百强名校人教高中数学精品课件_【数学】.5.1《平面几何中的向量方法》课件(新人教A版必修4)(整理版)
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高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
22
2
2
思索：能否用向量 坐标形式证实？
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
9/10
小结： 用向量方法处理平面几何问题“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量联络，用向量表示 问题中包括几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题； （2）经过向量运算，研究几何元素之间关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
2
2
AB2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC2
BD2
2
ab
ab
2
a
2
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
2
a
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2
4/10
你能总结一下利用向量法处理平面几何问题 基本思绪吗？
用向量方法处理平面几何问题 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量联络，用向量表示 问题中包括几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题；
（2）经过向量运算，研究几何元素之间关系， 如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量运算 向量和数到形
5/10
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边中点，BE 、 BF分别与 AC交于R 、 T两点，你能发觉AR 、 RT 、TC之间关系吗？
猜测： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
6/10
解：设 AB a, AD b , AR r , 则 AC a b
人教版高中数学必修四平面几何中的向量方法教学课件共20张PPT
示转（问化2题为）中向本涉 量节及 问课的 题所几 ；用何到元的素数，学将方平法面，几数何学问思题 想有哪些？
（系2，数 思）想学如通思距想过离：向、方量程夹的运角思算等想，，问数研题形究；结几合的何思元想素，转之化间和的化归关的
（3数）学把方法运：算待结定系果数“法翻译”成几何元素。
作业：
1.课本P113 A组 1,2
人教版高中数学必修四 平面几何中的向量方法 教学课件共20张PPT
2020/9/19
1.向量加（减）（减）法的法则
D
C
A
B
2.
3.平面向量的基本定理
学生探索 尝试解决
C F
A
E
B
平面几何中的向量方法
欧氏几何的论证严谨优雅，给人以极大的美 感和享受，但有较大的思考难度，对人的 智力形成极大的挑战。而1967年笛卡尔的 《方法谈》及其附录《几何法》发表，引 入了坐标，解析几何学建立，为数学提供 了一种新工具；18世纪末，挪威测量学家 维塞尔把坐标平面上的点用向量表示，并 把向量的几何表示用于研究几何问题，为 我们找到了一个更便捷的工具。
简述：形到向量 向量的运算 向量或数到形
2020/9/19
AR=RT=TC即R,T为AC的三等分点 ，我们只要证出
D
F
C
向量AR还可以怎么构E R
T
造呢？
A
B
解：
D
F
C
ER
T
A
B
D
F
C
ER
T
A
B
线，
故AT=RT=TC
练习
分析：
A
N
P
B
C
反思小结 观点提炼
（系2，数 思）想学如通思距想过离：向、方量程夹的运角思算等想，，问数研题形究；结几合的何思元想素，转之化间和的化归关的
（3数）学把方法运：算待结定系果数“法翻译”成几何元素。
作业：
1.课本P113 A组 1,2
人教版高中数学必修四 平面几何中的向量方法 教学课件共20张PPT
2020/9/19
1.向量加（减）（减）法的法则
D
C
A
B
2.
3.平面向量的基本定理
学生探索 尝试解决
C F
A
E
B
平面几何中的向量方法
欧氏几何的论证严谨优雅，给人以极大的美 感和享受，但有较大的思考难度，对人的 智力形成极大的挑战。而1967年笛卡尔的 《方法谈》及其附录《几何法》发表，引 入了坐标，解析几何学建立，为数学提供 了一种新工具；18世纪末，挪威测量学家 维塞尔把坐标平面上的点用向量表示，并 把向量的几何表示用于研究几何问题，为 我们找到了一个更便捷的工具。
简述：形到向量 向量的运算 向量或数到形
2020/9/19
AR=RT=TC即R,T为AC的三等分点 ，我们只要证出
D
F
C
向量AR还可以怎么构E R
T
造呢？
A
B
解：
D
F
C
ER
T
A
B
D
F
C
ER
T
A
B
线，
故AT=RT=TC
练习
分析：
A
N
P
B
C
反思小结 观点提炼
高一数学平面几何中的向量方法(图文课件分享)
首先请记住，我不希望您相信这个故事。您也难道没有目睹我最近的经历吗？当我在最后一次前往伦敦之际，在幸福而无知的盔甲下，我向皇家地质学会的一位会员高兴地讲述了我的要旨。
您肯定会以为，在我看来，这起罪恶之罪不亚于从塔中抢劫皇冠上的珠宝，或将毒药放入国王His下的咖啡。
我半信半疑的博学绅士，在我半途半熟之前就被凝结了！-这一切使他免于爆炸-而我梦Honor以求的荣誉团契，金牌和名人堂中的利基则化为乌有，冷淡的空气他北极的气氛。
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
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高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法人教版省公开课一等奖新优质课获奖课件
·
cos θ=
||||
(-2,)·(,-2)
=
5· 5
=
-42 4
=- .
52 5
4
5
故所求钝角的余弦值为- .
22/31
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
用错向量的性质及运算法则致误
典例在△ABC 中,设 =a,=b, =c,若 a·b=b·c=c·a,请确定
故平行四边形 ABCD 为矩形.
(2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是
| + |和| − |.
∵ =(3,5), =(-1,1),
∴ + =(2,6), − =(4,4),
∴| + |= 22 + 62 =2 10,| − |= 42 + 42 =4 2.
边形 ABCD 是(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形D.正方形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线
段AB,AC为邻边平行四边形两条对角线长分别
是
、
.
4/31
解析:(1)由 = 知,四边形 ABCD 为平行四边形,
又 · =0,则 AB⊥BC,
=
3
− =b-
4
=
1 3
b- a,
4 4
所以 = ,且 D,E,F,B 四点不共线,
所以四边形 DEBF 是平行四边形.
9/31
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 A
cos θ=
||||
(-2,)·(,-2)
=
5· 5
=
-42 4
=- .
52 5
4
5
故所求钝角的余弦值为- .
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
用错向量的性质及运算法则致误
典例在△ABC 中,设 =a,=b, =c,若 a·b=b·c=c·a,请确定
故平行四边形 ABCD 为矩形.
(2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是
| + |和| − |.
∵ =(3,5), =(-1,1),
∴ + =(2,6), − =(4,4),
∴| + |= 22 + 62 =2 10,| − |= 42 + 42 =4 2.
边形 ABCD 是(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形D.正方形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线
段AB,AC为邻边平行四边形两条对角线长分别
是
、
.
4/31
解析:(1)由 = 知,四边形 ABCD 为平行四边形,
又 · =0,则 AB⊥BC,
=
3
− =b-
4
=
1 3
b- a,
4 4
所以 = ,且 D,E,F,B 四点不共线,
所以四边形 DEBF 是平行四边形.
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 A
高中数学必修四人教版2.5.1平面几何中的向量方法13ppt课件
猜想：AR=RT=TC E
D R
F T
C
A 图2.5-2
B
解：设AB a, AD b, AR r, 则AC a b.
由于 AR 与 因为 又因为
共线，故设 AC
r n(a b), n R，
1 EB AB AE a b, 2
1 ER mEB m(a b). 所以设 2 ， 因为 AR AE ER
OD OE OD OE
1 1 1 4 2 2 . 5 5 5 2 2
提升总结
建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路 明确，过程简洁.
1.在四边形ABCD中AB BC=0，且AB=DC ，则四边形 ABCD是（ B ） . A.平行四边形 C.菱形 B.矩形 D.正方形
量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通 过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
探究一（长度问题） 1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 对角线长度的平方=两邻边的平方和. 平行四边形有类似的数量关系吗？
思考1
如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2， AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？
题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 向量运算关系化 几何问题向量化
（3）把运算结果“翻译”成几何元素.
向量关系几何化
例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别 与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？
D
确定
C B
高中数学必修四人教版2.5.1平面几何中的向量方法2ppt课件
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长 的平方和的两倍.
思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要 说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
E F
P
B
D
C
思考3：设向量 aPu，uAur = b，PuuBur =c，那Pu么uCurPC=⊥BA可 转化为什么向量关系？
A
c·(a－b)＝0.
E
F
a
P
b
c
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化 为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论:
思考2：设向量 理求∠A的大小？
A
aAu，uBur = b，Au可uCur以=利用哪个向量原
a
D
b
E
cos A = a ×b
| a || b |
B
C
思考3：以a，b为基底，向量 ， 如何BuuE表ur 示Cu？uDur A
uuur BE =
1b -
a
2
uuur CD =
1a -
b
2
a
D
B
b
E
C
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？
a·b = （2a2＋b2）
5
思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合 上述结论:
a·b = (25a2＋b2 ),cosA等于多少？
思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要 说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
E F
P
B
D
C
思考3：设向量 aPu，uAur = b，PuuBur =c，那Pu么uCurPC=⊥BA可 转化为什么向量关系？
A
c·(a－b)＝0.
E
F
a
P
b
c
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化 为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论:
思考2：设向量 理求∠A的大小？
A
aAu，uBur = b，Au可uCur以=利用哪个向量原
a
D
b
E
cos A = a ×b
| a || b |
B
C
思考3：以a，b为基底，向量 ， 如何BuuE表ur 示Cu？uDur A
uuur BE =
1b -
a
2
uuur CD =
1a -
b
2
a
D
B
b
E
C
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？
a·b = （2a2＋b2）
5
思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合 上述结论:
a·b = (25a2＋b2 ),cosA等于多少？
人教数学必修四课件-251平面几何中的向量方法
1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a b x1 x2 y1 y2 .
3. 向量平行与垂直的判定:
a // b x1 y2 x2 y1 0.
复习引入
1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题；
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
பைடு நூலகம்
讲授新课
例1. 已知AC为⊙O的一条直径， ∠ABC为圆周角. 求证：∠ABC＝90o.
讲解范例：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a b x1 x2 y1 y2 .
3. 向量平行与垂直的判定:
a // b x1 y2 x2 y1 0.
复习引入
1. 两个向量的数量积：
a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示:
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
复习引入
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题；
思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可 以分哪几个步骤？
“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量 表示问题中涉及的几何元素，将平面几 何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的 关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
பைடு நூலகம்
讲授新课
例1. 已知AC为⊙O的一条直径， ∠ABC为圆周角. 求证：∠ABC＝90o.
讲解范例：
高中数学必修4精品课件2.5.1平面几何中向量方法
V航 V垂
的时间就最短.
V船
解:船航行时垂直于河岸方向
的分速度V垂决定所用的时间
V水
而|V垂||V船 |
船航行所用的最短时间t
V船 V航
V垂
t d 0.5 60 30(分) V垂 10
V水
练习:用两条成120º的等长的绳子悬
挂一个灯具，已知灯具的重量为10N， 则每根绳子的拉力是多少？
在下游80m河流有一处瀑布,水速5m/s.为了安全
过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，
划速方向如何？
60m 80m Q
分析:小船沿PQ方向划 行时安全,其速度较少
V船V船V船
瀑 布
θ
解:船速度方向确定与
P V水
PQ垂直方向时速度最小
sin 3 ,
5
| V船|=|V水
| sin
5
3 5
cos A b c 4 c b 5
A
bc
D
E
B
C
归纳抽象
基本思路： 1.恰当地设定基底. 2.几何元素向量化. 3.向量运算关系化. 4.向量关系几何化.
作业与预习
教材126页 A组1,2题 B组3题
例1：同一平面内，互成120ْ 的三
个大小相等的共点力的合力为零。
P
bc
由 得
BD
C
c (a b ) 0, 所以,AB CF
探究（三）：计算夹角的大小
例4:在等腰△ABC中，D、E中点， 若CD⊥BE，∠A的大小是否为定值？
解: EB DC 0
又EB b 1 c, DC c 1 b
2
2
人教版高一数学课件-平面几何中的向量方法
2.5 平面向量應用舉例
2.5.1 平面幾何中的向量方法
問題提出
t
p
1 2
5730
1.用有向線段表示向量，使得向量可以 進行線性運算和數量積運算，並具有鮮 明的幾何背景，從而溝通了平面向量與 平面幾何的內在聯繫，在某種條件下， 平面向量與平面幾何可以相互轉化.
2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相 似等，是平面幾何中常見的問題，而這 些問題都可以由向量的線性運算及數量 積表示出來.因此，平面幾何中的某些問 題可以用向量方法來解決，但解決問題 的數學思想、方法和技能，需要我們在 實踐中去探究、領會和總結.
D
C
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa B
思考4：利用 | AC |2 (AC)2 ，若求| AC | 需要解決什麼問題？
思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2， 如何求a·b？ | AC | 等於多少？
a b 1 , | AC | 6 2
思考6：根據上述思路，你能推斷平行四 邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長 度之間具有什麼關係嗎？
2.用向量方法研究幾何問題，需要用向 量的觀點看問題，將幾何問題化歸為向 量問題來解決.它既是一種數學思想，也 是一種數學能力.其中合理設置向量，並 建立向量關係，是解決問題的關鍵.
作業： P113習題2.5A組：1，2.
B組：3.
思考6：你能用其他方法證明三角形的三
條高線交於一點嗎？
A
E F
P
B
D
C
探究（三）：計算夾角的大小
思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分 別是兩條腰AB、AC的中點，若CD⊥BE， 你認為∠A的大小是否為定值？
A
D B
2.5.1 平面幾何中的向量方法
問題提出
t
p
1 2
5730
1.用有向線段表示向量，使得向量可以 進行線性運算和數量積運算，並具有鮮 明的幾何背景，從而溝通了平面向量與 平面幾何的內在聯繫，在某種條件下， 平面向量與平面幾何可以相互轉化.
2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相 似等，是平面幾何中常見的問題，而這 些問題都可以由向量的線性運算及數量 積表示出來.因此，平面幾何中的某些問 題可以用向量方法來解決，但解決問題 的數學思想、方法和技能，需要我們在 實踐中去探究、領會和總結.
D
C
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa B
思考4：利用 | AC |2 (AC)2 ，若求| AC | 需要解決什麼問題？
思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2， 如何求a·b？ | AC | 等於多少？
a b 1 , | AC | 6 2
思考6：根據上述思路，你能推斷平行四 邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長 度之間具有什麼關係嗎？
2.用向量方法研究幾何問題，需要用向 量的觀點看問題，將幾何問題化歸為向 量問題來解決.它既是一種數學思想，也 是一種數學能力.其中合理設置向量，並 建立向量關係，是解決問題的關鍵.
作業： P113習題2.5A組：1，2.
B組：3.
思考6：你能用其他方法證明三角形的三
條高線交於一點嗎？
A
E F
P
B
D
C
探究（三）：計算夾角的大小
思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分 別是兩條腰AB、AC的中點，若CD⊥BE， 你認為∠A的大小是否為定值？
A
D B
2.5.1平面几何中的向量方法-课件-22页PPT精选文档
F1 θ F2
G
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝ 500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度 |v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最 短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
B
v1
v
A
v2
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝
500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度
|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最 短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
解：
B
| v |＝ | v1 |2－| v2 |2 ＝ 96 (km/h) v1
t＝
|
d v
|
＝
0.5 ×60 ≈3.1 (min) 96
v
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min． A
2.5 平面向量应用举
2.5.1 平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 D
C
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，
(1) 写出此时粒子B相对粒子A的位移s ．
(2) 计算 s 在sA 方向上的投影．
解：(1) s＝sB－sA＝(-2，7)
(2) s 在sA 方向上的投影为
|
s·sA | sA |
|
＝
13 5
．
如图，海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测
G
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝ 500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度 |v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最 短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
B
v1
v
A
v2
例4：如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝
500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度
|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝2km/h．问行驶航程最 短时，所用时间是多少 (精确到0.1min) ？
解：
B
| v |＝ | v1 |2－| v2 |2 ＝ 96 (km/h) v1
t＝
|
d v
|
＝
0.5 ×60 ≈3.1 (min) 96
v
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min． A
2.5 平面向量应用举
2.5.1 平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 D
C
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，
(1) 写出此时粒子B相对粒子A的位移s ．
(2) 计算 s 在sA 方向上的投影．
解：(1) s＝sB－sA＝(-2，7)
(2) s 在sA 方向上的投影为
|
s·sA | sA |
|
＝
13 5
．
如图，海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测
2019人教A版高中数学必修四课件：第二章2.5.1平面几何中的向量方法 (共28张PPT)教育精品.ppt
即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程．
同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点，则C→N⊥A→B. ∴C→N·A→B＝0. 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程． 小结 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成 向量，再把坐标利用向量法则进行运算． (2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 v＝(B，－A)，法向量 n ＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用．
2.5.1 平面几何中的向量方法
高一必修4
本节目标
1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实 际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
前置学习
1．已知 A(1,2)，B(－2,1)，以 AB 为直径的圆的方程是 ____x_2_＋__y_2＋__x_－__3_y_＝__0________．
解析 设 P(x，y)为圆上任一点，则 A→P＝(x－1，y－2)，B→P＝(x＋2，y－1)， 由A→P·B→P＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0， 化简得 x2＋y2＋x－3y＝0.
前置学习
2．如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过
点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的
值为____2____．
解析 ∵O 是 BC 的中点， ∴A→O＝12(A→B＋A→C)． 又∵A→B＝mA→M，A→C＝nA→N， ∴A→O＝m2 A→M＋n2A→N. ∵M，O，N 三点共线，∴m2 ＋n2＝1.则 m＋n＝2.
同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点，则C→N⊥A→B. ∴C→N·A→B＝0. 又C→N＝(x＋6，y－2)，A→B＝(4,4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程． 小结 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成 向量，再把坐标利用向量法则进行运算． (2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 v＝(B，－A)，法向量 n ＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用．
2.5.1 平面几何中的向量方法
高一必修4
本节目标
1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实 际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
前置学习
1．已知 A(1,2)，B(－2,1)，以 AB 为直径的圆的方程是 ____x_2_＋__y_2＋__x_－__3_y_＝__0________．
解析 设 P(x，y)为圆上任一点，则 A→P＝(x－1，y－2)，B→P＝(x＋2，y－1)， 由A→P·B→P＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0， 化简得 x2＋y2＋x－3y＝0.
前置学习
2．如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过
点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的
值为____2____．
解析 ∵O 是 BC 的中点， ∴A→O＝12(A→B＋A→C)． 又∵A→B＝mA→M，A→C＝nA→N， ∴A→O＝m2 A→M＋n2A→N. ∵M，O，N 三点共线，∴m2 ＋n2＝1.则 m＋n＝2.
最新人教版高中数学必修四平面几何中的向量方法 (3)优质课件
猜想： AR=RT=TC
D
FCER源自TAB解：设
uuur AB
r a,
uA则uuDr
r b,
uuur AR
r r
,
uuur AC
ar
r b
uuur uuur 由于 AR与 A共C线，故设
rr
n(ar
r b
),
n
R
又因为 uEuRur与uE共uBur线，
所以设uEuRur
uuur m EB
r m(a
1
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
1
uuur uuur AC ,同理TC
1
uuur
uuur
AC , 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
则 AC a b,CB a b ，
由此可得：AC CB a b a b
22
2
2
思考：能否用向量 坐标形式证明？
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回顾作业：
1、设向量OA ( k ,12), OB (4,5), OC (10, k ),当k为何值时 , A、B、C 三点共线 ?
AB (4 k ,7), BC (6, k 5)
k 2或11
由于向量的线性运算和数量积 运算具有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如平移、全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量 的线性运算及数量积表示出来，因 此，可用向量方法解决平面几何中 的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何 中的运用。
例3
已知在等腰V ABC中，BB、CC 是两腰 上的中线，且BB CC ， y 求顶点A的余弦值。
A
C
B
o C x
B
课堂小结：（自我总结）
(1)向量解决几何问题的"三步曲" (2)待定系数法 (3)三点共线性质 (4)综合应用
作业：
导学教程：Ｐ58 变式训练T1,2,3
谢谢同学们，再见！！！
A A
G
B
E
C
D
A
规律总结:重心的计算
F
G
已知 ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ),则重心 G的B 坐标为 ________
E
C
D
x1 x2 x3 y1 y2 y3 ( , ) 3 3 2 1 OG OA AG OA AD OA ( AB AC ) 3 3 1 OA OB OC OA (OB OA OC OA) 3 3
2.5 平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ D C
A B 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元 素。
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想：
E
R
AR=RT=TC
A B
变式训练： 二、交点问题
已知 : AD、BE、CF 是ABC的三条中线. 求证：AD、BE、CF交于一点.
1、设向量OA ( k ,12), OB (4,5), OC (10, k ),当k为何值时 , A、B、C 三点共线 ?
AB (4 k ,7), BC (6, k 5)
k 2或11
由于向量的线性运算和数量积 运算具有鲜明的几何背景,平面几 何图形的许多性质,如平移、全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量 的线性运算及数量积表示出来，因 此，可用向量方法解决平面几何中 的一些问题，下面我们通过几个具 体实例，说明向量方法在平面几何 中的运用。
例3
已知在等腰V ABC中，BB、CC 是两腰 上的中线，且BB CC ， y 求顶点A的余弦值。
A
C
B
o C x
B
课堂小结：（自我总结）
(1)向量解决几何问题的"三步曲" (2)待定系数法 (3)三点共线性质 (4)综合应用
作业：
导学教程：Ｐ58 变式训练T1,2,3
谢谢同学们，再见！！！
A A
G
B
E
C
D
A
规律总结:重心的计算
F
G
已知 ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ),则重心 G的B 坐标为 ________
E
C
D
x1 x2 x3 y1 y2 y3 ( , ) 3 3 2 1 OG OA AG OA AD OA ( AB AC ) 3 3 1 OA OB OC OA (OB OA OC OA) 3 3
2.5 平面向量应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ D C
A B 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素 之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元 素。
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R 、T两点， 你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想：
E
R
AR=RT=TC
A B
变式训练： 二、交点问题
已知 : AD、BE、CF 是ABC的三条中线. 求证：AD、BE、CF交于一点.