控制工程基础(第五章,频域分析法)
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A( ) Ac | G( j ) | Ar | G( j ) | Ar Ar
• 相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用 (ω)
表示。
() [t G( j)] t G( j)
• 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
A()e j ( ) | G( j) | e jG( j ) G( j)
G( j) G( j) e j ( ) X () jY ()
X(ω)和Y(ω)分别称为实频特性和虚频特性。 取横坐标X(ω) ，纵坐标表示Y(ω) ，也可得到系统的幅相曲线 (实虚频图)。
G ( j )
10 (1 0.1 j )(1 j )
也可化传递函数为零极点形式 进行极坐标图的绘制！
对于Bode图，二阶微分环节与二阶振荡环节间的关系。
5.、延迟环节
e
j
当 1时, e j
频率特性 G( j ) e j
1 1 j
A( ) 1 幅频特性和相频特性 ( ) 对数幅频特性和相频特性 L( ) 0 ( ) jY ( ) L( )(dB)
比例环节的Nyquist图
比例环节的Bode图
2、 积分、微分环节 ( j )1 1 j G ( j ) 1/ j e 2 1）积分环节 频率特性为 其幅相频特性和对数幅相频特性分别为：
A( ) 1 ( ) 90
L( ) 20 lg ( ) 90
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
十倍频程
一倍频程
20
一倍频程
30 40 50 60 80 100
十倍频程
十倍频程
（b)对数分度
对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位是分贝(dB)。 对数相频曲线纵坐标按(ω)线性分度，单位是度（或 rad/s）。
{
20lg G ( j ) / dB ( ) / c , rad / s
采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在 较大频率范围反映频率特性的变化情况。 采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算， 可以简化曲线的绘制过程。 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定， ω =0不可能在横坐标上表示出来；
1/2τ 0.89 -26.6
1/τ 0.707 -45
2/τ 0.45 -63.5
3/τ 0.32 -71.5
4/τ 0.24 -76
5/τ 0.2 -78.7
∞ 0 -90
A( )
( ) arctan( ) (弧度
1/
2/
3/
4/
5/
1/
2/
3/
4/
例
1 A G ( s) , E1 ( s) 2 1 RCs s 2
1 T A G( j ) 1 T 2 2
2 2
e2 (t )
A
sin(t arctan T )
() tg 1T
ω A(ω)
(ω)°
0 1 0
1 1 2 2
1 0
0
L( ) 0
0 X ( )
( )()
°
Nyquist图是一个以坐标原点为中心，半径为1的圆
如果用线性坐标，则迟后环节的相频特性为一条直线
2T arctg 2 2 1 T ( ) ( ) arctg 2T 2 2 1 T (T 1) (T 1)
频率特性的端点取值
limG( j ) 10 limG( j ) 0 180
n bj a a S j S j j 1 S p j
C (t ) ae jt a e jt b j e
j 1
n
p jt
A A a G( s) 2 ( S j ) S j G ( j ) 2 S 2j
a G ( j )
G 1）对于二阶振荡环节： ( j ) 1
1 2 j 2 n n
2
1 n T
2
n 2 2 2 ( ) arctan G ( j ) 1/ (1 2 ) (2 ) 2 n n 1 2 n
2 2 2 L( ) 20 lg (1 2 ) (2 ) n n
其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，它与0dB线交 于ω=1点。
K 对于 j
L( ) 20 lg 20 lg K ( ) 90
/(rad / s)
3、 一阶因子 1）一阶惯性环节
(1 jT )1
T X ( ) jY ( ) 2 2 1 T
5/
幅频和相频特性曲线
ω A(ω)
(ω)°
0 1 0
1/2τ 0.89 -26.6
1/τ -45
2/τ
3/τ 0.32
4/τ 0.24 -76
5/τ 0.2 -78.7
∞ 0 -90
0.707 0.45
-63.5 -71.5
jY ( )
0
1
( )
A( )
0 X ( )
源自文库
频率特性的极坐标图
二、频率特性的表示方法
在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲 线，再运用图解法进行研究。
1、极坐标图或乃奎斯特（Nyquist）曲线，为幅相频率特性 幅相特性曲线是将频率ω作为参变量，将幅频与相频特性 同时表示在复数平面上。图上实轴正方向为相角零度线，逆时针 旋转为正。（复数表示、极坐标图） 将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即
/(rad / s)
/(rad / s)
/(rad / s)
三、典型系统的频率特性
1、比例环节 比例环节的频率特性为 G( j ) K 它与频率无关。相应的幅相频特性和对数幅相频特性分 别为：
A( ) K ( ) 0
L( ) 20 lg K ( ) 0
j
A( ) ( ) 90
jY ( )
L( ) 20 lg ( ) 90
L( )(dB)
0dB 20dB/dec
0
0
X ( )
( )()
° °
微分环节的幅频特性等于角频率ω，而相频特性恒为90°。
幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90°。对数幅频特 性为一条斜率为－20dB/dec的直线，此线通过L(ω)=0，ω=1的 点。 L( )(dB) jY ( )
0dB -20dB/dec
0
X ( )
°
( )()
°
G( 2）微分环节 频率特性为 j ) j e 2 其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特 性为
A 2j
且 G( j) G( j) e j ( ) ,G( j) G( j) e j ( ) 当t→∞时,
C(t ) ae jt a e jt
C(t ) A G( j) sin(t )
稳态响应！
频率特性的定义 • 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振 幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。
0
1 1 G( j) j n时， 2 T
分贝值为 M r 20lg 2
相位总为-90o
二阶振荡环节的Nyquist图
可用以估算阻尼比值
谐振频率 谐振峰值
r n 1 2 2
G( jr ) M r 1 2 1 2
0 0.707
2、对数频率特性，即伯德（Bode）图 由对数幅频特性和对数相频特性组成。 Bode图的横坐标按lgω分度（10为底的常用对数）， 即对数分度，单位为弧度/秒（rad/s）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （a)线性分度
对数分度和线性分度
0
1 2
L
一倍频程 一倍频程
3
4 5 6 7 8 9 10
二阶振荡环节的Bode图
2 当 1,略去2 和 2项 n n n
当 1,略去1和 2 n n
L() 20lg1 0dB
——低频渐近线
——高频渐近线 二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直 线组成的折线近似表示。 低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为ω=1/T， 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。 在交接频率附近，对数幅频特性与渐近线存在一定的误 差，其值取决于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，则误差越大.
控制工程基础
——郭世伟
第五章
频域分析法
一、系统的频率特性
（一）LTI系统的谐波响应及系统频率特性的概念
U ( s) V ( s)
记系统传函为 G ( s )
，为稳定系统！
A
已知输入信号 r (t ) A sint , R ( s ) 2 2 S
U ( S ) A U (S ) A C (S ) 2 2 V (S ) S ( S p1 )( S p2 ) ( S pn ) ( S j )( S j )
LTI系统的频率响应函数
G ( j ) G ( s )
s j
实频特性、虚频特性、幅频特性、相频特性
均为关于频率ω的实函数，可绘制图线表示。 频率响应函数
C ( j ) G ( j ) R ( j )
LTI系统信号与系统的关系
一般输入信号，由傅立叶变换可认为是正弦信号的迭加，系统的幅频 特性、相频特性可分别表征系统对各输入信号各频率分量的幅值的缩 放能力和对相位角的前后移动能力。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
惯性环节渐进对数幅频特性的误差曲线
2）一阶微分环节：频率特性 G( j ) 1 jT 幅相频特性 A( ) 1 2T 2 ( ) arctgT 对数幅相频特性 L( ) 20lg 1 2T 2 ( ) arctgT
2 L( ) 20 2 40lg n n
对于二阶振荡环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，且曲线与阻尼比有关。
二阶振荡环节渐进对数幅频特性的误差曲线
2）二阶微分环节
2 2 2 2 j ( ) G ( j ) 1 2 j 2 (1 2 ) 4 2 2 e n n n n 2 n ( ) arct an 2 1 2 n
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
写成实部和虚部形式，即 G ( j )
1 1 2T 2
j
[ X () 0.5]2 Y 2 () 0.52
惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。
jY ( )
T 0 1 2T 2
1 2 2 1 T 0.5 ( ) A( )
• 相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用 (ω)
表示。
() [t G( j)] t G( j)
• 幅频A(ω)和相频 (ω)统称幅相频率特性。
A()e j ( ) | G( j) | e jG( j ) G( j)
G( j) G( j) e j ( ) X () jY ()
X(ω)和Y(ω)分别称为实频特性和虚频特性。 取横坐标X(ω) ，纵坐标表示Y(ω) ，也可得到系统的幅相曲线 (实虚频图)。
G ( j )
10 (1 0.1 j )(1 j )
也可化传递函数为零极点形式 进行极坐标图的绘制！
对于Bode图，二阶微分环节与二阶振荡环节间的关系。
5.、延迟环节
e
j
当 1时, e j
频率特性 G( j ) e j
1 1 j
A( ) 1 幅频特性和相频特性 ( ) 对数幅频特性和相频特性 L( ) 0 ( ) jY ( ) L( )(dB)
比例环节的Nyquist图
比例环节的Bode图
2、 积分、微分环节 ( j )1 1 j G ( j ) 1/ j e 2 1）积分环节 频率特性为 其幅相频特性和对数幅相频特性分别为：
A( ) 1 ( ) 90
L( ) 20 lg ( ) 90
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
十倍频程
一倍频程
20
一倍频程
30 40 50 60 80 100
十倍频程
十倍频程
（b)对数分度
对数幅频曲线的纵坐标按线性分度，单位是分贝(dB)。 对数相频曲线纵坐标按(ω)线性分度，单位是度（或 rad/s）。
{
20lg G ( j ) / dB ( ) / c , rad / s
采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在 较大频率范围反映频率特性的变化情况。 采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算， 可以简化曲线的绘制过程。 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定， ω =0不可能在横坐标上表示出来；
1/2τ 0.89 -26.6
1/τ 0.707 -45
2/τ 0.45 -63.5
3/τ 0.32 -71.5
4/τ 0.24 -76
5/τ 0.2 -78.7
∞ 0 -90
A( )
( ) arctan( ) (弧度
1/
2/
3/
4/
5/
1/
2/
3/
4/
例
1 A G ( s) , E1 ( s) 2 1 RCs s 2
1 T A G( j ) 1 T 2 2
2 2
e2 (t )
A
sin(t arctan T )
() tg 1T
ω A(ω)
(ω)°
0 1 0
1 1 2 2
1 0
0
L( ) 0
0 X ( )
( )()
°
Nyquist图是一个以坐标原点为中心，半径为1的圆
如果用线性坐标，则迟后环节的相频特性为一条直线
2T arctg 2 2 1 T ( ) ( ) arctg 2T 2 2 1 T (T 1) (T 1)
频率特性的端点取值
limG( j ) 10 limG( j ) 0 180
n bj a a S j S j j 1 S p j
C (t ) ae jt a e jt b j e
j 1
n
p jt
A A a G( s) 2 ( S j ) S j G ( j ) 2 S 2j
a G ( j )
G 1）对于二阶振荡环节： ( j ) 1
1 2 j 2 n n
2
1 n T
2
n 2 2 2 ( ) arctan G ( j ) 1/ (1 2 ) (2 ) 2 n n 1 2 n
2 2 2 L( ) 20 lg (1 2 ) (2 ) n n
其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，它与0dB线交 于ω=1点。
K 对于 j
L( ) 20 lg 20 lg K ( ) 90
/(rad / s)
3、 一阶因子 1）一阶惯性环节
(1 jT )1
T X ( ) jY ( ) 2 2 1 T
5/
幅频和相频特性曲线
ω A(ω)
(ω)°
0 1 0
1/2τ 0.89 -26.6
1/τ -45
2/τ
3/τ 0.32
4/τ 0.24 -76
5/τ 0.2 -78.7
∞ 0 -90
0.707 0.45
-63.5 -71.5
jY ( )
0
1
( )
A( )
0 X ( )
源自文库
频率特性的极坐标图
二、频率特性的表示方法
在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲 线，再运用图解法进行研究。
1、极坐标图或乃奎斯特（Nyquist）曲线，为幅相频率特性 幅相特性曲线是将频率ω作为参变量，将幅频与相频特性 同时表示在复数平面上。图上实轴正方向为相角零度线，逆时针 旋转为正。（复数表示、极坐标图） 将G(jω)分为实部和虚部(代数表示)，即
/(rad / s)
/(rad / s)
/(rad / s)
三、典型系统的频率特性
1、比例环节 比例环节的频率特性为 G( j ) K 它与频率无关。相应的幅相频特性和对数幅相频特性分 别为：
A( ) K ( ) 0
L( ) 20 lg K ( ) 0
j
A( ) ( ) 90
jY ( )
L( ) 20 lg ( ) 90
L( )(dB)
0dB 20dB/dec
0
0
X ( )
( )()
° °
微分环节的幅频特性等于角频率ω，而相频特性恒为90°。
幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90°。对数幅频特 性为一条斜率为－20dB/dec的直线，此线通过L(ω)=0，ω=1的 点。 L( )(dB) jY ( )
0dB -20dB/dec
0
X ( )
°
( )()
°
G( 2）微分环节 频率特性为 j ) j e 2 其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特 性为
A 2j
且 G( j) G( j) e j ( ) ,G( j) G( j) e j ( ) 当t→∞时,
C(t ) ae jt a e jt
C(t ) A G( j) sin(t )
稳态响应！
频率特性的定义 • 幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输出振 幅与输入振幅之比，用A(ω)表示。
0
1 1 G( j) j n时， 2 T
分贝值为 M r 20lg 2
相位总为-90o
二阶振荡环节的Nyquist图
可用以估算阻尼比值
谐振频率 谐振峰值
r n 1 2 2
G( jr ) M r 1 2 1 2
0 0.707
2、对数频率特性，即伯德（Bode）图 由对数幅频特性和对数相频特性组成。 Bode图的横坐标按lgω分度（10为底的常用对数）， 即对数分度，单位为弧度/秒（rad/s）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （a)线性分度
对数分度和线性分度
0
1 2
L
一倍频程 一倍频程
3
4 5 6 7 8 9 10
二阶振荡环节的Bode图
2 当 1,略去2 和 2项 n n n
当 1,略去1和 2 n n
L() 20lg1 0dB
——低频渐近线
——高频渐近线 二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直 线组成的折线近似表示。 低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为ω=1/T， 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。 在交接频率附近，对数幅频特性与渐近线存在一定的误 差，其值取决于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，则误差越大.
控制工程基础
——郭世伟
第五章
频域分析法
一、系统的频率特性
（一）LTI系统的谐波响应及系统频率特性的概念
U ( s) V ( s)
记系统传函为 G ( s )
，为稳定系统！
A
已知输入信号 r (t ) A sint , R ( s ) 2 2 S
U ( S ) A U (S ) A C (S ) 2 2 V (S ) S ( S p1 )( S p2 ) ( S pn ) ( S j )( S j )
LTI系统的频率响应函数
G ( j ) G ( s )
s j
实频特性、虚频特性、幅频特性、相频特性
均为关于频率ω的实函数，可绘制图线表示。 频率响应函数
C ( j ) G ( j ) R ( j )
LTI系统信号与系统的关系
一般输入信号，由傅立叶变换可认为是正弦信号的迭加，系统的幅频 特性、相频特性可分别表征系统对各输入信号各频率分量的幅值的缩 放能力和对相位角的前后移动能力。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
惯性环节渐进对数幅频特性的误差曲线
2）一阶微分环节：频率特性 G( j ) 1 jT 幅相频特性 A( ) 1 2T 2 ( ) arctgT 对数幅相频特性 L( ) 20lg 1 2T 2 ( ) arctgT
2 L( ) 20 2 40lg n n
对于二阶振荡环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，且曲线与阻尼比有关。
二阶振荡环节渐进对数幅频特性的误差曲线
2）二阶微分环节
2 2 2 2 j ( ) G ( j ) 1 2 j 2 (1 2 ) 4 2 2 e n n n n 2 n ( ) arct an 2 1 2 n
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
写成实部和虚部形式，即 G ( j )
1 1 2T 2
j
[ X () 0.5]2 Y 2 () 0.52
惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。
jY ( )
T 0 1 2T 2
1 2 2 1 T 0.5 ( ) A( )