⊂或n 与α相交.2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：C解析：∵1A E 在平面ABCD 上的投影为AE ,而AE 不与,AC BD 垂直,∴,B D 错误;∵1A E 在平面11BCC B 上的投影为111,B C B C BC ⊥,∴11A E BC ⊥,故 C 正确;∵1A E 在平面11DCC D 上的投影为1 D E ,而1 D E 不与1DC 垂直,故A 错误.故选C.4答案及解析：答案：C解析：取BD 的中点E ,连接AE ,CE ,则BD AC ⊥,BD CE ⊥,又AE CE E ⋂=,BD ∴⊥平面AEC ,∵AC ⊂平面AEC ,AC BD ∴⊥.观察图形可知AC 与BD 不相交.5答案及解析：答案：C解析：如图所示,在四边形ABCD 中,因为,AB BC AD CD ==.所以BD AC ⊥.因为平面11AA C C ⊥平面ABCD ,平面11AA C C ⋂平面ABCD AC =,BD ⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面11AAC C .又1CC ⊂平面11AAC C ,所以1BD CC ⊥,故选C.6答案及解析：答案：C解析：点1A 到截面11AB D 的距离是h ,由111111A AB D A A B D V V --=可得1111111133AB D A B D S h S AA ∆∆⋅=⋅解得43h =.7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：D解析：过点A '作A E '垂直BD 于点E ,因为平面'A BD ⊥平面BCD ,所以'A E ⊥平面BCD ,即A E CD '⊥.易知BD CD ⊥,又A E BD E '⋂=,所以CD ⊥平面A BD ',所以'CD A B ⊥.又,A B A D CD A D D '''⊥⋂=,所以'A B ⊥平面'A DC ,从而平面A DC '⊥平面'A BC .9答案及解析：答案：D解析：由题意,知//BC DF ,所以BC //平面PDF .故结论A 成立;易证BC ⊥平面PAE ,又//BC DF ,所以DF ⊥平面PAE ,平面PDF ⊥平面PAE ,故结论B,C 均成立;点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心,不在中位线DE 上,故结论D 不成立.故选D.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：4解析：12答案及解析：答案：①④解析：①因为//MO PA MO ⊄，平面PAC PA ⊂，平面P AC ，所以//MO 平面P AC ，①正确；②因为P A 在平面MOB 内，所以②错误；③因为P A 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BC ⊥.又BC AC AC PA A ⊥⋂，＝，所以BC ⊥平面P AC .因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC ⊥平面P AC 不成立，③错误；④由③知BC ⊥平面P AC ，且BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .正确命题的序号是①④.13答案及解析：答案：①②④解析：①//AD BC 可得：//AD 平面PBC ；②AC BD ⊥，AP BD ⊥则BD ⊥平面PAC则平面PAC ⊥平面PBD③PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形若平面PAB ⊥平面PAC则AB AC ⊥这与已知：底面ABCD 为正方形矛盾所以错误④AD DC ⊥，AP DC ⊥则DC ⊥平面DC PAD ⊥.所以①②④正确.14答案及解析：答案：DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）解析：连接AC ，BD ，则AC BD ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BD ⊥. 又PA AC A =I ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD PC ⊥.∴当DM PC ⊥ （或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .15答案及解析：答案：O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以//PB FO .因为PB ⊄平面OEF FO ⊂，平面OEF ， 所以//PB 平面OEF(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点，所以//PA OE .因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A AB AD ⋂⊂＝，，平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD .解析：。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.4.1
第八章立体几何初步8.4.1 平面教学设计一、教学目标1.了解平面及平面的表示法。
2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。
3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
二、教学重难点1.教学重点平面的基本性质。
2.教学难点符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
三、教学过程1.新课导入在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。
生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。
类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。
2.探索新知我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。
我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。
下面，我们来研究平面的基本性质。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。
点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。
平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。
如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。
基本事实2也可以用符号表示为且。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册精英同步卷：第十章章末检测
14 答案及解析： 答案：0.75 解析：记“做对第一道选择题”为事件 A,“做对第二道选择题”为事件 B,由题可得: P( A) 0.8, P( AB) 0.6 , 又两道做对与否没有影响,所以 P( AB) P( A)P(B) 0.6 ,解得 P(B) 0.75 .
15 答案及解析： 答案：0.768
精英同步卷：第十章章末检测
1、袋中有 5 个球，其中红色球 3 个，标号分别为 1，2，3；蓝色球 2 个，标号分别为 1，2；；从袋中
任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于 4 的概率为（ ）
3
2
3
7
A. 10
B. 5
C. 5
D. 10
2、甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛,两组的胜者进入决赛,决
赛的胜者为冠军,败者为亚军.4 个人相互比赛的胜率如下表所示,表中的数字表示所在行选手击败其所在
列选手的概率.
甲乙丙丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )
A.0.15
B.0.105
否则一直投 3 次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 p，若该同学本次测试合格 的概率为 0.784，则 p ___________
1 答案及解析：
答案以及解析
答案：A 解析：袋中有 5 个球，其中红色球 3 个，标号分别为 1，2，3；篮色球 2 个，标号分别为 1，2；从袋中 任取两个球，基本事件有 10 个，分别为： (红 1,红 2),(红 1,红 3),(红 1,篮 1),(红 1,篮 2),(红 2,红 3)， (红 2,篮 1),(红 2,篮 2),(红 3,篮 1),(红 3,篮 2),(篮 1,篮 2)， 这两个球颜色不同且标号之和不小于 4 包含的基本事件有 3 个，分别为： (红 2,篮 2),(红 3,篮 1),(红 3,篮 2)， 故这两个球颜色不同且标号之和不小于 4 的概率为 P 3 .
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(5)第六章章末检测
（5）第六章章末检测1、已知点,则与向量共线的单位向量为( )(1,3),(4,1)A B -AB A. B.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C.或D.或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2、已知向量,且,则( )(1,),(3,2)a m b ==- ()a b b +⊥m =A.-8 B.-6 C.6 D.83、的内角的对边分别为.已知,,且,则( )ABC △,,A B C ,,a b c 2sin sin sin B A C =a c <61cos 72B =c a =A. B. C. D.1693285944、在中,若,则A 等于( )ABC △2sin b a B =A.或 B.或 C.或 D.或30︒60︒45︒60︒120︒60︒30︒150︒5、已知和点M 满足.若存在实数m ，使成立，则( )ABC △0MA MB MC ++= AB AC mAM += m =A.2 B.3 C.4 D.326、向量,且与的夹角为锐角,则实数满足( )(1,2),(1,1)a b == a a b λ+ λA. B.53λ<-53λ>-C.且 D.且53λ>-0λ≠53λ<-5λ≠-7、已知O 为内一点,若分别满足①;②;③ABC △OA OB OC == OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ;④(其中为中角所对的边).则O 依次是0OA OB OC ++= 0aOA bOB cOC ++= ,,a b c ABC △,,A B C 的( )ABC △A.内心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、内心C.外心、内心、重心、垂心D.内心、垂心、外心、重心8、如图,在山脚A 处测得该山峰仰角为θ,对着山峰在平行地面上前进600m 后测得仰角为原来的2倍,继续在平行地面上前进后,测得山峰的仰角为原来的4倍,则该山峰的高度为( )A. B. C. D.200m 300m 400m9、在中,内角的对边分别为,则为( )ABC △,,A B C ,,,,2,3ABC a b c A b S π===△2sin sin 2sin a b c A B C +-+-C.410、已知是夹角为的两个单位向量，若，则与的夹角为( )12,e e 60︒1212,42a e e b e e =+=-+ a b A. B. C.D.30︒60︒120︒150︒11、已知向量满足,则向量在向量上的投影为_________.,a b 5,6,4a a b a b =-=+= b a 12、已知向量的夹角为,则_________.,a b 60,2,1a b ︒== 2a b += 13、是边长为2的等边三角形,已知向量满足,.则下列结论中正确的是ABC △,a b 2AB a = 2AC a b =+______________.(填序号)①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤.a b a b ⊥ //b BC (4)a b BC +⊥ 14、已知等边的边长为2,若,则的面积为_________.ABC △11(),32AP AB AC AQ AP BC =+=+ APQ △15、已知是两个单位向量.,a b (1)若,求的值;323a b -= 3a b + (2)若向量的夹角为,求向量与的夹角.,a b 3π2m a b =+ 23n b a =- α答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由题意知,点,(1,3),(4,1)A B -则向量,且,(3,4)AB =- 5AB == 所以与共线的单位向量为或.AB 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2答案及解析：答案：D解析：∵向量,(1,),(3,2)a m b ==-∴.(4,2)a b m +=- 又∵.∴,()a b b +⊥ 122(2)0m --=解得.8m =3答案及解析：答案：D解析：∵在中,,ABC △2sin sin sin B A C =∴,2b ac =∴,22222161cos 122272a cb ac ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-= ⎪⎝⎭∴,9736a c c a +=解得或.94c a =49c a =∵,∴.a c <94c a =4答案及解析：答案：D解析：根据正弦定理,sin sin a b A B=化简得.2sin b a B =sin 2sin sin B A B =∵,sin 0B ≠∴等式两边同时除以得.sin B 1sin 2A =又A 为三角形的内角,∴或.30A =︒150︒5答案及解析：答案：B解析：由,知M 为的重心.设点D 为边的中点，则0MA MB MC ++= ABC △BC ,所以,所以.2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+ 3AB AC AM += 3m =6答案及解析：答案：C解析：∵,(1,2),(1,1)a b == ∴.(1,2)a b λλλ+=++ ∵与的夹角为锐角,a ab λ+ ∴.()12(2)0a a b λλλ⋅+=+++> 解得,但当时,与的夹角为,不是锐角,应舍去.53λ>-0λ=a a b λ+ 0︒故实数满足且.λ53λ>-0λ≠7答案及解析：答案：B解析：对于①,因为①,OA OB OC == 所以点O 到点的距离相等,,,A B C 即点O 为的外心;ABC △对于②,因为,OA OB OB OC ⋅=⋅所以,()0OB OA OC ⋅-= 所以,0OB CA ⋅= 即,同理,OB CA ⊥ ,OA BC OC AB ⊥⊥ 即点O 为的垂心;ABC △对于③,因为,0OA OB OC ++= 所以,()OA OB OC =-+ 设D 为的中点,则,BC 2OA OD =- 即点O 为的重心;ABC △对于④,因为,0aOA bOB cOC ++= 易得点O 为的内心.ABC △8答案及解析：答案：B解析：依题意可知,600AB BP ==,2003BC CP ==∴,2223cos 22BC BP PC BC BP θ+-==⋅∴,则,230θ=︒15θ=︒∴.3sin 602003300(m)PD PC =⋅︒==9答案及解析：答案：B解析：由三角形面积公式可得,1sin 2bc A =即,解得.12sin 23c π⨯⨯⨯=6c =结合余弦定理可得,222222cos 26226cos 283a b c bc A π=+-=+-⨯⨯⨯=则,由正弦定理有a =2sin sin sin a b c R A B C =====因为,2sin ,2sin ,222sin a R A b R B c R C ===所以.22(sin sin 2sin )sin sin 2sin sin sin 2sin a b c R A B C A B C A B C+-+-=+-+-2R ==10答案及解析：答案：C 解析：由已知，是夹角为的两个单位向量，12,e e 60︒所以，12121211,cos602e e e e e e ==⋅=⋅⋅︒= 所以222121212121()211232a e e e e e e e e =+=+++⋅=++⨯= 所以2121242(42)b e e e e =-+=-+=，23==1212()(42)a b e e e e ⋅=+⋅-+ 221212422e e e e =-+-⋅ ，14121232=-⨯+⨯-⨯=-所以.1cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ 因为，所以.故选C.0,180a b ︒≤≤︒ ,120a b =︒11答案及解析：答案：-1解析：∵向量满足,,,a b 5,6a a b =-= 4a b += ∴,2225236a b b a b -=+-⋅=.2225216a b b a b +=++⋅= ∴,∴向量在向量上的投影为5,1a b b ⋅=-= b a .5cos ,15a b a b b a b b a b a⋅⋅-⋅=⋅===-⋅12答案及解析：答案：解析：∵向量的夹角为,且,,a b 60︒2,1a b == ∴222(2)44a b a a b b+=+⋅+ ,222421cos604112=+⨯⨯⨯︒+⨯=∴223a b +=13答案及解析：答案：①④⑤解析：因为,,所以,.又是边长为2的等边三角形,所以,2AB a = 2AC a b =+ 12a AB =b BC = ABC △||1a = ,①正确,②错误,③错误;由,知,④正确;因为,所以||2b = b BC = //b BC 42a b AB BC AB AC +=+=+ ,所以,⑤正确.(4)()220a b BC AB AC BC +⋅=+⋅=-+= (4)a b BC +⊥14答案及解析：解析：由题意可知,若,则点P 为的重心,且为正三角形,则点P 为三角形1()3AP AB AC =+ ABC △ABC △中心.,则1122AQ AP BC PQ BC =+⇒=121123APQ S =⨯⨯=△15答案及解析：答案：(1)(2)23απ=解析：(1)∵是两个单位向量,,a b ∴.1a b == 又,323a b -= ∴,222(32)91249a b a a b b -=-⋅+= 即.13a b ⋅=∴3a b +=.23==(2)∵(2)(23)m n a b b a ⋅=+⋅- ,227262b a b a =+⋅-=-2244m a a b b ==+⋅+,7==224129n b a b a==-⋅+,7==则.12cos 277m n m nα-⋅===-⨯ 又,∴.0α≤≤π23απ=。
基本立体图形 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
轴
B
AO
探究二：棱柱
1.棱柱的概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个
四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
结构特征：（1）底面互相平行且全等 （2）侧面都是平行四边形 （3）侧棱平行且相等
表示法：棱柱ABCDEF- A′B′C′D′E′F′
E'
F'
侧
A'
面
E F
正棱台——由正棱锥截得的棱台
棱台概念辨析
思考1：基下列础两教个育多面精体品是课不是棱台？
例3：下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和 截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行 四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只 能是三棱锥；⑤有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面 体是棱台.其中正确说法的序号是________．
思 考 1 ： 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 思考2：所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱吗？
探究三：棱锥
1.棱锥的概念：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的
三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
结构特征：（1）底面是一个多边形
S
顶点
（2）侧面都是三角形
底面
侧面 侧棱
两底面是全等的多边形
平行四边形 平行且相等
多边形
三角形 相交于顶点
两底面是相似的多边形
梯形 延长线交于一点
四. 当堂达标1.下列说法错误的是（ ）A.一个棱柱至少有6个面．
B.平行六面
体中相对的两个面是全等的平行四边形．C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册精英同步卷：8.1基本立体图形
1 答案及解析： 答案：B 解析：由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点， 所以②③都不正确.故选 B.
2 答案及解析： 答案：A 解析：由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A 正确； 由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以 B 不正确； 底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以 C 不正确； 正棱台的侧面都是等腰梯形，所以 D 不正确， 故选 A
精英同步卷：8.1 基本立体图形
1、有下面三组定义：
① 有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
③ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确定义的个数是 ( )
A．0
B．1
的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为( )
A. B.
C. D. 9、如图所示的几何体是台体的是( )
A.
B.
C.
D.
10、给出下列命题: ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ② 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③ 在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④ 圆柱的任意两条母线相互平行. 其中正确的是( )
14 答案及解析： 答案：棱锥; 侧棱; 侧面; 底面 解析：
15 答案及解析： 答案：棱柱; 侧棱; 顶点 解析：
故选 D.
5 答案及解析： 答案：C 解析： 6 答案及解析： 答案：A
解析：
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(3)平面向量基本定理及坐标表示 Word版
（3）平面向量基本定理及坐标表示 1、如图所示直角坐标系中，AB =u u u r ( )A.(3,4)B.(4,3)C.(1,2)D.(2,1)2、已知(2,3),(3,),||1,AB AC t BC ===u u u r u u u r u u u r 则AB BC ⋅=u u u r u u u r ( )A ．-3B ．-2C ．2D ．33、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB u u u r 同方向的单位向量为( )A.34(,)55-B.43(,)55- C.34(,)55- D.43(,)55- 4、已知向量(1,1),(2,)a b x ==r r ，若a b +r r 与42b a -r r 平行，则实数x 的值为( ) A.-2 B.0 C.1 D.25、已知三点(1,2)A ，(3,4)B --，(2,)C x 共线，则x 为( )A.72-B.72C.53D.53- 6、如图，在ABC △中，2,3AN NC P =u u u r u u u r 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数t 的值为( )A.23B.25C.16D.347、若向量(1,2),(1,1)a b ==-r r ，则2a b +r r 与a b -r r 的夹角等于( )A.4π-B.6πC.4πD.34π 8、已知(3,2),(1,0)a b =-=-r r ，若向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，则实数λ的值为( )A.17B.17-C.16D.16-9、已知(2,2)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，则ABC △的重心G 的坐标为( )A.(0,3)B.(0,3)-C.(0,2)D.(0,4)10、平面向量(1,2),(4,2),(R)a b c ma b m ===+∈r r r r r ，且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m =( )A.-2B.-1C.1D.211、已知(1,2),(,4)a b x ==r r ，且10a b ⋅=r r ，则a b -=r r ________.12、已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a b +=r r __________. 13、若(,2),(3,5)a b λ==-r r ，且a r 与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________. 14、已知,a b r r 是单位向量，0a b ⋅=r r .若向量c r 满足1c a b --=r r r ，则c r 的最大值是_________.15、设平面向量1(cos ,sin )(02),2a b ααα⎛=≤<π=- ⎝⎭r r ，且a r 与b r 不共线.（1）求证：向量a b +r r 与a b -r r 垂直；（2b +r与a -r 的模相等，求角α.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由图可知，(3,1)OA =u u u r ，(4,3)OB =u u u r ，所以(1,2)AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r .故选C.2答案及解析：答案：C解析： 由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC =u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ⋅=⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r ．故选C ．3答案及解析：答案：A解析：∵已知点()()1,3,4,1A B -，∴()()()4,11,33,4AB =--=-u u u r，5AB =u u u r ，则与向量AB u u u r 同方向的单位向量为 34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，故选A.4答案及解析：答案：D解析：(3,1),42(6,42)a b x b a x +=+-=-r r r r ， 因为a b +r r 与42b a -r r 平行，所以3(42)6(1)0x x --+=，解得2x =.故选D.5答案及解析：答案：B解析：设AB k AC =u u u r u u u r ，所以(3,4)(1,2)[(2,)(1,2)]k x ---=-所以(4,6)(1,2)k x --=-，所以4k =-，6322x k -=-=，所以72x =.故选B.6答案及解析：答案：C 解析：设BP mBN =u u u r u u u r ，由题意及题图知，AP AB BP AB mBN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()(1)AB m AN AB mAN m AB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∵23AN NC =u u u r u u u r ，∴25AN AC =u u u r u u u r ， ∴2(1)5AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r . ∵13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得51,66m t ==.故选C.7答案及解析：答案：C解析：2(3,3),(0,3)a b a b +=-=r r r r ，设夹角为θ，则cos 4θθπ===.故选C.8答案及解析：答案：B解析：由向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，得()(2)0a b a b λ+⋅-=r r r r .因为(3,2),(1,0)a b =-=-r r ，所以(31,2)(1,2)0λλ--⋅-=，即3140λλ++=，解得17λ=-.故选B.9答案及解析：答案：A解析：设重心(,)G x y ，又BC 中点为71,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2AG GD =u u u r u u u r ， 所以7(,)(2,2)21,(,)2x y x y ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 所以222,272,x x y y +=-⎧⎨-=-⎩所以0,3.x y =⎧⎨=⎩所以(0,3)G .故选A.10答案及解析：答案：D解析：(4,22)c ma b m m =+=++r r r ， 由题意知a c b c a c b c⋅⋅=r r r r r r r r ，= 即820582m m ++=，解得2m =.故选D.11答案及解析：解析：由题意，得810a b x ⋅=+=r r ，∴2x =，∴(1,2)a b -=--r r ，∴a b -=r r12答案及解析：答案：2cos x解析：a b +=r r==∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0x ≥， ∴2cos a b x +=r r .13答案及解析： 答案：103λ<且65λ≠- 解析：∵a r 与b r 的夹角为锐角， ∴cos 0a b a bθ⋅=>r r r r .∴0a b ⋅>r r ， 即3250λ-+⨯>，解得103λ<. 又//a b r r 时，656,5λλ=-=-. 故103λ<且65λ≠-. 14答案及解析：答案：21+解析：由0a b ⋅=r r ，得a b ⊥r r .建立如图所示的平面直角坐标系， 则(1,0),(0,1)a b ==r r .设(,)c OC x y ==r u u u r ，由1c a b --=r r r ，可得22(1)(1)1x y -+-=，所以点C 在以点'(1,1)O 为圆心，1为半径的圆上. 故'2OO =u u u u r ，所以max 21c =+r .15答案及解析：答案：(1)由题意知1cos ,sin 2a b αα⎛+=- ⎝⎭r r ，1cos ,sin 2a b αα⎛-=+ ⎝⎭r r ， ∵2213()()cos sin 044a b a b αα+⋅-=-+-=r r r r ， ∴向量a b +r r 与a b -r r 垂直. (2)1,1a b ==r r ，由题意知22)()b a +=r r ，化简得0a b ⋅=r r ，∴1cos 02αα-=， ∴sin 06απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又02α≤<π，∴6απ=或76απ=.。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(8)第七章章末检测 Word版
（8）第七章章末检测1、下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.2i(1i)+B.2i (1i)-C.2(1i)+D.i(1i)+2、若复数243i a a --与复数24i a a +相等，则实数a 的值为( ) A.1B.1或-4C.-4D.0或-43、设复数i,z a a R =+∈，若复数1z z +的虚部为45，则a 等于（ ） A. 1 B. 1±C. 2D. 2±4、设i 1-iz =（i 为虚数单位)，则1||z =（ ）A.B.2C. 2 D ．125、已知复数2i 12i z -=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-6、已知a 为实数，若复数()()i 12i a +-为纯虚数，则a =（ ） A. 12-B.2C.12D. -27、已知复数z 满足i izz =--，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、若复数z 满足1z =，则34i z --的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.49、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12z z <，则实数a 的取值范围是( ) A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >10、如果一个复数与它的模的和为5+，那么这个复数是( )A.115C.115+ D.115+ 11、已知复数z 满足()1i 1i z ＋＝－(i 是虚数单位)，则复数z =__________.12、设复数1i z =+，则复数22z z+的共轭复数为______． 13、若复数z 满足i 2iza =+(i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为_________. 14、已知,R,i a b ∈是虚数单位，若(1i)(1i)b a +-=，则ab的值为__________. 15、在复平面内，已知平行四边形OABC 的三个顶点,,O A C 对应的复数分别为0,24i,33i +-.求:(1)向量CO u u u r对应的复数; (2)向量AC u u u r对应的复数;(3)点B 对应的复数.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：选项A 中，[]222i(1i)i(12i i )i 12i (1)2i 2+=++=++-==-； 选项B 中，2i (1i)(1i)1i -=--=-+；选项C 中，22(1i)12i i 12i (1)2i +=++=++-=； 选项D 中，2i(1i)i i 1i +=+=-+.故选C.2答案及解析： 答案：C解析：由题意知22434a a a a ⎧-=⎨-=⎩，解得4a =-.3答案及解析： 答案：D解析：因复数i,z a a R =+∈，则复数()()11i i i i i i a z a a z a a a ++=++=++++-222i 1i 1i 111a a a a a a a -⎛⎫=++=++- ⎪+++⎝⎭ 又已知其虚部为45，则2214142215a a a -=⇒=⇒=-+或4答案及解析： 答案：A 解析：∵()()()i 1+i i -1+i 1i ==1-i 1-i 1+i 222z ==-+∴2z ==，∴1z=5答案及解析： 答案：A 解析：()()()()2-i 1-2i 2-i 5i =i 1+2i 1+2i 1-2i 5z -===-Q z ∴对应的点坐标为：()0,1- 本题正确选项：A6答案及解析： 答案：D解析：()()()12212i i i a a a +-=++-， ∵复数是纯虚数， ∴20a +=且120a -≠， 得2a =-且12a ≠， 即2a =-7答案及解析： 答案：B解析：由题意2i,z i i ,(1i)1izz z z =-=-++=--， ∴11(1i)1i 11z i 1i (1i)(1i)222----+====-+++-，在复平面对应的点为11(,)22-， 故z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B8答案及解析： 答案：D解析：复数z 满足1z =，则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离， 点()3,4到原点的距离是5，34i z --的最小值为51 4.-=9答案及解析： 答案：A解析：1z =，2z ==11a -<<.10答案及解析： 答案：C解析：设这个复数为i(,R)a b a b +∈，则|i |a b +=.由题意知i 5a b +=+，即i 5a b =.∴5,a b ⎧⎪⎨=⎪⎩解得11,5a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴所求复数为115，故选C.11答案及解析： 答案：-i解析：把给出的等式两边同时乘以11i+然后利用复数的除法运算化简求值.12答案及解析： 答案：1i - 解析：复数1i z =+，则复数()()()()2221i 221i 2i 1i 1i 1i 1i z z -+=++=+=+++-. 复数22z z+的共轭复数为：1i - 故答案为1i -．13答案及解析： 答案：-2解析：由题意可知()i 2i 2i z a a =+=-+，因为附属z 的实部和虚部相等所以2a =-.14答案及解析： 答案：2解析：因为(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=.又,R a b ∈，所以1b a +=且10b -=，得2,1a b ==，所以2ab=.15答案及解析：答案：(1)因为复平面内平行四边形OABC 的三个顶点,,O A C 对应的复数分别为0,24i,33i +-，所以OA u u u r对应的复数为24i,OC +u u u r 对应的复数为33i -.因为CO OC =-u u u r u u u r ，所以向量CO u u u r对应的复数为(33i)33i --=-+. (2)因为AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r，所以向量AC u u u r对应的复数为(33i)(24i)17i --+=-. (3)因为OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r，所以向量OB u u u r对应的复数为(24i)(33i)5i ++-=+，所以点B 对应的复数为5i +.。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册同步学典：(9)基本立体图形
（9）基本立体图形1、下列命题正确的是( )A.棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形C.棱柱的侧棱不一定相等D.一个棱柱至少有五个面2、下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )A.B.C.D.3、以下命题中真命题的序号是( )①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．A. ③④B.①④C. ①②④D. ①4、设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，这些集合间的关系是( )A. Q N M P⊇⊇⊇B. Q M N P⊇⊇⊇C. P M N Q⊇⊇⊇D. P N M Q⊇⊇⊇5、有下面三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数是()A．0 B．1 C．2 D．36、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥7、下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8、一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )A.B.C.D.9、下列说法中不正确的是( ) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥C.圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形D.圆台中平行于底面的截面是圆面10、如图，模块①〜⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①〜⑤中选出3个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.下列选择方案中，能够完成任务的为( )A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤11、如图，根据下列条件能推断出这个几何体可能是三棱台的是( )A. 11112,3,3,4A B AB B C BC ====B. 1111111,2, 1.5,3,2,3A B AB B C BC AC AC ======C. 1111111,2, 1.5,3,2,4A B AB B C BC AC AC ======D. 111111,,AB A B BC B C CA C A === 12、给出下列说法:①棱柱的棱都相互平行且相等;②面数最少的多面体一定是三棱锥; ③五面体是三棱柱或三棱台. 其中正确说法的个数是__________. 13、下列四个命题:①棱台的侧棱延长后必交于一点;②上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台; ③用一个平面截棱锥，夹在底面和截面间的几何体是棱台;④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高之比. 其中正确的命题是__________(填序号).14、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， P 为BC 的中点， Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，,P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)①当102CQ <<时， S 为四边形; ②当12CQ =时， S 为等腰梯形; ③当34CQ =时， S 与11C D 的焦点R 满足113C R =;④当314CQ <<时， S 为六边形;⑤当1CQ =时， S 6 15、在正方形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、BC 的中点， 现在沿,DE DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、 C 三点重合，重合后的点记为P 问: 1.依据题意知该几何体是什么几何体?2.这个几何体由几个面构成，每个面的三角形是什么三角形?3.若正方形ABCD 的边长为2a ，则所折成的几何体每个面的面积为多少?答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：A 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形;B 不对，三棱柱的底面是三角形C 不对，棱柱的侧棱一定相等D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面故选D2答案及解析： 答案：A解析：A 是两个四棱锥的组合.3答案及解析： 答案：D解析：解:①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱;正确，当平面与棱柱的所有平面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱.②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台;不正确，不满足棱台的定义.③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台;不正确，当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台.④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.不正确，不满足棱柱的定义.如下图:故选D.4答案及解析： 答案：D解析：正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱拄，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故,,,M N P Q 的关系为P N M Q ⊇⊇⊇，因此选D.5答案及解析：答案：B解析：由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面，③中其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确.故选B.6答案及解析：答案：D解析：正六棱锥的侧棱长大于底面边长，所以其侧面不可能是等边三角形.7答案及解析：答案：D解析：如下图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误;如下图，若△ABC不是直角三角形，则所得几何体不是圆锥.若△ABC是直角三角形，当旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥，故B错误;由几何图形知，若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长，故C错误;有排除法可知D正确.8答案及解析：答案：B解析：选B.由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为 B9答案及解析： 答案：B解析：由旋转体体的概念可知，以直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选B.10答案及解析： 答案：A解析：先将模块⑤放到模块⑥上，在把模块①放到模块⑥上，在把模块②放到模块⑥上.11答案及解析： 答案：C 解析：在A 中， 1111A B B C AB BC≠，故A 不符合题意; 在B 中，111111=A B B C AC AB BC AC≠， 所以11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 不平行于AC ，故B 不符合题意;在C 中，111111==A B B C ACAB BC AC， 所以11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 平行于AC ，故C 符合题意;在D 中，若111111,,AB A B BC B C AC AC ===， 并不一定得到11A B 平行于AB ，11B C 平行于BC ，11A C 平行于AC ，故D 不符合题意.12答案及解析： 答案：1解析：对于①，棱柱的侧棱都相互平行且相等，故①不正确;②显然正确;对于③，五面体也可以是四棱锥，故③不正确. 综上，正确说法的个数为1.13答案及解析： 答案：①解析：根据棱台的定义，知棱台的侧棱延长后必交于一点， 则①正确. 底面相似但侧棱不相等，这样的棱台不是正棱台.故②错误.如果截棱锥的平面与底面不平行，则截得的几何体不是棱台，故③错误.根据平面几何的知识，棱台的上、下底面边长之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比，故④错误. 综上所述，正确的命题只有①.14答案及解析： 答案：①②③⑤解析：设截面与直线1D D 相交于T ，则//AT PQ 且22AT PQ DT CQ =⇒=. 对于①，当102CQ <<时， 01DT <<. 截面S 为四边形，且S 为梯形，所以①正确. 对于②，当12CQ =时， 1DT =，T 与1D 重合， 截面S 为四边形1APQD ，且1AP D Q =.截面S 为等腰梯形.所以②正确.对于③，当34CQ =时， 13122DT DT =⇒=. 利用三角形相似解得113C R =.所以③正确.对于④，当314CQ <<时， 322DT <<.截面S 与线段1111,A D D C 相交，所以四边形S 为五边形.所以④不正确. 对于⑤，当1CQ =时， Q 与1C 重合，截面S 与线段11A D 相交于点1G ， 即为菱形11APC G 23S 的面积为62. 所以⑤正确.综上，填①②③⑤.15答案及解析：答案：1.三棱锥; 2.这个集合体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP . 由平面几何知识可知,90DE DF DPE EPF DPF =∠=∠=∠=︒， 所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形. 3.由2可知5DE DF a ==，2,2EF a DP a ==， EP FP a ==，所以.。
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（10）立体图形的直观图
1、如图所示的直观图的平面图形中，，，则原四边形的面积( )
ABCD 2AB =24AD BC ==
A ．
B ．
C ．12
D ．10
2、如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则的面积为( )
ABC △Rt A B C '''△2A B ''=ABC △
A ．2
B ．4
C ．
D ．2242
3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为（ ）
A. B.
C. D.
4、已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，ABC ∆''''1,''B O C O A O ===那么在中， 的大小是( )ABC ∆ABC ∠
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为( )1232OA
A ．2
B
C
D 23326、如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，O A B C ''''1cm 则原图形的周长是( )
A. 8cm
B. 6cm
C. (21cm
+
D. (21cm +7、如图所示， 表示水平放置的的直观图，点在轴上， 与轴垂直，且'''A O B ∆AOB ∆'B x 'A O ''x '，则的边上的高为( )
2A O ''=AOB ∆OB
A. 2
B. 4
C.
D. 8、如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图O A B C ''''6 ,2 O A cm O C cm ==''''形是（ ）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.一般的平行四边形
9、已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为，四棱锥的高为.如果按的比例画出它的直观图，那么在20m,5m,10m 8m 1:500直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A. 4,1,2,1.6cm cm cm cm
B. 4,0.5,2,0.8cm cm cm cm
C. 4,0.5,2,1.6cm cm cm cm
D. 4cm,0.5cm,1cm,0.8cm
10、已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图 (如下图所示)，其中ABCD A B C D ''''，，，则直角梯形边的长度是（ ）
''2A D =''4B C =1A B ''=DC
B. C. D.11、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为，两腰长45︒均为1，则这个平面图形的面积为__________.
12、如图所示为一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在ABCO xOy B ()2,2用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为__________.
'B x '
13、如图是水平放置的的直观图， 轴，则是__________三角形.
ABC ∆//'AB y ABC ∆
14、一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为的正三角形，则此三角形的面积是________.
115、如图，四边形是边长为的正方形，且是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出A B C D ''''1该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：C
解析：如图，根据直观图的相关性质可绘出原图，其中，，，故原四边形的面积4AD =4AB =2BC =为，故选C 122
AD BC S AB +=
⋅=
2答案及解析：
答案：D
解析：∵是一平面图形的直观图，直角边长为，∴直角三角形的面积是，R t A B C '''△2A B ''=12222⨯⨯=∵平面图形与直观图的面积的比为，∴原平面图形的面积是.
222242⨯=故选D.
3答案及解析：
答案：A
解析：由图易知原图形为平行四边形，且位于y 轴上的对角线长为 A.22
4答案及解析：
答案：C
解析：根据斜二测画法，可知在中， ，
ABC ∆2,3,BC AO AO BC ==⊥
∴2AB AC ===∴是等边三角形，
ABC ∆∴60
ABC ∠=
5答案及解析：
答案：B
解析：由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为，
设，则直观图的面积为，OA x =2
13224x x x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝
⎭
∴，∴.
234x =x =
故选B.
6答案及解析：
答案：A
解析：将直观图还原为平面图形，如图所示.
可知原图形的周长为，故选A
8cm
7答案及解析：
答案：D
解析：设的边上的高为，，所以.又AOB ∆OB h 11222
OB h O B ''⨯⨯=⨯⨯
，所以''OB O B =h =
8答案及解析：
答案：C
解析：本题考查斜二测画法的逆用
根据斜二测的画法可得，还原出的图如下，45D O A D O C ''''''∠=∠=
其中 (平行于轴的长度不变).
2,4,6CD C D BD B D OA O A ====='''''='x '
(平行于轴的长度扩为2倍).由于，且，
2OD O D '='=y 'CB OA A 6CB OA ==
所以为平行四边形，又，所以为菱形.故答案为OABC OC =
=OABC C.
9答案及解析：
答案：C
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为和，再结合直观图，4,1,2cm cm cm 1.6cm 知在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为.
4,0.5,2,1.6cm cm cm cm
10答案及解析：
答案：B
解析：由已知作出梯形ABCD 是直角梯形，如图：
∵按照斜二测画法画出它的直观图，
,2,4,1A B C D A D B C A B ''''''=''=''=∴直角梯形ABCD 中， ，
,2,4,22AB BC AD A D BC B C AB A B ⊥=''==''==''=过D 作，交BC 于E ，则，
DE BC ⊥2422DE AB EC BC AD ===-=-=，∴直角梯形DC .
4422+=
11答案及解析：
2
解析：由题意可知直观图中， 则平面图形是两条直角边长分别为2的直1111112,1A B A C B C ===角三角形，故平面图形的面积.12222S ==
12答案及解析：
2
解析：画出直观图， 对应，且，，故顶点到.BC B C ''''1B C ='''B C x ∠=45 'B x '
13答案及解析：
答案：直角
解析：
∵轴，所以在平面三角形中， 轴，
//'AB y //AB y ∴是直角三角形
,AB AC ABC ⊥∴∆
14答案及解析：
解析：如图所示，将还原后为，由于
∆'''A A A A A A A A A A A A ABC ∆所以.36''''21O C C D ===2'' 6.CO O C ==∴16162ABC S =⨯=A
15答案及解析：
答案：画出平面直角坐标系，使点与重合，在轴上取点.使，在轴上取点， xOy A O x C 2AC =y D 使，取的中点，连接并延长至点，使，连接，则四边形2AD =AC E DE B DE EB =,,DC CB BA 即正方形的原图形，如图所示.
ABCD A B C D ''''
易知四边形为平行四边形，
ABCD
∵2,AD AC ==
∴2==。