2014年改版数字信号处理第二章-2-2
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第2章习题答案
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
故
X (z)z 1zN z 1 N (z 1 1 )zN z 1 N (z 1 1 )z2 1 N 1 zz N 1 1 2
［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
H(z) 1 , a和b为常数 (za)(zb)
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛 域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足 |a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆 以的整个z平面。 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b
采样间隔T=0.25 s， 得到 xˆ ( t ) ， 再让 xˆ ( t ) 通过理想低通
滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:
G(j)0.025
≤ 4π 4π
(1) 写出xˆ ( t )的表达式;
(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
解：(1)
x ˆ(t) [c2 o πn s)T (co 5πs n()T ](tn)T n
（3） 若y(n)=x(n)h(n), 则
Y(ej)1H(ej)X(ej) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（4）
xe(n)12[x(n)x(n)]
数字信号处理 答案 第二章
第二章判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（ ） 685ππ+n （ ） )8(π-ne j （ ）343ππ+n 解 对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于)5(16516取k k =。
（ ）对照复指数序列的一般公式 ωσj + 得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（ ）对照正弦型序列的一般公式 ϕω+n ，又343ππ+n ＝ -2π343ππ-n ＝ 6143-n π ，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于 )3(838取k k =在图 中， 和 分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的 和 的线性卷积以得到系统的输出 ，并画出 的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算 的每一个取样值。
≥ δ δδ δ δδ δ δ∑∞-∞=--kkn knuku a)()( ∑∞-∞=-kknaaa n--+111计算线性线性卷积λn解： ∑∞-∞=-kknuku)()(∑∞=-)()(kknuku ≥ 即∑∞-∞=-kk knuku)()(λ∑∞=-)()(kk knukuλ λλ--+111n≥即 λλ--+111n图 所示的是单位取样响应分别为 1 和 2 的两个线性非移变系统的级联，已知1 δ δ2 n 求系统的输出解 ω 1∑∞-∞=k k u )( δ δω 2∑∞-∞=k k k u a )(∑∞-=3n k ka≥已知一个线性非移变系统的单位取样响应为 n- 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理第2章习题解答
e
n 0
e
j ( 0 )
n
1 1 e e j (0 )
当 e 1 0
2-9 求 x(n) R5 (n) 的傅里叶变换 解：X (e j )
5 j 2
n
j
x ( n )e j n e j n
1 1 1 z 2
1 1 1 2 1 z z 2 4 1
1 1 1 2 X ( z) 1 z z 2 4 n 1 n z 2 n 0
1 x(n ) u(n ) 2
n
1 1 1 z 2 1 1 z 2 1 1 1 2 z z 2 4 1 2 z 4
解：
1 由x1 ( n ) u( n ) 2
1 z 2
n
1 得 X 1 ( z ) ZT [ x1 ( n )] 1 1 1 z 2 n 1 由x2 ( n ) u( n ) 3 1 得 X 2 ( z ) ZT [ x2 ( n )] 1 1 1 z 3
1 z 3
z3 z 3z 5 1 1 1 1 1 z 1 z z 3 z 2 3 2
1 z 3 2
j x ( n ) X ( e ): 2-7 求以下序列 的频谱
（1） (n n0 )
X ( e j )
n j n ( n n ) e 0
0
1/ 4 Re[ z ]
当 n 1 时， F ( z )在围线c内有一 (n 1)阶极点 z 0 在围线c外有单阶极点 z 1/ 4， 且分母阶次高于分子阶次二阶以上
数字信号处理第二章
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2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质
时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 。 本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性
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此定理亦称为调制定理
傅里叶变换的周期性：
1
频域卷积定理：
2
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傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部： 复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下 标e和o表示 共轭对称序列满足 复反共轭对称序列满足
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一般序列傅里叶变换的对称性质ຫໍສະໝຸດ 一般序列可以表示为返回
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左序列Z变换的收敛域
01
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上式右边：
第一项的收敛域为0 ≤|z|<Rx+， 第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0<|z|< Rx+ 。 如果n1<0，则收敛域为0 ≤|z|<Rx+。
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双边序列Z变换的收敛域 双边序列就是在-∞～+∞之间均有非零值的序列。 双边序列的Z变换
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例2.4： ，求Z反变换
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Z变换和傅里叶变换之间的关系 Z变换 令上式中的 ，得到 式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是数字频率。这 样， 就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶 变换。
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如果r= =1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即 r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就 是Z平面单位圆上的Z变换。
数字信号处理知识点整理Chapter2
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波2.1 引言只考虑加性噪声影响，即观测数据()xn 是信号()s n 和噪声()v n 之和，即()()()x n s n v n =+不含噪声的信号()s n 称为期望信号，乃滤波之目的，亦可用()dy n 表示。
系统实际输出()()ˆy n s n =是对期望信号的估计。
维纳滤波从信号估计的角度讲： 估计过去的信号值()s n N -叫做平滑； 估计当前的信号值()s n 叫做滤波； 估计将来的信号值()sn N +叫做预测。
这些估计都采用相同的准则：误差均方值最小,2n E e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2.2 维纳滤波器的时域解（费时费力，更多考虑用Z 域解）设计维纳滤波器实际就是选择系统函数h (n )，使得输出信号x (n )与期望信号d (n )的误差均方值最小。
考虑线性时不变系统，设单位脉冲响应()()()012,,,h n a n jb n n =+=2.2.1 时域求解根据系统输出()()()*y n x n h n =和均方误差函数()()()22E e n E d n y n ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令()2Ee n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于()h j 的导数为0，即()20012,,,,jE e n j h ⎡⎤∂⎢⎥⎣⎦==∂可以推得()()0*E x n j e n ⎡⎤-=⎣⎦结论：正交性原理．．．．．——均方误差值达到最小的充要条件是误差信号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．e ．(．n ．)．与任意输入的待估计信号．．．．．．．．．．．x ．(．n ．)．正交．．。
2.2.2 维纳-霍夫方程由上一式子展开可以得到维纳．．——．．霍夫方程．．．．的形式： ()()()()()012*,,,xd xxxx m r k h m r k m h k r k k +∞==-==∑维纳——霍夫方程表明，输入信号x (n )（待处理信号）与期望信号d (n )的互相关函数等于系统函数（维纳滤波器的时域解）与输入信号的互相关函数r xx (n )卷积。
(完整word版)数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
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2.1、数字信号处理系统的基本组成
•大多数数字信号处理的应用中，信号为来自不同模拟信号源，这些模拟 信号(电压或电流)通常为连续时间信号。
•应用数字信号处理(DSP)主要有三个原因： 1)滤波：滤除信号中来自周围环境的干扰或噪声； 2)检测：检测淹没在噪声中的特定信号（如雷达或声纳系统中），当检测 到的信号超过给定的阈值则认为目标信号存在，反之认为不存在； 3)压缩：当信号转换到另外一个域后，在变换域上更容易分辨信息的重 要程度，对重要部分分配多的比特数，次要部分分配尽可能少的比特 数，达到压缩的目的(如DCT算法)。
的是离散时间信号。将连续时间信号转换成离散时间信号的过程叫抽样。
抽样可由称为A/D变换器的器件完成：
量化结果
声卡
5
模拟输入 xa (t)
Ts
抽样器
抽样输出
xˆa (t)
xˆa(t) xa(t)•P (t)
xa(t)(t nTs)
n
xˆa (t)
周期性抽样函数 P (t )
xˆa (t)
Ts
P(t) (tnTs)
是否可以根据抽样后的离散时间序列恢复原始信号？ •奈奎斯特抽样频率：能够再恢复出原始信号的最低抽样频率（使 抽样后的信号频谱不发生混叠的最低抽样频率，即信号最高频率的 二倍）
0 s/2 s2 0
•满足奈奎斯特抽样频率的抽样信号可由理想低通滤波器恢复出原 始信号。此后将推导这个过程。
xˆa(t) G (j )/g (t（ ) 低 通 y滤 (t) 波 xa） (t)
X a ( j)
xa
(t )e
jt dt
[xa
(t )
•
P
(t )]e
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理 第二章
例3 x(n) R4 (n)，求 x(n) 的FT 解
X (e jω ) e jωn
1 π jω jωn x ( n) X ( e )e dω 2π π
例1、x(n) a n u(n)，a 1，求X (e jω )
解：由定义 X (e ) a e
jω n 0
n jωn
(ae jω )n
n 0
jω ae 1 ，则： X (e jω ) 因为: a 1 ，所以
(b) x(n) xe (n) x o (n)
结论：将序列分为共轭对称部分和共轭反对称 部分，序列的共轭对称部分对应着FT的实部， X (e jω ) X R (e jω ) jX I (e jω ) 序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和 j。
实序列傅立叶变换的共轭对称性可分下面几种情况 时域
例 x( n) cos ωn
当 ω 2πM 时， x (n) 序列值的波形如图(a) 所示， 它代表直流分量。 当 ω (2π 1) M 时，x (n)序列值的波形如图(b)所示，它代表最高频率分量。
cosωn
1 … -1 0 1 2 3 4 5
ω 2πM
cosωn
ω (2 M 1)π
根据定义推出
n
l
l
4.对称性
准备知识：
满足 xe (n) xe (n) 的序列 xe (n) 叫共轭对称序列。 对于实序列称偶对称；
数字信号处理 第2章
x(n)21
π
2
x(ej) d
n
2ππ
（2.2.35）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明
n x ( n )2 n x ( n ) x * ( n ) n x * ( n ) 2 1 π π π X ( e j ) e j n d
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
交换积分与求和的次序，得到：
Y(ej)2 1 π π πH (ej) n x(n)ej( )n d
1 π H(ej)X(ej())d
2π
1 X(ej)H(ej) 2π
(2.2.34)
该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时
服从卷积关系。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
h(0) n 0
he (n )
1 2
h(n)
n0
1 2
h
(
n
)
n0
（2.2.26）
0
n0
ho (n)
1 2
h(n)
n0
1 2
h ( n )
n0
（2.2.27）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和 ho(n)表示为
h(n)he(n)u(n)
（2.2.1）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充 分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
（2.2.2）
X(ejω)的傅里叶反变换为
x(n)IF [X T (ej) ]1πX (ej)d（2.2.3） 2π π
数字信号处理第二章2
可加性：
2 T [ x1 n x2 n ] [ x1 (n) x2 (n)] sin( n ) 9 7 2 2 x1 (n) sin( n ) x2 (n) sin( n ) 9 7 9 7 y1 (n) y2 (n) 2 T [ax1 n ] ax1 (n) sin( n ) ay1 n 9 7
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h(n) a u (n)
n
讨论其因果性和稳定性
2.3常系数线性差分方程
一、差分方程的表示
二、差分方程的求解
三、系统结构
一.表示法
一个N阶常系数线性差分方程表示为
a
k 0
N
k
y (n k ) m 0b NhomakorabeaM
m
x ( n m)
三.系统结构
1.系统的输入与输出的运算关系的表述，非 实际结构。 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b x(n)-a y(n-1)
0 1
用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 Z 1 表示一位延时单元。
例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为 ： x(n)
线性移不变因果系统的充要条件为
h(n)=0，n< 0。或h(n)=h(n)u(n)
六、稳定系统
有界的输入产生有界的输出系统。(BIBO) 线性移不变稳定系统的充要条件是
n
h( n)
p
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h( n) a u ( n)
n
《数字信号处理》课件第2章 (2)
|z|>a的整个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种
关系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
第二章 Z 变 换
1 假设该序列只有有限多个序列值不为零， 因而
n2
X (z) x(n)zn
n
n0
等式右边第一项的收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 所以X(z)的收敛域为0<|z|<Rx+，同样处于以Rx+为半径的一个圆的 里边， 但Z平面的原点已不包括在收敛域之内。
第二章 Z 变 换 4. 双边序列 双边序列是从n=-∞ 延伸到n=∞的序列， 通常可写成
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn （2-10）
（2-5）
nn1
对这个Z变换而言，z=0及z=∞有可能是它的极点， 这要视n的具
体取值而定。首先，如果n1≥0，x(n)为因果序列, 此时z=∞将不再 是极点，因而其收敛域应该是0<|z|≤∞，即z=∞ 也在其收敛域内。
其次，如果n2<0（即n<0），这时z=0已不是极点，收敛域将是 0≤|z|<∞，Z平面的原点也处于其收敛域内。最一般的情况可能是
x(n) 1 2πj
C'
X
1 p
pn1
p2dp
（2-22）
第二章 Z 变 换
第二章 Z 变 换
对于有理Z变换而言，围线积分用留数定理求值较方便。此时
x(n) 1 X (z)zk1dz [ X (z)zn1在C之内的极点上的留数 ]
数字信号处理教案第2章第2节共24页文档
zn1 1
zn1
(z4)(4z)(z1) (z4)(4z)(z1)
4z4
4z1
4
1 (4n 4n2)
15
x(n)1(4n4n2)u(n)
15
例 3 ： X (z ) ( 1 a 1 z ) ( 1 a 2 a z 1 )， a 1 ， 求 z 反 变 换
i 解 ： x (n )1 2j
x ( n ) R e s [ F ( z ) ] z a R e s [ F ( z ) ] z a 1 a n ( a n ) a n a n
x ( n ) ( a n a n ) u ( n 1 )
3) aza1 当n0时
j Im[z] a 1
C
F ( z ) 在 c 内 有 一 阶 极 点 z a
k
若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，
则：
x(n ) R es[F (z)]z zm
m
留数的计算公式
单阶极点的留数：
R e s [ F ( z ) ] z z r [ ( z z r ) F ( z ) ] z z r
例 1 ： X ( z ) z 2 ， 1 /4 < z 4 ， 求 其 z 反 变 换 ( 4 z ) ( z 1 /4 )
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n)0
当n0时 F(z)
zn1
(4z)(z1/4)
j Im[z]
C
在 围 线 c 内 有 一 阶 极 点 z 4 ， 1 4
1/4
0
4
Re[z]
x ( n ) R e s [ F ( z ) ] z 4 R e s [ F ( z ) ] z 1 / 4
数字信号处理2-2
系统函数 离散时间系统的Z变换解法 系统函数的零极点与频率响应 系统的分类 全通系统与最小相位系统
1
系统函数
本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的 系统函数与系统的频率响应 变换域分析方法，它们分别是 h(n)的Z变换和傅立 1、系统函数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性 叶变换。 时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：
H ( z) Y ( z) X ( z)
M
bk z ak z
k
k 0
k 0 N
k
由卷积定理，当x(n)给定时就可由下式求得响应：
y (n) Z [ H ( z ) X ( z )]
5
1
离散时间系统的Z变换解法
初始状态不为零的解法
对差分方程 ak y (n k ) bk x(n k ) 两边进行单边Z变
另一方面，若直接由差分方程来求输出，由于所有 ak=0（k=1,2,…），此时差分方程变为:
y ( n)
b
k 0
M
k
x(n k )
可见：其输出仅与当前及以前的输入有关，与以前的 输出无关，不存在着输出对输入的反馈，这种结构通 常又被称为非递归结构。
13
全通系统与最小相位系统
全通系统 j 若系统的幅度特性为: | H (e ) | 1, 0 则称该系统为全通系统。 全通系统的频率响应还可表示为: j j ( ) H (e ) e , 0 N阶全通系统的系统函数为 ：
4
离散时间系统的Z变换解法
零状态响应的解法 当输入 x(n)为因果序列时，线性时不变离散系统的常 系数差分方程描述为：
2014年改版数字信号处理第二章-2-2
ROC ：R x1- z R x1
ROC ：R x2- z R x2
复卷积
1 z -1 ZT [x1 (n) x2 (n)] X 1 (v) X 2 ( ) v dv 2j c v ROC ：R x1- R x2- z R x1 R x2
c是v平面收敛域中一条闭合单围线。
单位脉冲响应h(n)：设系统初始状态为零，系统对 输入为单位采样序列 (n ) 的响应称为 h(n) 。 称 h(n) 的傅里叶变换： H (e j )
n
h ( n )e
jn
为系统的传输函数 (频率响应）。
称 h(n) 的Z变换：H ( z ) h(n) z n 为系统的系统函数。
单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
1. 有限长序列 整个Z平面均收敛
x (n ) n1 n n2 x(n) 其他 0
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
n n1
n2
由于是对有限项求和，所以除0和 两点是否收敛 与n1和n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。 *注意 左序列
2.6 利用z变换分析信号和系统的频域特性
2.5 序列的Z变换
连续信号 和系统
傅里叶变换
拉普拉斯变换
频域分析
复频域分析
时域离散 信号系统
傅里叶变换
Z变换
频域分析
复频域分析
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉氏变换在
连续时间系统中的作用一样， 它把描述离散系统的差
分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
n X ( z ) x ( n ) z 单边Z变换： n 0
数字信号处理第二章
数字信号处理第二章第二章离散系统的频域分析与系统结构学习重点★掌握Z变换的定义，性质，反变换的求法。
★掌握常用的Z变换并理解收敛域的含义。
★掌握序列傅里叶变换(FT)的定义和性质。
★掌握离散系统的变换域分析方法。
★理解Z变换与傅里叶变换的关系。
★理解系统函数和频率响应的定义和关系。
★掌握系统特性与系统函数的关系。
★掌握IIR和FIR系统结构流图的画法。
2.1 引言离散系统的分析方法通常分为时域分析和变换域分析两大类。
其中，时域分析法一般是采用直接解差分方程或者利用线性卷积的方法来求系统的响应，该部分内容在本书前文有所交代，此处不再赘述，本章将重点讲述离散系统的变换域分析方法，这是另一种很常见的系统分析方法，在实际中有很广泛的应用。
变换分析方法通常又分为频域分析和Z域分析法。
本章前半部分我们将着重学习序列傅里叶变换和Z变换的相关内容，以及基于Z变换的离散系统Z域分析法。
Z变换作为序列傅里叶变换的推广，在系统分析中占据着重要地位，这是因为在系统分析中引入Z变换和Z域分析后，可以把离散系统的差分方程转换为代数方程，使求解过程大大简化。
另一方面，作为单位脉冲响应的Z变换，系统函数的零极点在Z平面的分布也完整的刻画了系统的稳定性和因果性。
因此，序列傅里叶变换，Z变换及其性质是本章的核心内容，是变换域分析的重要数学手段，读者应熟练理解和掌握。
本章后半部分将重点介绍如何根据系统的差分方程和系统函数，画出离散系统的多种结构流图。
尽管同样的一个系统可以用不同的结构流图去实现，但不同的系统结构图代表着不同的系统算法，不同的算法直接影响系统的运算速度，误差和系统的复杂程度，因此研究实现信号处理的算法和结构是信号分析中一个重要问题。
这一部分我们将介绍不同的系统流图结构，分析各自的优缺点，从而为离散系统的具体物理实现提供了依据和方法。
2.2 序列Z 变换的定义和收敛域 1. Z 变换定义：Z 变换（简称为Z T ）是一种常用的数学变换,根据求和下限的不同取值，又分为双边和单边两种，其中序列的双边Z 变换定义如下：设()x n 为任意序列，则（2-2-1）称为序列()x n 的双边Z 变换。
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单边Z变换： X (z) x(n)zn
n0
2. *FT和ZT的关系
X (z) x(n)zn
n
X (e j )
x(n)e jn
n
X (e j ) X (z) ze j
z = e jω表示在Z平面上 r =1的圆，该圆称为单位圆。
单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。
第一个序列为有限长序列，其收敛域为 0 z
第二个序列为因果序列，其收敛域为 Rx z 将两个收敛域相与，得到收敛域为 R x z (2)当 n1 0 时，z Rx
当 n1 0 时，没有第一项，所以收敛域为: z Rx
圆内域
3.左序列 X (z) zn
z Rx-
n0
X(z)的收敛域为两个收敛域的公共部分。
如果 Rx- Rx ，其收敛域为 Rx- z Rx ，是一环状域。
如果Rx- Rx，则两个收敛域没有公共收敛域，即收敛域不存在。
注
（1）收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界。
该方法也称为幂级数法，它是指利用Z变换定义，
用长除的方法将X(z)写成幂级数形式，其系数就是序
列x(n)。
该方法的缺点是在复杂的情况下，很难得到x(n)
的封闭解形式。
*3.部分分式展开法
该方法适合于大多数单阶极点的序列。
注意是对 X (z) 进行部分分式展开
z
§2.5.4 Z变换的性质和定理
1. 线性 2. 序列的移位 3. 乘以指数序列 4. 复序列取共轭 5. 初值定理 6. 终值定理 7. 序列时域卷积定理 8. 复卷积定理（序列相乘） 9. 帕斯维尔定理
c
Re s[ X (z)zn1 , zk ]
k
逆Z变换是围线C内所有的极点留数之和。
留数辅助定理
例2.5.6，*2.5.7，例6.3.3
设 F(z) X (z)zn1 在Z平面上有N个极点，在
收敛域内的封闭曲线c将Z平面上极点分成两部分：
c内极点N1个，c外极点N2个
则
N1
Re
sF
(
z
)，z1k
N2
Re
sF
(
z
)，z2k
k 1
k 1
成立条件：F(z)的分母阶次比分子阶次高二阶或以上。
定理说明：在满足辅助定理条件情况下，如果c内有多 阶极点，而c外极点没有高阶的，可以改求c圆外极点 留数之和，最后加一个负号。
2.长除法
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn Rx | z | Rx n
c是X(z)收敛域内一条 逆时针的闭合曲线
Rx | z | Rx
1.留数法
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
c (Rx , Rx )
如果 F(z) X (z) zn1 在围线c内的极点用 zk表示，
则有留数定理：
x(n) 1
2 j
X (z)zn1dz
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
1. 有限长序列 整个Z平面均收敛
x(n)
x(n) 0
n1 n n2 其他
其Z变换为
n2
X (z) x(n)zn n n1
由于是对有限项求和，所以除0和 两点是否收敛
与n1和n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。
*注意 左序列 n1 0,n2 0 时，0 z
Z变换的性质和定理
ZT[x1(n)] X1(z) ROC ：R1 ZT[x2(n)] X2(z) ROC ：R2
1. 线性
ZT[ ax1(n) bx2 (n)] aX1(z) bX 2 (z)
ROC ：R1 R2
相加后Z变换的收敛域一般为两个序列原来收敛域的交 集，某些情况下个别零点和极点相互抵消后可能扩大收敛域。
数字信号处理 Digital Signal Processing
2.5序列的z变换
2.6 利用z变换分析信号和系统的频域特性
2.5 序列的Z变换
连续信号 和系统
傅里叶变换
频域分析
拉普拉斯变换
复频域分析
时域离散 信号系统
傅里叶变换
频域分析
Z变换
复频域分析
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉氏变换在 连续时间系统中的作用一样， 它把描述离散系统的差 分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
n2 x(n)zn
0 x(n)zn n2 x(n)zn
n
n
n1
(1)当 n2 0 时， 0 z Rx
当n2>0时 第一项的收敛域为左序列,收敛域为 0 z Rx
第二项有限长序列,收敛域为
0 z
将两个收敛域相与，得到收敛域为 0 z Rx
圆内域
双边序列 n1 0,n2 0 时，0 z
环状域
右序列 n1 0, n2 0 时，0 z
圆外域
圆外域
2. 右序列
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
(1)当 n1 1 时，R x z
(2)当 n2 0 时， 0 z Rx 如果n2<0，没有第二项，则收敛域为
0 z Rx
4.双边序列
环状域
一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和。
X (z) x(n)zn X1(z) X 2(z)
n
1
X1(z) x(n)zn
n
2.5.1 Z变换的定义
1. 定义
可小到0 可大到
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn Rx | z | Rx
n
存在条件：绝对可和
x(n)zn
n
x(n)
IZT[ X
( z )]
1
2j
c
X
( z ) z n1dz
c (Rx , Rx )
（2）同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序 列是不同的。
（3）右序列收敛域必在某个圆之外，左序列收敛 域必在某个圆内。
§2.5.3 序列的逆Z变换
定义：
x(n)
1
2j
c
X
( z ) z n1dz
c (Rx，Rx )
留数法（残数法） 部分分式展开法 长除法
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n